高考数学一轮复习 第4章 第1节《平面向量的概念及其线性运算》名师首选练习题 新人教A版
全国近年高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算增分练(2021年整理)
（全国版）2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算增分练的全部内容。
第1讲平面向量的概念及其线性运算板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．［2018·南京模拟］对于非零向量a,b,“a＋b＝0”是“a∥b"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.2．已知O,A，B，C为同一平面内的四个点，若2错误!＋错误!＝0，则向量错误!等于( )A.错误!错误!－错误!错误!B．－错误!错误!＋错误!错误!C．2错误!－错误!D．－错误!＋2错误!答案C解析因为错误!＝错误!－错误!，错误!＝错误!－错误!,所以2错误!＋错误!＝2（错误!－错误!）＋（错误!－错误!）＝错误!－2错误!＋错误!＝0，所以错误!＝2错误!－错误!。
故选C。
3．［2018·嘉兴模拟]已知向量a与b不共线，且错误!＝λa＋b，错误!＝a＋μb，则点A，B,C三点共线应满足 ( ）A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析若A，B,C三点共线，则错误!＝k错误!，即λa＋b＝k（a＋μb)，所以λa＋b＝k a ＋μk b，所以λ＝k,1＝μk，故λμ＝1。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算(含答案)
第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( D )(A)=2(B)=2(C)=2(D)=2解析:∵++=,∴+=-=+=,∴=2.故选D.2.如图所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( A )(A)++=0(B)-+=0(C)+-=0(D)--=0解析: ++=++=(++)=0.故选A.3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μ b,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μ b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.4.(2013广东深圳中学阶段测试)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E 为BC的中点,则等于( A )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:=++=-+,=+=+=+(-)=+.故选A.5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:∵表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量, ∴a与b必须方向相同才能满足=.故选D.6.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A、B、D (B)A、B、C(C)B、C、D (D)A、C、D解析:=++=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.7.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( D )(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向解析:由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b).(λ-k)a=(λ+1)b.∵a, b不共线,∴∴k=λ=-1.∴c与d反向.故选D.二、填空题8.(2013广东茂名一中模拟)如图所示,正六边形ABCDEF中,++等于.解析:++=+-=-=.答案:9.(2013年高考四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .解析:因为O为AC的中点,所以+==2,即λ=2.答案:210.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=(用a,b表示).解析:=+=-=b-(a+b)=-a+b.答案:-a+b11.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解析:∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.答案:2三、解答题12.设点O 在△ABC 内部,且有4++=0,求△ABC 与△OBC 的面积之比.解:取BC 的中点D,连接OD,则+=2,∵4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||, ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.13.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是BC,AC 的中点,=,=a,=b.用a,b 表示向量,,,,.解:延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).B组14.(2013石家庄二模)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( C )(A)3 (B)1 (C)(D)解析:设=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=+λ-=(1-λ)+λ,则解得m=,故选C.15.(2013长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=2,||=,||=2,若OC=λ+μ(λ,μ∈R),则= .解析:过C作CD∥OB交OA延长线于D,在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=90°,OC=2,∴OD=4,CD=2∴=2,=.∴=+=2+.∴λ=2,μ=,∴=.答案:16.设e1,e2是两个不共的线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵=2e1-8e2,∴=2.又∵与有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:由(1)可知=e1-4e2,∵=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,∴=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12.。
高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及其线性运算学案文含解析新人教A版
第一节 平面向量的概念及其线性运算2019考纲考题考情1．向量的有关概念向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa 。
1．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)。
2.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1。
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。
要特别注意零向量的特殊性。
一、走进教材1．(必修4P 86例4改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________。
(用a ，b 表示)解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b 。
答案 b －a －a －b2．(必修4P 118A 组T 2(3)改编)在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________。
解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|。
由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形。
答案 矩形 二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC → C ．34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC → 解析 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A 。
2022届高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算课时作业 理(含解析)北师大版
第一节平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第315页[A组基础保分练]1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝（）A．0 B．BE→C．AD→D．CF→解析：由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→．答案：D2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝（OA→＋OC→）＋（OB→＋OD→）＝2OM→＋2OM→＝4OM→．答案：D3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→－12OB→－3OC→＝0，则（）A．OA→＝12AB→＋3AC→B．OA→＝12AB→－3AC→C．OA→＝－12AB→＋3AC→D．OA→＝－12AB→－3AC→解析：对于A，OA→＝12AB→＋3AC→＝12（OB→－OA→）＋3（OC→－OA→）＝12OB→＋3OC→－15OA→，整理，可得16OA→－12OB→－3OC→＝0，这与题干中条件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e1－e2，且mn≠0．若a∥b，则mn等于（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ（n e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n＝－2．答案：C5．（2021·潍坊模拟）若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2解析：设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12．答案：A6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点．若OD →＝xAB→＋yAC →，则x ＋y ＝（ ）A ．112 B ．13C ．23 D ．34解析：设点E 为BC 的中点，连接AE （图略），可知O 在AE 上，由OD →＝OE →＋ED →＝13AE →＋14CB →＝16（AB →＋AC →）＋14（AB →－AC →）＝512AB →－112AC →，故x ＝512，y ＝－112，x ＋y ＝13． 答案：B7．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ．若用OA →和OB →来表示向量OC→，则OC →＝_________．解析：易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14（OB →－OA →）＝34OA →＋14OB →． 