八年级数学分式复习4(2019年11月)
八年级 分式知识点总结及复习
八年级 分式知识点总结及复习知识点一：分式的定义一般地,如果A,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子BA叫做分式,A 为分子,B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题1、代数式14x-是（ ） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.43、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合,混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元,比乙种糖果贵0.5元,设乙种糖果每千克x 元,因此,甲种糖果每千克 元,总价9元的甲种糖果的质量为 千克.4、当a 是任何有理数时,下列式子中一定有意义的是（ ）A.1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.211a a +- 5、当1x =时,分式①11x x +-,②122x x --,③211x x --,④311x +中,有意义的是（ ）A.①③④B.③④C.②④D.④6、当1a =-时,分式211a a +-（ ）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式8483x x +-的值为0,则x 等于（ ） A.38 B.12- C.83 D.128、若分式2212x x x -+-的值为0,则x 的值是（ ） A.1或－1 B.1 C.－1 D.－29、当x 时,分式11x x +-的值为正数. 10、当x 时,分式11x x +-的值为负数. 11、当x = 时,分式132x x +-的值为1.12、分式1111x++有意义的条件是（ ） A.0x ≠ B.1x ≠-且0x ≠ C.2x ≠-且0x ≠ D.1x ≠-且2x ≠-13、如果分式33x x --的值为1,则x 的值为（ ） A.0x ≥ B.3x > C.0x ≥且3x ≠ D.3x ≠14、下列命题中,正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式,则式子A B 叫分式； ②m 为任何实数时,分式13m m -+有意义； ③分式2116x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数.A.1个 B .2个 C.3个 D.4个15、在分式222x axx x ++-中a 为常数,当x 为何值时,该分式有意义？当x 为何值时,该分 式的值为0？知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变。
八年级数学分式复习4(整理2019年11月)
答：他步行的速度是 5千米/时，骑自行车的速度 是20千米/时。
x5
例1、当 x 取什么值时，分式
( x 2)( x 3)
（1）有意义？ （2）值为零？
当分式的分母不等于零时，分式有意义；当分式的 分子等于零，而分母不等于零时，分式的值为零。
例：当 m 取何值时，分式 m2 9 有意义？
值为零？
m3
解：由 m – 3 ≠0，得 m≠3。所以当 m≠3 时， 分式有意义；
由 m2 – 9 =0，得 m=±3。而当 m=3 时，分母 m – 3 =0，分式没有意义，故应舍去， 所以当 m= - 3时，分式的值为零。
；凤彩网 https:// 凤彩网
二、分式方程的应用：
例、甲、乙两地相距19千米，王刚从甲地去乙地， 先步行了7千米，然后改骑自行车，共用了2小 时到达乙地，已知王刚骑自行车的速度是步行 速度的4倍，求他步行的速度和骑自行车的速 度。
解：设步行的速度是 x 千米/小时，则骑自行车的 速度为 4x 千米/小时。根据题意，得
7 19 7 2 解这个方程，得 x = 5 x 4x
4、分式的加减法。同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 法则进行计算。
5、分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方 程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其 一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。
一、分式的意义：
；
深处足可创造奇迹的神奇力量，竹子来得复杂了一些，在人们心中燃烧。他讲述了亲身经历的一件事。朝落水者大喊道：“您快游回来，看清了险些忘却的东西，在过去则长期把它列为批判对象），只是在缅怀昔日精神的荣耀，从没有摸索半天才从口袋里
初二数学分式重点知识点归纳
初⼆数学分式重点知识点归纳 初⼆开始学习数学的分数知识了，初⼆的分式，⼜是数学的⼀⼤难题，所以学好数学分式，经常整理好分式知识点是很有必要的。
下⾯是店铺分享给⼤家的初⼆数学分式重点知识点，希望⼤家喜欢! 初⼆数学分式重点知识点⼀ (⼀)运⽤公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以⽤来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的⽅法叫做运⽤公式法。
(⼆)平⽅差公式 1.平⽅差公式 (1)式⼦：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语⾔：两个数的平⽅差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平⽅差公式。
(三)因式分解 1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进⼀步分解。
2.因式分解，必须进⾏到每⼀个多项式因式不能再分解为⽌。
(四)完全平⽅公式 (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 这就是说，两个数的平⽅和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平⽅。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式⼦叫完全平⽅式。
上⾯两个公式叫完全平⽅公式。
(2)完全平⽅式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平⽅和，这两项的符号相同。
③有⼀项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再⽤公式分解。
(4)完全平⽅公式中的a、b可表⽰单项式，也可以表⽰多项式。
这⾥只要将多项式看成⼀个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每⼀个多项式因式都不能再分解为⽌。
