2013届高考一轮数学复习理科课时作业 4-7
2013届高考数学一轮复习课时练 第1课时 集合 新人教版 理
2013届高考一轮数学复习理科课时练（人教版）第1课时 集合1．(2011·大纲全国)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{1,4} 答案 D解析 依题意得，M ∩N ＝{2,3}，∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.2．(2011·某某)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞) B．(0，12)C ．(0，＋∞) D．(－∞，0][12，＋∞)答案 A解析 因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．3．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由P ∪M ＝P ⇒M ⊆P ，即a ∈P ，又P ＝{x |－1≤x ≤1}，因此a 的取值X 围为[－1,1]，故选C.4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( )A ．M PB ．P MC ．M ＝PD ．M P 且PM答案 A解析 P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2，a ∈N *}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．5.如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分所表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则AB ＝( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 答案 D解析 依据定义，AB 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y ＞1}，依据定义得：AB ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．6．(2011·某某)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析 由题意知，集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.7．(2012·某某模拟)设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8 答案 C解析 当x ＝1时，y <3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y <2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y <1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7，选C.8．(2011·某某)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 答案 C解析 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1<2，即x 2<1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.9．(2011·某某)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x |－1<x <3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3. 10．(2011·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合AB 的对应关系如下表：________.答案 {2011,2012}11．a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 C解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a ＋b 或a 为0.注意后面集合中含有元素b a，故a ≠0，只能a ＋b ＝0，即b ＝－a .集合变成了{1,0，a }＝{0，－1，－a }，显然a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2，选C.12．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．答案 10解析 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈A ∩B ；(2){9}＝A ∩B . 答案 (1)a ＝5或a ＝－3 (2)a ＝－3 解析 (1)∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A . ∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A ∩B . ∴a ＝5或a ＝－3.而当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}，故a ＝5舍去． ∴a ＝－3.讲评 9∈A ∩B 与{9}＝A ∩B 意义不同，9∈A ∩B 说明9是A 与B 的一个公共元素，但A 与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A ∩B 说明A 与B 的公共元素有且只有一个9.14．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围．答案 m ∈(－∞，3]解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}， 当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．讲评 空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．15．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若AB ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围． 答案 (1)43≤a ≤2 (2)a ≤23或a ≥4 (3)3解析 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅.∴43≤a ≤2时，A B . (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43.∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}， 而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求a 的值为3.1．(2011·某某)设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 答案 A解析 集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1|，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 答案 C解析 由题意，∁R P ＝{x |x ≥1}，画数轴可知，选项A ，B ，D 错，故选C.3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪QC ．P ∪(∁U Q )D ．(∁U P )∪(∁U Q ) 答案 C4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．①A∪B＝A；②∁U A∩B＝∅②∁U A⊆∁U B；④A∪∁U B＝U答案①②③④解析由韦恩图知①②③④均正确．5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，则m的值是________．答案1或2思路本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝Ø对集合A，B 的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝Ø，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠Ø.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4, 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.1．(2011·文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析集合P＝[－1,1]，所以∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2011·某某)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P .设d ＝a －b ＋c ，则( )A ．d ∈MB ．d ∈NC ．d ∈PD ．以上都不对 答案 B解析 ①集合M 表示3的整数倍数集，N 表示被3除余1数集，P 表示被3除余2数集， ∴a 为3的倍数，b ＝3k ＋1，c ＝3n ＋2. ∴d ＝a －b ＋c 表示被3除余1的数．∴d ∈N . ②法2，取a ＝3，b ＝4，c ＝2，∴d ＝1被3除余1.4．(2012·东北三省等值模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值X 围是( )A ．{1}B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 D解析 ∵A 中－1,0不属于B ，且A ∩B ≠Ø ∴a ∈B ，∴a ∈(0,1)．5．已知集合A ＝B ＝{0,1}，集合C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，则集合C 的子集个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 A解析 ∵C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， ∴C ＝{0,1}，故C 的子集个数为22个．6．(2012·某某一模)设函数y ＝x ＋1的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．ØB ．NC ．[1，＋∞) D．M 答案 B解析 由题意得M ＝{x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝N . 7．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 A 0⊕A 0＝A 0，A 1⊕A 1＝A 2，A 2⊕A 2＝A 0，A 3⊕A 3＝A 2，再次进行计算可知只有A 1，A 3符合题目要求，故选C.8．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＝y ，得2x 2＝1，解得x ＝22或x ＝－22，这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素．9．(2011·某某理)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3 答案 D解析 若a ＝b ＝c ＝0，则f (x )＝x 3＝0，x ＝0，|S |＝1，g (x )＝1，g (x )＝0无解，因此|T |＝0，即A 项有可能；若a ＝1且b 2－4c <0，则|S |＝1且|T |＝1成立，即f (x )＝0和g (x )＝0都仅有一个解x ＝－1，即B 项也是有可能的；若a ＝1且b 2－4c ＝0(b ＝22，c ＝2)，则|S |＝2且|T |＝2成立，即都仅有两个解x ＝－1和x ＝－2，即C 项也是有可能的；对于D 项，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c >0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．10．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 A ＝{x |1≤x ≤2}． ∴∁R A ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．∵B ∪∁R A ＝R .B ∩∁R A ＝(0,1)∪(2,3)．∴B ＝(0,3)．11．(2011·海淀区)已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，则称S具有性质P.(1)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；(2)若集合S具有性质P，试判断集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由．解析(1)当n＝10时，集合A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}不具有性质P.因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}具有性质P.因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.(2)若集合S具有性质P，那么集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}一定具有性质P.首先因为T＝{(2n＋1)－x|x∈S}，任取t＝(2n＋1)－x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1,2,3，……，2n}，从而1≤(2n＋1)－x0≤2n，即t∈A，所以T⊆A，由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}中任取元素t1＝2n＋1－x1，t2＝2n＋1－x2，其中x1，x2∈S，都有|t1－t2|＝|x1－x2|；因为x1，x2∈S，所以有|x1－x2|≠m，即|t1－t2|≠m，所以集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}具有性质P.。
2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算
课时作业(一)[第1讲集合及其运算][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·课标全国卷] 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个2．[2011·长沙模拟] 已知全集是实数集R，M＝{x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(∁R M)∩N 等于()A．{4} B．{3,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}3．[2011·嘉和一中模拟] 已知集合A＝{y|y＝lg x，x>1}，B＝{x|0<|x|≤2，x∈Z}，则下列结论正确的是()A．A∩B＝{－2，－1} B．A∪B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x≥0} D．A∩B＝{1,2}4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是()图K1－1A．①③B．②③C．③④D．①④能力提升5．[2011·合肥模拟] 已知集合M＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M，N都是全集I()A．{－1，－2，－3} B．{0,1,2,3}C．{2,3} D．{0，－1，－2，－3}6．[2011·江西卷] 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．－3≤m≤4 B．－3<m<4C．2<m<4 D．2<m≤48．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是()A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>59．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ y ＝1－4＋5x －x 2，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)10．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．11．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．12．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．14．(10分)[2012·安徽名校联考] 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B .(1)求证：函数f (x )的图象关于原点成中心对称；(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 因为∁R M ＝{x |x >1}，所以(∁R M )∩N ＝{2,3,4}．3．D [解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}．4．B [解析] 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内．【能力提升】5．C [解析] 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可．6．D [解析] 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D.方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.7．D [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2＜m ≤4.8．A [解析] ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A.9．B [解析] 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.10．1 [解析] ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3，又∵a 2＋4＝3不符合题意，无解．∴a ＝1，经检验，符合题意．11．4 [解析] a 只可能等于4.12.112 [解析] 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是34＋13－1＝112. 13．(－∞，－2] [解析] 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值范围．由题意，集合A ＝[2,4]，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．14．[解答] A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－a －6≤0，f (3)＝32＋3a －6≤0， 解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是[－5，－1]．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝(－3)2－3a －6≥0，f (5)＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－195，1， 综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－195，－1满足条件． 15．[解答] (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 2x ＋1－1>0， 由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．即函数f (x )的图象关于原点成中心对称．(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a ]． 若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2， 故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥2} {a |a ≤－2或a ≥2}． 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件．【难点突破】16．[解答] (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅， 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。
2013届高考数学(文)一轮复习课件：7-4第4讲 直线、平面平行的判定及性质(人教A版)
∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG. ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
考向三 线面平行中的探索问题 【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面 ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使 DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请 说明理由． [审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥
α∥β (2)a⊥α，a⊥β⇒
.
一个关系 平行问题的转化关系：
两个防范 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则， 会出现错误． (2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的 平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是( )．
第4讲 直线、平面平行的判定及性质
【2013年高考会这样考】 1．考查空间平行的判断与命题或充要条件相结合． 2．以解答题的形式考查线面关系的平行． 3．考查空间中平行关系的探索性问题． 【复习指导】 1．在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考 查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难 度不宜过大，抓好判定定理的掌握与应用即可． 2．学会应用“化归思想”进行“线线问题，线面问题，面面 问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．
基础梳理 1．直线与平面的位置关系有 在平面内、 相交 、 平行 三种情 况． 2．平面与平面的位置关系有 相交 、 平行 两种情况．
3．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒ a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒ a∥β 4．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l .