答案：34OA →＋14OB →8．（2021·邯郸模拟）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝_________．解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12．答案：129．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13（a ＋b ）， PQ →＝OQ →－OP→＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝13（a ＋b ）－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ．由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3．10．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，求xy的值．解析：设e 1，e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ（x a ＋y b ），所以e 1－2e 2＝2λ（x －y ）e 1＋λ（x －2y ）e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，所以x y 的值为65．[B 组 能力提升练]1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案：A2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2（PB →－PA →），所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同．所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S △PAB ＝S △ABC3＝2．答案：A3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13bC ．12a ＋14b D ．13a ＋23b解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，AD →＝12a ＋12b ，AB →＝12a －12b ，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →．所以AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b ．答案：B4．如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝（ ）A ．AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C ．AD →－AC → D ．2AD →－2AC →解析：连接CD （图略），因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2（AD →－AC →）＝2AD →－2AC →．答案：D5．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ＝_________． 解析：∵A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．答案：236．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝_________．解析：因为AM →＝12（AB →＋BH →）＝12[AB →＋x （AB →－AC →）]＝12[（1＋x ）AB →－xAC →]，又因为AM→＝λAB →＋μAC →，所以1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，所以λ＋μ＝12． 答案：127．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2． （1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解析：（1）证明：由已知得BD →＝CD →－CB→＝（2e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2． 因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →．又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． （2）由（1）可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2， 由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12． [C 组 创新应用练]1．（2021·郑州模拟）如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →．若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA （图略），则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ． 答案：B2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ．若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →（λ∈R ），则AD 的长为_________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图所示，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33． 答案：333．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是_________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4]。
高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算课后作业 理
4．1 平面向量的概念及线性运算[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →，故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB→＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞) C．(1，2] D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1，故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA→＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)． 由于AD →＝3AC →，所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝12S ▱ABED ，故S △ABM S △ABC ＝15S △ABE13S △ABD ＝35.故选C. 10．(2018·伊宁市模拟)若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( )A ．3∶2∶1B ．2∶1∶3C ．1∶3∶2D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE.∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0， ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ；S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.12．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －t b与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，所以若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．答案 6解析 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23， 所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线． 又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ， 则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。
(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习 第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算 文 湘教版
2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节 平面向量的概念及其线性运算考点 平面向量的概念与线性运算1．（2013广东，5分）设a 是已知的平面向量且a≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜，时，不存在符合题意的单位向量c 和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．答案：B2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋12AB ，那么AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AB ·(AD －AB )＝2. 答案：23（2013江苏，5分）．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力． DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．（2010安徽，5分）设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a|＝|b|B ．a ·b＝22 C ．a ∥b D ．a －b 与b 垂直解析：|a|＝12＋02＝1，|b|＝12＋12＝22； a·b＝1×12＋0×12＝12；(a －b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 答案：D5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝(2－π2)弧度，|CQ|＝cos(2－π2)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－π2)＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP 的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)6．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝12|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]． 答案：[π6，5π6] 8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：10。
2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算
