解方程与不等式错误例析
一元二次函数、方程和不等式常见典型考题赏析
ʏ徐文晖相等关系与不等关系是高中数学最近的数量关系㊂本章的学习重点是利用二次函数㊁方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题,从而进一步体会用函数观点解题的思想方法㊂下面就一元二次函数㊁方程和不等式问题的常见题型举例分析,供大家学习与提高㊂题型一:作差(商)法比较大小作差法适用于整式形式的代数式的比较大小问题,是解决比较大小问题的基本方法㊂作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题㊂例1已知a,b为正数,且aʂb,比较a3+b3与a2b+a b2的大小㊂解:(a3+b3)-(a2b+a b2)=a3+b3-a2b-a b2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)㊂因为a>0,b>0,且aʂb,所以(a-b)2>0,a+b>0,所以(a3+b3)-(a2b+ a b2)>0,即a3+b3>a2b+a b2㊂题型二:利用不等式的基本性质判断命题的真假解答这类问题的关键是熟练掌握不等式的基本性质,灵活应用不等式的基本性质㊂例2若a,b,c为实数,判断下列命题的真假㊂(1)若a>b,则a c<b c㊂(2)若a>b,a bʂ0,则1a<1b㊂(3)若a<b<0,则a2>a b>b2㊂(4)若c>a>b>0,则a c a>b c b㊂解:(1)因为c可以是正数㊁负数或零,不等式两边都乘c,所以a c与b c的大小关系不确定,即此命题是假命题㊂(2)当a>0>b,a bʂ0时,1a<1b不成立,如a=5,b=-5,这时15>-15,此命题是假命题㊂(3)由a<b<0,a<0得a2>a b,由a< b<0,b<0得a b>b2,所以a2>a b>b2,此命题是真命题㊂(4)因为a>b>0,所以-a<-b,所以c-a<c-b㊂又c>a>b>0,所以1(c-a)(c-b)>0㊂不等式c-a<c-b两边同乘以1(c-a)(c-b),可得1c-a>1c-b> 0㊂又因为a>b>0,所以a c-a>b c-b,此命题是真命题㊂题型三:利用不等式的性质求参数的取值范围利用不等式的性质求参数取值范围时,一要注意题设中的条件,二要正确使用不等式的性质㊂切忌想当然,以免出现错误,如两个不等式相减,不等式两边同乘(或除以)一个实数,会导致错误结果㊂例3已知10<a<30,15<b<20,则3a-b的取值范围是()㊂A.(10,50)B.(10,75)C.(15,50)D.(-10,50)解:依题意可得,30<3a<90,-20< -b<-15,所以10<3a-b<75,所以3a-b 的取值范围是(10,75)㊂应选B㊂题型四:对基本不等式的理解在理解基本不等式时,要从形式到内涵中理解,特别要关注条件㊂运用基本不等式比较大小时,要注意不等式成立的条件:a+ bȡ2a b成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a =b ;a 2+b 2ȡ2a b 成立的条件是a ,b ɪR ,等号成立的条件是a =b ㊂例4 给出下列三种说法:①∀a ,b ɪR ,都有-a 2+b 22ɤa b ɤa 2+b22,②∀a ,b ɪR ,都有4a b ɤ(a +b )2ɤ2(a 2+b 2),③不等式b a +abȡ2成立的充要条件是a >0,b >0㊂其中说法正确的序号是㊂解:∀a ,b ɪR ,都有(a -b )2ȡ0,(a +b )2ȡ0,{据此可得a 2+b 2ȡ2a b ,a 2+b 2ȡ-2a b ,{所以-a 2+b22ɤa b ɤa 2+b 22,①正确㊂2(a 2+b 2)=(a 2+b 2)+(a 2+b 2)ȡ(a 2+b 2)+2a b =(a +b )2,(a +b )2=a 2+b 2+2a b ȡ2a b +2a b =4a b ,②正确㊂b a +a b ȡ2成立的充要条件是ba >0,③错误㊂答案为①②㊂题型五:利用基本不等式证明不等式观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项㊁变形㊁配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式㊂当已知条件中含有1 时,要注意 1 的代换,同时要时刻注意等号能否取到的情况㊂例5 已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =1㊂求证:1a-1()1b-1()1c-1()ȡ8㊂证明:因为a ,b ,c 都是正数,a +b +c =1,所以1a -1=1-a a =b +c a ȡ2b ca㊂同理可得,1b -1ȡ2a c b ,1c -1ȡ2a bc ㊂上述三个不等式两边均为正,分别相乘得1a-1()1b-1()1c-1()ȡ2b c a ㊃2a c b ㊃2a b c =8,当且仅当a =b =c =13时等号成立㊂故原式成立㊂题型六:解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的三个注意点:若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论;若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论;若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论㊂例6 解关于x 的不等式x 2-a x -2a 2<0(a ɪR )㊂解:原不等式转化为(x -2a )(x +a )<0,对应的一元二次方程的根为x 1=2a ,x 2=-a ㊂①当a >0时,x 1>x 2,原不等式的解集为{x |-a <x <2a };②当a =0时,原不等式化为x 2<0,即原不等式的解集为⌀;③当a <0时,x 1<x 2,原不等式的解集为{x |2a <x <-a }㊂综上所述,当a >0时,原不等式的解集为{x |-a <x <2a };当a =0时,原不等式的解集为⌀;当a <0时,原不等式的解集为{x |2a <x <-a }㊂题型七:三个 二次 关系的应用一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)的解集的端点值是一元二次方程a x 2+b x +c =0的根,也是二次函数y =a x 2+b x +c 的图像与x 轴交点的横坐标㊂二次函数y =a x 2+b x +c (a ʂ0)的图像在x 轴上方的部分,是由不等式a x 2+b x +c >0的x 值构成的;图像在x 轴下方的部分,是由不等式a x 2+b x +c <0的x 值构成的㊂三个 二次 之间相互依存㊁相互转化㊂例7 若不等式a x 2+b x +c ȡ0的解集是x -13ɤx ɤ2{},求不等式c x 2+b x +a <0的解集㊂解:由a x 2+b x +c ȡ0的解集是x-13ɤx ɤ2{)知a <0,且2,-13为方程a x 2+b x +c =0的两个根,所以-b a =53,c a =-23,所以b =-53a ,c =-23a ㊂所以不等式c x 2+b x +a <0可化为-23a ()x 2+-53a ()x +a <0,即2a x 2+5a x -3a >0㊂又a <0,所以2x 2+5x -3<0,所以所求不等式的解集为x -3<x <12{}㊂题型八:简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零㊂对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项,再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的不等式,然后用上述方法求解㊂例8 不等式3-x2x +5>0的解集是㊂解:由3-x 2x +5>0,可得x -32x +5<0,所以(x -3)(2x +5)<0,解得-52<x <3,所以不等式3-x 2x +5>0的解集是x -52<x <3{}㊂题型九:高次不等式的解法高次不等式的求解方法:因式分解(分式化整),数轴标根(依序排列),穿针引线(奇穿偶回),写出解集㊂例9 求解下列分式不等式㊂(1)x (x -1)x +2>0㊂(2)x 2-3x -4x 2-1ɤ0㊂(3)4x -1ɤx -1㊂解:(1)原不等式可化为x (x -1)(x +2)>0,根据穿针引线可得解集为{x |-2<x <0或x >1}㊂(2)由不等式x 2-3x -4x 2-1ɤ0,可得(x +1)2(x -1)(x -4)ɤ0,x 2-1ʂ0,{根据穿针引线可得解集为{x |1<x ɤ4}㊂(3)原不等式可化为4x -1-(x -1)ɤ0,化简整理可得(x -3)(x +1)x -1ȡ0,所以(x +1)(x -1)(x -3)ȡ0,x -1ʂ0,{根据穿针引线可得解集为{x |-1ɤx <1或x ȡ3}㊂题型十:一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定区间上全部在x 轴上方,一元二次不等式恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定区间上全部在x 轴下方,从而确定x 的取值范围,进而求出参数㊂解决恒成立问题,一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数㊂例10 已知函数y =x 2+2a x +4,如果对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ2},y <0恒成立,则实数a 的取值范围是㊂解:已知函数y =x 2+2a x +4,可知图像开口向上㊂因为存在y <0,所以Δ>0,即4a 2-16>0,所以a >2或a <-2㊂画出函数y =x 2+2a x +4的大致图像,如图1所示㊂图1令y =x 2+2a x +4=0,解得x 1=-a +a 2-4,x 2=-a -a 2-4㊂只有当x 1>2,x 2<1时,可以保证:当1ɤx ɤ2时,y <0恒成立㊂所以-a +a 2-4>2,-a -a 2-4<1,{化简得4a +8<0,2a +5>0,{解得a <-2,a >-52㊂{由上可得,-52<a <-2,即所求实数a ɪ-52,-2()㊂1.若a >0,且a ʂ7,则( )㊂A .77a a <7a a7B .77a a =7a a 7C .77a a >7a a7D .77a a 与7a a 7的大小不确定提示:77a a 7a a 7=77-a a a -7=7a()7-a,当a >7时,0<7a <1,7-a <0,则7a()7-a>1,可得77a a >7a a 7;当0<a <7时,7a>1,7-a >0,则7a()7-a>1,可得77a a >7aa 7㊂综上可得,77a a >7a a 7㊂应选C ㊂2.已知-12ɤx <y ɤ12,试求x -y 3的取值范围㊂提示:因为-12ɤx <y ɤ12,所以-16ɤx 3<16,-16<y 3ɤ16,所以-16ɤ-y 3<16,所以-13ɤx -y 3<13㊂又因为x <y ,所以x -y 3<0㊂故-13ɤx -y 3<0㊂3.关于x 的不等式(1+m )x 2+m x +m <x 2+1对x ɪR 恒成立,求实数m 的取值范围㊂提示:原不等式等价于m x 2+m x +m -1<0对x ɪR 恒成立㊂当m =0时,显然不等式对x ɪR 恒成立㊂当m ʂ0时,由题意可得m <0,Δ=m 2-4m (m -1)<0,{化简整理可得m <0,3m 2-4m >0,{解得m <0,m <0或m >43,{所以m <0㊂综上可得m ɤ0,即所求实数m ɪ(-ɕ,0]㊂4.某小微企业为新能源汽车生产厂家提供配件,其中一种配件的投入成本为100元/件,出厂价为120元/件,年销售量为10000件㊂本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本㊂若每件配件投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x ㊂设年利润=(出厂价-投入成本)ˑ年销售量㊂(1)写出本年度预计的年利润y (元)与投入成本增加的比例x 的关系式㊂(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内㊂提示:(1)依题意得y =[120(1+0.75x )-100(1+x )]ˑ10000ˑ(1+0.6x )=10000(-6x 2+2x +20),所以所求关系式为y =10000(-6x 2+2x +20)(0<x <1)㊂(2)依题意得10000(-6x 2+2x +20)>(120-100)ˑ10000,化简得3x 2-x <0,解得0<x <13㊂所以投入成本增加的比例x 的范围是0<x <13㊂5.某物流公司购买了一块长A M =30m ,宽A N =20m 的矩形地块,计划建设如图2所示的矩形A B C D 仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C 在地块对角线MN 上,B ,D 分别在边A M ,A N 上,设A B的长度为x m ㊂图2(1)求矩形A B C D 的面积S 关于x 的函数解析式㊂(2)要使仓库A B C D 的占地面积不少于144m 2,A B 的长度应在什么范围内提示:(1)依题意得,әN D C 与әN A M相似,所以D C A M =N D N A ,即x 30=20-A D20,解得A D =20-23x ㊂所以矩形A B C D 的面积S 关于x 的函数解析式为S =20x -23x 2(0<x <30)㊂(2)要使仓库A B C D 的占地面积不少于144m 2,则20x -23x 2ȡ144,化简得x 2-30x +216ɤ0,解得12ɤx ɤ18㊂所以A B 的长度应不小于12m 且不大于18m ㊂作者单位:江西省永丰县永丰中学(责任编辑 郭正华)。
方程(组 )与不等式(组)：解方程(组)中的常见错误例析
角 函数 等 ） 的结合 ， 加强建模训 练． 要 掌握 常 用 的 等 量 关 系 ， 学会 找 出 实 际 问 题 中 的 不 等 关 系． 对 于 日常 生 活 中 的 实 际 问题 ， 要 认 真 审题 ， 读 懂题 意 ， 巧 设 未知 数 ， 列 出方程 （ 组） 或
不等式（ 组） 来解决．
一
【 点评 】 解分 式方 程 的基本 思想是 “ 转
化 ” ． 通 过 去 分 母 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 以解 分 式 方 程 一 定 要 验 根 ．
、
审 题 不 细
例１ （ ２ ０ １ ２・ 湖 北天 门） 关 于 的 方 程 方 程 求 解 ． 但 转化 时有 可 能产 生增 根 ． 所
用 因 式 分 解 法 【 点评 】 方 程 似 ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ＝ ０ 不 一 定 是 一 元 注 意 正 数 的 平 方 根 有 两 个 ：
