2类图的零度的极图的刻画
第一章 图的基本概念(5)——极图理论简介
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
如果 m(G) m(Tl ,n )
则有 m(H ) m(G)
G与H有相同度序列，由定理4：G H
又由 m(G) m(Tl ,n ) ，且由定理3，有：
H Tl ,n 所以有： G Tl ,n
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1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
4部图
4
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1 2 1.5 t1
0.5
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定义2 如果在一个l 部图G中，任意部Vi中的每个顶点， 和G中其它各部中的每个顶点均邻接，称G为完全l 部 图。记作：
G Kn1,n2 , ,nl , (ni Vi ,1 i l)
例如：
显然：
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几个有趣的相关结果：
设m (n, H)表示n阶单图中不含子图H的最多边数，则：
1, m(n,
K3 )
n2
4
2, m(n, Kl 1 )
(l
1)(n 2 2l
r2)
Cr2
其中，n r(modl), 0 r l
3,
m(n, Cn
)
1
(n
1)(n 2
由此可以推出： G= G1V G2 因为 G= G1V G2和H= G2V H1有相同度序列，于是 得到G1和H1有相同度序列，所以：
GH
定理5（Turán）若G是简单图，并且不包含 Kl+1,则：
m(G) m(Tl,n )
仅当 G Tl ,n 时，有 m(G) m(Tl ,n )
石墨烯ppt
SiC外延法
利用硅的高蒸汽压在高与1400的高真空下使硅挥发， 剩余碳重排形成石墨烯。
优 缺 点 对 比
机械分离法 可以制备高质量的石墨烯，但 产率低，无法实现工业化。
CVD法
质量高，但条件要求高，需严 格控制温度和压力，不经济。
氧化还原法 产量高，成本低，可宏量制备， 但是会带来缺陷，影响性能， 造成废液污染。 溶剂剥离法 可制备高质量石墨烯，但是产 率低。
电子迁移率为光的1/300 计算及元件中104m/s 比在硅内快100倍 砷化镓中5×105m/s
机械分离法
石 墨 烯 的 制 备 方 法
化学气相沉积法（CVD法）
氧化还原法 加热SiC法 溶剂剥离法
取向附生法
机械分离法
1 2
对石墨晶体施加机械力，分离石墨烯
HOPG（高定向热解石墨）的应用
控制噪声
光子传感器 抗癌 储氢材料
气体传感器
防弹衣，纸片状飞机材料
几组数字
结构稳定，c-c键1.42埃，键能大，c-c键连接 柔韧，碳原子面可弯曲。 强度大，石墨烯制成普通厚度的食品袋，可承 受2吨压力。硬度比钻石还硬，是世界上最好钢铁 的100倍。透光性好，只吸收2.3％的光。
电阻率10-8Ω· m
导热系数5300W/m· k
铜1.7× 10-8Ω· m
铜380W/m· k，碳纳米管 3500W/m· k
溶剂剥离法
取向附生法
将少量石墨分散于溶剂中，形成低浓度分散液， 高温把碳深入钌，降温后碳浮到钌表面， 利用超声波破坏石墨间层范德华力，溶剂进入石墨 一层一层的长，最下面一层的碳与钌只有 弱电偶和。 层间，最后剥离出单层石墨烯。
加热SiC法
加热单晶6H-SiC脱出Si，将氧气或氢气刻蚀处理 的样品在高真空下电子轰击，去氧化物，后加热 到1250-1450度恒温1-20min。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学08图论b
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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路径和回路
在图G=<V,E>中，从结点vi到vj最短路径的长度称为从vi到vj 的距离，记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径，则d(vi,vj)＝ ∞。 在有向图中，d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi)。 d(vi,vj)≥0。 d(vi,vi)＝0。 d(vi,vj) + d(vj,vk)≥d(vi,vk)。 －三角不等式
西安电子科技大学计算机学院
数 学 离 散
毛立强 主讲
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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图论
图的基本概念 路径与回路 图的矩阵表示 二部图 平面图 树和有向树
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图的基本概念
H = G ，显然G = G。
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路径和回路
