2012届高考数学第一轮复习教案8
2012版高三数学一轮 8.3 圆锥曲线精品复习学案
2012版高三数学一轮精品复习学案：第八章解析几何8.3圆锥曲线【高考目标导航】一、曲线与方程1．考纲点击(1)了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;(2)了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法;(3)能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.2．热点提示（1）求轨迹方程是高考的重点和热点；（2）常以解答题的第一问的形式出现. 一般用直接法、定义法或相关点法求解，所求轨迹一般为圆锥曲线，属中低档题。
二、椭圆1．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。
（3）理解数形结合的思想2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。
（2）定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中高档题目。
三、双曲线1．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。
（2）了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用。
（3）理解数形结合的思想。
2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆锥曲线的交汇命题是热点。
（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。
四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
（2）理解数形结合的思想。
（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。
（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。
有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。
【考纲知识梳理】一、曲线与方程1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)函数的综合问题
2.12 函数的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理函数的综合应用的三个重要方面1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合.二、点击双基1.函数y=123+--x x 在区间(-∞,a)上是减函数,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,-1) C.［0,+∞) D.［-1,+∞)解析：此函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),则(-∞,a)⊆(-∞,-1),即a ≤-1.答案：B2.设A 是直角坐标平面上所有的点所组成的集合,如果由A 到A 的映射f:A →A,使象集合的元素(y-1,x+2)和原象集合的元素(x,y)对应,那么象点(3,-4)的原象点是( )A.(-5,5)B.(4,-6)C.(2,-2)D.(-6,4)解析：设象(3,-4)的原象是(x,y),依题意,有⎩⎨⎧-=+=-.42,31x y 解得⎩⎨⎧=-=.4,6y x 答案：D 3.(2006四川成都检测)(理)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+23),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+…+f(2 005)+f(2 006)等于( )A.-2B.-1C.0D.1解析:∵f(x)=-f(x+23)=-［-f(x+23+23)］=f(x+3), ∴f(x)的周期为3.又f(1)=f(-2+3)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-1,f(3)=f(0+3)=f(0)=2,从而f(1)+f(2)+f(3)=0.故f(1)+f(2)+…+f(2 005)+f(2 006)=f(2 005)+f(2 006)=f(3×668+1)+f(3×668+2)=f(1)+f(2)=-2.选A.答案:A(文)已知f(x)=sin 3π(x+1)-3cos 3π(x+1),则f(1)+f(2)+…+f(2 005)+f(2 006)等于( ) A.23 B.3 C.1 D.0解析:f(x)=2sin ［3π(x+1)-3π］=2sin 3πx.周期T=6,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(2 005)+f(2 006)=f(2 005)+f(2 006)=f(6×334+1)+f(6×334+2)=f(1)+f(2)=2×23+2×23=23.选A.答案:A4.已知f(x)=a x +log a (x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为__________.解析：∵f(x)为单调函数,∴f(0)+f(1)=a.∴1+log a 1+a+log a 2=a.∴a=21. 答案:21 诱思·实例点拨【例1】 已知f(x)是R 上的偶函数，且f(2)=0,g(x)是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g(x)=f(x-1)，求f(2 002)的值.解:由g(x)=f(x-1),x ∈R,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x),故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x ∈R.∴f(x)为周期函数，其周期T=4.∴f(2 002)=f(4×500+2)=f(2)=0.讲评:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例2】 某房屋开发公司用128万元购得一块土地,欲建成不低于5层的楼房一幢.该楼每层的建筑面积为1 000 m 2,楼房的总建筑面积(各层面积之和)每平方米的平均建筑费用与楼层有关,若该楼建成x 层时,每平方米平均建筑费用用f(x)表示,已知建成n 2层时每平方米所需费用与建成n 1层时每平方米所需费用有如下关系:f(n 2)=f(n 1)·(1+2012n n -)(其中n 2>n 1,且n 1、n 2∈N *).又知建成五层楼时,每平方米的平均费用为400元,为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和),公司应把该楼建成几层?剖析:解决本题首先要弄清题意,明白实际问题的意义,题中的几个关系应特别注意,开发公司要建每层建筑面积为1 000 m 2的楼房一幢,楼层不低于5层,每平方米的综合费用由两部分组成:一是购地费用;二是建筑费用,其中购地费用可由购地用款128万元和建筑面积求得,建筑费用可由递推关系式及建成5层楼时每平方米建筑费用400元得到,于是得到每平方米所需综合费用的关于楼层的函数关系式.解:设楼层为x 层,则每平方米的购地费用为xx 12801000101284=⨯(元). 依题意,得f(5)=400,f(x)=f(5)·(1+205-x )=400(1+205-x ). 所以每平方米的综合费用y=f(x)+x 1280=400(1+205-x )+x 1280 =20(x+x 64)+300. 因为该函数在(0,8)上单调递减,在(8,+∞)上单调递增,故当该楼建成8层时,每平方米的综合费用最省.链接·提示函数f(x)=x+xc (c>0)是一类重要函数,是各类考试的重点考查内容,需引起重视.【例3】 函数f(x)的定义域为R ，且对任意x 、y ∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)证明f(x)是奇函数；(2）证明f(x)在R 上是减函数；(3）求f(x)在区间［-3，3］上的最大值和最小值.(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f ［x+(-x)］=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2）证明:任取x 1、x 2∈R,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)-f ［x 1+(x 2-x 1)］=f(x 1)-［f(x 1)+f(x 2-x 1)］=-f(x 2-x 1).由x 1<x 2,∴x 2-x 1>0.∴f(x 2-x 1)<0.∴-f(x 2-x 1)>0,即f(x 1)>f(x 2),从而f(x)在R 上是减函数.(3)解:由于f(x)在R 上是减函数，故f(x)在［-3，3］上的最大值是f(-3),最小值是f(3). 由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6, f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.链接·拓展对于任意实数x 、y ，定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m 的值.提示:由1*2=3,2*3=4,得⎩⎨⎧=++=++.4632,322c b a c b a ∴b=2+2c,a=-1-6c.又由x*m=ax+bm+cmx=x 对于任意实数x 恒成立,∴⎩⎨⎧==+.0,1bm cm a ∴b=0=2+2c. ∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.∴-1+6-m=1.∴m=4.答案:4.。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)等差数列
3.2 等差数列巩固·夯实基础一、自主梳理1.若数列{a n }从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{a n }叫做等差数列.2.等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n-1)d,它是关于n 的一次函数,且一次项的系数为d.3.等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+2)1(-n n d,它是关于n 的二次函数,但缺少常数项. 4.若a 、b 、c 成等差数列,则b 叫a 与b 的等差中项,且b=2c a +. 二、点击双基1.(2006山东潍坊检测)等差数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2 700,则公差d 等于( )A.-1B.1C.5D.50解析:由a 1+a 2+…+a 50=50，得50a 50-(1+2+3+…+49)d=200. ①由a 51+a 52+…+a 100=50，得50a 50+(1+2+…+50)d=2 700. ②②-①得2 500d=2 500.∴d=1.故选择B.答案:B2.(经典回放) 已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m-n|等于( )A.1B.43C.21D.83 解析:设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4,则x 1+x 2=2,x 3+x 4=2,由等差数列的性质，当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41,43,45,47,∴m=167,n=1615. ∴|m-n|=21. 答案:C3.(2005全国高考卷Ⅱ)如果数列{a n }是等差数列,则( )A.a 1+a 8<a 4+a 5B.a 1+a 8=a 4+a 5C.a 1+a 8>a 4+a 5D.a 1·a 8=a 4·a 5 答案：B4.(2004上海春季高考)在数列{a n }中，a 1=3,且对任意大于1的正整数n,点(n a ,1-n a )在直线x-y-3=0上，则a n =_____________.解析:将点代入直线方程得n a -1-n a =3,由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n,即a n =3n 2.答案:3n 2诱思·实例点拨【例1】 已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.剖析:方程的思想，将题目条件运用前n 项和公式，表示成关于首项a 1和公差d 的两个方程. 解:设{a n }的首项为a 1,公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+,109910021100,100910211011d a d a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,1001099,50111d a ∴S 110=110a 1+21×110×109d=-110. 讲评:解决等差(比）数列的问题时，通常考虑两类方法:(1)基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d(q)的方程；(2)巧妙运用等差(比）数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地，运用数列的性质，可化繁为简.链接·拓展试用等差数列关于和的性质求解此题.【例2】 设{a n }是等差数列,证明以b n =na a a n +⋅⋅⋅++21(n ∈N *)为通项公式的数列{b n }是等差数列.证法一:设等差数列{a n }的公差是d(常数),∴b n -b n-1=na a a n +⋅⋅⋅++21-1121-+⋅⋅⋅++-n a a a n =)1(2))(1(2)(111-+--+-n a a n n a a n n n =22111-+-+n n a a a a =21(a n -a n-1) =21d(常数),其中n ≥2. ∴{b n }是等差数列.