高数电子教案2011Aa1(同济6版)1-2

用定义验证数列极限存在时, 关键：任给定
> 0，说明相应的N存在，但不必求出最小的N.
12/25
( 1) ， 证 明 ： lim x 0 . *例3 对xn n 2 n ( n 1)
n
证 任给定 0, 1 1 1 1 , 而 n , | xn 0 | 2 n n (1 n)
xn a xn a
xn a ， a a li m xn a . 证 毕.
n
16/25
二、收敛数列的性质
1、有界性
对{ x n }，若存在正数 M ，使得一切 n，恒有 则称{xn}有界; 否则， 称为无界． x n M 成立，
从几何上看：
{xn}有界对应的点列可落于某个有界闭区间内.
n
二、 设数列 x n 有界，又 lim y n 0 ，
n
证明： lim x n y n 0 .
n
n1
1 证 假设 lim x n a , 由定义, 对于 , n 2 1 N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即 xn (a , a ), 区间长度为 1.
是发散的 .
2 2 而xn 无休止地反复取 1 和 1两个数 ,
{xn}发散. 证毕．
9/25
5) 收敛性和极限值都与数列中有限个项
无关． 可以任意改动、增加、删除数列中
有限个项，不影响其收敛性和极限值．
注意： 数列极限的 －N 定义没有给出求 极限的方法！
10/25
n( () 1) n 1 lim ? 1. 例 2 证 明lim n n n n
n 1 n 1
n n 1 ，或
{ x n } ，或 x n ．
2/25
例1（1） a，aq，aq2，aq3，… ，aqn-1，….
其中a、q为常数且q 0．xn = aqn-1．此数列简
n -1 记为{aq }
n-1} ，或aqn-1 ． ，或 { aq n1
n 1
（2） {( 1)
} : 1, 1, 1, , (1) ,
n n ， 有界； xn 2 ，无界． 例如, x n n1
17/25
定理1 收敛数列一定有界.
证 设 lim x n a , 由定义, 取 1,
n
则N , 使得当 n N时，恒有 xn a 1, 即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
不可能同时位于长度为 1 的区间内.
20/25
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证（反证）假设 lim x n a , lim x n b, a b,
ba 由定义, 对给定 ，N 1 , N 2，使得 2 ba
n n
2 ba n N 2时，恒有 x n b ; 2 取N maxN 1 , N 2 , 则当n N时，有 b a. xn a b ( x n b) ( x n a ) . a x n b 矛盾 故收敛数列极限唯一．证毕．
n n
例4
若0 q 1, 任给 0,
要使 x n 0 q , 即n lnq ln , ln ln 只 要n , 可取N max{[ ],1}, ln q ln q
n
则当n N时, 就有 q 0 , lim q 0.
n
n
第二节
数列的极限
1. 数列极限的定义 2. 收敛数列的性质 3. 小结、作业
1/25
一、数列极限的定义
一列有序排列的（无穷个）数
x1 , x 2 , , x n ,
（1）
称为一个（无穷）数列，其中的每个数称为
x n 称为第 n 项或通项 数列的项， （一般项） ． 数
列(1)可简记为 { x }
7/25
定义
如果对于任意给定的正数
( 不论
它多么小),总存在正整数 N ,使得对于 n>N 的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末 就称{xn}有极限（为 a）,或者称{xn}收敛 （于 a）,记为
lim x n a , 或
n
xn a ( n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
3、子数列的收敛性
{ xnk } ：x n1 , x n2 ,, x nk ,
k 1
xn 中 是 第nk 项 ．n 而 xnk 在 原 数 列
注 子 数 列 xnk 中 ， 一 般 项 x nk 是 第 k 项 ，
k

