2衍射方向详解
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第二章衍射公式及
第二章衍射公式及衍射是指波在通过一个孔或绕过一个障碍物时发生的偏折现象。
在物理学中，衍射是一种常见的现象，可以解释光、声波等的传播和干涉。
衍射公式是用来计算衍射现象的数学表达式，它描述了波通过一个狭缝或孔时偏折的规律。
根据衍射公式，我们可以计算出特定条件下的衍射图样和衍射角度。
由于衍射公式的推导较复杂，下面我们将通过一个简单的例子来说明衍射的基本原理和公式的应用。
假设有一束单色光通过一个宽度为a的狭缝，我们希望计算出衍射图样中间的主极大（也叫零级衍射极大）的角度。
根据衍射公式，主极大的角度为：sinθ = λ/a其中，θ为主极大的角度，λ为波长，a为狭缝的宽度。
这个公式可以用来计算单缝衍射的主极大角度，也可以应用于其他衍射实验中。
衍射公式的推导涉及到波的数学描述和波动方程的求解过程，需要通过波动光学等课程进行学习。
在推导过程中，我们需要使用亥姆霍兹方程和惠更斯原理等基本假设来求解解析解。
除了单缝衍射，衍射公式还可以应用于其他形状和结构的衍射实验。
例如，在光的衍射实验中，当光通过一个孔径很小的圆形屏幕时，会产生中央强度最强的中央最大光斑，以及周围逐渐减弱的一系列光斑。
这种现象被称为菲涅耳圆形屏幕衍射。
对于不同形状和结构的衍射实验，衍射公式的具体形式和应用方法可能不同。
但是，衍射公式的核心思想是一样的，即通过计算波的传播和干涉，来确定衍射图样和衍射角度。
总结起来，衍射公式是用来计算衍射现象的数学表达式，它描述了波在通过狭缝或孔时的偏折规律。
通过衍射公式，我们可以计算出衍射图样和衍射角度，从而深入理解波的传播和干涉现象。
衍射公式的具体形式和应用方法会根据不同的衍射实验而有所不同，需要通过学习相关课程来掌握。
衍射2
18
较大 符合
瑞利 判据
太小
小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨 19
S1 *
D
0
I
* S2
最小分辨角 （angle of minimum resolution）：
1
1 . 22
D
分辨本领（resolving power）：
R 1
D 1 . 22
6
2、N=3
δ
-λ
3、N=4
0 0I
λ
δ
-λ
0
λ
I
N很大时,数目众多强度极弱 的次极大与极小混成一片, 淹没在杂散光的背景之中, 形成一片暗区，一般觉察不 δ 出它们的存在;各主极大成 为非常细的亮条纹。
三、光栅的衍射规律 1、可以证明：光栅衍射，是单缝衍射和多 光束干涉共同作用的结果。 各主极大受到单缝衍射的调制，衍射光强 大（小）的方向,主极大的光强也大（小）。
7
例：d 4a 情形
单缝衍射光强曲线 -2 -1
I
（参见书p181图4.12）
sin (/a)
多光束干涉光强曲线
0 I
1
2
-8
-4
0
I
4
sin 8 (/d)
光栅衍射光强曲线
单缝衍射 包络线
4 sin (/d)
8
-8
-4
0
8
19个明条纹
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （d =10 a）
13
0
sin
五、光栅光谱
d sin k ( k 0 ,1 ,2 )
λ定, k |θ|
3级 2级 1级 0 1级
较大 符合
瑞利 判据
太小
小孔（直径D）对两个靠近的遥远的点光源的分辨 19
S1 *
D
0
I
* S2
最小分辨角 （angle of minimum resolution）：
1
1 . 22
D
分辨本领（resolving power）：
R 1
D 1 . 22
6
2、N=3
δ
-λ
3、N=4
0 0I
λ
δ
-λ
0
λ
I
N很大时,数目众多强度极弱 的次极大与极小混成一片, 淹没在杂散光的背景之中, 形成一片暗区，一般觉察不 δ 出它们的存在;各主极大成 为非常细的亮条纹。
三、光栅的衍射规律 1、可以证明：光栅衍射，是单缝衍射和多 光束干涉共同作用的结果。 各主极大受到单缝衍射的调制，衍射光强 大（小）的方向,主极大的光强也大（小）。
7
例：d 4a 情形
单缝衍射光强曲线 -2 -1
I
（参见书p181图4.12）
sin (/a)
多光束干涉光强曲线
0 I
1
2
-8
-4
0
I
4
sin 8 (/d)
光栅衍射光强曲线
单缝衍射 包络线
4 sin (/d)
8
-8
-4
0
8
19个明条纹
单缝衍射和多缝衍射干涉的对比 （d =10 a）
13
0
sin
五、光栅光谱
d sin k ( k 0 ,1 ,2 )
λ定, k |θ|
3级 2级 1级 0 1级
第二章 光的衍射
S
C
B3
B2
O
R B0 r0
B1
P 对称轴， S的法线
C‘
极点
2
由 : B0 P r0 有 : B1 P r0
B3 P r0 3 2
Bk P r0 k 2
2
B2 P r0 2
定义：由任何相邻两带的对应部 2 分所发的次波到达P（位于波面的
( a 0)
Y
3、讨论
X
S
P
①无论圆屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，圆屏几何影 子的中心永远有光进入。 ②圆屏面积越小，被遮挡的半波带数k越少，ak+1就越大，P点光强越 强。
③圆屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，则看起来几乎全都 能绕过它，此时除几何中心为亮点外没有其它影子。圆屏好像起了会聚 透镜的作用，将光源S成实象于P点。
全模糊了。通常情况下不容易观察到衍射花样
正是由于这个缘故。
二、圆屏衍射
1、装置：如右图示： S为点光源，光路上 有一不透明的圆屏。 结果：P点永亮 2、计算P点振幅
Y
X
S
P
设：圆屏遮挡了前k个半波带，则从第k+1个起其余所有半波带所发次 波均能到达P点，将这些带的次波叠加：
合振幅 A
ak 1 a ak 1 2 2 2
Q