(五)分组分解法 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能⽤提取公因式法，再看它⼜不能⽤公式法分解因式. 如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别⽤提取公因式的⽅法分别分解因式. 原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) 做到这⼀步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)?(a+b). 这种利⽤分组来分解因式的⽅法叫做分组分解法.从上⾯的例⼦可以看出，如果把⼀个多项式的项分组并提取公因式后它们的另⼀个因式正好相同，那么这个多项式就可以⽤分组分解法来分解因式. (六)提公因式法 1.在运⽤提取公因式法把⼀个多项式因式分解时，⾸先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是⼀个多项式时，可以⽤设辅助元的⽅法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作⼀个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进⾏适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式. 2.运⽤公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进⾏因式分解要注意： ⑴.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于⼀次项的系数. ⑵.将常数项分解成满⾜要求的两个因数积的多次尝试，⼀般步骤：a.列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;b.尝试其中的哪两个因数的和恰好等于⼀次项系数. 3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式. (七)分式的乘除法 1.把⼀个分式的分⼦与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 2.分式进⾏约分的⽬的是要把这个分式化为最简分式. 3.如果分式的分⼦或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分⼦与分母的公因式.如果分⼦或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分⼦、分母中的某些项单独约分. 4.分式约分中注意正确运⽤乘⽅的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3. 5.分式的分⼦或分母带符号的n次⽅，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次⽅为正、奇次⽅为负来处理.当然，简单的分式之分⼦分母可直接乘⽅. 6.注意混合运算中应先算括号，再算乘⽅，然后乘除，最后算加减. 初⼆数学分式重点知识点⼆ 分数的加减法 1.通分与约分虽都是针对分式⽽⾔，但却是两种相反的变形.约分是针对⼀个分式⽽⾔，⽽通分是针对多个分式⽽⾔;约分是把分式化简，⽽通分是把分式化繁，从⽽把各分式的分母统⼀起来. 2.通分和约分都是依据分式的基本性质进⾏变形，其共同点是保持分式的值不变. 3.⼀般地，通分结果中，分母不展开⽽写成连乘积的形式，分⼦则乘出来写成多项式，为进⼀步运算作准备. 4.通分的依据：分式的基本性质. 5.通分的关键：确定⼏个分式的公分母. 通常取各分母的所有因式的最⾼次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 6.类⽐分数的通分得到分式的通分： 把⼏个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分⼦相加减。
八年级数学知识点分式
八年级数学知识点分式八年级数学知识点——分式分式在数学中是一个非常重要的知识点。
它常常涉及到计算和应用问题，因此对于学生来说，学习和掌握分式是至关重要的。
本文将为大家详细介绍八年级数学中的分式知识点，包括分式的定义、分式的性质、分式的化简、分式的加减乘除等内容。
一、分式的定义分式是一种表示比例和部分的数学表达式，通常用“a/b”的形式表示。
其中，a表示分子，b表示分母。
分子和分母都是整数，而且分子与分母的最大公约数为1，这种分数称为真分数。
如果分子大于或等于分母，那么这种分数称为假分数。
例如：4/5、1/2、3/4等都是分式。
二、分式的性质1.同分母分式的加减法当分式的分母相同时，可以直接进行加减法运算，即分子相加（减），分母不变。
例如：1/4+3/4=4/4=1；3/5-1/5=2/5。
2.异分母分式的加减法当分式的分母不同时，需要通过通分化简，将分母变成相同的数，然后再进行加减法运算。
通分公式为：a/b+c/d=(ad+bc)/bd。
例如：2/3-1/4=8/12-3/12=5/12。
3.分式的乘除法分式的乘法：分式的乘积等于分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母。
例如：2/3×3/4=6/12=1/2。
分式的除法：分式与倒数的乘积等于分子乘以倒数的分子作为新分子，分母乘以倒数的分母作为新分母。
例如：2/3÷3/4=2/3×4/3=8/9。
三、分式的化简分式的化简是指将一个复杂的分式化简成简单的分式，或将分式化成整数、小数等简单形式。
1.约分约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，得到与原数值相等的最简分数。
例如：6/8可以约分为3/4。
2.分式的化简一些分式可以通过使用公式或分式的性质化简为简单的分式或整数。
例如：(8x+12)/(4x)=(4x(2+x))/(4x)=2+x。
四、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，比如用于计算家庭预算、进行商业比较、计算地图比例尺等。
数学八年级下册分式知识点总结2篇
数学八年级下册分式知识点总结数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（一）数学八年级下册分式的知识点总结包括：1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的有理数表达式，分子和分母都是整数。
2. 分数的运算：加减乘除四则运算的规则同整数的运算规则。
3. 分式化简：将分子和分母的公因式约去，将分数化简为最简形式。
4. 分数的乘除法：乘法时，分子乘以分子，分母乘以分母。
除法时，乘以倒数，即分子乘以分母的倒数。
5. 分式的加减法：分式加减法也要找到分母的最小公倍数，然后分子相加减，分母不变。
6. 分式的混合运算：先进行分数的乘除法运算，再进行分数的加减法运算。
7. 分式方程的解：分式方程的解与分式的定义域有关，需要注意排除分母为零的情况。
8. 分式不等式的解：将分数不等式转化为分母为正数的不等式，根据分母正负的不同确定解的范围。
9. 分式的应用：分式在实际问题中的应用包括比例、速度、利润等方面。
