二介方程论文模板
关于二阶欧拉方程的求解
（其中 # ! ， # " 为任意常数） ( 参考文献
［!］同济大学应用数学系 + 高等数学 （下册） （第五版） ］ ［ ,］ 高等教育出版社， + 北京： "))" + ［"］华中理工大学数学系 + 高等数学 （下册） ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !--. + ［/］罗亚平， 陈仲 + 微分方程 ［,］ 南京大学出版社， + 南京： !-0. + ［1］复旦大学数学系 + 常微分方程 ［,］ 上海科学技术出版社， + 上海： !-0. + ［2］东北师范大学数学系微分方程教研室 + 常微分方程 ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !-0" +
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定理r2为方程2的两个特征根i当r1r2是方程2的互不相等的实特征r1r21fxdx1coslnxfxdx1sinlnxfiii当r1r2是方程2的相等的实特征根证明i当r1r2是方程2的互不相等的实特征根时将方程1的通解6进行分部积分xdxdxr1r2xdxdxr1r21fxdx1fxdxr1r2ii当r1r1r2coslnxisinlnxcoslnxisinlnx将其代入7式整理可得方程1的通解为1coslnxfxdx1sinlnxf3r2所以由定理2c1xxecoslnx的通解
in_关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究
浙江大学博士学位论文关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：王斯雷;陈杰诚20010401致谢本人的博十论文能够顺利完成，得益丁许多人的关心、支持和帮助。
值此机会，向他们表示我最诚挚的感谢。
在攻读博士学位的这几年中，导师王斯雷教授对我的影响最大。
他对数学的独到见解和研究中的严谨作风使我在做学问和做人两方面均终身受益，他对我的提携和帮助使我终身难忘。
在此，向王老师表达我深深的谢意。
同时，也要感谢王师母对我的关爱。
导师陈杰诚教授对我的悉心指导和热心帮助使我能顺利完成学业，在此向他表示衷心的感谢。
同样，也要感谢师母徐罕老师对我的关心和帮助。
自从进入浙江大学西溪校区（原杭州大学）以来，骆程教授一赢在学业和生活上关心、帮助我，在此向他表示我真诚的感谢。
感谢浙江大学西溪校区数学系的各位老师和资料室的工作人员对我的帮助。
感谢陶祥兴博士、金小刚博士、刘宗光博士、杨益民博士、贾厚玉博士、金永阳博士和孙永忠、刘晓风、应益明、王梦、郭新伟、章志飞诸学友。
与他们的相处和交流使我受益匪浅，也使我度过了五年的美好时光。
最后，我要感谢我的家人和朋友。
没有他们对我的默默支持和无私帮助，我不能想象我能完成这篇论文。
摘要调和分析（或傅里叶分析）起源于法国科学家Ｊ．Ｆｏｕｒｉｅｒ对热流动的研究．从那时起，经过近两个世纪的发展，调和分析业已成为数学的一个重要分支．无论从概念或方法上，它都广泛地影响着数学的其它分支．数学中很多重要思想的形成都与调和分析的发展过程密切相关．故而，调和分析是研究许多数学分支的重要工具，特别对偏微分方程而言更是如此．众所周知，调和分析中的位势理论，极大函数，球调和函数和算子插值等均为研究偏微分方程的重要工具．本论文主要利用调和分析方法研究二阶线性椭圆、抛物方程的正则性问题．本文共分三章，分别研究二阶散度型椭圆方程，退化二阶散度型椭圆方程和非连续系数二阶椭圆、抛物方程的正则性．第一章研究Ｒ“（ｎ≥３）中有界开集ｎ上的二阶散度型椭圆方程（ａｉｊｕ。
数学专业毕业论文_二次曲线方程的化简及应用
二次曲线方程的化简及应用作 者：。
0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是《解析几何》课程教学的一个难点.文献[1]给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性.为此，文献[2-4]利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献[5]和文献[6]从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献[7]借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献[8]和文献[9]分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系.本文归纳总结了二次曲线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献[2]的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用. 1 预备知识 1.1 定义[]1定义1 在平面上,由二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= （*）所表示的曲线,叫做二次曲线[]1.定义2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线[]1.定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换[]1.定义4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.定义5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径. 1.2 直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 1.2.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程（*）在移轴公式'0'0x x x y y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩下,其中(,)x y 表示平面内一点P 的旧坐标,(,)x y ''表示P 点的新坐标, (,)x y ''表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标,二次曲线方程系数分别为:'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)a a a a a a a a x a y a F x y a a x a y a F x y a F x y ====++==++==由此可知系数变化规律为： 1）二次项系数不变；2）一次项系数变为),(22001'13y x F a =,),(22002'23y x F a =；3) 常数项变为),(00'33y x F a =. 根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'112122211221212112I a a a a a a a a a a I =-=-==,33323132322121312113I a a a a a a a a a I '==.1.2.2 转轴对二次曲线方程系数的影响规律[]1二次曲线方程(*)在转轴公式''''cos sin sin cos x x y y x y αααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩下,其中, α为坐标轴的旋转角. 二次曲线方程系数分别为：33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cos sin sin cos cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；二次曲线方程的化简及应用3）常数项不变.根据上述规律，通过计算可以得到：'1'22'1122111I a a a a I =+=+=，'22'12'22'1121222112I a a a a a a I =-=-=2 二次曲线方程的化简方法 2.1 参数法若(,)0F x y =（0222212211≠++a a a ）为中心二次曲线，其中心为),(000y x P 则过),(000y x P 的任一直线的参数方程为()00cos 0sin x x t y y t ααπα=+⎧≤<⎨=+⎩ 将上式代入(,)0F x y =得：2()(,)0o o t F x y λα+=其中22111222()cos 2cos sin sin a a a λααααα=++引理[]21 设(,)0F x y =)0(222212211≠++a a a 为中心二次曲线若()λα定号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为1)()(min2'max 2'22=+t yt x 当()0,)(00>y x F αλ时，二次曲线为虚椭圆；当()00,0F x y =时，二次曲线为点椭圆.若)(αλ变号：当0),()(<o o y x F αλ时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2'222min max1()()x y t t -=当0),(=o o y x F 时，二次曲线为两相交直线. 例1 化简二次曲线方程01656522=-++y xy x .