2009年北京大学数学分析试卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文
5.用数字1, 2, 3, 4, 5组成的无重复数字的四位偶数的个数为2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第 至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40 分）注意事项:1 •答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2 •每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字 母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
3•若（1 • &）4 =a ^.2（a,b 为理数），则 a b -I 卷1至2页，第n 卷3 1.设集合 A ={X| -丄:x :::2 2}, B={xx 2 兰 1}，贝U AUB = C • {x| x :： 2}2.已知向量a=（1,0）,b 1B • {X| -了* 1}D • {x|1 乞 x ：： 2} 二（0,1）,c = ka b （k R ）, d = a - b,，如果 c 〃 d ，那么A . k =1且c 与d 同向B . k =1且c 与d 反向C . k = -1且c 与d 同向D . k = -1且c 与d 反向 A . 33 B . 29 C . 23 D . 194.为了得到函数y = lg 的图像，只需把函数 y = lg x 的图像上所有的点10 A .向左平移 3个单位长度，再向上平移 个单位长度B .向右平移 3个单位长度，再向上平移 个单位长度C .向左平移 3个单位长度，再向下平移 个单位长度D .向右平移 3个单位长度，再向下平移个单位长度7.若正四棱柱 ABCD -ABQD !的底面边长为1, A0与底面ABCD 成60°角，则AQ 到底面ABCD 的距离为A . 3B . 1C . ■ 2D . . 33 8 •设D 是正 P i P 2 P 3及其内部的点构成的集合，点 P o 是「\P 1P 2P 3的中心，若集合 S 二｛P|P D,| PR |_|PR |,i =1,2,3｝，则集合S 表示的平面区域是A .三角形区域B •四边形区域C .五边形区域D .六边形区域第n 卷(110分)注意事项：1 .用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2009北京市大学生高等数学竞赛竞赛试卷解析
（本科非数学类） 本科非数学类）
1 k x sin , x ≠ 0 处可导, 在 x = 0 处可导 则正整数 x 1. 若函数 f ( x) = 0, x = 0 则 k 的最小值为 的最小值为( ). 由导数定义: 解 由导数定义 1 k x sin x = lim x k −1 sin 1 ′(0) = lim f x →0 x →0 x x 此极限存在的条件是 k > 1, 故应取 k = 2. 2. 设由 y 轴、y = x 2 , y = a (0 < a < 1) 所围平面图形 及由曲线 所围平面图形,
1 x + 1, − 1 ≤ x < − 2 1 1 2 的偶式展开, 解 由题意是对 f 的偶式展开 即令 F ( x) = x , − ≤ x ≤ 2 2 1 1 − x, < x ≤1 均以2为周期 为周期， 故 F (x) 及 s (x) 均以 为周期， 2
r dr =
3r0
.
).
解 由于 y′′( x) = y′y β −1[4 β − ( β + 1) y ] = 0, 考虑到 y ′ ≠ 0, y = 3 可解得： 可解得：β = 3. 5. 设 f ( x) =
1+ x , 则 y (10) (0) = ( ). 1− x 1 1 − 1+ x 2 − (1 − x) 即得： = = 2(1 − x) 2 − (1 − x) 2 即得： 解 由 f ( x) = 1− x 1− x 1 1 1 1 1 1 f (10) (0) = 2( − )( − − 1) ⋅⋅⋅ (− − 9) − ( − 1) ⋅⋅⋅ ( − 9) 2 2 2 2 2 2 2 ×19!! 17!! 39 × 17!! = + 10 = . 10 10 2 2 2
北京大学数学分析考研试题及解答
1 2判断无穷积分1解 根据不等式|sinusin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x xsin x sin x从而 (s in (叱)叱)dx绝对收敛，因而收敛,1x x sin x再根据1〒dx 是条件收敛的，丄 sin xsin x sin x sin x 由 sin( ) (sin( )) xx x xsin x 可知积分sin( )dx 收敛，且易知是是条件收敛的。
1x2x 例5339设巳(x)1 x2!nx，X m 是P ?m 1(x) 0的实根,n!求证：x m 0，且 lim x mmN ，当 x 0 时，有 F 2m 1( x) 0 ；又 P>m 1 (x) F 2m (x) 0，F 2m1(x)严格递增，所以根唯一，X m 0。
任意 x ( ,0)， lim F n (x) e x 0，所以 F 2m1(x)的根 X mn因为若m 时，Rm1(x)0的根，X m 不趋向于则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m kX 。
，( X 。