k.
22/25
定理3 {xn}收敛于a {xn}的任何子数列 都收敛于a．
5/25
问题: 怎样用数学语言来精确地刻划 数列极限的概念， 即表达：随着项数
n的无限增大，有项xn无限接近a？
6/25
随着 n ，有 xn 无限接近常数 a， 也就是 | xn - a| 无限接近 0． 不论它有多么 任给定 | xn - a| 的上界 ， 小， 只要 n 足够大（n > 某个N）， 总可 以使 | xn - a| < ． 有数列极限的定义（用“ -N ”语言表达）:
证 任给 0 , 对于一切正整数 n,
成立, 都有 xn C C C 0
所以, lim x n C .
n
证 毕.
常数列的极限等于同一常数.
14/25
*例5 证 明 lim q
n
n
0, 其 中 q 1.
n
证 若q 0, 则 lim q lim 0 0;
21/25
n N 1时，恒有 xn a
;
xn 的子 数 列（子 列） 的数列称为原数列 .
n n1
xn 中 的 先 后பைடு நூலகம்次 序 ， 这 样 到 这些项在原数列 得
{ x } ：x1 , x2 ,, xn1 , xn2 ,,, xnk ,
xn 中 任 意 抽 取 无 限 多 项 并 在数列 ，保持
可取N ( ) max{[ ],1}. 证 毕. 1

1 1 或由 n 1 2 (1 n) 1 可 取N ( ) max{[ 1],1}. 证 毕.

13/25
证明 lim C. lim xn x n？ 例4 设 x n C (C为常数), 则
n n
{xn} 发散.
24/25
三、小结
1.数列 定义， 几何表示，主要研究其变化趋势． 2.数列极限 直观描述，精确定义， 几何意义． 3.收敛数列的性质
有界性， 唯一性．
4.数列与子数列的收敛性的关系．
25/25
作
第一章
业
习题一
一、3，4；四、1．
练 习 题
一、 利用数列极限的定义证明: 3n 1 3 ； 1、 lim n 2n 1 2 2、 lim 0.999 9 1
n
证毕.
15/25
*例6设 xn 0, 且 limxn a 0, 求 证lim xn a .
n n
证 任给 0, lim x n a , 对此 0,
n
N , 使得当 n N时， 恒有xn a ,
从 而 有 xn a
xn = f ( n ) .
4/25
数列极限的直观定义
对 {xn}: x1 , x2 , x3 , …, xn , …
若随着 n 的无限增大（记作 n ）， 有 xn 无限接近某个定数 a， 则称 {xn} 有极限（为 a）或 收敛（于 a）， 记作
lim x n a
n
或
xn a ( n )
则对一切正整数 n，皆有xn M ,
故xn 有界. 证毕.
推论 无界数列一定发散.
18/25
例7 {n+(-1)nn}: 0, 4, 0, 8, 0, 12, … 是无界的, {n+(-1)nn} 发散.
注意 收敛有界; 发散无界. 发散 ?无界.
收敛 ?有界;
19/25
*例8 证明: xn (1)
1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n 1 1 任给 0, 要 xn 1 , 只要 , 即 n , n
所以, 取N max{[ ], 1}， 则当n N时,
1
n ( 1) 总有 n
n 1
n ( 1) 1 , lim n n
8/25
注 1） （> 0）必须可以任意小． 2）N 与 有关．
3）若 N( ) 存在，则必不唯一．
4）几何解释： a a 2 x N 1 a x N 2
x
当 n N 时, 所有的点 xn都落在 (a , a )内,
只有有限个 (至多只有 N个) 落在其外 .
lim x n a ,
n
证 “” 设 xnk 是 xn 的任一个子列．

任给定 0，N 0，n N 时, 有 xn a . 取 K N , 则当 k K 时,
xnk a . lim x nk a . 有nk K N， k
“” 易证（略）．证毕．
23/25
推论 若{xn}有发散子列或有两个收敛于 不同极限的子列
{xn}发散.
例9 (1) ∵{xn} = {(-1)n} 有子列
{x2n} = {1} 1， {x2n-1} = {-1} -1，
{(-1)n} 发散. (2) ∵{xn} = {n+(-1)nn} 的子列 {x2n} = {4n} 无界, {x2n} 发散.