解 由于01635522>=-⨯=I ,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解⎩⎨⎧=+=+0530350000y x y x 得 ⎩⎨⎧==0000y x 即二次曲线的中心为坐标原点. 设过中心的任一直线的参数方程为cos (0)sin x t y t ααπα=⎧≤<⎨=⎩，其中t 为参数．将参数方程代入二次曲线的原方程得222(5cos 6cos sin 5sin )160t αααα++-=令22()5cos 6cos sin 5sin 53sin 2λαααααα=++=+ 当22πα=，即max ()84παλα==时，，当232πα=，即min 3()24παλα==时，， 故2816)(8216)(min 22max 22=--===--==t b t a ，， 即原方程化简为1282'2'=+y x .2.2 不变量法[]5引理[]12 如果0,032≠≠I I , 则二次曲线（*）为中心曲线，那么它的方程总可以化简为'2'231220I x y I λλ++= (012>a ) 其中，1λ,2λ为二次曲线特征方程的两个根.如果0,032≠=I I , 则二次曲线（*）为无心曲线，那么它的方程总可以化简为210I y '±= 如果0,032==I I ,则二次曲线（*）为线心曲线，那么它的方程总可以化简为'21110K I y I += 其中，33232322331313111a a a a a a a a K +=例2 (1) 化简22442210x xy y x y -++--=. 解 由题意可得123121125,0,241124111I I I --====--=---- 所以二次曲线为无心曲线,由不变量法知可化简为'2'50y ±=.即'2'y x =或'2'y x =.二次曲线方程的化简及应用(2)021*******=+-++-y x y xy x解 由题意可得 45215551235231,45123231,2321-=----=-=--==I I I 所以二次曲线为中心二次曲线， 而主方向特征方程为0212=+-I I λλ,即04522=--λλ, 所以252121=-=λλ 故由不变量法可知二次曲线可化简为 02522=+'+'-y x(3) 0124422=+-++-y x y xy x解 由题意可得 012112112124,01224,5321=----==--==I I I 所以二次曲线为线心二次曲线, 又415121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以由不变量法可化简为 04352=+'y用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程,计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置,故还不能直接由此做出图形,仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法[]72.3.1 利用系数的影响规律化简方程[]1当02≠I 时，二次曲线()*为中心二次曲线，其中心00(,)x y 满足⎩⎨⎧++=++=230220122130120111),(),(a y a x a y x F a y a x a y x F o o o o 根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)x y 为坐标原点，则二次曲线方程可化简为：02'332'22''122'11=+++a y a y x a x a其中),(,00'332211'22'11y x F a a a a a =+=+由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当02=I 时，即（*）为非中心二次曲线,如果012≠a 时，取转角α满足12221122cot a a a -=α， 使得0)sin (cos cos sin )(22121122'12=-+-=ααααa a a a 从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 例3 化简024222=--++-y x y xy x ,并作出几何草图.解 因0434111212112≠=-=--=I ,故曲线为中心二次曲线.解11021202x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 得000,2x y ==, 取(0,2)为坐标原点,作移轴''2x xy y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 根据移轴对系数的影响规律，可将方程化简为 '2'''260x x y y -+-=再作转轴消去''y x 交叉项,令022cot 122211=-=a a a α， 取,4πα=得cos αα==二次曲线方程的化简及应用作转轴 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''=''-''=)(21)(21''y x y y x x经转轴后曲线的方程化为：0623212''2''=-+y x 图形如下图1对于坐标变换法,一般需先求旋转角,算出转轴公式,再代入二次曲线的方程,算出新方程的系数,然后再移轴,确定图形位置,虽然方法简单,但计算量大,且灵活性较强，不易掌握.2.3.2主直径法[]1对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴，则方程可化为''2''2'1122330a x a y a ++=.对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为'x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2''221320a y a x +=.对于线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是主直径)为'x 轴,任意垂直它的直线为'y 轴建立坐标系.则方程可化为''2'22330a y a +=.例 4 化简2222220x xy y x y -++--=,并做出草图. 解 因为123111112,0,111011112I I I --====--=---所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为10x y -+=取它为新坐标系的'x 轴，再取任意垂直于此中心线的直线0x y +=为新坐标系的'y 轴，作坐标变换，这时的变换公式为''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解,x y 得''''122212x x y y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入已知方程，经过整理得'2230y -=.即'y =或'y =.二次曲线方程的化简及应用显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形. 下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系,给出了三个新定理及证明,使二次曲线的化简计算量小,同时还能快速做出图形. 2.4 主要结果的证明及应用 2.4.1主要的定理及证明定理1 []12 二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'2'231220I x y I λλ++= 其中),(o o y x 为中心坐标，)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc 且1212()0a λλ->, 12,λλ是特征方程2120I I λλ-+=的特征根.二次曲线(*)为圆时,在坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=0''y y y x x x 下方程总可以化简为 0232'222'11=++I I y a x a 其中),(o o y x 为中心坐标.证明 将坐标变换公式y x ,代入二次曲线方程(*)得到'''(,)0F x y =， 经整理，系数变为:),(cos ),(sin ),(sin ),(cos )(cos 2sin sin 2cos 2sin )(21sin 2sin cos '3321'232,1'1322212211'22121122'1222212211'11o o o o o o o o o o y x F a y x F y x F a y x F y x F a a a a a a a a a a a a a =+-=+=+-=+-=++=αααααααααααα 因为),(o o y x 为二次曲线的中心,所以12(,)0,(,)0o o o o F x y F x y =='1312(,)cos (,)sin 0o o o o a F x y F x y αα=+=0cos ),(sin 2'23=+=ααo o y x F a .