在有向图中，从顶点v0到顶点vn的一条路径(walk)是图的一 个点边交替序列(v0e1v1e2v2...envn)，其中vi-1和vi分别是边ei 的始点和终点，i=1,2,...,n。在序列中，如果同一条边不出现 两次，则称此路径是简单路径(迹，trail)，如果同一顶点不出 现两次，则称此路径是基本路径（或称为通路，path）。如 果路径的始点v0和终点vn相重合，即v0＝vn，则此路径称为 回路（curcuit），没有相同边的回路称为简单回路（闭迹， closed trail），通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路 （圈，cycle）。
3 e2 2 e1 e4 e3 1 4 e5 5 6 e6 e8 e7 8 7
弱分图
计算机图形学基础课后部分习题答案
xi+1 xi+2
第四象限
-6-
d0=F(x0+1,y0-0.5)=-(k+0.5) 令 Di=2dxdi,得 D0=-(dx+2dy),D 与 d 同号 当 Di≥0,下一点(xi,yi-1),Di+1=Di-2dy 当 Di≤0,下一点(xi+1,yi-1),Di+1=Di-2(dx+dy)
数值算法大师
Runge-Kutta formulae for ODEs
Like Adams formulas, these are a generalization of Euler. Coriolis 1830s had some 2nd-order formulas. Then —
Carl David Tolme Runge 1856-1927
SOME MAJOR DEVELOPMENTS IN SCIENTIFIC COMPUTING (29 of them) Before 1940 Newton's method orthogonal linear algebra least-squares fitting QR algorithm Gaussian elimination Fast Fourier Transform Gauss quadrature quasi-Newton iterations Adams formulae Runge-Kutta formulae 1970-2000 finite differences preconditioning spectral methods 1940-1970 MATLAB floating-point arithmetic multigrid methods splines IEEE arithmetic Monte Carlo methods nonsymmetric Krylov iterations simplex algorithm interior point methods conjugate gradients & Lanczos fast multipole methods Fortran wavelets stiff ODE solvers automatic differentiation finite elements
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
《用MATLAB画零极点》课件
4
绘制零极点图
使用MATLAB的绘图工具，绘制系统的零极点图。
零极点图的应用
了解系统的稳定性
通过分析零极点图，了解系统的稳定性和边界特征。
分析系统的性能
利用零极点图分析系统的频率响应和阻尼特性。
结论
1 零极点图是系统分析的重要工具
2 MATLAB可以帮助我们简便地绘制
通过绘制和分析零极点图，我们可以深入
《用MATLAB画零极点》 PPT课件
本PPT课件介绍如何使用MATLAB绘制零极点图。让我们一起探索零极点的概 念以及MATLAB基础知识，学习如何绘制和分析零极点图的应用。
什么是零极点？
零极点是描述系统行为特征的概念。了解零极点的重要性对于系统分析和控制设计至关重要。
MATLAB基础知识
安装和配置
零极点图
了解系统的特性。
MATLAB提供强大的工具和函数，使得绘
制零极点图变得轻松而高效。
参考资料
MATLAB帮助文档
详细说明MATLAB的各种函数和使用方法。
《信号与系统》
深入研究信号与系统理论，并提供MATLAB实 现示例。
MATLAB的安装步骤和配置 参数。
基本语法和函数
MATLAB的基本语法规则和 常用函数的简介。
高级功能
深入了解MATLAB中的高级 功能和工具。
绘制零极点图
1
准备工作
为绘制零极点图做好准备，包括导入数据和设置参数。
2
定义传递函数
使用MATLAB的控制系统工具箱，建立系统的传递函数。
3ห้องสมุดไป่ตู้
计算零极点
使用MATLAB进行传递函数的进行求解，得到零极点的值。
西安电子科技大学考研复试科目-离散数学05无限集合b-08图论a
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lqmao@
小结
明确有限集、可数无限集、不可数无限集及其基 数的概念 基数的比较
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作业
• 5-1 （3） • 5-2 （2） （10）
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基数的比较
如果A是无限集，那么s\s0 ≤|A|（ s\s0是最小的无限集基数） 证明：如果A是无限集合, 那么A包含一可数无限子集B。因 为映射f: B→A, f(x)=x, x∈B是从B到A的单射函数, 这得出 |B|≤|A|, 而|B|= s\s0 ，所以s\s0 ≤|A|。 虽然有上述两个结论，但目前为止，还没有人能够证明是否 有一无限集，其基数严格介于s\s0和c之间。于是，假定c是大 于s\s0的最小基数，即不存在任何基数|S|，使s\s0 <|S|< c成立。 （连续统假设） Cantor定理：设M是一个集合，T为M的幂集，则 |M|<|T|。 说明没有最大的基数，没有最大的集合