2013届高考一轮数学复习理科课时作业 8-4
课时作业(四十二)1．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3 D．4答案 B解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．2．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 3．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定 答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D ，∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m，又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α，又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对，选B.6．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.8．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EMMA ＝EN NB ＝12得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .9．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．10．(2011·天津文)如上图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．证明：PB∥平面ACM.解析连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC 的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.11. 如下图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.12. 如下图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A ⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC 上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析方法一如下图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC ， ∴四边形OMBF 为矩形， ∴BM ∥OF ，又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF .故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如上图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．13．(2011·山东文) 如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D ⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.解析(1)证法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.证法二因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D.取AB 的中心G ，连接DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD ，又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB ，又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1， 故AA 1⊥BD . (2)连接AC ，A 1C 1， 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1，知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.1．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面P AD.证明方法一取CD中点E，连接NE、ME.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.∴NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.又NE ∩ME ＝E ， ∴平面MNE ∥平面P AD . 又MN ⊂平面MNE ， ∴MN ∥平面P AD .方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ， ∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形， ∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明 方法一如图(1)所示，连接B1D1.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.3. 如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD ⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．解析(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E 分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.1．如图在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，∴平面NHF∥平面B1BDD1.故线段FH上任一点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.2. 如下图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝6 3a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.解析在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所求作的点．∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG⊂平面P AD，FE⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.又在△BCE中，CE ＝BC 2－BE 2＝a 2－23a 2＝33a .在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ， ∴CP ＝a 233a ＝3a .又EG CD ＝PE PC ，∴EG ＝AF ＝23a .∴点F 为AB 的一个三等分点，且靠近B 点．。
13年江苏高考数学一轮复习教案课时训练答案第一章第4课时 (1)
§1.4 集合与常用逻辑用语的综合应用1．在解题过程中，加深对集合之间的关系与集合运算等概念的理解．2．正确理解命题及其关系、逻辑联结词与量词等概念，进一步认识集合语言与逻辑语言之间的关系．3．在集合运算过程中，要借助数轴、直角坐标系、V enn 图等将有关集合直观地表示出来，注意集合与方程、函数、不等式、三角函数、几何等知识的密切联系与综合运用．[难点正本 疑点清源]1．集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有共同之处，在解题时，可以进行相互转化．2．集合运算可以考虑数形结合、借助数轴、V enn 图．1．集合A ＝{x |1＋x 2<5x －3，x ∈Z }的子集的个数是_________________________________．2．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为____________________．3．设集合A ＝{3,2a ＋1}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则a ＝________，b ＝________.4．“a >0且b >0”是“b a ＋a b≥2”成立的____________条件． 5．已知集合P 是平面直角坐标系xOy 中的点集，若∀C (a ，b )∈P ，∃r >0，使{(x ，y )|(x －a )2＋(y －b )2<r }⊆P ，则称P 为“开集”．给出下列三个集合：①{(x ，y )|x －y >0}；②{(x ，y )|x ≥0}；③{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}，其中是开集的是________．(填写序号)题型一 集合问题例1 已知集合A ＝{x |y ＝ 1－2x ＋1x ＋1}，B ＝{x |[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}，分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ； (2)A ∩B ≠∅.探究提高 在将A ，B 具体化后，宜结合图形(本例为数轴)分析集合间的关系；对题(2)还可以进行反面思考：若A ∩B ＝∅，则a ＋1≥0或a ＋4≤－1，即a ≥－1或a ≤－5，从而得到A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－5，－1)．已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，当A ∪B ＝B时，求实数a 的取值组成的集合P .题型二 充分条件、必要条件问题例2 已知p ：x 2－4x －32≤0；q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)．若“非p ”是“非q ”成立的必要但不充分条件，求m 的取值范围．探究提高 求得P ，Q 后，也可得到“非p ”：P 0＝(－∞，－4)∪(8，＋∞)，“非q ”：Q 0＝(－∞，1－m )∪(1＋m ，＋∞)．于是由“非p ”是“非q ”成立的必要但不充分条件，知Q 0P 0.已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝2n ＋1 (n ∈N *)，求证：数列{a n }为等差数列的充要条件是a 1＝1.题型三 有关逻辑联结词的问题例3 已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数，条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R .如果“p 或q ”为真，试求a 的取值范围．探究提高 (1)首先求出p 真、q 真的条件，即a 的范围．(2)由“p 或q ”为真，判断出p 、q 的真假．已知a >0，命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．2.对命题否定不当致误试题：(14分)已知p ：|3x －4|>2，q ：1x 2－x －2>0，r ：(x －a )·(x －a －1)<0. (1)綈p 是綈q 的什么条件？(2)若綈r 是綈p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．学生解答展示审题视角 (1)可以求出p 、q 的不等式的解集，再对p 、q 否定，即求出它们对应不等式的解集的补集，也可以直接对不等式否定，但注意对分式不等式否定时，注意分母为零的情况．(2)綈r 是綈p 的必要非充分条件等价于綈p ⇒綈r 且綈rD ⇒/綈p .规范解答解 (1)p ：|3x －4|>2，∴3x －4>2或3x －4<－2，∴x >2或x <23，∴綈p ：23≤x ≤2. [2分] q ：1x 2－x －2>0，即x 2－x －2>0， 令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.∴x 2－x －2>0的解集为{x |x <－1或x >2}． [4分] ∴綈q ：{x |－1≤x ≤2}，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． [6分](2)r ：(x －a )(x －a －1)<0，∴a <x <a ＋1.∴綈r ：x ≤a 或x ≥a ＋1.∵綈r 是綈p 的必要非充分条件． [8分] ∴綈p ⇒綈r 且綈rD ⇒/綈p ， [10分]∴2≤a 或a ＋1≤23，∴a ≥2或a ≤－13. [12分] ∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥2或a ≤－13. [14分] 批阅笔记 (1)对q ：1x 2－x －2>0的否定应为：1x 2－x －2≤0或x 2－x －2＝0.为避免出错，可以先求q ：1x 2－x －2>0的解集，再否定． (2)在由綈p ⇒綈r 时，应特别注意分析是否能取等号．这是考生比较易出错的地方．要特 别注意验证等号能否成立.方法与技巧1．有的“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式．一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”．2．逻辑联结词中，较难理解含义的是“或”，应从以下两个方面来理解概念：(1)逻辑联结词中的“或”与集合中的“或”含义的一致性．(2)结合实例，剖析生活中的“或”与逻辑联结词中的“或”之间的区别．生活中的“或”一般指“或此或彼只必具其一，但不可兼而有之”，而逻辑联结词中的“或”具有“或此或彼或兼有”三种情形．失误与防范1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可，p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真．2．p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q .3．对一个命题进行否定时，要注意命题所含的量词，是否省略了量词，否定时将存在量词变为全称量词，将全称量词变为存在量词，同时也要否定命题的结论．课时规范训练(时间：60分钟)A 组 专项基础训练题组一、填空题1．已知集合P ＝{y |y ＝x 2＋4x ＋6，x ∈R }，M ＝{y |y ＝2x ＋2x，x >0}，则P ∩M ＝________. 2．已知集合A ＝{x |2x ≥2}，B ＝(a ，＋∞)，当A ⊇B 时，实数a 的取值范围是[c ，＋∞)，则c ＝________.3．命题“∃x ∈R ，e x ＝x －1”的否定是___________________________________________．4．“x 2－4x <0”成立的一个充分而不必要条件是___________________________________.5．已知集合A ＝{x |a <x ≤a ＋1}，B ＝{x |x ≥1}，全集I ＝R ，则当A ∩(∁I B )＝A 时，实数a 的取值范围是__________．6．命题“对一切非零实数x ，总有x ＋1x≥2”的否定是__________________________． 7．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，有ax 2＋bx ＋c >0”的____________条件．二、解答题8．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1<0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .B 组 专项能力提升题组一、填空题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫12x >14，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________. 2．已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0，x ∈R }，设函数f (x )＝2－x ＋a (x ∈A )的值域为B ，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是____________．3．定义AD B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B .设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(AD B )D C 的所有元素之和为________．4．已知命题P ：∀b ∈[0，＋∞)，f (x )＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为增函数；命题Q ：∃x 0∈Z ，使log 2x 0≥0.给出下列结论：①綈P ∨綈Q 为真；②綈P ∧綈Q 为真；③P ∨綈Q 为真；④P ∧綈Q 为真．其中正确的为________．(填写序号)5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，则集合B ＝________.6．命题“∀x ∈R ，tan(－x )＝tan x ”的否定是______________________．二、解答题7．设有两个命题：①“关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2>0的解集是R ”；②“函数f (x )＝(2a 2＋a ＋1)x 是R 上的减函数”．若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围．8．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|，证明：函数f(x)是偶函数的充要条件是a＝0.答案基础自测1．4 2．若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤03．0 2 4．充分不必要 5．①题型分类·深度剖析例1 解 由1－2x ＋1x ＋1≥0，得－x x ＋1≥0，即x x ＋1≤0， 解得－1<x ≤0，故A ＝(－1,0]，B ＝(a ＋1，a ＋4)．(1)A ∩B ＝A ，即A ⊆B ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，得－4<a ≤－2，故a 的取值范围是(－4，－2]． (2)若A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4>－1，a ＋1<0，得－5<a <－1，故a 的取值范围是(－5，－1)．变式训练1 解 由A ∪B ＝B 知A ⊆B .又A ＝{－4,0}，故此时必有B ＝{－4,0}，即－4,0为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－4＋0＝－2(a ＋1)，(－4)×0＝a 2－1，得a ＝1. 即P ＝{1}．例2 解 p ：－4≤x ≤8，从而p 为真时x 的取值范围是集合P ＝[－4,8]．同理可得，q 为真时x 的取值范围是集合Q ＝[1－m,1＋m ]．因为“非p ”是“非q ”成立的必要但不充分条件，所以“若非q ，则非p ”是真命题，但“若非p ，则非q ”是假命题，即“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，故P Q ，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－4，1＋m ≥8，且不等式组中两个等号不能同时成立，由此解得m ≥7，即m 的取值范围是[7，＋∞)．变式训练2 证明 (1)必要性 若数列{a n }为等差数列，则a 1，a 2，a 3也成等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3.又a 2＝3－a 1，a 3＝5－a 2＝2＋a 1，从而，2(3－a 1)＝a 1＋(2＋a 1)，∴a 1＝1.(2)充分性 由a 1＝1，得a 2＝3－a 1＝2.因为(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝[2(n ＋1)＋1]－(2n ＋1)＝2，即a n ＋2－a n ＝2，所以数列{a 2k －1}是首项为1、公差为2的等差数列，数列{a 2k }是首项为2、公差为2的等差数列，从而a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，a 2k ＝2＋2(k －1)＝2k ，故a n ＝n ，进而a n ＋1－a n ＝1，∴{a n }为等差数列．故数列{a n }为等差数列的充要条件是a 1＝1.例3 解 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1. 若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －2， x ≥a ，a －2， x <a ，∴f (x )的最小值为a －2，故q 为真即为a －2≥0，即a ≥2.∵“p 或q ”为真，∴p 真或q 真．∴a 的取值范围为12<a <1或a ≥2. 变式训练3 解 方程a 2x 2＋ax －2＝0，即(ax ＋2)(ax －1)＝0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. 不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0只有一个实数解，即Δ＝(2a )2－8a ＝0，∵a >0，∴a ＝2.∵“p 或q ”为假命题，∴“p 假且q 假”， ∴⎩⎨⎧ ⎪⎪⎪⎪－2a >1，⎪⎪⎪⎪1a >1，a ≠2，解得0<a <1，即a 的取值范围是(0,1)．课时规范训练A 组 1．[4，＋∞) 2.123．∀x ∈R ，e x ≠x －1 4．0<x <1(或其他正确答案) 5．(－∞，0) 6．存在一个非零实数x ，使x ＋1x<2 7．充分不必要 8．解 非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0⇔0<a ≤4.综上知，所求集合A ＝[0,4]．B 组1．(1,2) 2.⎣⎡⎦⎤－12，0 3．18 4．③ 5．(0,3) 6．∃x ∈R ，tan(－x )≠tan x7．解 设命题①为假，则(a －1)2－4a 2≥0⇔－1≤a ≤13. 再设命题②为假，则2a 2＋a ＋1≤0或2a 2＋a ＋1≥1⇔a ≤－12或a ≥0. 若①②同时为假，则－1≤a ≤－12或0≤a ≤13. 从而，①②中至少有一个为真时，a 的取值范围是a <－1或－12<a <0或a >13. 8．证明 ①充分性 若a ＝0，则f (x )＝x 2＋|x |，所以f (－x )＝(－x )2＋|－x |＝x 2＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数．②必要性 若函数f (x )是偶函数，则f (－x )＝f (x )对一切实数x 都成立，从而f (－1)＝f (1)，即1＋|－1－a |＝1＋|1－a |，|1＋a |＝|1－a |，故(1＋a )2＝(1－a )2，所以a ＝0.故函数f (x )是偶函数的充要条件是a ＝0.。
