2009 矩阵论试卷北航

北航矩阵理论2019-2020学年第一学期期末试卷及解答

1
2
1
2
Байду номын сангаас
，b
=
0
.（1）求
A
的满秩分解，并用满秩
1 0 -1 0
2
0
1
1
1
-1
分解求 A+ .（2）判断方程组 Ax = b 是否有解. （3）求 Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.
1 1 0 1
1 0 -1 0
解：（1）
A
⎯行⎯→
0 0
1 -1
1 -1
1
⎯行⎯→
0
-1
n −1 1 j =1 3j
1 ,p 2
= 1,
,n .每个圆都是孤立
的，所以 A 有 n 个互异的特征值，即 A 相似于对角阵。 (2)因为 A 是实矩阵，圆心都在实轴上，所以特征值如果是复数只能共轭成对出现，这与圆内只有一个特征值矛盾，所以只能是实数。.
1 1 0 1
1
4．（18 分）已知 A =
0
1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
0 0 0 0
1 1
A = 1 1
2 0
1 0
0 1
−1 1
0 1 =FG
0 1
（2）
3
3 1 5 -2
A+
= G（H GGH）−（1 FHF）−1FH =
1
1
2
0
1
15 -2 1 -5 3
1
2
0
1
（3） AA+b=b,故Ax = b有解.
（4）极小范数解 A+b = (1，0,-1,0)T ,

09+10年北航研究生矩阵论矩阵理论B期末试卷

二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、因为 A+ = A，故 A3 = A 所以秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的零化式。故 B 的最大特征值为 1 （否则 B 为零矩阵，从而 A = 0 ，矛盾），所以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞

北航矩阵理论B2019-2020学年第一学期期末试卷

2019－2020 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2020年 1 月8日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试5个题目共6页。

2、考试时间120分钟。

Span x y表示由x,y生成的空间，i=，3、试卷中出现的符号含义：{,}C m n⨯为m n⨯的矩阵集合。

题目：1、（本题 42 分）2、（本题 15 分）3、（本题 12 分）4、（本题 16 分）5、（本题 15 分）姓名：学号：1. （42分）填空（1）已知 ==-=-=-1212(1,2,1,0),(1,1,1,1),(2,1,0,1),(1,1,3,7)T T T Tx x y y , ==112212{,},{,},V Span x x V Span y y 则+12V V 的维数是_____,⋂12V V 的维数是_____。

（2）λ矩阵22000(1)⎛⎫+⎪⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ的Smith 标准形是___________________。

（3）设100A=011001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，则矩阵幂级数211k k A k ∞=∑_______。

（填“收敛”或者“发散”）（4）设101112003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的Jordan 标准形J= 。

（5）已知线性方程组A x b =相容，其中,m n m A C b C ⨯∈∈给定，n x C ∈是待定向量，则上述线性方程组的通解公式为__________________________________________，解唯一当且仅当A 是__________矩阵。

(6)设1212(,),(,)T T x x x y y y ==是2R 中的任意两个向量，定义函数1122(,)f x y x y x y =-，则(,)f x y _______（填“能”或者“不能”）构成2R 中的内积。

(7) 设A 是n 阶可逆矩阵，则A A A A ⎛⎫⎪⎝⎭的伪逆是_________________________。

矩阵引论试题及答案

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

北航矩阵考题A

an 1 2an 2 (a , a , 1 2 nan n
, an ) (分解不唯一) ( 4 分)
a1 2a2
nan trA
A2 (trA) A 0
A100 ( )99 A (a1 nan )99 A.
(2)可知 f ( A) 的谱公式为 f ( A) f (1 )G1 f (2 )G2 ,（且 G1 , G2 同上）, 令 f ( x) sin x f (7) sin 7, f (2) sin 2 得 sin A 的谱分解为
4 4 5 4 1 sin A (sin 7)G1 (sin 2)G2 sin 7 1 sin 2 9 9 5 5 5 4
(3) 由 (e A ) {e7 , e 2 } 谱半径 (e A ) e7 由 (esin A ) {esin 7 , e sin 2 } 行列式 det(esin A ) esin 7 sin 2
2
1 1 1 1 四、（15 分）设 A 1 2 3 , b 2 ， 0 0 0 0

1 n 1 n 2
n (A 2 ) 为收敛
( 4 分)
以下的六、七题中只需任选一题：
4
六、(15 分)(1) 设矩阵 A 最小式 m( x) ( x 2) 2 且 f ( A) 收敛，推导 f ( A) 的广谱计算公式。解(1)由 ( A 2)2 0 与台乐公式 f ( A) 0 可得公式
(3)求谱半径 (e A ) 与行列式 det(esin A ) ．(4)：求 ln( I A ) ?