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基数的比较
例：证明 [ 0 ,1]和 ( 0 ,1)具有相同的基数。 证明：作单射函数： x 1 f : [ 0 ,1] → ( 0 ,1), f ( x ) = + 2 4 g : ( 0 ,1) → [ 0 ,1], g ( x ) = x
说明没有最大的基数没有最大的集合15西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn小结?明确有限集可数无限集不可数无限集及其基数的概念?基数的比较16西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn作业?513?5221017西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图论?图的基本概念?路径与回路?图的矩阵表示?二部图?平面图?树和有向树18西安电子科技大学计算机学院毛立强lqmaomailxidianeducn图的基本概念?一个图graphg是一个三重组vgegg其中vg是一个非空的结点顶点vertices集合eg是边edge的集合g是从边集e到结点偶对集合上的函数
顶点的度PPT课件
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03
有向图中顶点的度分析
有向图连通性判断
连通性定义
在有向图中，若从顶点u到顶点v 存在一条路径，则称u和v是连通
的。
连通分量
有向图中的极大连通子图称为有向 图的连通分量。
判断方法
通过深度优先搜索或广度优先搜索 遍历所有顶点，若能够访问到所有 顶点，则说明有向图是连通的，否 则不连通。
强连通分量求解方法
强连通分量定义
在有向图中，若任意两个顶点都相互可达，则称该有向图为强连通图。有向图的极大强连 通子图称为强连通分量。
Kosaraju算法
首先对有向图进行深度优先搜索，记录每个顶点的完成时间。然后将原图反向，按照完成 时间的逆序进行第二次深度优先搜索，能够搜索到的顶点集合就是一个强连通分量。
两种表示法的比较
邻接矩阵表示法简单直观，适用于稠密图；邻接表表示法节省空间，适
用于稀疏图。在实际应用中，可以根据问题的特点和需求选择合适的表
示法。
02
无向图中顶点的度分析
无向图连通性判断
连通性定义
在无向图中，若任意两个顶点之间都 存在一条路径，则称该图是连通的。
连通分量
判断方法
利用深度优先搜索（DFS）或广度优先 搜索（BFS）遍历所有顶点，若能访问到 所有顶点，则说明图是连通的。
Tarjan算法
通过深度优先搜索遍历所有顶点，同时维护一个栈和一个低链接数组。在遍历过程中，不 断更新每个顶点的低链接值，若当前顶点的低链接值等于其所在栈中顶点的最小低链接值 ，则说明找到了一个强连通分量。
最小生成树和最短路径算法
最小生成树算法
对于有向图的最小生成树问题，可以采用Kruskal算法或Prim 算法进行求解。Kruskal算法通过不断添加边的方式构建最小 生成树，而Prim算法则是通过不断添加顶点的方式构建最小 生成树。
图的特征值和结构参数的研究
图的特征值和结构参数的研究图谱理论是图论中非常重要的研究领域之一,它在计算机科学、信息科学、通信网络、量子化学和统计力学等方面的应用极其广泛.图谱理论的研究主要是利用矩阵论和组合矩阵论中的经典结论和方法,通过图的矩阵表示,建立起图的代数性质与拓扑结构之间的紧密联系.本文主要讨论了图的几类矩阵特征值与图的结构参数(如图的度、平均二度、传递(transmission)、直径、围长、色数、连通度等)之间的关系,进而研究图的一些性质.文章结构如下:第一章,主要介绍了图谱理论以及本文涉及问题的研究背景,而且给出了本文所用到的一些基本概念和记号.第二章,研究了连通的非正则(n,m)-图(即有n个点和m条边的图)的(无符号)拉普拉斯谱半径.首先给出了无符号拉普拉斯谱半径关于度和平均二度的上界,并刻画了对应的极图.然后,得到了(无符号)拉普拉斯谱半径关于最大、最小度的上界.最后,讨论了不同图的拉普拉斯谱半径和无符号拉普拉斯谱半径之间的关系,而且对不同图的(无符号)拉普拉斯谱半径进行了排序和比较.第三章,研究了图的Aα-矩阵的最小特征值λλn(Aααα).令n,m,χ和qn(G)分别表示图G的点数、边数、色数和无符号拉普拉斯最小特征值.de Lima,Oliveira,de Abreu和 Nikiforov[The smallest eigenvalue of the signlessLaplacian,Linear Algebra Appl.435(2011)2570-2584]提出了多个公开问题,其中两个如下:问题1:找到qn(G)=2m/n-1成立的充要条件;问题2:找到qn(G)=(1-1/χ-1)2m/n成立的充要条件.在这章中,我们首先得到了λn(Aα)(此处1/2 ≤α≤ 1)的一个上界并刻画了对应的极图,作为应用,完全解决了问题1.然后,当α≠ 1/χ时给出了Nikiforov和 Rojo[A note on the positive semidefiniteness of Aα(G),Linear AlgebraAppl.519(2017)156-163]得到的λn(Aα)≤(αχ-1)2m/(χ-1)n中等式刻画的必要条件,进而得到了问题2的必要条件.