江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二4月线上测试数学(理)试题 Word版含答案
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|A y y y N ==∈，()(){}2|log 12B x y x x ==+-，则A B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}2|0x x ≤≤C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】对于集合A ，先求出定义域，再求出y =y N ∈，得到集合A ；对于集合B ，令真数大于0，求出x 得范围，然后求集合A 和集合B 的交集即可. 【详解】对于集合A ，令240x -≥，解得22x -≤≤，所以2044x ≤-≤，所以02y ≤=≤， 又因为y N ∈，所以{}0,1,2A =；对于集合B ，()()120x x +->，解得12x -<<， 所以{}|12B x x =-<<， 故{}0,1A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查求解函数的定义域和值域，以及集合的基本运算，注意求解值域时要优先求解函数的定义域，属于基础题.2．“23k παπ=+”是“sin α=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由23k παπ=+可得sin α=；反之，sin α=，不一定得23k παπ=+，再结合充分必要条件的判定可得答案. 【详解】当23k παπ=+，k Z ∈时，sin α=成立，当sin α=时，23k παπ=+或223k παπ=+，k Z ∈，所以sin 2α=时，不一定有23k παπ=+，k Z ∈，所以“23k παπ=+”是“sin α=”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判定，属于基础题. 3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】 由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且22a b ==r r ，则a b +=r r （ ）A ．3BC ．7D【答案】D【解析】由()22a b a b +=+r r r r 展开计算得到2a b +r r 的值，从而得到答案.【详解】由题意，平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ， 所以()22222a b a ba ab b +=+=+⋅+r r r r r r r r222221cos173π=+⨯⨯⨯+=，所以a b +=r r.故选：D 【点睛】本题主要考查求向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.5．在ABC ∆中，若4a =，3c =，ABC S ∆=cos2B =（ ）A ．3B ．3C ．13D ．23【答案】C【解析】由三角形面积公式求得sin B ，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由三角形面积公式，1sin 2ABC S ac B ∆==sin B =， 由二倍角的余弦公式，2cos 212sin B B =-，解得1cos 23B =. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和二倍角的余弦公式，属于基础题.6．已知函数()()xf x x m e =+，m R ∈，若函数()f x 的极值点为1x =，则关于x 的不等式()24f x x <-的解集为（ ） A ．{}|ln 22x x << B ．{}2|0x x ≤≤ C ．{}|02x x <<D ．{}|0ln 2x x <<【答案】A【解析】由函数()f x 的极值点为1x =，求导解出2m =-，再将()24f x x <-变形整理得()()220xx e --<，解不等式即可.【详解】由题意，求导得()()()1xxxf x e x m e x m e '=++=++，当1x =时，()f x 取极值，所以()()11110f m e '=++=，解得2m =-，所以()()2xf x x e =-，所以()24f x x <-即()()222xx e x -<-，移项整理得，()()220xx e --<，解得ln 22x <<.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式求解，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.7．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．8 B ．9C ．6D ．7【答案】B【解析】利用已知条件得到211y x +=，再化简()212x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得2x y +的最小值，然后再利用恒成立，得到m 的最大值. 【详解】由2x y xy +=可得211y x+=，()21222255549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x yy x=时，等号成立， 所以2x y +的最小值为9，又因为2x y m +≥恒成立，所以9m ≤， 即m 的最大值为9. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题和不等式的恒成立问题，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.8．如图，函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上一个周期内的A ，B 两点，满足()()()01A B f x f x m m =-=<<.若2A B x x π-=，要得到函数()f x 的图象，则需将函数sin y x ω=的图象（ ）A ．向左移动3π个单位 B ．向右移动3π个单位 C ．向左移动6π个单位 D ．向右移动6π个单位 【答案】C【解析】利用()()A B f x f x =-和诱导公式构建等式关系，得到A x 和B x 的关系，再利用2A B x x π-=，解出ω，最后由三角函数图象的变换规律得到结果.【详解】由()()A B f x f x =-和()sin sin παα+=-， 得sin sin sin 333AA B x x x πππωωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以33A B x x ππωπω++=+，得()B A x x ωπ-=，由图象B A x x >，所以2B A x x π-=，解得2ω=，所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故需要将sin 2y x =向左移动6π个单位得到得到函数()f x 的图象.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移x 的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.9．已知函数12log (1),0()21,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩，若3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2骣琪-琪桫 B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+?【答案】C【解析】根据函数()f x 的单调性，当0a ≥时，不等式恒成立；当10a -<<时，构造函数3()()2g a f a f a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减，302a +>恒成立，323212a f a +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若[)0,a ∈+∞，显然3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立；若()1,0a ∈-，由函数()f x 的单调性，可知函数32123()()21log (1)2a g a f a f a a +⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭在()1,0-上单调递增，又12111()(1)()21log 0222g f f -=--=--=，即1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3()()02g a f a f a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭.综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算能力，属10．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的取值为（ ） A ．14 B ．74C ．14或74D ．1或74【答案】C【解析】由函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，解出3124k ω=+，再结合()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求得ω的范围，对选项检验即可.【详解】由题意，函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以sin 062233f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即236k πππω⋅-=，k Z ∈， 解得，3124k ω=+，k Z ∈， 又因为()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以4422Tπππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭,2T πω=， 解得，02ω<≤， 所以k 可以取0或1，即14ω=或74ω=.故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，利用好正弦函数的对称中心、单调区间和周期的关系式解题的关键，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，记集合(){}|sin ,121,i M x x a i n i N +==≤≤+∈，且()0,n a π∈，若集合M 中有1n +个元素，则21n S +=（ ）A ．n πB ．2n πC ．12n π+ D ．212n π+ 【答案】D【解析】由题意，()sin i x a =，集合M 中有1n +个元素，可以得到()sin i x a =有n 项重复，数列{}n a 关于2x π=对称，所以()1sin 1n a +=，解出1n a +，再由等差数列前n 项和公式求解21n S +即可. 【详解】由题意，121i n ≤≤+，i N +∈，所以()sin i x a =共有21n +项， 因为集合M 中有1n +个元素，所以()sin i x a =有n 项重复，{}n a 关于2x π=对称，由()0,n a π∈和()sin sin απα=-，所以()()121sin sin n a a +=，()()22sin sin n a a =，⋅⋅⋅ ，()()2sin sin n n a a +=， 所以()1sin 1n a +=，即12n a π+=，所以()()()1211212122121222n n n a a n a n n S π+++++++===.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质、等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12．已知函数()()()()2100xx x e ax x f x e x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若不等式()()f x f x +-≤立，则a 的取值范围为（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B．⎛ ⎝ C．⎫+∞⎪⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】令()()()g x f x f x =+-，则()g x 是偶函数，所以考虑0x >的情况即可，由()()f x f x +-≤0x >时()g x 的解析式并分离参数，构造新的函数()h x ，利用导数求得()h x 的最大值即可. 