2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科

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2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.(结果用反三角函数值表示)7．不等式21200210321x x +-≥的解为 . 8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .11. 若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++ 可能的值有____________个.12．在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.13．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是（）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的（）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （）(A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆，求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot602OE α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F处移动到H处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为(1,0)F，点()-在椭圆C上，点T满足2OT OF=（其中O为坐标原点），过点F作一直线交椭圆于P、Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求PQT∆面积的最大值；(3)设点P'为点P关于x轴的对称点，判断P Q'与QT的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<. (1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.。

上海市徐汇区2012届高三第二次模拟数学理

2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知2111n na n n=+，则=∞→n n a lim . 2、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂= .3、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 .（精确到0.01）4、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿. 5、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += . 6、532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 . 7、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ=____________.（结果用最简分数表示） 8、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式为n a = .*()n N ∈9、函数()2sin sin()3f x x x π=⋅-的值域是 .10、如图：底面直径为2的圆柱被与底面成030二面角的平面所截，截面是一个椭圆，则此椭圆的焦距为 .11、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .成绩人数40 1150 60 221370 80 9012、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为______.13、已知函数()1x f x x=+,在9行9列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛999392912923222119131211a a a a a a a a a a a a 中，第i 行第j 列的元素()ij ia f j=,则这个矩阵中所有数之和为_______________.14、如图，点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=.某同学用以下方法研究OM ：延长2F M 交1PF 于点N ，可知2PNF ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中点，得112OM NF a === .类似地：点(,)(0,0)P x y x y >>是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、条件甲：函数)(x f 满足()1()f x f x -=；条件乙：函数)(x f 是偶函数，则甲是乙的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点，O 为坐标原点。

2012徐汇区数学一模(理)(答案)

2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷理科试卷参考答案及评分标准（2012.1）一、填空题：1、 22、{}1,2 3、52 4、49 5、8 6、1127、78、27 9 10、2 11、11612、2 13、2) 14、2二、选择题：15、D 16、B 17、D 18、A三、解答题：19、解：（1）由条件得，()2123234i 2z z a a a ⎛⎫-=-+-- ⎪+⎝⎭……………………2分因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320,2340a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩……………………4分2110,2,212214(4)(1)0,a a a a a a a a +⎧⎧<-<<-⎪⎪⇔⇔⇒-<<-+⎨⎨⎪⎪<->-+>⎩⎩或…………………………6分（2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根所以11662z z a +==+，即1a =-，…………………………8分把1a =-代入，则1132i,32i z z =-=+，…………………………10分所以1113m z z =⋅=…………………………12分20、（1）解法一：取AB 中点F ，连接EF DF ,，则DF AC //，所以EDF ∠就是异面直线AC 与PB 所成的角.…2分由已知，7,3,1=====PB AB AD EA AC ， EF DF EF AC ⊥∴⊥, .…………………………4分在EFD Rt ∆中，2,21==ED DF ，42cos =∠EDF .所以异面直线AC 与ED 所成的角为42arccos （)7arctan .………………6分PABCD EF解法二：如图所示建立空间直角坐标系，)02321(,)0,0,1(，，D C ，)1,0,0(E ，)1,23,21(,)0,0,1(-== (2)42221cos ==θ， …………………………………4分所以异面直线AC 与ED 所成的角为42arccos (6)（2）PDE ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是以AD 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个以AD 为底面半径、AE 为高的小圆锥，体积111π12π11π333V =⋅⋅-⋅⋅=.……………………12分21、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为(]40000200,0,300y x x x x =+-∈……………………4分因为40000200200200x x +-≥=，…………………………6分当且仅当40000x x=，即200x =时，才能使每吨的平均处理成本最低。