上式即为原理的积分表达式， 亦称为菲涅耳衍射积分。
dS
N
r
讨论：
r0
p
1、积分表达式是次波假设与杨氏干涉原理（相干叠加）的有机结合—物理意义； 2、一般情况下，上述积分相当复杂。只有当S对通过P点波面的法线具有旋转对 称性时，才能积出结果。此时，可用代数加法或矢量加法来代替积分； 3、借助积分式可定量描述光波通过障碍物时发生衍射现象的主要特征。
2衍射方向详解
X射线衍射方向
本章主要学习的内容 1. 布拉格方程
第二章
2. X射线衍射方法
§2-1 引言
1. 1895年伦琴发现X射线后，认为是一种波，但 无法证明。 2. 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有
得到证明。
1912年劳厄将X射线用于CuSO4晶体
衍射同时证明了这两个问题，从此
诞生了X射线晶体衍射学。
二、晶体 我们所能得到的空间点阵的形状只有七 种，把这七种空间点阵称为七种晶系。 这七种晶系的特点是，所有的结点均位 于单胞的角上。
表2-1
晶 系
七个晶系及其所属的布拉菲点阵
布拉菲 点阵 点阵 符号
P
点阵常 数
阵胞 内结 点数
1 000
结点坐标
简单立方
a=b=c
立方 cubic
α=β=γ =90
a=b≠c α=β=90° γ=120° a≠b≠c α=γ=90°≠β
P I
1 2
000
C
F
2
4
111 222 1 1 000，0 2 2 11 1 1 11 000， 0， 0 ， 0 22 2 2 22
000， 000
简单菱方
R
1
简单六方 简单单斜 底心单斜 简单三斜
P
1
000
P C
1 2
000 000，
样的组成元素，电子探针
就是按这原理设计的。
§2-4 衍射方法
一、劳埃法
• 劳埃法是德国物理学家劳埃在1912年首先提出 的，是最早的X射线分析方法，它用垂直于入 射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点。 • 图中A为透射相，B为背射相，目前劳埃法用 于单晶体取向测定及晶体对称性的研究。
本章主要学习的内容 1. 布拉格方程
第二章
2. X射线衍射方法
§2-1 引言
1. 1895年伦琴发现X射线后，认为是一种波，但 无法证明。 2. 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有
得到证明。
1912年劳厄将X射线用于CuSO4晶体
衍射同时证明了这两个问题，从此
诞生了X射线晶体衍射学。
二、晶体 我们所能得到的空间点阵的形状只有七 种，把这七种空间点阵称为七种晶系。 这七种晶系的特点是，所有的结点均位 于单胞的角上。
表2-1
晶 系
七个晶系及其所属的布拉菲点阵
布拉菲 点阵 点阵 符号
P
点阵常 数
阵胞 内结 点数
1 000
结点坐标
简单立方
a=b=c
立方 cubic
α=β=γ =90
a=b≠c α=β=90° γ=120° a≠b≠c α=γ=90°≠β
P I
1 2
000
C
F
2
4
111 222 1 1 000，0 2 2 11 1 1 11 000， 0， 0 ， 0 22 2 2 22
000， 000
简单菱方
R
1
简单六方 简单单斜 底心单斜 简单三斜
P
1
000
P C
1 2
000 000，
样的组成元素，电子探针
就是按这原理设计的。
§2-4 衍射方法
一、劳埃法
• 劳埃法是德国物理学家劳埃在1912年首先提出 的，是最早的X射线分析方法，它用垂直于入 射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点。 • 图中A为透射相，B为背射相，目前劳埃法用 于单晶体取向测定及晶体对称性的研究。
第二章光的衍射
第二章光的衍射§1 惠更斯——菲涅耳原理一、衍射现象即不沿直线传播而向各方向绕射的现象。
定义：光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏上出现光强不均匀的分布现象——光的衍射。
当障碍物或孔隙的线度比波大很多，通常都显示光的直线传播现象。
声波和水波的衍射可常见。
例：人在房间说话，另一房间的人能听见。
又,把杨氏装置中的两孔之一遮蔽，使光束通过单孔照射，仔细观察，屏上明亮区比直线传播所估计的要大且出现明暗不均匀的现象。
二、惠更斯——菲涅耳原理惠更斯：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波，在以后时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。
原理较粗糙,不能解释干涉、衍射甚至还有倒退波的存在。
它不涉及波的时空周期特性——位相、波长、振幅，而衍射现象有明暗相间的条纹出现。
波动有两个基本性质：（1）振动在空间的传播；（2)具有时空周期性，能够相干迭加。
“次波”概念反映前一基本性质,也是成功之处。
但当时对波动性认识肤浅，惠更斯并不知光速有多大，只把光看成空气中的声波（纵波）,其“振动”也是非周期性的无规则脉冲，因而原理中并没反映出波的时空周期性.菲涅耳的改进因牛顿威望极高，微粒说影响极大,光的波动理论停滞不前，几乎过了一百年，到了十九世纪，杨反用波的迭加原理解释了薄膜的颜色，首先提出“干涉"一词概括波与波的相互作用，为了验证自己的理论,做了一个双缝干涉，即杨氏干涉实验，他并对出现于阴影边缘附近的衍射条纹给出了正确解释，但这些富有价值的光学研究并没被重视，直到1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地获胜，才开始了光的波动说的兴旺时期，那次竞赛会上,评委中有许多著名的学者，如毕奥、拉普拉斯、泊松，他们都是微粒说的拥护者,竞赛题目的具体表达式带有明显的有利于微粒说的倾向性.然而,菲涅耳吸收了惠更斯的次波概念，阐述的次波相干迭加的新观点具有极大说服力，使反对派马上接受了，会后泊松又仔细审核菲涅理论，并用圆盘衍射，屋圆盘中心轴线上应有亮斑，看来似乎不可思议离奇的结论，不久，在实际中阿喇果果真发现了这一惊人的理论，这一发现对惠——菲原理是十分有力的支持. 惠-—菲原理:波面上每个面元ds 都可看成是新的振动中心，它们又发出次波,在空间某一点p 的振动是所有这些次波在该点的相干迭加。