【详解】令()()()g x f x f x =+-，()()()()g x f x f x g x -=-+=， 所以()g x 是偶函数，()()002(0)20102g f e a -⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦成立，所以考虑0x >的情况即可，当0x >时，()()()()212xx x g x f x f x x eax e xe ax ---=+-=--+=-，()()f x f x +-≤2xxeax --≤恒成立，分离参数，即2xea -≤恒成立， 令()2xh x e-=0x >， 则()2xh x e-'=-，0x >，()0h x '=，即20x e --=，解得12x =， ()0h x '<，解得12x >，所以()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()0h x '>，解得102x <<，所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在12x =处取得极大值即最大值，12112122h e -⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 又因为()2xh x e a -=≤恒成立，所以a ≥故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用导数求最值，考查学生构造函数和分离参数的应用，同时还考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.二、填空题13．等比数列{}n a 中，3S 21=，232a a =则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】n 132-⨯【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，用首项和公比q 表示出已知条件，计算即可求解． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，3S 21=Q ，232a a =，()21a 1q q 21∴++=，2q =，解得1a 3=．数列{}n a 的通项公式n 1n a 32-=⨯．故答案为：n 132-⨯． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，()0f ()'0f =，且则曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为______.【答案】y =+【解析】由()()20f x f x -+=得到()f x 的对称中心，再根据()f x 是偶函数，求出()2f -，对()()20f x f x -+=两边求导，得到()f x ¢的对称轴，再根据()f x ¢是奇函数，得到()'2f -，最后求出切线方程即可. 【详解】因为()()20f x f x -+=，所以()f x 关于()1,0中心对称， 又()f x 是偶函数，所以()f x 关于()1,0-中心对称，所以()2f -=，对()()20f x f x -+=两边求导，得()()20f x f x ''--+=， 所以()f x ¢关于1x =对称，又()f x 是偶函数，所以()f x ¢是奇函数，所以()f x ¢关于1x =-对称，因为()0f '=，所以()2f '-=所以()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为：()(2)(2)2y f f x '--=-+，即()332y x +=+，所以切线方程为：33y x =+.故答案为：33y x =+【点睛】本题主要考查函数和导函数的奇偶性和对称性以及利用导数求函数的切线方程，考查学生的转化分析能力，属于中档题.15．在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，2BC CD ==，则四边形ABCD的对角线AC 的最大值为______. 【答案】31+【解析】求解出BD 为定长，又60A ∠=︒，所以点A 在以BD 为弦的圆上运动，建立直角坐标系，利用数形结合找到对角线AC 最大值时点A 的位置，再求解即可. 【详解】根据题意，90C ∠=︒，2BC CD ==，所以2BD =，由于60A ∠=︒，2BD =为定长，所以A 在以BD 为弦的圆上运动， 以点D 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系，画出图象如图所示， 则()2,0B ，()1,1C ，BD 中点()1,0E在ABD △中，由正弦定理232sin sin 602BD R A ===o，得33R =， 圆心O 在BD 的垂直平分线上，2222OE EB OB R +==，所以3OE =，即1,O ⎛ ⎝⎭， 延长CO 交圆O 于点A '，所以对角线AC 的最大值即A C '的长度，因为1CE =,OE =,OA '=所以11A C CE OE OA ''=++=+=，即四边形ABCD 的对角线AC 1.1 【点睛】本题主要考查正弦定理求外接圆半径，直线与圆的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于难题.16．已知ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，2PB PC +=u u u r u u u r，AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，那么2λμ+的取值范围为______.【答案】3322⎡⎢⎣⎦【解析】利用余弦定理解出ABC ∆是等腰直角三角形，由向量的坐标形式表示出2PB PC +=u u u r u u u r ，得到点P 的轨迹，再由向量的坐标形式表示出AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，最后由线性规划求解2λμ+的范围即可. 【详解】根据题意，在ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，由余弦定理，222222cos 2224AB BC AC BC AC ACB π=+-⋅∠=+-⨯以点A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，)B，(C ，设点(),P x y ，),PB x y =--u u u r ，()PC x y =-u u u r ，(),AP x y =u u u r，(AC =u u u r ，)AB =u u u r，所以)22PB PC x y +=u u u r u u u r ，)AB AC λμ+=u u u r u u u r ，由2PB PC +=u u u r u u u r，得()()2222222x y-+-=，整理得，2222122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点P 的轨迹在以点22,22O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径1R =的圆上， 由AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得()(),2,2x y λμ=，所以22x λ=，22y μ=，所以2222x y λμ+=+， 在点M 时，2λμ+取得最大值，在点N 时，2λμ+取得最小值， 此时圆心O 到2222x y λμ+=+的距离为半径R ， 由点到直线的距离公式，()()22222222221222λμ⨯+⨯-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得31022λμ+=±，所以3103102,2222λμ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：31031022⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查了余弦定理、向量的表示、向量模长的计算、点到直线的距离公式和线性规划的应用，考查学生的分析转化能力、数形结合能力和计算能力，是一道综合性很强的题目，属于难题.三、解答题17．已知m R ∈，设命题p ：(]1,7x ∈-，方程()22log 12x m m +=-存在实数解；命题q ：不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈恒成立. （1）若p 为真命题，则m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 取值范围. 【答案】（1）13m -≤≤（2）532m <≤或1m <- 【解析】（1）在命题p 中，由x 的范围求解出()2log 1x +的范围，根据命题p 是真命题，求解关于m 的一元二次不等式即可；（2）利用恒成立分离参数得到411222x xx xm +≤=+，构造函数()1g t t t =+，[]2,4t ∈，利用单调性求得()g t 的最小值，从而得到m 的范围，再由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 、q 中必有一真一假，分情况讨论，得到最后的答案. 【详解】（1）因为17x -<≤，所以018x <+≤，则()2log 13x +≤， 由已知条件可得223m m -≤，解得13m -≤≤， 故p 为真命题时，13m -≤≤.（2）因为不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈，则411222x x x xm +≤=+，令2xt =，[]2,4t ∈， 则1m t t≤+，[]2,4t ∈，令()1g t t t=+，可知()g t 在[]2,4上为增函数，()()min 152222g t g ==+=. 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题， 则p 、q 中必有一真一假， 若p 为真命题，q 为假命题时，则532m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题时，则1m <-，综上所述532m <≤或1m <-. 【点睛】本题主要考查对数不等式求解、一元二次不等式求解、恒成立问题和命题的概念，注意分离参数和构造函数的应用，是考试中常出现的问题，还考查学生的分析转化能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy ，O 为坐标原点，()1,0A -，()()()cos ,sin 0,B θθθπ∈，(Q ，C 为平面内一点，且满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设四边形OACB 的面积为S .（1）若OQ OC ⊥，求θ的值；（2）记()f OA OC S θ=⋅+u u u r u u u r，求()f q 的取值范围.【答案】（1）23πθ=（2）()(1f θ⎤∈⎦【解析】（1）由已知条件求出OC u u u r，再由OQ OC ⊥，得到cos 10θθ-=，利用辅助角公式化简，求出θ即可；（2）根据向量关系得到四边形OACB 是平行四边形，并根据三角形面积公式求出S 的表达式，再求出OA OC ⋅u u u r u u u r，化简()f q ，根据角θ的范围求出()f q 的取值范围即可. 【详解】（1）由题，()1,0OA =-u u u r ，()cos ,sin OB θθ=u u u r，(OQ =u u u r ，由已知条件()cos 1,sin OC OA OB θθ=+=-u u u r u u u r u u u r，因为OQ OC ⊥，所以0OQ OC ⋅=u u u r u u u r，即cos 10θθ-=，由辅助角公式得，2sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为∵0θπ<<，∴7666πππθ<+<，所以566ππθ+=， 得23πθ=. （2）由（1）知，1cos OA OC θ⋅=-u u u r u u u r，由OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可知四边形OACB 为平行四边形，向量OA u u u r 和向量OB uuu r的夹角为πθ-，所以()()12sin sin sin 2S OA OB πθπθθ=⨯-=-⋅=u u ur u u u r .所以()1cos sin OA OC S f θθθ=⋅+=-+u u u r u u u r 14πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0θπ<<，∴3444πππθ-<-<， 当44ππθ-=-时，()0fθ=，当42ππθ-=时，()max 1fθ=即()(1f θ⎤∈⎦. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，辅助角公式和三角函数求值域，考查学生的分析转化能力，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos a b c B +=. （1）求角C 的值；（2）若c =D 为线段AB 的中点，且满足cos 7ACD ∠=，求a ，b . 【答案】（1）23C π=（2）2a =，3b = 【解析】（1）22cos a b c B +=由正弦定理边化角得到2sin sin 2sin cos A B C B +=，在三角形中，利用()sin sin A B C =+，展开后化简求值即可；（2）在ACD ∆中利用用正弦定理表示出sin b AD ADC =∠，同理在BCD ∆中利用正弦定理表示出sin a BDC =∠，根据sin sin ADC BDC ∠=∠，AD BD =，求出求a 和b 的关系，在ABC ∆中，根据余弦定理求解即可.【详解】（1）因为22cos a b c B +=，在三角形ABC ∆中由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B +=， 又因为∵A B C π++=，∴()A B C π=-+， 得()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=， ∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-.