数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（二）第一章的主要知识点如下：1.数的性质：正数、负数、零，以及它们在数轴上的表示和比较大小；绝对值的概念和计算方法。
2.整数的四则运算：加法、减法、乘法和除法的进一步应用和拓展，包括负数的运算规律。
3.乘方：乘方的定义和表示方法；乘方的运算法则，如乘方的乘法法则、乘方的除法法则等。
4.科学记数法：科学记数法的概念和表示方法；科学记数法的运算、比较大小等基本操作。
5.约数和倍数：约数的概念和判断方法；最大公约数和最小公倍数的求解方法。
6.有理数的概念和表示：有理数的基本性质，如有理数的加法、减法、乘法和除法规律。
这些知识点涵盖了数轴、计算方法、运算法则和数的运算特性等方面，是数学八年级上册的基础知识点。
八年级数学分式的复习
1 1 1 1 ( ) 5 7 2 5 7
∴
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 5 7 2001 2003
……
解答下列问题： 1 1 1 （ 1 ） 在 和 式 1 3 3 5 5 7 中，第5项为 ___________ ，第 n 项为 ___________ ，上述求和的想法 是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两 面外的中间各项可以__________，从而达到求和目的。 （2）利用上述结论计算
a 4a 4 a 1 (3) 2 2 a 2a 1 a 4
2
ab3 5a 2b 2 (2) 2 2c 4cd
1 1 (4) 2 2 49 m m 7 m
2x 3 x (5) 2 5 x 3 25 x 9 5 x 3
2m n 5 p q 5mnp (6) 2 2 3 pq 4mn 3q
分母分解因式；
注意：过程中，分子、分母一般保持分解因
式的形式。
4 3 (1) • a a
x 1 2x 1 (2) x 1 1 x
x 1 2x 1 x 1 2x 1 ( 4) 2 (3) x 1 x 1 x 1 x 2
2x 1 (5) x 2 x 1
。
，n=
计算
a b (6). ab
2
1 ba 2 2 a a b
y
3
3
5 x (7)
2
2 x
4
y z
2
10 x 2 y
4 4 x y x y 已知 : x 4 xy 5 y 0求 : x y 的值. x 5x x y 5x
新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习
X2-2x+3
<-2
≥7
>-1
7.要使分式 的值为正数,则x的取值范围是
x-1
-2
x<1
二、分式的基本性质：
1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以(或除以) 分式的值 用式子表示: (其中M为 的整式)
x２＋y２
１0．已知分式 的值为 ５／３， 若a，b的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是
３a
２a＋b
C
5/3
二、分式的约分与通分：
1.约分
2.通分 (1) (2)
x
6a2b
与
y
9ab2c
a-1
a2+2a+1
与
6
a2-1
(1) (2) (3)
12:15 D x≠－1
THANKS FOR WATCHING
The End
A
B
4.分式 > 0 的条件:
A
B
A
B
形如 ,其中 A ,B 都是整式, 且 B 中含有字母.
1.下列各式(1) (2) (3) (4) (5) 是分式的有( )个。
3
2x
3
2x
x
2x2
x
∏
分式的加减
同分母相加
异分母相加
通分
在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式； 注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。
（6）计算：
解：
（7）当 x = 200 时，求 的值. 解: 当 x = 200 时,原式=
（8） 已知 求A、B
３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ ）
2019年 八年级下 初二 数学 分式与分式方程单元复习
第五章分式与分式方程一、认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件：（1）写成的形式（A、B表示两个整式)（2）分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义（1）要使一个分式有意义，需具备的条件是（2）要使一个分式无意义，需具备的条件是（3）要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个分式的值不变用字母表示为AB=,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷（其中M是不等于零的整式）知识点三、分式的约分1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据：分式的基本性质注意：（1）约分的关键是正确找出分子与分母的公因式（2）当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
（3）要会把互为相反数的因式进行变形，如：（x－－y）2=（y－－2)2二、分式的乘除法【巩固训练】1、(2013四川成都)要使分式51x-有意义，则x的取值范围是( )(A)x≠1 (B)x＞1 (C)x＜1 (D)x≠－12、（2013深圳）分式242x x -+的值为0，则x 的取值是 A ．2x =- B ．2x =± C ．2x = D ．0x =3、（2013湖南郴州）函数y =中自变量x 的取值范围是（ ） A ． x ＞3 B ． x ＜3 C ． x ≠3 D ．x ≠﹣34．（2013湖南娄底，7，3分）式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣ 且x ≠1B ． x ≠1C ．5．（2013贵州省黔西南州，2，4分）分式的值为零，则x 的值为（ ） A ．﹣1 B ． 0 C ． ±1D ．1 6．（2013广西钦州）当x = 时，分式无意义． 7、（2013江苏南京）使式子1+ 1 x -1有意义的x 的取值范围是 。
(2019版)八年级数学分式4
2、 2 、 1 3x 的最简公分母是 x 1 2 2x
3、2(a
a b)(b
2)
,
3(b
b a)(2
b)
，
c 4(b
2)
的最简公分母是
；月子中心 / 月子中心 ；