2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷

2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷（考试时间：90分钟，满分120分） 2013.3一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1、已知集合{}{}034,22<+-=<=x xx B x x A ，则=B A .2、若复数()()i bi -+31是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则=b _________．3、已知函数()x x x f -=3，则=⎪⎭⎫⎝⎛-511f ____________. 4、已知线性方程组的增广矩阵为116 02a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组解为42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =_______. 5、已知圆22440xx y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 .6、若向量a 、b 满足||1,||2a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则()a a b ⋅+ =______________.7、二项式()712x +的展开式中，含3x 项的系数为____________.8、ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若4,21,60===b a A ，则边=c .9、已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________． 10、从集合{}12345，，，，中任取两数，其乘积大于10的概率为 . （结果用最简分数表示） 11、已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为__________.12、将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作),(*N j i a j i ∈，，如第2行第4列的数是15，记作154,2=a ，则=14,12a ．1 4 5 16 17 36 ……23 6 15 18 35 …… 9 8 7 14 19 34 …… 10 11 12 13 20 33 …… 25 24 23 22 21 32 …… 26 27 28 29 30 31 …… …… …… …… …… ……二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.（A ）AB DC = （B ）AD AB AC += （C ）AB AD BD -=（D ）0AD CB +=14、某中学高一年级有540人，高二年级有440人，高三年级有420人.分层抽样的方式抽取样本容量为70的样本，则高一、高二、高三这三个年级应分别抽取（）（A ）28人 24人 18人（B ）25人 24人 21人（C ）26人 24人 20人（D ）27人 22人 21人 15、已知直线l 经过点()2,1-P ，且与直线0432=+-y x 垂直，直线l 的方程是（）（A ） 0723=++y x （B ）0532=+-y x （C ）0123=-+y x （D ）0832=+-y x16、设R y x ∈,，则“0,0>>y x”是“xy y x 2≥+”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件17、已知命题：①过与平面α平行的直线l 有且仅有一个平面与α平行；②过与平面α垂直的直线l 有且仅有一个平面与α垂直．则上述命题中（）（A ）①正确，②不正确（B ）①不正确，②正确（C ）①②都正确（D ）①②都不正确 18、对于函数()cos 2f x x =-，下列选项中正确的是（）（A ）()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛43,2ππ上是递增的（B ）()x f 的图象关于原点对称（C ）()x f 的最小正周期为π2 （D ）()x f 的最大值是119、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( ) （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）720、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴长与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则此双曲线方程为（）C.A 1BB 1C 1D 1DAP（C ）122=-y x （D ）2122=-y x 21、下列函数既是奇函数．．．，又在区间[]1,1-上单调递减．．．．的是（）（A ）x x f sin )(= （B ）|1|)(+-=x x f（C ）x x x f +-=22lg)( （D ）2()2xf x x-=+ 22、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .当首项1,a 公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是（）（A ）16S （B ）15S （C ）7S （D ）8S23、若r a a n nn =++∞→112lim ，且1>r ，则常数a 的取值范围是（）（A ）1-<a （B ）21<≤a （C ）1≥a （D ）21<<a24、已知函数()x x f lg =. 若b a <<0，且()()b f a f =，则b a 2+的取值范围是（）（A ）()∞+，22（B ）)⎡+∞⎣ （C ）()∞+，3 （D ）[)∞+，3三．