第3讲 平面设计2-2

道路平面线形三要素的基本组成是：直线-回旋线 -圆曲线-回旋线-直线。 (1)几何元素的计算公式： 回旋线终点处内移值：
p Y R(1 cos ) Ls 2 Ls 4 24R 2384R 3 (m)

回旋线终点处曲率圆圆心x坐标： q X R cos 0
Ls Ls 3 2 240R 2

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（四）带有缓和曲线的平曲线现场敷设

①用切线支距法敷设回旋线公式：
l5 l5 x 1 1 4 40 A 40 R 2 L2 S
l3 l7 l3 l7 y 2 6 3 3 6 A 336 A 6 RLS 336 R LS
l——回旋线上任意点m至缓和曲线终点的 弧长（m）。
l3 l7 l 11 l3 l7 2 6 10 2 6 6 A 336 A 42240 A 6 A 336 A
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回旋线终点坐标计算公式：

在回旋线终点处，l = Ls，r = R，A2 = RLs
Ls 5 Ls 9 X Ls 4 8 40 A 3456 A Ls 3 Ls 5 Ls 3 Ls Ls 2 4 40 R 3456 R 40 R 2
Ls 3 Ls 7 Ls 11 Y 2 6 10 6A 336 A 42240 A Ls 2 Ls 4 Ls 6 Ls 2 Ls 4 3 5 6R 336 R 42240 R 6R 336 R 3

回旋线终点的半径方向与Y轴夹角β0计算公式 ： Ls Ls 0 2 2A 2R 跳转到第一页
回旋线的基本公式为： rl=A2 (rl=C) ——极坐标方程式
式中：r——回旋线上某点的曲率半径（m）； l——回旋线上某点到原点的曲线长（m）；
A——回旋线的参数。A表征回旋线曲率变化的 缓急程度。
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1. 回旋线的参数值A的确定： 回旋线的应用范围： 缓和曲线起点：回旋线的起点，l=0，r=∞；
=kω t
(rad)
设汽车前后轮轴距为d，前轮转动后，汽车的行 驶轨迹曲线半径为

d d d r tgφ kt
汽车以v（m／s）等速行驶，经时间t以后，其行驶 距离（弧长）为l：

d l=vt (m) t kω r vd vd 1 vd l . C kω kω r r kω
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例题：

已知平原区某二级公路有一弯道，偏角α 右 =15°28′30″，半径R=250m，缓和曲线长度Ls=70m， JD=K2+536.48。 要求：（1）计算曲线主点里程桩号； （2）计算曲线上每隔25m整桩号切线支距值。 解：（1）曲线要素计算： Ls 2 70 2
24 R 24 250 Ls Ls 3 70 70 3 q 34.996 2 2 2 240 R 2 240 250 p 0.340
3 5 7 dy sinβ dl (β )dl 3! 5! 7! l2 1 l2 3 1 l2 5 1 l2 7 [ 2 - ( 2) ( 2) ( 2 ) ]dl 2A 6 2A 120 2 A 5040 2 A
l2 l6 l 10 l 14 ( 2 )dl 4 10 14 2 A 48 A 3840 A 5040 128 A

外距：
E (R p) sec R 2
(m)

校正值：J = 2T - L
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(三)主点桩里程推算：
以交点里程桩号 为起算点： ZH = JD – T

HY = ZH + Ls QZ = ZH + L/2 YH = HZ – Ls

HZ = ZH + L JD=QZ-J/2

HY QZ HZ YH

= = = =
ZH ZH ZH HZ
+ + + –
Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915 L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942 L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969 Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
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当l=0时，=0。 对l·dl=A2·d积分得：
l A 2 2

2
l , 2 A2
2
式中：——回旋线上任一点的半径方向与Y轴的夹 角。 对回旋线微分方程组中的dx、dy积分时，可 把cos、sin用泰勒级数展开，然后用代入β 表 达式，再进行积分。
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（3）计算曲线上每隔25m整桩号的切线支距值：

列表计算曲线25m整桩号：ZH= K2+419.915 K2+425 K2+450 K2+475 K2+500 … 平曲线切线支距计算表
计算切线支距
桩
号
l
0
ZH+419.915
K2+425 K2+450 ……
HY+489.915
5.085 30.085 70 10.085 35.085
第四节

缓和曲线
一、缓和曲线的作用与性质 （一）缓和曲线的作用 1．曲率连续变化，便于车辆行驶 2．离心加速度逐渐变化，旅客感觉舒适 3．超高横坡度逐渐变化，行车更加平稳 4．与圆曲线配合得当，增加线形美观
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超高横坡度逐渐变化，行车更加平稳
为抵消车辆在曲线 路段上行驶时所 产生的离心力， 在该路段横断面 上设置的外侧高 于内侧的单向横 坡，称为超高。 目的：提高行车的 安全性和舒适性 。 范围： ZY～YZ 或 HY～YH
缓和曲线 xS yS 0 0 5.085 0.000 30.085 0.108
69.976
φ m(°)
圆曲线 xC
yC
1.361 4.3053 6.6926 80.038
104.922
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K2+500 K2+525 ……
2.033 4.428
计算切线支距值：