由于转角)2,0(2cot 21122211πα∈-=a a a arc ,且此时有αα2sin )(2cos 2221112a a a -= )]cos 2sin sin ()sin 2sin cos [(2)(2222122112221221112122211ααααααa a a a a a a a a a +--++='-' ()]2sin 22cos [212221112ααa a a a +-=()αα2sin 42cos 2212221112a a a a +-=()02sin ]4[21222211>+-=αa a a即方程最终可化为:0'332''222''11=++a y a x a又2'22'1112211'22'11,I a a I a a a a ==+=+，根据根与系数的关系得'22'11a a 与是特征方程2120I I λλ-+=的两根，且1212()0a λλ->.令2'221'11,λλ==a a 则12,λλ分别是二次曲线的特征根.由于),(o o y x 是中心坐标,且22312131102232213120,I a a a a y I a a a a x -=='3301023(,)(,)(,)(,)o o o o o o o o a F x y x F x y y F x y F x y ==++13023033a x a y a =++121311131112132333222312231222232a a a a a a a a a a a a a a a I I I -+==因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换''''0cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'231220I x y I λλ++=. 当二次曲线为圆时,同理可证曲线方程总可以化简为0232'222'11=++I I y a x a . 定理1证毕.定理2[]7 无心二次曲线(,)0F x y =()012≠a 在坐标变换二次曲线方程的化简及应用''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为'2'10I y -= 其中),(00y x 为二次曲线的顶点，1112tan a a α=-,且cos α与12a 同号.证明 将y x ,代入二次曲线方程（*）中， 曲线方程可化简为:''2'''''2'''''1112221323332220a x a x y a y a x a y a +++++=因为1112tan a a α=-且cos α与12a 同号，可得cos αα==将1112tan a a α=-代入''1122,a a 得 ()1112222222212211'11tan 2tan cos sin cos sin 2cos a a a a a a a ++=++=ααααααα2cos 1112111221211222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=a a a a a a a α()'222211122222111222sin sin 2cos cos tan 2tan a a a a a a a αααααα=-+=-+2212111111122222111212122a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅--⋅-+ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122a a =+)12()()1cos 2(cos sin )(2cos 2sin )(212122112121221221112212211111112212112212112212=-+++⋅+-⋅-=-+-=+-='a a a a a a a aa a a a a a a a a a a ααααα'13100200(,)cos (,)sin a F x y F x y αα=+212211112302212212211121312011)()(a a a a y a x a a a a a y a x a o o +⋅++-+⋅++=22112132223131222311212211231113122a a aa a a a a a a a a a a a ++--=+-=== 由于()00,x y 是顶点，故1110012200(,)(,)0a F x y a F x y +=,所以'23100200122001110012(,)sin (,)cos cos [(,)(,)]a F x y F x y a F x y a F x y a ααα=-+=+ 0=0'33=a因此无心曲线方程在坐标变换''0''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为'2'10I y -= 定理2证毕.定理3[]7 线心二次曲线(,)0F x y =在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 下方程总可以化简为:'21110K I y I += 其中13230011221122,a a x y a a a a =-=-++，1112tan aa α=-且cos α与12a 同号.二次曲线方程的化简及应用证明 将y x ,代入二次曲线方程(*) 曲线方程可化简为0222'33''23''132''22'''122''11=+++++a y a x a y a y x a x a由于转角为1112tan a a α=-.由定理2的证明过程可知 ''1122112210,a a a a I ==+=由于13230011221122,a a x y a a a a =-=-++代入可得),(132211231222111311130120111=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o,232211232222111312230220122=++-++-=++=a a a a a a a a a a y a x a y x F o o ）（所以0'23'13==a a .'333001302303322132333112211221113222313332333112211(,)a F x y a x a y a a a a a a a a a a a a a a a a a a K I ==++--=+++++=+=因而线心曲线方程在坐标变换''''cos sin sin cos x x y x y x y y αααα⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩下总可以化简为 '21110K I y I += 2.4.2主要结果的应用举例例5 求曲线012656522=-+-+-y x y xy x 的简化方程并做出草图.解 因为01653351021≠=--==I I ，,即二次曲线为中心二次曲线.由⎩⎨⎧=++=--01530335000y x y x 得中心坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==17717600y x 由1222112cot 21a a a arc -=α知，取4πα=，则 21cos ,21sin ==αα又481131533353-=----=I , 故3164823-=-=I I . 又因为.0312<-=a 即由定理1知21λλ<而21,λλ又是特征方程016102=+-λλ的两根，所以8221==λλ，.所以曲线方程在坐标变换()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=1772117621''''y x y y x x 下可化简以为03822'2'=-+y x图形如下二次曲线方程的化简及应用图3例6 求二次曲线01610222=+--+-y x y xy x 简化方程并做出草图. 解 123115112,0,11364,11531I I I ---====--=----即曲线为无心曲线.由定理4知1211tan a a -=α且cos a 与12a 同号，故 21sin ,21cos -=-=αα由()()()00002200000015130210610x y x y x x y y x y ⎧-⋅--+⋅-+-=⎪⎨-+--+=⎪⎩得顶点坐标为001212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0112<-=a ，由定理2知''1122a a <即''112211220,2a a a a ==+=所以曲线的方程在坐标变换''''1212x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩下可以化简为.03222'2'=±x y即'2'y =或'2'.y =-图形如下图4例7 化简2244210x xy y x y -++-+=并做出草图.解 由于012112112124,01224,5321=----==--==I I I ,故为线心二次曲线. 由定理3知 0011,,510x y =-= 又由2tan 1211=-=a a α且cos α与12a 同号知 52sin ,51cos -=-=αα433121211111433232322331313111=--+=+=a a a a a a a a K所以曲线的方程在坐标变换''''15110x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩下总可以化简为'23504y +=图形如下图5结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一,且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图,介绍了五种方法,分别是二次曲线方程的化简及应用参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法.