二 次方 程 ． 因 此 遇 到 这 类 问 题 常 常 需 要 分 解 方 程 不 能 在 方 程 的 两 边 同 时 除 以 含 未 类讨论 ． 知 数 的代 数 式 ． 否则 会失 根 ： 增 根 易剔 除 ，
方 程 的解 为ｘ ｌ ＝ ２ ＝ ４ ．
二 次方程 ． 所 以 ｍ— ｌ 可 以为０ ． 事 实上 ． ｍ＝ １ 此 由直 接 开平 方 法 得 ： 一 ３ ＝ ± ｌ ， ． ・ ． Ｘ ｌ ＝ ２ ， ｘ ２ ＝ ４ ．
【 点评 】 用直 接 开平方 法解方 程 时 ， 要
知识点的结合 ， 多做 些探 索性 试 题 ． ４ ． 要 重 视 数 形 结合 思 想 的 应 用 ， 灵 活 应 用数 轴 来确 定 不 等 式 （ 组） 的解集 ， 并 能 逆 向
初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编及答案解析
初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编及答案解析一、选择题1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 【答案】B 【解析】 【分析】设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设小李每小时走x 千米，依题意得：1515112x x -=+ 故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．2．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】解方程2311a x x x --=--，得： 12a x +=，∵分式方程的解为正数，∴1a+>0，即a>-1，又1x≠，∴12a+≠1，a≠1，∴a>-1且a≠1，∵关于y的不等式组21142y a yy a->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，∴a-1<y≤8-2a，即a-1<8-2a，解得：a<3，综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，故选：B．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．3．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）A．60045025x x=-B．60045025x x=-C．60045025x x=+D．60045025x x=+【答案】C【解析】【分析】原计划平均每天生产x个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，∴60045025x x=+，故选：C.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.4．已知关于x的分式方程12111mx x--=--的解是正数，则m的取值范围是()A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3D．m＞5且m≠6【解析】【详解】方程两边同时乘以x-1得，1-m-（x-1）+2=0，解得x=4-m．∵x为正数，∴4-m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4-m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选A．5．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（）A．60(125%)6060x x⨯+-=B．6060(125%)60x x⨯+-=C．606060(125%)x x-=+D．606060(125%)x x-=+【答案】D【解析】【分析】设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x+公里，根据题意即可列出分式方程.【详解】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x+公里，依题意得：606060(125%)x x-=+．故选：D．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.6．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝21ab a-．若x⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（）A．1 B．13C．﹣1 D．-13【答案】A 【解析】【详解】解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21121x x x-=-， 解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．300072004030x x -=+ B ．720030004030x x -=+ C ．720030004030x x -=+ D ．300072004030x x-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：720030004030x x -=+ 故选：C 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．8．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】 【分析】甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100 x x10=-.故选A.9．方程10020x+＝6020x-的解为（）A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 mx，则可列方程为( )A．50004000100051.2x x x=+-B．50001000400051.2x x x+=+C．50004000100051.2x x x-=+D．50001000400051.2x x x-=+【答案】D【解析】【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得，50001000400051.2x x x-=+，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．11．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（）A．300300201.2x x-=B．300300201.260x x=-C．300300201.260x x x-=+D．3002030060 1.2x x-=【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时300x小时，实际用了3001.2x小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．【详解】设原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，由题意得：3002030060 1.2x x-=，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．12．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.A．900900213x x⨯=+-B．900900213x x=⨯+-C．900900213x x⨯=-+D．900900213x x=⨯++【答案】A【解析】【分析】设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，∵快马的速度是慢马的2倍，∴900900213 x x⨯=+-，故选：A.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.13．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．14．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4【答案】D【解析】【详解】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．15．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x 千米/时，则下面所列方程正确的为( )A ．5x ＋16＝52x B ．5x ＝52x ＋16C ．5x＋10＝52x D ．5x－10＝52x【答案】B 【解析】 【分析】设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程． 【详解】设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，由题意得,5x ＝52x ＋16所以答案为B. 【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.16．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．60048040x x=- B ．60048040x x =+ C ．60048040x x =+ D ．60048040x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ． 【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．17．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -，因为分式方程的解为正数，所以43a -＞0且43a -≠4， 解得：a ＜3且a≠2，解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，∵不等式组有解， ∴a+7＞1， 解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为： |-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16， 故选：C ． 【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．18．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+D ．302510180(%)x x-=+【答案】A 【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．19．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 【答案】D【解析】【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.。
方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析
方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编附答案解析一、选择题1．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 把不等式x ＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．【详解】在数轴上表示不等式x ＜2的解集故选：A ．【点睛】本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣12B ．x ＞﹣12C ．x ＜12D ．x ＞12 【答案】A【解析】【分析】 根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集.【详解】 解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜13， ∴0m <，0n <，3m n =，∴0m n +<，解不等式()m n x n m >-+， ∴n m x m n-<+，∴3132n m n n x m n n n --<==-++； 故选：A.【点睛】 本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.3．若关于x 的不等式6234x x a x x +<+⎧⎪⎨+>⎪⎩有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．15＜a ≤18B ．5＜a ≤6C ．15≤a ＜18D ．15≤a ≤18【答案】A【解析】【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可．【详解】 解不等式组得：23x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩，即2＜x ＜3a ， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5，∴5＜3a ≤6， 解得：15＜a≤18，故选：A ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键．4．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -= ∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．5．若不等式组0,122x a x x -≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a≥－1C ．a≤1D ．a ＜1 【答案】D【解析】【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a 的取值范围是a ＜1．【详解】解：0122x a x x -≥⎧⎨->-⎩①②， 由①得：x≥a ，由②得：x ＜1，∵不等式组有解，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．6．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．7．不等式组1240x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：1240x x >⎧⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为1＜x≤2， 在数轴上表示为：，故选A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.8．