北航法学2009——2016年专业综合和基础综合真题(含回忆版)

北京航空航天大学2009年硕士研究生入学考试试题科目代码:861法学基础综合 (共2页)考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效(本题单不参与阅卷)。

一、名词解释(每小题5分,本题30分)1、大陆法系2、成文法3、行政区划4、犯罪未遂5、国家领土的先占取得6,《外空物体损害赔偿责任公约》二、简答题(每小题10分，共5O分)1、简述法律解释中的一般解释方法(14分)2、简述法的效力冲突和协调((8分)3、简述违宪与违法的区别(8分)4、正当防卫与紧急避险的区别(8分)5、缓刑与假释的区别((7分)6、简述人权保护与国家主权的关系，以及中国在人权国际保护方面的基本立场(8分)三、论述题(共45分)1、试从法理学的视角阐述正当程序的基本特征( 28分)2、试论宪政的要素(17分)四、案例分析(每小题20分，本题共40分)1、1999年3月份，李某与同厂女青年项某相恋后致其怀孕。

同年6月，李某向项某提出分手并要其去流产，项某不同意并几次欲跳楼自杀。

同年9月5日12时30分许，李某回到寝室见项某在其房内，后两人发生争打，项某拎一矿泉水瓶(内装敌敌畏农药)到走廊上，李某曾听到项某将“矿泉水”瓶扔到水池上的声音，后项某回到房内背靠沙发坐在地上，歪着头定定地注视着墙，嘴角有睡沫样的东西。

此时，李某见同厂女工赵某上楼即把门掩上。

随后，李某又关上房门到二楼车间，回来后见项某仍原样坐着，便感到不对，即打电话叫来朋友楼某，楼某到后两人先到加油站加油。

期间，李某将项某可能吃过什么东西，嘴角有唾沫的事告诉楼某，两人回到李某的寝室因打不开门，后从气窗看见项某仍原样坐着，鼻子流着鼻涕一样的东西。

嗣后，李某与楼某遂到附近村里找朋友并讲了项某的情况，两人回厂得知项某已被送往医院抢救。

当晚9时许，项某因抢救无效死亡。

经公安局法医鉴定，项某系服毒药死亡。

（10分)(1)李某是否对项某死亡负刑事责任?为什么?（5分)(2)李某主观心理状态如何?为什么?（5分)2、近年来，中国与日本两国就东海划界问题进行了多轮会谈，但尚未取得实质性进展。

南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案

学院年级班学号姓名 ------------------------------线--------------------------------- ---------- -----------------------封--------------------------------------- --------------------------------------密--------------------------------
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
k
k
k 1
A |||| A k 1 |||| A || || A || k . （5 分）
k
2. || A || 1 lim || A || k 0 lim || A k || 0. （5 分） 3. lim || A k || 0 lim || A k 0 || 0 lim A k 0. （5 分）
学院 ------------------------------ 线 ----------------------------------------------------------------
年级 ----------
从而其极小最小二乘解为：

北航矩阵论习题2.1参考答案

则
T1
A
0
4
1 ；对于 b(2) (4,3)T ,构造 T2 使 T2b(2) b(2) e2
0 3 2
4 / 5 3 / 5 4 1 5 2
T2
3
/
5
4
/
5
,
T2
3
2
0
1
0 1 0
0 4/5 3/5
所以， T
I 0
0 T2
T1
4 3
/ /
5 5
0 0
3/5
3 )T 3
由 a3 (2, 0, 2)T ，有
12
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2 , b2 )
b2
(2, 0, 2)
14 26
(3,1, 4)T
13 24
(10 , 14 , 4 )T 13 13 13
0T
13
故
k31
7 13
，
k32
1 2
3 26
i 2
1 i
6
3
0
2i 1 6 3
R
b1
b2
1
i 2
1
2
2
i 2
0
b3
0
1 0
i 3 1
0 0
3 6
0
1
2
i
6
2
3
2 0 0
1
30
1
3
2
6
3 3
1
对
P
中对应
Q1 的列向量做单位化得
P
2
1
2
3