又因为()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵cos 7ACD ∠=，∴sin ACD ∠==7=， 在ACD ∆中由正弦定理得：sin sin AD b ACD ADC =∠∠即sin b ADC =∠，∵23BCD ACD π∠=-∠， ∴2cos cos 3BCD ACD π⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭1cos 2ACD ACD =-∠+∠，∴1cos 2BCD ∠=-=， 在BCD ∆中由正弦定理得：sin sin BD aBCD BDC=∠∠，即sin a BDC =∠， 又因为AD BD =，ADC BDC π∠+∠=，sin sin ADC BDC ∠=∠， 即32a b =.在ABC ∆中由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即22223322a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得2a =，3b =.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等比数列，且1123n n n a a -+-=.（1）求公比q 和1a 的值；（2）设数列()31log n n n b a a +=⋅，设121321n n n n n T b a b a b a b a --=++++L ，求n T .【答案】（1）11a =，3q =.（2）31nn T n =--【解析】（1）由等比数列通项公式展开1n a +和n a 并化简，求出公比q 和1a ；（2）先求出n b 的通项公式，利用错位相减求和求出n T 即可. 【详解】（1）设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 则()111111112223nn n n n n a a a q a q a q a q ---+-=-=-=，所以11213q a q a ==-⎧⎨⎩ ，解得11a =，3q =.（2）由（1）得，13-=n n a ，所以1211333n n n n n a a --+⋅==，所以()()21313log log 321n n n n b a a n -+===-，()()123133353233211n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，()()234111333532312133n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯， 两式相减得()()12342132333312133n n n n n T n ----=++++⋅⋅⋅++--⨯，()111132213231333n n n n T --⨯-=+⋅-+-，所以31nn T n =--.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用和错位相减求和，考查学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()()()121102x x a e a f x x ax -=---+≥. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x x =取得极小值，若()12f x e ≥-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)(]0,11,2a ∈U【解析】（1）对()f x 求导，求出()f x ¢的零点，对a 进行分类讨论，讨论每种情况下()f x 的单调性即可；（2）讨论a 三种情况下()f x 的极小值，1a =时，()f x 无极小值；01a ≤<时，()f x 的极小值122e ->-，所以成立；1a >时，()f x 的极小值1212a e a --+，构造函数()()12112x e x x x ϕ-=-+>，判断()x ϕ的单调性求出a 的范围即可.【详解】（1）由题意，()()()11x f x x a e-'=--.令()0f x ¢=解得1x a =，21x =，①当01a ≤<时，(),x a ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a -∞为增函数；(),1x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在(),1a 为减函数； ()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在()1,+?为增函数；②当1a =，x ∈R 时，()0f x ¢³，则()f x 在R 为增函数；③当1a >时，(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞为增函数；()1,x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在()1,a 为减函数；(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a +∞为增函数；综上所述：当01a ≤<时，()f x 在(),1a 为减函数，在(),a -∞和()1,+?为增函数；当1a =时，()f x 在R 为增函数；当1a >时，()f x 在()1,a 为减函数，在(),1-∞和(),a +∞为增函数； （2）由（1）可当1a =函数()f x 不存在极值点， 当01a ≤<时，可知函数()()1122f x f e ==->-极小值， 所以01a ≤<成立；当1a >时，可知函数()()12212a f x f a e a a -==--+极小值1212a e a -=-+， 令()()12112x ex x x ϕ-=-+>， 则()1x x ex ϕ-'=-+，()11x x e ϕ-''=-+，当1x >时，()0x ϕ''<，即()x ϕ'在()1,+?为减函数， 所以()()10x ϕϕ''<=，所以()x ϕ在()1,+?上为减函数，又因为()22e ϕ=-，所以()()22a e ϕϕ≥=-， 由()x ϕ在()1,+?上为减函数，得12a <≤.综上所述，当[)(]0,11,2a ∈U ，()12f x e ≥-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，还考查学生分类讨论的思想和分析转化能力，属于中档题. 22．设函数()22xx xef x e -=-.（1）求函数()f x 的极值点； （2）设函数()()12xg x f x e k =++有两个零点，求整数k 的最小值. 【答案】（1）()f x 的极大值点为0（2）2 【解析】（1）对()f x 求导，()()2212xxf x ex e -'=--，因为xe -恒大于0，所以()f x¢的正负等价于212x x e --的正负，构造新的函数，求导判断212x x e --的正负，从而求出()f x 的极值点；（2）将()g x 的零点问题转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-图像的交点问题，判断2322x x y xe e -=-的极大值的范围，构造关于2322xx y xe e -=-的极大值的函数，利用导数求得其范围，从而得到k 的范围，求出整数k 的最小值. 【详解】因为()()()2212212xx x x f x x ee e x e --'=--=--，令()21xh x x e =--，()2120xh x e '=--<，因为当x ∈R ，()2120xh x e'=--<，所以()h x 在R 上为减函数，因为()00h =，又因为()h x 在R 上为减函数.当(),0x ∈-∞，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在(),0-?为增函数，当()0,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在(),0-?为减函数，所以()f x 的极大值点为0. （2）()322xx g x xee k -=-+， 由题意函数()g x 有两个零点，可转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-的图像有两个交点， 令()322xx xex e ϕ-=-，则()()233212222x x x x x e e e x e x ϕ--⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，第 21 页 共 21 页 令()23222x x m x e =--，则()2230x x e m =--<'， 即()m x 在R 上为减函数，因为()1002m =>，()23102m e =-<， ()00,1x ∃∈，使得()00m x =，即02032202x x e --=，当()0,x x ∈-∞，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,x -∞为增函数， 当()0,x x ∈+∞，()0m x <，即()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,x +∞为减函数， ()()00002000332222x x x x x x e e e x e x ϕϕ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=极大值， 由02032202x x e --=得0203222x x e -=，所以0x e =， 代入得()()00042x x e x ϕ-=-= 事实上131022m e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13042m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即010,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令t =2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，201x t =-， 带入()()00042x x e x ϕ-=-=()12n t t t ⎫==-⎪⎭， 又因为()n t在区间,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，所以()()1n t ∈-，即()()01x ϕ∈-，所以k -<，即k >所以整数k 的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的综合应用、构造函数法判断函数的单调性和极值，函数的零点问题，考查学生的分析转化能力，属于难题.。
2019-2020学年 江西省南昌县莲塘第一中学 高一上学期月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高一上学期月考数学试题一、单选题 1．若2019α︒=，则点(tan ,cos )P αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据终边相同的角确定α终边所在象限，由三角函数的符号确定点所在的象限即可. 【详解】=53602019+219︒⨯︒︒Q ，∴2019α︒=的终边在第三象限，tan 0,cos 0αα∴><，∴点(tan ,cos )P αα位于第四象限，故选：D 【点睛】本题主要考查了终边相同的角，三角函数在各象限的符号，属于容易题. 2．若扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则该扇形的面积是（ ）2cm A ．40π B ．80πC ．40D ．80【答案】D【解析】根据扇形面积公式及角度制与弧度制的互化求解即可. 【详解】由扇形面积公式可知；221172208022180S r παπ==⨯⨯=，故选：D 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，角度制与弧度制的互化，属于容易题. 3．已知1sin cos 2αα+=-，则sin cos αα⋅=（ ）A ．38-B ．38±C ．34-D ．34±【答案】A【解析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的关系即可求解. 【详解】1sin cos 2αα+=-Q ，221(sin cos )()2αα∴+=-，即112sin cos 4αα+⋅=，3sin cos 8αα∴⋅=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题. 4．下列函数中，既是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的是（ ） A ．cos 2y x = B ．|sin |y x =C ．|sin 2|y x =D ．sin ||y x =【答案】B【解析】直接利用正余弦函数的单调性和奇偶性的性质依次判断． 【详解】 对于A ：在(0,)2π上的减函数，周期为π，是偶函数．故A 不对．对于B ：是偶函数，在(0,)2π上的增函数，sin x 加了绝对值，函数sin y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为π．故B 对．对于C ：sin 2x 加了绝对值，函数sin 2y x =图象x 轴下部分翻折到上面来，周期变为2π，是偶函数，在(0,)2π上不是增函数，故C 不对．对于D ：x 加了绝对值，函数sin y x =图象保留y 轴部分，再作关于y 对称的图象，不是周期函数，在 (0,)2π上是增函数，故D 不对．故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，涉及周期、单调性、奇偶性，图象的翻折、对称变换．比较基础．5．若角α的终边落在直线0x y +=cos α+的值等于（ ） A ．