2-最新《公司理财》货币时间价值

时点： 0 1 2 3
现金流：
-100
-150
+50
+200
发生时间：
现在
第1年末 或 第2年初
第2年末 或 第3年初
第3年末 或 第4年初
图2-1 货币时间价值时间轴
需要注意两点： （1）除0点以外，每个时点数字代表的都是两个含义，即当期的期末和下一期的期初，如时点t=1就表 示第1期的期末和第2期的期初。 （2）现金流数字前面的正负号表示的是现金流入还是现金流出，其中正号表示的数值是从公司外部流 入到公司内部的现金，如收回的销售收入、固定资产的残值收入等，而负号表示的数值则是指从公司内 部流入到外部的现金，如初始投资或其他现金投资等。 为简化，本书中以后的现金流都做如下假设，即现金流入量均发生在每期期末，现金流流出量均发生在 每期期初。除非特别说明，决策所处的时点均为时点t=0，即“现在”。 （二）单利和复利
（2）复利现值（已知终值FV，求现值PV） 计算现值的过程通常称为折现，是指将未来预期发生的 现金流量按折现率调整为现在的现金流量的过程。对于单一 支付款项来说，现值和终值是互为逆运算的。现值的计算公 式为 ：
PV FV (1 r )
n
其中，（1+r）-n通常称为“复利现值系数”，记作（P/F，r，n），可 直接查阅书后的附表“复利现值系数表”。
1 (1 r ) ( n 1) PV A 1 r
也可以写成：
PV A( P / A, r , n 1) 1
PV A( P / A, r , n)(1 r )
5.递延年金终值（已知递延年金A，求递延年金终值FV）
递延年金的第一次现金流量并不是发生在第一期的，但
预付年金终值的一般计算公式为：
(1 r ) n1 1 FV A 1 r
也可以写成
FV A( F / A, r, n 1) 1 FV A( F / A, r , n)(1 r )
4.预付年金现值（已知预付年金A，求预付年金现值PV） 预付年金的现值可以在普通年金现值的基础上加以调整， 其计算公式为：
(1 r ) n 1 设每年的支付金额为 A，利率为 r，期数为n，则普通年金 FV A r 终值的计算公式为：
式中方括号中的数值，通常称作“年金终值系数”，记作(F/A，r，n )，可以直接查阅书 后的附表“年金终值系数表”。
在实际工作中，公司可根据要求在贷款期内建立偿债基 金，以保证在期满时有足够的现金偿还贷款的本金或兑现债 券。此时的债务实际上等于年金终值FV，每年提取的偿债基 金等于分次付款的年金A。也可以说，年偿债基金的计算实 际上是年金终值的逆运算。其计算公式为：
每期发生的金额都是固定的；而增长型永续年金的各期现金
流量是以固定比率每期增长的。
设C0为第0期的现金流量，g表示现金流量每年预计增长率， 则第1~n期及以后的增长型永续年金发生额分别为：C1=C0 （1+g）、C2=C0 (1+g)2、C3=C0 (1+g)3…… Cn =C0 (1+g)n……， 其现值计算公式可表示为：
② 扣除法，其基本思路是假定递延期中也进行收付，先将递 延年金视为正常的普通年金，计算普通年金现值，然后再扣 除递延期内未发生的普通年金，其结果即为递延年金的现值。 其计算公式为：
PV AP / A, r, n P / A, r, m
7.永续年金现值（已知永续年金A，求永续年金现值PV） 永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式推导得出。
1 (1 r ) n PV A r
式中方括号内的数值称作“年金现值系数”，记作(P/A，r，n)，可直接 查阅书后的附表“年金现值系数表”。
也可以写作： PV A( P / A, r , n)
年金现值的逆运算是年资本回收额的计算。资本回收额 是指在给定的年限内等额回收或清偿初始投入的资本或所欠 的债务，年资本回收额的计算公式为：
3.递延年金 递延年金又成为延期年金，是指第一次现金流量发生在 第2期、或第3期、或第4期……的等额现金流量。一般情况 下，假设递延年金也是发生在每期期末的年金，因此，递延 年金也可以简单地归纳为：第一笔现金流量不是发生在第1期 的普通年金，都属于递延年金。对于递延年金，既可以求现 值，也可以求终值。 4.永续年金 永续年金是指无限期支付的年金，即永续年金的支付期n 趋近于无穷大。由于永续年金没有终止的时间，因此只能计 算现值，不能计算终值
（四）单一支付款项和系列支付款项
单一支付款项是指在某一特定时间内只发生一次的简单现金流量，如投资于到期一次偿还本息的公司债 券就是单一支付款项的问题。 系列支付款项是指在n期内多次发生现金流入或现金流出。年金是系列支付款项的特殊形式，是在一定 时期内每隔相同时间（如一年）发生相同金额的现金流量。