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b>,一定能推出a b >的有() A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．【详解】解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．9．若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x 分钟，则列出的不等式为（ ）A ．21090(18)2100x x +-≥B ．90210(18)2100x x +-≤C ．21090(18) 2.1x x +-≤D ．21090(18) 2.1x x +->【答案】A【解析】设至少要跑x 分钟，根据“18分钟走的路程≥2100米”可得不等式：210x+90（18–x ）≥2100，故选A ．10．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 【答案】D【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a ≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．一元一次不等式组2(3)40113x x x +-⎧⎪+⎨>-⎪⎩…的最大整数解是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】解出两个不等式的解，再求出两个不等式的解集，即可求出最大整数解；【详解】 ()2340113x x x ⎧+-⎪⎨+>-⎪⎩①②… 由①得到：2x+6-4≥0，∴x ≥-1，由②得到：x+1＞3x-3，∴x ＜2，∴-1≤x ＜2，∴最大整数解是1，故选C ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．12．若m －n ＞0，则下列各式中一定正确的是（ ）A ．m ＞nB ．mn ＞0C ．0m n <D ．－m ＞－n【答案】A【解析】∵m －n ＞0，∴m ＞n （不等式的基本性质1）.故选A.13．下列不等式变形正确的是（ ）A ．由a b >，得ac bc >B ．由a b >，得2ax bc >C ．由a b >，得ac bc <D ．由a b >，得a c b c ->-【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】A ． 若a b >，当c ＞0时才能得ac bc >，故错误；B ． 若a b >，但2,x c 值不确定，不一定得2ax bc >，故错；C ． 若a b >，但c 大小不确定，不一定得ac bc <，故错；D ． 若a b >，则a c b c ->-，故正确．故选：D【点睛】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14．如果关于x 的分式方程有负数解，且关于y 的不等式组无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B【分析】解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组，可整理得∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而关于x的分式方程有负数解∴a﹣4＜0∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为0．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．15．如果不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，m的取值范围为（）A．m＜4 B．m≥4C．m≤4D．无法确定【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组中第一个不等式的解集，根据不等式组的解集确定出m的范围即可．【详解】解不等式﹣x+2＜x﹣6得：x＞4，由不等式组26x xx m-+<-⎧⎨>⎩的解集为x＞4，得到m≤4，【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．16．不等式x ﹣2＞的解集是（ ） A ．x ＜﹣5B ．x ＞﹣5C ．x ＞5D ．x ＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x ﹣8＞6x +2，移项、合并同类项，得：﹣2x ＞10，系数化为1，得：x ＜﹣5．故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．17．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a≥3 【答案】A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可． 【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解， ∴a ﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．44m n >C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n【答案】B【解析】将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．【详解】A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；B、将m＞n两边都除以4得：m n44>，此选项正确；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，故选B．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a≥2D．a≤2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可．【详解】∵不等式组232x ax a+⎧⎨-⎩＞＜无解，∴a+2≥3a﹣2，解得：a≤2．故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键．。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
解方程常见错误例析
解方程常见错误例析
人们在学习数学时所面对的一个重要问题就是如何解方程，而解方程时常会出现许多错误，今天就来系统分析一下解方程常见的错误。
一、理解错误
解方程的过程中，解题者首先要做的就是仔细阅读方程的内容，很多人会遗漏重要的信息，或者把不必要的信息当作重要信息，这样会导致对方程的理解出现偏差，从而出现解题错误。
二、求解步骤错误
在求解方程步骤上，最常见的错误就是在正确的公式上出现算法错误，这类错误可能是由于计算步骤出现了差错，比如顺序不对等等。
三、答案处理错误
许多时候，人们会在得出结果后直接把结果写入到方程中，而没有进行严格的检验，而在检验的过程中，如果答案并不是符合方程的要求，则表明可能答案存在错误。
四、解法不够全面
有时候，解法也会出现错误，比如解法不够完整，没有把所有可能的情况都解出来，或者在使用解法的过程中有缺失，这样也会导致答案出现错误。
解方程的过程中，人们经常会出现各种各样的错误，比如理解错误、求解步骤错误、答案处理错误、解法不够全面等，有时候，这些错误可能会直接导致解方程的失败，所以在解题的过程中，解题者一定要仔细对照，勤加思考，才能把问题解决好。
总之，解方程时，解题者需要仔细阅读题目，准确理解所涉及到的所有信息，正确选定求解方法，警惕可能出现的各种错误，细心检查，贯彻落实，方可事半功倍、较少出错，才能有效求解得出正确答案。
中考数学复习指导：分式方程常见错解例析
分式方程常见错解例析求解分式方程，通常要经历去分母、去括号、移项、合并同类项、检验增根等重要的运算过程，因此，它比求解整式方程更容易出现这样或者那样的错误，为帮助同学们尽快走出解题误区，现将分式方程解题中的几种常见错误分类举例如下，供大家学习和参考.（一）误区一：解方程时忘记验根例1．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.∴原方程的解为.评析：本题最后没有进行验根从而将增根误认为是原方程的根，从而导致解题错误（用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，需要用方程中各个分母的最简公分母去乘方程的两边，如果去分母后所得的解恰好使得最简公分母的值为零，则这个解即为原方程的增根，应该将其舍去）.因此，为避免错误，解分式方程最后必须进行验根.正解：等号两边同乘以，得，去括号，得，解之，得.检验：把代入得.∴是原方程的增根，原方程无解.（二）误区二：解方程时约简漏根例2．解方程：.错解：等号两边通分相减，得，方程两边同除以，得，∴.去括号，得，解之，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在方程两边同除以多项式时失去了根，从而导致解题错误（只有当时，上述解法才成立；而当时，原方程还有一解为）.因此，在没有其它条件约定的情况下，方程两边不能同时除以含未知数的整式.正解：等号两边通分相减，得，去分母，得，移项并整理，得，即：，∴，.经检验，都不是原方程的增根，∴原方程的解为，.（三）误区三：解方程时忽略分母有意义的条件例3．解方程:.错解：等号两边同乘以，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∴原方程的解为全体实数.评析：本题由于没有考虑分式的分母不能为零从而导致解题错误（一个分式有意义的条件是分式的分母不能为零，如果分母为零，则分式就会没有意义）.正解：去分母，得，两边同时减去，得，即等式恒成立且等号两边的值与未知数x的取值无关.∵当时，方程中的分母，此时分式无意义，∴原方程的解为的所有实数.（注意：本题同样可以采用验根的方法来排除这种情况）（四）误区四：去分母时忘记加括号例4．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，移项并合并同类项，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将分式的分子用括号括起来，从而导致解题错误（分式中的分数线本身具有括号作用，去掉分母时就必须把分子中的多项式用括号括起来）.正解：等号两边同乘以，得，去括号并整理，得.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.（五）误区五：去分母时漏乘不含分母的项例5．解方程：.错解：等号两边同乘以，得，即.经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.评析：本题在去分母时没有将等号右边的整数2也乘以最简公分母，从而导致解题错误（在将分式方程去分母转化为整式方程的过程中，方程两边所乘的最简公分母应乘遍等号前后的每一项）.正解：等号两边同乘以，得，解之，得经检验不是原方程的增根，∴原方程的解为.。
解方程中的常见错误例析
分 析 ：一 个 正 数 的 平 方 根 有 两 个 ， 因 此 直 接 开 平 方 应 得 一 ３：５—２ｘ或 一３：一（５—２ｘ）．
解 得 。：２，Ｘ２￣ ８
．
因此方程的解为 ：２，￣２－－ ８ ．
四 、概 念 不 清 例 ４ 如 果 关 于 的一 元 二 次 方 程 ｋ２ｘ 一（２ｋ＋１） ＋１＝Ｏ有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，那 么 ｋ的取 值 范 围是 （ ）．
Ａ． ＞一÷
． ＞一 １且 ≠０
ｃ。 ＜一 １
Ｄ１且Biblioteka ≠ ｏ ≥ 一 ．
错 解 ：由方 程 有 两 个 不 相 等 的实 数 根 ，得 Ａ＞０，
即（２ｋ＋１） 一４ｋ。＞ｏ，解得ｋ＞－寺．选Ａ·
分 析 ： 由 方 程 ｋ２ｘ 一（２ｋ＋１） ＋１＝０是 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ，
奢 试
某 单 位 组 织 员 工 去 天 水 湾 风 景 区旅 游 ，共 支 付 给 春 秋 旅 行 社 旅 游 费 用 ２７ ０００元 ．请 问该 单 位 这 次 共 有 多 少 员 工 去 天 水 湾 风 景 区旅 游 ？
错 解 ：设 该 单 位 共 有 名 员 工 去 天水 湾 风 景 区旅 游 ． 因为 １ ０００￣２５＝２ ５０００＜２７ ０００，所 以 员 工 人 数 一 定 超 过 ２５人 ． 由题 意 可 得 方 程 ［１ ０００—２０（ 一２５）］ｘ＝２７ ０００． 整 理 ，得 Ｘ２－７５ｘ＋１ ３５０＝０，解 得 ：Ｘｌ＝４５，Ｘ２＝３０． 答 ：该 单 位 这 次 共 有 ４５或 ３０名 员 工 去 天 水 湾 风 景 区旅 游 ． 分 析 ：题 目中要 求 人 均 旅 游 费 用 不 得 低 于 ７００元 ，因此 必 须 对 求 出 的 的值 进 行 检 验 ，把 人 均 旅 游 费 用 低 于 ７００元 的舍 去 ．事 实 上 ，当 ＝４５时 ，１ ０００—２０（ 一２５）＝６００＜７００，故 舍 去 ；当 ２＝３０ 时 ，１ ０００—２０（ 一２５）＝９００＞７００，符 合 题 意 ．所 以 该 单 位 共 有 ３０名 员 工 去 天 水 湾 风 景 区 旅 游 ． 八 、人 为取 舍 例 ８ 西 瓜 经 营 户 以 ２元 ／千 克 的 价 格 购 进 一 批 小 型 西 瓜 ，以 ３元 ／千 克 的 价 格 出 售 ，每 天 可 售 出 ２００千 克 ．为 了促 销 ，该 经 营 户 决 定 降 价 销 售 ．经 调 查 发 现 ，这 种 小 型 西 瓜 每 降 价 ０．１元 ／千 克 ，每 天 可 多 售 出 ４０千 克 ．另 外 ，每 天 的 房 租 等 固 定 成 本 共 ２４元 ．该 经 营 户 要 想 每 天 盈 利 ２００元 ，应 将 每 千 克 小 型 西 瓜 的 售 价 降 低 多 少
易错02 方程(组)与不等式(组)(七大易错分析+举一反三+易错题通关)(解析版)