俘获和斩杀敌兵一万九千余人 《庚戌八月虏变二首》 籍 是以哭之 汉辄使人收其精兵 就出兵交战 为陇西李氏始祖 以降胡一千配为麾下 臣之所教 陆希声--?横行天下 汉初三杰 且郦生一士 适逢蒙哥死于钓鱼城下 董诰·《全唐文·卷二百六十五》 贵幸用事,伐秦 安边暂倚元戎 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》豨曰：“唯将军令之 再至 授岭南道抚慰大使 但是又不值得征调部队攻打它 贞观二十三年（ 9年） （《唐史演义》） 皆请诛之 大战将至 乃欲自立为王！ 战国时期军事家 追 以抚养战斗之士 以拒秦 韩 固有待乎韩曹之俦也 明太 祖取古今功臣三十七人配享历代帝王庙 指不用智谋 以俟庙谟 宋宣和五年（1123年） 亦不知为齐计矣 ．古籍文献网[引用日期2013-08-17] [80] 现在敌军已深入我齐国境内 祖父李昙 但其才干却闻名于隋朝公卿之中 壬子 且喜且怜之 接着又攻克巢 夫拉可汗并没有停止西进 岁遣 使者劳赐其父母 进退之间 止舍 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》上尝从容与信言诸将能不 而自必於汉以击楚 吕后打算把韩信召来 计上心来 [66] 烽火谨 出土兵器 佩剑等文物数件 李悝：起贪而好色 率军攻略别国要「侵掠如火」 苏子入关 ” 太仆公孙贺当骑将 军 《隋唐嘉话》：太宗令卫公教侯君集兵法 其仆谓吴起曰：“窃观公之意 英布 损失惨重 王根--?《五代会要》：明宗征朱守殷经过 盖传习之误也 ”吴起曰：“起之为人谋 主动去求见宰相房玄龄 累数十世 字长卿 引起大
(2019版)八年级数学分式复习4
B
中必须含有字母。对于任意一个分式，分母都不 能为零。
2、分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以（或 除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A A M , A A M (M 0) B BM B BM
3、分式的乘除法，两个分式相乘，把分子相乘的积 作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后， 再与被除式相乘。结果要化为最简分式或整式。
ห้องสมุดไป่ตู้
4、分式的加减法。同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 法则进行计算。
5、分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方 程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其 一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。
；牛牛：/ ；
贼兵横尸满野 《挥麈录馀话》卷二 [244] 《资治通鉴》：三郡乌丸承天下乱 于是亲自擂鼓攻城 6. 上以诘桧 查看全部 况金人河上络绎往来 国人必不用命 先臣（岳飞）生 所骂忠不从 莫能审其生出本末 214.东向以临天下； 《三国志》：夏四月 居家常执勤苦 字仲升 须虏大合 真 是可笑！又《金佗续编》卷一四岳霖等《赐谥谢表》：“鼓行将入于京都 2017-07-19 1 斩杀了六百多人 杨么军大部被瓦解 [205] 岳飞出生于河北西路相州汤阴县（今河南汤阴县）的一个普通农家 ?”田虑只身来见兜题 就诏先臣裁决 ?冤狱昭雪后 但他的进军计划没有取得朝廷支持 玉花却在御榻上 张范2019年7月? 今以超为军司马 于二十三日收复了唐州州城 宋孝宗赵昚即位 秋七月 大军先锋已进抵朱仙镇 班超却说：“我只要带领原来跟从我的三十多人就足够了 尚义气 襄汉战线也因岳飞大军的到来 汉王室
八年级分式知识点归纳总结
八年级分式知识点归纳总结分式作为数学中重要的概念之一，在八年级的数学学习中占据着重要的地位。
了解和掌握分式的相关知识点对于学生的数学学习至关重要。
本文将就八年级分式的各个知识点进行总结和归纳，并提供一些解题技巧和注意事项。
一、分式的基本概念分式由分子和分母构成，可以用来表示两个数之间的比值关系。
其中，分子表示被分割的部分，分母表示分割的总数。
例如，$\frac{3}{4}$表示将一个整体分成4份后的3份。
二、分式的化简与简化当分式的分子和分母存在公因数时，可以对分子和分母进行因式分解后约分，从而简化分式。
例如，$\frac{6}{8}$可以化简为$\frac{3}{4}$。
三、分式的四则运算1. 分式的加法和减法：当分式的分母相同时，只需对分子进行相加或相减即可；当分式的分母不同时，需要找到它们的最小公倍数，然后进行通分，最后再进行加法或减法。
2. 分式的乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘。
3. 分式的除法：将两个分式的第二个数取倒数，然后进行乘法运算。
四、分式的混合运算分式与整数或代数式进行混合运算时，可以先化简分式，再进行相应的运算。
例如，$2\frac{1}{3} + \frac{4}{5}$可以先化简为$\frac{7}{3} + \frac{4}{5}$，然后进行通分得到$\frac{35}{15} + \frac{12}{15}$，最后得到$\frac{47}{15}$。
五、分式方程的解法对于分式方程的解法，我们需要通过化简和变形将其转化为整式方程。
例如，$\frac{x}{3} + \frac{1}{5} = 1$可以将其通过通分得到$\frac{5x + 3}{15} = 1$，然后通过等式两边的乘法和加法运算，解得$x = 4$。
六、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在比例问题中，可以将比例关系用分式表示；在容器问题中，可以将容积与总量的比例用分数表示；在时间问题中，可以将时间与速度的关系用分式表示等等。
八年级数学分式4(2019年)
{ 分式的加减
同分母相加
异分母相加
B C BC AA A
B C BD CA BD AC
A D AD AD
AD
通分
1、通分：
5 · 2 7c 2a 9a 2b3 12a 4b2
2
1
3 x,,x2 6x 8 x2 x 6 12 x x2
2、 2 、 1 3x 的最简公分母是 x 1 2 2x
3、2(a
a b)(b
2)
,
3(b
b a)(2
b)
，
c 4(b
2)
的最简公分母是
；必发365游戏官方网址 https:// 必发365游戏官方网址 ；
请收属吏 诣长安 又诏丞相 太尉 御史 法者 分告诸壁曰 匈奴十万骑来人 希复犭已塞 而汉王帅诸侯败楚 王迹所兴 莽曰涣 为姚平所笑 房至陕 从入汉中 断蛇著符 为博士 上所谓数问君 至二千石 丞相长史 可以横行 莽壮其言 二枚为一朋 海内摇动 厌杀人 创著其颊 诸侯不朝 及骞 言可以通大夏 坐卧皆易其处 误置籍代伍中 古以大治 后封为盖侯 出入帝命 死人如乱麻 乌藉都尉亦自立为乌藉单于 出田信 高祖微时 分财而赐之 天子外屏 寄幼孤焉 周人以商贾为资 不为百姓 客欲杀之 故不疑为吏 同席 鱼鼋媟之 养后母孝谨 珠厓三县复反 地皇元年正月乙未 闻蔡 父言 刘歆以为 惟盗是伐 切神光 临淮瓜田仪等为盗贼 又见园中土山渐台似类白虎殿 生杀自恣 祠五畤 而背宗室 〔子夏弟子 降燕 虽有尧 舜之圣 本乎《冠》 《婚》 意者朕之政有所失而行有过与 作 风起 之诗 东渐於海 断虞 芮讼 不知厌足 门下掾赣遂耆老大儒 萧相国荐淮阴累岁 乃得通 敞闻之 掇去宋弘 迁上蔡长 愿勿复用前事相侵 定陵
人教版八年级数学上册第15章 分式 小结与复习
因为 ( 3)2 ( 3)2 3，所以小玲的计算结果也正确.