解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.25、（本题满分8分）已知4tan 3x =-的值.26、（本题满分8分）如图所示：1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=o ，14AD =，点P 是1AD 的中点，求异面直线1AA 与1B P 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）27、（本题满分8分）已知直线l 经过点(1,0)且一个方向向量(1,1)d = .椭圆()22:111x y C m m m +=>-的左焦点为1F .若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，满足110F A F B ⋅=，求实数m 的值.28、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0>d ，数列{}n b 是等比数列，且满足112253,,a b a b a b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对*N n ∈均有12211+=+++n nna b c b c b c ，求201321c c c +++ 的值.29、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分．已知函数)(x f ，当],[n m x ∈时，若)(x f 的值域中既有正数又有负数，则称函数)(x f是区间],[n m 上的“T 函数”．（1）判断函数xx f 1)(=是不是区间]2,1[上的“T 函数”，请说明理由；（2）若函数1)(+=kx x f 是区间]3,2[-上的“T 函数”，求)2(f 的取值范围.参考答案：一、填空题1、{}21|<<x x 2、3- 3、214、 1 5 6、 2 7、280 8、 5 9、 12π 10、10311、 8 12、 185二、选择题13、 C 14、D 15、C 16、A 17、A 18、D 19、 A 20、A 21、C 22、B 23、D 24、CEPD 1C 1B 1A 1DCBA三、解答题25()22cos sin cos sin cot 1cos sin sin sin x x x xx x x x x -+===+-⋅（4分）由4tan 3x =-，得43cot -=x （6分）1cot 14x =+=（8分）26、解：过点P 作11PEA D ⊥，垂足为E ，连结1B E （如图），则1PE AA ∥，1B PE∴∠是异面直线1AA 与1B P 所成的角．（2分）在11Rt AA D △中 ∵1160AD A ∠=∴1130A AD ∠=11111122A B A D AD ===,111112A E A D ==，1B E ∴==．又112PE AA ==（5分）∴在1Rt B PE △中，11tan B E B PE PE ∠===（7分） ∴异面直线1AA 与1B P所成的角为arctan（8分）27、解：由已知可得直线l 的方程：1,y x =-点()0,11-F （2分）设点()()2211,,,y x B y x A⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=11122m y m x x y 整理得：()0221222=-+--m m mx x m （3分）当1>m时 ()024242>+-=∆m m m 恒成立（4分）因为()()221111,1,,1y x B F y x A F +=+= 所以 ()()0112121=+++y y x x （*）由此可得 )1(,011222>=+--m m m m 由此解得 32+=m （8分）28、解：（1）由已知可得：1251,1,14a a d a d ==+=+所以()()21114,0d d d +=⋅+> 由此解得2=d 因此12-=n a n （3分）因为9,35322====a b a b 所以数列{}n b 以1为首项，3为公比的等比数列由此解得 13-=n n b （5分）（2）当1=n时211a b c = 所以 31=c （6分）当*,2N n n ∈≥时21=-=+n n nna abc 所以 132-⋅=n n c （8分）所以 ⎩⎨⎧∈≥⋅==-*,2,321,31N n n n c n n （9分）()201320122013213313163=--+=+++c c c （12分）29、解：（1）因为x x f 1)(=在]2,1[上单调递减，所以)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，………4分因此这个函数不是“T 函数”．………………………………………………………………5分（2）法1：由题意得函数)(x f 在区间]3,2[-上是单调函数，则0)3()2(<⋅-f f ，…7分即0)13)(12(<++-k k，解得31-<k 或21>k ． ………………………………………9分因为12)2(+=k f ，由于31-<k 或21>k ，所以3112<+k 或212k +>，因此)2(f 的取值范围是 ),2()31,(+∞-∞ ．…………………………………………12分法2：因为1)(+=kx x f 是区间]3,2[-上的“T 函数”，所以0≠k ．当0>k 时，1)(+=kx x f 在区间]3,2[-上单调递增，所以12)2()(min +-=-=k f x f ，13)3()(max +==k f x f ，由⎩⎨⎧>+<+-013012k k 解得 21>k ，所以 21>k ；………………7分当0<k 时，1)(+=kx x f 在区间]3,2[-上单调递减，所以13)3()(min +==k f x f ，12)2()(max +-=-=k f x f ，由⎩⎨⎧<+>+-013012k k 解得 31-<k ，所以31-<k ．…………9分综上 31-<k 或21>k ．因为12)2(+=k f ，由于31-<k 或21>k ，所以3112<+k 或212k +>，1。