2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算1.给出以下六个命题：①两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；②假设|a|＝|b|，那么a＝b；③假设AB＝DC，那么四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB＝DC；⑤假设m＝n，n＝p，那么m＝p；⑥假设a∥b，b∥c，那么a∥c，其中不．正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：两向量起点相同，终点相同，那么两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，因此a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，假设b＝0，那么a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的选项是③④⑤.答案：B2．以下四个命题，其中正确的个数有()①关于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb②关于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na③假设ma＝mb(m∈R)，那么有a＝b④假设ma＝na(m，n∈R，a≠0)，那么有m＝nA．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．答案：C向量的线性运算3.假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①AB＋DC＝BC＋DA；②AC＋BD ＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是－DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．答案：C4．如下图，D 是△ABC 的边AB 的中点，那么向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 解析：CD ＝CB ＋BD ＝－BC ＋12BA . 答案：A5．(2018·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分不是边CD 和BC 的中点．假设AC ＝λAE ＋μAF ，其中，λ，μ∈R ，那么λ＋μ＝________.解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分不为CD 、BC 中点．∴AC ＝AD ＋AB＝(AE －DE )＋(AF －BF )＝(AE ＋AF )－12(DC ＋BC ) ＝(AE ＋AF )－12AC ， ∴AC ＝23(AE ＋AF )， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案：436．如图，假设四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分不是DC ，AB 的中点，＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：AB ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ， MN ＝MC ＋CB ＋BN ，∴2MN ＝MD ＋DA ＋AN ＋MC ＋CB ＋BN ＝DA ＋CB ＝－AD ＋CB ＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ，∴MN ＝12a －b －12c . DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN＝2MN ＝a －2b －c .7.(2018·湖南高考)关于非零向量 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ＝0明白a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立．答案：A8．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 1、b ＝－e 1＋e 2，那么向量e 1＋e 2能够表示另一组基向量a 、b 的线性组合，那么e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝xa ＋yb ，即e 1＋e 2＝(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋y ＝1.∴x ＝23，y ＝－13. 答案：23 －139.平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .假设OA －4OB ＋3OC ＝0，那么AB BC ＝________A.13B.12 C ．2 D ．3解析：∵OA －4OB ＋3OC ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3OC ＝0，即OA －OB ＝3(OB －OC )，∴BA ＝3CB ，∴AB BC ＝3.答案：D 10．非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，假设PA ＝λAB (λ∈R)，那么点Q (x ，y )的轨迹方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ消去λ得x ＋y ＝2. 答案：A11．(2018·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．假设AD ＝x AB ＋y AC ，那么x ＝________，y ＝________.解析：法一：以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2.那么AB ＝(2,0)，AC ＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由得DF ＝BF ＝3，那么AD ＝(2＋3，3)．∵AD ＝x AB ＋y AC ，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )． 即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎨⎧ x ＝1＋32，y ＝32.法二：过D 作DF ⊥AB 交DB 的延长线为F .由可求得BF ＝DF ＝32AB ， AD ＝AF ＋FD＝(1＋32)AB ＋32AC ， 因此x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 3212．(文)如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ， 在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取 点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP ＝QA ，试确定λ的值．解：∵AP ＝NP －NA ＝12(BN －CN ) ＝12(BN ＋CN )＝12BC ， QA ＝MA －MQ ＝12BM ＋λMC ，又∵AP ＝QA ，∴12BM ＋λMC ＝12BC ， 即λMC ＝12MC ，∴λ＝12. (理)如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD的中点，过点G 任作一直线MN 分不交AB 、AC 于M 、N 两点，假设AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求1x ＋1y的值． 解：设AB ＝a ，AC ＝b ，那么AM ＝xa ，AN ＝yb ，AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－xa ＝(14－x )a ＋14b ， MN ＝AN －AM ＝yb －xa ＝－xa ＋yb .∵MG 与MN 共线，∴存在实数λ，使MG ＝λMN . ∴(14－x )a ＋14b ＝λ(－xa ＋yb )＝－λxa ＋λyb . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y为定值．。
2021年高考数学一轮总复习 第四章 第1节 平面向量的概念及线性运算练习
2021年高考数学一轮总复习 第四章 第1节 平面向量的概念及线性运算练习一、选择题1．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，，那么一定有( ) A.PB →＝2CP → B.CP →＝2PB → C.AP →＝2PB →D.PB →＝2AP →[解析] ∵PA →＋PB →＋PC →＝AC →，∴PA →＋PB →＝AC →－PC →＝AC →＋CP →＝AP →，∴PB →＝2AP→，故选D. [答案] D2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → [解析] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AD →－23AB →)＝23AB →＋12AD →.故选A 。
[答案] A 3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析] ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.故选B. [答案] B4．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b[解析] ∵a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，∴a 与b 必须方向相同才能满足a|a |＝b|b |.故选D. [答案] D5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[解析] 由题意可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，(λ－k )a ＝(λ＋1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，λ＋1＝0.∴k ＝λ＝－1.∴c 与d 反向．故选D. [答案] D6．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3AB →.因为AB →与AD →有公共点A ，所以A 、B 、D 三点共线．故选A. [答案] A7．(xx·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部[解析] 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2AP →，所以点P 在线段AC 上，选C.[答案] C8．(xx·福建福州质检)在△ABC 中，AD →＝2 DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b 2D ．c ＝3b 2－a 2[解析] 在△ABC 中，AD →＝2 DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，如图所示，BC →＝BD →＋DC →＝BD →＋12AD →＝BD →＋12(AB →＋BD →)＝32BD →＋12AB →＝32b －a 2.故选D.[答案] D9．(xx·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3[解析] 因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →， AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.[答案] B10．