【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业(七) 理 新人教版
课时作业(七)1．(2012·郑州质检)给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析 (a 2) 32 >0，a 3<0，故①错， ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y＝127，∴y ＝－3.∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，故④错．2．函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域是( ) A ．定义域是R ，值域是R B ．定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞) D ．以上都不对 答案 C解析 f (x )＝(13)x－1，∵(13)x>0，∴f (x )>－1. 3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，∵y ＝2x在定义域内为增函数， ∴y 1>y 3>y 2.4．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝5 12－xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝1－2x答案 B5．若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D 6．函数f (x )＝x |x |·a x(a >1)的图像的大致形状是()答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx －a xx7．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 答案 A解析 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，又2a 5＝2a 5，故选A.8．(2012·菏泽联考)已知函数y ＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x－32)2＋34∈[1,7]，∴(2x－32)2∈[14，254]．∴2x－32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．9．函数y ＝12π·(2a －3) －x 23 的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2012·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2011)＋f (2013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 由已知得，f (2011)＋f (2013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a<2c; ④2a ＋2c<2. 答案 ④ 解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图像如图中实线所示．又a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图像知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a<1，∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a， ∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c<2，f (c )＝|2c－1|＝2c－1， 又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2.12．已知f (x )＝a x (a >1)，g (x )＝b x(b >1)，当f (x 1)＝g (x 2)＝2时，有x 1>x 2，则a 、b 的大小关系是________．答案 a <b解析 x 1＝log a 2>x 2＝log b 2>0，∴log 2a <log 2b . ∴a <b .13．已知f (x )＝a x －a －xa x ＋a－x (0＜a ＜1)．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的值域． 答案 (1)略 (2)(－1,1)解析 (1)由已知f (x )的定义域为R ，f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1＝1－2a 2x ＋1，设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则(2)令y ＝f (x )＝a 2x －1a 2x ＋1，解得a 2x＝1＋y 1－y∵a 2x＞0， ∴1＋y 1－y ＞0，解得－1＜y ＜1.故f (x )的值域为(－1,1)．14．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0, 且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析 令t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时t ∈[a ，1a]，∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14，∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.15．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 答案 (1)奇函数 (2)在R 上是增函数 (3)(－∞，－1] 解析 (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x－a －x为减函数．所以f (x )为增函数． 故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数． 所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－2；－342＝4－4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6－2＝622＝32>0，∴3－2≠6－2；－342<0，4－4×2>0，故－342≠4－4×2.故选A.2．函数y ＝4－2x的定义域是( ) A ．(0,2] B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 B解析 由4－2x≥0，得x ≤2.3．(2010·重庆)函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)答案 C4．若0<a <1,0<b <1，且a log b(x －3)<1，求x 的取值范围．答案 (3,4)解析 log b (x －3)>0，∴0<x －3<1，∴3<x <4.5．(2011·上海高考理)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中a ，b 满足a ·b ≠0 (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围． 解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .1．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B 2．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．答案 m ≤－23．(2012·太原模拟)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝________.答案2解析 由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2， ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)，∴所求为f (12)＋f (1)＝212 －1＋1＝ 2.4．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a n ·a m ，令f (n )＝a n ，则满足f (n )>100的最小正整数n 为________．答案6解析由a m＋n＝a n·a m，令m＝1，则a n＋1＝a1·a n＝2a n，∴a n＝2n，∴f(n)＝2n，∴2n>100⇒n≥6，∴n＝6.。
2013届高考一轮数学复习理科课时同步7-6
课时作业(三十七)1．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是( )A ．f (2.5)<f (1)<f (3.5)B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5) 答案 B解析 函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又∵函数y ＝f (x )在(0,2)上单增，∴在(2,4)上单减，∴f (1)＝f (3)， ∴f (2.5)>f (3)>f (3.5)， ∴选B.2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，则a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 答案 B3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b2≤18答案 D解析 取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D. 4．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中，正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 C解析 取a ＝－1，b ＝－2，验证即可．5．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )得f (2n )＝f 2(n )， 又f (1)＝2，则f (n ＋1)f (n )＝2. 由f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝16. 6．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确．．命题的序号为________(把所有正确．．命题的序号都．填上)答案 ①②④解析 ∵x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，∴f (x )在[0,3]上递增． ∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)， ∴f (－3)＝f (3)＝0.①对．∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )周期为6，画出示意图如下：由图像知，②④正确，③不正确，故填①②④.7．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .解析 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a2≥ca ，∴lg a ＋b 2≥12(lg a ＋lg b )，lg b ＋c 2≥12(lg b ＋lg c )，lg c ＋a 2≥12(lg c ＋lg a )．以上三式相加，且注意到a 、b 、c 不全相等，故得lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .8．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )<0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)求证：f (x )为R 上的增函数． 解析 (1)f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. 再令y ＝－x ，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 由已知得f (x 1－x 2)<0，∴f (x 1－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在R 上是增函数．9．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)f (3)>0， (1)若a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，且3<x 1＋x 2<5. 思路 本小题主要考查二次函数图像及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系．解析 (1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：首先说明a ≠0，∵f (1)f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )>0， 若a ＝0，则f (1)f (3)＝－b 2≤0与已知矛盾， ∴a ≠0，其次说明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴若a >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而此时f (2)<0， ∴若a <0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而此时f (2)>0. 故二次函数图像必与x 轴有两个不同的交点． ∴二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1，x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2>0来说明)∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )两边同除以－a 2得(b a ＋3)(ba＋5)<0，∴－5<b a <－3，∴3<x 1＋x 2＝－ba <5. 10．(2012·聊城)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析 (1)∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，有其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角． ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP .1．已知：f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且|b a |<2.思路 先反设，即假设a ＝0或|ba |≥2，再分两种情况一一推出矛盾即可．解析 假设a ＝0或|ba |≥2.(1)当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0.由题意，得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |.由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.(2)当|b a |≥2时，由二次函数的对称轴为直线x ＝－b2a ，知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．所以⎩⎨⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎨⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以|ba |<2. 由(1)(2)，得a ≠0且|ba |<2.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列． 思路 本题主要考查使用定义证明等差数列、等比数列，证明方法属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系．证明 (1)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， ∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3. ∴(3＋m )a 1＝m ＋3. ∵m ≠－3，∴a 1＝1.由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3. 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ， ∵m ≠－3， ∴a n ＋1a n＝2m m ＋3.∵m 为常数，且m ≠－3， ∴{a n }是等比数列．(2)由(1)知，b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ∈N *，且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1 ⇒1b n－1b n －1＝13.∴{1b n}是首项为1，公差为13的等差数列．3．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求证：{a n ＋3}为等比数列，并求{a n }的通项公式．(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 ∵S n ＝2a n －3n (n ∈N *)， ∴a 1＝S 1＝2a 1－3，∴a 1＝3.又由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －3n ，S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3， ∴a a ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)．(2)解 假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r <s <t )，它们可以构成等差数列．由(1)知a r <a s <a t ，则2a s ＝a r ＋a t ，∴6(2s －1)＝3(2r －1)＋3(2t －1)，即2s ＋1＝2r ＋2t ， ∴2s ＋1－r ＝1＋2t －r (*)∵r 、s 、t 均为正整数且r <s <t ， ∴(*)左边为偶数而右边为奇数，∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．。