证法二:等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+2)1(-n n d, ∴b n =n n a a a n 121=+⋅⋅⋅++［na 1+2)1(-n n d ］ =a 1+21-n =2d ·n+(a 1-2d ).∴{b n }是等差数列.讲评:判断或证明数列是等差数列的方法有:(1)定义法:a n+1-a n =d(常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(2)中项公式法:2a n+1=a n +a n+2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(3)通项公式法:a n =kn+b(k 、b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列;(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.【例3】 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n-n 2,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 剖析:由S n =12n-n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数(n ∈N *)，可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n . 解:当n=1时，a 1=S 1=12-12=11;当n ≥2时，a n =S n -S n-1=12n-n 2-［12(n-1)-(n-1)2］=13-2n. ∵n=1时适合上式,∴{a n }的通项公式为a n =13-2n.由a n =13-2n ≥0,得n ≤213， 即当1≤n ≤6(n ∈N *)时,a n ＞0;当n ≥7时，a n ＜0.(1)当1≤n ≤6(n ∈N *)时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n-n 2.(2)当n ≥7(n ∈N *)时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=(a 1+a 2+…+a 6)-(a 7+a 8+…+a n )=-(a 1+a 2+…+a n )+2(a 1+…+a 6)=-S n +2S 6=n 2-12n+72.∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+-∈≤≤-.,7,7212,,61,12*2*2N n n n n N n n n n讲评:此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题. 链接·拓展若此题的S n =n 2-12n ，那又该怎么求T n 呢？答案:T n =⎩⎨⎧≥-≤-.7,2,6,6n S S n S n n。
2012年高三数学一轮复习教案8.6圆锥曲线的应用
8.6 圆锥曲线的应用●知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.●点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m 时，则水面宽为A.6mB.26mC.4.5 mD.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2Py （P >0），由题意知，抛物线过点（2，－2），∴4=2p ×2.∴p =1.∴x 2=－2y .当y 0=－3时，得x 02=6.∴水面宽为2|x 0|=26.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m ，拱高是4 m ，在建桥时每隔4 m 需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4 mB.3.84 mC.1.48 mD.2.92 m 解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0），由题意知其过定点（10， －4），代入x 2=－2py ，得p =225. ∴x 2=－25y .当x 0=2时，y 0=254-，∴最长支柱长为4－|y 0|=4－254=3.84（m ）.答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.抛物线解析：设旗杆高为m ，华表高为n ，m ＞n .旗杆与华表的距离为2a ，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x 轴、垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M （x ，y ），由题意2222)()(y a x y a x +-++=nm，即（m 2－n 2）x 2+（m 2－n 2）y 2－2a （m 2－n 2）x + （m 2－n 2）a 2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm.解析：设抛物线方程为y 2=2px （p >0），点（40，30）在抛物线y 2=2px 上，∴900=2p ×40.∴p =445.∴2p =845.因此，光源到反射镜顶点的距离为845cm.答案：845 5.在相距1400 m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s ，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.解析：设M （x ，y ）为曲线上任一点，则|MA |－|MB |=340×3=1020<1400.∴M 点轨迹为双曲线，且a =21020=510，c =21400=700. ∴b 2=c 2－a 2=（c +a ）（c －a ）=1210×190.∴M 点轨迹方程为22510x －19012102⨯y =1.答案：22510x －19012102⨯y =1 ●典例剖析【例1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离. 剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c .解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22b y =1， 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xF A =3π（或∠xF A ′=3π）.作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜F A ｜=32m ， 故由椭圆的第二定义可得m =a c （c a 2－c ）， ①34m =a c （ca 2－c +32m ）. ② 两式相减得31m =a c ·32m ，∴a =2c .代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m .∴a －c =c =32m .答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米.评述： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c .（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.思考讨论椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？ 提示：利用焦半径易求得最大值为a +c ，最小值为a －c .【例2】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP 、BP 运到P 处（如下图所示）.已知P A =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°，试说明怎样运土最省工.剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP 到P 较近；（2）沿BP 到P 较近；（3）沿AP 、BP 到P 同样远.显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M 是分界线上的任意一点.则有｜MA ｜+｜P A ｜=｜MB ｜+｜PB ｜.于是｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜P A ｜=150－100=50.从而发现第三类点M 满足性质：点M 到点A 与点B 的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系xOy ，设M （x ，y ）是沿AP 、BP 运土同样远的点，则｜MA ｜+｜P A ｜=｜MB ｜+｜PB ｜，∴｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜P A ｜=50. 在△P AB 中，由余弦定理得｜AB ｜2=｜PA ｜2+｜PB ｜2－2｜PA ｜｜PB ｜cos60°=17500，且50＜｜AB ｜.由双曲线定义知M 点在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）.2a =50， 4c 2=17500， c 2=a 2+b 2， a 2=625， b 2=3750.∴M 点轨迹是6252x －37502y =1（x ≥25）在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工.评述：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.【例3】 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m ，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m 的距离行驶.已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车安全通过的a 的最小整数值.剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m 到2 m 间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m （即在横断面上距拱口中点2 m ）处隧道的高度是否够3 m ，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.解：如下图，以拱口AB 所在直线为x 轴，以拱高OC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x 2=－2p （y －4a），∵点A （－2a ，0）在抛物线上，∴（－2a ）2=－2p （0－4a ），得p =2a . ∴抛物线方程为x 2=－a （y －4a）.取x =1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得22=－a （y －4a ），y =aa 4162-.由题意，令y ＞3，得aa 4162-＞3，∵a ＞0，∴a 2－12a －16＞0.∴a ＞6+213.又∵a ∈Z ，∴a 应取14，15，16，….答：满足本题条件使卡车安全通过的a 的最小正整数为14 m.评述： 本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m 处y 的值；二是由y ＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a 的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.●闯关训练∵ 解之得1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A.2))((R n R m ++B.))((R n R m ++C.2mnD.mn22Rn m ++－c =m +R ， ① 22Rn m +++c =n +R ，②∴c =2mn -， 2b =222)2()22(m n R n m --++=2))((R n R m ++. 答案：A2.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP =1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是A.2.5 mB.4 mC.5 mD.6 m解析：以O 为原点，OP 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为y =a （x －1）2+2，P 点坐标为（0，1），∴1=a +2.∴a =－1.∴y =－（x －1）2+2. 令y =0，得（x －1）2=2，∴x =1±2.∴水池半径OM =2+1≈2.414（m ）.因此水池直径约为2×|OM |=4.828（m ）.解析：由题意3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y ≤20）.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为____________.解析：玻璃球的轴截面的方程为x 2+（y －r ）2=r 2，由 x 2=2y ，x 2+（y －r ）2=r 2， 答案：0＜r ≤14.河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高43m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m 时，小船不能通航.解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0）.将点（4，－5）代入求得p =58.∴x 2=－516y . 将点（2，y 1）代入方程求得y 1=－45.∴43+|y 1|=43+45=2（m ）.答案：25.下图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12 m ，镜深2 m ，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度. 