最后,考虑了λn(Aα)关于图的度、直径和围长的一些界且刻画了一些极图,改进和推广了qn(G)以及λn(Aα)的一些已有结果.第四章,考虑了图的距离(无符号拉普拉斯)谱半径.一方面,研究了循环图的距离谱半径与转发指标.通过构造任意两点间的最短路得到了几类循环图的距离谱半径以及所对应的距离矩阵的元素.然后,讨论了距离谱半径与转发指标的关系.最后,给出了几类循环图的点转发指标的确切值和边转发指标的上下界.另一方面,讨论了非传递正则图(non-transmission-regular graphs)的距离(无符号拉普拉斯)谱半径.分别用两种方法对这类图的距离(无符号拉普拉斯)谱半径与(2倍)图的最大传递之差进行了估计,并对所得结果进行了比较.而且,关于距离谱半径和图的最大传递提出了一个猜想并验证了此猜想对树是成立的.此外,利用证明中类似的方法,改进了非正则图的邻接谱半径和最大度差值的一个已有结果.第五章,对本文进行了总结,并对有待研究的问题进行了展望.。
图的零度和奇异性的进一步研究的开题报告
图的零度和奇异性的进一步研究的开题报告一、选题背景图是计算机科学中的重要概念，它可以用于表示各种关系和网络结构。
在图中，节点和边构成了一个复杂的网络，研究图的性质和特征可以为计算机科学的相关领域提供重要的理论和实践基础。
其中，图的零度和奇异性是图论中一项重要的研究内容。
零度是指节点的度数为0，奇异性则是指网络中存在奇环的能力。
这两个概念在许多研究领域中都有着广泛的应用，比如社交网络分析、蛋白质相互作用网络分析等。
近年来，随着图论研究的不断深入，对图的零度和奇异性的研究也越来越受到关注。
不仅在理论上，许多实际应用也需要对这些指标进行更深入地研究。
二、研究目的和意义本研究旨在通过对图的零度和奇异性的研究，探究其在实际问题中的应用以及具体的性质和特征，为相关领域的研究提供理论支持和实践基础。
研究目的和意义如下：1.掌握图的零度和奇异性的基本概念和特征。
2.通过分析实际网络中的零度和奇异性，研究它们在实际应用中的意义。
3.研究零度和奇异性在社会网络、蛋白质相互作用网络等领域的应用。
4.探究零度和奇异性对网络的演化和动态性质的影响。
三、研究内容和方法本研究将分为以下几个部分：1.理论研究：对图的零度和奇异性的基本概念和性质进行深入了解和分析。
其中，将会探究零度和奇异性的定义、性质、特征等基本知识。
2.实际应用：选择多个社交网络和蛋白质相互作用网络进行研究，分析其网络结构和零度和奇异性的相关特征，探究它们在实际应用中的意义。
3.影响因素：通过研究零度和奇异性在网络演化和动态性质中的影响，深入分析其相关影响因素。
4.数学模型：建立数学模型，对零度和奇异性进行分析和计算，探究更深入的理论问题。
在研究方法上，本研究将采取理论分析和实证研究相结合的方法，通过对具体网络的应用和对数学模型的探索，深入理解零度和奇异性在网络中的特征和作用。
四、计划进度和预期成果本研究计划时间为一年，在此期间将完成以下计划进度：1.前期准备：收集和整理与图的零度和奇异性相关的文献资料，建立研究框架，明确研究目标和问题。
图论课件--极图理论简介
上世纪70年代末，极值图论已经形成了相对完整的 理论体系，但还有很多引人入胜的公开性问题没有解决， 所以，直到现在，它仍然是重要研究方向。但是，该方 向是比较困难的数学研究方向之一。
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
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1 0.8
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取v∈V1 ，由于G 连通，对任何u∈V1∪V2 ， G中有 联结u 和v的路，故d (v, u)有定义。
因为任何一条以v为起点的路交替地经过V1和V2 的点， 可知一个点u∈V2 当且仅当d (v, u)是奇数。这准则唯一地 决定了G的2部划分。
应用数学学院
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第一章 图的基本概念
本次课主要内容
极图理论简介
(一)、l 部图的概念与特征 (二)、托兰定理 (三)、托兰定理的应用
2
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定理3 n阶l部图G有最多边数的充要条件是G ≌ Tl,n。 证明：首先有：m(G) m(Kn1,n2 , ) ,nl 其次，考虑：
l
f (n1, n2 , , nl ) nin j , s.t, ni n
i j
i 1
则 f 取最大值的充分必要条件为：1≦i<j ≦l,有:
ni nj 1
2类图的零度的极图的刻画
2类图的零度的极图的刻画
郑柳蓉;李红海;孙慧贤
【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(035)002
【摘要】应用图谱理论的基本方法对两类图的零度的极图进行了研究,刻画了达到上界的极图,推广了前人的有关结论.%By using the fundermental methods of spectral graph theory, two extremal graphs on graph nullity are studied. And extremal graphs attaining these upper bounds are characterized, which generalize the results of some scholars.