为某有限数M )；0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。
KK(1)n例、设a n ln(1右)，讨论级数a n 的收敛性。
n Pn 21 .3 .u| |u | ,| u |62 1, 1 sin ,3 1 1 “r 113 ， x L 1, 6 X 6 X 证明(1)任意m当x 0且x 充分大时，有F 2m1(x)0,所以F 2m 1(X )0的根X m 存在, (2)，(m )。
sin(Sin x )dx 的收敛性。
x )；1 2解显然当p 0时，级数 a n 发散;n 2x ln(1 x)1 lim- x 0 11 X 2xlim 1 丄x 02 1 x故此时 a n 条件收敛。
n 2北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
2009年北京大学自主招生考试数学试题及解答
2009年北京大学自主招生考试数学试题第一题：已知圆的内接四边形ABCD，其中AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆的半径。
第二题：已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为数列中的一项。
第三题：是否存在实数x，使tanx+3与cotx+3为有理数？第四题：已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值第五题：某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，问不及格和优秀的人数哪个多？2009年北京大学自主招生考试数学试题参考解答若a+b非零，除过来就矛盾了。
所以必有a+b=0，此时ab+2也是0.显然与a，b是有理数矛盾。
第四题：acosx+bcos2x>=-1b=0的时候可知得有|a|≤1此时a+b≤1.下面考虑b不等于0的情况。
代入+1和-1后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有b≥-1)对称轴的位置是x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候那么1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|.分类讨论后就可以得出b≤1/3此时a+b≤b+1+b≤5/3.若对称轴在[-1,1]内，则可得a^2≤8（b-b^2) (2)这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有(1)式也成立。
此时用柯西不等式(a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4那么就有了a+b≤2.等号成立的充要条件是a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的.比较三种情况，显然2是a+b的最大值第五题：设优秀有a人，及格b人，不及格c人。
则a+b+c=333 ①6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于）即6a+4b≤1000即3a+2b≤500由①得2a+2b=666-2c即a+666-2c≤500即a+166≤2c若a≥167则这167人至少共解出167*6=1002道题，矛盾故a≤166故a+166≤166+166≤2c即c≥166所以c≥166≥a即不及格的人数大于等于优秀的人数。
考研数学一真题解析 2009
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。
选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。
选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。
北京大学2009年数学分析试题及解答
因此 又因为 故
∫A
∫A
f (x) dx
1
dx
⩾
A2 ,
A
A f (x)
4
2
2
1 A2
∫A f (x) dx
0
⩾
1 A2
∫A
f (x) dx
A 2
⩾
1
4
∫
A
A
f
(x)
dx
,
2
∫A
lim
f (x) dx = 0,
A→+∞ A
2
lim
A→+∞
1 A2
∫A
0
f (x)
dx
=
+∞.
注 此题与北京大学 2011 年数学分析第 9 题本质上相同.
SN (x)
=
a0 2
+
∑ N an
cos nx
+ bn
sin nx,
lim SN (x) = g(x).
N →+∞
n=1
则
lim σn(x)
n→+∞
=
1 n
∑ n−1 Sk(x)
=
g(x),
k=0
由 Fejér 定理, {σn(x)} 一致收敛于 f (x), 故
因此
lim σn(x) = f (x),
n→∞
hn = c − an > 0, F (c − hn) > m, 同时 F (c + hn) ⩽ m, 于是 F (c + hn) − F (c − hn) < 0, 故 D+F (c) ⩽ 0.
3
下面来证明原命题.
∀ε > 0, F (x) = f (x)+εx 在 (a, b) 上应该单调不减. 事实上, 若前一句话不成立, 则 ∃x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2, 但 F (x1) > F (x2). 由上面证得的引理, ∃ξ ∈ (x1, x2), 使得 D+F (ξ) ⩽ 0. 而 D+F (ξ) = D+f (ξ) + ε > 0, 矛 盾.