解：（1）如下图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于镜口直径.由已知，得A 点坐标是（2，6），设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0）， 则36=2p ×2，p =9.所以所求抛物线的标准方程是y 2=18x ，焦点坐标是F （29，0）. （2）∵盛水的容器在焦点处，∴A 、F 两点间的距离即为每根铁筋长. |AF |=226)292(+-=213（或|AF |=29+2=213）. 得y 2+2（1－r ）y =0，由Δ=4（1－r ）2=0，得r =1.故每根铁筋的长度是6.5 m.6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm ，灯丝距顶面距离为2.8 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程.分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光.解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是椭圆的一部分，设其方程为22a x +22by =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =21（p +224c p +），a = 21（2.8+225.48.2+）≈4.05 cm ，b =22c a -≈3.37 m.∴所求方程为2205.4x +2237.3y =1.培养能力7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m ，拱顶距水面6 m ，桥墩高出水面4 m ，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m ，目前吃水线上部分中央船体高5 m ，宽16 m ，且该货船在现在状况下还可多装1000 t 货物，但每多装150 t 货物，船体吃水线就要上升0.04 m ，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么?解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y =ax 2，则A （10，－2）在抛物线上，∴－2=ax 2，a =－501，方程即为y =－501x 2让货船沿正中央航行. ∵船宽16 m ，而当x =8时，y =－501·82=1.28 m ，∴船体在x =±8之间通过.由B （8，－1.28）， ∴B 点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m ），而船体水面高度为5 m ，∴无法直接通过.又5－4.72=0.28（m ），0.28÷0.04=7，而150×7=1050（t ）， ∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降. 8.（文）（2004年春季北京，文18）2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km.已知地球半径R =6371 km.（如下图）（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为22a x +22by =1.由题设条件得a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571，a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721.解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316， b 2=a 2－c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691.∴所求椭圆的方程为441693162x +441636912y =1.（注：由44163691≈6645.5768得椭圆的方程为226646x +226.6645y =1，也是正确的） （2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s.减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），平均速度是74950600000≈8（km/s ）.所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s. （理）（2003年上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高4.5 m ，隧道全长2.5 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S =4πlh ，柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1 m ）（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，4.5），椭圆方程为22a x +22by =1.将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得a =7744，此时l =2a =7788≈33.3.因此隧道的拱宽约为33.3 m. （2）解法一：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b=1.因为2211a +225.4b ≥ab 5.4112⨯⨯，即ab ≥99，且l =2a ，h =b ，所以S =4πlh =2πab ≥2π99.当S 取最小值时，有2211a =225.4b=21，得a =112，b =229.此时l =2a =222≈31.1，h =b ≈6.4.故当拱高约为6.4 m 、拱宽约为31.1 m 时，土方工程量最小.解法二：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b =1.于是b 2=481·12122-a a .a 2b 2=481（a 2－121+12112122-a +242）≥481（22121+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取最小值时，有a 2－121=12112122-a .得a =112，b =229，以下同解法一. 探究创新9.中国跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如下图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1032m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时，运动员在距水面高度为5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式.（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为353m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为 y =ax 2+bx +c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A 的纵坐标为32， c =0，ab ac 442 =32，4a +2b +c =－10.a =－625，b =310，c =0 a =－23，b =－2，c =0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－ab2＞0. 又∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∴b ＞0，后一组解舍去.∴a =－625，b =310，c =0. ∴抛物线的解析式为y =－625x 2+310x .（2）当运动员在空中距池边的水平距离为353m 时，即x =353－2=58时，所以有 解之得 或y =（－625）×（58）2+310×58=－316， ∴此时运动员距水面的高为10－316=314＜5. 因此，此次跳水会出现失误.（3）当运动员在x 轴上方，即y ＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到.∴当y ＜0时，要使跳水不出现失误，则应有|y |≤10－5，即－y ≤5. ∴有625x 2－310x ≤5， 解得2－34≤x ≤2+34.∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+34=4+34m.●思悟小结解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答.●教师下载中心教学点睛解应用题时涉及到两个基本步骤，即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题，为此要注意以下三点：1.阅读理解.数学应用题给出的方式是材料的陈述，而不是客体的展示.也就是说，所考的应用题通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质.2.数学建模，即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、归纳其中的数量关系，并把这种关系用数学式子表示出来.3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答. 本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用，培养学生解决应用问题的能力.拓展题例【例1】 一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m ，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m ，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是 km/h ，精确到个位）（参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，t an12°=0.2125）分析：本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t 的函数，故应引入时间t ，通过速度v 的矢量分解来寻找解决问题的途径.解： 摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是 x =vt cos12°，y =vt sin12°－21×9.8t 2. 其中v 是摩托车飞离跑道时的速度，t 是飞行时间，x 是水平飞行距离，y 是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为y =－212)12(cos 1v ⋅︒×9.8x 2+t an12°·x ，即y =－5.121922vx +0.2125x . 当x ≈0.0207v 2时，取得y max ≈0.0022v 2.当x =35时，y 落=－6274.327521v+7.4375. ∵y max －y 落=10，0.0022v 2+6274.327521v－17.4375=0，解得v ≈19.44 m/s 或v ≈86.88 m/s. 若v ≈86.88 m/s ，则x =156.246 m ，与题目不符，而v ≈19.44 m/s ，符合题意，为所求解.故v ≈19.44 m/s=69.984 km/h ≈70 km/h.答：骑手沿跑道飞出时的速度应为70 km/h.评述：本题直接构造y 是x 的函数解析式很困难，应引入适当的参数（时间t ）作媒介，再研究x 与y 是怎样随参数变化而变化的，问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要具体问题具体分析，以解题的简捷为原则.【例2】 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 正北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角.解：如下图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （－3，0）、A （3，0）、C （－5，23）.因为|PB |=|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上.因为k BC =－3，BC 中点D （－4，3），所以直线PD 的方程为y －3=31（x +4）. ①又|PB |－|P A |=4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上.设P （x ，y ），则双曲线方程为42x －52y =1（x ≥0）. ②联立①②，得x =8，y =53， 所以P （8，53）.因此k P A =3835-=3. 故炮击的方位角为北偏东30°.高∵考∴试.题|库。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)数列的综合运用