上海市徐汇区2012届高三一模数学(文)试题及答案

2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α的终边经过点(3,4)P -，则cos α=2、函数2log ()1y x m =-+的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =3、若全集{}{}{}|13,,1,2,3,1,3U U x x x Z A C B =-<∈==-，则A B ⋂= 4、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差2s =5、一平面截一球得到直径为6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是3cm 6、已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx的值为7、根据右图所示的程序框图，输出结果i =8、从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}1,2,3中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是（结果用数值表示） 9、若1()2nx x+的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 项的系数为10、已知函数2()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}1,0,1,-，试确定这样的集合D 最多有个11、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,6a b c AB AC ⋅= ，向量(cos ,sin )m A A =与向量(4,3)n =-相互垂直。

若7b c +=，则a 的值为12、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1)()x n n n N ∈+∈，则n =13、已知各项为正数的等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项、使得1=，则14mn+的最小值为14、如图所示：在AOB ∆中，,3,2,3AOB OA OB BH OA π∠===⊥于H ，M 为线段BH 上的点，且5,4MO MA BM xBO yBA ⋅=-=+ 若，则x y +的值等于二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

上海市徐汇区2012届高三4月学习能力诊断数学(理)

上海市徐汇区高三数学上学期期末考试试题文(上海徐汇

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）2014.1一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．计算：．2．函数的最小正周期是_______________．3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .4．已知集合则集合＝____________．5．已知，，则．（结果用反三角函数值表示）6．直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数．7．如果（）那么共有项．8．若函数的图象经过点，则函数的反函数的图象必经过点_______．9．某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）10．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则____________．11．函数图像的对称轴方程为________________．12．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为__________________．13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为___________________．14．一个五位数则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．对于集合和，“”是“”的-----------( )（Ａ）充分不必要条件（Ｂ）必要不充分条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件16．直线的倾斜角是 -----------------------( ) （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）17．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点----------------------------（）（A）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（B）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）（C）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）18．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列二个集合：①；②}；则以下选项正确的是（）(A)①是“垂直对点集”，②不是“垂直对点集”(B)①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”(C)①②都是“垂直对点集”(D) ①②都不是“垂直对点集”三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）在中，，是方程的两个根，且。

上海徐汇中学2012届高三第一学期期中数学试题和答案

2
a1 (1 q 9 ) 1 q
q3
q6
2q 9
q3
1 或q3
1 （不合题意）所以 q 3
1
；
2
2
所以1 q 3 2 q 6 a 2 a 2 q 3 2 a 2 q 6 a 2 a 5 2 a 8
即一定有 a 2 , a8 , a 5 成等差数列。…………………………………11 分
③τ＝{ ，{a}, {a, b}, {a, c}}； ④τ＝{ ，{a, c}, {b, c}, {c}, {a, b, c}}．其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是_______2，4_____________ 二、选择题（每题 5 分，共 20 分） 15 、设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 4 8, S 8 20 , 则 a11 a12 a13 a14 （A ） A．18 B．17 C．16 D．15 16 、设 f ( x) | 2 x 2 | ，若 0 a b ，且 f ( a ) f ( b，) 则 a b 的取值范围是（ A） A． (0, 2) B． (0, 2] C． (0, 4] D． (0, 2 )
式
f (x) f (y) f (x y)
成立．若数列
{an }
满
足, a1
f (0)
f (an1 )
1 f (2 an )
(n N )
则 a 2011 的值为
4021
13、已知点 O(0,0)、Q0(0,1)和点 R0(3,1)，记 Q0R0 的中点为 P1，取 Q0P1 和 P1R0 中的一条，记其端点
(1) 求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式 (2) 设 An＝a1＋a2＋n …＋an，若 An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新．

上海市徐汇区2012届高三上学期期末学习能力诊断数学(理)试题

上海市徐汇区2012届高三上学期期末学习能力诊断数学（理）试题（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数2log ()1y x m =-+的反函数的图象经过点(1,3)，则实数m =2、若全集{}{}{}|13,,1,2,3,1,3U U x x x Z A C B =-<∈==-，则A B ⋂= 3、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差2s =4、已知tan()24x π+=，则tan tan 2xx的值为5、根据右图所示的程序框图，输出结果i =6、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数()(4)z m ni n mi =+-（i 是虚数单位）为实数的概率为(结果用最简分数表示) 7、若1()2nx x+的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 项的系数为8、已知函数2()1f x x =-的定义域为D ，值域为{}1,0,1,3-，试确定这样的集合D 最多有个9、已知ΔABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，向量(,)m a b =，(2,2)p b a =--，若m ⊥p ，边长2c =，角C =3π，则ΔABC 的面积是 10、已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1)()x n n n N ∈+∈，则n =11、已知各项为正数的等比数列765{}:2,n a a a a =+满足若存在两项m a 、n a 使1=，则14mn+的最小值为12、如图所示：ABC ∆中，点O 是BC 中点。