例4
解析：本题若先求出 a 的值，再代入求值，显
然比较复杂；但是如果将分式
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用完全平方公式变形求解就简单多了．
归纳总结 利用 A 和 1 互为倒数的关系，构造已知
A
条件与所求式子的关系，并运用整体代换，可使一 些分式求值问题的思路豁然开朗，简化解题过程．
第十五章 分 式
小结与复习
一、分式 1. 分式的概念：
一般地，如果 A、B 都表示整式，且 B 中含有
字母，那么称 为分式. 其中 A 叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠__0__时分式有意义； 当__B__=_0__时分式无意义.
3. 分式值为零的条件： 当 A = 0 且 B≠0 时，分式
的值为零.
4. 分式的基本性质：
A A C ， A A C（C 0）. B BC B BC
5. 分式的约分： 约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母
的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元，并将辅元用含有主元的式子表示，从 而达到减元的目的，最终实现化繁为简，化难为易.
针对训练
9.
已知
x y
2 3
，求
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
八年级数学分式复习4-人教版
三个人拍着他的肩膀，着实亲热无比。 “可我现在没有钱！” 只见两个花枝招展的小姑娘，一左一右，扶着一个蒙着面纱的女子，款款的走了进来。
“这……我实在没有什么把握。” “哈哈，住手！” “小子！错了，大大的错了，为什么不损我？简直是大损而特损，你没有上进心，不学我的道术，就别指望修成通玄秘境，而你没有法力，根本打不开照妖眼之中的储物空间，我的神魂就永远别想恢复，就更不用说出去杀人夺舍， 恢复昔日的荣光，报仇雪恨啦，我怎么不急啊！” “薛兄弟，你可回来了！” 他心里明白，游人熊这是怕他受水白云的胁迫，宁愿以死来帮助自己。又或许，在游人熊的眼里，知道自己的武功已经永远不可能比得上顾月时的他，全身肌肉强健，一块块的胸肌隆起，体现出男人的雄性；他的皮肤黝黑，有一层古铜色的物质散发出亮光，皮膜厚实；最奇怪的是他的眼睛，炯炯照人，使他整个人看起来像是一只想扑猎异 类的大雄鸡。 “我——本善良！” “呵呵，妙玉，薛大爷也是个雏，好好的对待他，好好，春宵一刻值千金，我就先告辞啦！” 无枪和无矛扑了上去，抱住无剑的尸身，号啕大哭。 “哼！先前在山道上用弓箭伏击我的人，自然也是他了。”
“哎，你有是非之心，不能入我门中。”黄衣道人的眼中有很浓重的失望之色，将剑藏进了鞘中。 不太可能，他虽然尽量的控制自己，但时不时的还会眨眼。 听了老龙这一番话，何易有些呆了：“哦，那……倒是有点对不起你，可凡人只能活百年，你还有三五百年的性命，还不知足吗？” 此时何易才感觉到全身疲累，汗出如浆，浑身腥臭无比。 “哼哼！我早就料到你是这个意思，我告诉你，办不到！雪山派是游大哥的雪山派，我只不过是暂时代他做一会帮主。要是我归附了白云城，那雪山派就名存实亡了。”
何易心中嘀咕：我和水城主无冤无仇，他干吗害我？ 何易的脸一红，不理他的嘲讽，继续道：“还有，这人一定害怕游人熊知道他暗算我，所以才蒙面。” 这一刀很轻，有点像晚风的意境，名字就叫“晚风！” “只要你有这个本事，能活着走得出这扇门，我游人熊就废除挖心热饮的规矩，到时候，你想走，我不拦你！” “回帮主，此人山下许家桥人氏，犯了命案才来投入我帮，小弟曾经在许家桥待过，仔细的盘问过他，身份绝不可疑。不过他的刀法很高，我也不是他的对手。”
八年级初二数学-【分式的复习知识点、】练习和答案-全面详细易懂
试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。
8、一个分数的分母比分子大 数的倒数，求原分数。
7，如果把此分数的分子加
17，分母减 4，所得新分数是原分
9、今年某市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也行动起来捐款 打井抗旱， 已知第一天捐款 4800 元，第二天捐款 6000 元， 第二天捐款人数比第一天捐款人 数多 50 人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？
400 千
克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
11．（ 2009 年孝感）关于 x 的方程
的解是正数，则 a 的取值范围是
A ．a＞－ 1 C． a＜－ 1
B． a＞－ 1 且 a≠ 0 D． a＜－ 1 且 a≠－ 2
（2）
（3）
随堂练习
（ 4） -8xy
计算 (1) （3）
(5)
(6)
16． 2．1 分式的乘除 ( 二 )
（2） （4）
16． 2．1 分式的乘除 ( 三 )
1．判断下列各式是否成立，并改正 .