§2.2 数列的综合运用考点核心整合1.函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到.2.数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容是近几年高考的热点之一.考题名师诠释【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,n S n )(n ∈N *)均在函数y=3x-2的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =13+n n a a ,T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <20m 对所有n ∈N *都成立的最小正整数m.解：(1)依题意得nS n =3n-2，即S n =3n 2-n. 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(3n 2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;当n=1时，a 1=S 1=3×12-2×1=1=6×1-5.所以a n =6n-5(n ∈N *).(2)由(1)得b n =13+n n a a =]5)1(6)[56(3-+-n n =21(561-n -161+n )， 故T n =∑=ni i b 1=21［(1-71)+(71-131)+…+(561-n -161+n )］=21(1-161+n ). 因此，使得21(1-161+n )<20m (n ∈N *)成立的m 必须且仅需满足21≤20m ，即m ≤10，故满足要求的最小整数m 为10.评述：本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能，考查分析问题的能力和推理能力.【例2】已知函数f(x)=2n 21x +-x 在［0,+∞)上的最小值是a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明211a +221a +…+21n a <21; (3)在点列A n (2n,a n )中是否存在两点A i 、A j (i 、j ∈N *),使直线A i A j 的斜率为1?若存在,求出所有的数对(i,j);若不存在,请说明理由.(1)解：由f(x)=2n 21x +-x ，得f ′(x)=212x nx+-1.令f ′(x)=0，得x=1412-n .当x ∈(0,1412-n )时,f ′(x)<0； 当x ∈(1412-n ,+∞)时,f ′(x)>0.∴f(x)在［0,+∞］上,当x=1412-n 时取得最小值142-n .∴a n =142-n .(2)证明：∵21n a =1412-n =21(121-n -121+n ), ∴211a +221a + (21)a =21［(1-31)+(31-51)+…+(121-n -121+n )］ =21(1-121+n )<21. (3)解：不存在.设A i (2i,a i )、A j (2j,a j )(其中i 、j ∈N *)，则j i A A k =)(2j i a a ji --=)(2141422j i j i ----=1414)(2)(42222-+---j i j i j i . 又1414)(222-+-+j i j i >2244)(2j i j i ++=1,故不存在.链接·思考若a n =242-n ,则点列A n (2n,a n )呈现什么样的分布特征?从而本题第(3)问能否从曲线的角度给出解答?提示:令x=2n,y=a n ,则y=12-x (x ≥2).点(x,y)在曲线x 2-y 2=1(x ≥2,y ≥0)上,而双曲线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1,A i 、A j 在双曲线上,故j i A A k <1矛盾.评述：本题从研究函数最值入手推导通项公式,比较新颖,又考查了数列、不等式及直线的斜率公式、圆锥曲线,综合性非常强.【例3】(2005山东高考，21理)已知数列{a n }的首项a 1=5,前n 项和为S n ,且S n+1=2S n +n+5(n ∈N *).(1)证明数列{a n +1}是等比数列;(2)令f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,求函数f(x)在点x=1处的导数f ′(1)，并比较2f ′(1)与23n 2-13n 的大小.解：(1)由已知S n+1=2S n +n+5,∴n ≥2时,S n =2S n-1+n+4.两式相减,得S n+1-S n =2(S n -S n-1)+1,即a n+1=2a n +1,从而a n+1+1=2(a n +1).当n=1时,S 2=2S 1+1+5,∴a 1+a 2=2a 1+6.又a 1=5,∴a 2=11.从而a 2+1=2(a 1+1).故总有a n+1+1=2(a n +1),n ∈N *.又∵a 1=5,∴a n +1≠0.从而111+++n n a a =2，即{a n +1}是以a 1+1=6为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知a n =3×2n -1.∵f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,∴f ′(x)=a 1+2a 2x+…+na n x n-1.从而f ′(1)=a 1+2a 2+…+na n=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n -1)=3(2+2×22+…+n ×2n )-(1+2+…+n)=3［n ×2n+1-(2+…+2n )］-2)1(+n n =3［n ×2n+1-2n+1+2］-2)1(+n n =3(n-1)·2n+1-2)1(+n n +6. 由上2f ′(1)-(23n 2-13n)=12(n-1)·2n -12(2n 2-n-1)=12(n-1)·2n -12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2n -(2n+1)］. (*)当n=1时,(*)式=0,∴2f ′(1)=23n 2-13n;当n=2时，(*)式=-12<0，∴2f ′(1)<23n 2-13n;当n ≥3时,n-1>0.又2n =(1+1)2=0n C +1n C +…+1-n n C +nn C ≥2n+2>2n+1,∴(n-1)［2n -(2n+1)］>0,即(*)式>0,从而2f ′(1)>23n 2-13n.链接·思考在比较2f ′(1)与23n 2-13n 的大小时能否采用数学归纳法证明呢？用数学归纳法:n ≥3时,猜想2f ′(1)>23n 2-13n.由于n-1>0,只要证明2n >2n+1.事实上,①当n=3时,23>2×3+1.不等式成立.②设n=k 时(k ≥3),有2k >2k+1,则2k+1>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1).∵k ≥3,∴2k-1>0.从而2k+1>2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1,即n=k+1时,亦有2n >2n+1.综上①②知,2n >2n+1对n ≥3,n ∈N *都成立.∴n ≥3时,有2f ′(1)>23n 2-13n.综上,n=1时,2f ′(1)=23n 2-13n;n=2时,2f ′(1)<23n 2-13n;n ≥3时,2f ′(1)>23n 2-13n.【例4】(2005上海高考，20理)假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列.其中a 1=250,d=50. 则S n =250n+2)1(-n n ×50=25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4 750,即n 2+9n-190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列.其中b 1=400,q=1.08.则b n =400(1.08)n-1.由题意可知a n >0.85b n .有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.用计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 评述：本题主要考查学生运用所学数列知识解决实际问题的能力，以及数学建模能力.【例5】(2006上海高考，21理)已知有穷数列{a n }共有2k 项(整数k ≥2),首项a 1=2，设该数列的前n 项和为S n ，且a n+1=(a-1)S n +2(n=1,2,…,2k-1)，其中常数a>1.(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若a=1222-k ，数列{b n }满足b n =n1log 2(a 1a 2…a n )(n=1,2,…,2k)，求数列{b n }的通项公式； (3)若(2)中的数列{b n }满足不等式.|b 1-23|+|b 2-23|+…+|b 2k-1-23|+|b 2k -23|≤4，求k 的值. 解：(1)a n+1=(a-1)S n +2, ①当n ≥2时,a n =(a-1)S n-1+2, ②两式相减得a n+1-a n =(a-1)(S n -S n-1)=(a-1)a n ，∴a n+1=aa n . ∴nn a a 1+=a 为常数. ∴数列{a n }是以a 1=2为首项，以a 为公比的等比数列.(2)由(1)知a n =2·a n-1，∴b n =n 1log 2(2·2a ·2a 2·…·2a n-1) =n1log 2(2n ·a 1+2+…+(n-1)) =n1(n+2)1(2log -n n a )=1+n 1·2)1(-n n ·log 2a =1+21-n ·122-k =1+121--k n . (3)|b n -23|=|121--k n -21|=|)12(2122---k k n |， ∴|b 1-23|+|b 2-23|+…+|b 2k-1-23|+|b 2k -23| =|)12(221--k k |+|)12(223--k k |+…+|)12(232--k k |+|)12(212--k k | =2［)12(21-k +)12(23-k +…+)12(232--k k +)12(212--k k ］ =12)12(531--+⋅⋅⋅+++k k =122-k k . 令122-k k ≤4，即k 2-8k+4≤0, ∴4-23≤k ≤4+23.又∵k ≥2，k ∈Z ，∴k 的值为2,3,4,5,6,7.评注：本题主要考查数列知识的综合运用以及对数知识和解绝对值不等式的能力.。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A) 排列与组合的综合问题
10.4 排列与组合的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.排列数公式的两种形式(1)A m n =n(n-1)…(n-m+1),(2)A m n =)!(!m n n -,其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算,公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程等.2.排列问题的三种常类型(1)“在与不在”问题;(2)“相邻与互不相邻”问题;(3)“定序排列”问题.3.组合数公式的两种形式(1)C m n =m mm n A A =123)1()1()2)(1(••⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅--m m m n n n n ; (2)C m n =)!(!!m n m n -,其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算,尤其适用于上标是具体数且m ≤2n 的情况,公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程等. 4.组合数的性质(1)C m n =C n-m n ;(2)C m n+1=C m n +C m-1n 及推论C m n =C k n ⇔m=k 或m+k=n,m ∈N,k ∈N.二、点击双基1.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )A.48B.36C.24D.18解析:分三种情况:(1)0=100+(-100)+90+(-90)有A 44=24;(2)0=100+(-100)+100+(-100)有C 24·C 22=6;(3)0=90+(-90)+90+(-90)有C 24·C 22=6.综上,共有24+6+6=36(种).答案:B2.(2005湖北高考)把同一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是…… ( )A.168B.96C.72D.144 解析:C 23A 44+3A 44=144.答案:D3.(2005福建高考)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( )A.300种B.240种C.144种D.96种 解析:甲、乙两人不去巴黎,从另外四人中选一人有C 14种,剩余5人选3人分别去三个城市有A 35种,共C 14A 35=240种.答案:B4.(2005无锡检测试卷)为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为___________________.(用数字回答)解析:本题是基本技能题,重点考查排列、组合问题中的分步计数原理,可根据题意用插空法来解.A 44·C 35·A 33=1 440(次).答案:1 4405.(2005长春、沈阳、大连、哈尔滨第一次联考)在书柜的某一层上原来有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变,再插进去3本不同的书,那么共有_________种不同的插入方法.(用数字作答)解析:原来的5本书加上新加入的3本书,共需要8个位置,先选择5个位置把原来5本书按原来顺序放入,有C 58=56种方法,然后由新加入的3本书在余下3个位置上进行排列,有A 33=6种方法,所以共有56×6=336种方法.答案:336诱思·实例点拨【例1】(2004福建高考)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )A.A 26C 24B.21A 26C 24 C.A 26A 24 D.2A 26 剖析:本题是先选后排的问题.可先将人分成2组后,再分到班,也可以先选出班来再将人安排进去.解:先把4人平均分成两组222224A C C •再将这两组人按顺序排到二个班级中有A 26种排法,∴共有222224A C C •×A 26=21A 26C 24种安排方法. 答案:B讲评:该题是先选后排的应用问题,也可以选出班后再安排人,即C 26×C 24×C 22=C 26×C 24. 链接·提示1.解排列、组合混合题一般是先组合后排列或先利用元素性质进行分类、分步,再利用两个计数原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题可用间接法,但应做到不重不漏.【例2】5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为( )A.480B.240C.120D.96剖析:本题着重考查解决实际问题的能力.先将5本书分成四堆,即其中有2本书可捆在一起,然后,分给4个学生.解:先把5本书中的2本捆起来有C 25种方法,再将分好的4堆分给4位学生,有A 44种方法, ∴分法种数为C 25A 44=240种.答案:B讲评:本题是一道常见类型题,即“n+1个不同的小球,放入n 个不同的盒子,每盒内至少放入一球,有多少种不同的放法?”所以,在解排列、组合题时,应建立一些基本模型,以提高解题效率.【例3】对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?剖析:由题意可知第五次测到的必须是次品,然后再看另3件次品是第几次被测到即可.解:C14（C16C33）A44＝576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C14种方法，前4次中应有1正品、3次品,有C16C33种，前4次测试中的顺序有A44种，由分步计数原理即得.讲评:本题涉及一类重要问题,即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素(即组合)后排列.【例4】有两排坐位,前排11个坐位,后排12个坐位,现安排2人就坐,规定前排中间的3个坐位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )A.234B.346C.350D.363解法一:分类讨论法.(1)前排一个,后排一个,2C18·C112=192.(2)后排坐两个(不相邻),2(10+9+8+…+1)=110.(3)前排坐两个,2·(6+5+…+1)+2=44个.∴总共有192+110+44=346个.解法二:考虑中间三个位置不坐,4号坐位与8号坐位不算相邻.∴总共有A219+2+2=346个.答案:B讲评:本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.。