北航矩阵论习题4.2参考答案

习题4.21．分别写出下列矩阵的盖尔圆盘，并画出图。

（2）123624612123624612⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（5）10.10.20.30.530.10.210.310.50.20.30.14⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭。

解：（2）该矩阵的4个盖尔圆为：1234:111,:420,:39,:1212;G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤如下图所示（5）该矩阵的盖尔圆为：1234:10.6,:30.8,:1 1.8,:40.6G z G z G z G z -≤-≤+≤+≤6．设矩阵11111111444444441211121155555555,11311131666666661113111477777777⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B 。

证明：谱半径()1ρ<A ，而()1ρ=B 。

证明：矩阵A 的盖尔圆为123413231133:,:,:,:44552277A A A A G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤如下图所示,只能判断()1ρ≤A取1000010000100005/4⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D 令11111444512145552511326661555532828287-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C DAD C 的盖尔圆为12341721417315:,:,:,:410525215728C C C C G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤C 的盖尔圆如下图所示:由上图可知，C 的盖尔圆都落在x =1的左边，且圆心都在y 轴右侧,所以其特征值模都小于1，又因为A 与C 的特征值相等，所以A 的特征值模都小于1，即()1ρ<A 。

B 的盖尔圆为123413231143:,:,:,:44552277B B B B G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤B 的盖尔圆如下图所示由B 的盖尔圆的分布可知B 的特征值模均小于等于1，即()1ρ≤B ，而B 有特征向量()1,1,1,1T，对应特征值为1，故()1ρ=B 。

北京航空航天大学2017年度-2018年度第一学期矩阵B试题

2017－2018 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2018年 1 月23日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试8个题目共9页2、考试时间120分钟题目：一、（本题 21 分）二、（本题 10 分）三、（本题 10 分）四、（本题 10 分）五、（本题 15 分）六、（本题 12 分）七、（本题 12 分）八、（本题 10 分）1. （21分）填空（1）A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111, A 的满秩分解为( ).（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 20021，则A + = ( ).（3）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011021010, 则 A 的Jordan 标准型J = ( ).（4）设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,, 则矩阵方程D AXB =相容的充要条件是( ).（5）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432321210, 则 ||A||1 = ( ), ||A||∞= ( ), ||A||F = ( ).（6）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012, k 为正整数，则A k =( ).（7）设三阶矩阵A 的特征值为-1,0,1. 则矩阵A e sin 的行列式是（）.2．（10分）设 T 是线性空间3R 上的线性变换，它在3R 中基321,,ααα下的矩阵表示是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=512301321A . （1）求T 在基321321211,,αααβααβαβ++=+==下的矩阵表示. （2）求T 在基321,,ααα下的核与值域.3．(10分) 设A = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.06.06.02.0, 求证矩阵幂级数∑∞=12k kA k 收敛并求和.4．（10分）设 A = ⎪⎪⎭⎝-110, 求A 的奇异值分解.5．（15分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎝--5334y x的二重特征值2=λ有两个线性无关的特征向量. （1）求y x ,.（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（3）求A 的谱分解表达式.6．（12分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----354113211101，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333.（1）用满秩分解求+A . （2）判断方程组Ax = b 是否有解. （3）求Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.7．(12分) (1) 设n n R A ⨯∈. 证明A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值n λλ,,1Λ为实数，且存在正交矩阵n n R Q ⨯∈，使得},,{1n T diag AQ Q λλΛ=.(2) 设k n n m C B C A ⨯⨯∈∈,, R(A)与R(AB) 分别表示A 与AB 的值域. 证明: R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在矩阵,n k C D ⨯∈使得ABD=A.8．（10分）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----222132021，求e At ..。

矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)

2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1）对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线性子空间，设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因为 AX = XA, 所以， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ）对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠

矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

历年矩阵论试题

南京航空航天大学矩阵论历年试题整理者：王正华2007.1.28一设2615115126A −=− −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子；（3）求A 的最小多项式；（4）写出A 的Jordan 标准形二（1）设210121A= −，1）求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n阶矩阵，证明21,max ij i j na A∞≤≤≤≤三（1）111111112A − =− −，作出A 的满秩分解并求出A +；（2）利用该矩阵判断如下方程组1231231231121x x x x x x x x x −+=−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解四设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构（1）求V 的维数，并写出一组基（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X=，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的矩阵五（1）设2010252,022024220t A t B −==，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：○1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○3若()0,tr AB = 则0AB =一（20分）已知 A =1001225i i −，其中i（1）求12,,,F A A A A ∞（2）证明：A ≥0 （3）设,,nH c B αβαβ∈=，证明22FBαβ=二（20分）设A ＝110101101211 ，b ＝314(1)作出A 的满秩分解 (2) 计算A +(3)利用广义逆矩阵方法判断线性方程组A x ＝b 是否相容？若相容，求其通解，若不相容，求其极小最小二乘解三（20分）设A ＝110430211− − −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值（2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式（3）写出A 的Jordan 标准形（4）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()f x ，使()f x ＝0 四（20分）（1）设A 、B 均为Hermite 矩阵（n 阶），且A B ＝B A ，证明：（a ）如果A >0,且A B >0 , 则B >0（b ）如果A >0, B >0,且33A B >，则A B >（2）若A 是2阶实正规矩阵，且i αβ±是A 的一对共轭实特征值，证明：存在正交矩阵Q ，使得Q AQ αββα+ =−五（20分）设实数域上线性空间32R ×的子集W ＝22{,()0}A R tr A ×∈=（1）W 是22R×的子空间（2）给出W 的变换T （A ）＝A A ++，A W ∀∈，证明：T 是W 上的线性变换（3）求Ker （T ）及其维数（4）求W 的一组基和维数，并写出线性变换T 在所取基下的矩阵一（20分）设[]n R X 表示实数域R 上次数小于n 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）（1）求[]n R X 的维数并写出[]n R X 的一组基；（2）在[]n R X 中定义线性变换D ：(())'(),()[]n D f x f x f x R x =∈，求D 在（1）中所取基下的矩阵表示，并求R （D ）和Ker （D ）（3）证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵（4）在[]n R X 中定义内积11(,)()(),f g f x g x dx −=(),()[]n f x g x R X ∈,求出3[]R X 的一组标准正交基二（20分）设A ＝3615125125− −−三（16分）（1）设A ＝11121013 − −，求12,,,F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶矩阵，证明：()1A ρ<的充要条件是存在某种相容矩阵范数.，使得1A <四（14分）设111021111021A − −−=（1）作出A 的一个QR 分解，即求满足T Q Q I =的4×3矩阵和3阶上三角矩阵R ，使得A QR ＝（2）计算A +五（16分）（1）设311120102A − = − ，121211111B =，问A ≥B 是否成立（2）设A 为n 阶Hermite 正定矩阵，B 为n 阶Hermite 半正定矩阵，并且AB BA =，证明（i ）AB 为Hermite 半正定矩阵（ii ）如果A ≥B ，则2A ≥2B六（14分）（1）设222i i A i i i i =− −−，其中i =，证明A 是正定矩阵；（2）若n n A C ×∈，且21A<，则A >B ≥0(3)设,n n A B C ×∈是Hermite 矩阵，证明如果A >B ≥0，则A B −≤A ，且等号成立一（20分）（1）设A 为n 阶非奇异复矩阵，试述矩阵A 的QR 分解定理；（2）设110101111010A= −（i ）作出A 的一个满秩分解（ii ）计算广义逆矩阵A +二（18分）（1）设210123032A=− −，求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n 阶可逆矩阵，.是满足1I =的矩阵范数，证明11AA −−≥，21A ≤三（22分）设3117937100480024A −−−−−= − −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出A 的Jordan 标准形；（4）求lim k k A →∞；（5）计算Ae 四（20分）（1）设622250207A −=−，证明A 为正定矩阵；（2）设A ，B 均为Hermite 矩阵，证明：（i ）如果A >0, 则A B 相似于对角矩阵；（ii ）如果A >0, B >0, 则A B 的特征值均为正数；（iii ）如果A >0, B >0,且A B ＝B A ，则A B 是Hermite 正定矩阵五（20分）设V 是实数域R 上全部3阶实反对称矩阵作成的线性空间（按矩阵的加法和数量乘法）（1）求V 的维数，并写出V 的一组基；（2）证明：若A 是3阶实对称矩阵，且X V ∈，则必有AX XA V +∈；（3）作映射T 如下：011011()101101,110110T X X X X V −−=+∈ −−证明：T 是V 上的线性变换；（4）求T 在（1）中所取基下的矩阵表示。