北京大学数学科学学院【数学分析 I】课程习题集(参考 谢惠民 数学分析习题课讲义)
或任意 n ≥ N 有 则仍有矛盾. 从而 c = 1.
1 ∈ (c − ϵ, c + ϵ) .
an
解. 取 M > 1 使得
[
]
1
a1, a2 ∈
,M M
.
则归纳易知任意
n
有
an
∈
[
1 M
,
M ],
从而
α = lim sup an, β = lim inf an
n→∞
n→∞
均为正数, 且 α ≥ β. 又从两个方向分别导出不等式, 可得出 αβ = 1. 取 {ank }∞ k=1 收敛于 α, 易证
4
证明. 只须证 α < c < β 的情形. 找 p1 < q1 < p2 < q2 < · · · 使得
xpl > c > xqm (l = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . .). 又存在 pj ≤ rj < qj (j = 1, 2, . . .) 使得
此时
xrj ≥ c ≥ xrj+1.
lim
k→∞
ank −1
=
lim
k→∞
ank −2
=
β.
而 2
ank−3 = ank−1 − ank−2 (nk > 3).
左式关于 k 的上极限不大于 α, 但右式关于 k 的极限为 2α − β > α, 矛盾.
问题 4 (08 上期中). 设 {an}∞ n=1 为单调递增的正整数列. 证明: 数列
cn = max(bn+1, bn) (n = 1, 2, . . .).
则 {cn}∞ n=1 不增且有下界, 故其下确界 c 为其极限值 (显然 c ≥ 1), 从而任 意 ϵ > 0, 存在 N 使得任意 n ≥ N 有
2009年北京大学数学分析真题解答
2009年北大数学分析试题解答随笔1. 证明有限闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值.北大第一题继续延续着考察实数系基本定理的习惯, 本题也是一个定理, 方法很多. 设[(]),C f a x b ∈, 因为有限闭区间上的连续函数必有界, 因而必有上确界, 记为M . 假设()f x M <恒成立, 令1()()g x M f x =−, 则()[,]g x C a b ∈. 它也有上确界, 记为K .代入可知1()f x M K≤−这与M 是上确界的假设矛盾! 因而存在[,],()c a b f c M ∈=.即最大值可以取到. 同理可证, 最小值也能取到.2. 设(),()f x g x 分别是\上的有界一致连续函数, 证明()()f x g x 在\上的一致连续.北大07年考过一道类似的题, 本题稍微有些变化, 但大体方法相同. 证明不难, 设M 为 (),()f x g x 的公共上界, 再考虑下面的三角不等式关系|()()()()||()()()()||()()()()|f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ′′′′′′′′′′′′′′′′′′−≤−+− |()()||()()|M g x g x M f x f x ′′′′′′≤−+−, 由此立得结论.3. 设()f x 是周期为2π的连续函数, 且其Fourier 级数 01co in 2s s n n n nx b a a nx ∞=++∑处处收敛, 证明这个Fourier 级数处处收敛到()f x .要想证明本题需要知道下面两个结论: (大家可以试着自己证明下)(1) 记Fourier 级数的前k 项和为(,)k S f x , 算数平均能和为01(,)(,)1nk k n S f x f x n σ==+∑, 该和式称为"费耶和". 水平比较高的教材上一般都会有如下的"费耶定理":设[(]),f C x ππ∈−, 则其费耶和(,)n f x σ在[,]ππ−上一致收敛到()f x .(2) 下面的求和法一般统称1C −求和法: 对数列{}n a , 令011n m n m c a n ==+∑. 一个重要的结果是: 如果数列{}n a 收敛, lim n n a a →∞=, 则lim n n a c →∞=.有了上面两个结论不难得出本题结论.4. 设{},{}n n a b 都是有界数列, 且满足12n n n a b a ++=. 若lim n n b →∞存在, 证明lim n n a →∞也存在.下面的"上下极限法"也许是最简单的证明了. 许多书上在数列上下极限相应章节一般有如下结论: 数列{},{}n n u v 中, n v 收敛. 则有lim()lim lim n n n n u v v +=+, lim()lim lim n n n n u v u v +=+ 以及lim lim n n u u =−.有了上面的关系就好办了,记lim ,lim ,lim n n n a a b b βα===. 因为{},{}n n a b 都是有界数列, 所以,,b αβ都是有限的. 由已知条件得, 12n n n a a b +=−+ (1)(1)式两边取上极限, 得 2b βα=−+. (1)式两边取下极限, 得 2b αβ=−+ 联立上面两式得 αβ=. 故lim n n a →∞也存在.5. 是否存在连续可导函数():f x →\\满足: ()0f x >且()(())f x f f x ′=, 说明理由. 答案是不存在, 解题关键在于−∞这块上. 假设存在满足题意的函数. 首先, 由()0f x >且()(())f x f f x ′=可知函数是严格单调递增的. 其次, 记lim ()x f x A →−∞=(为一有限数), 则0A ≥且lim ()()0x f x f A →−∞′=>.又由()(())f x f f x ′=知()f x ′也是严格递增的, 所以()(0)0limlim ()x x f x f f xξ→−∞→−∞−′== (0ξ<随x 变化而变化)这就与inf ()lim ()()0x f x f x f A →−∞′′==>矛盾!6. 已知函数()f x 是[0,)+∞上的单调连续函数, 且lim ()0x f x →+∞=. 证明:lim()sin 0n f x nxdx +∞→∞=∫.一般教材上都有如下的Riemann 定理: 设()f x 在有限闭区间[,]a b 上Riemann 可积, 则lim()sin 0ba n f x nxdx →∞=∫. 