本文通过归纳以上前四种方法之间的联系,即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、转轴来作图,给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法,得出三个新定理的证明及具体应用.本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法,寻找它们之间的联系,找到一种即易于化简又易于作图的方法,从而告诉我们,思维要善于发散,对于同一道题,要应用不同的方法进行解答,再从所有的解法中找出一种最简便的方法,同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导.本文针对所查文献资料给出的四种方法进行归纳,并结合这四种方法给出一种既易于二次曲线方程的化简又易于作图的简便方法.这种新方法是否就是最简单的方法还有待于进一步考证.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一,是高考的一个热点,也是教师的教和学生的学的一大难点.如何更好地把大学空间解析几何里的研究二次曲线的相关内容与高中二次曲线的内容有机地结合起来,更好地指导中学二次曲线的教学,为学生的学习提供相应的帮助是一个值得进一步去研究的方法.今后可在不同的几何观点下去研究二次曲线的相关问题,而用高观点去指导中学有关内容的教学.参考文献[1] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987.[2] 张卯.化简二次曲线方程的一种简捷方法[J].周口师专学报,1996,13(4):11-16.[3] 翟娟,席芳渊.参数法化简二次曲线方程[J].中学数学教学,1994,(4):24-25.[4] 苏婷.二次曲线方程化简[J].陕西师范大学继续教育学报,2006,23:247-249.[5] 文开庭.二次曲线的一种化简方法[J].毕节师专学报,1995,(2):66-71.[6] 林梦雷.二次曲线方程的化简[J].漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.[7] 席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法[J].许昌师专学报,2001,20(2):6-13.[8] 李永林,陈点波,孙维君.二次曲线方程的化简和位置的确定[J].淄博学院学报,2001,3(3):5-8.[9] 李根友,二次曲线方程的化简和讨论[J]. 湖州师范学院学报,1990,S(1):29-34.[10] 廖民勋.二次曲线方程的化简及作图[J].广西师院学报,1997,14(2):76-81.[11] 于中文.平面解析几何学习指导[M].济南:山东教育出版社.1982:240-250.[12] 崔萍,高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报.2007,11(16):26-87.。
（完整版）二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
（完整版）二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numericalmethods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
二阶微分方程解法(参考模板)
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y+py +qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx代入方程 y +py +qy =0得(r 2+pr +q )e rx=0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y+py +qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ib 时, 函数y =e(a +ib )x、y =e(a ib )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e axcos bx 、y =e axsin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e(a +ib )x和y 2e(a ib )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x )y 2e(aib )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e axsin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax(C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py +qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y -3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r 1)(r 3)0其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x+C 2e 3x.例2 求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0, 即(r1)20其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应: 单实根r 对应于一项: Ce rx;一对单复根r 1, 2=a ib 对应于两项: e ax(C 1cos bx +C 2sin bx );k 重实根r 对应于k 项: e rx (C 1+C 2x + +C k x k -1); 一对k 重复根r 1, 2=a ib 对应于2k 项:e ax[(C 1+C 2x + +C k x k -1)cos bx +( D 1+D 2x + +D k x k -1)sin bx ]. 例4 求方程y (4)-2y +5y=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0, 即r 2(r 2-2r +5)=0, 它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=12i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x(C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx型当f (x )=P m (x )e lx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m 次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是P m(x)e lx型(其中P m(x)=3x+1, l=0).与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为y*=b0x+b1.把它代入所给方程, 得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y +6y =xe 2x的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x (b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x[2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e e x P e x i x i nx i xi l x ωωωωλ---++=x i nl x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e(l +iw )x的特解为y 1*=x k Q m (x )e(l +iw )x,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py +qy =e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx[R(1)m(x )cos wx +R(2)m(x )sin wx ].综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y+y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx[P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=. 提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x(2cx +a2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