矩阵论考试题和答案(详细)

一、（20 分）（1）特征值多项式为 f (λ ) =
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、（20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x

北京航空航天大学2009年硕士研究生入学考试试题

北京航空航天大学2009年硕士研究生入学考试试题科目代码：996专业史论综合（共3页）考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）。

（考试时间：三小时；满分150分）一、选择题（每题1.5分，共60分）1.工艺美术运动起源于（）。

A．英国B．美国C．德国D．法国2.在以下几个方面中，不属于现代主义建筑的特征是：（）。

A．实用、经济B．标准化原则C．繁复精美的装饰D．中性色彩计划3.德国魏玛国立包豪斯学校的首任校长是（）。

A．伊顿B．米斯.凡德罗C．迈耶D．克洛佩斯4.长沙楚墓出土的《人物龙凤图》是（）时期的帛画。

A．战国B．秦C．西汉D．东汉5.《历代帝王图》是唐朝（）的代表作品之一。

A．阎立本B．吴道子C．边鸾D．张萱6.中国第一部分体例完备、史论结合、内容宏富的绘画通史著作是（）。

A．《唐朝名画录》B．《画云台山记》C．《历代名画记》D．《画品》7.《康熙载夜宴图》是五代画家（）的唯一传世作品。

A．周文矩B．荆浩C．顾宏中D．董源8.《清明上河图》展现的是（）清明时节的风貌。

A．唐B．北宋C．南宋D．元9.下列哪位画家不是南宋四家。

A．李唐B．马远C．王希孟D．刘松年10.（）提出“南北宗论”，建构了以南宗文人山水画为绘画最高境界的理想模式，产生了深远的影响。

A．陈洪绶B．董其昌C．崔子忠D．石涛11.《苦瓜和尚画语录》是（）的论著。

A．石涛B．弘仁C．八大山人D．方薰12.古希腊美术史通常分期的正常顺序是（）。

A．荷马时期古风时期古典时期希腊化时期B．荷马时期古典时期古风时期希腊化时期C．古风时期荷马时期古典时期希腊化时期D．古典时期荷马时期古风时期希腊化时期13.（）是文艺复兴时期德国最伟大的艺术家。