0 B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】A【解析】由角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，分类讨论，利用三角函数的定义，求得sin ,cos αα的值，代入即可求解． 【详解】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答中熟记三角函数的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 6．已知函数()5sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图像关于（ ）对称 A ．直线3x π=B ．直线4x π=C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭D ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】Q 函数()5sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=，()sin(2)3f x x π=+，令3x π=，则23x ππ+=，()0f x =，故函数的图象关于点(3π，0)对称，故D 满足条件， A 不满足条件；令4x π=，则5236x ππ+=，1()2f x =， 故函数的图象不关于直线4x π=对称，也不关于点(4π，0)对称，故B 、C 不满足条件，故选：D ． 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题． 7．已知tan1a =，tan2b =，tan3c =，则（ ）． A ．a b c ＜＜ B ．c b a ＜＜C ．b c a ＜＜D ．b a c ＜＜【答案】C【解析】根据角的范围，利用诱导公式和正切函数的单调性，即可判断,,a b c 的大小关系． 【详解】由题意可知tan11a =>，tan2tan(π2)0b ==--<，tan3tan(π3)0c ==--<． 再根据ππ2π302>->->，∴tan(π2)tan(π3)0--＞＞，∴tan(π2)tan(π3)0----＜＜．综上可得，0a c b ＞＞＞， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和正切函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．函数()()()sin 0,2f xx x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．3B ．12-C ．12D ．32【答案】A【解析】由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值. 【详解】由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象, 可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()12543sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.9．要得到函数3cos y x =的图像，只需将函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的（）A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 【答案】C【解析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出结果 【详解】 因为3cos 3sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以将函数3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移23π个单位长度，就可得到函数3cos y x =的图像. 故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图象的变换，注意伸缩变换时不变换初相．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(cos )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ> D ．(sin )(cos )f f αβ<【答案】D【解析】由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°,即0°＜α＜90°-β，从而有0＜sin α＜sin （90°-β）=cos β＜1，由f （x ）满足f （2-x ）=f （x ）函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ），可得f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2，因为函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断. 【详解】∵α，β是钝角三角形的两个锐角，可得0°＜α+β＜90°， 即0°＜α＜90°-β，∴0＜sin α＜sin （90°-β）=cos β＜1，∵f （x ）满足f （2-x ）=f （x ），∴函数关于x=1对称 ∵函数为偶函数，即f （-x ）=f （x ）， ∴f （2-x ）=f （x ），即函数的周期为2， ∴函数在在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增， 根据周期性可知在0，1]单调递增， ∴f （sin α）＜f （cos β） 故选D.点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f （2-x ）=f （x ），偶函数满足的f （-x ）=f （x ），可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°，即0°＜α＜90°-β．本题是综合性较好的试题． 【考点】偶函数；函数单调性的性质． 11．函数()||sin f x x x =-在R 上零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．作出函数的图象可得答案． 【详解】由()||sin 0f x x x =-=，得||sin x x = 作出sin ,||y x y x ==的图象；由图象可知sin ,||y x y x ==的图象只有一个交点(0,0)， 所以()||sin f x x x =-在R 上零点只有1个，故选：B 【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．已知函数()252sin ,3036{log ,0x x f x x x ππ⎛⎫+-≤≤ ⎪=⎝⎭>，若方程()f x a =有四个不同解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．71,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．71,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】试题分析：作()f x 的图象，易知1x =-是52sin()36x y ππ=+图象的一个对称轴，最大值为2，所以122x x +=-，又2324log log x x =，则2324log log x x -=，所以341x x =，31142x <≤，()3122341x x x x x ++3312x x =-+．显然3312y x x =-+是减函数，因此当31142x <≤时，3317122x x ≤-+<．故选A ．【考点】函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程．在解决与方程根有关问题，常常把方程的根转化为函数图象交点（特别是一个函数的图象与一条直线的交点），在方程含有参数时，利用它们相交的情况可以确定交点个数即方程根的个数，在方程不含参数（象本题）要讨论根的范围时，由图象可以很快估计出其中根的范围，根的关系，如122x x +=-，341x x =，31142x <≤等等，从而有助于问题的解决．二、填空题13．232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭_______. 【答案】0【解析】先利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】232313sin cos tan(2019)cos 673ππππ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭2sin(4)cos(2)tan2019cos(4)673ππππππππ=-++++-+sin0cos63ππ=+-11022=+- 0=故答案为：0 【点睛】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 14．函数()13tan f x x =-的单调递减区间为______.【答案】(,)()26k k k Z ππππ-+∈【解析】先求出函数的定义域，再根据正切函数的单调性即可求解.【详解】()f x =Q∴10x ≥,解得26k x k ππππ-<≤+，k Z ∈,当(,)()26x k k k Z ππππ∈-+∈时， 3tan y x =是增函数，y ∴=即()f x =(,)()26k k k Z ππππ-+∈，故答案为：(,)()26k k k Z ππππ-+∈【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，单调性，属于中档题. 15．已知函数3cos 1()cos 2x f x x +=+，,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为_____.【答案】4[1,]3【解析】函数式变形为5()3cos 2f x x =-+，再根据余弦函数的图象和性质及不等式的性质求解即可. 【详解】3cos 13(cos +25()3cos 2cos +2cos +2x x f x x x x +===-+)-5, 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos 12x ≤≤，5523cos +2x ∴≤≤， 54()3[1,]cos 23f x x ∴=-∈+，故答案为：4[1,]3【点睛】本题主要考查了余弦函数的图像和性质，不等式的性质，分式的化简变形，属于中档题. 16．以下说法中，正确的是_____.（填上所有正确说法的序号）：①已知角α终边上一点(4,3)P -，则3sin tan 20αα+=； ②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是π；③把函数cos 23yx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos 2y x =的图象；④数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；⑤函数sin 23y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数m 的取值范图是22⎡-⎢⎣⎦. 【答案】③④【解析】①由角的三角函数定义求解，判断即可；②由函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知最小正周期；③由函数图象的平移变换即可判断；④计算12232πππ⨯+=，可判断函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；⑤计算函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域即可. 【详解】①已知角α终边上一点(4,3)P -，则33sin ,tan 54αα==-,所以3sin tan 20αα+=-，故错误；②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的翻折到x 轴上方，最小正周期是2π，错误； ③把函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到cos[2()]cos 263y x x ππ=-+=的图象，正确；④令12x π=，21232πππ⨯+=Q ，tan 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，正确；⑤Q0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42[,]333x πππ∴+∈，∴函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m的取值范图是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误. 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，周期性，对称性，值域，平移变换，属于中档题.三、解答题17．已知11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）化简()f α；（2）若()f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】（1）()sin cos f ααα=+（2）-【解析】（1）利用诱导公式化简即可求出（2）根据同角三角函数关系求解. 