2013高考数学(理)一轮复习课件：4-7
解 在△ACD 中，已知 CD＝a，∠ACD＝60° ，∠ADC＝60° ， 所以 AC＝a.① asin 105° 3＋1 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝ sin 45° ＝ 2 a.② 在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30° ，所以 利 用 余 弦 定 理 可 以 求 得 A ， B 两 点 之 间 的 距 离 为 AB ＝ 2 AC ＋BC －2AC· cos 30° 2 a. BC· ＝
在△A1B2B1 中，由余弦定理得
2 2 B1B2＝A1B1＋A1B2－2A1B1· 1B2· 45° A cos 2
2 ＝20 ＋(10 2) －2×20×10 2× ＝200， 2
2 2
∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 20 ×60＝30 2(海里/时)．(12 分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画 出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问 题进行求解．
基础梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问 题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角， 在水平线 下方 的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位 角为 α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° ，西偏东 60° 等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
【最新】2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(4)函数及其表示
10．已知函数
y＝
1－ x＋
x＋ 3的最大值为
M ，最小值为
m，则
m的值为 M
________ ．
11．定义在区间 (－ 1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)－ f(－ x)＝ lg( x＋ 1)，则 f (x) 的解析式为
________ ．0， 若函数 f (x) ＝ － 2－x， x>0， 则函数 y ＝ f(f(x)) 的值域是
∴ y 的取值范围是 [ 2， 2]，∴所求函数的值域为 [ 2， 2]．
15． [解答 ] (1) ∵ 1－ 1 ＝ 1－ ( 2＋ 1)＝－ 2< －1， 2－ 1
1
∴ f 1－
＝f(－ 2)＝－ 2 2＋ 3，
2－ 1
又∵ f(－ 2)＝－ 1，f(f(－ 2)) ＝f(－ 1)＝ 2，
∴
f(f
则 f(3x－ 1)＝ 2(3x－ 1)＋ 3＝ 6x＋ 1.
x＋ 3≥ 3
3x 3x－1
2 x>3
，
∴ f(3x－ 1)＝
9x2 －6x＋ 2
2 0≤ x≤3
，
6x＋ 1 x<0 .
(3)∵
f
(
a)＝
3，∴ 2
a>1
或－ 1≤ a≤ 1.
当 a>1 时，有 1＋ 1a＝ 32，∴ a＝ 2；
当－ 1≤ a≤ 1 时，有 a2＋ 1＝32，∴ a＝ ±22.
log 2 x－ 1 ≠ 0，
(2)由题知 x－ 1>0，
解得 x≥ 3.所以定义域为 [3，＋∞ )．
|x－ 2|－ 1≥ 0.
(3)因为 f(x)的定义域为 [0,2] ，所以对 g( x)， 0≤ 2x≤ 2 但 x≠ 1，故 x∈ [0,1) ，所以定义域 为[0,1) ．
【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业 选修系列4 综合测试卷 新人教版 理
选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2y －2＝32t ∴y －2＝3(x －1)，即3x －y ＋2－3＝0. 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103 B.203 C ．10 D ．20答案 B3．已知函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋|x －2|－5)，则函数f (x )的定义域为( ) A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) C ．(－2,3)D ．(－3,2)答案 A解析 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>5， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋1＋x －2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2x ＋1－x ＋2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧x <1－x －1－x ＋2>5，解得函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．4．(2011·安徽理)在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)、(12，0)B ．(0，15)、(12，0)C ．(0，－4)、(8,0)D ．(0，59)、(8,0)答案 B解析 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为(0，15)；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为(12，0)．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D 、点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径， ∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°， ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a ， ∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2，即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.955 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2＋t ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9,5t 2＋8t －4＝0|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 8．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为( )A．3 B. 3C．－1 D．3或－1答案 A解析由基本不等式，得xy≥2xy＋m，令xy＝t，得不等式t2－2t－m≥0.∵xy的最小值是9，∴t的最小值是3.∴3是方程t2－2t－m＝0的一个根，∴m＝3.选A.9.如图，AC切⊙O于D，AO延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB等于( )A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．2∶1.5答案 A解析如图所示，连接OD、OC.∵AD∶AC＝1∶2，∴D为AC的中点．又∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC.∴OA＝OC，∴△AOD≌△COD.∴∠1＝∠2，又∵△OBC≌△ODC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A 、B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－22＝22，选B.11．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105° B．75° C ．15° D．165° 答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin15°y ＝cos θ－t sin75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos75°y ＝cos θ－t sin75°，消去参数t 得，y －cos θ＝－tan75°(x －sin θ)，∴k ＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°， 故直线的倾斜角是105°. 12.如图，AB 是半圆的直径，点C 、D 在AB ︵上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°，又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8， ∴cos ∠BAC ＝35，又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85，∴cos ∠BAD ＝255，又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，则x ＋23y 的最小值＝________.答案 －4解析 C ：x 2＋y 2＝1，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′代入C 得C ′：x 24＋y 2＝1，设椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin(θ＋π6)，则x ＋23y 的最小值为－4.14．如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝______.答案377解析 依题意得PD ＝PO 2＋OD 2－2PO ·OD cos120°＝7；又PE ·PD ＝PB ·PC ，因此PE ＝PB ·PC PD ＝1×37＝377. 15．(2011·江西理)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．答案 5解析 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.16．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．答案 (1，255)解析 ⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ表示椭圆x 25＋y 2＝1(－5<x ≤5且0≤y ≤1)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t表示抛物线y 2＝45x ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1y 2＝45x(－5<x ≤5且0≤y ≤1)⇒x 2＋4x －5＝0⇒x＝1或x ＝－5(舍去)，又因为0<y ≤1，所以它们的交点坐标为(1，255)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知实数a 、b 、c 、d 满足a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，求ac ＋bd 的最大值．解析 ∵(ac ＋bd )2＝(ac )2＋(bd )2＋2abcd≤(ac )2＋(bd )2＋(ad )2＋(bc )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝2， ∴|ac ＋ad |≤2，即－2≤ac ＋bd ≤ 2.18．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，∠A ＋∠C ＝120°，AD ，CE 是角平分线．求证：AE ＋CD ＝AC .解析 如图，设⊙H 为△ABC 的内切圆，F ，G ，T 分别为边BC ，AB ，AC 上的切点，则AG ＝AT ，CF ＝CT ，由∠B ＝60°，∵∠FDH ＝120°－A2，∠GEH ＝60°＋C 2＝60°＋120°－A 2＝120°－A2，∴∠FDH ＝∠GEH ，在Rt △HFD 和Rt △HGE 中， ∵∠FDH ＝∠GEH ，∠HFD ＝∠HGE ＝90°，HF ＝HG ， ∴△HFD ≌△HGE ，则DF ＝GE .AE ＋CD ＝AG ＋EG ＋CF －DF ＝AG ＋CF ＝AT ＋CT ＝AC .19．(本小题满分12分)(2011·课标全国理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解析 (Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，求m 的取值范围． 解 (1)不等式f (x )＋a －1>0， 即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，不等式的解集为R ；当a <1时，即|x －2|>1－a ，即x －2<a －1或x －2>1－a ，即x <a ＋1或x >3－a ， 解集为(－∞，1＋a )∪(3－a ，＋∞)．(2)函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立．即|x －2|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立．由于|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，故只要m <5.∴m 的取值范围是(－∞，5)．21.(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ， ∴FB ＝FC .(2)∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FAFB，∴FB 2＝FA ·FD . (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6 cm ，∴AC ＝2 3 cm ，∴AD ＝2AC ＝43cm.22．(本小题满分12分)(2011·辽宁理)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当用心 爱心 专心 11 α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合． (Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(Ⅱ)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解析 (Ⅰ)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(Ⅱ)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1. 当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010. 当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为2x ′＋2x x ′－x 2＝25.。
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习2-7课时作业
课时作业(十)1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6)答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0，的图像大致是( )答案 B解析 当x <0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x <0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.5．(2011·安徽江南十校联考)函数y ＝2|log 2x |的图像大致是( )答案 C解析 当log 2x >0，即x >1时，f (x )＝2 log 2x ＝x ； 当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x .所以函数图像在0<x <1时为反比例函数y ＝1x 的图像，在x >1时为一次函数y ＝x 的图像．6．(2012·温州模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A 解析依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2； 当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2； 当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在坐标系下画出该函数的图像，将x 轴绕着原点逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线与该函数的图像都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图像都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)，选A.7．(2012·南昌一模)定义a *b ＝ab －1－ka －2，则方程x *x ＝0有唯一解时，实数k 的取值范围是( )A ．{－5，5}B ．[－2，－1]∪[1,2]C ．[－5，5]D ．[－5，－1]∪[1，5]答案 B解析 依题意得，关于x 的方程x 2－1－kx －2＝0，即kx ＋2＝x 2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像，注意到函数y ＝x 2－1的图像是由双曲线x 2－y 2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知，当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]，选B.8．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0)答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数 而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C.9．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 －1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如上图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.10．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图． 要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.11．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g (x )的图像，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |12．已知x 2>x 13，则实数x 的取值范围是________．答案 {x |x <0或x >1}解析 分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图像，如图所示，由于两函数的图像都过点(1,1)，由图像可知不等式x 2>x 13的解集为{x |x <0或x >1}．