年金（用A表示，即Annuity的简写）可以分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等形式。
1.普通年金普通年金又称为后付年金，是指一定时期内，每期期末发生的等额现 金流量。例如从投资的每年支付一次利息、到期一次还本的公司债券中每年得到 的利息就是普通年金的形式。普通年金，既可以求现值，也可以求终值。
2.预付年金预付年金又称为先付年金，是指一定时期内，每期期初发生的等额现 金流量。例如对租入的设备，如果要求每年年初支付相等的租金额，那么该租金 就属于预付年金的形式。与普通年金相同，预付年金也既可以求现值，也可以求 终值。
如果将发生递延年金的第一期设为时点1，则用时间轴表示的 递延年金与普通年金完全相同，因此递延年金终值的计算方
法与普通年金终值的计算基本相同，只是发生的期间n是发生
递延年金的实际期限。
6.递延年金现值（已知递延年金A，求递延年金现值PV） 递延年金现值的计算有两种方法：
① 分段法，其基本思路是将递延年金分段计算。先求出正常
发生普通年金期间的递延期末的现值，然后再将该现值按单 一支付款项的复利现值计算方法，折算为第一期期初的现值。
假设递延期为m(m<n)，即先求出m期后的(n-m)期普通年金
现值，然后再将此现值折算到第一期初的现值。其计算公式 为：
PV AP / A, r, n mP / F , r, m
（二）系列支付款项的终值和现值
由于系列支付款项可以分为普通年金、预付年金、递延 年金和永续年金等形式，因此计算终值和现值时要区别对待。 1.普通年金终值（已知普通年金A，求终值FV） 普通年金又称为后付年金，是指一定时期内，每期期末 发生的等额现金流量。（本书中凡涉及年金问题，如不作特 殊说明均指普通年金。）年金终值犹如零存整取的本利和， 它是一定时期内每期期末现金流量的复利终值之和。
r A FV n ( 1 r ) 1
式中方括号中的数值称作“偿债基金系数”，记作(A/F，r，n)，可 通过年金终值系数的倒数推算出来。
2.普通年金现值（已知普通年金A，求现值PV） 普通年金现值是指一定时期内每期期末现金流
量的现值之和。年金现值计算的一般公式为：
PV C3 Cn C1 C2 2 3 n 1 r (1 r ) (1 r ) (1 r )
C0 (1 g ) C0 (1 g ) 2 C0 (1 g ) 3 C0 (1 g ) n 2 3 n 1 r (1 r ) (1 r ) (1 r )
通常将以年为基础计算的利率称为名义年利率
APR，将名义年利率按不同计息期调整后的利率称 为有效利率EAR（Effective Annual Rate）。 设1年复利次数为m次，名义年利率APR为rnom， 则有效利率EAR的调整公式为：
r EAR 1 nom m
m
1
以APR为6%为例，不同复利次数的EAR如表2-1所示。
当增长率g＜折现率r时，该增长型永续年金现值可简化为：
PV C 0 (1 g ) C1 rg rg
三、利率与计算期数的计算
影响现金流量时间价值的因素有四个：现值、终值、利 率（折现率）和计息期数，只要知道了其中任意三个因素就 可求出第四个因素。在以上计算中都是假定利率（折现率）、 计息期数、现值（或终值）是已知的，求解终值（或现值）。 但在某些情况下，也可以根据计息期数、终值或现值求解利 率（折现率），或根据利率（折现率）、终值或现值求解计 息期数。
r A PV n 1 ( 1 r )
式中方括号内的数值称作“资本回收系数”，记作(A/P，r， n)，可利用年金现值系数的倒数求得。
3.预付年金终值（已知预付年金A，求预付年金终值FV） 预付年金与普通年金的差别仅在于现金流量的发生时间 不同。由于年金终值系数表和年金现值系数表是按常见的普 通年金编制的，在利用这种普通年金系数表计算预付年金的 终值和现值时，可在计算普通年金的基础上加以适当的调整。
二、终值和现值的计算
(一)单一支付款项的终值和现值 单一支付款项的终值和现值一般简称为复利终值和复利 现值。 （1）复利终值（已知现值PV，求终值FV） 复利终值是指一项现金流量按复利计算的一段时期后的价值，
其计算公式为：
FV PV (1 r )
n
其中，（1+r）n通常称为“复利终值系数”，记作（F/P， r，n），可直接查阅书后的附表“复利终值系数表”。
（一）利率r的计算
计算利率r时，可以首先列出终值或现值的计算公式，然
后通过求解方程式的方法将未知数r求出来。首先根据已知的 条件计算出终值或现值的换算系数：
FV PV FV ( F / A, r , n) A ( F / P, r , n) ; ; PV FV PV ( P / A, r , n) A ( P / F , r , n)
1 (1 r ) n PV A r