2X射线衍射方向
布拉格定律的讨论-----干涉面和干涉指数
• 为了使用方便， 常将布拉格公式改写成。
d hkl 2 sin n
• 如令 d HKL
d hkl n
，则
2d HKL sin
• 这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由面间 距为的（HKL）晶面的1级反射，（hkl）与（HKL） 面互相平行。面间距为dHKL的晶面不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反 射面，常将它称为干涉面。
• 光的干涉条件：两束或两束以上的光波， 由同一光源发出,其振动方向相同、频率相 同、位相恒定 • X射线满足上述条件，另作如下假设或近似 • X射线是平行光，且只有单一波长→滤波 • 电子皆集中在原子中心→原子间距»核外电 子间距 • 原子不做热振动→原子间距变化不大
第一节 晶体几何学基础
• 按照有序程度：晶体→准晶→液晶→非晶 （液体、气体） • 原子或原子团在三维空间周期排列构成的 固体称为晶体
第二节 布拉格方程
• 波的干涉：振动方向相同、波长相同的两列波，如果其波 程差为波长的整数倍，叠加后将造成某些固定区域的加强 或减弱。 • 1912年，德国物理学家劳埃指出：X射线照射晶体，若要某 方向上能获得衍射加强，必须同时满足三个劳埃方程，即 在晶体的三个相互垂直的方向上相邻原子散射线的波程差 为波长的整数倍。
一、布拉格定律的导出
• 同一层原子面上散射Ⅹ射线的反射。当Ⅹ射线以角θ入射到原子面并以 角θ散射时，相距为a的两原子散射x射线的光程差为： • δ=AD-BC=ABcosθ- ABcosθ=0 • 说明L1和L2在垂直方向上的光程是相等，所以同一晶面上的原子的散 射线在原子面的镜面反射方向上是可以互相加强的，因此，常将这种 散射称为晶面反射。
2 X射线衍射方向(2)主讲部分
材料学院
教师：孙 继 兵
18
3、反射级数和干涉指数（4）
d′
（a）（l00）晶面的二级反射，邻近两个晶面的波程差ABC为波长的两倍
在（l00）晶面之间本来没有别的晶面，但假想还有一个(200)面的话， 两个邻近的（200）晶面之间的波程差DEF为波长的一倍，恰好构成了 （200）晶面的一级反射，称为200反射
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结 构之间建立起定性和定量的关系。
材料学院
教师：孙 继 兵
6
在1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释，认为光 栅常数(a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生 衍射，衍射花样和光栅常数密切相关。 另一方面，晶体学家和矿物学家们对晶体的研究也有了初步的认识，当时矿 物学家认为晶体是由以原子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列所 构成的空间点阵，各共振体间距大约是10-8～10-7cm。法国晶体学家M. A. Bravais计算出晶体将有十四种点阵类型。 1895年W. C. Rontgen发现X射线，认为X射线是一种波，但还无法证明它。 1919年，法国物理学家M. ue在和青年研究生厄瓦尔德讨论光散射角时 得到启发，想：如果X射线是一种波且具有波动性的话，那么在光栅上可以产 生衍射，而这个光栅常数必须在1～10埃的数量级。这样的光栅用人工的方法 是加工不出来的，但是，如果像晶体学家所推断的，晶体由原子组成，而原 子在空间的排列间距是1-10埃，那么，如果X射线的波长也与此相当的话，晶 体就可以作为X射线衍射的光栅！这一发现使Laue很兴奋，尽管有一些科学家 表示怀疑，但他还是坚持要做这个实验。 Laue用CuSO4-5H2O晶体作试样，经两次实验得到了第一张透射花样照片， ue还推导出了X射线在晶体上衍射的几何规律，提出了著名的Laue 方程。Laue的这一发现在X射线物理学和晶体学上具有划时代的意义，一方面 证实了X射线的波动性，又证明了晶体结构的周期性，奠定了X射线衍射的基 础。 两个英国人，物理学家W.H.Bragg和W.L.Bragg（大学生）看了Laue的报告很 感兴趣，分析了Laue的实验，于同一年推导出了比Laue方程更简捷的衍射公 式－布拉格方程。 教师：孙 继 兵 7 材料学院
教师：孙 继 兵
18
3、反射级数和干涉指数（4）
d′
（a）（l00）晶面的二级反射，邻近两个晶面的波程差ABC为波长的两倍
在（l00）晶面之间本来没有别的晶面，但假想还有一个(200)面的话， 两个邻近的（200）晶面之间的波程差DEF为波长的一倍，恰好构成了 （200）晶面的一级反射，称为200反射
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结 构之间建立起定性和定量的关系。
材料学院
教师：孙 继 兵
6