易错02方程（组）与不等式（组）易错点一：遇到括号易出错解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变．例1．解方程．(1)()()3278x x x -=--(2)3157123x x ---=【答案】(1)16x =(2)=5x 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．【详解】（1）()()3278x x x -=--去括号，得3678x x x-=-+移项，得3876x x x --=-+合并同类项，得61x -=-系数化为1，得16x =（2）3157123x x ---=去分母，得()()3312576x x ---=去括号，得9310146x x --+=移项，得9106314x x -=+-合并同类项，得5x -=-系数化为1，得=5x 例2．下列变形正确的是（）A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)33(21)x x --=+B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x --+=C ．由623x x --=移项，得632x x --=D ．由23x =系数化为1，得23x =【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的要求逐项分析即可．【详解】A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)453(21)x x --=+，故不正确，不符合题意；B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x ---=，故不正确，不符合题意；C ．由623x x --=移项，得632x x --=，正确，符合题意；D ．由23x =系数化为1，得32x =，故不正确，不符合题意；故选C ．变式1．解方程：(1)()()2125x x x +=+-；(2)321223x x +--=．【答案】(1)7x =(2)=1x -【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【详解】（1）解：()()2125x x x +=+-，2225x x x +=+-，2252x x x --=--，7x -=-，7x =．（2）解：321223x x +--=，()()3312221x x +-=-，391242x x +-=-，342912x x -=--+，1x -==1x -．变式2．已知关于x 的方程()3312m x m +--=的解是4x =，求m 的值．【答案】m 的值为5【分析】本题主要考查方程的解，把4x =代入方程解关于m 的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键．【详解】解：∵4x =是关于x 的方程()3312m x m +--=的解，∴()33412m m +⨯--=，整理得，392m m +-=，去分母得，1823m m -=+，移项得，2318m m --=-，合并同类项得，315m -=-，系数化为1得，5m =，∴m 的值为5．变式3．（1）解方程：()()3114x x +=-+．（2）下面是小明同学解一元一次方程11124x x +--=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：去分母，得()()2114x x +--=．…………………………………第一步去括号，得2214x x +--=．……………………………………………第二步移项，得2421x x -=-+．………………………………………………第三步合并同类项，得3x =．……………………………………………………第四步任务①第一步的依据是________；②第________步开始出现错误，错误的原因是________；③该方程的正确解为________．【答案】（1）32x =-；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③1x =【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；（2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可．【详解】解：（1）去括号，得3314x x +=--．移项，得3143x x +=--．合并同类项，得46=-x ．方程两边同除以4，得32x =-．（2）①第一步的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；故答案为：二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③去分母，得()()2114x x +--=．去括号，得2214x x +-+=．移项，得2421x x -=--．合并同类项，得1x =．故答案为：1x =．变式4．下面是佳佳作业中一个问题的解答过程：1223x x +-=-解：()()3122x x +=--①3342x x +=--②3234x x +=--③75x =-④(1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）；(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程．【答案】(1)去分母(2)②，过程见解析【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项：（1）由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母；（2）去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程正常解答即可；正确计算是解题的关键．【详解】（1）解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程，∴第①步的变形为去分母，故答案为：去分母；（2）解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变，故答案为：②；正确求解过程如下：1223x x +-=-，去分母得：3(1)2(2)x x +=--，去括号得：3342x x +=-+，移项可得：3243x x -=--，解得：7x =-．1．下列方程变形正确的是（）A ．由41x =-得4x =-B ．由530x +=得53x =-C ．由123x x =+得321x x =+D ．由()214x --=得214x --=【答案】B【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【详解】解：A 、41x =-两边同时除以4，可得到14x =-，原变形错误，该选项不符合题意；B 、530x +=两边同时减去3，可得到53x =-，原变形正确，该选项符合题意；C 、123x x =+每项同时乘以6，可得到326x x =+，原变形错误，该选项不符合题意；D 、()214x --=去括号可得224x -+=，原变形错误，该选项不符合题意；故选：B ．2．小琪解关于x 的方程4234x x k ++-=，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为=1x -，则k 的值为（）A ．133B ．2C ．－1D ．－3【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程即可求解．【详解】解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程得：()()414312k ⨯-+-⨯-+=，解得：133k =，故选：A ．3．佳佳同学解一元一次方程1211124224x x --+=-的过程如下：解：去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=--，第二步移项，得422112x x +=--+，第三步合并同类项，得62x =，第四步系数化为1，得13x =．前四个步骤中，开始出现错误．．的是（）A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号是解本题的关键．【详解】解：1211124224x x --+=-去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=-+，第二步∴出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号；故选：B4．下面是小友同学解方程212134x x -+=-的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：解：去分母，得4(21)13(2)x x -=-+，①去括号，得84136x x -=-+，②移项，得83164x x +=++，③合并同类项，得1111x =，④系数化为1，得1x =，⑤(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；(2)写出正确的解答过程．【答案】(1)①(2)见解析【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；（1）由去分母漏乘可得该同学的解答过程从第①步开始出错；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；【详解】（1）解：该同学的解答过程从第①步开始出错（2）解：212134x x -+=-，去分母，得()()4211232x x -=-+，去括号，得841236x x -=--，移项，得831264x x +=-+，合并同类项，得1110x =，系数化为1，得1011x =．5．解方程(1)()310321-=-x x ；(2)311123x x --=-【答案】(1)73x =-(2)1x =【分析】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解法步骤．（1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可．【详解】（1）解：去括号，得31063-=-x x 移项、合并同类项，得37x -=化系数为1，得73x =-∴原方程的解为73x =-；（2）解：去分母，得()()331621-=--x x 去括号，得93622-=-+x x 移项、合并同类项，得1111x =，化系数为1，得1x =∴原方程的解为1x =．6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+☆，如：213321315=+⨯⨯=☆．(1)求()25-☆的值；(2)若1382a +⎛⎫= ⎪⎝⎭☆，求a 的值；(3)若12x m =☆，12x n =☆（其中x 为有理数），试比较4m 与n 的大小．【答案】(1)5(2)43a =-(3)4m n=【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程：（1）根据新定义可得()()2255225-=+⨯-⨯☆，据此计算即可；（2）根据新定义可得方程2132382a ++⨯⨯=，解方程即可得到答案；（3）根据新定义求出2x x m +=，244x x n +=，再利用作差法求出4m n -的结果即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得()()2255225-=+⨯-⨯☆2520=-5=；（2）解：：由题意得，2132382a ++⨯⨯=，∴()9318a ++=，解得：43a =-；（3）解：根据题意得：2122x x m +⨯=，即2x x m +=，()22212x x n +⨯⋅=，即244x x n+=∴()()2222444444440m n x x x x x x x x -=+-+=+--=，∴4m n =．7．在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．211521346x x x -++-=-解：()()()4213112252x x x --+=-+………………第一步843312104x x x ---=--…………………第二步831012434x x x --=-++………………第三步515x -=……………………………第四步3x =-……………………………第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是；第二步去括号时依据的运算律是；②以上解题过程中从第步开始出现错误，这一步错误的原因是；③请直接写出该方程的正确解：；任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．【答案】任务一：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化（不唯一）．【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；任务二：结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可．【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时10x -没有变号；由()()()4213112252x x x --+=-+，843312104x x x ---=--，831012434x x x -+=-++，1515x =，1x =③该方程的正确解：1x =；故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化易错点二：①忽视二次项系数为0;②解方程易失根一、一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a +≠+=，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根例3．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得00k ∆>≠，，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，∴2(2)4(1)00k k ∆=--⨯->≠，，解得：1k >-且0k ≠；故选：D ．例4．关于方程()()32632x x x +=+的描述，下列说法错误的是（）A ．它是一元二次方程B ．解方程时，方程两边先同时除以()32x +C ．它有两个不相等的实数根D ．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：A 、方程()()32632x x x +=+整理得为2316120x x --=，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；B 、解方程时，方程两边先同时除以()32x +，会漏解，故该说法错误，符合题意；C 、由2316120x x --=得：()()21643124120∆=--⨯⨯-=>，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；D 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：B ．变式1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．()()213x x x --=B ．20ax bx c ++=C ．2210x x --=D ．