【详解】（1）11sin(2)cos()cos cos 22()cos(2)37sin()cos sin 22f πππαπααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin (sin )cos sin (sin )cos αααααααα-=+-sin cos αα=+（2）()f α=，即sin cos αα+=两边平方得：112sin cos 5αα+⋅=， 所以2sin cos 5αα⋅=-，11sin cos 555()sin cos sin cos 522αααααα+∴+==⨯-=-【点睛】本题主要考查了三角函数值的化简和求值，利用诱导公式及同角三角函数的关系是解决本题的关键.18．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（1）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的区间上的简图； （2）求()f x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值和相应的x 的值. 【答案】（1）见解析（2）1，12-【解析】（1）利用列表、描点、连线法画出()f x 在一个周期上的图象； （2）利用正弦函数的性质求出()f x 在[12x π∈，]2π上的最大、最小值；【详解】 （1）列表如下：26x π+2ππ32π 2πx12π-6π 512π 23π 1112π()f x11-画出函数()f x 在[12π，]2π上的图象如图所示；（2）由()sin(2)6f x x π=+知，因为122xππ剟，所以72366x πππ+剟， 当262x ππ+=，即6x π=时，sin(2)6x π+最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；当7266x ππ+=，即2x π=时，sin(2)6x π+最小值等于12-，即()f x 的最小值等于12-；所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为12-； 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题． 19．已知函数()sin()(,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+><的一段图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间. 【答案】（1）()2sin()66f x x ππ=+（2）(2,4)π--和(2,2)π【解析】（1）首先，确定振幅A ，然后，根据周期公式确定2ωπ=，最后，利用特殊点，确定ϕ的值，即可得解函数解析式（2）利用正弦函数的单调性即可得解． 【详解】（1）由题意得：2A =，12T=，∴26T ππω==， 可得：()2sin()6f x x πϕ=+．由图象可知()2sin()6f x x πϕ=+经过点(2,2)，所以2sin(2)26πϕ⨯+=即sin()13πϕ+=，所以232k ππϕπ+=+，且||ϕπ<，所以6π=ϕ 故函数()f x 的解析式为：()2sin()66f x x ππ=+． （2）由图可知()2sin()6f x x πϕ=+的单调减区间为：[212k +，812]()k k Z +∈利用数轴可知函数()f x 在(2,2)ππ-上的单调递减区间：(2,4)π--和(2,2)π． 【点睛】本题重点考查了由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，属于中档题．解题关键是准确理解所给图象的信息．20．已知函数2()12cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a ，a R ∈， （1）求()g a 的表达式； （2）若1()2g a =-，求a 及此时()f x 的最大值. 【答案】（1）21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪=----⎨⎪->⎪⎩剟（2）1,5- 【解析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a小于1-时②2a 大于1-而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出()f x 的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入()f x 中得到()f x 的解析式，利用配方可得()f x 的最大值．【详解】（1）2()122cos 2(1cos )f x a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )2122a a x a =----．若12a<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值g （a ）222(1)21122a a a =-----=；若112a -剟，即22a -剟，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值g （a ）2212aa =---；若12a>，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值g （a ）222(1)211422a a a a =----=-．21(2)()21(22)214(2).a ag a a a aa <-⎧⎪⎪∴=----⎨⎪->⎪⎩剟（2）若g （a ）12=，由所求g （a ）的解析式知只能是212122a a ---=或1142a -=．由222112122a a a a -⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩剟或3a =-（舍)． 由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩（舍)．此时211()2(cos )22f x x =++，得()5max f x =． ∴若g （a ）12=，应1a =-，此时()f x 的最大值是5． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，属于难题．21．已知点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））是函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）002πωϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，＜＜图象上的任意两点，且角φ的终边经过点(1P ，，若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π． （1）求函数f （x ）的解析式； （2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，不等式mf （x ）+2m ≥f （x ）恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()233f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）252,183183k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，；（3）13m ≥ 【解析】（1）由ϕ角终边所过点求出tan ϕ，从而确定ϕ角，由|x 1﹣x 2|的最小值确定函数的周期，从而确定ω，得函数解析式；（2）由正弦函数的单调性可得f （x ）的单调递增区间； （3）先得出()f x 的范围，知()2f x +大于0，因此恒成立的不等式可用分离参数法变为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，因此只要求得()212f x -+的最大值即可得m 的取值范围．【详解】（1）角φ的终边经过点(1P ，，∴tan ϕ= ∵02πϕ-＜＜，∴3πϕ=-．由|f （x 1）﹣f （x 2）|＝4时，|x 1﹣x 2|的最小值为3π，得23T π=， 即223ππω=，∴ω＝3 ∴()233f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由232232k x k πππππ-+≤-≤+，可得252183183k k x ππππ-+≤≤+， ∴函数f （x ）的单调递增区间为252183183k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈z（3 ） 当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()1f x ≤≤，于是，2+f （x ）＞0，∴mf （x ）+2m ≥f （x ）等价于()()()2122f x m f x f x ≥=-++由()1f x ≤≤，得()()2f x f x +的最大值为13∴实数m 的取值范围是13m ≥． 【点睛】本题考查求三角函数解析式，求单调区间，考查不等式恒成立问题．三角函数求解析式一般要结合“五点法”求解，三角函数的性质一般结合正弦函数性质求解，本题中不等式恒成立可采用分离参数法把问题转化为求函数的最值． 22．设D 是函数()y f x =定义域的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点，已知()()12log 421x x f x a =+⋅-，[]0,1x ∈.（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点；（2）若函数()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）00x =；（2）(]0,1【解析】（1）由题意，当1a =时，可得()12()log 421x xf x x =+-=-，[]0,1x ∈，可解得函数()f x 的准不动点． （2）依()f x 在区间[]0,1上存在准不动点，可得4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根．通过分离变量，可转化为1212xxa -=--，令[]21,2x t =∈，只需求出11y t t=--在[]1,2上的值域，即可得112a -≤≤，最后根据4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，解得0a >，取交集得实数a 的最终范围． 【详解】（1）由题意，可得()12()log 421x x f x x =+-=-，即4212xx x +-=，41x ∴=，0x ∴=．故当1a =，函数()f x 的准不动点为00x =．（2）由题意知，()12()log 421x xf x a x =+⋅-=-即4212x x x a +⋅-=在[]0,1上有根，4212xxxa +⋅-=变形为1212xxa -=--，令[]21,2xt =∈，而11y t t=--在[]1,2上单调递增，所以112y -≤≤，即112a -≤-≤，所以112a -≤≤．又4210x x a +⋅->在[]0,1上恒成立，所以122xx a >-．令[]21,2x t =∈，而1y tt =-在[]1,2上单调递减，所以max 0y =，即有0a >， 综上，01a <≤，即实数a 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，新定义的理解，含参的不等式在闭区间上恒成立问题的解法，以及分离参数法的应用，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．。
江西省南昌县莲塘一中2019-2020学年度高二上学期期末文数学试卷+答案
江西省南昌县莲塘一中2019-2020学年上学期高二年级期末质量检测文科数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，仅有一个选项是正确的。