在1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释，认为光 栅常数(a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生 衍射，衍射花样和光栅常数密切相关。 另一方面，晶体学家和矿物学家们对晶体的研究也有了初步的认识，当时矿 物学家认为晶体是由以原子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列所 构成的空间点阵，各共振体间距大约是10-8～10-7cm。法国晶体学家M. A. Bravais计算出晶体将有十四种点阵类型。 1895年W. C. Rontgen发现X射线，认为X射线是一种波，但还无法证明它。 1919年，法国物理学家M. ue在和青年研究生厄瓦尔德讨论光散射角时 得到启发，想：如果X射线是一种波且具有波动性的话，那么在光栅上可以产 生衍射，而这个光栅常数必须在1～10埃的数量级。这样的光栅用人工的方法 是加工不出来的，但是，如果像晶体学家所推断的，晶体由原子组成，而原 子在空间的排列间距是1-10埃，那么，如果X射线的波长也与此相当的话，晶 体就可以作为X射线衍射的光栅！这一发现使Laue很兴奋，尽管有一些科学家 表示怀疑，但他还是坚持要做这个实验。 Laue用CuSO4-5H2O晶体作试样，经两次实验得到了第一张透射花样照片， ue还推导出了X射线在晶体上衍射的几何规律，提出了著名的Laue 方程。Laue的这一发现在X射线物理学和晶体学上具有划时代的意义，一方面 证实了X射线的波动性，又证明了晶体结构的周期性，奠定了X射线衍射的基 础。 两个英国人，物理学家W.H.Bragg和W.L.Bragg（大学生）看了Laue的报告很 感兴趣，分析了Laue的实验，于同一年推导出了比Laue方程更简捷的衍射公 式－布拉格方程。 教师：孙 继 兵 7 材料学院
第二章 光的衍射
· Q
θ
r
面元dS发出的各次波的 面元dS发出的各次波的 和位相满足： dE(p) 和位相满足：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
· p
1. S上各面元位相相同； 上各面元位相相同 上各面元位相相同；
S(波前 波前) 波前 设初相为零
2. 次波在 点引起的振动的振幅 次波在P点引起的振动的 点引起的振动的振幅 成反比； 与r成反比； 成反比 3. 次波在 点的位相由光程 决定。 次波在P点的位相由光程∆决定 点的位相由光程 决定。
b 2 b b b sinu ， 由 I = I0 可得到以下结果： 可得到以下结果： u
1.主最大（中央明纹中心）位置： 1.主最大（中央明纹中心）位置： 主最大 单缝衍射 sin u = 1 →I = I0 = Imax θ = 0处 u = 0 → ， u 即为几何光学像点位置
1. 波面在 点产生的振动 波面在P点产生的振动
A(Q) dE( p) ∝ K(θ) cos(ω −kr) dS t r A(Q)取决于波面上Q点处的强度。 点处的强度。 ( )
K(θ)：方向因子
θ ≥ 90o，K = 0
θ ↑→ θ )↓ ↑→K( ↓
θ = 0， K=Kmax ，
( K(θ)A Q) dE( p) = C dS ⋅ cos(ωt −kr) r ( K(θ) A Q) cos(ω −kr)dS t EP = ∫∫ dE = C∫∫ S S r ——菲涅耳衍射积分 菲涅耳衍射积分
圆孔的衍射图样： 圆孔的衍射图样：
屏上 图形： 图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二、圆屏衍射
P点合振幅为： 点合振幅为： 点合振幅为 A = ak+1 −ak+2 +ak+3 −ak+4 +... P
材料现代分析技术-2X射线衍射方向
Hλ/a = 0.484H, 因⎢cosα ⎢≤1，H 只可取0，
±1，±2共5个值。用Mo Kα 线（λ = 0.711Α） H 可取0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5共11个值。
劳埃第二方程
二维衍射 原子的二维排列称为原子网，可视为由一系 列周期为b的平行的原子列所组成。与一维衍 射时类同，这些原子列产生的衍射束要能加 强，也须满足以下条件：
x射线有强的穿透能力，在x射线作用下晶体的散射线来自若 干层原子面，除同一层原子面的散射线互相干涉外，各原子 面的散射线之间还要互相干涉。这里只讨论两相邻原子面的 散射波的干涉。过A点分别向入射线和反射线作垂线，则SA 之前和TA之后两束射线的光程相同，它们的光程差为：
d = QA′Q′ -PAP′=SA′+A′ T= 2dsinθ
首先作晶体的倒易点阵，O*为倒易原点。入射线沿OO*方向 入射，且令OO* =S0/λ=K0。 以0为球心，以1/λ为半径画 一 球 ， 称 反 射 球 。 若 球 面 与 倒 易 点 G 相 交 ， 连 OG 则 有 OGS0/λ =O*G，这里O*G为一倒易矢量。因OO* =OG=1/λ，故 △OO*G为等腰三角形，OG是一衍射线方向。由此可见，当x 射线沿OO*方向入射的情况下，所有能发生反射的晶面，其 倒易点都应落在以O为球心。以1/λ为半径的球面上，从球 心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍 射线方向的作图法称爱瓦尔德图解，它是解释各种衍射花样 的有力工具。
复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除占 据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。
复杂点阵单胞的散射波振幅应为单胞中各原子的散射振幅的 矢量合成。由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会加 强，而某些方向的强度将会减弱甚至消失。这种规律称为系 统消光。
±1，±2共5个值。用Mo Kα 线（λ = 0.711Α） H 可取0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5共11个值。
劳埃第二方程
二维衍射 原子的二维排列称为原子网，可视为由一系 列周期为b的平行的原子列所组成。与一维衍 射时类同，这些原子列产生的衍射束要能加 强，也须满足以下条件：
x射线有强的穿透能力，在x射线作用下晶体的散射线来自若 干层原子面，除同一层原子面的散射线互相干涉外，各原子 面的散射线之间还要互相干涉。这里只讨论两相邻原子面的 散射波的干涉。过A点分别向入射线和反射线作垂线，则SA 之前和TA之后两束射线的光程相同，它们的光程差为：