(xx·大连双基测试)设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3 B.53 C ．2D.32[解析] 设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即OM →＋2ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 共线，即O 为中位线MN 上的靠近N 的三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.[答案] A11．(xx·浙江温州期末联考)已知O 是△ABC 所在平面内的一点，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a OA →＋b OB →＋c OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心[解析] ∵OB →＝AB →－AO →，OC →＝AC →－AO →，∴a OA →＋b OB →＋c OC →＝a OA →＋b (AB →－AO →)＋c (AC →－AO →)＝b AB →＋c AC →－(a ＋b ＋c )AO →，而a OA →＋b OB →＋c OC →＝0，∴(a ＋b ＋c )AO →＝b AB →＋c AC →，即AO →＝b a ＋b ＋c AB →＋c a ＋b ＋cAC →，记AB →＝c n 1，AC →＝b n 2，其中n 1，n 2分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，则AO →＝bca ＋b ＋c(n 1＋n 2)，由该式可以看出AO 平分∠BAC ，故O 为内心．故选A.[答案] A12．(xx·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →[解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D. [答案] D二、填空题13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14 AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)[解析] 如图所示，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2 BM →＝CN →＋23BC →＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.[答案] －23e 1＋512e 214．已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为________.[解析] BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，∴AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0. ∴正确命题为②③④. [答案] ②③④15．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.[解析] 由图知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →， ②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.[答案]2316．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．[解析] ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.[答案] 240732 9F1C 鼜25805 64CD 操w 25720 6478 摸22956 59AC 妬38584 96B8 隸(37160 9128 鄨35458 8A82 誂327953 6D31 洱:#F。
高考数学一轮复习 第4章 第1节《平面向量的概念及其线性运算》名师首选练习题 新人教A版
第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A ．EF ＝OF ＋OEB ．EF ＝OF －OEC ．EF ＝－OF ＋OED ．EF ＝－OF －OE2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．13．设P 是△AB C 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( )A ．P 、A 、B 三点共线B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心5.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b 6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( ) A ．9 B.72C ．5D.92二、填空题 7．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．8．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________.9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．三、解答题10.△ABC 中，AD ＝23AB ，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN .11．已知OB ＝λOA ＋μOC (λ、μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，求证λ＋μ＝1.12．已知△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP ＝OA ＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．详解答案一、选择题1．解析：由减法的三角形法则知EF ＝OF －OE .答案：B2．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)．∴N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12. 答案：A3．解析：∵BC ＋BA ＝2BP ，∴BC －BP ＝BP －BA .即 PC ＝AP ，∴P 、A 、C 三点共线．答案：B4．解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC ＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C5. 解析：CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14(a －b)，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b)＝14a ＋34b. 答案：B6．解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝λ2AE ＋μ2AF ，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号． 答案：D二、填空题7．解析：设a ＝(x ，y)，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x2＋y2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)8．解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b)，即(8－λk)a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧ 8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±49. 解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0.答案：＞ ＜三、解答题10. 解： ⎩⎨⎧ DE ∥BC ，AD ＝23AB ⇒ AE ＝23AC ＝23b ， BC ＝AC －AB ＝b －a. 由△ADE ∽△ABC ，得DE ＝23BC ＝23(b －a)． 又AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，得DN ＝12DE ＝13(b －a)． 又AM ＝12(AB ＋AC )＝12(a ＋b)． ⎭⎪⎬⎪⎫△ADN ∽△ABM AD ＝23 AB ⇒ AN ＝23AM ＝13(a ＋b)． 11．证明：∵OB ＝λOA ＋μOC∴AB ＝OB －OA ＝(λ－1) OA ＋μOC CB ＝OB －OC ＝λOA ＋(μ－1) OC又∵A 、B 、C 三点共线∴AB ＝k CB即λ－1λ＝μμ－1＝k ∴λ＋μ＝1.12．解：依题意，由OP ＝OA ＋λa ＋λb ，得OP －OA ＝λ(a ＋b)，即AP ＝λ(AB ＋AC )．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP ＝λAD ，∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边 BC 的中点．。
高考一轮总复习数学(文科)练习第4章 第1节 平面向量的基本概念及线性运算 Word版含解析
第一节
平面向量的基本概念及线性运算
【最新考纲】.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
．向量的有关概念
()向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
()零向量：长度为的向量，其方向是任意的．
()单位向量：长度等于个单位的向量．
()平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
()相等向量：长度相等且方向相同的向量．
()相反向量：长度相等且方向相反的向量．
．向量的线性运算。
【名师一号】高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算练习