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习教案
2012届高考数学第一轮三角函数专项复习教案第四三角函数●网络体系总览●考点目标定位1理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）4会用正弦线、正切线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解正弦、余弦、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数=Asin（ωx+ ）的简图，理解A、ω、的物理意义了解反正弦、反余弦、反正切的概念，会用反三角表示角●复习方略指南本部分内容历为高考命题的热点，其分值约占20%，一般都是三或四个小题，一个大题小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用大题则着重考查=Asin（ωx+ ）的图象和性质及三角函数式的恒等变形试题大都于本中的例题、习题的变形，一般为容易题或中档题因此复习时应“立足于本，着眼于提高”本内容公式多，三角函数作为工具，和其他知识间的联系密切，因此复习中应注意：1弄清每个公式成立的条，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等切不可死记硬背，要在灵、活、巧上下功夫2本突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向在本复习中，应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想3通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法，并从中体会“变换美”4有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bsx= sin（x+ ）（其中角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan = 确定）将函数化成=Asin（ωx+ ）+h的形式，再求其最值或周期等41 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式●知识梳理1任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（x，）与原点的距离是r （r= ＞0），则sinα= ，sα= ，tanα=上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变2同角三角函数关系式sin2α+s2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαtα=1（倒数关系）3诱导公式α+2π（∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号另外：sin（－α）=sα，s（－α）=sinα●点击双基1已知sin = ，s =－，那么α的终边在A第一象限B第三或第四象限第三象限D第四象限解析：sinα=2sin s =－＜0，sα=s2 －sin2 = ＞0，∴α终边在第四象限答案：D2设sα=t，则tan（π－α）等于A B－± D±解析：tan（π－α）=－tanα=－∵sα=t，又∵sinα=± ，∴tan（π－α）=±3α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点且sα= x，则x的值为A B±－D－解析：∵sα= = = x，∴x=0（舍去）或x= （舍去）或x=－答案：4若= ，则α的取值范围是_______解析：∵= = ，∴sα＞0∴α∈（2π－，2π+ ）（∈Z）答案：α∈（2π－，2π+ ）（∈Z）化简=_________解析：= =|sin4－s4|=sin4－s4答案：sin4－s4●典例剖析【例1】（1）若θ是第二象限的角，则的符号是什么?（2）π＜α+β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限（2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出即可解：（1）∵2π+ ＜θ＜2π+π（∈Z），∴－1＜sθ＜0，4π+π＜2θ＜4π+2π，－1＜sin2θ＜0∴sin（sθ）＜0，s（sin2θ）＞0（2）设x=α+β，=α－β，2α－β=x+n，则2α－β=α+β+nα－nβ=（+n）α+（－n）β∴∴= ，n= ∴2α－β= x+∵π＜x＜，－π＜＜－，∴＜x＜，－＜＜－∴－π＜x+ ＜评述：（1）解此题的常见错误是：π＜α+β＜π，①－π＜α－β＜－，②①+②得0＜2α＜π，③由②得＜β－α＜π，④①+④得＜2β＜，∴＜β＜⑤∴－＜－β＜－⑥③+⑥得－＜2α－β＜（2）本题可用线性规划求解，不妨一试【例2】已知sα= ，且－＜α＜0，求的值剖析：从sα= 中可推知sinα、tα的值，再用诱导公式即可求之解：∵sα= ，且－＜α＜0，∴sinα=－，tα=－∴原式= = =－tα=评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的【例3】已知sinβ= ，sin（α+β）=1，求sin（2α+β）的值剖析：由已知sin（α+β）=1，则α+β=2π+ ，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2π+∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系●闯关训练夯实基础1角α的终边过点P（－8，－6s60°）且sα=－，则的值是A B－－D解析：P（－8，－3），sα= =－∴= 或=－（舍去）答案：A2设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是Asα＜sβBtanα＜tanβtα＞tβDseα＜seβ解析：A与D互斥，B与等价，则只要判断A与D对错即可利用单位圆或特殊值法，易知选A答案：A3已知tan110°=a，则tan0°=_________解析：tan0°=tan（110°－60°）= =答案：4（2004年北京东城区二模题）已知sinα+sα= ，那么角α是第_______象限的角解析：两边平方得1+2sinαsα= ，∴sinαsα=－＜0∴α是第二或第四象限角答案：第二或第四若sinα•sα＜0，sinα•tanα＜0，化简+解：由所给条知α是第二象限角，则是第一或第三象限角原式= ==6化简（∈Z）解：当=2n（n∈Z）时，原式= = =－1当=2n+1（n∈Z）时，原式= = =－1综上结论，原式=－1培养能力7（200年北京东城区模拟题）已知tan（+α）=2，求：（1）tanα的值；（2）sin2α+sin2α+s2α的值（1）解：tan（+α）= =2，∴tanα=（2）解法一：sin2α+sin2α+s2α=sin2α+sin2α+s2α－sin2α=2sinαsα+s2α= == =解法二：sin2α+sin2α+s2α=sin2α+sin2α+s2α－sin2α=2sinαsα+s2α①∵tanα= ，∴α为第一象限或第三象限角当α为第一象限角时，sinα= ，sα= ，代入①得2sinαsα+s2α= ；当α为第三象限角时，sinα=－，sα=－，代入①得2sinαsα+s2α= 综上所述sin2α+sin2α+s2α=8已知sinθ= ，sθ= ，若θ是第二象限角，求实数a的值解：依题意得解得a= 或a=1（舍去）故实数a=9设α∈（0，），试证明：sinα＜α＜tanα证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点∵S△PA＜S扇形PA＜S△AT，∴|P|＜α＜|AT|∴sinα＜α＜tanα探究创新10是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）= s（－β），s（－α）=－s（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由解：由条得①2+②2得sin2α+3s2α=2，∴s2α=∵α∈（－，），∴α= 或α=－将α= 代入②得sβ= 又β∈（0，π），∴β= ，代入①可知，符合将α=－代入②得β= ，代入①可知，不符合综上可知α= ，β=●思悟小结1要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值3注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号4注意“1”的灵活代换，如1=sin2α+s2α=se2α－tan2α=s2α－t2α=tanα•tα应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀●教师下载中心教学点睛1本时概念多且杂，要求学生在预习的基础上，先准确叙述回忆，复习中注意“三基”的落实2利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养学生观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，引导学生总结一般规律如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα+sα、sinαsα、sinα－sα这三个式子间的关系拓展题例【例1】求sin21°+sin22°+…+sin290°分析：sin21°+s21°=sin21°+sin289°=1故可倒序相加求和解：设S=sin20°+sin21°+sin22°+…+sin290°，S=sin290°+sin289°+sin288°+…+sin20°，∴2S=（sin20°+sin290°）+…+（sin290°+sin20°）=1×91∴S=4【例2】已知sinα+sβ=1，求=sin2α+sβ的取值范围分析：本题易错解为=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，然后求的取值范围解：=sin2α－sinα+1=（sinα－）2+∵sinα+sβ=1，∴sβ=1－sinα∴∴sinα∈［0，1］∴∈［，1］。
高考数学平面解析几何第一轮备考复习教案
2012届高考数学平面解析几何第一轮备考复习教案2012版高三数学一轮精品复习学案第八章平面解析几何【知识特点】 1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一； 2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性； 3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
【重点关注】 1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点； 2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。
既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力； 3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高； 4、注重数学思想方法的应用解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位和作用】解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
2012高考数学理一轮复习(人教A版)精品课件8-6
[课堂记录] 设 N 为 PF1 的中点，则 NO∥PF2，故 PF2⊥x 轴，故|PF2|＝ba2＝ 23，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3，∴|PF1|＝7 2 3， t＝7.故选 D.
答案：D
即时训练 已知 F1、F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个 焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2，若△PF1F2 的面积为 9， 则 b＝________.
即 m2－n2＝4，又 e＝ mm2－n2＝m2 ＝12，∴m＝4，n2＝12.