该定理是Fourier 级数理论中的一个基本定理, 这里直接引用.任取正数A 及n ∀∈`, 有sin 2Anxdx ≤∫. 又()f x 是[0,)+∞上的单调连续函数, 及lim ()0x f x →+∞=, 由狄利克雷判别法知积分()sin f x nxdx +∞∫对n 一致收敛.往下采用如下估计即可:()sin ()sin ()sin 0AAf x nxdx f x nxdx f x nxdx +∞+∞≤+→∫∫∫.7. 计算曲线积分()()()L y z dx z x dy x y dz −+−+−∫ ,其中曲线L 是球面2221y x z ++=与222(1)(()141)y x z ++−−=−的交线, 方向从z 轴正向看是逆时针.一道经典的工科题. 本题需借助一下几何直观, 想象下两球相交, 交线是应该在在一个平面上. 将两球面方程相减得到交线所在平面方程 0:x y z π++=. 注意到曲线L 在平面π上, 因此在L 上仍有z x y =−−成立. 记曲线0L 为曲线L 在平面xoy 上的投影. 将z x y =−−代入, 则()()()3L L y z dx z x dy x y dz ydx xdy −+−+−=−∫∫ (下面利用格林公式)66D Sdxdy =−=−=−∫∫∫∫. 这里的计算有点小技巧, 由几何直观0:x y z π++=与球面2221y x z ++=的交线是以原点为圆心,半径为1的圆. 求面积0D 时不要蛮算, 要利用它是那个圆盘在xoy 面上投影这个条件.8. 设,,0x y z ≥, x y z π++=, 试求2cos 3cos 4cos x y z ++的最大值和最小值. 这其实是一道典型工科题, 思路很清晰,关键的困难在计算技巧上. 先消去z 化为无条件极值问题, 则2cos 3cos 4cos 2cos 3cos 4cos():(,)x y z x y x y f x y ++=+−+=, 其中定义域为{(,)|0,,0}D x y x y x y ππ=≤≤≤+≤是一个有界闭区域.求解思路很清晰, 先求边界上的最大值, 再求内部驻点的函数值. 最后放到一起一比较, 找出整体最大值和最小值.(1) 边界情况比较简单, 容易求出边界上最大值为5, 最小值为1. (2) 内部驻点值: 令(,)4sin()2sin 0(,)4sin()3sin 0x yx y x y x f x y x y y f =⎧+−==+−=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 这是一个超越方程, 看起来也貌似没有整齐的解, 打击求解的信心.三角几何不分家, 从哪里来回哪里去. 容易看出上面方程若有解, 则均为正数(内部驻点).考虑一个三角形, 其内角分别为,,x y z , 相应的对边为,,a b c . 结合上面的方程组以及传说中的"正弦定理" :sin()sin sin c b ax y y x==+有如下关系, 2,34a c b c ==. 令6a t =, 则4,3b t c t ==. 再由传说中的"余弦定理"算得112943cos ,cos ,cos 243648x y z =−== 对应的驻点函数值为: 11294361234524364812−×+×+×=>.放到一起比较结果就显然了, 最大值是6112, 最小值是1.9. 设()f x 在(,)a b 上连续且对任意(,)x a b ∈都有0()()lim0h f x h f x h h →++−−≥证明()f x 在(,)a b 上单调不减.为叙述方便, 引入一个算子D 满足: 0()()()lim h f x h f x h Df x h →++−−=.易知若()f x 可导, 则()2()Df x f x ′=.先证明一个十分有用的引理:设函数()[,]F x C αβ∈, 满足()()F F αβ>, 则存在(,)c αβ∈, 使得()0DF c ≤. 我们选取m 满足()()F m F βα<<. 考虑如下集合:{[,]|()}A x a b F x m =∈> 由()F x 的连续性知A 非空. 取sup c A =, 则 c αβ<<.由sup c A =定义知, 当(,]x c β∈时()F x m ≤. 又由点集A 的定义知上确界是极限点, 因此存在n a A ∈, n a c →. 令n n h c a =−, 则0n h →+及()n F c h m −>. 当n 充分大时有, ()n F c h m −>且()n F c h m +≤成立即()()0n n F c h F c h +−−≤. 由下极限的最小性不难推出 ()0DF c ≤.说了半天可以回到原题了, 假设()f x 在(,)a b 上非单调不减, 则存在a b αβ<<<满足 ()()f f αβ>. 直接应用引理貌似会遇到"等号的困难". 所以我们要插入一个介值k 来加强证明. 选择这样一个正数k , 使得函数()()F x f x kx =+, [,]x αβ∈, 满足()()F F αβ>.显然只需满足()()0f f k αββα−<<−就可以了. 然后对()()F x f x kx =+应用引理, 知在(,)c αβ∈, 使得()0DF c ≤. 进而有()20Df c k ≤−<, 与已知条件矛盾!10. 已知()f x 是[0,)+∞上正的连续函数, 且满足01()dx f x +∞<+∞∫. 证明: 201lim ()AA f x dx A→+∞=+∞∫.由柯西不等式可知202222111()()4()()A A A A A A A A dx f x dx f x dx dx f x f x ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜≤=≤⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎠⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫∫∫ 即 22111()4()AA A f x dx dx f x A ⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎟⎜⎜≤⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎝⎠⎜⎟⎜⎝⎠∫∫. 再注意到210,()AAdx A f x →→+∞∫, 所以21lim ()AA f x dx A →+∞=+∞∫.。