d = QA′Q′ -PAP′=SA′+A′ T= 2dsinθ
首先作晶体的倒易点阵，O*为倒易原点。入射线沿OO*方向 入射，且令OO* =S0/λ=K0。 以0为球心，以1/λ为半径画 一 球 ， 称 反 射 球 。 若 球 面 与 倒 易 点 G 相 交 ， 连 OG 则 有 OGS0/λ =O*G，这里O*G为一倒易矢量。因OO* =OG=1/λ，故 △OO*G为等腰三角形，OG是一衍射线方向。由此可见，当x 射线沿OO*方向入射的情况下，所有能发生反射的晶面，其 倒易点都应落在以O为球心。以1/λ为半径的球面上，从球 心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍 射线方向的作图法称爱瓦尔德图解，它是解释各种衍射花样 的有力工具。
复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除占 据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。
复杂点阵单胞的散射波振幅应为单胞中各原子的散射振幅的 矢量合成。由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会加 强，而某些方向的强度将会减弱甚至消失。这种规律称为系 统消光。
2第2章X射线衍射方向详解
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍 射线的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代 入布拉格方程，可得：
立方晶系：
正方晶系：
斜方晶系：
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞 大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种 和位置。
布拉格方程的应用
Ⅰ.已知波长求晶面间距d Ⅱ.已知晶面间距d求波长
属于某一晶带的晶面
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶 带定理有非常广泛的应用。 1) 可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互 垂直； 2) 可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平 行于该晶面）； 3) 若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶 带； 4) 若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2), 则可用晶带定律求出晶带轴；
op xa yb zc
2.晶向指数（Orientation index）
求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z） 4） 将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）
6．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加 面的影响
立方晶系：
fcc 当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面：
d
＝
hkl
1 2
a
，如{1 0 0},{1 1 0}
h 2＋k 2＋l2
如{1 0 0},{1 1 1}
bcc 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
描述晶胞
a,b,c棱边长（点阵常数lattice α,β,γ晶轴间的夹角
立方晶系：
正方晶系：
斜方晶系：
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞 大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种 和位置。
布拉格方程的应用
Ⅰ.已知波长求晶面间距d Ⅱ.已知晶面间距d求波长
属于某一晶带的晶面
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶 带定理有非常广泛的应用。 1) 可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互 垂直； 2) 可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平 行于该晶面）； 3) 若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶 带； 4) 若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2), 则可用晶带定律求出晶带轴；
op xa yb zc
2.晶向指数（Orientation index）
求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（x，y，z） 4） 将此值化成最小整数u，v，w并加以方括号[u v w]即是。 （代表一组互相平行，方向一致的晶向）
6．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
上述公式仅适用于简单晶胞,对于复杂晶胞则要考虑附加 面的影响
立方晶系：
fcc 当（hkl）不为全奇、偶数时，有附加面：
d
＝
hkl
1 2
a
，如{1 0 0},{1 1 0}
h 2＋k 2＋l2
如{1 0 0},{1 1 1}