第一节 平面向量的概念及其线性运算时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量 答案 C2．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ②在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；③在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ④在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →. A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析 ①是真命题．因为(a －b )＋(b －a ) ＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b ) ＝(a －a )＋(b －b )＝0； 所以a －b 与b －a 是相反向量．②真命题．因为AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0； 所以命题成立．③假命题．因为AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，所以(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0，所以该命题不成立． ④假命题．因为AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →， 所以该命题不成立，故选A. 答案 A3．如图，在△ABC 中，|BA →|＝|BC →|，延长CB 到D ，使AC →⊥AD →，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由题意可知，B 是DC 中点，故AB →＝12(AC →＋AD →)，即AD →＝2AB →－AC →，所以λ＝2，μ＝－1，则λ－μ＝3.答案 C4．设a ，b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析 将|a ＋b |＝|a |－|b |两边都平方得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a |·|b |，∴2a ·b ＝－2|a |·|b |⇒2|a |·|b |cos θ＝－2|a |·|b |，∴cos θ＝－1，即a 与b 共线，故选C. 答案 C5．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析 由OA →＋OB →＋CO →＝0得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故∠CAB ＝30°.答案 A6．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0，3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. 因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12，故选C.答案 C二、填空题7．(2015·重庆模拟)若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．解析 因为AB →＝3a ，CD →＝－5a ， 所以AB →＝－35CD →，AB →，CD →共线，所以AB ，CD 平行且不相等，又有|AD →|＝|BC →|， 所以四边形ABCD 为等腰梯形． 答案 等腰梯形8．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析 由a ∥b ，得sin2θ＝cos 2θ，即2sin θcos θ＝cos 2θ，因为0<θ<π2，所以cos θ≠0，整理得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12.答案 129．已知向量c ＝a |a |＋b|b |，其中a ，b 均为非零向量，则|c |的取值范围是________．解析a |a |与b|b |均为单位向量，当它们共线同向时，|c |取最大值2，当它们共线反向时，|c |取最小值0，故|c |的取值范围是[0,2]．答案 [0,2]三、解答题10．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b . AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．11．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．解 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b .整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．培 优 演 练1．(2015·山东烟台期末)如图，O 为线段A 0A 2 013外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2 013中任意相邻两点的距离相等，OA 0＝a ，OA 2 013＝b ，用a ，b 表示OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013，其结果为( )A ．1 006(a ＋b )B ．1 007(a ＋b )C ．2 012(a ＋b )D ．2 014(a ＋b )解析 设A 0A 2 013的中点为A ，则A 也是A 1A 2 012，…，A 1 006A 1 007的中点，由向量的中点公式可得OA 0→＋OA 2013＝2OA →＝a ＋b ，同理可得OA 1→＋OA 2 012＝OA 2→＋OA 2 011＝…＝OA 1 006＋OA 1 007＝a ＋b ，故OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋OA 3→＋…＋OA 2 013＝1 007×2OA →＝1 007(a ＋b )，选B. 答案 B2．(2014·浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析 根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min{|a ＋b |，|a －b |}与min{|a |，|b |}的大小关系不确定，故A ，B 选项错误．当a ，b 中有零向量时，显然max{|a ＋b |2，|a －b |2}＝|a |2＋|b |2成立．由于|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 〈a ，b 〉．若a ≠0，b ≠0，则当0°≤〈a ，b 〉<90°时， 显然|a ＋b |2>|a －b |2，且|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当〈a ，b 〉＝90°时，显然|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2；当90°<〈a ，b 〉≤180°时，显然|a ＋b |2<|a －b |2，而|a －b |2>|a |2＋|b |2.故总有max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.答案 D3．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹所过的定点为________．解析 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ，得OP →－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于点M ， 则AP →＝λAD →，所以A ，P ，D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点M . 答案 边BC 的中点4．(2014·温州十校期末)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，求|CO →|的最小值．解 ∵CO →＝xCA →＋yCB →，∴CO →＝x (OA →－OC →)＋y (OB →－OC →)＝xOA →＋yOB →－(x ＋y )OC →，∵x ＋y ＝1，∴xOA →＋yOB →＝0，∴A ，O ，B 三点共线，f (m )＝|CA →－mCB →|＝ CA →－mCB →2＝|CA →|2＋m 2|CB →|2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ，当m ＝cos ∠ACB 时，f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即cos 2∠ACB －2cos 2∠ACB ＋1＝34，∵∠ACB 为钝角，∴cos ∠ACB ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∠B ＝∠A ＝30°，∴|CO →|的最小值为12.。
高考数学一轮复习(基础+提升)第4篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算精品课时训练 北师大版
第1讲 平面向量的概念及其线性运算基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )．A.EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE →解析 由图可知EF →＝OF →－OE →.答案 B2.(2014·九江模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )．A ．0B ．BE →C.AD →D ．CF → 解析 因为ABCDEF 是正六边形，故BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥ B ．若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案 A4．(2013·赣州模拟)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )． A ．a －b ＋c －d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意得，AB →＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0. 答案 A5．(2014·兰州质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3A C →，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( )． A.15 B ．25 C.35D ．45解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·高安中学模拟)给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上． 其中不正确命题的序号是________． 解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量， ∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误． ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 ②④⑤7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)解析 由AN →＝3NC →，得4AN →＝3 AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b ． 答案 －14a ＋14b8．(2014·西安大附中模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.答案 －1 三、解答题9．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？ 解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λ(t b －a )＝λt b －λa .又∵a 与b 为不共线的非零向量， ∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．10．如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →.解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ， 则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ．ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b ．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛12OA →＋12OB →＋)2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM→＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，则实数x 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0.答案 A 二、填空题3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形 三、解答题4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2B ．又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13B ．。