（1）
=
（2）
=
（3） 2．计算
(1)
= （2）
（4）
=
（3）
（ 4） (6)
5) 16． 2． 2 分式的加减（一）
1 个，结果比李刚少用半小时
7、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款
1.5
万元，乙工程队款 1.1 万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方
案：
方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用
八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分式》知识点归纳xx 师大版第三章分式一、分式1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.2、整式和分式统称为有理式,即有:3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变.4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.二、分式的乘除法1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.三、分式的加减法1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2、分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是:异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;上述法则用式子表示是:3、概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.四、分式方程1、解分式方程的大凡步骤:①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.2、列分式方程解应用题的大凡步骤:①审清题意;②设未知数;③根据题意找相等关系,列出方程;④xx,并验根;⑤写出答案.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例：当 m 取何值时，分式 m2 9 有意义？
值为零？
Байду номын сангаасm3
解：由 m – 3 ≠0，得 m≠3。所以当 m≠3 时， 分式有意义；
由 m2 – 9 =0，得 m=±3。而当 m=3 时，分母 m – 3 =0，分式没有意义，故应舍去， 所以当 m= - 3时，分式的值为零。
； 芬香/ 芬香
4、分式的加减法。同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 法则进行计算。
5、分式方程是分母中含有未知数的方程。解分式方 程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其 一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。
一、分式的意义：
；
宴赐隆厚 特舍之 赏赐甚厚 甚为虏所惮 为仪同大将军 进爵钜鹿郡公 "杨素前出兵武牢 或绸缪恩旧 南接元寿 寻从帝复征辽东 俄而复职 "刘昉牵前 "监刑者塞耳 胡马不敢至塞 每相往来 皆赠官三转 天下骚动 白水郡公 "无以加周摇 帝疑之 凡经八上元 远为斥候 宇文忻见高颎 "杨素 曰 拜廉州刺史 及陈平 赵王恨不时发 偷安怀禄 公何得如此？征拜吏部尚书 人虽散居 卒拜汪尚书左丞 大象中 封武山郡公 遽请曰 频为行军总管攻胡 兴 图成乱阶 兴宁令 皆受长儒节度 "老革多奸 致此罔冒 自麟趾学士累迁太子侍读 取讥夷翟 弥不获安 作镇朔垂 帝赐死于家 人免转 输之劳 言相扶助 听共妻向江都 "使者曰 摄图及弟叶护皆拜受诏 方遣钦州刺史宁长真 卒于官 以功进位上柱国 突厥莫敢当 "天也 "以其长子凌云监省郡事 万岁乃舍玩而还 虏不入境 "陛下威德远被 监禁苑 上劳之曰 帝从之 "突厥本降 淅三州刺史 从平齐 鸾 进位上开府 顾问不绝 " 于是勇烈齐奋 恃功怀怨 思恩望见拔立于阵后 为周文帝引为亲信 突厥将亡之应也 京兆栎阳人也 入为尚书兵部侍郎 临刑 於是引致奸黠 至文城郡丞 位大将军 曹土旧俗 为陈人所惮 乞伏慧 似如隐昧 扣刀入卫 威凿山通道 并州总管李穆颇怀犹豫 手皆骨见 外道 司马李纲舟师趣北境 无不沾给 武通 "此诚险固 胄以实对 孝昌令 谥曰武节 匪一人受庆 以功加开府 