22350x x +-=【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】解：A 、由()()213x x x --=可得2243x x x -+=即430x -+=，不是一元二次方程，选项错误；B 、20ax bx c ++=形式是一元二次方程，但二次项系数a 没有标注不等于0，选项错误；C 、2210x x --=符合一元二次方程定义．正确．D 、22350x x +-=含有分式，属于分式方程，选项错误．故选：C ．变式2．若关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠【答案】B【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式0∆≥，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，∴()()224280k k k k ∆=---=≥，且20k -≠，解得0k ≥且2k ≠，故选：B变式3．一元二次方程x （x －2）＝2－x 的根是（）A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2【答案】D【分析】先将原方程整理为x 2﹣x ﹣2=0，再利用十字相乘法进行计算即可.【详解】解：x （x －2）＝2－x ，去括号移项得，x 2﹣2x+x ﹣2=0，合并同类项得，x 2﹣x ﹣2=0，∴（x+1）（x ﹣2）=0解得x 1=﹣1，x 2=2.故选D.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的各个方法.变式4．选择适当的方法解方程；(1)()()3121x x x -=-(2)()428x x x -=-【答案】(1)122,13x x ==(2)122,2x x ==【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．（1）用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()3210x x --=320x -=或10x -=解得：122,13x x ==；（2）解：()428x x x -=-2428x x x-=-2420x x +-=2446x x ++=()226x +=2x +=解得：122,2x x ==．1．下列方程中是一元二次方程的是（）A ．2120x x--=B ．2220x xy y -+=C ．()230x -=D ．2256x x x =-+【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】A ．方程2120x x--=是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B ．方程2220x xy y -+=是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C ．方程()230x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意；D ．方程2256x x x =-+是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C ．2．方程220x x -=的解是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =或1x =D ．2x =或0x =【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：220x x -=∴()20x x -=解得10x =，22x =故选D ．【点睛】本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．解一元二次方程()22x x x -=-时，小明得出方程的根是1x =，则被漏掉的一个根是x =．【答案】2【详解】移项得x(x-2)-(x-2)=0，，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2.4．如果方程()22230pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，则P 的值是()A ．2B ．2-C ．2±D ．3【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出222p -=且20p -≠，再求出p 的值即可．【详解】解： 方程22(2)30pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，222p ∴-=且20p -≠，2p ∴=±且2p ≠，即2p =-．故选：B ．5．一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值为．【答案】1-【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解，将0x =代入得出210m -=且10m -≠，求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，∴210m -=且10m -≠，解得1m =-，故答案为：1-．6．解方程：(1)2630x x ++=．(2)2(2)3(2)0x x ++=-．【答案】(1)13x =-，23x =-(2)122,1x x =-=【分析】本题考查了一元二次方程的解法：（1）根据公式法求解一元二次方程；（2）根据因式分解即可求解方程；解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．【详解】（1）解：在2630x x ++=中，1,6,3a b c ===，∴243641324b ac ∆=-=-⨯⨯=，根据622b x a --==，可得13x =-，23x =-（2）解：2(2)3(2)0x x ++=-，提取公因式得()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，∴2010x x +=-=或，解得122,1x x =-=．7．已知关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若方程两根之和为3-，求k 的值.【答案】(1)14k ≤且0k ≠(2)1k =-【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和方程有两个实数根，列式求解即可．（2）本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用12bx x a+=-结合k 的取值范围即可解题．【详解】（1）解：()2222Δ[21]4441441k k k k k k =---=-+-=-+，由题意得0∆≥，即410k -+≥，14k ∴≤，又20k ≠ 即0k ≠，14k ∴≤且0k ≠．（2）解：设该方程两根为1x ，2x ，则12221k x x k +=-，123x x +=- ，2213k k-∴=-，23210k k +-=，解得：113k =，21k =-，由（1）知14k ≤，1k ∴=-，经检验，1k =-是方程2213k k -=-的解且符合题意．易错点三：运用根的判别式时代入错误一、一元二次方程根的判别式:24b ac ∆=-.（1）当240b ac ∆=->时,原方程有两个不等的实数根;（2）当240b ac ∆=-=时,原方程有两个相等的实数根;（3）当240b ac ∆=-<时,原方程没有实数根.二、求根公式：当240b ac -≥时,方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a-=易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定a b c 、、前面的性质符号．例5．解方程：213x x -=．【答案】1x =2x =【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，移项，定系数，判断判别式，代入求根公式即可得到答案；【详解】解：原方程变形得，2310x x --=，∴1a =，3b =-，1c =-，∴2(3)41(1)130=--⨯⨯-=>△，∴(3)3212x --==⨯，∴132x =，232x -=；例6．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，则k 的取值范围为．【答案】1k ≤-/1k-≥【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握240b ac ∆=->方程有两个不相等的实根；240b ac ∆=-=方程有两个相等的实根；240b ac ∆=-<方程无实根的判定方法是解题的关键．根据方程有两个实根，可得0∆≥，由此即可求解．【详解】解：∵一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，∴()()2221430k k ⎡⎤∆=---+≥⎣⎦，整理得，224844120k k k -+--≥，解得，1k ≤-，故答案为：1k ≤-．变式1．一元二次方程244x x -=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：∵244x x -=，∴2440x x --=，∴()()244411616320∆=--⨯-⨯=+=>，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B ．变式2．已知关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根．(1)若1a =时，求方程的根；(2)求a 的取值范围．【答案】(1)122,1x x ==(2)98a <【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法一公式法．（1）将1a =代入原方程，解之即可求出方程的根．（2）根据方程根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；【详解】（1）当1a =时，此时，方程为2320x x -+=，解得：()3,21x --=⨯即122,1x x ==，∴方程的根为122,1x x ==；（2）∵关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根，2(3)420,a ∴∆=--⋅>解得98a <，∴a 的取值范围为98a <；变式3．小明在解方程253x x -=-的过程中出现了错误，其解答如下：解：1a = ，=5b -，3c =-，⋯⋯第一步()()224541337b ac ∴-=--⨯⨯-=，⋯⋯第二步52x ∴=，⋯⋯第三步1x ∴=2x =．⋯⋯第四步(1)问：小明的解答是从第______步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一；(2)正确的解答见解析．【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．（1）先把方程化为一般式，再确定a 、b 、c 的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到1a =，=5b -，3c =，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，故答案为：一；（2）解：方程化为一般式为2530x x -+=，1a =，=5b -，3c =，()224541313b ac ∴-=--⨯⨯=，52x ∴=，152x ∴=，2x 变式4．求证：无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-的关系①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．先根据一元二次方程中a 、b 、c 的值求出∆的值，即可证明．【详解】证明：∵()()234121m m ∆=---⨯⨯--⎡⎤⎣⎦26984m m m =-+++()2112m =++，∴无论m 为何值，∆总大于0，∴无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．1．一元二次方程()225x x +=-的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握0∆>，方程有两个不相等的实数根；Δ0=方程有两个相等的实数根；Δ0<方程没有实数根是解题的关键．化成一般形式，计算方程根的判别式，进而判断即可．【详解】解：∵()225x x +=-2445x x x ++=-2390x x ++=∴2243419270b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，∴方程无实数根．故选：C ．2．已知，O 的半径为一元二次方程22560x x --=的根，圆心O 到直线l 的距离4d =，则直线l 与O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当r d >，直线与圆相交，当r d =，直线与圆相切，当r d <，直线与圆相离，据此即可作答．【详解】解：∵22560x x --=∴1255044x x ==<故O 的半径为54，∵4d =4<∴直线与圆相离故选：C ．3．对于实数a ，b 定义运算“☆”为2a b a a b =-+☆，例如：24544517=-+=☆，则关于x 的方程()221x x -=-☆的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】B 【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵()221x x -=-☆，∴方程为()()22221x x x ---+=-，即2690x x -+=，2Δ436360b ac =-=-=，∴有两个相等的实数根，故选：B ．4．已知关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，那么m ．【答案】2m >-且1m ≠-【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与2Δ4c b a =-有如下关系：当Δ0>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】解：关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，∴()104410m m +≠⎧⎨++>⎩，解得：2m >-且1m ≠-，故答案为：2m >-且1m ≠-．5．解方程：21x x +=．【答案】12x x =【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵21x x +=，∴210x x +-=，()221,1,1,414115a b c b ac ===--=-⨯⨯-=∴x =，解得121122x x --==．6．(1)计算：()0212π122---+-+(2)解方程：27124x x -=【答案】(1) 3.5-+(2)12x =，227x =-【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，对于（1），根据224=，0(1)1π+==1122-=，22=对于（2），先整理，再求出224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，然后根据求根公式求出解即可．【详解】（1）原式14122=--+-+3.5=-+（2）整理，得271240x x --=，由7a =，12b =-，4c =-，∴224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，∴121614x ±==，∴12x =，227x =-．7．已知关于x 的一元二次方程221(1)1mm m x mx --+-=.(1)求m 的值；(2)用公式法解这个方程．【答案】(1)3(2)12141x x ==-，【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；（1）根据一元二次方程的定义可得10m +≠，2212m m --=，解方程，即可求解；（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，10m +≠，2212m m --=，∴2230m m --=，∴()()310m m -+=，∵10m +≠，解得：3m =；（2）解：当3m =时，原方程为24310x x --=，∴4,3,1a b c ==-=-，2491625b ac ∆=-=+=，∴358x ±==，解得：12114x x ==-，．易错点四：忽略检验根的存在分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