【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：4-1平面向量的概念及其线性运算
第一节 平面向量的概念及其线性运算时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图，在四边形ABCD 中，下列各式成立的是( )A.BC→－BD →＝CD → B.CD→＋DA →＝AC → C.CB→＋AD →＋BA →＝CD → D.AB→＋AC →＝BD →＋DC → 解析 BC→－BD →＝BC →＋DB →＝DC →，故A 项错误；CD →＋DA →＝CA →，故B 项错误；CB→＋AD →＋BA →＝CB →＋BA →＋AD →＝CD →，故C 项正确；BD →＋DC→＝BC →≠AB →＋AC →，故D 项错误． 答案 C 2.如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →解析 在△CEF 中，EF→＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.答案 D3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD→＝( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b解析 ∵CB→＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →， ∴CD →＝14CB →＝14(a －b )． ∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b . 答案 B4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 答案 D5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB→＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心B ．重心 内心C ．外心 重心D ．外心 内心解析 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；NA →＋NB →＋NC →＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案 C 6.(2014·烟台高三诊断)如图，O 为线段A 0A 2 013外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2 013中任意相邻两点的距离相等，OA 0→＝a ，OA 2 013＝b ，用a ，b 表示OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013，其结果为( ) A ．1 006(a ＋b ) B ．1 007(a ＋b ) C ．2 012(a ＋b )D ．2 014(a ＋b )解析 OA 0→＋OA 2→＝2OA 1→，OA 3→＋OA 5→＝2OA 4→，…，OA 2 011＋OA 2 013＝2OA 2 012，OA 0→＋OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 2 013＝(OA 0→＋OA 2 013)×2 0142＝1 007(a ＋b )．选B.答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2014·北京东城区综合练习)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．解析 不妨设a ＝OA→，b ＝OB →，c ＝OC →，由a ＝b ＋c 可知，OA →＝OB →＋OC →，又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，故四边形OBAC 为菱形，且∠BOA＝60°，故向量a ，b 的夹角为60°.答案 60°8．(2014·无锡质检)设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__________.解析 因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案 ±49．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________.解析 由G 为△ABC 的重心知GA→＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此aGA →＋bGB →＋33c (－GA →－GB →)＝(a －33c )GA →＋(b －33c )GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6.答案 π6三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2014·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC 中，点D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解 (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG→＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)由(1)可知，BE →＝23BF →，所以B ，E ，F 三点共线．11．(2014·临沂模拟)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a . 要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．12．已知△ABC 中，AB→＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解 依题意，由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP→－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP→＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于O ，则AP→＝λAD →， ∴A ，P ，D 三点共线．即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．。
高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算课时作业 理
第1讲 平面向量及其线性运算1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．52．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 5．如图X411所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )图X411A.FO →B.OG →C.OH →D.EO →6．设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →7．P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X412，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN→＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________．图X41210．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为__________．11．设两个非零向量e 1和e 2不共线 ．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．12．如图X413，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，求数对(x ，y )的值．图X413第1讲 平面向量及其线性运算1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，点M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB→＋AC →)．所以AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3.2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →.故选A. 3．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.4．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)．∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .5．A 解析：如图D108，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →.图D1086．D 解析：如图D109，∵点M 为AC ，BD 的中点，∴OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →.∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.图D1097．B 解析：∵CB →＝PB →－PC →，CB →＝λPA →＋PB →， ∴PB →－PC →＝λPA →＋PB →.∴－PC →＝λPA →. ∴PC →∥PA →，即PC →与PA →共线．∴点P 一定在AC 边所在直线上．故选B.8.12 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )．则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k .所以λ＝12.9.13 解析：由AN →＝12NC →，知N 是AC 的三等分点． ∵AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，∵B ，P ，N 三点共线，∴m ＋23＝1，即m ＝13.10．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．11．(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12C D →.∴AC →与CD →共线．∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.12．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13为所求．方法二，设CF →＝λCD →，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b . ∵BE →与BF →共线，a ，b 不共线， ∴12λ－1－1＝1－λ12.∴λ＝23.∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b . 故x ＝13，y ＝13.则⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13即为所求．。
高考数学一轮复习考点平面向量的概念及其线性运算必刷题含解析