从而椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
答案：(1)C (2)1x62 ＋1y22 ＝1
热点之四 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆位置关系的判定 把椭圆方程ax22＋by22＝1(a>b>0)与直线方程 y＝kx＋b1 联立消去 y，整理成形如 Ax2＋Bx＋C＝0 的形式，对比一元二次方程有： (1)Δ>0，直线与椭圆相交，有两个公共点． (2)Δ＝0，直线与椭圆相切，有一个公共点． (3)Δ<0，直线与椭圆相离，无公共点．
简图
范围
|x|≤a，|y|≤b
顶点坐标 (±a,0)，(0，±b)
|y|≤a，|x|≤b (0，±a)，(±b,0)
标准方程 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0)
对称轴
x 轴、y 轴
x 轴、y 轴
对称中心 坐标原点 O
坐标原点 O
答案：3
热点之二 椭圆的标准方程 椭圆标准方程的求法
1．定义法：确定 c 及 a 值，确定焦点所在坐标轴，直接写出 方程．
2．待定系数法：若已知焦点的位置可唯一确定标准方程；若 焦点位置不确定，可采用分类讨论法来确定方程的形式，也可以 直接设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1，其中 A，B 为不相等的正常数 或由已知条件设椭圆系(如ax22＋by22＝λ，λ>0)来求解，以避免讨论和 繁琐的计算．
2012届高考数学一轮复习教案8.1椭圆
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1 椭圆定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ，y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49 解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，3.参数方程θ为参数∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ，y =3sin ϕ A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析 【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－a b =acb 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =b b 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.3.（2003年春季北京）椭圆 （ϕ为参数）的焦点坐标为【例2】 如下图，设E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程. 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1， ∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M （b a b +，ba a+）. 由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∵k OM =22，∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.∴b a b +-1+ba a +-1=0.∴a +b =2. ② 由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B. 3C.27D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1，∴a =2，b =1，c ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，∴P （3，21），|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27.解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27. 答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1. 6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1， ①422x +322y =1. ② ①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0. 培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组 y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0， ∴n m n +-)1(2－nm n -2+1=0.∴m +n =2. ①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43. ②m =21， m =23， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解①②得 或解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ，两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2，展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2， |PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac =e .（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】 （2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得|sin （π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）. OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23. 又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c 1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）. 可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c 1为增函数， ∴当c =2时，|OQ |min =49)212(2++=234， 此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程， 2425a +249b =1， a 2=10， a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1. 【例2】 （2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A 得 解得（x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3． 故椭圆方程为252x ＋92y ＝1． （2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54． 根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）． 由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12）， 所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）.② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③ 将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518．所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤ 由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）. 将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得 9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0）， 所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k 1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得 （9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。
2012届高考数学第一轮向量的应用专项复习教案
2012届高考数学第一轮向量的应用专项复习教案向量的应用●知识梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力特别提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量处理它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点●点击双基1若是△AB内一点，+ + =0，则是△AB的A内心B外心垂心D重心解析：以、为邻边作平行四边形BD，则= + 又+ + =0，∴+ =－∴－= ∴为AD的中点，且A、、D共线又E为D的中点，∴是中线AE的三等分点，且A= AE∴是△AB的重心答案：D2将椭圆x2+62－2x－12－13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是A（－1，1）B（1，－1）（－1，－1）D（1，1）解析：椭圆方程变形为（x－1）2+6（－1）2=20需按a=（－1，－1）平移，中心与原点重合答案：3平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（－1，3），若点满足=α +β ，其中α、β∈R，且α+β=1，则点的轨迹方程为A3x+2－11=0B（x－1）2+（－2）2=2x－=0Dx+2－=0解析：点满足=α +β 且α+β=1，∴A、B、三点共线∴点的轨迹是直线AB答案：D4在四边形ABD中，• =0，= ，则四边形ABD是A直角梯形B菱形矩形D正方形解析：由• =0知⊥由= 知B AD∴四边形ABD是矩形答案：（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于A B－2D－2解析：如图所示，令e过原点，与e方向相反，排除A、，验证D即可答案：D●典例剖析【例1】已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）剖析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b•（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）（1）解：设a与b的夹角为θ，则|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a•（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|sθ=|b|2（t+ sθ）2+|a|2sin2θ，所以当t=－sθ=－=－时，|a+tb|有最小值（2）证明：因为b•（a+tb）=b•（a－•b）=a•b－a•b=0，所以b⊥（a⊥tb）评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带了很大的方便思考讨论对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题深化拓展已知=a，=b，a•b=|a－b|=2，当△AB面积取最大值时，求a 与b的夹角解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a•b+b2=4所以|a|2+|b|2=4+2a•b=8，S△AB= • sinθ= |a||b|= = ≤ = ，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）所以当|a|=|b|=2时，△AB的面积取最大值，这时，sθ= = = ，所以θ=60°【例2】如图，四边形NPQ是⊙的内接梯形，是圆心，在N上，向量与的夹角为120°，• =2（1）求⊙的方程；（2）求以、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以为原点，N 所在直线为x轴，求⊙的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可解：（1）以N所在直线为x轴，为原点，建立直角坐标系x∵与的夹角为120°，故∠Q=60°于是△Q为正三角形，∠Q=60°又• =2，即| || |s∠Q=2，于是r=| |=2故⊙的方程为x2+2=4（2）依题意2=4，2a=|QN|+|Q|，而|QN|= =2 ，|Q|=2，于是a= +1，b2=a2－2=2∴所求椭圆的方程为+ =1评述：平面向量在解析几何中的应用越越广，复习时应引起重视●闯关训练夯实基础1（2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，）满足• =x2，则点P的轨迹是A圆B椭圆双曲线D抛物线解析：=（－2－x，－），=（3－x，－），• =（－2－x）（3－x）+（－）2=x2，整理得2=x+6∴P点的轨迹为抛物线答案：D2台风中心从A地以20/h的速度向东北方向移动，离台风中心30内的地区为危险区，城市B在A的正东40处，B城市处于危险区内的时间为A0hB1h1hD2h解析：台风中心移动th，城市B处在危险区，则（20t）2+402－2×20t×40×s4°≤900∴－≤t≤ + ∴B城市处在危险区的时间为1h答案：B3在一座20高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为4°，那么这座塔的高为_______解析：如图，AD=D=20∴BD=ADtan60°=20 ∴塔高为20（1+ ）答案：20（1+ ）4有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶解析：如下图，为使小船所走路程最短，v水+v船应与岸垂直又v 水= =1，v船= = ，∠AD=90°，∴∠AD=4°答案：与水速成13°角的如图，△AB的B边的中点为，利用向量证明：AB2+A2=2（A2+B2）证明：设=，=b，=，则= ，•= •= b2+ b•+ 2= AB2+ A2+ AB•A•s∠BA= AB2+ A2+ AB•A•= AB2+ A2+ （AB2+A2－B2）∴A2= AB2+ A2－B2又∵B2=4B2，∴AB2+A2=2（A2+B2）6如图，用两根绳子把重10N的物体吊在水平杆子AB上∠A=10°，∠B=120°，求A和B处所受力的大小（忽略绳子重量）解：设A、B 处所受力分别为f1、f2，10N的重力用f表示，则f1+f2=f以重力作用点为f1、f2的始点，作平行四边形FE，使为对角线，则=f1，=f2，=f，则∠E=180°－10°=30°，∠F=180°－120°=60°，∠FE=90°∴四边形EF为矩形∴| |=| |s30°=10• = ，｜｜=| |s60°=10× =∴A处受力为N，B处受力为N培养能力7已知A（4，0），N（1，0），若点P满足• =6| |（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求| |的取值范围；（3）若（－1，0），求∠PN在［0，π］上的取值范围解：（1）设P（x，），=（x－4，），=（1－x，－），=（－3，0），∵• =6| |，∴－3（x－4）=6 ，即3x2+42=12∴=1∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，0），P 到右准线的距离为d，d=4－x0，=e= ，|PN|= d= ∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）（3）令|PN|=t（1≤t≤3），则|P|=4－t，|N|=2，s∠PN== =－1+由1≤t≤3，得3≤t（4－t）≤4，∴≤s∠PN≤1∴0≤∠PN≤8如图，已知△AB的顶点坐标依次为A（1，0），B（，8），（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在A上求一点Q，使线段PQ 