二阶变系数常微分方程求解方法的文献综述
文献综述前言常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
二阶变系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。
关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶变系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。
主题牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。
常微分方程的概念、解法和其它理论很多，张孝理在《二阶线性微分方程求解的一个新方法》中构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法，分离变量法在所给条件下，将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程，并指出这种转化所作的函数变换，从而得到了变系数一阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型，推广了前人的可积性结果，扩大了微分方程的求积范围。
而杨万顺在《二阶变系数线性常微分方程的求解》里讨论了系数满足一定条件下微分方程的初等解法，并举例说明它的一些简单应用。
二阶变系数常微分方程求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，关于通解的求法及表达式，梁红亮和徐华伟的《一类二阶变系数常微分方程的初等解法》中给出了一类二价变系数常微分方程可积的充分条件及其通解表达式，并举例说明它的此简中应用。
刘琼在《一类二阶变系数微分方程的解》中通过变量变换，将变系数线性常微分方程化为常系数线性常微分方程，再利用常数变易法给出了一类二阶变系数非齐线性微分方程的通解。
何基好和秦勇飞在《一类二阶线性变系数微分方程通解的解法》中研究了一类二阶线性变系数微分方程通解的解法，也利用特解和常数变易法，给出一类二阶线性变系数微分方程的通解公式。
二阶双曲型问题C0有限元的构造及其超收敛
湖南师范大学硕士学位论文二阶双曲型问题C<'0>有限元的构造及其超收敛姓名：肖春霞申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20020401摘要’本文为二阶常微分方程及二阶双曲型问题的时问方向构造了Ｃ。
有限元，在节点及单元内部的一些特征Ｊ氧上获得Ｊ’超收敛结果。
全文分为三部分：第一部分：我们考虑以下二阶常微分方程ｆ“。
＋（口“）’＋ｂｕ＝ｆ【Ｈ（ｏ）＝“ｏ，“（ｏ）＝“ｏ其中ａ，ｂ，ｇ足够光滑。
我们构造了一个超逼近函数‰，证明了在节点处Ｃ。
有限元解“．有如下超收敛估计似一“．）（ｆ』）＝Ｏ（ｈ２“）０一Ｈ．），（０－０）＝Ｏ（ｈ２“）并且已证明了在单元内部的一些特征点ｋｕ．，“：有超收敛结果。
第二部分：我们考虑以下二阶双曲型问题ＩＵ。
＋Ａｕ＝ｆ在Ｑ＝（ｏ，，】×Ｑ中Ｕ＝０在ｒ＝（ｏ，ｒ】×ａＱ上【ｕ（ｘ，ｏ）＝矿。
．“，（ｘ，ｏ）＝ｙ。
在Ｑ中算子Ａ一致椭圆算子且与ｔ无关。
我们采用了张量积并在时间方向应用Ｃｏ有限元，令０＝ｆ。
＜ｔ．＜ｆ：＜Ａｔ。
＝Ｔ是【Ｏ，Ｔ】的一个剖分，令甜∈础（Ｑ）是Ｑ上的二次有限元空间．ｈ为网格参数．令ｚ．为空间上的剖分节点．则Ｃｏ全离散有限元解ｕ在点积Ｚ．ｏ｛ｔｊ｝上有如下超收敛估计厂、ＫＩ∑ｌ（ｕ一“）（，』，ｘ４２＾２Ｉ＝Ｄ（＾４＋ｋ３）ｌ∑Ｉ（ｕ一”），（ｆ』一Ｏ，ｘ）１２＾２ｌ－Ｄ（＾３＋女３）＼舵乙，并且在单元，，：（ｆ『，ｆ州）内部的一些特征点上，Ｄ，ｕ有超收敛结果．第三部分我们提供了两个算例来验证前两部分的结果．实验结果与理论相吻合，关键词：Ｃｏ有限元，超收敛，二阶常微分方程，二阶双曲型问题ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔＣｏｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｓｆｏｒｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｓｅｃｏｎｄ·ｏｒｄｅｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｉｍｅ，ａｎｄａｔｔｈｅｎｏｄｅｓａｎｄｓｏｍｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｐｏｉｎｔｓｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｈｒｅｅｐａｒｔｓ．Ｐａｒｔ１Ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｏｒｄｉｎａｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎＩ“’＋（ａＩｔ）’＋ｂｕ＝ｆ卜（ｏ）＝Ｉ／Ｏｇ／，Ｉ’（ｏ）＝“ｊｗｉｔｈａ，ｂ，ｆｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙｓｍｏｏｔｈ．ＷｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔａｓｕｐｅｍｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎⅣ。
二阶及高阶微分方程的求解
本科生毕业论文（设计）题目：二阶及高阶微分方程的求解与应用专业代码： 070101作者姓名：王某某学号： XXXXXXXXXXXXXXX单位：数学科学学院指导教师： XX XX XX2012 年 X 月 X 日原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人承担本声明的相应责任。
学位论文作者签名：日期指导教师签名：日期摘要高阶微分方程的求解没有统一的方法，我们可以试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解.而在一般的微分方程中这并不是一件容易的事，进而我们选取了一种比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究.只有得到二阶微分方程的解法我们才可以推导出一些有特殊性质的高阶微分方程的解法.当然无论是对二阶的还是高阶微分方程的研究，我们的目的只有一个：用它来解决我们在生产实践和科学技术中遇到的一些问题.关键词：二阶微分方程；常系数；齐次；非齐次；应用AbstractDifferential equation of higher order has uniform method. We can try to use the second order differential equation to solve the high order equation. Based on two order homogeneous linear differential equation solution structure summarizes seek this equation method, and solution of the inhomogeneous linear differential equation a special solutions can be non homogeneous differential equations. While in the general differential equation, it is not an easy thing to do, then we select a relatively special and practical application of strong two order constant coefficient linear nonhomogeneous equations of. Only by two order differential equation we can deduce some special properties of differential equation of higher order. Of course, both on the two order or higher order differential equations in the study, we have only one objective: to use it to solve our practice in the production of science and technology encountered some problems.Key words: second order differential equation；constant coefficient；homogeneous；nonhomogeneous；application目录前言 (1)1.