点评 本题根据幂函数的图像求解，不等式x 2>x 13的解集即为幂函数y ＝x 2的图像在幂函数y ＝x 13的图像上方部分的所有点的横坐标的集合．13．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log a |(x －1)|，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)． 答案解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．(2012·陕西宝鸡质检)函数f (x )＝ln x －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x )＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f (1)＝－12<0，故选B.2．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x |，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，(1a )－x，x <0.∵a>1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0,1)，且函数为偶函数．故图像关于y轴对称．故选B.3．(2012·福建龙岩模拟)如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y＝x1＋λx(x≥0)的部分图像分别对应曲线C1和C2，则()A．0<λ1<λ2B．0<λ2<λ1C．λ1<λ2<0D．λ2<λ1<0答案 A解析由图可知，λ显然不为0.当λ分别取λ1、λ2时，x1＋λ1x≥x1＋λ2x(x≥0)，则1＋λ1x≤1＋λ2x，因为λ1≠λ2，所以λ1<λ2.又x1＋λ1x≥0(x≥0)，则1＋λ1x>0，即λ1>0，故0<λ1<λ2.4．(2011·东营联考)函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析 当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图像的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．5．(2011·浙江金华模拟)M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π答案 C解析 当|MN |最小时，点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点， 所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π.6．已知幂函数y ＝x4－3m －m2(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．解析 依题意，其图像与y 轴有公共点，则 4－3m －m 2>0，即m 2＋3m －4<0，解得－4<m <1. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－3，－2，－1,0.当m ＝－3或m ＝0时，函数可化为y ＝x 4，符合题意，其图像如图①.当m ＝－2或m ＝－1时，函数可化为y ＝x 6，符合题意，其图像如图②.7．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值． (2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图像如图所示． (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)由图像可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，由图像知，函数在[1,5]上的值域为[0,5)．8．(2011·济南期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围．(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图． 可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三：解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎨⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎨⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．9．(2012·宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋ 1|. (1)作出y ＝f (x )的图像； (2)解不等式f (x )≤6.解析(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，图像如下图所示：(2)由f (x )≤6得：当x ≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1；当－1<x≤3时，4≤6成立；当x>3时，2x－2≤6，x≤4，∴3<x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由上图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．。
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课时作业(二十四)1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案 B2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是()A．c和a B．c和bC．c和βD．b和α答案 D3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10km B.3kmC．105km D．107km答案 D解析AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)( )A ．180米B ．214米C ．242米D ．266米答案 C 解析∵∠BCA ＝42°，∠BDA ＝39°，∴∠DBC ＝3°. 在△BDC 中，DC ＝30， DC sin3°＝BCsin39°， ∴BC ＝30·sin39°sin3°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242. 5．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m答案 A 解析在Rt △BAC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝200， ∴BC ＝AB cos30°＝40033， ∵∠EBD ＝30°，∠EBC ＝60°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°， 在△BDC 中，DC sin30°＝BC sin120°， ∴DC ＝BC ·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．( )A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案 C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B 船到灯塔C的距离为________km.答案6－1解析如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC ＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos120°，即32＝x2＋22－2×2x cos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案507解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．(2012·衡水调研卷)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案 0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD sin45°sin30°＝203； 在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．10．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．答案 (1)24(n mile) (2)CD ＝83≈14(n mile) 解析 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，∴∠B ＝45°， 由正弦定理得ADsin ∠B ＝ABsin ∠ADB，即AD ＝AB sin ∠B sin ∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ACD 中，∵AC ＝83，∠CAD ＝30°，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠CAD ＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD ＝83≈14(n mile)．因此A 处与D 处的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处的距离约为14 n mile.11.如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60°方向、港口B 北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OA 方向以20海里/时的速度驶离港口O .一艘快船从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析 设快艇驶离港口B 后，最少要经过x 小时，在OA 上点D 处与考察船相遇，连结CD ，则快艇沿线段BC 、CD 航行．在△OBC 中，∠BOC ＝30°，∠CBO ＝60°， ∴∠BCO ＝90°.又BO ＝120， ∴BC ＝60，OC ＝60 3.∴快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．在△OCD 中，∠COD ＝30°，OD ＝20x ，CD ＝60(x －2)． 由余弦定理，得CD 2＝OD 2＋OC 2－2OD ·OC ·cos ∠COD . ∴602(x －2)2＝(20x )2＋(603)2－2·20x ·603·cos30°. 解得x ＝3或x ＝38.∵x >1，∴x ＝3.答：快艇驶离港口B 后最少要经过3小时才能和考察船相遇． 12.(2012·沧州七校联考)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)．答案1403米解由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC内，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解之得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140 3.答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．1.(2011·《高考调研》原创题)如图，在2011年6月“舟曲特大泥石流”灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达O 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x ＝________.答案1063解析 ∵∠BOA ＝45°，∠A ＝180°－75°－45°＝60°.∴xsin45°＝10sin60°，∴x ＝1063. 2.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．答案13解析连接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.3．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC 为甲船的航行路线，BC 为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C 点处追上，若乙船行驶的速度是v ，则甲船行驶的速度是3v ，由于甲、乙两船到达C 点的时间相等，都为t ，则BC ＝v t ，AC ＝3v t .∠ABC ＝120°.由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t .所以2v 2t 2－a v t －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a 2v (舍去)．所以BC ＝a ，∠CAB ＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a 海里．1．在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进10 3 m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ.则θ的值为( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°答案 A解析 如图所示，由已知AE ＝30·sin2θ，AE ＝103·sin4θ，所以30·sin2θ＝103·sin4θ，所以cos2θ＝32，因为2θ∈(0°，90°)，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.。
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课时作业(二十一)1．(2012·温州模拟)要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由于y ＝sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，因此只需把函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，就可以得到y ＝cos2x 的图像．2．与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin|x |C ．y ＝－sin|x |D ．y ＝－|sin x |答案 C3．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6 D ．T ＝6π，φ＝φ3答案 A解析 ∵图像过点(0,1)，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12. ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2ππ3＝6.4．方程sin πx ＝14x 的解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 C解析 如图所示，在x ≥0，有4个交点，∴方程sin πx ＝14x 的解有7个．5．(2012·东城示范校综合练习一)向量a ＝(12，3sin x )，b ＝(cos2x ，cos x )，f (x )＝a·b ，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数y ＝sin2x 的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度答案 D解析 由题知，f (x )＝a·b ＝12cos2x ＋3sin x cos x ＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin(2x ＋π6)，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将y ＝sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，故选D.6．函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( )A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D.π2个单位答案 D解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.7.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．53AD ．10 A答案 A解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT ＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A. 8.(2012·山西四校联考)如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)图像的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω等于( )A ．8 B.π8 C.π4D.π2答案 C解析 依题意得PM ＝PN ，PM ⊥PN ，所以△PMN 是等腰直角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN ＝4，即该函数的最小正周期的一半为4，所以2πω＝8，ω＝π4，选C.9．将函数y ＝sin(－2x )的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x )10．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图像与y ＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图像，只需把y ＝sin ωx 的图像向左平移________个单位．答案 5π12解析 依题意，y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]，所以把y ＝sin2x 的图像向左平移5π12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图像．11．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.答案 2sin π3x ＋2解析 将f (x )＝2sin π3x 的图像向左平移1个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图像，向上平移2个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图像，又因为其与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.12．函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________．答案 5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π1213．(2012·深圳模拟)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．答案 (1)2π (2)最大值2，最小值－1解析 (1)∵f (x )＝3sin(x ＋π2)＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2(32cos x ＋12sin x )＝2sin(x ＋π3)，∴f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像， ∴g (x )＝f (x －π6)＝2sin[(x －π6)＋π3]＝2sin(x ＋π6)． ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin(x ＋π6)＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin(x ＋π6)＝－12，g (x )取得最小值－1. 14．