2009年高考北京数学（理科）试题及参考答案
2009年高考北京数学（理科）试题及参考答案教学工作总结2012年上学期一学期以来，我校的教学工作在区教研室的指导下，在中心学校的领导下，经过全体师生的共同努力，学校教学工作始终以全面推进素质教育和打造特色教育的精品为目标，以实施课程改革和提升教育质量为中心，深化教育科研，加强队伍建设，狠抓教育管理，开展了一系列教学活动，取得了一些成绩，现总结如下。
一、加强理论学习，转变教育观念。
开学以来，通过组织教师认真学习区局2012年教学工作会议精神，使教师深刻地理解了教学质量的内涵，形成了抓质量的共识，增强了抓质量的紧迫感和责任感，并切实认识到了课堂教学质量与课程改革是统一的，二者之间并不矛盾：首先，课程改革的根本目的就是为学生的终身发展服务，其次，随着课程改革的不断深入和命题方向的不断改进，试卷检测无疑仍然是衡量教学质量优劣的主要手段。
实践证明，综合素质好的学生往往科学文化素质也很好，在考试的时候也往往能考出较好的成绩，而综合素质差的学生则相反。
通过以上工作的开展。
使我校教师真正形成了质量意识，大家心往一处想，力往一处使，努力提高教学质量，目前已取得了初步成效。
二、加强教师培训、提高教师素质教师是文化的继承者和传播者，是课程改革的具体实施者，师资队伍的水平直接影响到教学质量的提高。
近年来，我校在确保抓好教师业务学习的同时，还切实加强了对教师的培训工作，积极选拔教师参加各级各类培训。
学校还建立了以校为本的教研制度，使教师更新了教育理念，充实了理论知识，激发了创新热情，提升了教育教学水平。
三、坚持质量立校，提高办学效益教学工作是学校的中心工作，教学质量的高低是衡量一所学校办学水平的重要标尺。
近年来，我校坚持以课改为中心，不断加大研讨力度和对教学工作的全程管理，以学会求知为目标，积极探索，大胆实践，努力构建精细化的管理模式，确保了管理行为的准确有效和管理效力的无处不在。
1、加强对备课的指导。
备好课是上好课的前提。
2009年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．807．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．6488．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为．11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=，∠F1PF2的大小为．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；a2014=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．2009年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选：B．【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】11：计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），即∥且与反向，排除C，故选：D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A．B．1C．D．【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4=41+29，∴a=41，b=29，a+b=70．故选：C．【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选：B．【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；16：压轴题；2：创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1）x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解，∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）=．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】7C：简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．【考点】3I：奇函数、偶函数；62：导数及其几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= 2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2；120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1]．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．（5分）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014= 0．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】16：压轴题．=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，【分析】由a4n﹣3第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，∴a2014=0，故答案为：1，0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 【分析】的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a 不知道，所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A ﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时，∠AEP=90°，故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ02468P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．