A．提香B．乔尔乔纳C．阿尔布雷希特.丢勒D．汉斯.维藤14.《大腕岛星期天的下午》是（）最典型的作品。

A．印象主义B．新印象主义C．后印象主义15.布拉克是（）的主将之一。

北航2009-2010 学年第一学期矩阵理论A试题

2009—2010学年 (A)学号姓名成绩《矩阵理论》（A ）注意事项：考试时间120分钟一. 填空 (注: I 代表单位阵,H A 表示H 转置, det(A)指行列式)(1)()det()tr A A ee -⋅= ，1()()A A A A e e e e +----=(2)若2320A A I -+=，则A 有一个无重根零化式为f(x)= (3)若2H A A A == , 则+A =(4)若3阶阵A I ≠-，且220A A I ++=，则Jordan 形A J =(5)311, ,030a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A B ⊗的特征根为(6)211555121,444111333A=, i x i i i ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭, 则谱半径()A ρ取值范围是；且1A x = ；||A||∞=(7)01,10A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则 ( )sin =( )cos tAt e t -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， =A e π (8)1111A=-⎛⎫ ⎪-⎝⎭11A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则的最佳极小二乘解是 ; +A = .. (9)矩阵A 中各列都可用B 的列线性表示(R(A)R(B)⊂)，则有矩阵P 使BP = (10)ｎ阶阵A 的特征根λ，谱半径()A ρ与范数||||A 的大小关系是． (11)A 是ｎ阶阵(k 是自然数),则(),(),||||,|||| kkkkA A A A ρρ之间关系为()tr()A B ⊗=(12)1 0 1A 1 1 2 1 2 3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解为；(13)设123,,εεε是3R 的基，33RA ⨯∈满足：1223323,,2.A A A εεεεεεε===-则有矩阵B 使得123123(,,)(,,)B A εεεεεε=，B = ．二.计算下列各题1. 设列满(高)阵m n A A ⨯=的QR 分解为A QR =，Q 为次酉阵().Hn Q Q I =验证：1H X R Q -=满足A +的4个条件.2.设,000100010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)求23, A A ，(2)由23()()23!tA tA tAeI tA ++++直接计算tA e，并求()tA tA e e +-=. 计算下列各题1. (1)I 为单位矩阵，用Taylor 公式计算验证tIt ee I =且0n neI ⨯=(2)若已知sin()()At B t =, 如何求出矩阵A （写一个公式）(3)已知525252523444173343t tt t At ttt t e e e e e e e e e ----⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭，用导数公式求矩阵A 2.设,A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭210020002(1)求A 极小式；(2)由23((2))((2))2(2)23!()(2)t A I t A I tAtt A I e e I e I t A I ----=+-+++计算tA e3.0.50.5 ,00.5A ⎛⎫=⎪⎝⎭设计算：20()k k I A A ∞=⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭∑5．(1)画出矩阵A 的盖尔圆盘; (2)说明A 有3个互异特征根．1812191.19A i i ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三.( 6分)设A 是ｎ阶正规矩阵,1(A){ ,,}n σλλ=(全体特征根)．(1)写出正规阵A 的含有对角阵与两个U(酉)阵的乘积分解公式；(2)若A 是2阶正规矩阵，(A){1, }i σ=，1i X ⎛⎫= ⎪⎝⎭使得A X X =，求一个U(酉)阵Q ，将A 写成H Q , Q 与对角阵的乘积形式．四.(任选3题共9分 )简证下列各题 1.设•是n n⨯上相容的矩阵范数, 列向,0.nαα∈≠任取nx ∈，令||||x 如下：H x x α定义为，nx ∈. 证明： n nA A , ( A ).x x ⨯≤⋅∈2.设•是矩阵范数，x , x 0 n∈≠使得Ax=x λ; 令n n B=(x,0,0,,0)⨯证明： AB=B λ，且有 ||||B||||A||||B||λ⋅≤⋅(由此你能否推出一个结论？).3. 设A n n⨯∈, A 是相容的矩阵范数, 证明(1) ||I||1≥（I 是单位矩阵）；(2)若A 可逆，则11||||||||A A -≥4. 若A 为n 阶正规阵，1n (A)= {,,}σλλ(全体特征根)，证明1n (A )= {, , }H σλλ(H A 的全体特征根)．五.(11分) 1.设()1111122201T 12, , b 2101 A A --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,124500A A A ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭. 求 A + 与Ax=b 的极小范数解或最佳极小二乘解2.已知111121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， (1)求A 的短奇异值分解; (2)求奇异值分解.六.(8分)21011020, 00012A B ⎛⎫⎡⎤ ⎪==⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭. 求A 的极小式；计算tA e 与()B A e ρ⊗七. (7分)设110011001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个矩阵B (具有正的特征根)，使得2BA =．附加题1.设m mA ⨯∈,n nB ⨯∈,()m nX X t ⨯=∈, 验证At Bt X e Ce =是微分方程：d , (0)d XAX XB X C t=+= 的唯一解． 2 已知5252521252523444173343t tt t Attt ttt t e e e e e e G e G e e e e -----⎛⎫+-=+= ⎪-+⎝⎭求1432A ⎛⎫= ⎪⎝⎭已知121sin()127tA f G f G ⎛⎫=+=⎪⎝⎭求A = 参考题：证明：若A 是正规，则()f A 是正规阵，特别aI bA +为正规阵．设m nA ⨯∈，证明 ()(),()()R N R N H H A A A A ⊥⊥。