考点23 平面向量的概念及其线性运算1．（2019届高三第三次联考）已知向量(,1)a x =，(4,2)b =-，若a b ，则a b +=______.【解析】由a b ，得24x -=，即2x =-，则(2,1)a b +=-，所以5a b +=.2．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC ⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣3．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研），______．【答案】9所以4x+（1﹣x）y=0，又x＞0，y＞0，，故x+y=（x+y），同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．4．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在平面四边形ABCD中，若E为BC的中点，AE＝2，DE＝3＝_______．【答案】-5【解析】故答案为：-5.5．（江苏省南通市2018__________．【解析】如图，的坐标为6．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知直线与圆的两点A ，B ．若O ，则实数__________.【解析】设AB 的中点为D ,AB 2（d 为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<rb7．（江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考）如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC -的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以()12MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅- ()2202AB DCλ=-=．答案：0．8．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）设向量()()2,6,1,a b m =-=-，若//a b ，则实数m 的值为__________．【答案】3【解析】由向量平行的充要条件可得：261m-=-，求解关于实数m 的方程可得： 3m =. 9．（江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷）已知数列{}n a 中， 12a =，点列()1,2,n P n =⋯在ABC ∆内部，且n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若对*N n ∈都存在数列{}n b 满足()113202n n n n n n b P A a P B a P C ++++=，则4a 的值为______. 【答案】80 【解析】在BC 上取点D ，使得2BD CD =，则n P 在线段AD 上．()113202n n n n n n b P A a P B a P C ++++=1132322n n n n n n n n n n n a BP b AP a CP b BP BAa BP BC +∴-=++=-++-（）（）（）（） ， 1133232)22n n n n n n ab a BP b BA a BD +⎛⎫∴----=--+ ⎪⎝⎭（n A P D ，， 三点共线，1133232)22n n n n n a b a b a +∴----=--+（，即132n n a a +=+．21324332832263280a a a a a a ∴=+==+==+=，，．故答案为：80．10．（江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试）若()2,3a =， ()4,b m =-共线，则实数m 的值为________． 【答案】-6 【解析】()()2,3,4,abm →=→=-共线，()2340m ∴⨯-⨯-=解得6m =- 故答案为6-11．（江苏省横林高级中学2018三点共线)________ .【解析】为该直线外一点)12．（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟考试二）如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====．若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅=__________．【答案】43-【解析】因为()12AD DC BD BA BC ==+，所以,又因为AC AB CB =-，所以 ()()()()111222BD AC BA BC AB CB BA BC AB CB ⋅=+-+-=-。
高考数学一轮复习 4.1 平面向量的概念及其线性运算限时集训 理
限时集训(二十三) 平面向量的概念及其线性运算(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r，则AD u u u r＝( )A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC u u u r ＋BA u u u r ＝2BP u u u rB ，则( )A ．PA u u u r ＋PB u u u r ＝0 B ．PC u u u r ＋PA u u u r＝0C ．PB u u u r ＋PC u u u r ＝0D ．PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC u u ur ＝03．(2013·杭州模拟)已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向4．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r ＝2DB u u u r ，CD u u ur ＝13CA u u u r ＋λCB u u u r ，则λ＝( )A.23 B.13 C ．－13D ．－236．已知四边形ABCD 中，DC u u u r ＝AB u u u r ，|AC u u u r |＝|BD u u u r|，则这个四边形的形状是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形7．(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM u u u u r ＝x AB u u u r ，AN u u u r ＝y AC u u u r ，则x ·yx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.128．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC u u u r ＝2BD u u u r ，CE u u u r ＝2EA u u u r，AF u u u r ＝2FB u u u r ，则AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF u u ur 与BC u u u r ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知m ，n 是实数，a ，b 是不共线的向量，若m (3a －2b )＋n (4a ＋b )＝2a －5b ，则m ＝________，n ＝________.10．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r＝________.(用a ，b 表示)11．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC u u u r ＝λAE u u u r ＋μAF u u u r，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________.13．(2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u uu r ＝0.若存在实数m 使得AB u u u r ＋AC u u u r ＝m AM u u u u r成立，则m ＝________.14．如图，在等腰直角三角形ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB u u u r ＝m AM u u u u r ，AC u u u r ＝n AN u u u r (m >0，n >0)，则mn 的最大值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知P 为△ ABC 内一点，且3AP u u u r ＋4BP u u u r ＋5CP u u u r ＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB u u u r＝a ，AC u u u r ＝b ，用a 、b 表示向量AP u u u r ，AD u u u r .16．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB u u u r＝e 1－e 2，BC u u u r ＝3e 1＋2e 2，CD u u u r ＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB u u u r＝e 1＋e 2，BC u u u r ＝2e 1－3e 2，CD u u u r ＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k的值．17．设点O 在△ABC 内部，且有4OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r＝0，求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比．答 案[限时集训(二十三)]1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.B 8.A9．解析：由题意知，(3m ＋4n －2)a ＋(－2m ＋n ＋5)b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n －2＝0，－2m ＋n ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.答案：2 －110．解析：由AN u u u r＝3NC u u u r 得4AN u u u r＝3AC u u u r ＝3(a ＋b )， AM u u u u r ＝a ＋12b ，所以MN u u u u r ＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b11．解析：∵AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r， AE u u u r ＝12AB u u u r ＋AD u u u r ，∴λAE u u u r ＝12λAB u u u r ＋λAD u u u r .AF u u u r ＝AB u u u r ＋12AD u u u r ，∴μAF u u u r ＝μAB u u u r ＋12μAD u u u r ，∴AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB u u u r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD u u u r ，则⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1.∴λ＋μ＝43.答案：4312．解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k＝±4.