bcc 当h＋k＋l＝奇数时，有附加面：
描述晶胞
a,b,c棱边长（点阵常数lattice α,β,γ晶轴间的夹角
衍射ppt课件
2K
2 (2K
1)
2
（UB~(） )积 分 K法f ：( )求U~(rQI单) e(ik)r
Q1
r d
n
P
衍射实质—无数子波旳相干叠加
2. 数学表达
设：波面有：d 1 ， d 2 d i 个面元
面上次波源 : 它们在P点振动 :
du~（1 p），du~（2 p）du~（i p）
P点的合振动：u~合( p) du~1 du~2 du~i
1
P点的合振动：U合 ( p) dU (P)
b b 2
k 1
S
b
O
P
(4)用惠--菲原理分析每个带旳Ai(P0):
u~( p0 )
Kf
(
)u~
(Q
i
)e
p
d
r
分析:
Ak (P0 ) u~(Q) （对各带是常量）
f ( ) 不同带f ( )不同, k , , f ( )
d 对各带是常量 r
d
R
球冠面积 i 2 R2 (1 cos )
2
P
0
1
U~( p )
Kf
(
)u~0( Q
)
e ikr rp
d
其中K i 1
1.3 衍射巴俾涅原理—
互补屏（a）（b）如下：
+
=
自由空间
透光部分 a b 0
衍射场 U~a ( p) U~b ( p) U~0 ( p)
一种屏旳衍射场+互补屏旳衍射场=自由屏衍射场
结论：一对互补屏旳衍射场旳复振幅之和=自由场复振幅
LAB
a
sin
(
2K
第2章 X射线衍射分析原理(方向)
设R*HKL=r*HKL（为入射线波长，可视为比例系数）， 则上式可写为 s-s0=R*HKL(R*HKL=/dHKL) 亦为衍射矢量方程
14
三、厄瓦尔德图解
讨论衍射矢量方程的几何图解形式。
晶面反射线单位矢量s 反射晶面（HKL） 衍射角 R*HKL 入射线单位矢量s0 s0终点是倒易（点阵） 原点（O*）
ghkl =h a*+k b*+lc* 表明： • 1.倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或平行 于 它的法向Nhkl • 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
hkl S / 1/
A
S 0 /
O
d
晶体中有各种不同方位、不同晶面间距的（HKL）晶面。 当一束波长为的X射线以一定方向照射晶体时，哪些晶面可能产生反 射？反射方向如何？解决此问题的几何图解即为厄瓦尔德（Ewald） 图解。 按衍射矢量方程，晶体中每一个可能产生反射的（HKL）晶面均有各 自的衍射矢量三角形。各衍射矢量三角形的关系如图所示。
13
“反射定律+布拉格方程”可用衍射矢量（s-s0）表示为 s-s0//N
s s0
d HKL
由倒易矢量性质可知，（HKL）晶面对应的倒易矢量 r*HKL//N且r*HKL=1/dHKL，引入r*HKL，则上式可写为 (s-s0)/=r*HKL (r*HKL=1/dHKL) 衍射矢量方程
26
作业
一、名词解释 1.吸收光谱 2.辐射跃迁 5.kβ射线 6. X射线 9. 短波限 10.吸收限 3. 无辐射跃迁 4. kα射线 7.荧光XR 8.线吸收系数 11.质量吸收系数
二、计算分析题 对于同种材料，应当有 k <k <k ，试证明此式成立, 据此分析Cu辐射激发Cu荧光辐射的可能性。
衍射方向
1. 结构因子
晶体对x射线在某衍射方向上的衍射强度，与衍射 方向及晶胞中原子的分布有关。 1. 衍射方向由衍射指标hkl决定；
2. 晶胞中原子分布由其坐标参数（x，y，z）
决定。
定量表述这两个因素和衍射强度的关系，需要
考虑波的叠加，并引进表达晶胞的散射能力的结构
因子Fhkl。
讨论：晶体由原子组成，原子有原子核和电子。X射线照射
但衍射并非反射，而是一定厚度 内许多间距相同晶面共同作用的 结果。
2
(2)布拉格方程是X射线在晶体产生衍射的必要条
件而非充分条件。
有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不
一定出现衍射线，即所谓系统消光
（3）晶面指标为h*k*l*的一组平面点阵，各平面 点阵相应的平面方程式可写作： h*x+k*y+l*z = N (P)
晶体中的空间对称元素滑移面和螺旋轴，也会引起其他类型 的衍射中出现系统消光。例如：晶体在c方向有一平移量为 1/2c的二重螺旋轴21 ，处在x=y=0处，如图1.3-11所示。晶 胞中每一对由它联系的原子坐标为： x，y，z；-x，-y， z+1/2
系统消光：由于原子在晶胞中位置不
同而导致某些衍射方向的强度为零
q
A
d d
B
O
d
光程差必须为波长的整倍数 d 为晶面间距 =AO+OB = 2dsinq
2d sin q = n
n为整数，一般为1
2d sin q =
d
1
2 sin q
sinq的最大值为1，可知最小测定d尺寸为/2，理 论上最大可测尺寸为无穷大，实际上为几个m。
1 2 sin q d
3.2 衍射方向
§1.衍射方向
比较二者： 普通形式： nλ＝2dsinθ 标准形式： λ＝2dhklsinθ n为衍射级次，当n＝1时，二者完全一致。 当n > 1时，λ＝2d/n sinθ， dhkl＝d/n 如：n＝2， 例如：d001/2=d002 即 2λ＝2 d001 sinθ 001面网的二级衍射，可以看作 λ＝2 d002 sinθ 即002面网 的一级衍射，而后者可以是晶体中实际存在的面网，也可 以是假想的。 在使用时， 在使用时，一般只考虑其标准形式
两个波的波程不一 样就会产生位相差， 随着位相差变化，其 合成振幅也变化。 位相差为波长的整 数倍时，合成振幅最 大。 位相差为波长的 1/2倍数时，合成振 幅为零。
§1.衍射方向
X射线作为一电磁波投射 到晶体中时，会受到晶体 中原子的散射，而散射波 就好象是从原子中心发出， 每一个原子中心发出的散 射波又好比一个源球面波。 由于原子在晶体中是周期排列，这些散射球面波之间存在着 固定的位相关系，会在空间产生干涉，结果导致在某些散射 方向的球面波相互加强，而在某些方向上相互抵消，从而也 就出现衍射现象，即在偏离原入射线方向上，在特定的方向 上出现散射线加强而存在衍射斑点，其余方向则无衍射斑点。