） 1、已知复数z 满足(34i)12i z -=+，则复数z 为( )A.12i 55-- B.12i 55-+ C.12i 55+ D.12i 55- 2、函数2y sinxcosx =的导数为( )A. =y cosx 'B. =2y sin x -'C. 22)=2(y sin x cos x -' D.=22y cos x '3、已知命题:p 若x y >则x y -<-；命题:q 若x y <则22x y >,①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④ 4、“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于π4”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、函数ln y x x =的单调递减区间是( )A.1(e ,)-+∞B.1(,e )--∞C.1(0,e )-D.(e,)+∞6、若函数43219(),(,R)42f x x ax x b a b =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A.[2,2]- B.]1,1[- C.(2,2)- D.[1,4]-7、下列命题正确的是( )A.“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B.对于命题:R p x ∃∈使得210x x +-<,则p ⌝:R x ∀∈均有210x x +-≥C.若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D.命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=则2x ≠8、曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝x －1上B.在直线y ＝x ＋1上C.在直线y ＝2x 上D.在直线y ＝－2x 上 9、若函数(x)y f =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称(x)y f =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( )A. sin y x =B. ln y x =C. e xy = D. 3y x =10、已知函数()ln (k R)f x x kx =-∈ ,若()f x 在定义域内不大于0,,则实数k 的取值范围为( )A.1[,)2e +∞B.1[,)e+∞C. )+∞D.)+∞ 11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有()()0xf x f x '-<成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是( ) A ．()(),20,2-∞-UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()2,00,2-UD ．()()2,02,-+∞U12、已知函数2()ln (2)f x x ax a x =+++ (0a >),()2x xg x e=+,对任意的0(0,2]x ∈,关于 x 的方程()()0f x g x =在(0,1]上有实数根,则实数a 的取值范围为( )(其中 2.71828...e =为自然对数的底数)A. 1(0,]eB. 1[,)e +∞C. 1(0,]2e D. 1[,)2e+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填写在横线上。
江西省南昌县莲塘第一中学2020_2021学年高二数学上学期期末检测试题文2021031302112
某某省某某县莲塘第一中学2020-2021学年高二数学上学期期末检测试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 43.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 35.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：8.已知函数，则的值为A. B. C. D.9.曲线在点处的切线与x轴、直线围成的三角形的面积为A. B. C. 1D.10.若函数在处的导数值等于其在处的函数值的2倍，则的值为A. 1B.C. 2D.11.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺12.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值X围是．15.若函数f(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2021)(x-2022)，则f′(2021)= ．16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设点P是曲线上的任意一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．求k的取值X围求当k取最小值时，曲线在点P处的切线方程．18.(本小题满分12分)如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，某某数a的取值X围；已知，若r是q的充分不必要条件，某某数k的取值X围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．21.定义椭圆的“蒙日圆”方程为已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求的面积．22.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面ADC；Ⅲ求三棱锥的体积．莲塘一中2020—2021学年上学期高二期末质量检测文科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.若直线a，b是异面直线，，则b与平面的位置关系是A. 平行B. 相交C.D. 平行或相交解：直线a，b是异面直线，，直线b不可能在平面内，b与平面的位置关系是平行或相交故选D．2.已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，给出命题“若，则”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为A. 0B. 2C. 3D. 4解：已知，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则或与相交，知原命题为假命题，逆否命题也为假命题，原命题的逆命题为，是两个不同的平面，直线m在平面内，若，则，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B．3.设命题P：N，，则为A. N，B. N，C. N，D. N，解：命题P：N，为特称命题，则命题的否定为：N，．故选：D．4.下列命题中正确的个数为平行于同一平面的两直线平行平行于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两平面垂直．A. 0B. 1C. 2D. 3解：对于，平行于同一平面的两直线可以相交、平行或异面，故错误对于，平行于同一平面的两个平面平行，故正确对于，由线面垂直的性质定理可知正确对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误．因此正确命题的个数为故选C．5.菱形ABCD在平面内，，则PA与对角线BD的位置关系是A. 平行B. 相交但不垂直C. 相交垂直D. 异面垂直解：菱形ABCD中，．又平面，，，又AC，平面PAC，平面PAC．又平面PAC，．显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．故选D．6.“”是“方程表示椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，则，即，且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．7.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为A. ：B. ：C. ：D. ：解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的侧面展开图是一个正方形，，这个圆柱的侧面积与表面积之比为：．故选：A．8.已知函数，则的值为A. B. C. D.解：因为，所以，所以．故选C．9.曲线在点处的切线与x轴、直线围成的三角形的面积为A. B. C. 1D.解：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为直线与x轴、直线的交点坐标分别为，，所以所求三角形的面积故选A．10.若函数在处的导数值等于其在处的函数值的2倍，则的值为A. 1B.C. 2D.解：因为，所以，解得，故选B．11.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为A. 9立方尺B. 18立方尺C. 36立方尺D. 72立方尺解：设圆锥底面半径为r，由题意，得，故选：C．12.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.解：由题意，由平面平面ABCD，，，底面ABCD矩形外接圆半径．四棱锥的高为：．球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即，，解得：四棱锥的外接球的表面积．故选：A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13.在正方体的12条棱中，与平面平行的有________条．解：如图，可知与平面平行的为棱与棱CD．故有两2条．故答案为2．14.已知，，“”是“”的必要条件，则实数a的取值X围是．解：，，是的必要条件，，即解得．实数a的取值X围为．故答案为．15.若函数f(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2021)(x-2022)，则f′(2021)= ．解：令g(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2022)，则f(x)=(x-2021)⋅g(x)，因为f′(x)=1∙g(x)+(x-2021)⋅g′(x)，所以f′(2021)=g(2021)=2×1×(-1)=-2．16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．解：设直线与曲线的切点为，与的切点为，故，且，消去得到，故或，故或故切线方程为或，所以或．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设点P是曲线上的任意一点，k是曲线在点P处的切线的斜率．求k的取值X围求当k取最小值时，曲线在点P处的切线方程．【答案】解：设，因为，所以k的取值X围为由知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为．18.(本小题满分12分)如图，在长方体中，，，点E在棱AB上．求异面直线与所成的角；若，求点B到面的距离．【答案】解：连接，在长方体中，由是正方形知D.平面，是在平面内的射影．根据三垂线定理得，则异面直线与所成的角为．过点D作于F，连，则，由已知，则，设点B到平面的距离为h，，，，即，解得．点B到面的距离为．19.命题，，命题，使得成立．若为真，为假，某某数a的取值X围；已知，若r是q的充分不必要条件，某某数k的取值X围．【答案】解：对任意，不等式恒成立，，解得，即p为真命题时，；存在：，使得成立，即成立，，即命题q为真时，；为真，为假，、q一真一假，当p真q假时，则，且，即，当p假q真时，则或，且，即，综上所述，实数a的取值X围为．若，r是q的充分不必要条件，则，所以实数k的取值X围．20.如图，在直三棱柱中，M，N，P，Q分别是，，AB，的中点．在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形状不必说明画法与理由；求证：平面MNQ．【答案】解：如右图所示：取的中点H，连接HQ，QN，NM，MH，则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面．证明：连接，．三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形．在矩形中：，N分别是，的中点，AB．平面，平面，平面．在中：，N分别是，的中点，．平面，平面，平面又，平面MNQ平面．是AB的中点，平面．故平面MNQ．21.定义椭圆的“蒙日圆”方程为已知抛物线的焦点是椭圆C的一个短轴端点，且椭圆C的离心率为．求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求的面积．【答案】解：抛物线的焦点为，则，又，且，所以，于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”E方程为．设直线：，，由可得：，令可得：，．“蒙日圆”E方程为，圆心为，半径，则圆心到直线的距离，，于是，．22.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，点E为AC的中点．将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示，F为线段CD上的点，且平面BEF．Ⅰ确定点F的位置并说明理由；Ⅱ求证：平面平面ADC；Ⅲ求三棱锥的体积．【答案】Ⅰ解：F为线段CD的中点，理由如下：平面BEF，平面ADC，平面平面，，为AC的中点，为CD的中点．Ⅱ证明：在原直角梯形ABCD 中，易得，又，，折起后不变，又平面平面ABC，其交线为AC，面ADC，而面BCD，故平面平面ADC．解：．。
2019-2020学年高二数学4月线上考试试题文