答案：±413．解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM u u u u r＝23AD u u ur ，因为AD 为中线，则AB u u u r ＋AC u u u r ＝2AD u u u r ＝3AM u u u u r ，所以m ＝3.答案：314．解析：以A 为原点，线段AC 、AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设三角形ABC 的腰长为2，则B (0,2)，C (2,0)，O (1,1)．∵AB u u u r ＝m AM u u u u r ，AC u u u r ＝n AN u u u r，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为nx 2＋my 2＝1，∵直线MN 过点O (1,1)，∴m 2＋n 2＝1，得m ＋n ＝2，∴mn ≤m ＋n24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.答案：115．解：∵BP u u u r ＝AP u u u r －AB u u u r ＝AP u u u r－a ， CP u u u r ＝AP u u u r －AC u u u r ＝AP u u u r－b ，又3AP u u u r ＋4BP u u u r＋5CP u u u r ＝0.∴3AP u u u r ＋4(AP u u u r －a )＋5(AP u u u r－b )＝0. ∴AP u u u r ＝13a ＋512b .设AD u u u r ＝t AP u u u r(t ∈R)， 则AD u u u r ＝13ta ＋512tb .①又设BD u u u r＝k BC u u u r (k ∈R)， 由BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r＝b －a ， 得BD u u u r＝k (b －a )． 而AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝a ＋BD u u u r . ∴AD u u u r＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD u u u r ＝49a ＋59b .∴AP u u u r ＝13a ＋512b ，AD u u u r ＝49a ＋59b .16．解：(1)证明：∵AB u u u r＝e 1－e 2， BC u u u r＝3e 1＋2e 2， CD u u u r＝－8e 1－2e 2，∴AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD u u ur ，∴AC u u u r 与CD u u u r共线．又∵AC u u u r 与CD u u u r有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2) AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC u u u r 与CD u u u r 共线，从而存在实数λ使得AC u u u r ＝λCD u u u r，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.17．解：取BC 的中点D ，连接OD ，则OB u u u r ＋OC u u u r ＝2OD u u u r ，又4OA u u u r ＝－(OB u u u r ＋OC u u u r )＝－2OD u u u r ， 即OA u u u r ＝－12OD u u u r ，∴O 、A 、D 三点共线，且|OD u u u r |＝2|OA u u u r|，∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点， ∴S △ABC ∶S △OBC ＝3∶2.。
优化探究高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课时作业 理 新人教A版
【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．(2015·嘉兴一模)已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，所以m－n ＝－2.答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，tb ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝tb ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝ta －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λtb －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝xb ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.(2016·青岛一模)已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．(2015·高考陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学一轮复习 第4章 第1节《平面向量的概念及其线性运
算》名师首选练习题 新人教A 版
一、选择题
1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A ．EF ＝OF ＋OE
B ．EF ＝OF －OE
C ．EF ＝－OF ＋OE
D ．EF ＝－OF －OE
2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A.12B.13 C.14
D ．1 3．设P 是△AB C 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( )
A ．P 、A 、
B 三点共线 B ．P 、A 、
C 三点共线
C ．P 、B 、C 三点共线
D ．以上均不正确
4．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC ＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( )
A ．重心 外心
B ．重心 内心
C ．外心 重心
D ．外心 内心
5.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，
则AD ＝( )
A ．a ＋34
b B.14a ＋34
b C.14a ＋14
b D.34a ＋14
b 6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB
＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4μ
的最小值是( ) A ．9 B.72
C ．5 D.92
二、填空题 7．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
8．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，则实数k ＝________. 9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，且点P 落在
第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a________0，b________0(用“＞”，“＜”
或“＝”填空)．
三、解答题
10.△ABC 中，AD ＝23
AB ，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、
AM 、AN .
11．已知OB ＝λOA ＋μOC (λ、μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，求证λ＋μ＝1.
12．已知△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP ＝OA ＋λa＋λb，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
详解答案
一、选择题
1．解析：由减法的三角形法则知EF ＝OF －OE .
答案：B
2．解析：∵M 为边BC 上任意一点，
∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)．
∴N 为AM 中点，
∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12
. 答案：A
3．解析：∵BC ＋BA ＝2BP ，∴BC －BP ＝BP －BA .
即 PC ＝AP ，
∴P 、A 、C 三点共线．
答案：B
4．解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC ＝0，知，N 为△ABC 的重心．
答案：C
5. 解析：CB ＝AB －AC ＝a －b ，又BD ＝3DC ，∴CD ＝14CB ＝14
(a －b)，∴AD ＝AC ＋CD ＝b ＋14(a －b)＝14a ＋34
b. 答案：B
6．解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝
λ2AE ＋μ2AF ，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52
＋2＝92
，当且仅当2λ＝μ时取等号． 答案：D
二、填空题
7．解析：设a ＝(x ，y)，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x2＋y2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
8．解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka＋2b)，即(8
－λk)a＋(k －2λ)b＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧ 8－λk＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.
答案：±4
9. 解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP ＝a 1OP ＋b 2OP ，
则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0.
答案：＞ ＜
三、解答题
10. 解： ⎩⎨⎧ DE ∥BC ，
AD ＝23 AB ⇒AE ＝23AC ＝23
b ， BC ＝AC －AB ＝b －a. 由△ADE ∽△ABC ，得DE ＝23BC ＝23
(b －a)． 又AM 是△ABC 的中线，DE ∥BC ，
得DN ＝12DE ＝13
(b －a)． 又AM ＝12(AB ＋AC )＝12
(a ＋b)． ⎭
⎪⎬⎪⎫△ADN ∽△ABM AD ＝23 AB ⇒AN ＝23AM ＝13(a ＋b)． 11．证明：∵OB ＝λOA ＋μOC
∴AB ＝OB －OA ＝(λ－1) OA ＋μOC
CB ＝OB －OC ＝λOA ＋(μ－1) OC
又∵A 、B 、C 三点共线
∴AB ＝k CB
即λ－1λ＝μμ－1
＝k ∴λ＋μ＝1.
12．解：依题意，由OP ＝OA ＋λa＋λb ，得OP －OA ＝λ(a＋b)，即
AP ＝λ(AB ＋AC )．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角
线交于O ，则AP ＝λAD ，
∴A 、P 、D 三点共线，即P 点的轨迹是AD 所在的直线，由图可知P 点轨迹必过△ABC 边BC 的中点．。