【总页数】5页(P143-147)
【作者】郑柳蓉;李红海;孙慧贤
【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院,江西,南昌,330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西,南昌,330022;江西师范大学数学与信息科学学院,江西,南昌,330022
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.一类图匹配等价完整刻画 [J], 乔友付;詹福琴
2.一类图的完全刻画 [J], 冶成福
3.一类双色有向图的极图刻画 [J], 罗美金;侯宗毅;乔友付
4.一类双色有向图的本质原指数及极图刻画 [J], 赵甲;雷英杰
5.非本原有向图的最大广义指数及极图刻画 [J], 胡志痒
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图的谱特征及其相关问题
图的谱特征及其相关问题图的谱特征及其相关问题设M是以某种具体规定的方式所定义的与图相联系的图矩阵.利用矩阵M的特征值来研究图的理论称作是图的谱理论(或M-谱理论).图矩阵包括关联矩阵、邻接矩阵A、Laplacian矩阵L、规范Laplacian 矩阵和Seidel矩阵等.在以往的研究中,主要涉及图的A-谱理论和L-谱理论.近来,著名的图谱理论学者Cvetkovic,Rowlinson和Simic[42]提出并分析了用signless Lapla-cian矩阵Q研究图的可能性,并指出用Q-矩阵比用A-矩阵研究图更有效率.同时,van Dam和Haemers[52]也指出用Q-矩阵比用L-矩阵和Seidel矩阵研究图似乎更方便.本文的研究范围涉及图的A,Q和L-谱理论,侧重于前两种谱理论的研究.图的M-特征值是图矩阵M的特征值.图的M-谱是由M-特征值组成并记做SpeCM(G).如果SpecM(G)=SpecM(H),则称G和H是M-同谱图,并表示为G-M H.记G的M-同谱类为[G]M={H|H-M G}.若对于任意满足H-M G的图H都有H≌G,则称G是由M-谱所确定的(或简称为G是一个DMS-图).本文主要研究图的谱特征及相关的问题.图G 的M-谱特征问题(简记为M-SCP)主要研究以下两方面的问题：M-SCP1:图G是一个DMS-图吗?M-SCP2:若G不是DMS-图,则能否确定[G]M?研究图的谱特征问题时,知道的必要条件越多越有益于问题的解决.为此,本文也研究了与谱特征密切相关的若干问题,所得到的绝大部分结论成为解决一些图的谱特征问题的有力工具.本文所得到的主要结果如下：第二章主要研究图的A-谱特征及相关问题.首先刻画了三类含孤立点的图的A-同谱类；其次研究了一类DK-图和单圈图的A-指标,确定了一类DK-图的A-同谱类,给出了另一类DK-图是DAS-图的充要条件,其间穿插了对A-特征多项式之间整除性的研究；再次,详细地研究了两类连通的(2,3)-几乎正则图(哑铃图和θ-图)的A-谱特征.第三章主要研究图的Q-谱特征及相关问题.首先研究了图各种谱特征之间的关系,尤其是图的Q-谱特征和其剖分图A-谱特征之间的关系；其次对Q-指标加以详细地讨论,确定了Q-指标的所有小于4.38+的极限点,分别刻画了Q-指标属于区间(4,2+(?)],(2+(?),(?)+2]和((?)+2,4.5]的连通图,给出了Q-指标的一个上界并刻画了达到界的极图；再次,给出了第二大Q-指标κ2的一个上界,刻画了κ2属于区间[0,3]的所有连通图,并且完全解决了这些图的Q-谱特征问题；然后利用Q-多项式的系数定义了两个新的Q-同谱不变量,即第一特征标I1(G)和第二特征标I2(G),证明了I1(G)≤1并分别刻画了I1(G)=1,0,-1,-2,-3的所有连通图,证明了I2(G)≥-2并得到取得等号的图类,利用第一特征标研究了一类图的Q-谱特征；发现了确定与一个给定图Q-同谱图的度序列的方法,利用此法分别找到了与2-玫瑰图和3-玫瑰图Q-同谱图的度序列,完全解决了这两类图的Q-谱特征；最后分别确定了固定阶数与直径,固定阶数与割点数的最大图.第四章主要研究图的L-谱特征及相关问题.首先将Q-特征标推广到L-特征标,演示了L-特征标在解决L-谱特征中的应用；其次,部分地解决了2-玫瑰图和3-玫瑰图的L-谱特征问题；最后刻画了L-指标分别属于[0,4],(4,2+(?)],(2+(?),2+(?)]的所有连通图,然后利用得到的结论完全解决了路和圈不交并的L-谱特征问题. 