过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同两点M 、N 。

上海市徐汇区高三数学上学期期末教学质量调研试题理

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.【答案】211132-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】根据增广矩阵的定义可知方程组的增广矩阵为211132-⎛⎫⎪-⎝⎭。

2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.【答案】13x-【解析】设幂函数为()f x x α=，则由1(8)2f =得182α=，即3122α-=，所以31α=-，13α=-，所以13()f x x -=。

3．（理）若θ为第四象限角，且4sin()25πθ+=，则sin 2θ=___________. 【答案】2425-【解析】由4sin()25πθ+=得4cos 5θ=，因为θ为第四象限角，所以3sin 5θ=-，所以3424sin 22sin cos 2()5525θθθ==⨯-⨯=-。

4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 . 【答案】8【解析】抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，在双曲线中22610a b ==，，所以22216c a b =+=，所以4c =，即双曲线的右焦点为(4,0)，所以482pp ==，。

5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x =_________.【答案】()2sin4f x x π=【解析】由图象可知26242T A ==-=，,即周期8T =,由28T πω==得，4πω=，所以()2sin()4f x x πϕ=+，有(2)2f =得，(2)2sin(2)24f πϕ=⨯+=，即sin()12πϕ+=，所以22k k Z ππϕπ+=+∈，，所以k k Z ϕπ=∈，，因为2πϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π=。

上海市徐汇区高三上学期期末质量抽测(2012一模)(数学文)试卷.pdf

编号课题课型编写审核时间102乐音的特性新授课2012-9-4教学目标：（1）知道乐音的三个特征：音调、响度和音色（2）了解音调的高低跟频率的关系，响度大小跟振幅关系，了解不同的发声体的音色不同。

（3）运用典型的演示实验，激发、培养学生学习声学基础知识兴趣。

（4）介绍我国战国时的编钟，进行爱国主义教育。

二、教学重难点：教学重点：乐音的三要素，音调与频率关系，响度跟振幅关系。

教学难点：音调和响度的区别。

三、教学过程：一、新课引入：我们听到的是千差万别的：小号声嘹亮挺拔，小提琴声柔和纤细，大提琴声稳重舒展，双簧管声甜美圆润，声则低沉飘逸……它们有强有弱，有高有低，有的浑厚，有的清脆。

那么，声音有那些基本特征？这些特征又与什么有关？板书课题：二、乐音的特性二、新课教学 1、响度活动一：探究声音强弱（大小）与什么因素有关？问题：要使鼓声更响些，你会怎样做？引导：特别响时鼓面的振动有何特点。

猜想：鼓声的响度可能与鼓面的振动幅度有关。

设计：怎样让别的同学也能看到鼓面振幅大小？方法提示：鼓面上洒些纸屑或泡沫屑等轻小物。

检验：按照你设计的方案再做一次评估：根据这一现象，同学们能否认为敲鼓时，声音响到什么程度与鼓面振动的幅度大小有关。

学生讨论交流：归纳总结得出结论：响度大小是与振幅大小有关；振幅越大，响度越大换个声源（如锣，音叉等），情况又怎样？上述的结论还成立吗？ 2、音调声音不但有大有小，还有高有低，我们称为音调，一首歌，有的地方音调高，我们怎么也唱不上去。

