第六章 不完全信息静态博弈与动态博弈的基本理论

第六章不完全信息静态博弈与动态博弈的基本理论第一节不完全信息静态博弈的基本理论一．不完全信息博弈1．回顾：本课2－4章介绍的均为完全信息博弈。

如何区分完全信息与不完全信息？如何区分完美信息与不完美信息？2．不完全信息博弈又称之为贝叶斯博弈（B ayesian game），在这里，博弈参与人的支付函数不再是博弈的公共知识，至少有一个参与人对另一个参与人的支付函数的了解是不确定的，即该参与人不了解另一个参与人究竟属于何种类型的参与人。

例举生活中不完全信息博弈的情形。

不完全信息博弈包括两种类型：不完全信息静态博弈（又称静态贝叶斯博弈，static B ayesian game）与不完全信息动态博弈(又称动态贝叶斯博弈，dynamic B ayesian game)。

激励机制设计中大量地涉及不完全信息博弈，通过巧妙的机制设计让私人信息拥有者报告自己的真实信息是机制设计的核心任务之一。

二．不完全信息静态博弈的刻画1．例子例一：不完全信息饮酒博弈一个南方人和一个北方大汉在宴会相遇，这个北方大汉酒量大是众所周知的，而这个南方人是否酒量大，只有南方人自己清楚；北方大汉只知道这个南方人有p的概率酒量大，1－p的概率酒量小，这一点也是博弈的公共知识。

具体情形如下：图1：南方人酒量大南方人喝不喝北方人喝不喝图2：南方人酒量小南方人喝不喝北方人喝不喝问题：（1）南方人是否喝？（2）北方大汉是否喝？如果北方人喝，期望支付为多少？北方人不喝，期望支付是多少？例二：不完全信息古诺竞争模型（1）假设该市场上只有两家生产同一产品的企业1和2；市场均衡价格由下式决定： ()P Q a Q =-，其中12Q q q =+，1q 、2q 分别代表企业1和2提供的产量；企业1的生产成本为：111()C q cq =，这一点是博弈双方的公共知识；企业1对企业2的成本函数是不确定的，即企业2的成本函数是企业2的私人信息，企业1只知道企业2的成本函数有θ的概率为：222()h C q c q =，有1－θ的概率为222()l C q c q =，其中h l c c >，这一点也是博弈的公共知识。

两家企业同时选择自己的产量以最大化自己的利润。

问题：请问两家企业应该如何确定自己的利润最大化产量。

（2）模型分析A ．求解企业2的产量选择显然，不同成本类型的企业会选择不同的产量水平，即企业的产量选择是与成本挂钩的，于是企业2的产量选择有两种情形：2()h q c 与2()l q c 。

当企业2属于h c 类型时，2*212max ()q h q a q q c π=---当企业2属于l c 类型时，2*212max ()q l q a q q c π=---由上述两个规划问题的一阶条件，有：*2()h q c ＝*12h a q c --；*2()l q c ＝*12l a q c --B ．求解企业1的产量选择1*121max (())q h a q q c q θ--＋（1－θ）*1211(())l a q q c q cq ---（思考：为什么这么写？）由上式的一阶条件，有：***221(())(1)(())2h l a q c c a q c c q θθ--+---=C ．联立三个一阶条件生成的方程组，可以得*221()()36h h h l a c c q c c c θ-+-=+-； *22()()36l l h l a c c q c c c θ-+=-- *12(1)3h l a c c c q θθ-++-=（3）将上述结果与完全信息条件下的结果进行比较，h c 与l c 型企业在哪一种情形生产得更多？为什么？（导致这一局面的根本原因不仅在于企业的产量要受自己成本水平的影响，更在于双方的信息不对称）这个例子有意思的地方在于：如果企业2是一家低成本企业，其信息优势地位反而会使自己吃亏。

所以，在博弈时并不见得知道得越多、掌握的信息越多就一定越好（生活中还有大量的这种情形，为什么会这样？根源恰好在于信息劣势方追求期望支付最大化）。

（4）不完全信息静态博弈的其他经典案例:密封第一价格拍卖；密封双边拍卖。

（5）来自不完全信息古诺竞争模型的启示尽管在不完全信息静态博弈中，参与人的行动集与完全信息静态博弈时相同，但是与完全信息静态博弈相比，现在有了两个明显的变化：一是企业2的类型可能是两者之一，从而使得它的支付函数也可能是两者之一；二是企业1必须对企业属于何种类型进行推断。

2. 类型（type ）、信念（blief ）（1）类型：博弈论用“类型”表示每个参与人在博弈中可能具有的支付函数情形。

以i T 表示i 的类型集，记i i t T ∈表示i 的一个可能的类型，所以，i t 对应着参与人i 可能具有的一种支付函数，记1(i t t -=…1i t -，1i t +…)n t 为其他参与人的类型组合。

思考：写出上述不完全信息古诺竞争中两个参与人的类型集以及支付函数。

由上可知，参与人知道自己的支付函数就等价于他知道自己的类型。

（2）信念： 即概率分布，以(i i p t -∣)i t 表示i 在已知i t 的其他条件下对其他参与人的类型i t -的信念，即对其他参与人属于何种类型进行推断。

一般来说，参与人之间的类型是相互独立的，所以，i 对i t -的信念可以记为()i i p t -（中国的文化大革命期间就曾认为人与人之间的类型不独立，如：老子英雄儿好汉，老子狗熊儿混蛋；中国传统文化也认为“龙生龙，凤生凤”）。