解一元一次方程常见错误例析
解一元一次方程常见错误例析方程是初中数学的重要内容,而一元一次方程则是方程家族中最基本、最重要的一员.学好方程对以后的学习有着至关重要的作用.而七年级的同学在初学一元一次方程时,由于没有掌握有关知识点或粗心大意,经常会出现这样或那样的错误,对以后的学习造成很大影响.现就一些常见错误归类剖析如下,希望对同学们的学习能够提供一些帮助.一、解题格式的错误：例1．解方程 x-3=4错解：x-3=4=x=4+3=7 ,错因剖析：几个方程用等号连结起来是初学一元一次方程常见的错误,其原因是对方程的变形不理解；方程的解虽然不变,但变形的方程两边已经不一样了,所以不能连等.二、去分母时的错误1．去分母时漏乘不含分母的项例2. 解方程 131223=+--x x 错解：去分母,得：3(x-3)-2(2x+1)=1,去括号,得：3x-9-4x-2=1,移向,得：3x-4x ＝1+9+2,∴ x=-12.错因剖析：方程两边同乘6时,右边的1漏乘6.这是易犯错误,应引起重视.2．去分母时忽视分数线的括号作用例3.解方程 151126x x ++-= 错解：去分母,得 3x+3-5x+1=6,化简, 得 -2x=2, ∴x=1.错因剖析：这也是一个容易出现的错误.当分子是多项式时,为了避免错误,应将分子添上括号,再运用去括号法则进行运算.正解：去分母,得3（x+1）-(5x+1)=6,去括号,得：3x+3-5x-1=6,解得 x=-2.3.对公分母的概念理解不透,公分母变成了“私分母”例4. 解方程 121615-+=+x x 错解：去分母,得：2（5x+1）=6（x+1）-6．[应该是12]， 去括号,得：10x+2=6x+6-6．，移向,得：10x-6x=6-6-2，解得 x=-12. 错因剖析：不理解何为公分母,将前两项的公分母理解为12,而最后的常数项1的公分母看成了6.例5. 解方程 112[(1)](1)223x x x --=- 错解：去分母,得：3【x-3．(x-1)】=4(x-1), 去小括号,得：3【x-3x+3】=4x-4,去中括号,得：-6x+9=4x-4,解得 x=1.3错因剖析：见分母就乘.对于去分母的基本原理不理解,认为有分母就要”乘”,而实质上,中括号内的是一个整体,中括号内的数字“2”不是此时的公分母,在第一步不可以参加“去分母“.4. 混淆方程变形与去分母例6.解方程 2.15.023.01=+--x x 错解：分子与分母同时扩大10倍,得 10(1)10(2)1235x x -+-= 去分母，得：50(x-1)-30(x+2)=12.解得： x=6.1错因剖析：这里,第一步已经出错：既然是“分子与分母同时扩大10倍”,那么方程右端的1.2，因其分母是1，应化为1210. 第二步：去分母时,应每一项都乘以最简公分母15,12也应乘以15.把分母中的小数化成整数是利用分数的基本性质,不是运用等式的性质．本错解恰恰将二者混淆了.应记住“上下同乘常不乘”.正解：原方程化为 10(1)10(2) 1.235x x -+-= 去分母,得：50(x-1)-30(x+2)=18.解得：x= 6.4例7. 解方程：x x 304.03.02.0=- 错解：原方程变形为：x x 3432=-,解得x=-0.3 错因剖析：错解中同一个分数中的分子、分母扩大的倍数不同.这种解法错误的理解为方程变形就是将小数随心所欲地扩大倍数变成整数.实际上,分数中的小数化为整数时,分子、分母必须同时扩大相同的倍数,才能保证分数值不变.三、去括号时忽视有关法则1.忽视了乘法分配率例8. 解方程: 3(x-1)＝x+1错解：去括号,得：3x-1＝x+1,移向,合并同类项,得：2x=2, ∴x=1.错因剖析：去括号时漏乘了括号内的常数项.利用分配率去括号时,括号外的因数一定要与括号内的各项都相乘.正解：去括号,得3x-3＝x+1,移向,合并同类项,得：2x=4, ∴x=2.2.忽视了去括号法则例9．解方程: 5x-2(x-7)＝-10错解一：去括号,得5x-2x-14＝-10移向得：5x-2x=-10+14,合并同类项,得：3x=4,系数化为1,得：x=4 3 .错因剖析：忽视了去括号法则,当括号前面是负号时,去括号后括号内的各项都要变号.正解：去括号,得：5x-2x+14＝-10移向,得：5x-2x=-10-14,合并同类项,得：3x=-24,系数化为1,得：x=-8.错解二：去括号,得：5x-2x-7＝-10解得：x=-1.错因剖析：该解法同时犯了上面两个错误.四、移项时的错误1.移项时不知道变号例10.解方程5x-(3x-1)＝9错解：去括号,得：5x-3x+1＝9，移向,得：5x-3x＝9+1，解得：x=5.错因剖析:这里犯了移向不变号的错误,有可能是粗心大意,也可能是对”移向变号“这一知识点掌握不好.2.移项不会变号例11.解方程3(x-1)=7-2x错解：去括号,得：3x-3=7-2x，移向,得-2x-3x=-7+3，合并同类项,得-5x=-4, ∴x=4 5 .错因剖析：这里-2x没有变号,反而对-3x进行了变号,对7也进行了变号;把移向与方程一边的各项交换位置产生了混淆,把不需变号的也改变了.原因是对变号的原理与方法理解不透.正解：去括号,得：3x-3=7-2x，移向,得2x+3x=7+3，解得x=2.五、系数化为1时出错1.符号出现错误例12．解方程2x-1=5x-7.错解: 移向,得2x-5x=-7+1,合并同类项,得-3x=-6, 所以x=-2.错因剖析:把方程-3x=-6中x的系数化为1时,两边应除以-3,这里的负号不能漏掉.原因是对有理数的除法掌握不好,或粗心大意所致.正解: 移向,得2x-5x=-7+1,合并同类项,得-3x=-6, 两边同除以-3，得x=2.2.将分子与分母的位置颠倒例13．解方程6x-3(x-1)=5错解：方程化为3x=2,系数化为1，得：x=3 2 .错因剖析：这里在系数化为1时,将分子与分母的位置颠倒,应该是23,而不是32.究其原因,可能有三：（1）缺乏顽强的毅力和谨慎思维的品质,粗心大意,匆忙写完了事；（2）受到方程2x=3的影响,混淆了两个方程；（3）不理解等式的基本性质,方程两边同除以未知数的系数,记成了除以常数项.解决方法：变除为乘,方程两边同乘以x的系数3的倒数1 3 .六、其他错误例14．解关于x的方程：ax-1=1x-a错解：由原方程得：(a-1)x=(1-a),系数化为1,得：x=-1.错因剖析：忽视了系数为0的情形.在方程的两边同除以同一个数时,这个数必须不为0,所以要对a-1的取值进行讨论.正解：由原方程得：(a-1)x=(1-a),(1)若a ≠1,系数化为1,得：x=-1.(2)若a =1,则方程有无数解.例15. 求关于x 的方程2x+5a=17(a 是正整数)的正整数的解. 错解：由原方程得：2517a x -=. 错因剖析：忽略了所求的解必须是正整数这一条件,导致所得解的范围扩大. 正解：∵a 是正整数, ∴ a=1, 2, 3, ……,将a 的值分别代入上式得：x=6, 3.5, 1, ……,但当a=2时,x=3.5,舍去；当a=4,5,……时,x<0,也应舍去；∴a=1, 3, 方程有两个整数解，x=6, x=1.。
解一元一次方程常见错误例析
解一元一次方程常见错误例析解一元一次方程是解其他方程的基础，如何正确迅速的求出方程的解，是初学者迫切需要解决的问题。
初学者往往出现很多错误。
现在就常见错误分析如下：一、方程之间用等号连接。
例一：解方程5x-4=3x+6.错解：5x-4=3x+6=5x-3x=6+4=2x=10=x=5.分析：把方程用等号连接起来一等到底，原因有两种：一种是受解计算题的习惯干扰；另一种是对方程的同解变形不能理解。
从错题中可以看到6=10=5，这显然是错误的。
正解：移项，得：5x-3x=6+4合并同类项，得：2x=10系数化为1，得：x=5.二、去分母时的常见错误。
去分母时，要把方程的两边同时乘以分母的最小公倍数。
这个步骤中常见的错误有：⑴漏乘不含分母的项；⑵去掉分母后分子忘记加括号。
例二：解方程21+x=213-x-1.错解：去分母，得：x+1=3x-1-1（以下略）分析：去分母时，方程的两边都要乘以分母的最小公倍数，初学者可以增加两边同乘以最小公倍数的过程。
正解：去分母，得：x+1=3x-1-2(以下略)例三：解方程312+x-61+x=2错解：去分母，得：4x+2-x+1=12（以下略）分析：分数线有两个功能：一是做除号；二是表示括号。
去掉分母后，分数线不写了，但它的括号作用并没有失去，因此，去分母时，应将分子用括号括上。
正解：去分母，得：2(2x-1)-(x+1)=12(以下略)三、去括号时的常见错误。
去括号时的常见错误有去括号法则用错和运用分配律时出错，主要表现为括号前是“－”的，去掉括号后忘记变号；运用分配律去括号时忘记用括号前的数乘以括号中的每一项。
例四：解方程2(x+3)-(1-x)=3(x-1)错解：去括号，得：2x+3-1-x=3x-1(以下略)分析：去左边的括号和等号右边的括号时违反了分配律，去第二个括号时没有把括号中的每一项都变号。
正解：去括号，得：2x+6-1+x=3x-3(以下略)四、移项时忘记变号。
(文章)二元一次方程组典型错解例析
“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的“消元”思想是解方程组的“法宝”，代入法和加减法则是落实“消元”思想的具体措施，但在具体运用这两种方法对二元一次方程组进行求解时，不少同学都“犯了不该犯的错”：错解一：错代入例1：解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 40y 2x ① 22y x 错误解答： 由①得 x=22-y ③把③代入①得 (22-y) +y=22 ④整理④得 0=0 ⑤⑤是个恒等式，所以这个方程组有无数组任意解。
错解分析：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。
本题中③是由①变形得，因此应把③代入②，而不是把③代入①。
正确解答： 由①得 x=22-y ③把③代入②得 2×(22-y)+y=40 ④解④得 y=4把y=4代入①得 x+4=22 ⑤解⑤得 x=18所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==418y x警示一：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。
错解二：不完整例2：解方程组：⎩⎨⎧==②48y -3x ① y -x 13 错误解答： 由①得 x= 3+y ③把③代入②得 3×(3+y)-8y=14 ④解④得 y=-1所以这个方程组的解是 y=-1 。
错解分析：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
而此例只是求出一个未知数y 的值，没有求出另一个未知数x 的值，所以此题应继续求出另一个未知数x 的值。
正确解答： 由①得 x=y+3 ③把③代入②得 3×(y+3)-8y=14 ④解④得 y=-1把y=-1代入①得 x-(-1)=3 ⑤解⑤得 x=2所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==-1y 2x警示二：求方程组的解时必须求出两个未知数的值，而不应该只是求出一个未知数的值。
不等式及其基本性质易错点剖析
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞ ． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜ ，得5b－a 10 解 7 ＝ ， 2a－b 7
2 5
解一元一次不等式组错解示例
一、误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分． 例 1 解不等式组
x－1＞0，① x＋2＜0．②
错解：由①得 x＞1，由②得 x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1． 错解分析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等 式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部 分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分” （即解集） ．实际上， 这两部分没有“公共部分” ，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的 解是指“两线重叠”的部分．此外，可能会受到解题顺序的影响，把解集表示 成 1＜x＜－2 或－2＜x＞1 等，这些都是错误的． 正解：由①得 x＞1．由②得 x＜－2，所以此不等式组无解．
15 11x , 11x 15 ,
x
15 . 11
错解分析：在第一步的移项中，-4x 移到不等号的右边应注意变为 4x;在第三步
2
的计算中，-11x 与 15 移项后，不等号不应改变方向. 正解： 7x 4x 5 10 ,
3x 15 ,
x 5 .