二阶线性微分方程的求解 (1)1.1二阶线性齐次方程的解的结构 (1)1.2 二阶常系数线性齐次方程 (3)1.3二阶非齐次微分方程 (6)2、几种简单的高阶方程的求解 (10)2.1 第一种可降阶的高阶方程 (10)2.2 第二种可降阶的高阶方程 (11)2.3第三种可降阶的高阶方程 (12)2.4 恰当导数方程 (14)3 二阶及高阶微分方程的应用 (15)结论 (20)参考文献 (21)二阶及高阶微分方程的求解与应用前言常微分方程是从生产实践与科学技术中产生的，在现代科学技术分析问题与解决问题中起着强有力的作用.人们对二阶及简单的高阶方程的解法有了许多理论成果，而高阶常微分方程一般没有确定的解法，我们一般采用降阶法，也就是通过一定的变换将高阶方程的求解问题转化为低阶方程的求解问题.本篇论文我将总结几种简单的几类高阶方程的降阶方法，并研究几类稍微复杂的高阶方程的降阶问题，进而介绍此问题在科学技术中的应用.1.二阶线性微分方程的求解1.1二阶线性齐次方程的解的结构 方程()()()y P x y Q x y f x '''++= （1.11） 称为二阶线性微分方程，其中()f x 为自由项.若()0f x ≠，则方程（1.11）为二阶线性非齐次方程.若()0f x =，方程（1.11）化为()()0y P x y Q x y '''++= （1.12） 称其为二阶线性齐次方程.下面我来介绍二阶线性齐次方程（1.12）的解得性质. 定理1 如果方程()1y x 与()2y x 是方程（1.12）的两个解，则()()1122y C y x C y x =+ （1.13）也是方程（1.12）的解，其中12,C C 是任意常数.证 将（1.13）代入方程（1.12）式左端，得[][]11221122()()()()()C y x C y x p x C y x C y x '''+++[]1122()()()Q x C y x C y x ++[][]11112222()()()()C y P x y Q x y C y P x y Q x y ''''''=+++++1200C C =⋅+⋅0.=（1.13）式所表示的解从形式上来看含有1C 和2C 两个任意常数，但它并不一定就是通解.例如，设()1y x 是方程（1.12）的一个解，很容易验证()()212y x y x =也是方程（1.12）的解.这时，（1.13）式成为1121()2()y C y x C y x =+121(2)()C C y x =+1(),Cy x =其中122C C C =+.显然这不是方程的通解.那么在什么情况下（1.13)式才是方程（1.12）的通解呢？为了解决这个问题，下面介绍一个新的概念.定义 设两个函数()1y x 与()2y x 在区间[],a b 上有定义，若其中之一是另一个的常数倍，则称它们在[],a b 上是线性相关的，否则称它们是线性无关的.有了线性无关的概念后，我介绍如下的二阶线性齐次方程的通解的结构定理. 定理 2 设()1y x 与()1y x 是二阶线性齐次方程（1.12）的两个线性无关的特解，则()()1122y C y x C y x =+（12,C C 是任意常数）是方程（1.12）的通解.例如，方程20y y y '''--=是二阶线性齐次方程，这里()1P x =-，()2Q x =-，则容易验证，()21x y x e =和()1x y x e -=是所给方程的两个解，而且312x y e y =不是常数，即它们是线性无关的，因此所给方程的通解是212.x x y C e C e -=+1.2 二阶常系数线性齐次方程 在二阶线性齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=中，如果()(),P x Q x 是与x 无关的常数，即上述方程称为0y py qy '''++= （1.21） 其中，,p q 为常数，则方程（1.21）为二阶常系数线性齐次方程，否则，称方程()()0y P x y Q x y '''++=为二阶变系数线性齐次方程.由1.1的内容可知，只要找到方程（1.21）的两个线性无关的解1y 与2y ，那么方程(1.21)的通解为1122.y C y C y =+由于指数函数()x y x e λ=的各阶导数均为其本身的常数倍，因此我们可以尝试选取合适的常数λ，使()x y x e λ=成为（1.21）的特解.事实上，x y e λλ'=，2x y e λλ''=，代入方程（1.21），得()20.x p q e λλλ++=由于0x e λ≠，所以当且仅当λ满足方程20p q λλ++= （1.22） 时，函数x y e λ=是方程(1.21)的解，称方程（1.22）为方程（1.21）的特征方程. 由于方程（1.22）的根可由公式21,242p p qλ-±-=（1.23）表示，为求出方程（1.21）的通解，需就其特征方程的根的三种可能情形分别讨论.(1) 若240p q ->则特征方程有两个不同的实根1λ和2λ.于是，方程（1.21有两个不同的解11x y e λ=，22.x y e λ=并且()1212y e y λλ-=不是常数，这两个解线性无关，因此方程（1.21）的通解为 1212x x y C e C e λλ=+ （1.24）（2）若240p q -=，则特征方程有两个相同的实根122pλλ==此时只能得到方程（1.21）的一个特解11x y e λ=为了得到方程（1.21）的通解，还需要求出另一个与1y 线性无关的特解2y ，即21y y 不是常数. 设()()121x y x y x e λμμ==下面求()x μ对2y 求导，得1121()(),x x y u x e u x e λλλ''=+ 1112211()2()().x x x y u x e u x e u x e λλλλλ'''''=++代入方程（1.21）得12111(2)()0.x e u u u p u u qu λλλλ''''⎡⎤+++++=⎣⎦由于10x e λ≠两边都除以1x e λ进一步简化可得2111(2)()0.u p u p q u λλλ'''+++++=由于1λ是特征方程（1.22）的二重根，则211120,0.p p q λλλ+=++= 于是可得0.μ''=因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x μ=从而得到方程（1.21）的另一个特解12x y xe λ=于是方程（1.21）的通解为1112x x y C e C xe λλ=+ （1.25）（3）若240p q -<则特征方程有一对共轭复根()12,0i i λαβλαββ=+=-≠此时，得到方程（1.21）两个复数形式的解()1i xy e αβ+=与()2i xy e αβ-=为了得到实数形式的解，还需要利用欧拉公式cos sin .i e i θθθ=+将两个解写成()()1cos sin ,i xx i x x y e e e e x i x αβαβαββ+===+ ()()1cos sin .i xx i x x y e e e e x i x αβαβαββ--===-用1.1中介绍的定理就可以得到方程（1.21）的两个实数形似的解()1121cos ,2x y y y e x αβ=+= ()2121sin .2x y y y e x αβ=-=而且很容易验证它们是线性无关的，因此方程（1.21）的通解为()12cos sin x y e C x C x αββ=+ （1.26）总结，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤是： 第一步 写出方程的特征方程20p q λλ++=， 第二步 求出特征方程的两个根12,λλ，第三步 根据两个根的不同情形，得到相应的通解. 例 1 求微分方程250y y y '''++=的通解. 解 所给方程的特征方程为2250.λλ++=其根为1,212i λ=-±是一对共轭复根，因此所求通解为()12cos 2sin 2.x y e C x C x -=+例 2 求微分方程30y y '''+=满足初始条件()()01,03y y '==的特解. 解 所给微分方程的特征方程为230.λλ+=其根为120,3λλ==-是两个不相等的实根，因此所给方程的通解为0331212.x x x y C e C e C C e --=+=+代入初始条件得()1201,y C C =+= ()203 3.y C '=-=解得122,1C C ==-于是所求得特解为32.x y e -=-例3 求20y y y '''++=满足初始条件40|,|2x x y y =='=-得特解. 解 所给微分方程的特征方程为2210,λλ++=解得121,λλ==-故所求通解为12().x s C C x e -=+从而212().x x s C e C C x e --'=-+由0|4,x y ==得14,C =由0|2x y ==得16,C = 因此所求特解为(46).x y x e -=+1.3二阶非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次方程的一般形式是()y py qy f x '''++= （1.31）其中,p q 是常数.我们知道一阶线性非齐次方程的通解由两部分构成，一部分是对应的齐次方程的通解，另一部分是非齐次方程本身的一个特解.事实上，不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构，二阶及更高阶的非齐次线性方程的通解也具有这样的结构.定理 3 设()y x *是二阶线性非齐次方程（1.11）的一个特解.()Y x 是与（1.11）对应的齐次方程（1.12）的通解，则()()y Y x y x *=+ （1.32）是二阶线性非齐次方程的通解.