2019-2020学年高二数学4月线上考试试题文时间：90分钟分值：100分一、单选题（每小题4分，共36分）1．若则一定有（）A．B．C．D．2．“，”的否定是A．，B．，C．，D．，3．己知{an}是等差数列，且a3+a4=-4，a7+a8=-8，则这个数列的前10项和等于（）A．-16 B．-30 C．-32 D．-604．已知a∈R，则“a＜1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设是实数，且，则的最小值是（）A．6 B．C．D．86．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，，，，则（）A．2 B．5 C．2或5 D．3或57．若x，y满足则x + 2y的最大值为( )A．1 B．3C．5 D．98．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A．B．C．D．9．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共12分）10．已知函数，则______．11．已知两个正实数x、y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．12．已知抛物线的焦点为，，为抛物线上的动点，则的最小值为____________.三、解答题（17题12分，其余每题10分，共52分）13.已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.14．已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：. 15．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．16．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比．17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.2019-2020学年高二数学4月线上考试试题文时间：90分钟分值：100分一、单选题（每小题4分，共36分）1．若则一定有（）A．B．C．D．2．“，”的否定是A．，B．，C．，D．，3．己知{an}是等差数列，且a3+a4=-4，a7+a8=-8，则这个数列的前10项和等于（）A．-16 B．-30 C．-32 D．-604．已知a∈R，则“a＜1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设是实数，且，则的最小值是（）A．6 B．C．D．86．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，，，，则（）A．2 B．5 C．2或5 D．3或57．若x，y满足则x + 2y的最大值为( )A．1 B．3C．5 D．98．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A．B．C．D．9．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共12分）10．已知函数，则______．11．已知两个正实数x、y满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．12．已知抛物线的焦点为，，为抛物线上的动点，则的最小值为____________.三、解答题（17题12分，其余每题10分，共52分）13.已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.14．已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.15．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小：（2）若，．求的面积．16．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，且点在轴的上方，过作的垂线交于点，求与的面积之比．17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.。
2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌县莲塘第一中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题1．给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是( ) A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【解析】①根据命题的否定的形式可知其正确；②根据三角形内角的关系以及两角正弦值相等的时候除了相等还可以互补从而得到两种结果，所以错误；③根据原命题和逆否命题等价可知其正确； 从而得到答案. 【详解】①根据命题的否定的形式可知，命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x >，所以是正确的；②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则有2A =2B 或2A +2B =π,所以角A 与角B 相等或互余，所以错误；③因为命题：“若tan x =3x π=”是假命题，所以其逆否命题是假命题，所以正确；所以正确命题的序号是①③， 故选C . 【点睛】该题考查的是有关命题真假的判断问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，三角函数公式，原命题和逆否命题等价，属于简单题目.2．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．3．设抛物线2y 4x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-。
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年度高一上学期期末考试试题 理科数学【含解析】
13.计算: _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式 ,进而利用和角公式求解即可
【详解】由题,因为 ,
所以,原式 ,
故答案为:
【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用
14.若 的三个顶点 ,则顶点 的坐标为________.
(2)若 且 , 均为 的“可平衡”数对,当 时,方程 有两个不相等的实根,求实数 的取值范围.
【答案】（1） 是“可平衡”函数,理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由“可平衡”函数可得 ,整理可得 ,即可求解；
（2）分别将“可平衡”数对代入可得 , ,则 ,则可转化为 有两个解,进而求解即可
【详解】（1）假设 是“可平衡”函数,则由题意应有:
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
6.已知向量 , ,若 ,则实数 ( )
A. B. 3C. 或2D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】
若 ,则 ,求解即可
【详解】若 ,则 ,
解得 或 ,
故选:D
【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示
7.若偶函数 的最小正周期为 ,则( )
令 ,所以 ,
即 上单调递减；当Biblioteka 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
故选:B
【点睛】本题考查利用三角函数 性质求解析式,考查余弦函数的单调区间
8.已知 ， 为单位向量，且 ，则 在 上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
， 为单位向量，又 ，则 ，可得 ，则 ， ．又 ．则 在 上的投影为 ．故本题答案选 ．
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莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试理科数学试卷一、单选题（15小题，每题5分，共75分）1．若命题2:,10p x R x x ∀∈++≥；命题[]200:1,2,10q x x ∃∈-<，则下列命题为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧2．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知条件p ：()()30x m x m --->；条件q ：2340x x +-<，若q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],7[1,)-∞-+∞UB ．(,7)(1,)-∞-+∞UC ．()7,1-D ．[]7,1- 4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立5．椭圆以双曲线221169x y -=的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y += B ．221259y x += C ．2212516x y += D ．2212516y x += 6．设12,F F 是椭圆222:1(6)16x yC a a +=>的左、右焦点，P 是椭圆上的一点且满足三角形12PF F 的面积是12，则12tan F PF ∠=（ ）A ．34B ．32C ．43D ．2477．已知1F ，2F 为双曲线C ：22214x y a -=（0a >）的左、右焦点，P 为双曲线C 左支上一点，直线1PF 与双曲线C 的一条渐近线平行，12PF PF ⊥，则a =（ ） A ．5B ．2C ．1D ．58．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．109．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，M 是双曲线右支上的一点，点M 关于原点的对称点为N ，若F 在以MN 为直径的圆上，且5,312FNM ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2,31]+C ．(1,31]+D ．[2,)+∞10．下列函数求导运算正确的个数为（ ）①3(3)'3log x xe =；②21(log )'ln 2x x =；③()'x x e e =；④1()'ln x x=；⑤()'1x x xe e =+．A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数()xf x e =，()g x x =，直线l 分别与曲线()y f x =，()y g x =相切于点()()11,x f x ，()()22,x g x ，则12x x +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．e12．已知三次函数()3226f x ax ax bx =++的导函数为()f x '，则函数()f x 与()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．给出定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，()212x a x x b <<<，满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称实数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为在[],a b 上的“对望函数”.已知函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,3C ．32⎛ ⎝D ．(2,14．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '>+其中()f x '是()f x 的导数，且()03f =，则不等式()14x f x e +<的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+15．函数()()23x f x x e =-，关于x 的方程()()210f x mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二．填空题（5题，每题5分，共25分）16．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，()p r ⌝∨是真命题，则得第一名的是__________.17．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________．18．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB△的面积的3倍，则直线l 的斜率为________.19．已知函数2()(1)2()2x x f x m e m =+++∈R 有两个极值点，则实数m 的取值范围为________.20．已知函数1()1f x x x =-+，2()24g x x ax =-+，若任意[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（21题12分，22题12分，23题13分，24题13分，共50分）21．设a R ∈，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ，q ：函数2()4f x x x a=--在区间[]0,3上有零点.（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.23．已知a 为常数，函数2()ln .f x x ax x =+-（1）过坐标原点作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求0x ； （2）令()()x f x F x e=，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调减函数，求a 的取值范围.24．已知函数21()(1)ln 2f x x a x ax =+--，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a >，若对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有()()12121f x f x x x ->--，求实数a 的取值范围．莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试理科数学试卷参考答案1．C 【详解】对命题p ，22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ，所以命题p 是真命题；对命题q ，[]01,2x ∈时，2010x -≥，所以命题q 为假命题；所以()()p q ⌝∧⌝、()p q ⌝∨、p q ∧为假命题，()p q ∧⌝为真命题.