把△AB分成面积相等的两部分解：设P分的比为λ1，则4= λ1=3，即=3，=又= • = ，∴= ，即=2设λ2= ，则λ2=2∴xQ= =，Q= =－∴Q（，－）探究创新9如下图，已知△FQ的面积为S，且与的数量积等于1，（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设| |=（≥2），S= ，若以为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当| |取得最小值时，求此椭圆的方程解：（1）tanθ=2S又∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4∴＜θ＜artan4（2）以为原点，所在直线为x轴建立坐标系，设椭圆方程为+ =1（a＞b＞0），点Q（x1，1），则=（x1－，1）又∵△FQ的面积为| |•1= ，∴1= 又由• =1，解得x1=+| |= = （≥2）设f（）=+ ，则（）=1－=当≥2时，（）＞0，∴f（）在［2，＋∞）上递增，∴当=2时，| |最小，此时Q（，），由此可得a2=10，b2=6∴椭圆方程为=1●思悟小结向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛●教师下载中心教学点睛教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力拓展题例【例1】已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］（1）求f（x）=a•b的表达式；（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角解：（1）f（x）=a•b= x2•x+x•（x－3）= x3+x2－3x，x∈［－4，4］（2）（x）=x2+2x－3=（x+3）（x－1）列表：x－4（－4，－3）－3（－3，1）1（1，4）4（x）+0－0+f（x）↑极大值9↓极小值－↑故当x=1时，f（x）有最小值为－此时a=（，1），b=（1，－2）设θ为a与b的夹角，则sθ= =－又由θ∈［0，π］，得θ=【例2】如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4g和2g的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）分析：先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解解：设所求物体质量为g时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为θ1，F2与竖直方向的夹角为θ2，则有（其中g为重力加速度）由①式和②式消去θ2，得2－8sθ1+12=0，即=4sθ1±2 ③∵sθ2＞0，由②式知，③式中=4sθ1－2 不合题意，舍去又∵4s2θ1－3≥0，解得≤sθ1≤1经检验，当sθ1= 时，sθ2=0，不合题意，舍去∴2 ＜＜6综上，所求物体的质量在2 g到6g之间变动时，系统可保持平衡评注：（1）的范围是通过函数=4x+2 的单调性求得的（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略sθ2＞0的实际限制。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数的应用
§9.2 导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义区间.(2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.求函数的极值、最值(1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0;(2)用极值的方法确定极值;(3)在［a,b］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.3.函数最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数不在闭区间［a,b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】(2006山东高考，17)已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1)(Ⅰ)求其单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值.解析：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a＞1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.从表上可知函数f(x)在（-∞，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+∞）上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.当a=1时，函数f(x)没有极值.当a＞1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】(2006江西高考，17)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=-32与x=1时都取得极值. (1)求a 、b 的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x ∈［-1,2］，不等式f(x)＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解析：（1）f(x)=x 3+ax 2+bx+c, f ′(x)=3x 2+2ax+b, 由f ′(-32)=912-34a+b=0,f ′(1)=3+2a+b=0, 得a=-21,b=-2, 2所以函数f(x)的递增区间为（-∞，-3）与（1，+∞）；递减区间为（-3，1）. （2）f(x)=x 3-21x 2-2x+c, x ∈［-1,2］,且当x=-32时，f(x)=2722+c 为极大值.而f(2)=2+c,则f(2)=2+c 为最大值，要使f(x)＜c 2(x ∈［-1,2］)恒成立，只须c 2＞f(2)=2+c,解得c ＜-1或c ＞2.评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性. 链接·思考f ′(x)=0,f(x)的单调性怎样? 答:不具有单调性.【例3】(2006湖北高考，19)设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间.解析：依题意有f(1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=3x 2+3ax+b,故⎩⎨⎧=++-=-++,02321b a c b a 解得⎩⎨⎧--==.32,c b c a从而f ′(x)=3x 2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1)令f ′(x)=0,得x=1或x=-332+c . 由于f(x)在x=1处取得极值，故-332+c ≠1,即c ≠-3. (1)若-332+c ＜1,即c ＞-3,则当x ∈(-∞,-332+c )时，f ′(x)＞0;当x ∈(-332+c ,1)时，f ′(x)＜0;当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)＞0.从而f(x)的单调区间为（-∞,-332+c],［1，+∞)；单调减区间为［-332+c,1］.(2)若-332+c＞1,即c＜-3，同上可得，f(x)的单调增区间为（-∞，1]，［-332+c,+∞)；单调减区间为［1，-332+c］.评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f′(x)的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写，不能使用并集符号.【例4】(2005重庆高考,19文)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在(-∞,0)上为增函数,则f′(x)在(-∞,0)上恒正. 解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).因f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.综上所述,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.评述：本题考查了导数、极值、单调性等知识,考查了函数与方程的转化思想.。
2012届高考数学第一轮集合专项复习教案
2012届高考数学第一轮集合专项复习教案§3集合的基本运算3．1交集与并集课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，由________________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.2．一般地，由属于________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝________________.3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩∅＝____，A∪∅＝____.4．若A⊆B，则A∩B＝____，A∪B＝____.5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、选择题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于() A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}， C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§3集合的基本运算3．1交集与并集知识梳理1．既属于集合A又属于集合B A∩B{x|x∈A，且x∈B}2．集合A或属于集合B A∪B{x|x∈A，或x∈B}3．A A∅A 4.A B 5.⊆⊆⊆⊆作业设计1．A2．D[由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．]3．D[参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.]4．D[M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解x＋y＝2，x－y＝4，得x＝3，y＝－1.]5．B[由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]6．B[∵N M，∴M∪N＝M.]7．0或1解析由A∪B＝A知B⊆A，∴t2－t＋1＝－3，①或t2－t＋1＝0，②或t2－t＋1＝1.③①无解；②无解；③t＝0或t＝1.8．1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1. 9．－12解析∵B∪C＝{x|－3<x≤4}，∴A (B∪C)．∴A∩(B∪C)＝A，由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2.10．解由A∩C＝A，A∩B＝∅，可得：A＝{1,3}，即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.∴1＋3＝－p1×3＝q，∴p＝－4q＝3.11．解∵A∩B＝B，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，则B＝{－1a}，∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.综上，得a＝0或a＝12.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．3．2全集与补集课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号____表示．全集含有我们所要研究的这些集合的______元素．2．设U是全集，A是U的一个子集(即______)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，记作______，即∁UA＝___________________.3．补集与全集的性质(1)∁UU＝______；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁UA)＝____；(4)A∪(∁UA)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA等于()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于() A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁UB)等于()A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是()A．A＝∁UP B．A＝PC．A P D．A P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁IS) D．(M∩P)∪(∁IS)6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝________，∁UB＝______，∁BA＝________.9．已知全集U，A B，则∁UA与∁UB的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA ＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁UB)＝A，求∁UB.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.3．2全集与补集知识梳理1．子集U全部 2.A⊆U补集余集∁UA{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁UA.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁UB＝{1,3,4}．A∩(∁UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁UB，得∁UA＝B.又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS)，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁UA＝{0,1,3,5,7,8}，∁UB＝{7,8}，∁BA＝{0,1,3,5}．9．(∁UB) (∁UA)解析画Venn图，观察可知(∁UB) (∁UA)．10．解∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b∈A，∴b∈U，由此得a2＋2a－3＝5，b＝3.解得a＝2，b＝3或a＝－4，b＝3经检验都符合题意．11．解因为B∪(∁UB)＝A，所以B⊆A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.①若x2＝3，则x＝±3.当x＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，此时∁UB＝{3}；当x＝－3时，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，此时∁UB＝{－3}．②若x2＝x，则x＝0或x＝1.当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而∁UB＝{3}．综上所述，∁UB＝{3}或{－3}或{3}．12．D[借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D.]13.解如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.根据题意有a＋x＝20，b＋x＝11，a＋b＋x＝30－4.解得x＝5，即两项都参加的有5人．。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)数列的基本运算和性质