摘要2-4Abstract4-8第一章绪论8-261.1 图谱理论的研究背景简介8-91.2 基本概念与符号9-111.3 本文的研究背景、进展及主要工作11-26第二章图的A-谱特征及相关问题26-752.1 A-谱理论的若干经典结论26-282.2 三类图的A-同谱类28-362.2.1 图K_1 ∪ P_n的A-同谱类29-312.2.2 图K_1 ∪ W_n的A-同谱类31-342.2.3 图K_1 ∪ T_(1,2,n-4)的A-同谱类34-362.3 DK-图的A-谱特征36-622.3.1 一类DK-图和单圈图的A-指标37-453.2 DK-图的A-谱特征Ⅰ45-502.3.3 A-特征多项式的整除性50-542.3.4 DK-图的A-谱特征Ⅱ54-622.4 (2,3)-几乎正则图的A-谱特征62-752.4.1 哑铃图的A-谱特征Ⅰ64-672.4.2 哑铃图的A-谱特征Ⅱ67-742.4.3 θ-图的A-谱特征74-75第三章图的Q-谱特征及相关问题75-1313.1 图各种谱特征的关系75-783.2 Q-谱理论的基本结论78-823.3 关于图的Q-指标82-943.3.1 图Q-特征值的极限点82-873.3.2 Q-指标所刻画的图87-913.3.3 Q-指标的一个上界91-943.4 关于第二大Q-特征值κ_294-1003.4.1 κ_2的一个上界94-963.4.2 κ_2所刻画的图96-993.4.3 κ_2与图的Q-谱特征99-1003.5 Q-同谱不变量及DQS-图100-1105.1 图的第一Q-特征标100-1053.5.2 图的第二Q-特征标105-1073.5.3 特征标与图的Q-谱特征107-1103.6 玫瑰图的Q-谱特征110-1223.6.1 2-玫瑰图的Q-谱特征110-1183.6.2 3-玫瑰图的Q-谱特征118-1223.7 两类最大图的刻画122-1313.7.1 预备工作122-1263.7.2 阶和直径固定的最大图126-1283.7.3 阶和割点数固定的图128-131第四章图的L-谱特征及相关问题131-1434.1 几类图的L-谱特征131-1344.1.1 从Q-特征标到L-特征标131-1324.1.2 2-玫瑰图的L-谱特征132-1334.1.3 3-玫瑰图的L-谱特征133-1344.2 L-指标与L-谱特征134-1434.2.1 L-指标刻画的图134-1394.2.2 路与圈并图的L-谱特征139-143附录143-145参考文献145-158科研成果158-161致谢161-162。
吉林省松原市2024年数学(高考)统编版摸底(综合卷)模拟试卷
吉林省松原市2024年数学（高考）统编版摸底(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4第(2)题某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．第(3)题分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A．12B．13C．40D．121第(4)题已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°第(5)题设集合，，则（）A．B．或C．或D．第(6)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题已知复数满足，则复数（）A．B．C．D．第(8)题在正方体中，点为底面的中心，点分别是的中点，则（）A．B．直线与平面所成的角是C．平面D．异面直线与所成的角是二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知复数，，下列结论正确的有（）A．若，则B．若，则C．若复数，满足．则D．若，则的最大值为4第(2)题已知函数，则（）A．有零点的充要条件是B．当且仅当，有最小值C．存在实数，使得在R上单调递增D．是有极值点的充要条件第(3)题在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，，则（）A．平面B．C．三棱锥的体积是定值D．三棱锥的外接球的表面积是三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
四川省成都市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)能力评测(冲刺卷)完整试卷
四川省成都市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，为外心，且，则的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题已知直线与直线平行，则实数（）A．B．3C．5D．或3第(3)题已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．第(4)题若，则（）A．B．C．D．第(5)题已知的图象如图，则的解析式可能是（）A．B．C．D．第(6)题已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球的体积为，则图中的的值是A．B．C．D．