故选：C 2．B 【解析】当2C π=时，2A B π=-，所以sin sin()cos 2A B B π=-=，成立；当sin cos A B=时，如取120,30A B =︒=︒时，sin cos A B =成立，此时30C =︒，所以不成立；综上知“2C π=”是“sin cos A B =”的”的充分不必要条件，3．A 【详解】对于条件q ，()()234410x x x x +-=+-<，解得41x -<<. 对于条件p ，由()()30x m x m --->，解得x m <或3x m >+.由于q 是p 的充分不必要条件，所以34m +≤-或m 1≥，解得(],7[1,)m ∈-∞-+∞U . 4．B 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min 2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.故选：B.5．A 【详解】双曲线221169x y -=的一个焦点(5)0，，则(5)0，是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴5a =．双曲线221169x y -=的一个顶点为40（，），则(40)，是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距4c ＝，则3b =．椭圆的标准方程为221259x y +=故选：A ． 6．D 【详解】解：设12F PF α∠=，12,PF m PF n ==，则1sin 122mn α⋅=，即24sin mnα=， 22222224()2444264232cos 12222m n c m n mn c a c mn mn mn mn mn mn mnα+-+-----=====-，32cos 1mnα∴+=， sin 243cos 1324αα∴==+，22sincos32242cos 2ααα∴=，得3tan 24α=，122232tan22424tan 731tan 124F PF αα⨯∠===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：D. 7．C 【详解】可设12,PF m PF n ==，由斜率定义和三角函数可得：21212tan PF n b PF F PF m a a∠====， 由双曲线第一定义可得;212PF PF n m a -=-=，又12PF PF ⊥， 故()2222144PF PF a +=+，由以上三式解得1a = 故选：C8．D 【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为F ',则||4AF AF '==，||26MF MF a '+==∵||MA MF AF ''-≤,当且仅当A ,F ′,M 共线且F ′在线段AM 上时等号成立, ∴AMF V 的周长为||||||||||6AF MA MF AF MA MF '++=++-46414≤++=，所以AMF V 的周长的最大值为14，此时||1441140A MA MF F ==--=+，故选：D .9．B 【详解】由题意，得点N 也在双曲线上，且FM FN ⊥，设双曲线的右焦点为2F根据双曲线的定义：2||2MF MF a -= 又因为2||MF NF =，所以||||2MF NF a -= 因为O 是Rt MFN V 斜边上的中点，所以||22MN OF c ==设FNM θ∠=，则||2sin ,||2cos MF c NF c θθ==，所以2sin 2cos 2c c a θθ-=所以11sin cos 24c a πθθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为5,312ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,4126πππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 所以sin 46212πθ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦-所以[2,31]c a ∈ 故选：B ． 10．B 详解：对于①()3'3ln3xx=,所以错误；对于②()21log 'ln2x x =，所以正确； 对于③()'x x ee =，所以正确；对于④1'ln x ⎛⎫= ⎪⎝⎭21ln x x ，所以错误； 对于⑤()'xxx xeexe =+,所以错误.故答案为：B11．B 【详解】由己知得直线l 的方程为：()111e e x xy x x -=-，)2222y x x x x =-， ∴()11221e 2e 1x x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴消去1e x 整理得121x x =+. 故选：B.12．D 【详解】已知()f x 是三次函数，故0a ≠，()()32'226612f x ax ax bx f x ax ax b =++⇒=++，二次函数的对称轴为1x =-，且(0)0f =，因此可以排除A ，B 两个选项.对于选项D ：二次函数()f x '过(4,0),(2,0)-，因此42486bb a a-??-，且0a >， 因此()'26126(2)(4)fx ax ax b a x x =++=-+，当2x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当4x <-时，()'0fx >，所以()f x 单调递增；当42x -<<时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，此时图象D 符合；对于选项C ：二次函数()f x '过原点，因此0b =，所以()'26126(2)fx ax ax ax x =+=+且0a >，当0x >时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当2x <-时，()'0f x >，所以()f x 单调递增；当20x -<<时，()'0fx <，所以()f x 单调递减，因此0x =是三次函数的极小值点，图象C 不符合. 故选：D 13．A 【详解】由题：()()2013f m f m m m -=-， ()22f x x x '=-，根据题意函数()3213f x x x m =-+是[]0,m 上的“对望函数”，即22123x x m m -=-在区间()0,m 上有两个解，令()22123g x x x m m =--+，()0,x m ∈，()()222444031(0,)1003203m m m g m m g m m m ⎧∆=+->⎪⎪∈⎪⎪⎨=-+>⎪⎪⎪=->⎪⎩，解得332m << 故选：A 14．C 【详解】令()1()x f x g x e +=，有()()1()0xf x f xg x e'--'=>，故函数()g x 为增函数， 由()()0014g f =+=，不等式()14xf x e +<可化为()14xf x e +<，即()()0g x g <， 故不等式()14xf x e +<的解集为(),0-∞. 故选：C15．D 【详解】()()()()22331xxx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象： 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫<⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 故选：D16．乙【详解】因为第一名只有一个，所以由p q ∨是真命题，可得命题p 与命题q 有且只有一个为真命题，则r 必为假命题，又因为()p r ⌝∨是真命题，则p ⌝为真命题，故p 为假命题，故q 为真命题.17．31【详解】如图,因为2POF V 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=o，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =.因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a =即3131c a ==+，所以31e =. 183:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =,根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==,又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍, 则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BDAB AD DAB ADAD-∠===所以直线l 3,19．11,1e⎛⎫--- ⎪⎝⎭【详解】由题意得：()()1xf x x m e '=++.()f x Q 有两个极值点，()0f x '∴=有两个不等实根，即1x x m e +=-有两个不等实根，可等价为1y m =+与()xxg x e =-有两个不同交点，()21x x xx e xe x g x e e--'=-=Q ，∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g e∴==-；当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()0g x →，可得()g x 图象如图所示：由图象可知，若1y m =+与()x xg x e=-有两个不同交点，则110m e-<+<， 解得：111m e --<<-，即实数m 的取值范围为11,1e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.20．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【详解】解：∵1()1f x x x =-+，[]0,1x ∈，21()10(1)f x x '∴=+>+，∴()f x 在[]0,1上单调递增，min ()(0)1f x f ∴==-；根据题意可知存在[]1,2x ∈，使得2()241g x x ax =-+≤-.即522x a x≥+能成立， 令5()22x h x x =+，则要使()a h x ≥在[]1,2x ∈能成立，只需使min ()a h x ≥，又2'2255()02221x h x x x-=-=<在[]1,2x ∈上恒成立 则函数5()22x h x x =+在[]1,2x ∈上单调递减，min 9()(2)4h x h ∴==， 94a ∴≥，即实数a 的取值范围是9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 21．（1）[]4,0-（2）{4a a <-或1}2a >-解：（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解，即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =-∈有交点又[]24,0,3y x x x =-∈的值域为[]4,0- 所以a 的取值范围为[]4,0-.（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a -<，则1122a -<<. 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； 记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<-或}0a >， 因为()p q ∨⌝是真命题，所以a 的取值范围是A B =U {4a a <-或1}2a >-22．（1）22142x y +=（2）329（1）由题意得：c e a ==，a ∴=，b c ∴==. ∴当直线l 斜率为1时，A 与上顶点重合，12AF AF a ∴==，290BAF ∠=o，设1BF x =，则22BF a x =-，22222AB AF BF +=∴，即()()2222a x a a x ++=-，解得：3ax =， 4833AB a ∴==，解得：2a =，b ∴=∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）由（1）知：()1F .当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4；当直线l 斜率为()0k k ≠时，设直线l 的方程为：(y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线l '的方程为：(1y x k=-，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()()222212410k xx k +++-=，12x x ∴+=()21224112k x x k-=+AB ∴==()224112k k+=+，将k 换作1k -可得：()22412k DE k +=+. ∴四边形ADBE 面积()()222212414112122k k S AB DE k k ++=⋅⋅=⋅⨯≥++()()222224141132291222k k k k +⋅+⨯=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭（当且仅当22122k k +=+，即1k =±时取等号），3249<Q，∴四边形ADBE 面积最小值为329. 23．（1）01x =；（2）2a ≤.【详解】（1）1()2f x x a x'=+-，所以切线的斜率为0001()2f x x a x '=+-，切线方程为00001(2)()y y x a x x x -=+--。