专题二 数 列考情动态分析数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2006年全国及16省市高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.展望2007年高考，数列仍是重点考查内容之一，估计试题经常在数列的知识、函数知识、不等式的知识和解析几何知识等的交汇点处命题，使数列试题呈现综合性强、立意新、角度新、难度大的特点.体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消去法、归一法、分离变量法、归纳——猜想——证明等基本的数学方法，在复习数列单元时，一定要以等差、等比数列为载体，以通项公式、求和公式为主线，注重基础，联系实际.通过对试题的练习，提高其运算能力、思辨能力、解决实际问题的能力，才能以不变应万变，在高考中立于不败之地.§2.1 数列的基本运算和性质考点核心整合1.数列的通项公式a n =f(n)(n ∈N *)实质上就是一个函数关系式，求数列的通项公式常用以下方法：(1)公式法：等差与等比数列采用此方法；(2)观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n 的特值验证，如有误差再作调整，如题目需要，可用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；(3)递推关系法：它指先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化得到数列普遍的递推关系，再通过代数方法利用递推关系，求出通项公式；(4)利用S n 与a n 的关系，特别注意对n=1时进行验证.2.抓住基本量，利用方程观点解题善于利用通项公式、前n 项和公式求其余的量.4.掌握两个特殊数列的常用性质(1)在等差数列{a n }中，有①a m =a n +(m-n)d(d=nm a a n m --);②若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q ∈N *，则一定有a m +a n =a P +a q (反之也成立)；③若d 为{a n }的公差，则其子数列a k ,a k +m,a k+2m,…(m ∈N *)也成等差数列，且公差为md; ④连续相同个数的和也成等差数列；⑤前n 项和为n 的二次式(d ≠0时)，且常数项为0，即S n =an 2+bn,且a=21d; ⑥若k ∈N *，则{ka n }也是等差数列；⑦若{b n }也为等差数列，公差为D ，则{a n ±b n }仍为等差数列，其公差为d ±D.(2)在等比数列{a n }中，有①若m+n=p+q,m 、n 、p 、q ∈N *，则a m ·a n =a P ·a q ;当m+n=2p 时，a m ·a n =a P 2;②若m 、n ∈N *，则a m =a n ·q m-n ;③若公比为q ，则{n a 1}是以q1为公比的等比数列; ④下标成等差数列的项构成等比数列；⑤连续若干项的和也构成等比数列；⑥若{b n }为等比数列，公比为Q(Q ≠0)，则{a n ·b n }仍为等比数列，公比为q ·Q;{nn b a }为等比数列，公比为Qq ; ⑦若{a n }成等比数列且a n >0(n ∈N *)，则log a a n 成等差数列，反之也对; ⑧等比数列{a n }的前n 项积为V n ,则V n =a 1n ·2)1(-n n q (n ∈N *).灵活运用两类数列的上述性质解题，可使问题化繁为简，化难为易，减少解题运算量.5.具体问题求和，掌握有关方法和题型(1)错位相减法：一个等差数列与等比数列对应项积组成的数列，求和采用此法，此外，有关应用问题求和也会出现上述情况.(2)倒序相加法：涉及此法的题目不多，主要是用组合数性质m n C =m n n C -“上”“下”合并.(3)分组求和法：善于观察、通过分析、组合转化为n 个等差、等比或常见数列再求和.(4)裂项相消法：是分解与组合思想在数列问题中的具体应用，实质为将数列中的某些项分解、重新组合，使得可以消去一些项，最终达到求和的目的，一般通过研究通项来实现.常见类型有)1(+n n a ,1-+n n a 等形式. 考题名师诠释【例1】 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量：①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n 中，一定能成为该数列“基本量”的是第_____________.其中n 为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和.解析：对于①，若已知S 1与S 2，则a 1、a 2确定，该数列唯一确定；对于②，若已知a 2与S 3，a 1和q 可能不唯一，如a 2=2,S 3=7,则可得a 1=1且q=2或a 1=4且q=21; 对于③，若已知a 1与a n ，a 1和q 也有可能不唯一，如a 1=1,a 3=4,则q=2或-2；对于④，若已知q 与a n ，则显然a 1和q 唯一确定.故填①④.答案：①④【例2】记等比数列{a n }的前n 项和为S n 已知S 4=1，S 8=17，求{a n }的通项公式.解：设{a n }的公式为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1，所以得1)1(41--q q a =1, ① 1)1(81--q q a =17. ② 由①、②式，得q 4+1=17,∴q 4=16.∴q=2或q=-2.将q=2代入①式得a 1=151，所以a n =1521-n ; 将q=-2代入①式得a 1=-51， 所以a n =52)1(1-⨯-n n . 评述：本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及方程思想、整体思想，特殊注意利用前n 项和公式时要考虑q ≠1、q=1两种情况.【例3】 数列{a n }的前n 项和S n =npa n (n ∈N *)且a 1≠a 2,(1)求常数p 的值；(2)证明{a n }为等差数列.分析：(1)关键是把S n 写成项的和的形式，建立关于p 的方程，给n 以具体的值n=1和n=2.(2)求a n 的表达式.(1)解：由S n =npa n ⇒a 1=pa 1⇒(p-1)a 1=0.若p=1,则S 2=2a 2.∴a 1+a 2=2a 2.∴a 1=a 2,矛盾.∴p ≠1.∴a 1=0.由S 2=2pa 2，得a 1+a 2=2pa 2,∴(2p-1)a 2=0.∵a 1≠a 2,a 1=0，∴a 2≠0.∴p=21. (2)证明：由S 3=3·21a 3⇒a 3=2a 2,由S 4=4·21a 4，得a 4=3a 2,猜想a n =(n-1)a 2. 以下用数学归纳法证明.当n=1时，a 1=0=(1-1)a 2,等式成立.假设当n=k 时成立，即a k =(k-1)a 2.当n=k+1时，S k+1=S k +a k+1⇒(k+1)·21a k+1=k ·21a k +a k+1⇒21-k a k+1=2k a k =2)1(-k k a 2⇒a k+1=ka 2, 即n=k+1时，命题成立.故a n =(n-1)a 2(n ∈N *).∴{a n }是以a 1=0为首项,公差为a 2的等差数列.评述：以数列为载体，考查学生的数学思想方法和逻辑推理能力是近几年高考的突出特点.本题学生容易出现由a 1=pa 1 ⇒p=1,忽略了a 1可能为0的情况.链接·思考本题第(2)问能否不用数学归纳法证明呢？若能，读者不妨一试.【例4】(2006广东高考，19)已知公比为q(0<q<1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9，无穷等比数列{a 2n }各项的和为581. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q;(2)对给定的k(k=1,2,…,n)，设T (k)是首项为a k ，公差为2a k -1的等差数列，求数列T (2)的前10项之和；(3)设b i 为数列T (i)的第i 项，S n =b 1+b 2+…+b n ，求S n ，并求正整数m(m>1)，使得∞→n lim m n nS 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限) 解：(1)依题意可知，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.32,35811,9112211q a q a q a (2)由(1)知，a n =3×(32)n-1，所以数列T (2)的首项为t 1=a 2=2，公差d=2a 2-1=3， S 10=10×2+21×10×9×3=155.即数列T (2)的前10项之和为155. (3)b i =a i +(i-1)(2a i -1)=(2i-1)a i -(i-1)=3(2i-1)(32)i-1-(i-1)， S n =45-(18n+27)(32)n -2)1(-n n ， ∞→n lim m n n S =m n 45-m n n 2718+(32)n -mn n n 2)1(-. 当m=2时，∞→n lim m n n S =-21;当m>2时，∞→n lim m n n S =0，所以m=2. 评述：本题是一道数列综合应用题，注意求解过程中的转化与化归.【例5】已知数列{x n }满足x 1=x 2=1，并且n n x x 1+=λ1-n n x x (λ为非零参数，n=2,3,4,…).(1)若x 1、x 3、x 5成等比数列，求参数λ的值；(2)设0<λ<1，常数k ∈N *且k ≥3，证明11x x k ++22x x k ++…+n k n x x +<k kλλ-1(n ∈N *). (1)解：由已知x 1=x 2=1，且23x x =λ12x x ⇒x 3=λ，34x x =λ23x x ⇒x 4=λ3，45x x =λ34x x ⇒x 5=λ6. 若x 1、x 3、x 5成等比数列，则23x =x 1x 5，即λ2=λ6，而λ≠0，解得λ=±1.(2)证明：设a n =n n x x 1+，由已知，数列{a n }是以12x x =1为首项，λ为公比的等比数列，故n n x x 1+=λn-1，则n k n x x +=1-++k n k n x x ·21-+-+k n k n x x ·…·n n x x 1+ =λn+k-2·λn+k-3·…·λn-1=2)3(-+k k kn λ.因此，对任意n ∈N *，11x x k ++22x x k ++…+n k n x x + =2)3(-+k k k λ+λ2k +2)3(-k k +…+2)3(-+k k kn λ=λ2)3(-k k (λk +λ2k +…+λnk )=λ2)3(-k k k nk k λλλ--1)1(. 当k ≥3且0<λ<1时,0<λ2)3(-k k ≤1，0<1-λnk <1,所以11x x k ++22x x k ++…+n k n x x +<k kλλ-1(n ∈N *). 评注：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n 项和公式、等差数列前n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.。
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第25课时：第三章 数列——数列的实际应用 一．课题：数列的实际应用
二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；
2．能够把实际问题转化成数列问题．
三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．解应用问题的核心是建立数学模型；
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型；
3．注意问题是求什么（,,n n n a S ）．
（二）主要方法：
1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答；
2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确；
3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；
4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求．
（三）例题分析：
例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量，
（1）求n a 的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79
a ，如果1972
a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=）
解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则
115(1)44
a a
b a b =+-=-， 221555()(1)444
a a
b a b =-=-+， 32325555()[()1]4444
a a
b a b =-=-++， ………
12*55555()[()()1]()4[()1]()44444
n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈ ． （2）当1972b a =时，有79n a a <得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54
n >，
所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2
n ->=≈--． 答：经过8年后该地区就开始水土流失．
例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？ 解：第一个月月底余
1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元，
设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，
则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥，
从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，
设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08n n b b -=⨯，
∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，
还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．
例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==）
解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：
1029
1.311(130%)(130%)(130%)4
2.621.31-+++++++==- （万元） 到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元）
∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：
10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502
+++++⨯+++⨯== （万元） 贷款的本利和为：109
1.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=- （万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：3
2.5017.5315.0-=（万元）
所以，甲方案的获利较多．
例4．某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23
领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元，
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）当827
a b =
时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当38
a b ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
解：（1）由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，1223()()32n n n a a b --=+， ∴12(1)23()()(2)3
2n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知827
a b =， 当2n ≥时，1121222832838()()2[()()]327232729
n n n n n a a a a a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立，当且仅当12283()()3272n n a a --=，即22422()()33
n -=，解得3n =，因此这个人第三年收入最少为89
a 元． （3）当2n ≥时，
121223233()()()()32382n n n n n a a a b a a ----=+≥+≥=，上述等号成
立，须38a b =且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到， 当38
a b ≥
时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入． （四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（ ）
()A p ()B 12p ()C 12(1)p + ()D 12(1)1p +-。