第(7)题关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3第(8)题我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A．第6行第1个数为192B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列C．第10行前10个数的和为D．数表中第2021行第2021个数为第(2)题音量的大小用声强级（单位：dB）表示，声强级与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强．人能承受的最大声强为，对应的声强级为．若学生早读期间读书的声音的声强级范围为（单位：dB），则下列选项中正确的是（）．A．（单位：）B．学生早读期间读书的声强范围为（单位：）C．如果声强变为原来的2倍，则对应声强级也变为原来的2倍D．如果声强级增加，则声强变为原来的10倍第(3)题若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（）A．在上的投影向量为B．在上的投影向量为C．在上的投影向量为D．在上的投影向量为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题，，则实数的取值范围是______．第(2)题已知向量=(4，-2)，=(-2，λ)，且与共线，则=___________.第(3)题行列式的值等于____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．第(2)题(1)求；(2)若，求△ABC 的周长．第(3)题如图，在四棱锥中，底面是以2为边长的菱形，且，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.第(4)题已知函数，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.第(5)题如图，在三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，点分别是线段上的点，，且.(1)若，求证：平面；(2)若为正三角形，，求三棱锥的体积.。
第1章-极图PPT优秀课件
转动前
转动过程
转ห้องสมุดไป่ตู้后
8
3. 转换投影面
右图表示将原投影面O1上 的极点A1、B1 、 C1 、 D1 转换到新的投影面上O2上 去的过程。
9
4.晶带的极射赤面投影
90°
4.1晶带轴的极射赤面投影
4.2两晶带轴所在平面 的极射赤面投影
10
5.标准极射赤面投影图
将晶体中的重要晶面都作出标准的极射赤面投影图， 以显示晶体取向关系、晶带关系、晶面夹角关系。下 图显示了立方晶系的(001)、(011)、(111)标准极图。
第二章 晶体的极射赤面投影
• 晶体的几何特征是反映在三维空间中的信 息，用三维立体图来描述晶面、晶向的夹 角关系很直观但很繁琐。晶体学家为了简 化三维立体图往往采用二维图形（简称 “极图”）来表示三维图形中晶向和晶面 的对称配置和测量它们之间的夹角关系。 即把晶体进行球面投影，然后再进行一次 投视投影，最终把空间问题转化为平面问 题来解决。
1
球面投影：将结晶多面体或 空间点阵中的晶向和晶面投 影到球面上的一种投影方法。 极射赤面投影：将球面投影 图再投影到赤道面上去的一 种投影方法。（只取球内投 影点，如下图）
2
•极式网：
在极式网中，子午线大圆为一族过圆心的直径， 将投影基园等分为360/n°，而纬线小圆为一族同 心圆，它们将投影圆的直径等分为180/n °。
12
实例2：极图测量晶体学关系
13
例子3：从α铁中析出富N奥氏体片γ与基体的位相关系
近似的K-S关系
14
个人观点供参考，欢迎讨论
电子衍射花样 B=[110]
(110)极图
极式网
3
•吴氏网
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）ｎｉ＋ ≤－（２ ｇ ）嚣 ４ ｒ ’ Ｇ
定理 Ｂ 设 Ｇ是 ｎ阶简单图，
（ ≤ｒ Ｇ） ｌ —Ｐ．
是 Ｇ的子图， 则
显 然在定 理 Ｂ中，Ｐ的最 大值为 Ｇ的 团数 ．
本 文得 到下 面的结 果．
第 ３ ５卷 第 ２期
江西 师范大 学学报 （ 自然 科 学 版 ）
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ ＭＡ ＮＩＥ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＪ Ｎ Ｘ Ｒ Ｌ Ｉ Ｎ Ｕ Ｖ Ｒ ＩＹ（Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ）
Ｖ＿ｌ３ ０ ＿ ５ＮＯ． ２
Ｍ ａ ．２ １ ｒ ０１