同学们在讲话时，女同学的音调高，男同学的音调低，物理学中的音调大小，在生活中常用尖细、粗哑来表示，而在音乐中常用音阶来区分。

活动二 1.4探究决定声音高低的因素 [猜想]声音的高低可能与声源振动的快慢有关。

[实验] 用钢锯条或塑料尺来探究这个问题。

振动部分长度振动快慢声音高低1/4锯条长3/4锯条长结论：声源振动频率越大，声音的音调就越高。

徐汇松江金山高考数学汇编理

2012学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = . 2．已知函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ，集合43|01x x B x x⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = . 3．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________.4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.5．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________.6．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i = .7. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.8. 将参数方程212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）化为普通方程，所得方程是_____ _____.9. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-，则23lim()n n a a a a →∞++++= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望ξE =___________.11．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .12.如图，O 为直线02013A A 外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的距离相第6题图第12题图A 02013等，设02013,OA a OA b ==，用,a b 表示0122013OA OA OA OA ++++，其结果为 . 13.设函数()f x x x =，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a >个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，则正数a 的取值范围为 .14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D 为顶点，任意向上翻折，折痕与BC 交于点1E ，然后复原，记11CDE α∠=；第二步，将纸片以D 为顶点向下翻折，使AD 与1E D 重合，得到折痕2E D ,然后复原，记22ADE α∠=；第三步，将纸片以D 为顶点向上翻折，使CD 与2E D 重合，得到折痕3E D ，然后复原，记33CDE α∠=；按此折法从第二步起重复以上步骤……，得到12,,,,n ααα，则lim n n α→∞= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个18. 如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ,那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈>，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列，记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（）A. 2b =3130k k b b +-=()*k N ∈ C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值. 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点．（1）求异面直线1A D 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线11A B 到平面DAB 的距离.DBCAB 1C 1A 1第21题图22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列；（3）对（2）题中的k d ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值；(3) 对于双曲线:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线上的两点(都不同于点E )，且EM EN ⊥，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及它的顶点.5cos θ==（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．12 2.[)2,3 3. 247- 4. 12π 5. 19 6．2i + 7. cos 3ρθ= 8. 23y x =-+(x ≤≤) 9. 14- 10. 1411.15 12.1007()a b +13.2a > 14.6π二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可得sin()2A C +=，……………2分即sin B =，……………4分 1sin 2ABC S ac B ∆=3.ac ∴=………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得0.96k =.………………………………………………6分（2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分 =150********v v+≥=，………………………11分其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………………14分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：以11A B 中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得()()()(11,0,0,0,1,3,1,2,0,A D B C -则()(11,1,3,A D BC =-=. .............3分设θ为向量1A D BC 与的夹角，则1222,2ABDS ∆=⋅⋅=，.....5分异面直线1A D 与BC所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取1B B 中点E ，连结1,A E DE .//DE CB ………………………………….2分1A DE ∴∠（或其补角）为异面直线1A D BC 与所成的角. ……3分由题意得:在11Rt A B E ∆中，1A E =在11Rt A C D ∆中，1A D =;……………………4分在等腰三角形1A DE 中，………5分所以异面直线1A D 与BC 所成角的大小为分（2）方法一：由题意可得11//A B ABD 平面,所以，11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离，设为h . …………….8分设平面ABD 的法向量为n ，(),,1n x y =, 由()()()1(1,0,0),1,2,0,0,1,3,1,2,0A A D B -得()()(1200113AB AD A D =-=--=-，，，，，，,…………………11分,即()0,3,1n =. ……………………………………………………12分所以故直线11A B 到平面DAB …………………………………14分方法二：由题意可得11//A B ABD 平面,所以，11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离，设为h .…………….8分由题意得12A D AD BD AB ====，等腰ADB ∆底边AB 2=，则12AA B S ∆=，D BC1A 200000x x AB n x y y AD n ⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩10n A D h n+⋅===112cos DEA DE A D ∠==且D 到平面11ABB A12分由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分，则h =所以，直线11A B 到平面DAB.……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分. 解：(1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-,…………………………..2分所以，*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以，22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅，…………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列, …………………………..8分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=，…………………………..9分满足14k kd d +=为常数，所以数列{}k d 为等比数列. …………………………..10分（3）①当k 为奇数时，112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k k k k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--，…………………………..12分同样，可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k k k k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+,所以，集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++133(41)55k k k d d ++=-+=；……..13分②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,kk x dx d x Z +<<∈的元素个数为11133ABD A AB S h S ∆∆⋅⋅=3(41)5k ⋅-. .…..16分 23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