(2012·合肥第一次质检)已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )的图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于坐标原点对称．答案 (1)T ＝π，最大值52，最小值12 (2)左移π12，下移32个单位解析 (1)f (x )＝2sin x sin x ＋3sin x cos x ＋cos x cos x ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＝32＋32sin2x －12cos2x ＝32＋sin(2x －π6)，∴y ＝f (x )的最小正周期T ＝π，y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)将函数f (x )＝32＋sin(2x －π6)的图像左移π12个单位，下移32个单位得到y ＝sin2x 关于坐标原点对称．(附注：平移(－k π2－π12，－32)，k ∈Z 均可)15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，若a ＝(1,1)，b ＝(cos φ，－sin φ)，且a ⊥b ，又知函数f (x )的周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像，求g (x )的单调递增区间．答案 (1)f (x )＝sin(2x ＋π4) (2)[k π－5π24，k π＋7π24](k ∈Z ) 解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.∴a·b ＝cos φ－sin φ＝2(22cos φ－22sin φ) ＝2cos(φ＋π4)＝0，∴φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，ω＝2. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π4)．(2)由题意知，函数f (x )的图像向右平移π6个单位得到g (x )的图像，∴g (x )＝sin[2(x －π6)＋π4]＝sin(2x －π12)，∴g (x )的单调递增区间为2k π－π2≤2x －π12≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－5π24≤x ≤k π＋7π24，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递增区间为[k π－5π24，k π＋7π24](k ∈Z )．1．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 答案 －π<a ≤02．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像沿x 轴( )A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位 C ．向右平移π6个单位 D ．向右平移π12个单位答案 A解析 ∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋π2)，∴只需将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像沿x 轴向左平移π12个单位， 可得y ＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .3．如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的图像，那么f (x )可以写成( )A ．sin(1＋x )B ．sin(－1－x )C ．sin(x －1)D ．sin(1－x )答案 D解析 设y ＝sin(x ＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y ＝sin(x ＋π－1)＝sin(1－x )．4．(2012·皖南八校)若将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图像重合，则ω的最小值为________．答案 74解析 依题意，将函数y ＝sin(ωx ＋5π6)(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin(ωx ＋5π6－π3ω)(ω>0)，它的图像与函数y ＝sin(ωx ＋π4)的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π6 答案 D解析 由图可知A ＝1，34T ＝1112π－π6＝34π， 所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2；又f (π6)＝sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝φ2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π6，故选D.。
2013届高考一轮数学复习理科课时同步4-1
课时作业(十七)1．集合M ＝{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π2，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅答案 C解析 x ＝k π2＋π4＝2k ＋14·π， x ＝k π4＋π2＝(k ＋2)π4，由于2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N . 2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2， ∴sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255 C ．－55 D ．－255 答案 B解析 sin α＝y r ＝25＝255.4．(2012·衡水调研卷)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2 D.π2－2答案 C解析 ∵锐角α终边上一点P 的坐标为(2sin 2，－2cos 2)， ∴tan α＝－2cos 22sin 2＝－1tan 2＝1tan (－2)＝tan(π2＋2)＝tan(2－π2)，故选C.5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2 D ．cos2θ 答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限或第三象限角，∴tan θ2>0，选C.6．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 因为sin α>0，sin2α＝2sin αcos α<0，所以cos α<0，所以角α在第二象限．7．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4答案 C解析设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝612rl ＝2，解得⎩⎨⎧ r ＝1l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.8．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．(2012·临沂模拟)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B .∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，∴点P 在第二象限．故选B. 10．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π 解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )， ∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )，由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π.11．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4； ④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．答案 －43或－433解析 解法一：依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433.解法二：∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号， ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限，∴a <0. 根据三角函数的定义a 16＋a 2·－416＋a 2＝34， 解得a ＝－43或a ＝－433.13．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为第________象限．答案 三解析 ∵cos θ2－sin θ2＝1－sin θ＝|cos θ2－sin θ2|∴cos θ2≥sin θ2，∴2k π－3π4≤θ2≤2k π＋π4，k ∈Z ， 又∵2k π＋π2＜θ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4＜θ2＜k π＋π2，∴2k π＋5π4＜θ2＜2k π＋3π2， 故θ2为第三象限角．14．(教材习题改编)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }． 若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }．∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为 {α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z } ＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }，令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}， ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.15．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案 1＋266解 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13， 故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．答案 10解析 由题意知tan α＝－6x ＝－35，∴x ＝10.2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________． ①sin α＋sin β<α＋β ②α＋sin β<sin α＋β③α·sin α<β·sin β ④β·sin α<α·sin β 答案 ①②③解析 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项①正确．α·sin α<β·sin β，即选项③正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项②正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项④不正确．3．求函数f (x )＝sin x －cos x 的定义域． 答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z } 解析 f (x )有意义，则sin x ≥cos x ， ∴sin(x －π4)≥0， ∴2k π≤x －π4≤2k π＋π， ∴2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( ) A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ C ．sin θ>tan θ>cos θ D ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)， ∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ.1．(2012·山东淄博模拟)点P (tan2009°，cos2009°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 由tan2009°＝tan(360°×5＋209°)＝tan209°>0，cos2009°＝cos(360°×5＋209°)＝cos209°<0，所以点P 位于第四象限，故选D.2．(2012·吉林长春模拟)扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案 7＋439解析 设内切圆的半径为r ， 扇形半径为R ，则(R －r )sin60°＝r . ∴R ＝(1＋23)r ， ∴S 扇形S 圆＝12·2π3R 2πr 2＝13(R r )2＝13(1＋23)2＝7＋439.3．(1)如果点P (sin θcos θ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是什么？【思路】 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解 (1)因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即{ sin θθ<0，所以θ为第二象限角． (2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0. ∴sin (cos θ)cos (sin2θ)<0.∴sin (cos θ)cos (sin2θ)的符号是负号．。
2013届高考数学(理)高考调研(人教A版)一轮复习9-7课时作业
课时作业(五十三)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)答案 C解析 将双曲线方程化为标准方程为：x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．2．(2010·新课标全国)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为 ( )A. 6B. 5C.62D.52答案 D解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b a x, 因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52，故选D.3．(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 直线FB 的斜率为－b c ，与其垂直的渐近线的斜率为ba ，所以有－b 2ac ＝－1即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．b C.ab D.a 2＋b 2答案 B解析 圆的半径即为双曲线C 的右焦点到渐近线的距离，渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，所以r ＝|bc |a 2＋b2＝b .5．(2012·济南模拟)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2) 答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D.6．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A.52 B.32 C.355 D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±yb ＝0，焦点A (c,0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B.7．(2011·北京文)已知双曲线x 2－y 2b 2(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.答案 2解析 双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±bx ，比较系数得b ＝2.8．(2011·辽宁理)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．答案 2解析 根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.9．(2012·衡水调研卷)已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则该双曲线的离心率e 为________．答案 53或54解析 设m >0，n >0， ∴n m ＝43，∴n m ＝169.∴m ＋n m ＝259.∴e ＝53.设m <0，n <0.则y 2－n －x 2－m＝1，∴n m ＝43.∴n m ＝169.∴m n ＝916.∴m ＋n n ＝2516.∴e ＝54. ∴双曲线的离心率为53或54.10．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为_______；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且P A →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0 ±3解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x 得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P 、Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵P A →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎨⎧y P ＋y Q ＝2m1－m 2，y P y Q＝1m 2－1解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m ，即为3或－3.11．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．解析 法一：①当焦点在x 轴上时， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 因渐近线的方程为y ＝±43x ， 并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎨⎧b a ＝43a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝8， ∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎨⎧a b ＝43a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝6.∴双曲线的方程为y 264－x 236＝1.综上，双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1. 法二：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ(λ≠0)， 从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100， 解得λ＝±576，∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1. 12.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23， ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2. 又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23. ∴所求双曲线方程为3x 22－y 22＝1.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的一条渐近线l 1于P (33，63)．(1)求该双曲线方程；(2)过点F 作直线l 2交该双曲线于M ，N 两点，如果|MN |＝4，求直线l 2的方程．