作 者简 介：李 红海 （９ ９） 男 ， 北邢 台人，副教 授，博士 ， １７一 ， 河 主要 从事 图论 的研究
江 西 师 范 大学 学 报 （ 自然科 学版 ）
图 Ｋａ ，并 上 ＂ 口 ｂ Ｃ ，ｃ ｂ 一 一 — 个孤 立点 ．
（）当 ｚ不与 中的任何顶 点相邻且 不是孤立 ｃ ｆ
定理 １ 设 Ｇ是 达到定 理 Ａ 中条件 的上界 的极
图，ｇｒＧ ＝ｇ，则 ｉ ） （
（ ）当 ｇ＝３ ｉ 时，Ｇ为一个 完全 三部 图 ，ｃ ｂ 并 ， 上 ｎ 口 ｂ Ｃ 孤立 点 ： 一 一 —个
（ｉ 当 ｇ＝４时， Ｇ为 一 个 完 全 二 部 图 Ｋ ，并 ｉ） ａ ｂ
ｖ （ ） 的邻集 指 的是与 ｖ ∈ Ｇ ，ｖ 相邻 的所有 顶 点 的集
摘要 ：应用图谱理论的基本方法对两类图的零度的极图进行了研究， 刻画了达到上界的极图， 推广了前人的
有关结 论． 。
关键词 ：零度； 围长；团数；秩
中图分 类号 ： ５ ． Ｏ １７５
文 献标识 码： Ａ
定理Ａ 设 Ｇ是 ｎ阶简单图， 且至少有一个 圈， 则
０ 引 言
本 文所 考 虑 的 图均 为简 单 图（ 即无 重 边 和环 的 图） 设 Ｇ为 ｎ阶简单 图， Ｇ ＝ ｖ，２ ｝ Ｇ的 ． ） ｆｌ ，…， 是 Ｖ
研究 ．
１ 有 关 引 理
引理 １ 旧 （ ） ｒＧ ＝ｒ ２当且仅 当 Ｇ为一个 ｉ ｌ ） ｌ （ ｗ
完 全二部 图 Ｋ ，并 上 一 — 个 孤立点 ； ａ ｂ ａ ｂ
在文 献［１中， ｈｎ １］ Ｃ ｅ ｇ和 Ｌ ｕ得 出如下结 论 ． ｉ
（ｉ ｒＧ） 一 ｉ） ｌ ＝ ３当且 仅 当 Ｇ为 一 个 完 全 三 部 （
Ｇ ２ ｌ Ｇ ，图 Ｇ 和 Ｇ 的不交 并记作 Ｇ ＋Ｇ ． ｕ １ ２ ｌ ，
上 一 — 个 孤立 点，其 中 ａ≥２ ａ ｂ ，ｂ ≥２ ； （ｉ ｉ 大于 ３的 ｉ （ ｄ） ４ 奇数 时，Ｇ为一 个带 一些 孤立 点的 ｇ圈；
（ ） 当 ｇ；２ｍｏ ４ 时 ， Ｇ为 一 个 带 一 些 悬 挂 ｉ ｖ （ ｄ）
２ １年 ３ ０１ 月
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ０ —１ ３０ １０ ．８ ２２ １）２０ ４ —５ １
２类 图 的零 度 的极 图 的 刻 画
郑柳 蓉， 李红 海 孙 慧 贤 ，
（ 江西 师范 大学数 学与 信息科 学学 院， 江 西 南 昌 ３ ０ ２ ） ３ ０ ２
其中ａ ｉ ｉ： １当且仅 当 Ｖ与 ｖ 相邻 ，否则 ａ ＝０ ｉ ｉ ．矩 ｉ 阵 （ ） 特征 值 称 为 图 Ｇ的特 征 值 ．一个 图 Ｇ的 Ｇ 的 谱是 它 的邻 接矩 阵 的特 征值 的集 合 ．零特 征 值 的重 数称 为 图 的零 度 （ｕｌｙ，记 作 ｕＧ ．用 ｒＧ 表 示 ｎ ｌｔ） ｉ （） （） Ｇ的邻 接矩 阵 的秩，显 然，叩Ｇ） ７ ｒＧ） 设 顶 点 （ ＝／ （ ． 一
收 稿 日期 ： ２ １ —８２ ０ ０ ０ —９
基金项 目：国家 自然科 学基金 （１ ２ １ ３，江西 省教育 厅青 年科 学基 金（ Ｊ０ ４ ０， 西师 范大学 青年 成长 基金 （７ １和江 西师范 １０ ６ ４ ） Ｇ Ｊ９６ ） 江 ２ １）
大 学科 研博 士启动￣ （ｏ ８资 助 项 目 ． ２ ５）
合 ，记作 Ｎ（） ｖ ．图 Ｇ的 围 长是 指 Ｇ 中最 短 圈 的长 ， 记 作 ｇｒＧ） ｉ （ ．若 Ｇ没有 圈 ，则定 义 ｇｒＧ 为无 穷 大 ． ｉ ） （ Ｇ的团数 是 指 图 Ｇ中最大 完 全子 图的 阶数 ．ｎ阶完 全 图和 ｎ 圈分 别记作 和 Ｇ ．图 Ｇ 和 Ｇ 的并记作 １ ２
点 和孤 立点 的 ｇ圈 ，且 悬挂 点 的邻 点 的距 离一 定 为 偶数． 定理 ２ 设 Ｇ是达 到定 理 Ｂ 中条件 的上 界 的极 图，则 Ｇ为一 个 完 全 Ｐ部 图并 上 一些 孤 立点 ，其 中 Ｐ为 Ｇ的团数．
在文献 ［］ Ｃ ｌ ｔ Ｓｎ ｇ ｗｉ 首 次提 出 了刻 １中， ｏｌ 和 ｉｏ ｏ ｔ ａ ｚ 画所 有 具有 正零 度 的 图的 问题 ，但是 迄今 为止这 个 问题也 没有 得 到完全解 决 【 】 ２ ．图的零 度具 有很好 的 化 学 背景 ，理 论化 学 家使 用分 子 图 的零度 来 刻 画分 子 的稳定 性 ．当然 ，这 个 问题 本 身在 图论 中也 有 很 重 要 的 意 义 ，因 为 它 关 系 到 图 的奇 异 性 ．在 文 献 ［．０中，Ｇ ｔ ｎ和 Ｓ ｉｈ ７１ ］ ｕｍａ ｃ ｉａ等专 门对 奇异 图进行 了 ｒ
点 时，不妨设 Ｕ Ｗ相邻 且 Ｗ不在 上 ． 与
引理 ２ ３ 设 Ｇ是一个 图且 是 它的邻 接矩 阵， ［】 】 Ｇ０ ｖ 表 示 对 图 Ｇ增 加 一 个 顶 点 ｖ ，并 且 Ｖ ∈ ｕ
当 Ｗ与 Ｃ 中的某个 顶点 相邻 时，则 ｑ 或 中 ｇ
一
（）Ｕ ｖ Ｇ ， 和 相邻 当且仅 当 Ｕ在 ０ １ ． 向量 中对应 的