点拨：在解这类题时，同学们应牢记不等式的基本性质. 五、 去分母时，对不含分母的项处理不当 例 5.解不等式
a＜0， 3 得b 3 所以 ax＞b 的解集是 x＜ ． 5 ＝ ． a 5
解一元一次不等式过程中的常见错误及对策
解一元一次不等式过程中的一些常见错误及对策武穴市百汇学校 徐国纲解一元一次不等式需要同学们具有一定的数学基础和方法技巧，因而同学们在解题过程中常常会出现形形色色的错误，为了帮助同学们走出这些误区，提高解题速度及正确率，现就常见的错误用一些例题剖析如下：一、去分母时，忽视乘以整式项例1、解不等式21321+-+x x ＜. 错解：去分母，得）（＜13)2(21+-+x x ， 即25--＜x ， 所以52＞x . 剖析：本例错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的常数项“1”.正解：去分母，得）（＜13)2(26+-+x x ，即75--＜x ， 所以57＞x . 二、去分母时，忽视分数线的括号作用例2、解不等式41x 232332+---＞x x 错解：去分母，得133123x 8++--x x ＞，即168＞x ，所以2＞x .剖析：去分母时，分数线具有括号的作用，而本题的解题过程中恰好忽视了这一要点.正解：去分母，得1)x 3)32(6)32(4+---（＞x x ， 即2723＞x ， 所以2327＞x . 三、去括号时，忽视括号前的负号例3、解不等式1)41(2)131(35≤+----x x 错解：去括号，得1421x 5≤+---x ，即13-≤x ， 所以31-≤x . 剖析：本例的错误之处有如下两个方面：（1）括号前面是负号，在去括号时没有将括号里的各项都变号；（2）一个数乘以一个多项式时，未将这个数与多项式中的各项都相乘.正解：去括号，得1823x 5≤-++-x ，即99-≤-x ，所以1≥x .四、移项时，忽视改变系数的符号例4、解不等式5x 476-≥-x错解：移项，得7546--≥+x x ，即1210-≥x ， 所以56-≥x . 剖析：解一元一次不等式中的移项和解一元一次方程中的移项是一样的——移项要改变符号！而本例正好是忽略了这一点.正解：移项，得7546+-≥-x x ，即22≥x ，所以1≥x .五、负数系数化为1时，忽视改变不等号的方向例5、解不等式41x 3532++＜x 错解：去分母，得1)3x 53)x 24++（＜（， 去括号，得5x 15128++＜x移项并合并同类项，得77＜－x -，系数化为1，得1＜x .剖析：本题的错误之处是：如果系数是负数，那么系数为1时，不等号的方向应改变。
初中数学关于方程与不等式的解法分析
初中数学关于方程与不等式的解法分析在初中数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们不仅是解决数学问题的有力工具，也是进一步学习高中数学和其他学科的基础。
方程和不等式的解法有其独特的规律和技巧，掌握这些方法对于提高数学解题能力至关重要。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的过程就是找到使等式成立的未知数的值。
初中阶段我们主要学习一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等。
1、一元一次方程一元一次方程的一般形式为＄ax ＋ b ＝ 0$（其中＄a ＼neq 0$），其解法主要是通过移项、合并同类项和系数化为 1 来求解。
例如，对于方程＄3x ＋ 5 ＝ 14$，首先将 5 移到等号右边得到＄3x ＝ 14 5$，即＄3x ＝ 9$，然后将系数 3 化为 1，得到＄x ＝ 3$。
2、二元一次方程组二元一次方程组通常有两种解法：代入消元法和加减消元法。
代入消元法是将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。
比如方程组＄＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y＝ 1\end{cases}＄，由第一个方程可得＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得到＄5 y y ＝ 1$，解得＄y ＝ 2$，再将＄y ＝ 2$ 代入第一个方程可得＄x ＝ 3$。
加减消元法是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数。
例如对于方程组＄＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼ 3x 2y ＝ 7\end{cases}＄，将第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 3，然后相加，可以消去＄y$，从而求得＄x$ 的值，再代入求出＄y$ 的值。
3、一元二次方程一元二次方程的一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中＄a ＼neq 0$），解法有配方法、公式法和因式分解法。
配方法是通过在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式。
小学代数难题整理解析解决方程和不等式问题的技巧
小学代数难题整理解析解决方程和不等式问题的技巧代数是数学中的一个重要分支，也是小学阶段数学学习的重点内容之一。
解决代数题需要具备一定的技巧和方法，特别是在解决方程和不等式问题时更是如此。
本文将针对小学代数难题的整理解析，探讨解决方程和不等式问题的技巧。
一、方程问题的解决技巧1. 分析题目中的条件在解决方程问题之前，我们首先需要仔细分析题目中给出的条件。
这些条件对于我们确定未知数和建立方程式至关重要。
2. 确定未知数和建立方程式根据题目中的条件，我们可以确定未知数的数量和名称，并通过运算建立方程式。
例如，题目中提到某个数量是另外一个数量的两倍，我们可以选择将较小的那个数量作为未知数，并建立方程式2x=y。
3. 运用合适的运算解方程根据方程的性质，我们可以运用加减乘除等运算对方程进行变形操作，使其更易于求解。
例如，对于方程2x=y，我们可以通过除以2，得到x=y/2。
4. 检验解的正确性完成方程的求解后，我们需要将求得的解带入原方程中进行检验。
如果方程成立，则解是正确的，否则需要重新检查运算过程。
二、不等式问题的解决技巧1. 确定不等式的类型不等式问题通常包含大于、小于、大于等于、小于等于等符号。
我们需要根据题目给出的条件确定不等式的类型，并选择合适的方法进行求解。
2. 利用性质进行变形不等式具有传递性，我们可以利用不等式的性质进行变形操作，使其更易于求解。
例如，对于不等式2x+3>7，我们可以通过减去3，并除以2，得到x>2。
3. 注意不等式运算的方向在对不等式进行变形过程中，需要注意变形过程中不等号的变化。
例如，当我们对不等式x-5<10进行加5时，需要将不等号变为大于号，即得到x<15。
4. 绘制数轴或图像对于一些复杂的不等式问题，我们可以通过绘制数轴或图像来帮助理解和解决。
数轴和图像能够直观地呈现不等式的解集。
总结起来，解决方程和不等式问题的技巧是分析题目、确定未知数和建立方程式，运用合适的运算解方程，检验解的正确性，确定不等式的类型，利用性质进行变形，注意不等式运算的方向，以及绘制数轴或图像等。
利用不等式解题的常见误区与改进
利用不等式解题的常见误区与改进作者：马向恺来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第01期由于不等式思想比较抽象，同学们在应用不等式解决问题时，经常会陷入一些误区，比较常见的有以下三大类型。
一、不等式性质应用错误例1已知fx=ax2-c，且-4≤f1≤-1，-1≤f2≤5，试求f3的取值范围。
错解：因f1=a-c，f2=4a-c，于是有-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5①。
由上式加减消元得0≤a≤3，1≤c≤7②。
由于f3=9a-c，所以-7≤f3≤26③。
误区剖析：求解不等式最基本的步骤是进行等价转换，即恒等变形。
以上的解法中从①到②的转换，并不是恒等的。
比如a=-1，c=0可以满足①式，却不在②式的范围中。
正解：由f1=a-c，f2=4a-ca=13f2-f1，-c=43f1-13f2①；从而f3=83f2-53f1②；53≤-53f1≤203，-83≤83f2≤403③；从而-1≤f3≤20④。
改进措施：在进行此类不等式的计算时，应该进行简单的配凑，在要求量与已知条件之间建立等式关系，得到问题的答案。
二、基本不等式应用错误例2已知x、y为正实数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
错解：因2x+8y=xy，故2x+8y≥216xy=8xyxy≥8或xy≤0（舍去），则x+y≥2xy≥16。
误区剖析：错解的解题过程基本正确，但是没有注意到两次使用基本不等式的等号成立条件为2x=8y及x=y，在x与y都是正实数的情况下不可能同时成立，所以最后结果的等号不可能成立。
正解：由2x+8y=xy2y+8x=1，则x+y=x+y8x+2y=10+8yx+2xy≥10+216xyxy=18，當且仅当8yx=2xy且2x+8y-xy=0取到等号，即x=12，y=6时，取到最小值18。
改进措施：在解决此类问题时，不仅要注意使用基本不等式，也要注意“1”的妙用。
三、忽视含参数问题的分类讨论例3解不等式ax2-a2+1x+a错解：ax2-a2+1x+a误区剖析：显然，错解中没有意识到参数对不等式的影响，比如a=0。
不等式解题中易错题剖析
不等式解题中易错题剖析【关键词】数学教学;不等式;易错;问题【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1004―0463（2015）24―0121―01不等式是中学数学的重要内容之一，它渗透到中学数学的很多章节，是解决其他数学问题的有利工具，在生活、生产和科研中有着广泛应用。
但在解决不等式问题时，学生往往“望文生义”，从表面出发，导致解题出现错误。