§1.衍射方向
劳埃方程式
尽管每个原子产生的二次射线是非常微量的，但由于 晶体中具有无限多个原子，因此，多个原子产生的二次散射 互相叠加，将得到强度可观（可以被检测到）的二次射线信 号。 假定在某一方向产生了衍射信号，则产生衍射（干涉加 强）的条件是：
相邻原子产生的二次射线，其光程差＝ 相邻原子产生的二次射线，其光程差＝nλ
§1.衍射方向
但在实际应用时，由于接近于0度的位置有入射光直射的 干扰，因此总有一个衍射盲区，一般的衍射分析仪器，盲 区为0~3度，因此所检测的面网间距范围约为：30~0.8Å (Cu靶)。 小角衍射仪，只分析0.5~5度范围的衍射，分析范围为： 几百~10Å。
衍射方向方法-2小节
布拉格方程是 X射线在晶体产生衍射的 必要条件而非充分条件。有些情况下晶体 虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射 线，即所谓系统消光。
总结：
• 三种衍射方法分别是如何满足布拉格方程， 实现衍射结果接收的？ • 比较粉末法两种设备的特点及结果分析的 异同。
德拜-谢乐法原理： 4θ衍射圆锥的形成； 衍射圆锥的共轴； 高角与低角区； 条形胶片的记录。
思考：哪些点是同一晶面族的衍射结果？
常见晶面的Miller指数
(110) (001) (100) (001)
(111)
3.粉晶X射线衍射法 (粉末法XRD)
入射X射线
V
IV
样品
III 2 2
II
I r
2 1
试样说明：板状、块状、丝状等。 通常微晶尺寸在 10-2~10-2mm，设 X射线照射体积为 1mm3 ，被照射微 晶数约为109个—微晶无数，且无规则取向。 固定入射线波长和方向＋固定粉末晶体（入射线与同一晶面指数的晶 面的夹角θ：各角度都存在） d为定值,d>λ/2 其中满足sinθ=λ/2d的θ相应位臵的底片上会出现衍射斑点。满足θ 角的晶面360度都存在，在2θ方向发生衍射，形成以4θ为顶角的圆锥面。 不同的晶面(族)匹配不同的2θ角，形成同心圆。
sinθ=λ/2d
• X射线衍射的三种基本方法的分析原理，实 验特点（样品，位置，方法）？
第三节 衍射方法 －晶体结构分析
目的： 产生衍射信号（即满足sinθ=λ/2d） ，从 衍射线的位臵、强度确定某些晶体结构参数。
方法
劳埃法
变化
固定 变化 单晶体衍射分析
周转晶体法 固定 粉晶法 固定
变化 － 多晶体衍射分析
衍射2
2 3
2.3 单缝的夫琅禾费衍射
Single-slit 一. diffraction 实验装置 Fraunhofer
x'
点光源，缝沿 y向延 伸，则衍射图样沿 x’ 方向铺展。
y'
x'
沿狭缝方向：波面不受限 制，为自由波场，其强度 线光源 (与缝平行)，则 x’分布反映了光源的几何像 方向的相对强度分布不变， 沿狭缝方向的分布特征： 形成 y’方向的条纹。 点光源照明时为一亮点， 线光源照明时为一亮线。
利用轴对称性，由 Bessel 函数的表达式和性质，得
J1 (2u ) ~ EP ( ) , u
R D u sin sin 2
圆孔边缘与圆心对P点的位相差
(一阶第一类贝塞尔函数 )
D J1 (2u ) I P ( ) I 0 , I 0 2 u
缝平面 缝宽b B x A C xsin f 透镜 观测屏 x’
p
0
x b N
x sin
每个窄带发的子波在P点振幅近似相等,设为 E0
b sin 2 2 N
( N很大 )
P处的合振幅EP 就是各子波的振幅矢量和的模
P 处是多个同方向、同频率、同振幅、初 相依次差一个恒量△ 的简谐振动的合成，
衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积
衍射光在x, y方向的衍射角分别为 x , y
r r0 ( x sin x y sin y )
~ E( P ) C'
a/2 b/2
a / 2 b / 2
e
ik ( x sin x y sin y )
2.3 单缝的夫琅禾费衍射
Single-slit 一. diffraction 实验装置 Fraunhofer
x'
点光源，缝沿 y向延 伸，则衍射图样沿 x’ 方向铺展。
y'
x'
沿狭缝方向：波面不受限 制，为自由波场，其强度 线光源 (与缝平行)，则 x’分布反映了光源的几何像 方向的相对强度分布不变， 沿狭缝方向的分布特征： 形成 y’方向的条纹。 点光源照明时为一亮点， 线光源照明时为一亮线。
利用轴对称性，由 Bessel 函数的表达式和性质，得
J1 (2u ) ~ EP ( ) , u
R D u sin sin 2
圆孔边缘与圆心对P点的位相差
(一阶第一类贝塞尔函数 )
D J1 (2u ) I P ( ) I 0 , I 0 2 u
缝平面 缝宽b B x A C xsin f 透镜 观测屏 x’
p
0
x b N
x sin
每个窄带发的子波在P点振幅近似相等,设为 E0
b sin 2 2 N
( N很大 )
P处的合振幅EP 就是各子波的振幅矢量和的模
P 处是多个同方向、同频率、同振幅、初 相依次差一个恒量△ 的简谐振动的合成，
衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积
衍射光在x, y方向的衍射角分别为 x , y
r r0 ( x sin x y sin y )
~ E( P ) C'
a/2 b/2
a / 2 b / 2
e
ik ( x sin x y sin y )
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但还需作以下的近似或假设。
1、X射线是平行光，且只有单一波长（单色）.
2、电子皆集中在原子中心（因为原子间距≥核外
电子距离，所以这种近似是可行的）. 3、原子不作热振动.