要求方程（1.31）的通解，要知道它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解，而齐次方程通解的求法在1.2已经介绍，下面介绍一下求非齐次方程（1.31）的特解的y *的方法.我介绍的主要是就方程（1.31）右端自由项()f x 为两种特殊情形时讨论其特解y *的求法.（1）设自由项()()x m f x e P x α=，其中，α是常数，()m P x 是m 次多项式，()1011.m m m m m P x a x a x a x a --=++++此时方程（1.31）成为()x m y py qy e P x α'''++= （1.33）由于方程（1.33）的右端自由项是指数函数与多项式的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍是多项式与指数函数的乘积.因此推测出方程（1.33）的特解形式为()x y e Q x α*=其中()Q x 为多项式.因此设方程（1.33）的特解为().x y e Q x α*=则()(),x y e Q x Q x αα*''=+⎡⎤⎣⎦()()()22.x y e Q x Q x Q x ααα*'''''⎡⎤=++⎣⎦将,,y y y ***'''代入方程（1.33）并整理得()()()()()()22m Q x p Q x p q Q x P x ααα'''+++++= （1.34）a ） 若α不是方程（1.33）对应的齐次方程特征方程的根，则20p q αα++≠由于方程（1.34）右端()m P x 是m 次多项式，则()Q x 也一定是一个m 次多项式()1011.m m m m m Q x b x b x b x b --=++++其中，01,,,m b b b 是1m +个待定系数.并得到方程（1.33）的一个特解().x m y Q x e α*=b ） 若α是方程（1.33）对应齐次方程的特征方程的单根，则20,20p q p ααα++=+≠要使等式(1.34)恒成立，()Q x '必是m 次多项式，因此()Q x 是1m +次多项式，此时令()().m Q x xQ x =并用同样的方法来确定()m Q x 中的系数.c ）若α是特征方程的二重根，则20,20p q p ααα++=+=要使等式(1.34)恒成立()Q x ''必须是m 次多项式，于是()Q x 是2m +次多项式.此时可令()()2.m Q x x Q x =并用同样的方法来确定()m Q x 中的系数.如果当α不是特征方程的根时，称α为0重特征根，则上述结论可以归纳为： 若()()x m f x e P x α=且α是特征方程20p q λλ++=的k 重根（k 取0,1或2），则方程（1.32）的特解可设为().k x m y x e Q x α*=(2)设自由项()()()cos sin x m n f x e P x x Q x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中,αβ是已知常数，()m P x 与()n Q x 分别是已知的m 次多项式与n 次多项式.对于这种情况，类似上一种情况中的讨论可以得到类似的结论，此时可设方程（1.31）的特解为()()cos sin k x l l y x e R x x S x x αββ*=+⎡⎤⎣⎦ （1.35）其中，{}()max ,,l l m n R x =与()l S x 是l 次多项式，而k 是依i αβ±是特征方程根的重数而取0,1.例1 求微分方程22x y y xe '''-=的通解. 解 先求对应齐次方程20y y '''-=的通解.因为特征方程为220λλ-=其根为120,2λλ==所以对应齐次方程的通解为212.x Y C C e =+再求所给方程的一个特解.由于这里2α=是特征方程的单根，所以设特解为()2.x y x ax b e *=+则()22222,x y e ax b a x b *'⎡⎤=+++⎣⎦ ()22448.x y e ax b a x b *''⎡⎤=+++⎣⎦将,,y y y ***'''代入所给方程得422.ax a b x ++=比较等式两端同次幂的系数得41,220.a a b =⎧⎨+=⎩解方程组得11,.44a b ==-因此求得一个特解为*211().44x y x x e =-于是所给方程的通解为221211().44x x y C C e x x e =++-例 2 求微分方程6sin 2y y x x ''+=的通解.解 所给方程对应的齐次方程为0.y y ''+=其特征方程为210,λ+=它的根是1,2.i λ=±所以对应的齐次方程通解为12cos sin .Y C x C x =+再求所给方程的一个特解.由于这里0,2,αβ==而2i ±不是特征方程的根，所以可设特解为*()cos 2()2,y ax b x cx d x =+++则**(22)cos 2(22)sin 2,4()cos 24()sin 2.y cx a d x c b ax x y c b ax x a d cx x '=+++--''=---++将**,y y ''代入所给方程，化简得cos2(433)sin 2(343)6sin 2.x c b ax x d a cx x x --+---= 比较上式两端同类项的系数，得430,30,340,3 6.c b ad a c -=⎧⎪-=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩解方程组得80,,2,0.3a b c d ==-=-=因此求得一个特解为*8cos 22sin 2.3y x x x =--于是所给方程的特解为128cos sin cos 22sin 2.3y C x C x x x x =+--2、几种简单的高阶方程的求解本块内容我将介绍三类比较常见的高阶方程的解法，而这些解法中有一个共同的思路，就是把这些高阶方程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，因此，我们将其称为“降阶法”.2.1 第一种可降阶的高阶方程 方程()n n d yf x dx= （2.12）这种类型方程很简单，令(1)n y z -=，则().z f x '=积分得1(),z f x dx C =+⎰也就得到(1)1().n y f x dx C -=+⎰同理可令(2),n y z -=可得(2)12()n y f x dx C dx C -⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰ 12(()).f x dx dx C x C =++⎰⎰如此继续下去，通过n 次积分求得（2.11）的通解为12121().(1)!(2)!n n n n C C y dx dx f x dx x x C x C n n ---=+++++--⎰⎰⎰ 例 1 求微分方程sin cos m y x x =-的通解. 解 对原方程的两端依次积分，得1cos sin ,y x x C ''=--+12sin cos .y x x C x C '=-+++再次进行积分，得原方程通解为2123cos sin .2C y x x x C x C =++++ 2.2 第二种可降阶的高阶方程 方程()(1)()(,,,,)0k k n F x yy y += （2.21）这种方程的特点很容易看出，方程不显含y 或,,,,(1).y y y y k '''- 这个时候只要令并将(),k y z =代入到上述方程中，原方程就可以化成()(,,,,)0.n k F x z z z -'= （2.22) 如果方程（1.22）可以求出通解1(,,,)n k z z x C C -= .则对方程()1(,,,)k n k y z x C C -=积分k 次，就可以求出y 来了.这里有一点要注意，就是每积分一次，要增加一个 独立的任意常数.例 1 求解方程2(1)2.x y x y '''+=解 设(),y p x '=则,y p '''=代入方程得2(1)2.x p x p '+=积分得21ln ln (1)ln ,p x C =++即21(1).p C x =+积分四次即可得到原方程的通解3234.y C x C x C =++2.3第三种可降阶的高阶方程 方程()(,,,)0n F y y y '= （2.31）这类方程也有一定的特点，不显含自变量x ，这时，我们总可以利用代换,y p '=使此方程降低一阶.以二阶方程(,,)0F y y y '''=为例. 令,y p '=于是就有.dp dp dy dpy p dx dy dx dy''=== 代入原方程，就有(,,)0.dpF y p pdy= 这是一个关于未知函数p 的一阶方程.如果由它可以求得(,),p p y C =则有(,).y p p y C '==这是一个关于,x y 的变量可分离方程，进而可求得通积分.例 1 求解方程21.2y y y'+''=解 由上述分析，我们可令,y p '=则,dpy pdy''=代入原方程得 21.2dp p p dy y+= 即22.1pdp dyp y=+两端积分后得21ln(1)ln ln .p y C +=+解出p 得1 1.p C y =±-积分后得12121.C y x C C -=±+ 于是有2314.48C C y x x C =±+ 例 2 求解方程2223(1).a y y '''=+解 令,y p '=则,y p '''=则原方程化为3221(1).dp p dx a=±+ 再令tan ,p t =则2322sec cos .1(1tan )xdptdt dx a tdt p t t a===±'±+即1sin .x a t C =±+从而1221.