解析 (1)设F (c,0)，l 1：y ＝b a x ，PF ：y ＝－ab (x －c )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a xy ＝－ab (x －c )，得P (a 2c ，abc )，又已知P (33，63)，故解得a ＝1，b ＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1.(2)若直线l 2垂直于x 轴，交双曲线于M ，N . 由(1)得右焦点为F (3，0)， 将x ＝3代入x 2－y 22＝1，得y ＝±2，所以|MN |＝4，若直线l 2不垂直于x 轴，设MF ：y ＝k (x －3)，代入x 2－y22＝1，得2x 2－k 2(x －3)2＝2，整理，得(2－k 2)·x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，若M ，N 两点均在双曲线的右支上，则k 2>2； 若M ，N 两点在双曲线的两支上，则k 2<2.又若M ，N 两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M ，N 两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，|MN |＝||NF |－|MF ||＝3[(13－x 2)－(x 1－13)]，所以4＝2－3(x 1＋x 2)， 即3·23k 2k 2－2＝－2，k ＝±22，所以所求直线l 2的方程为 x ＝3或y ＝±22(x －3)．1．(2012·厦门质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线为l 1、l 2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与l 1、l 2所围成的三角形面积为( )A.2a 3＋2b 3aB.2a 2b ＋2b 3a C.a 3＋b 3a D.a 2b ＋b 3a答案 D解析 由题意可知，过右焦点且垂直于x 轴的直线与两渐近线的交点坐标分别为(c ，bc a )、(c ，－bca )，所以三条直线围成的三角形面积S ＝12·c ·2bc a ＝bc 2a ＝a 2b ＋b 3a ，故选D.2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于________．答案 －143．(2012·东城区质检)已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________．答案 52，12x ±y ＝0解析 双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .又因为一条渐近线方程与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝14.∴双曲线的离心率为e ＝1k ＋11k＝52；渐近线方程为12x ±y ＝0.4．(2012·沧州七校联考)已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b 的值为________．答案 2解析 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由题意得⎩⎨⎧x 2a －y 2b＝1，x ＋y －1＝0，则(b －a )x 2＋2ax －a －ab ＝0.所以x 1＋x 2＝－2ab －a ，x 1x 2＝－a －ab b －a ，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2. 根据OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0， 因此1＋2a b －a ＋2×－a －ab b －a ＝0，化简得b －a ab ＝2，即1a －1b ＝2.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F (2,0)，点P 为双曲线上一点，PF →·A 1A 2→＝0，P A 1→·P A 2→＝43.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线上有两个不同点M ，N ，点E (0，－1)，当MN →＝λ(3,1)且|EM →|＝|EN →|时，求△MON 的面积(O 为原点)．答案 (1)x 23－y 2＝1 (2)5324解析 (1)由PF →·A 1A 2→＝0得PF ⊥A 1A 2， ∴P (c ，b 2a )(不妨设P 在x 轴上方)， 又A 1(－a,0)，A 2(a,0)，P A 1→＝(－a －c ，－b 2a )，P A 2→＝(a －c ，－b 2a )，∴P A 1→·P A 2→＝c 2－a 2＋b 4a 2＝b 2(1＋b 2a 2)＝b 2·c 2a 2＝43. 又∵c 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3b 2a 2＋b 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝1，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)由MN →＝λ(3,1)可知直线MN 的斜率为k ＝13， 设直线MN ：y ＝13x ＋m ，与x 2－3y 2＝3联立整理得2x 2－6mx －9m 2－9＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝3m ，x 1x 2＝－9(m 2＋1)2. 设MN 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3m 2，y 0＝13x 0＋m ＝3m2. 由|EM →|＝|EN →|得MN ⊥EG ， ∴k MN ·k EG ＝－1，∴13×32m ＋13m 2＝－1，∴m ＝－16，此时x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－378，∴|MN |＝(1＋k 2MN )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋19)[(－12)2－4×(－378)]＝5630，又点O 到直线MN 的距离为 d ＝|2×0－6×0－1|22＋(－6)2＝1210，∴S △MON ＝12×d ×|MN |＝12×1210×5630＝5324.1．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2答案 A解析 由对称性，不妨设点在右支上，①若12为到右焦点的距离，则所求为12＋2a ＝22；②若12为到左焦点的距离，则所求为12－2a ＝2，故本题答案为A.2．(2012·山东聊城)已知二次曲线x 24＋y 2m ＝1，则当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．[22，32]B ．[22，62]C ．[52，62]D ．[32，62]答案 C解析 ∵m ∈[－2，－1]，∴曲线为双曲线，即x 24－y 2－m＝1.∴c 2＝4－m .∴e 2＝c 2a 2＝4－m 4＝1－m 4∈[54，32]．∴e ∈[52，62]，故选C.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1 ①x 22a2－y 22b2＝1②，①－②得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，选D.4．(2012·皖南八校联考)已知抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线x 2a 2－y 28＝1(a >0)的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．2 2答案 C解析 因为抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，所以双曲线的半焦距c ＝a 2＋8＝4，得a ＝22，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝422＝2，选C.5．(2012·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53 B.56 C.54D.58答案 B解析 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)，Q (3,0)，M (0,0)，F (5,0)，|MP ||PQ |＝56.6．(2012·温州模拟)已知双曲线mx 2－y 2＝1(m >0)的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1,2)C ．(1，3)D ．(1,3)答案 A解析 要在双曲线右支上存在两点满足题意，则需要满足渐近线的斜率k ＝m <tan45°＝1，即k ＝m <1，m <1，因此离心率e ＝c a ＝1＋m <2，故选A.7．(2012·合肥质检)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.3或62 B ．2或3 C.233或2 D.233或62 答案 C解析 由题可知，当双曲线的焦点在x 轴上时，渐近线的方程为y ＝±b a x ，由已知可知|2b |a 2＋b 2＝1，易得双曲线的离心率e ＝233，当双曲线的焦点在y 轴上时，渐近线的方程为y ＝±a b x ，由已知可得|2a |a 2＋b2＝1，易得双曲线的离心率e ＝2，故选C.8．(2011·西城区质检)某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B (32，－5)，则( )A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样的曲线C 不存在 答案 B解析 设此曲线方程为mx 2＋ny 2＝1，(m ≠0，n ≠0)∴⎩⎨⎧4m ＋12n ＝1，94m ＋5n ＝1，解之，得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－14.曲线C 为双曲线x 2－y 24＝1.9．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A ．－aB ．aC ．－cD ．c答案 B解析 如图所示内切圆与三条边的切点分别为A 、B 、C ，由切线性质F 1C ＝F 1A ，PC ＝PB ，F 2A ＝F 2B ，由双曲线定义知，PF 1－PF 2＝2a 即(PC ＋CF 1)－(PB ＋BF 2)＝2a ∴CF 1－BF 2＝2a 即F 1A －F 2A ＝2a∵F 1A ＋F 2A ＝2c .∴F 1A ＝a ＋c .∴A (a,0)．选B.10．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4.∴e (e 3－3e －3＋1)<0.∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)．又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.11．等轴双曲线x 2－y 2＝1上一点P 与两焦点F 1、F 2连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为________．答案 1解析 设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝1①PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)， PF 1→＝(2－x 0，－y 0) ∵PF 1→·PF 2→＝0, ∴x 20－2＋y 20＝0② 由①②解得|y 0|＝22， ∴S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝1.12．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析 设正三角形MF 1F 2的边MF 1的中点为H ， 则M (0，3c )，F 1(－c,0)．所以H (－12c ，32c )，H 点在双曲线上， 故(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1， 化简e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1.。
2013高考数学(理)高考调研一轮复习：2-9课时作业(精)
课时作业(十二)1. 据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A . y= 0.1x + 800(0< x< 4000)B . y= 0.1x + 1200(0< x< 4000)C. y= —0.1x + 800(0< x< 4000)D . y= —0.1x + 1200(0< x< 4000)答案D2. 如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是( )(lg2 = 0.3010, Ig3 = 0.4771, Ig109= 2.0374, Ig0.09 =—2.9543)A . 2015 年B. 2011 年C. 2010年D. 2008 年答案B解析设1995年总值为a,经过x年翻两番.则a (1 + 9%)x= 4a._2Jg2「X=lg1.09~ 16.3. 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是()A . x= 60tB . x= 60t + 5060t 0< t< 2.5C. x=150- 50t（t>3.5）p60t 0< t <2.5150 2.5<t < 3.5150- 50 t-3.5 3.5<t< 6.5答案D4. （2011北京文）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费x用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A. 60件B. 80件C. 100 件D. 120 件答案B800 解析若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是V,x 800 x 800 x 800 x 存储费用是8,总的费用是x + 8>2x 8= 20,当且仅当x = 8时取等号，即x= 80.5. 一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别3以A, B, C, D为圆心，以b（0<b<2）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段（圆弧端点在正方形边上的连线）构成了丰富多彩的图形，贝S这些图形中实线部分总长度的最小值为___________ .答案3n解析由题意实线部分的总长度为1= 4(3—2b) + 2力=(2 ― 8)b+ 12, I关于b的一次函数的一次项系数2n- 8<0,故I关于b为单调减函数，因此，当b取最大值时，I取得最小值，结合图形知，b的3 3最大值为2,代入上式得I 最小= (2 A 8)X 2+ 12= 3n.6. 某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上8点至晚上21点)的电价为0.55元/千瓦时，谷时段(晚上21点至次日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时，对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费时的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ________________________ .(精确到小数点后一位)答案128.7千瓦时解析设每月在峰时段的平均用电量为x千瓦时，则(0.52-0.55)x + (0.52- 0.35)(200- x) >200X 0.52X 10%，解得x< 118.7. 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n) = k(n)(n —10), n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科了0, n W 10,100, 10< n w 15,省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n) = 200, 15<n W 20,| 300, 20<n w 25,400, n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多 ________ .答案1700解析k(18)= 200(元),/f(18)= 200X (18—10)= 1600(元).又\k(21) = 300(元),/f(21)= 300X (21 —10)= 3300(元),/f(21) —f(17) = 3300—1600= 1700(元).8. (2011福建文)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c= a+x(b—a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c—a)是(b—c)和(b—a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于____________ .—1+V5答案2解析根据题目条件可知，c—a = x(b—a), b—c= b—a—(c—a)=(1 —x)(b—a)，最佳乐观系数满足：c—a是b—c和b —a的等比中项，所以有[x(b—a)]2= (1—x)(b—a)(b—a)，又因为(b—a)>0，所以X—1±5 —1+V5 =1—x,即x2+ x— 1 = 0,解得x= 2~，又0<x<1,所以x= 2 .9 .一类产品按质量共分为10个档次，最低档次产品每件利润8 元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以生产最低档次产品60件，提高一个档次将减少3件，求生产何种档次的产品获利U最大？解析将产品从低到高依次分为10个档次.设生产第x档次的产品(1< x< 10, xCN)，利润为y元贝y： y= [60 —3(x—1)][8 + 2(x—1)] = (63 —3x)(6 + 2x)21 —x + 3+ x=6(21 —x)(3 + x)< 6[ 2 ]2=6X 144 = 864当且仅当21 —x= 3 + x,即x= 9时取等号.答：生产第9档次的产品获利最大.10. “水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%,如果某人本季度实际用水量为x(x< 7) 吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元).解析设本季度他应交水费为y元，当0<x w 5时，y= 1.2x；当5<x<6时，应把x分成两部分：5与x-5分别计算，第一部分收基本水费1.2X5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x- 5) + 1.2(x- 5) X 200%= 1.2(x- 5)(1 + 200%),所以y= 1.2X5 + 1.2(x-5) X (1 + 200%)= 3.6x- 12；同理可得，当6<x< 7 时，y=1.2x 5+ 1.2X (1 + 200%)+ 1.2(x-6)(1 + 400%)= 6x- 264r 1.2x, 0<x< 5综上可得y= 3.6x-12, 5<x w 6.〔6x-26.4, 6<x<711. 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P o= 2X 10 5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P。
2013届高考数学一轮复习课时作业 理
