【高考总动员】2019届高考数学(人教,文)大一轮复习课件：第八章 平面解析几何课时提升练45

课时提升练(四十五) 双曲线一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255 B.32 C.233D ．2【解析】 由焦点为(2,0)知，a 2＋1＝22，∴a 2＝3，a ＝3，∴离心率e ＝c a ＝23＝233.故选C.【答案】 C2．(2013·北京高考)双曲线x 2－y2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2【解析】 ∵双曲线x 2－y2m ＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e >2，∴1＋m >2，∴m >1.【答案】 C3．(2014·漳州模拟)焦点为(0,6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1【解析】 设所求双曲线方程为x 22－y 2＝λ，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又焦点在y 轴上，所以λ＝－12，即双曲线方程为y 212－x 224＝1.【答案】 B4．(2014·广东高考)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【解析】 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k－y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k 25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.【答案】 A5．(2013·浙江高考)如图8-6-1，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )图8-6-1A. 2B. 3C.32D.62【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4， 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 【答案】 D6．(2014·江西高考)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴(a －4)2＋(－b )2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1. 【答案】 A 二、填空题7．(文)(2014·北京高考)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．【解析】 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1. 【答案】 x 2－y 2＝18．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．【解析】 ∵x 29－y 216＝1，∴A (3,0)，F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 设l ：y ＝43(x －5)，与x 29－y 216＝1联立可求得x B ＝175， ∴y B ＝－3215，∴S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12×(c －a )×3215＝12×2×3215＝3215. 【答案】 32159．(2014·浙江高考)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫am3b －a ，bm 3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ， 所以AB 的中点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2. 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC＝－3，化简得a2＝4b2. 在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝ca＝5 2.【答案】5 2三、解答题10．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． 【解】 (1)∵离心率e ＝2， ∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【解】 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，又双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线的方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)， ∴由题意知y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入x 2＋y 2＝c 2得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝2，∴双曲线的离心率为 2.。