§2-2 晶体几何学基础
一、空间点阵
考虑晶体的几何特点时，可以不考虑构成晶体的原
子、原子团本身，而用几何点代替原子或原子团。
这种几何点称为结点（lattice point）。 结点的空间排布与晶体中原子（原子团）的排布完 全相同，将相邻结点按一定的规则用线连接起来便 构成了与晶体中原子（原子团）的排布完全相同的 骨架，这便是空间点阵（space Iattice）。
一、布拉格方程
**英国物理学家布拉格父子，导出了形式简单，能够说明晶 体衍射基本关系的布拉格方程或称反射定律。 ** 布拉格父子证明，可以将晶体的衍射现象看作是由晶体某 些晶面的“镜面反射”结果。产生“镜面反射”的晶面必须 符合下列条件(必要条件)：
2d sinq = nl
d —— 该晶面的晶面间距 θ——入射X射线与晶面的夹角（称为掠射角，2θ称 为衍射角） λ—— 入射X射线的波长 n —— 正整数，称为衍射级数
X射线衍射方向
本章主要学习的内容 1. 布拉格方程
第二章
2. X射线衍射方法
§2-1 引言
1. 1895年伦琴发现X射线后，认为是一种波，但 无法证明。 2. 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有
得到证明。
1912年劳厄将X射线用于CuSO4晶体
衍射同时证明了这两个问题，从此
诞生了X射线晶体衍射学。
2、晶面间距的计算公式
立方晶系的面间距公式:
a d= 2 2 2 h + k +1
正方晶系:
d=
1 2 2 2 + h k +1 2 2 a c
a 4 2+ 2+ 2 + a 2 2 (h h k ) ( ) l 3 c
六方晶系:
d=
§2-3 X射线在晶体中的衍射
** 这里，我们将讨论晶体对 X 射线相干散射而引起的 衍射现象。 **假定原子中各电子都集中在原子中心，这样可将其 合成波看作是从原子中心发射出的散射波。 **晶体中原子的排列是呈规律性的，各原子散射波相 互干涉时，将会在某些方向互相加强（相长干涉）， 在另一些方向相互抵消（相消干涉），形成一定的衍 射花样。 **衍射是晶体对X射线散射的一种特殊表现形式。
1、在一族互相平行的结点直线中引出过坐标原点
的结点直线；
2、在该直线上选则距原点最近的结点，量出它的
结点坐标；
3、将三个坐标值用方括号括起，即为该族结点直
线的晶向指数。
五、晶带、晶面间距
1、晶带
**在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有晶 面均属于同一个晶带，这些晶面叫做晶带面。 **晶带面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条 平行直线称为晶带轴。 **晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。
二、晶体 我们所能得到的空间点阵的形状只有七 种，把这七种空间点阵称为七种晶系。 这七种晶系的特点是，所有的结点均位 于单胞的角上。
表2-1
晶 系
七个晶系及其所属的布拉菲点阵
布拉菲 点阵 点阵 符号
P
点阵常 数
阵胞 内结 点数
1 000
结点坐标
简单立方
a=b=c
立方 cubic
α=β=γ =90
三、常见的晶体结构
常见的金属晶体结构有: 面心立方（fcc）、
密排六方（hcp）、
体心立方（bcc）等。
四、晶面与晶向
空间点阵中的结点平面和结点直线相当于晶体结构中的 晶面和晶向，在晶体分别用晶面指数和晶向指数或称密 勒（ Miller.W.H. ，英国晶体学家）指数来表示其方向。 晶面指数的确定方法为： 1、在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三 个坐标轴上的截距并以点阵周期a、b、c为单位来度量； 2、写出三个截距的倒数； 3、将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把它们分为 三个简单整数 h、k、l，再用圆括号括起，即为该组晶面 的晶面指数，记为（hkl）。
a=b≠c α=β=90° γ=120° a≠b≠c α=γ=90°≠β
P I
1 2
000
C
F
2
4
111 222 1 1 000，0 2 2 11 1 1 11 000， 0， 0 ， 0 22 2 2 22
000， 000
简单菱方
R
1
简单六方 简单单斜 底心单斜 简单三斜
P
1
000
P C
1 2
000 000，
晶面指数的确定方法：
1、在一组互相平行的晶面中任选一个晶面，量
出它在三个坐标轴上的截距并以点阵周期a、b、
c为单位来度量；
2、写出三个截距的倒数；
3、将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数，把 它们分为三个简单整数h、k、l，再用圆括号括 起，即为该组晶面的晶面指数，记为（hkl）。
晶向指数的确定方法：
**研究X射线衍射可归结为两方面的问题：
• 衍射方向问题：依靠布拉格方程（或倒易点阵） 的理论导出. • 衍射强度：主要介绍多晶体衍射线条的强度，将 从一个电子、一个原子、一个晶胞以至整个晶体 的衍射强度展开讨论，最后引入一些几何与物理 上的修正因数，而得出多晶体衍射线条的积分强 度。
** 在讨论 X 射线衍射问题之前，我们先回顾一下可 见光的干涉条件： **两束或两束以上的波，其振动方向相同、频率相 同、位相恒定。 **X 射线在晶体中的相干散射波基本满足这些条件，
体心立方
I
2
000,
1 1 1 2 2 2 11 11 1 1 0， 0 ， 0 22 22 2 2
面心立方
F
4
000，
正方 tetragon al
a=b≠c
α=β=γ= 90°
简单正方
P
1
000
1 1 1 2 2 2
体心正方
I
2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0，
简单斜方 斜方 （orthorho mbic） a=b=c α=β=γ≠90 ° 体心斜方 底心斜方 面心斜方 菱方 a=b=c rhombohed α=β=γ≠90 ral ° 六方 hexagonal 单斜 monoclnic 三斜 triclinic
1 1 0 2 2
a=b≠c α≠β≠γ≠90°
P
1
000
** 实际的晶体是较复杂的， 考虑:凡是具有同等环境的 点都可以称为结点. **1848 年法国的晶体学家 布拉菲（ Bravais）证实了 七种晶系中总共可以有十 四种点阵.
** 这是非常有意义的结论， 为了纪念他，后人称这十 四种点阵为布拉菲点阵 （参看右图2-3）。