1．(2012·衡水调研卷)若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－8答案 B解析Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3p＝，n＝12，P(ξ＝1)＝C()12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a×b＝( )ξ0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2B．0.1C．0.15 D．0.4解析由分布列的性质得0.1＋a＋b＋0.1＝1，a＋b＝0.8又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3由解得a＝0.3，b＝0.5，a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案 C3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B．Eξ＝3.5，Dξ＝C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D．Eξ＝3.5，Dξ＝答案 B4．(2012·沧州七校联考)某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A．60.82元 B．68.02元C．58.82元 D．60.28元答案 A解析E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，选A.5．(2012·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A. B.C. D.答案 D解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X 3 2 0 P a b c E(X)＝3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当3a＝2b时，等号成立．6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是( )A. B.C. D.解析a，b，c成等差数列，2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝.联立三式得a＝，b＝，c＝，Dξ＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.答案 C7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案0解析依题意有a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝(m－2)2＋(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0. 8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案，25解析Dξ＝100p(1－p)≤100·()2＝25当且仅当p＝1－p.即p＝时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．解析设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p(ξ＝x)＝ 1－p，p(ξ＝x－a)＝p，故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，x－ap＝0.1a，x＝(0.1＋p)a.答案(0.1＋p)a10．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.答案解析可以先把这组数都减去6再求方差，11．(2010·浙江理)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析P(X＝0)＝＝(1－p)2×，p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.12．(2012·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．解析(1)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－)(1－)(1－)＝1－××＝.(2)X的可能取值分别为0，，，a.P(X＝0)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝a)＝＝.X的分布列为X 0 a P E(X)＝0×＋×＋×＋a×＝a. 13．(2012·广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)．参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望．解析设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(ξ＝1000)＝P(ξ＝800)＝P(ξ＝600)＝，P(ξ＝500)＝P(ξ＝400)＝P(ξ＝300)＝P(ξ＝0)＝，则ξ的分布列为ξ1000 800 600 500 400 300 0 P 所以所求的期望为E(ξ)＝×(1000＋800＋600)＋×(500＋400＋300＋0)＝675(元)．即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是675元．14．(2012·衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员射击环数频数频率7 10 0.1 8 10 0.1 9 x 0.4510 35 y 合计100 1 乙运动员射击环数频数频率7 8 0.1 8 12 0.15 9 z10 0.35 合计80 1若将频率视为概率，回答下列问题：(1)求甲运动员击中10环的概率；(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率；(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E(ξ)．解析由题意得x＝100－(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35.因为乙运动员的射击环数为9时的频率为(1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×＝32.由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32.(1)设“甲运动员击中10环”为事件A，则P(A)＝0.35，即甲运动员击中10环的概率为0.35.(2)设甲运动员击中9环为事件A1，击中10环为事件A2，则甲运动员在一次射击中9环以上(含9环)的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.45＋0.35＝0.8，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率P＝1－[1－P(A1＋A2)]3＝1－0.23＝0.992.(3)ξ的可能取值是0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.22×0.25＝0.01，P(ξ＝1)＝C×0.2×0.8×0.25＋0.22×0.75＝0.11，P(ξ＝2)＝0.82×0.25＋C×0.8×0.2×0.75＝0.4，P(ξ＝3)＝0.82×0.75＝0.48.所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3 P 0.01 0.11 0.4 0.48 E(ξ)＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B.C. D．1答案 A解析离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，EX＝＝＝.2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6答案 B解析途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，EX＝3×0.4＝1.2. 3．设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n与p的值分别为( ) A．18， B．12，C．18， D．12，答案 C解析由，解得n＝18，p＝.4．(2012·沈阳模拟)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析当l的斜率为±时，直线方程为±2x－y＋1＝0，此时d1＝；k＝±时，d2＝；k＝±时，d3＝；k＝0时，d4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X 1 P EX＝×＋×＋×＋1×＝. 5．(2011·江西理)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解析(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，即X 0 1 2 3 4 P (2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，EY＝3500×＋2800×＋2100×＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．6．(2011·陕西理)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率0.1 0.20.3 0.2 0.2 L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．()为了尽量大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？()用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对()的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解析】()Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6。
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课时作业(二十三)1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝() A．60°B．45°C．120°D．30°答案 C解析cos A＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∴∠A＝120°.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1 B．2C.3－1D. 3答案 B解析由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，得∠A>∠B，∴∠B＝30°.故∠C＝90°，由勾股定理得c＝2.3．在△ABC中，若sin A·sin B<cos A·cos B，则此三角形的外心位于它的()A．内部B．外部C．一边上D．以上都有可能答案 B解析sin A sin B<cos A cos B，即cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理， 由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．(2012·太原模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4， b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32答案 D解析 如图，由正弦定理得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．(2011·天津理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66答案 D解析 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66，故选择D.8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形 答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．9．(2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.答案 255 210解析 因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210.10．(2012·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．答案 π6解析 因为sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ， 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32， 又A 是三角形的内角，所以A ＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1＋tan Atan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．答案 π3解析 ∵2c b ＝2sin C sin B ，1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ， ∴2sin C sin B ＝sin C cos A sin B .在△ABC 中，sin B ≠0，sin C ≠0， ∴cos A ＝12，A ＝π3，故填π3.12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎨⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长． 答案 (1)32 (2)13解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55， sin A ＝sin(180°－45°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2.(2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2·1·32·22＝13.讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理asin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理a sin A ＝csin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，试判断△ABC 的形状． 答案 (1)π3 (2)等边三角形解 (1)在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)∵2sin 2B 2＋2sin 2C2＝1， ∴1－cos B ＋1－cos C ＝1.∴cos B ＋cos C ＝1，即cos B ＋cos(2π3－B )＝1， 即cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π3sin B ＝1， 即32sin B ＋12cos B ＝1，∴sin(B ＋π6)＝1. ∵0<B <π，∴π6<B ＋π6<7π6.∴B ＋π6＝π2. ∴B ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．15．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 答案 (1)π3 (2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， ∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.1．(2012·北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°答案 D解析 由正弦定理得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12. 又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.2．(2012·郑州质测)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135° 答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.设a ＝b ＝k ，c ＝3k ，则cos C ＝k 2＋k 2－(3k )22×k ×k ＝－12，∴C ＝120°，故选C.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．4．(2011·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 答案 (1)34 (2)7＋1解析 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C2＋1)＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12， 两边平方整理得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2， 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 5．(2011·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值． 答案 (1)5 (2)1116解析 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(14)2＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－(158)2＝78，∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.1．(2012·温州五校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．答案 3π4(或135°)解析 在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，而a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，∴cos C ＝－2ab 2ab ＝－22.∴角C 的大小为3π4.2．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A 2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵角A 为△ABC 的内角，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(a ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4.故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．思路 本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析 将A ＝60°看作已知条件，由2cos 2A ＋C 2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°. 由a sin A ＝b sin B ，得b ＝ 2.又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64.由a sin A ＝c sin C ，得c ＝2＋62.若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意．若已知条件为c ＝2＋62，则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62.4．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin A sin B ， 由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.5．(2011·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64.故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.6．(2011·辽宁文)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2 A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.7．(2011·江西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．解析 (1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cosA ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.。