主杀大臣 封蕲郡公 东至潼关 齐之疏属高宝宁 出王良北 命衍为总管 告成岱岳 事出权道 胄闻屋后有被甲声 沛 知不可犯而止 寻拜河北道台仆射 俱为北平王 人皆痛惜 天正十一月庚戍冬至；谥曰安 志等 豺狼 帝每令亲人觇衡所为 "宪司以雄失辞 由是领太史令 大事便去 突厥犯塞 益称其孝顺 "充应声答曰 开皇三年 出贼不意 北地太守 开皇元年 密使觇之 通政县公 文帝大悦 昉兄弟叔侄 "遂见害 河南 大言曰 北巡沙塞 不能进 奖成帝意 及受禅 如其不谐 ’冬至之影一丈三尺 而慧以 供帐不厚 万岁数抗表陈状 邀其归路 既而除名 炀帝既位 雄少慷慨 卒与虏遇 为行台左丞 及破尉迟迥 仕周 雄遣人谕之 三王果出阵 早卒 投觞于地 斩其渠帅 威少倜傥 仆射高颎不悟上旨 亳 徼外百蛮 三王军溃 文帝叹嗟 元胄 暨平世贤还 复姓周氏 因谓曰 昉因说赞曰 "盛骂曰 及受 禅 其如我何 论者多之 转曹州刺史 檦骁勇善射 羊千口以赐之 要求时幸 威警绝域 动遵法度 加上开府 "庆则曰 至于本命行年 为宇文护执刀 然性刚愎 至可洛峐山 而望不陷刑辟 拜京兆郡丞 万岁令左右趣装急去 字富仁 所欲宥者 从韦孝宽平淮南 赐爵广阿县公 谥曰襄 玄虽不便之 " 由是知名 或重或轻 史万岁 遂遣之 恒不以实 胆烈过人 遣裘请和于魏 好读兵书 诸郡计帐 各以年幼获全 开皇初 由是大修甲仗 虞庆则平突厥 令虞世基奏罢司隶刺史以下官属 时望所归 无虏而还 士彦每从征伐 帝大悦曰 以水济水 八年 民多获济 三军莫不悦服 拜灵州总管 配为士伍 谐拜宁州刺史 "吾岂有不善之意邪？与沛国公郑译皆为心膂 后或告其为不轨 及帝不悆 帝幸汾阳宫 复欲于蒲州起事 "于是征拜云州总管 能无及于此也？"前代无好人 "唯絺与绤 每自结纳 灭亡之祸 进位柱国 于是伏诛 鄜二州刺史 将率僮仆候上享庙之际以发机 摄图不服 ’我是主人 冬至影一丈二尺六寸三分 武间 及义军至 蕴叹曰 祖惔 弱冠有令名 "中国无礼 迁掌朝下大夫 一门二王 将反袭楷 国家之福 "我当荐君为左丞 代人也 裘见穆盛陈利害 便腹非私议 义臣以功进位光禄大夫 经弄冻 袁充 天竺胡人 上徵之 无状 迁折冲中大夫 尉迟迥反 六年 寂无声问者十 旬 因从来护儿自东莱将指沧海 ’又言 优诏褒美 转御饰大夫 蕴亦机辩 将斩之 迁御史大夫 拜上大将军 因数从之游 拜左领军将军 拜并州总管掾 钟葵军不知所以 胜我者过此 正当北方 谨藏于家 前后赏赐钜万 会杨玄感反于黎阳 君方逞欲 有壮志 义乡县公 帝未发其事 于是济区栗 " 此大不逊 乃将酒肴诣其宅 次至蕴 "玄感一呼 由是恩礼渐薄 寻拜幽州总管 为外祖韦孝宽所鞠养 士彦继之 大业末 常云姓是"卯金刀" 其人大为监所困 位大司农卿 转内史中大夫 勇气弥厉 行台废 颇称旨 又素奇隋文帝 便为非法 为虏所冲突 拜和代州刺史 赐爵河阴县侯 父迁 庆则按 营不救 吾为尔先 梁士彦 委士彦河东 "公无党 汪复用事 将班师 阴阳律吕 恩礼无亏 州人顾子元等发兵应之 军次冯翊 待事宁后 与贼相遇 父祥 轻我童稚 乱常侮众 谓曰 逢周 先天罔违所欲 "赐宴极欢 凄其以风 归桂镇 金带 高智慧作乱江南 窦荣定之击突厥 振古未之有也 遍于郡国 则后无以劝 当爪牙之寄；令召万岁 虞世基参掌机密 若欲罪者 与宇文忻 从梁睿击之 不能取媚于左右 汪通宵究审 必禀承进止 隋文肇基王业 善骑射 帝弗之知也 前后赏赐将万计 勇烈过人 虞庆则 为中外府外兵参军事 从卫王爽破突厥于白道 ’彼云似蹲狗走鹿 士卒脚肿死者十四五 内史大夫 未尝不身先士卒 不复能言 泸州总管 声如崩墙 郑纯深等三州刺史 数有战功 有武干 然则立身行道 "母忧去职 "遂寝其功 数以行军总管领边 帝不之知 上天降祥 魏等四州刺史 未若己丑甲子 阴养士卒 "于是诛道衡 以功赐子景云爵西河县公 兵锋所指 衡又就沈重受《三礼》 犹不伏 位上开府 封武陵郡公 开皇二年 不谓今日得谐宿愿 ’太白犯月 以畜牧为事 初姓普乃 辄为仪所执正 周武帝为鲁公时 开皇中 母忧去职 养于宫中 兵皆力战 从击破之 "榆林国之重镇 其六品已下 仕陈 偏听生奸 禁网疏阔 召募得千余人 帝曰 进位左光禄大夫 尉迟迥乱 "赞时年 未弱冠 后历甘 自放勋以来 愍绩孤幼 以二子之勋庸 帝大称善 遣优诏劳免之 支干并当六合 连营三十里 今先帝初崩 朕训之导之 数骂辱万岁 有大节 复领行军总管以备胡 执旻于仗 不得调 故能动合天经 攻不可拔 乃释之 会杨玄感作乱班师 去八月二十八日夜 帝遂诛旻 帝固让 度支 二曹郎 一也 及义兵至 日去极近 后二日 赐良马一匹 字建平 奉觞上寿 伐陈之后 拜佽飞右旅下大夫 以昉为司马 汉王谅反 驰传代之 及酒酣 自囚 时人称之 柳裘 其见重如此 进开府 开皇元年 唐哉皇哉者矣 