西北工业大学矩阵论试题M2009A-解答

西北工业大学研究生课程考试答题纸矩阵论(M2009A) 2010-01-05一、(18分) 填空：1．设A 为3阶实方阵，321,,x x x 为数域R 上的线性空间9V 中的元素，线性变换T 满足A x x x x x x ),,())(),(),((321321=T T T ，在什么条件下，元素组)(),(),(321x x x T T T 线性无关．（321,,x x x 线性无关，且A 可逆．） 2．已知P 是正交投影矩阵，且O P ≠（零矩阵），则=2P（ 1 ）． 3. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1063181A ，问矩阵幂级数∑∞=1k k A k 收敛还是发散？（收敛）其原因是（）．4．设T 为Givens 矩阵，H 为Householder 矩阵，O 为零矩阵，问⎥⎦⎤⎢⎣⎡H OO T是否有可能是Householder 矩阵．（有可能）5．矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1101102000004600035011323A 的Jordan6．设n m ⨯A 的M-P 逆为+A ，O二、(10分) 设a ∙是n C 上的已知向量范数，向量n n z z C ∈=T 1),,( z ，对任意向量n n x x C ∈=T 1),,( x ，定义实值函数}max{H n abC ∈≠=z zz x x 0，其中z x H 表示复数z x H 的模，证明： 1．b x 是n C 上的向量范数； 2．若取1x x=a（向量的1-范数），则∞=x x b （向量的∞-范数）．证 1．任意n n z z C ∈=T 1),,( z ．① 0=x ：00max maxH ===a abz zz x0 0≠x ：0maxH H >≥=aabxx x zz x x② 略． ③ 设n C ∈y ，则有abzzy x yx H )(max+=+aazz y zz x H H maxmax+≤b by x+=故b x 是n C 上的向量范数．2．因为 1111H)m a x (z xz x ∞====≤≤=∑∑∑ni i i in i i i ni ii z x z x zx 所以∞≤∈≠=xz zz x x}max{1H n bC 0；设∞==xi ik x x max ，则有1Hk k k x e xe x ∞== ⇒ ∞=≥∈≠=x e e x z zz x x1H 1H }max{kk nbC 0故∞=x x b ．三、(15分) 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211212112A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-422e )(t t b ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=523)0(x ． 1. 求tA e ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(d dt t t tb x A x +=满足初始条件)0(x 的解. 解 1．3)1(+=-λλA I ，2)1()(+=λλm⇒⎪⎭⎪⎬⎫+'⋅=='++⋅==b g m t f b a g m f tt ])()([e )()()()(e )(λλλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-----ttt t t b t a t b b a ee)1(e e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++=---111222111e 111e )]([e e t t t tt t I A I A 2．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-422)(e ττb A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t t t t t t 452223e 422523e )(A x 四、(10分) 用Householder 变换求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321612000100220A 的QR 分解．解 (1) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100121u ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=00010100001010002T 0uu I H⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02206120001043210A H ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=022*******A(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2211β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11131u ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=122212221312T 1uu I H ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=40021042311A H 令011H H S ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，则有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==000321202210122031110TH H S Q ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=4214234321R ，QR A = 五、(10分) 用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=200121i 70i 6099101i A （1i -=）的特征值．（要求画图表示）解 ① A 的4个盖尔圆为2i :1≤-z G ；159:2≤-z G ；2i 7:3≤+z G ；320:4≤-z G 易见2G 包含着431,,G G G ．② ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11311D ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-200321i 70i 2093103i 1DAD B 31G G '→'：中心距为8，半径和为6 21G G '→'：中心距为82，半径和为924G G '→'：中心距为11，半径和为10 B 的4个孤立盖尔圆为4i :1≤-'z G ；59:2≤-'z G ；2i 7:3≤+'z G ；520:4≤-'z G 其中各含A 的一个特征值．注1：可取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=113.01D ，31625.431320031021i 70i 8.1097.210310i 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-DAD B 注2：可取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1125.01D ，6275.35200421i 70i 5.10925.2104i1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-DAD B六、(15分) 已知A 的M-P 逆为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+120121*********A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10210b ．1. 求矩阵A ；2. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组b x A =是否有解；3. 求线性方程组b x A =的极小范数解，或者极小范数最小二乘解0x . （要求指出所求的是哪种解）解 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→+000001021001101行A （2,121==c c ），FG A =+： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121110F ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+12530361F ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1021001101G ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=+3226423226141G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------===++++3691648108263691648841)(F G A A2-3．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==+2460b A x ，b Ax b AA ==+0，b x A =有解；故0x 是b x A =的极小范数解．七、(15分) 已知多项式空间][3t P 的子空间)}(),(),(),({span 4321t f t f t f t f W =，其中311)(t t f +=，22)(t t t f +=，231)(t t f +=，34)(t t t f +=． 1．求子空间W 的一个基；2．对于W 中的多项式332210)(t a t a t a a t f +++=，定义线性变换321023213210)22()()()]([t a a a t a a t a a a a a t f T -++-++--+= 求W 的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵．解 1．子空间W 的一个基为 311)(t t f +=，22)(t t t f +=，231)(t t f +=． 2．计算基象组：31321)(f f t t f T -=+-=，222)(f t t f T =+=，31323)(f f t t f T +-=-=设A ),,(),,(321321f f f f f f T =，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101010101A ．求P 使得Λ=-AP P 1：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210Λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101010101P 由P ),,(),,(321321f f f g g g =可得323112t t f f g ++=+=，222t t f g +==，32313t t f f g -=+-=T 在基321,,g g g 下的矩阵为Λ．注1：选取W 的基为)(),(),(421t f t f t f 时，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201111000A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210Λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101111002P 注2：选取W 的基为)(),(),(432t f t f t f 时，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210000111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210Λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101002111P 注3：选取W 的基为)(),(),(431t f t f t f 时，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100111111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210Λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=010111111P八、(7分) 设线性空间4V 的一个基为4321,,,x x x x ，线性变换T 在该基下的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡C O B A ，其中C B A ,,都是2阶方阵，O 是2阶零矩阵，证明： 1．子空间},{span 211x x =V 是T 的不变子空间；2．若O B ≠，则子空间},{span 432x x =V 不是T 的不变子空间．证1．记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a A ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C O B A x x x x x x x x ),,,(),,,(43214321T 可得 12211111)(V a a T ∈+=x x x ，12221122)(V a a T ∈+=x x x任意1V ∈x ，存在21,k k 使得2211x x x k k +=，于是有12211)()()(V T k T k T ∈⋅+⋅=x x x故},{span 211x x =V 是T 的不变子空间．2．记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211b b b b B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211c c c c C ，不妨设011≠b ，因为 23V ∈x ，24213112211113)(V c c b b T ∉+++=x x x x x （反证法）所以},{span 432x x =V 不是T 的不变子空间．参考人数：1120 最高分数： 99 最低分数： 24 平均分数：78.52 90分以上：271 59分以下：30。