上海市徐汇区2012届高三4月学习能力诊断数学(文)

2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知2111n na n n=+，则=∞→n n a lim . 2、在ABC ∆中，已知22sin 3cos 0A A -=，则角A 的大小为 . 3、若直线l 的法向量)2,1(=，且经过点)1,0(M ，则直线l 的方程为 . 4、已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数2lg(68)y x x =-+-的定义域为集合B ，则A B ⋂= .5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是 .（精确到0.01）6、若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿＿＿＿＿＿＿＿. 7、若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 8、2531()x x+的二项展开式中，常数项的值是 .9、在等比数列{}n a 中，0>n a ，若127816a a a a ⋅⋅⋅⋅=，则54a a +的最小值为 .10、如图：已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A 作底面ABC 的垂线，若垂足为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为 . 11、5名学生报名参加两项社会实践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.（结果用最简分数表示）12、已知点(0,2)A ,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥,则p = .成绩人数40 1150 60 221370 80 90 AA 1BCC 1B 1第10题13、已知O 为坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域 213x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的一个动点，则OA OM ⋅的最大值与最小值之差为______________.14、若函数()y f x =（x R ∈）满足()()2f x f x -=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()lg(1)110001x x g x x x x ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪⎪≤≤⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,6-内的零点的个数为_______.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、条件甲：函数)(x f 的图像关于原点对称；条件乙：函数)(x f 是奇函数，则甲是乙的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16、以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）（A ）2220x y x ++= （B ）220x y x ++= （C ）220x y x +-= （D ）2220x y x +-=17、设(,1)(2,)(4,5)A a B b C 、、为坐标平面上三点， O 为坐标原点.若OA uu r 与OBuu u r 在OC uuu r上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 18、若框图所给的程序运行的结果为90S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件错．误．的是（）（A ）8k = （B ）8k ≤ （C ）9k < （D ）9k =三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且32,35,6π===B b a . （1）求A sin ；（2）求A C B 2cos )cos(++的值.第18题图20、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. （1）求棱1A A 的长；（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）.21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围.ABCD 1A 11D22、（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点12,F F 为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线于点M ，且01230MF F ∠=，圆O 的方程为222x y b +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上的点到两条渐近线的距离分别为12,d d ，求12d d ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点00(,)P x y 作切线l 交双曲线C 于,A B 两个不同点，求OA OB ⋅uu r uu u r的值 23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.如果存在常数a 使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列：1,2,4,(4)m m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）若有穷递增数列．．．．．．{}n b 是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求证：数列{}n b 的前n 项和2n nS a =⋅；（3）已知有穷等差数列．．．．．．{}n c 的项数是00(3)n n ≥，所有项之和是B ，试判断数列{}n c 是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷文科试卷参考答案及评分标准（2012.4）一．填空题： 1．1- 2．3π3．220x y +-= 4. ()3,4 5．17.64 6．1- 78． 10 9． 10．3411．5812．8 14．9 二．选择题： 15．C 16．D 17．A 18．D三．解答题:19．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得BbA a sin sin =将32,35,6π===B b a 代入上式得，32sin35sin 6π=A…………………2分解得53sin =A ；………………………………………………4分（2）ABC ∆中，π=++CB A ,且B 为钝角，所以54cos =A …………………6分 54cos )cos(-=-=+A C B ……………………………………………8分257sin 212cos 2=-=A A ……………………………………………10分所以2513257542cos )cos(-=+-=++A C B …………………………………12分20．解：（1）设1AA h =，则111111111110ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=--------------------2’ 1110222210323hh h ∴⨯⋅-⨯⨯⨯⨯==，解得：3h =-----------------------6’（2）13=2232232222S ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+表24=’ 主视图与俯视图各得2分.21．解：（1）22()(42log )log 2(log h x x x =-⋅=-因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2x ∈，…………………故函数()h x 的值域为[]0,2…………………6分（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]2log 0,2t x =∈所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[]0,2t ∈恒成立…………………8分 ① 当0t =时，k R ∈；…………………9分② 当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-…………………11分因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号…………………12分所以9415t t+-的最小值为3-…………………13分综上，(),3k ∈-∞-…………………14分22．解：（1）设2,F M的坐标分别为0)y -------------------1分因为点M 在双曲线C 上，所以220211y b b+-=，即20y b =±，所以22M F b =------------2分在21Rt MF F ∆中，01230MF F ∠=，22MF b =，所以212MF b =------------3分由双曲线的定义可知：2122MF MF b -==故双曲线C 的方程为：2212y x -=-------------------4分（2）由条件可知：两条渐近线分别为120;0l y l y -=+=-------------------5分设双曲线C 上的点00(,)Q x y ，则点Q到两条渐近线的距离分别为12d d ==-------------------7分所以22001223x y d d -⋅==-------------------8分因为00(,)Q x y 在双曲线C ：2212y x -=上，所以220022x y -=-------------------9分故2200122233x y d d -⋅==-------------------10分（3）解一：因为00(,)P x y 为圆O ：222x y +=上任意一点，设00,x y αα=所以切线l的方程为：cos sin x y αα+=-------------------12分代入双曲线C ：22222(cos sin )x y x y αα-==+两边除以2x ，得222(1sin )()2sin cos ()cos 20yy xxαααα+++-=-------------------13分设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,y y x x 是上述方程的两个根由韦达定理知：212212cos 21sin 1y y x x αα-==-+，即12120x x y y +=-------------------15分所以12120OA OB x x y y ⋅=+=-------------------16分解二：设1122(,),(,)A x y B x y ，切线l 的方程为：002x x y y +=-------------------12分 ①当00y ≠时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：22220000(2)4(24)0y x x x x y -+-+=所以：2001212222200004(24),(2)(2)x y x x x x y x y x ++=-=----------------------13分又22010201201201222200000(2)(2)82142()2x x x x x y y x x x x x x y y y y x ---⎡⎤=⋅=-++=⎣⎦- 所以222200001212222222000000(24)8242()0(2)22y x x y O A O B x x y y y x y x y x +--+⋅=+=-+==--------------15分 ②当00y =时，易知上述结论也成立。