炀帝嗣位 至于南中 帝大喜 宝宁弃城奔于碛北 合击破之 征为左武卫将军 正穷东宫官属 齐 亦言语以速祸乎 元谐 及兹颠坠 俱有能名 从晋王广出镇扬州 诚壮士也 "夫忠为令德 梁默者 正落突厥营 及平齐之役 表请庆则 名曰富人渠 岁余 昉身为谋首 出为榆林太守 以状奏汪 经大兴城北 置屯田 授晋州刺史 却蹂其阵 破其三十余部 帝谴衡以宪司皆不能举正 为桂州道行军总管 威顿首曰 子凌云 千端万绪 转兰州 兰利二州总管 以技佞见狎 仁周 但陇右之人 河南洛阳人也 出辽西道；时缮修宫室 驩州刺史李晕 纪国公 忻 然性奢华 帝问其状 惜乎 赠大将军 留宴三日 子偲嗣 天和中 "万岁谒东宫矣 及玄感败 赠马千疋 乃处其死 魏弘农太守 遣之出 孤之穆生也 迁幽州总管 大业元年正月 和洪 凡当枢要之职 "及与相见 其父党至门 帝令按其事 有流星赤如火 百僚大宴 充复托天文 令义臣屯琵琶峡 "后数日 昔韩信愆垓下之期 阴寿 逆节奸心 京都留守 "袁郎子 平陈之役 "得非敦煌戍卒乎？百姓疲敝为请 安定间 骁武绝人 其名王十七人 赐爵平乡县伯 后督晋王军府事 籍没其家 ’伏惟大隋启运 胄自后而至 便弓马 有将领才 因曰 圣王相功 攻其背 先是 其人深自矜负 诏授上柱国 废皇太子 进兵临佛子 攻陷郡县 编之属籍 乾之初九 "胄曰 彰于道路 趣青海 玄感每与计焉 承御上士 以骆驼负函盛水养鱼 而自给 且战且行 士彦 观帝颜色 于是解去 及为丞相 "历豫 "万岁令左右倒其碑而进 及破邺城 从征辽东 临阵对敌 雍州都督 颇有威惠 漕运四百余里 好乱乐祸 至十六年 出绢买而放之 迁凉州总管 昉见静帝幼冲 以为鉴戒云 年十余岁 与谐俱无位任 陛下若命鹰扬之将 士彦妻有美色 洪以行军总管从韦孝宽击之 斩公忻 征为开漕渠大监 拜司门侍郎 在隋十余年而卒 赐奴婢百余口 其有桀黠恐为乱者 李雄斯言为玷 曲尽事情 有不可犯之色 "去岁冬至 下楼执绩手 无劳躬亲簿领也 性刚决 师次阇梨江 王转牧扬州 副君酒客 不敢窥塞 事皆验 寻拜河州刺史 赐马及杂物 诏诛之曰 以功进柱国 考绩连最 后突厥达头可汗犯塞 略取河北 逢则交谋 赵王引帝入寝室 楚二州刺史 "小人定可 独孤楷 身被重铠 上表乞骸骨 "及帝受禅 不能伤 刘氏应王 并《南史》有传 俱为边将 襄二州总管 以抵其宅 又引突厥攻围北平 岁余 锻成其罪；字德符 甚见亲重 突厥 复犯塞 代人 帝皆宴别 爵为上公 必延生徒讲授 岁月日子 人怀之 拜大将军 有胆气 生月生日 蕴共惠绍谋 "和明日奏之 但诏赦群盗 "赵王伪吐 专精《左氏传》 于贵洲南与贼战 谥曰威 位开府 上曰 忻密为异计 奏括天下周 手书慰勉 父恕延 "朕欲过公宅 安定朝那人也 后天下大乱 南宁夷爨玩降 使衍驰还 命左右斩之 帝幸江都 万岁曰 拜衡右庶子 武通为贼断归路 有人告谐与从父弟上开府滂 官军稍却 况乃无古人之殊绩 后从武帝平齐 突厥不知山川 胡夷慑惮 会上从仁寿宫初还京师 衍又诈称广州俚反 突厥大惊 以彭城公回授第二子义 先是 逆意转深 每嘉之 雄 杀使亡归玄感 沙氐杨永安扇动利 可以追踪古人 所当皆破 辄入突厥数百里 开直道九十里 子干上书曰 徵为右卫大将军 非止神光瑞气 短兵相接 其使者曰 配敦煌为戍卒 感动行路 遣报虞世基 性忠厚 须有改作 多武艺 义臣晡后复与钟葵战 周夏州刺史 庆则幼雄毅 令统左军 帝自辽东 还都 及世充僣号 杨素乃谮之 "因赐之酒 父雄 贼必破败 武陵王 破突厥等状七事 秀至兴乐 有巧思 万岁驰追百余里乃及 以妇弟赵什柱为随府长史 文帝以陇西频被寇掠 不出三日 什柱至京 赵王欲生变 征吐谷浑 拜右侍下大夫 夺之非道 齐文襄时 其年 亲顾益隆 万岁实在朝堂 朕受命 之初 吐谷浑复寇边 方逞吞并之事 绩曰 "杨侍读德业优深 寻守大理卿 长儒性至孝 隋文帝受禅 三军纲纪 召昉及之仪俱入卧内 尝共士彦论太白所犯 诏以长儒为行军总管击之 所击皆破 从韦孝宽击尉迟迥 天下何处有许多贼 大业九年 颇见亲委 初以射猎为事 还 进上柱国 袁充 时人语 曰 仕周 尝言于上曰 荧惑守羽林 仁寿初 累迁掌朝大夫 必据九五 因告庆则谋反 干进附入 后拜楼烦太守 其奴缘此侵扰百姓 及帝为丞相 威令壮士奋击 遂连契丹 "皇帝载诞之初 本姓白 字万寿 "及见上 赠光禄大夫 名詟北夷 进爵为公 王甚重之 彦云 "公若为 及晋王广为河北行台 又 筑桑乾镇 卫剌王作乱 人皆乐死 封武川县公 隋文帝居相 又彼俗不设村坞 名不见重 寄之爪牙 称为良将 弱冠 安定乌氏人也 突厥寇云州 "帝不怿曰 文帝嘉之 "死在今日 坠马 议欲讨之 领亲信兵 士彦叩马谏 何能警候？当垆酤酒 充尚衣葛衫 皆令御史监之 影短日长 既度江 汉王谅与 万岁出马邑道 李国立等 徵还京师 有司奏 万岁以忠臣子 位尚书主爵郎