18．（13分）设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e kx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0），若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（I）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=1，c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵，且=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]=+[4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A．（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明：a1=1，且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．【考点】8B：数列的应用．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义；32：分类讨论．【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；（Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，a n}具有性质P，∴a n a n与中至少有一个属于A，由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n（k=2，3，4，…，n），故a k a n∉A（k=2，3，4，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．又∵＜＜…＜＜，∴，，…，，从而++…++=a1+a2+…+a n，∴且；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，有，，即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴，∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．。
2009年北京大学自主招生考试数学试题和参考答案
2009年北京大学自主招生考试数学试题解答题：（共5小题，每题20分，共100分）1．（本题20分）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为1,2,3AB BC CD ===，4DA =，求四边形ABCD 外接圆的半径．2．（本题20分）已知一个无穷正项等差数列中有三项分别是13，25，41，汪明：这个数列中有一项等于2009．3．（本题20分）是否存在实数x ，使得tan x cot x4．（本题20分）已知对任意实数x 有cos cos 21a x b x +-≥，求a b +的最大值．5．（本题20分）在一次考试中333个同学共答对了1000道题．至多答对3题者为不及格，至少答对6题者为优秀，已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同．成绩不及格者和成绩优秀者人数哪个多？2009年北京大学自主招生考试试题参考答案解答题（本大题共100分）1．[解答]设DAB θ∠=，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DCB πθ∠=-． 由余弦定理，得()222222cos 2cos BD AB AD AB AD CD CB CB CD θπθ=+-=+--， 即178cos 1312cos θθ-=+，解得1cos ,5DB θ== 又由正弦定理，得四边形ABCD的外接圆半径2sin 24DB R θ==． 2．[解答]设等差数列{}n a 的公差为d ，13p a =，25q a =，41r a =．依题意，0d >．且p q r <<，p 、q 、r ∈N *．由()()12,28,q p d r p d -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得37q p r p -=-． 设()3,7q p k k N r p k*-=⎧∈⎨-=⎩，解得3,7q p k r p k =+⎧⎨=+⎩且4kd =． 又因为2009-13＝1996＝499kd ．所以数列的第499p k +项，4994992009p k p a a kd +=+=．即这个数列中有一项等于2009．3．[解答]假设存在实数x，使tan ,cot x p x q ==，其中p q Q ∈、．则(tan cot 1p q x x ==，即)31pq p q ++=． 若0p q +≠2pq Q p q +=∈+，矛盾． 若0p q +=，则tan cot tan cot 1,x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩即tan cot x x 、是方程210t ++=的两根．解得tan x =tan x =tan x Q 矛盾． 综上所述，不存在实数x，使得tan xcot x4．[解答]取23x π=，得11122a b ---≥，即2a b +≤． 下面证明当42,33a b ==时，不等式cos cos 21a x b x +-≥对一切x R ∈恒成立．