附：B ayes’ rule(贝叶斯法则)：即条件概率的计算公示，(,)()()P A B p A B P B =3.不完全信息静态博弈的标准型表示（1）回顾：如何用标准型表示完全信息静态博弈？G ＝{1S …i S …n S ；1U …i U …n U }。

其中，i S 可能是有限的，也可能是无限的，记i i s S ∈为i 的一个具体策略；i U 的一般形式为：1(i U s …2s …)n s 。

由于在完全信息静态博弈中策略集与行动集是相同的，所以完全信息静态博弈又可以表示为如下：G ＝{1A …i A …n A ；1U …i U …n U }，其中，i A 为i 的行动集，记i i a A ∈为i 的一个具体行动；i U 的一般形式为：1(i U a …2a …)n a 。

由上述刻画可以看出完全信息静态博弈的时间路径（或扩展路径）为：首先，所有参与人同时从自己的行动集中选择自己的行动；然后，所有参与人的行动选择共同决定了每个参与人的支付1(i U a …2a …)n a 。

（2）不完全信息静态博弈的标准型表示n 人不完全信息静态博弈可以用标准型表示为G ＝{1A …i A …n A ；1T …i T …n T ；1p …i p …n p ；1U …i U …n U }，其中，i A 为i 的行动集，i T 为i 的类型集，i p ＝(i i p t -∣)i t 表示i 给定自己的类型为i t 的条件下对其他所有参与人的类型的信念，i U ＝1(i U a …i a …;)n i a t 表示参与人i 的类型是私人信息情形下的支付函数。

思考：为什么这里的标准型表示没有写出参与人的策略集？与第一章讲的标准型表示相比，这里真正的差异在哪里？注：（1）“类型”这个概念的实际表达作用其实非常大，大到同一个参与人在不同情形下有不同的行动集也可以用类型集来表示，只要略作数学技巧上的处理即可。

（2）参与人的支付函数可能也依赖于其他参与人的类型，如果出现这种情况，这意味着什么？（3）不完全信息静态博弈的扩展型表示与Harsanyi （1967）转换首先，自然按照某一先验概率分布选择参与人的类型；然后，参与人只能观测到自然对自己类型的选择，而不能观测到自然对其他参与人的类型选择，他只知道其他参与人的类型是以某个概率分布被选择的；再次，参与人同时选择自己的行动；最后，所有参与人的行动选择连同自然的选择共同决定了参与人的支付。

注：这个定义主要是针对每个参与人的类型均是自己的私人信息这种情形的。

参与人对其他参与人属于何种类型的推断是利用贝叶斯法则从先验概率分布中推断出来的。

例子：假设企业的产量选择只有两种情形：高产量与低产量，请画出例二（不完全信息古诺竞争模型）的扩展型简图。

从简图可以看出：Harsanyi 转换的核心就是将不完全信息静态博弈转换为完全但不完美信息动态博弈（Harsanyi 转换中的信息不完美是如何体现出来的？Harsanyi 将不完全信息静态博弈转换为完全但不完美信息动态博弈的关键步骤是什么？在这里，完全信息又是如何体现出来的？）。

Harsanyi 转换使得不完全信息静态博弈变得可以求解。

三．不完全信息静态博弈的求解1． 策略（1）回顾什么是策略？（2）依据对策略的理解，在不完全信息静态博弈中，参与人i 的策略被定义为函数:i i i s t a →，记为()i i s t （思考：这是什么意思？）。

所以，集合i T 与i A 之间所有可能的函数形式被构成了参与人i 的策略集i S 。

特别注意：一个策略就是一个函数形式，不要以为策略是某函数的一个取值。

思考：写出不完全信息古诺竞争模型中企业1和企业2的策略形式。

（3）分离策略（separating strategy ）与混同策略（pooling strategy ）:前者是指每种不同的类型选择不同的行动；后者是指所有类型或某些类型选择相同的行动。

这两个概念在不完全信息动态博弈中更加重要。

一旦均衡时参与人选择了分离策略，人们就能够从策略的使用区分参与人的类型。

（4）一个进一步的疑问：我明明已经知道了我的类型，为什么我在制定策略时还要考虑一旦其他类型出现时我将采取的行动？或者说，为什么我还要针对其他明明不会出现的类型规定好自己的行动选择？之所以需要这样，关键是因为对手们并不知道参与人i 究竟属于何种类型，而在博弈时参与人i 必须考虑对手们将会如何行动，而对手们将如何行动又取决于这些对手们认为参与人i 在每种类型下将如何行动。

由此，参与人i 即便已经知道了自己的类型，他依然需要考虑在其他情形下如何行动。

这一点从不完全信息古诺竞争模型的反应函数中看得非常清楚：企业1的反应函数告诉我们，企业1的产量选择必须考虑企业2在不同类型下的产量选择。

而企业1的产量选择又影响企业2的产量选择，于是，企业2即便已经知道自己属于何种类型，他也必须考虑在不同类型下的产量选择，这就意味着企业2的产量选择计划必须考虑所有的可能类型，否则，企业2无法确定自己的最优反应产量。

即企业2之所以要考虑自己所有可能的类型，根源在于对手并不清楚企业2属于何种类型以及双方的决策必须考虑对手的反应。