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2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷（理科）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．方程组21
32x y x y -=⎧⎨
+=-⎩
的增广矩阵是__________________.
2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.
3．若θ为第四象限角，且4
sin 25
πθ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. 4．若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点与双曲线
22
1610
x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .
5．函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的
部分图像如右图所示，则()f x = _________.
6．若(1,2)n =-
是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________.
(结果用反三角函数值表示)
7．不等式
21
20
02103
2
1
x x +-≥的解为 . 8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)
9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.
10．已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim
1
=+∞→n
n n S S ，则公比q 的取值范围是 .
11. 若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i == 且10(1,2,3)i i a a i +⋅==
,则1234a a a a +++ 可能的值有
____________个.
12．在ABC ∆中，0
60A ∠= ，M 是AB
的中点，若2,AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则
DB DM ⋅
的最小值为____________.
13
．函数{}
()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a b
a b b a b
≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =
的图
像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.
14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照
0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去，
那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是（）
(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 8
12n P -
16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“0
90C ∠=”的（）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
17．若函数21()ax f x x
-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（）
(A)0a ≥
(B)0a >
(C)0a ≤
(D) 0a <
18．对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”
'''',,,P Q R S （）
(A) 一定共线 (B) 一定共圆
(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)
已知集合3
{|0}4
x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆，求a 的取值范围.
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =2
1
log 1
x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；
(2)求)(x f 的反函数)(1x f -，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中
ABC α∠=(3
4
παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，
后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)
(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，
求证：40cot
602
OE α
=+(cm)；
(2)当α=56
π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F
，点(1,
)2
-在椭圆C 上，点T
满足2OT OF =
（其中O 为坐标原点）
，过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 . (1)求椭圆C 的方程；
(2)求PQT ∆面积的最大值；
(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q ' 与QT
的位置关系，并说明理由.
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<. (1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确； (3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.。

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科