因为24cos cos 21cos 2cos 133a xb x x x ++=++ 2212cos 2cos 32x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ()212cos 103x =+≥ 恒成立，所以()max 2a b +=．[评注] 在题设条件下，用类似的方法可求()min a b +．取0x =，得1a b +-≥，令41,55a b =-=-，则 ()()224123cos cos 2cos 2cos 1cos 15555a xb x x x x +=---=-++ 83155-+=-≥， 所以()min 1a b +=-．5．[解答]设不及格的有x 人，优秀的有y 人，则x ＋y ≤333．因为不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同，所以这333个人至少答对了()643331y x y +--+道题，否则所有人答对0、4或6道题，矛盾．()643331133342y x y x y +--+=-+()133333332100033x y y x y ---+=-+≥，即1000331000x y -+≤． 等号成立当且仅当,333,x y x y =⎧⎨+=⎩即3332x y ==，不符合实际情况． 所以1000331000x y -+<．推出x y >．所以成绩不及格者比成绩优秀者多．。
2009年高考北京数学(理科)试题及参考答案
8病
疾病 1君之病在肌肤，不治将益深 困苦，困乏 2向吾不为斯役，则久已病矣 3不如舜，不如周公，吾之病也 毛病，缺点 4范宣子为政，诸侯之币重，郑 担心，忧虑 人病之 损害 5夫粜，二十病农，九十病末 推导提示：“病”原义为“重病”，取 责备、羞辱 6今人乃以俭相诟病 其比喻义为“缺点、毛病”；得了重病 就会感到“困苦”并为之“担心、忧 虑”。
21
30过
经过，通过 1雷霆乍惊，宫车过也 2彼所将中国人不过十五六万 超过 胜过 3一出门，裘马过世家焉 过分，过于 4以其境过清 错误，过失 5则知明而行无过矣 责备 6闻大王有意督过之 访问 7今公子故过之 推导提示：“过”的本义是“走过、经 到，到来 8一日，大母过余曰 过”“走过”别人自然就是“超过”了别人， 做事“超过”太多会变成“过分”，物极必 反，事情做得“过分”容易出现“过错”， 出错当然就会“责备”
7
10朝
1朝服衣冠 zhāo 早晨 2相如每朝时，常称病 上朝 3强国请服，弱国入朝 朝见，朝拜 4于是入朝见威王 朝廷 5两朝开济老臣心 朝代 6期年不听朝 朝政 推导提示：“朝”本义为“早晨”，读 7坐南朝北 对、向 zhāo；古代臣在早晨需拜见君主，故有 “朝见”之义；由“朝见”而有“朝廷、 朝代”之义；“朝见”其使动义即为“使 朝见”。
18
23复
返回，回来 1昭王南征而不复 2更若役，复若赋，则何如 恢复 再，又 3明年复攻赵，杀二万人 重复 4山重水复疑无路 回答 5王辞而不复 报复 6有北面复匈奴之志 免除赋税徭役 7沛幸得复，丰未得复 8复之以掌，虚若无物 “覆”，遮盖，盖 推导提示：“复”的本义是“回来”“返 上 回”。故又引申“回复”（话回来）“报复” （行为的回来）“还原”（返回不就是回到原 处？）。虚化为副词即为“再、又”。
北京大学1996-2009历年数学分析_考研真题试题
∫
b
a
f ( x) d x]2 ≤ (b − a ) ∫ f 2 ( x) d x 。
a
b
π −x
2
。
2.证明它的 Fourier 级数在 (0, 2π ) 内每一点上收敛于 f ( x) 。
北京大学 2001 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim
a 2n 。 n →∞ 1 + a 2 n
f ( n ) ( x) 在 [ a, b ] 上一致收敛于 φ ( x)(n → +∞) ，求证： φ ( x) = ce x ， c 为常数。
四、 （15 分）设 xn > 0(= n 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim xn = a ，用 ε − N 语言证明： lim
n →+∞
n →+∞
xn = a 。
北京大学 2002 年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 一、 （10 分）求极限： lim(
x →0 1 sin x 1−cos ) x。 x
二、 （10 分）设 α ≥ 0 ， = x1 并求极限值。
2 + a ， xn= +1
2 + xn ，= n 1, 2, ⋅⋅⋅ ，证明极限 lim xn 存在
五、 （15 分）求第二型曲面积分
∫∫ ( x d y d z + cos y d z d x + d x d y) ，其中 3; z 2 = 1 的外侧。
六、 （20 分）设 x = f (u , v) ， y = g (u , v) ，w = w( x, y ) 有二阶连续偏导数，满足
x→a + x →b −
09级数学分析(1)试题(A卷)参考答案
09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。
Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。
2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。
解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。
？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。
解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。
北京大学2009年高等代数与解析几何试题及解答
2. (法一) 设
∏s f (x) = (x − xi)ni ,
i=1
其中 x1, x2, . . . , xs 为互不相同的实数, 则
f ′(x) ∑s =
ni
,
f (x) i=1 x − xi
2. (10 分) 设多项式 f (x) 的所有复根都是实数, 证明: 如果 a 是 f (x) 的导数 f ′(x) 的重根，则 a 也是 f (x) 的 根.