（1）LCZ=K2+425（缓和曲线段）， ZH=K2+419.915 l=2425-2419.915=5.085

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②切线支距法敷设带有回旋线的圆曲线公式：
x=q+Rsinm y=p+R(1-cosm) (m)

R(1-cosφ )
(m) 2lm Ls ) 式中： m m 0 28 .6479 ( R O lm—— 圆 曲 线 上 任 意点m至缓和曲线终点 β0 的弧长（m）； β0 δ
缓和曲线终点：回旋线某一点，l＝Ls，r＝R。
则 RLs=A2，即回旋线的参数值为： A RLs
Y
O
Ls
X
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1. 回旋线的参数值A的确定： 回旋线的应用范围： 缓和曲线起点：回旋线的起点，l=0，r=∞；
缓和曲线终点：回旋线某一点，l＝Ls，r＝R。
则 RLs=A2，即回旋线的参数值为： A RLs 缓和曲线的曲率变化：

2
R (250 0.340 ) sec

2
250 5.865
J=2T-L=2×116.565-232.054=1.077
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（2）主点里程桩号计算：
以交点里程桩号为起算点：JD = K2+536.48 ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915
2lm Ls 2 10.085 70 m m 0 28.6479 ( ) 28.9479 ( ) 4.3053 R 250 x=q+Rsin =34.996+250sin4.3053=80.038(m) m

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（1）曲线要素计算：
T ( R p)tg

2
q (250 0.340 )tg
15.2830 34.996 116 .565 2
L

180
R Ls

180
15.2830 250 70 232 .054
E ( R p) sec

（二）回旋线的几何要素
1. 回旋线上任意点P的要素计算公式 l2 基本公式：r· l=A2， 2

2A
A l 任意点P处的曲率半径： r l 2

2
A 2
P点的回旋线长度：
A2 l A 2 2r r

P点的半径方向与Y轴的夹角
l2 l A2 2 2 2r 2r 2A
直线
缓和曲线
圆曲线
缓和曲线
直线
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2. 直角坐标方程表达式
回旋线微分方程为： dl = r ·d dx = dl ·cos dy = dl ·sin

由微分方程推导回旋 线的直角坐标方程： 2 以rl=A 代入得：

A dl dβ l

2
o
回旋线起点切线
或l·dl = A2·dβ

回旋线终点处半径方向与Y轴的夹角 ：
Ls Ls Ls 0 28.6479 (度） 2 2R R 2A
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(1)几何元素的计算公式：

切线长：
T (R p) tg q 2 (m)

曲线长：
L ( 2 0 ) R 2Ls 180 ( m) ( m) R Ls 180
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（二）缓和曲线的性质
汽车等速行驶，司机匀速转动方向盘时，汽车的行 驶轨迹： 当方向盘转动角度为时，前轮相应转动角度为， 它们之间的关系为： =k ；
其中，是在t时间后方向 盘转动的角度， =t ；
汽车前轮的转向角为
φ

d 轨迹曲率半径：r tgφ
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C l r
汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的 弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，这一性质与 跳转到第一页 数学上的回旋线正好相符。

二、缓和曲线的数学表达式

（一）回旋线的数学表达式
回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线。 我国《标准》规定缓和曲线采用回旋线。


dx，dy的展开：
2 4 6 dx cosβ dl (1 )dl 2! 4! 6! 1 l2 2 1 l2 4 1 l2 6 [1 - ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ]dl 2 2A 24 2 A 720 2 A l4 l8 l 12 (1 4 )dl 8 12 8 A 384 A 720 64 A
()
HZ
αm——lm 所 对 应 的 圆心角（rad）。Leabharlann φR YH y M
lm m R
ZH
p
HY Rsinφ x
αn
n
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q
（三）回旋线的相似性



回旋线的曲率是连续变化的，而且其曲率的变化 与曲线长度的变化呈线性关系。 可以认为回旋线的形状只有一种，只需改变参数A 就能得到不同大小的回旋曲线。 A相当于回旋线的放大系数，回旋线的这种相似性 对于简化其几何要素的计算和编制曲线表很有用 处。
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P点曲率圆的内移值：
p = y + rcosβ r
P点曲率圆圆心M点的 坐标： xm = x – rsinβ
p


ym = r + p P点的弦长： y a sin P点弦偏角：

y arctg x 3
(rad)
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2．有缓和曲线的道路平曲线几何元素：
l5 l5 5.085 x 1 1 1 5.085 4 2 2 2 2 40 A 40 R LS 40 250 70

l3 l3 5.085 3 y 0.000 2 6A 6 RLS 6 250 70 （2）LCZ=K2+500 ， HY=K2+489.915 （圆曲线段） lm=2500-2489.915=10.085
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对dx、dy分别进行积分：
x dx cos dl l4 l8 (1 4 )dl 8 8 A 384 A l5 l9 l5 l 1 4 8 40 A 3456 A 40 A4
y dy sin dl
l2 l6 l 10 ( 2 )dl 4 10 2 A 48 A 3840 A