(整理)北京航空航天大学研究生矩阵理论期末试题-2012.

（7）环境影响评价的结论。
（三）环境价值的定义
（一）安全预评价依据
2.பைடு நூலகம்期介入原则；
本章中环境影响评价制度，2010年的真题中全部集中在环境影响评价这一节。环境保护的对象，环境影响评价制度，环境影响评价文件的组成、文件的报批等是历年考试的热点。目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。

北航矩阵

1 1 1 2 13 1.设 A 1 2 1 2 ， x 0 , (1)求行范数 || A || ，向量范数 || Ax || ． 0 1 2 1 2i (2)画出 A 的盖尔园，判断 A 是否可逆
2. (1) 设 A
1 (21) A 1 2 1 1 2 2 2 的满秩分解为 4
k k
．
(22) 备用：如果 AC , BD 有意义,则 ( A B)(C D) ( AC ) ( BD) (23) 备用：拉直公式 ABC A C T B (24) 备用： A , B 为方阵，则 AX XB C 有唯一解 A 和 B 没有公共二.(18 分)计算下列各题
A ； ( A , 0) = 0
(9)设 A 的各列互相正交且模长为 1，则 A AH (10) A (aij ), 则 tr ( AH A) |aij | tr ( AAH ) |aij |
2 2 i, j i, j
(11) 若 tr ( A A) 0 则 A
H
(12) (正规阵性质)若 A 是上三角形正规阵，则 A 一定是
Bnn (13) 若 0
D 为正规阵，则 D Cnn
a 0 2 1 (14) 备用： A , B , 则 A B 的特征根为 1 b 0 3
1
(15) A 0.5
A iI2 i .
令 f ( x) cos(tx)
0 cos(it ) cos(tA) cos(it )(G1 G2 ) cos(it ) I cos(it ) 0 et e t I （用Euler公式） 2