3. (10 分) 设 S 为 n 阶实对称矩阵, S1, S2 都是 m 阶实对称矩阵, 证明: 若准对角矩阵
(
)(
)
S0 与 S0
0 S1
12. (13 分) 给出空间中半径为 1 的球面 S 和到球心距离为 2 的一点 P, 考虑过 P 点且与 S 相交的任一条直 线, 取两个交点的中点, 用解析几何的方法证明这些中点的轨迹在一个球面上, 并求出球心和半径.
2
1. 如果一个向量组除去零向量后所剩的向量组线性无关, 则该向量组的极大线性无关部分组是唯一的.
dim W = dim im B = dim U − dim ker B = p − r(AB) − (p − r(B)) = r(B) − r(AB).
0 S2
合同, 则 S1 与 S2 合同.
4. (15 分) 解方程组
x+y+z = 2
(x
−
y)2 + (y x2y2z
− +
z)2 + x2yz2
(z +
− x)2 xy2z2
北京市高考数学试卷(理科)及解析
2009年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算。
专题：计算题。
分析：按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．解答：解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B点评：本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2、（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（）A、k=1且c与d同向B、k=1且c与d反向C、k=﹣1且c与d同向D、k=﹣1且c与d反向考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。
分析：根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．解答：解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），显然，与不平行，排除A、B．若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣+=﹣（﹣1，1），即∥且与反向，排除C，故选D．点评：本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3、（2009•北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（）A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C、向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度考点：对数函数的图像与性质。
分析：先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．解答：解：∵，∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度故选C．点评：本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4、（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A、B、1C、D、考点：直线与平面平行的性质。
普通高等学校招生全国统一考试数学理(北京卷,解析版)
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（北京卷，解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵(12)22z i i i i i =+=+=-+，∴复数z 所对应的点为()2,1-，故选B.2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg 10x y x -=--=.故应选C.4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 （ ）A ．3B ．1C 【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查. 依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan60BB ︒=⨯= D.5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1c o s 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈， 或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(5123450123455555551CCC CC C=+++++1202041=+++=+由已知，得41a +=+412970a b +=+=.故选C.7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648 【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A =⨯=（个）， 当0不排在末位时，有111488488256A A A ⋅⋅=⨯⨯=（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B. 8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1A m n P x x -， 则()2,22B m x n x ---， ∵2,A B y x =在上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩（第8题解答图）消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1） ∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。