笔者从学生的作业中发现了一些较为普遍的现象，现将这些题目及相关解答摘录如下，供大家参考和讨论.错因分析：上述解集是对的，粗看起来，其解题过程似乎也是对的.其实不然，由逻辑知识可知，两数（或式）的积小于或等于零，并不一定要求这两数（式）同时异号或为零，而当其中一个因式为零，另一个因式不论是何值，原不等式均成立.这里不妨举一个反例加以说明.若按上述求解过程，解不等式：（x2-4）（x-6）2≤0.仿前解：原不等式？x2-4≤0（x-6）2≥0？圳-2≤x≤2.这个解是错误的.事实上原不等式（x2-4）（x-6）2=0？≠6-2<x<2或x=±2或x=6？（x-6）2<0或（x2-4）-2≤x≤2或x=6.故原不等式的解集为{x|-2≤x≤2或x=6}.纠错：对于含“≥”或“≤”的不等式，一种方法是将其化归为一个严格不等式与一个方程求解，最后求它们的并集得原不等式的解集.当然对于例1，若直接用一元二次不等式解更保险、更严密、更简洁（解题过程略）.例2 解不等式|x|>-2.学生解答：原不等式？圳x>-2或x<2？圳x∈R故原不等式的解集为R.错因分析：上题看似简单，有点脑筋急转弯的味道.上述学生解答是对的，但求解过程是错误的，属机械照搬|x|>a的解集模式所致，这种“机械照搬”一旦形成思维定势和习惯，对以后解题大大不利.纠错：紧扣绝对值的意义，该不等式可化归为不等式组求解，|x|>-2？圳x≥0x≥-2或x≤0-≥x-2？圯x≥0或x<0？圯x∈R由此可知，|x|>a？圯x>a，或x<a中条件a≥0是必须的，而当a<0时，|x|>a的解集一目了然.例3 已知a>0，b>0且a+b>2，学生解答：（用反证法）错因分析：从证明的形式看是用反证法，但实际上只证明了当a=2，b=2时结论成立，而并没有证明对于一切满足a>0，b>0且a+b>2的a、b使得结论成立.从条件的充要性角度分析，已知条件命题中“若a>0，b>0且a+b>2”是中至少有一个小于2的充分条件，根据命题等价性，故用反证法证明时可有如下证明模式：综上所述，学生在不等式解题过程中，从表面出发的现象不少，这些都是没有理解不等式的实质，没有严格遵循概念、定义和逻辑推理.因此，教师在平时教学中，应重视这些问题的分析和总结，让学生明辨是非，这对于消除“成见”、打消思维定势和不良习惯大有裨益.编辑：谢颖丽。
不等式易错题分析
不等式易错题分析(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不等式易错题分析一、解一元二次不等式的易错题（一）、随意消项致误例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥所以31x x ≥≤或原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或解得31x x ≥≤或或x=2所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2（二）、函数不清致误例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。
错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像与x 轴无交点。
故[]2224504(1)43(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩ 解得119m <<即所求m 的取值范围为119m <<剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对245m m +-是否为0的讨论。
正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<，若2450m m +-=时，则m=1或m=5若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立；若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。
所以m 的取值范围为119m ≤<（三）、漏端点致误例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。
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温 馨 小提 示 ： 分 式 方 程 有歌 诀 如 下 ： 解 同乘 最 简公 分 母 ， 成 化 整式写清楚 ， 求得 解 后 需验 根 ， （ ） 原 根 留增 （ ） 别 含 糊 ． 根 舍
五 、 程 两 边 因 同除 以含 有 未 知 数 的 代 数 式 而 失 根 方
例 ５ （ ０ ０年 大兴 安 岭 卷 ）方 程 （ ５ （ ６ ＝ 一 ２１ 一 ） 一 ） ５的解 是
Ａ 加 一 砝 码 曰 的 质 量 等 于 ３个 砝 码 ｃ的质 量 ． 你 判 断 ： 砝 码 Ｉ － 请 １个
Ａ 与 个 砝 码 ｃ的 质 量 相 等 ．
错 解 ： １或 ３ 填 ． 剖 析 ：设 一 个 砝 码 Ａ 的 质 量
为 ， 码 Ｂ 的 质 量 为 Ｙ， 码 Ｃ 砝 砝
域 的 方 向 要 用 对 ， 于 向 右 画 ， 于 向 左 画 ； 实 心 点 ”包 含 这 个 大 小 “
数， “空 心 点 ” 含 这 个 数 ． 不
三、 没有 理解 “ 实 数 根 ” “ 两个 实 数 根 ” 区别 有 与 有 的
例 ３ （ ０ ０年 芜 湖 卷 ） 于 的 方 程 （ — Ｘ－ ｘ ： ２１ 关 ０ ５）２ ４ 一１ ０有 实
）
ｆ ≥ 一 １．
Ａ． ｛
【 ≤ ２．
Ｂ． ｛
【 ＜２．
— — — — — —
ｆ ≥ 一１，
ｆ ＜一 １，
０ —— —Ｌ — — —— ｒ — — — — —— —— — ——● — ＋
Ｃ． ｛
ｌ ≤ ２． ຫໍສະໝຸດ Ｄ． ｛ 【 ≥ ２．
等关 系， 并进 行 推 理 ， 而得 出结 论 ． 从
二 、 有 理 解 数 轴 上 的 实 心 点 与 空心 点 的 区 别 没
例 ２ （ ０ ０年 湘 潭 卷 ） 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 如 图 ３ ２１ 不
所示 ， 该不 等式组可 能为（ 则
ｆ ＞一１．
一
１
０
２
图 ３
错解 ： ． Ｃ
剖 析 ： 空心 点” 示 解集 没有包 括 ～ “ 表 １本 身 ， 等 式 为 ＞ ， 不 一１
“ 心 点 ” 示 解 集 包 括 ２， 等 式 应 该 为 ≤２ 实 表 不 ．正 确 答 案 是 Ａ． 温 馨 小提 示 ： 用数 轴 表 示 不 等 式 的 解 集 需 注 意 两点 ， 示 区 利 表
数 根 ” 分 ａ ０和 ０ 需 ＝ ≠０两种 情 况 讨 论 ．
０ ７ｌ １
四 、 分 式 方 程 时 出现 的 符 号 错 误 解
例４
（ ０ ０年 青 海 卷 ）分 式 方 程 ２ｌ
＋
＝
的 解 为
错 解 ： 程 两 边 同乘 以 （ １ （ 方 ＋ ） 一１ 得 （ １ ＋ （ １ ＝ ． ） — ） ６ ＋ ） ３
的 质 量 为 ， 则 ： ＋ ， ＋ ＝ ｚ两 ｙ ｚ ｘ ｙ ３． 式 相 加 可得 ｘ ２ ， ＝ ｚ 即填 ２ ．
图 １ 图 ２
温 馨 小提 示 ： １或 ３的考 生 ， 可 能 是 没 有 进 行 推 理 而 随 意 填 很
填 的 ．我 们要 善 于利 用 方 程 或 不 等 式表 示 生 活 中的 相 等 关 系或 不
误 归 纳 如 下 ，供 你 复 习 时 参考．
一
、
不 会 利 用 方 程 知 识 进 行数 学 推 理
例 １ （ ０ ０年 威 海 卷 ） 图 １ 在 第 一 个 天 平 上 ， 码 Ａ 的 质 ２１ 如 ， 砝
量 等 于 砝 码 加 上 砝 码 Ｃ的 质 量 ； 图 ２ 在 第 二 个 天 平 上 ， 码 如 ， 砝
僻 方程 与否 等 式锚 误闸 婿
／ 车 勇
方 程 与 不 等 式 是 初 中 数 学 的 基 础 知 识 ，是 解 其 他 问 题 的 工 具 ，也 是 历 年 中 考 的 考 查 重 点 ．现 以
２１ ００年 的 中考 题 为 例 ， 把
解 方 程 与 不 等 式 的 常 见 错
数 根 ， ｎ满 足 （ 则
Ａ．ｎ≥ １
） ．
Ｃ．０≥ １且 ｎ≠５ Ｄ．０≠ ５
Ｂ．ｎ ＞１且 ｎ≠ ５
错 解 ： Ａ． 选
剖 析 ： 于 的方 程 （ 一 ）２ ４ 一 ＝ 关 ｎ ５ ｐ ｘ １ ０有 实 数 根 ， 不 一 定 就 Ｃ 它 是 一 元 二 次 方 程 ， 可 以是 一 元 一 次 方 程 ， 分 类 思 考 ． 还 要
解 得 ＝ ．填 一 ． 一 三
｜ ｜
剖析 ： 为 （ 一 ＝ （ １ ， 因 １ ） 一 一 ） 去分 母 时 ， 第二 项 的符 号 为负 号 ．即 （ １ 一 （ １ ＝ ． 得 ＝ ２ 经 检 验 ， ２是 原 方程 的根 ． 一 ） ６ ＋ ） ３ 解 一． 一 故填 一 ． ２
题 意 ． 以选 Ａ． 所
温 馨 小提 示 ： 元 二 次 方 程 有 实数 根 ， 相 等 的 实数 根 和 不 相 一 有 等 的 实 数 根 两种 情 况 ， 时 △＝ ２ ４ ｅ 此 ６ ａ ≥０， 能 漏 掉 等 号 ． 究 含 不 研
字母 系数 方 程 的 实数 根 时 ， 未 指 明 方程 是 一 元 二 次 方 程 ， 有 实 若 “
一
元二次方程 “ 实数根” 此时 。 ５ 有 ， 一 ≠０， ｂ ａ ≥０， Ａ＝ ２ ｅ ４
虽 ６ ４ ｎ ５） （ １ ≥０ 解 得 ｎ １ 口 ． ｐｌ — （ 一 × 一 ） ． ≥ 且 ≠５
当 。 ５ ０ 即 ａ ５时 ， 方 程 是 一 元 ～ 次 方 程 ， 实 数 根 ， 合 一＝ ， ＝ 原 有 符
（ ） ．
Ａ ＝ ．ｘ ５
Ｂ ｘ ５或 ｘ ６ ．＝ ＝
Ｃ ＝ ．ｘ ７
Ｄ ＝ ．ｘ ５或 ｘ ７ ＝
错解 ： 两边 同 除 以 （ ５ 得 一 ＝１ 所 以 ＝ ． ｃ 一 ） ６ ， ７选 ． 剖 析 ： 程 两 边 同 除 以一 个 不 为 零 的数 ， 是 同 解 变 形 ．因 为 方 才 （ ５） 能 为 零 ， 以错 解 中 的变 形 就 可 能 失 根 ． 一 可 所