()x C p a x C -=±--即1221.()x C p a x C -=±--进而可以积分得通积分22221()().y C x C a -+-=2.4 恰当导数方程 假如方程()(,,,,)0n F x y y y '= （2.41） 的左端恰好为某一函数(1)(,,,,)n x y y y -'Φ 对x 的导数，则（2.41）可化为(1)(,,,,)0.n dx y y y dx-'Φ= 则我们把（2.41）称为恰当导数方程.其实这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ=之后，再想办法求解这个方程.例1 求解方程 20.yy y '''+= 解 易知可将方程写成()0,dyy dx'=故有1.yy C '=即 1.ydy C dx =积分后即可得到通积分212.y C x C =+这样的问题虽然简单，但需要很强的观察能力与很牢固的基础才能观察得出来.下面有一个关于这方面的例子，解法技巧很高，关键还是配导数的方法.例 2 求解方程20.yy y '''-=解 经过观察我们可以先将两端同时乘上不为0的因子21,y则有 22()0.yy y d y y dx y''''-== 故1.y C y '=从而通解为12.C xy C e =3 二阶及高阶微分方程的应用要用微分方程要解决实际问题，首先不可避免的要根据物理规律与几何关系来建立微分方程，然后呢在进一步分析问题与所建的微分方程，并考虑初始条件，边界条件，衔接条件来确定定解条件，这就是数学的建模过程.模型建好了有了微分方程我们就可以根据前面的内容来解除方程，因为解决的是实际问题，还要用解出来的结果来分析问题.这块内容由于实际应用比较强，我用三个简单的例子来简单的介绍一下.例 1 欲向宇宙发射一颗人造卫星，为使其摆脱地球引力，初始速度应不少于第二宇宙速度，试计算此速度.解 在物理问题中，关键是通过建模把物理问题转化成数学问题，在这个题目中设人造地球卫星质量为m ，地球质量为M ,卫星的质心到地心的距离为h ，由牛顿第二定律得222.d h GMmm dt h=- (G 为引力系数）又设卫星的处速度为0v ，已知地球半径56310,R ≈⨯则有初值问题22200,,.t t o d h GMdt h dh h R v dt ==⎧=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩. 这样以上物理问题就可以转化为求二阶常微分方程的特解问题，设(),dhv h dt=代入上述方程组第二个式子可得2,dv GM vdh h=- 进而有2.GMvdv dh h=-两边积分得21.2GM v C h=+ 利用初始条件得201.2GMC v R=- 因此220111().22v v GM R h=+- 注意到220111lim.22h v v GM R→+∞=- 为使00,v v ≥应满足02.GMv R≥(3.1)因为当h=R （在地面上）时，引力与重力相等，即2.GMm mg R= 2(9.81/)g m s = 故2.GM R g =代入(3.1)式得5032263109.8111.210(/).v Rg m s ≥=⨯⨯⨯≈⨯这说明第二宇宙速度为11.2/.km s例 2从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y 与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从还平面由静止开始下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为m ，体积为B ，海水比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为(0),k k >试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式().y y v =解 同样也是先把实际问题转化成常微分方程，由题目中条件及牛顿第二定律可将问题转化为求初始条件为0|0y v ==的二阶微分方程22.d ym mg B kv dtρ=--的特解.我们有22.d y dv dv dy dvv dt dt dy dt dy=== 得.dvmvmg B kv dyρ=-- 初始条件为0|0,y v ==用分离变量法解上述初值问题得2()ln .m m mg B mg B kv y v k k mg B ρρρ---=--- 例 3 质量为m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上，当重力与弹簧力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相反. （1) 建立位移满足的微分方程 解 设时刻t 物位移为().x t1. 自由振动情况，物体所受的力有弹力恢复力,f cx =- 阻力.dxR dtμ=-根据牛顿第二定理得22.d x d xm c x d t d tμ=--令22,,cn k mmμ==则得有阻尼自由振动方程 22220.d x dxn k x dt dt++=2. 强迫振动情况，若物体在运动过程中还受铅直外力sin F H pt =作用，令,Hh m=则得强迫振动方程2222sin .d x dxn k x h pt dt dt++=(2) 在无外力的作用下作自由运动，设0t =时物体的位置为0x x =，初始速度为0v ，求物体的运动规律().x x t =解 由（1）知，位移满足的定解问题为222000020,|,|.t t d x dxn k x dt dt dx x x v dt ==⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩1. 无阻尼自由振动情况(0).n =方程 2220.d xk x dt+=解得方程的通解为12cos sin .x C kt C kt =+ 利用初始条件得102,.v C x C k== 故所求特解为02200020cos sin sin()(,tan ).v x x kt kt kv kx A kt A x k v ϕϕ=+=+=+=2. 有阻尼自由振动情况,方程22220,d xd x n k x d t d t++=特征方程 2220,r nr k ++=特征根221,2.r n n k =-±-这个时候需要三种情况进行讨论 小阻尼,n k <则2212(cos sin ).().nt x e C t C t k n ωωω-=+=- 大阻尼,n k >则1212.r t r t x C e C e =+ 临界阻尼,n k =则12().nt x C C t e -=+结论本篇论文中先介绍二阶微分方程解的结构，因为这是找到二阶方程解法的基本前提，然后就详细的介绍二阶齐次与非齐次线性微分方程的几种类型的不同解法，我们可以通过二阶微分方程的解法来推导出一些有特殊性质的高阶微分方程的解法.而高阶微分方程并没有统一的解法，而是根据方程的特点进行详细的探究，因此对比较特殊的几种可降阶的高阶微分方程，我们可总结它们的特点与解法.在第三部分中就是我们研究二阶及高阶微分方程的目的：解决我们实际生活以及科学研究中的一些问题.在例题中我们可以看到二阶微分方程的应用相当广泛，其实高阶微分方程在实际生活中的应用也是比较多的，重点就是我们把实际生活中遇到的问题转化成常微分方程，并且通过解答常微分方程来解决实际问题.参考文献[1]金福临, 李训经. 常微分方程. 上海科技出版社, 1997.[2]同济大学应用数学系. 高等数学（下册, 第五版). 高等教育出版社, 2002.[3]华北师范大学常微分方程教研室. 常微分方程（第二版）.高等教育出版社, 2005.[4]史金麟, 张剑峰. 常微分方程分类原理. 科学出版社, 2003.[5]张伟年, 杜正东, 徐冰. 常微分方程. 高等教育出版社, 2006.[6]时宝, 张德存, 盖明久. 常微分方程理论及应用. 国防工业出版社, 2010.[7]叶彦谦. 常微分方程讲义（第二版). 人民出版社, 1982.[8]化存才, 赵奎奇等. 常微分方程解法与建模应用选讲. 科学出版社, 2010.[9]丁同仁, 李承治. 常微分方程. 高等教育出版社, 1985.[10]斯米尔诺夫著, 孙念增译. 高等数学教程. 人民教育出版社, 1955.[11]周义仓等. 常微分方程及其应用. 科学出版社, 2010.[12]武卓群, 李勇. 常微分方程. 高等教育出版社, 2004.[13]窦雯虹. 常微分方程考研教案. 西北工业大学出版社, 2006.[14]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松. 常微分方程. 高等教育出版社, 1983.[15]武忠祥, 魏战线. 历届数学考研试题研究. 交通大学出版社, 2002.致谢大学四年来,各位老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向各位老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.老师们以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响，渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.同时,在此次毕业论文写作过程中牛老师认真负责使我掌握到更多的与微分方程相关知识，并在分析问题并解决问题上有了很大的提高.在大学学习与生活即将结束之际,我的心情无法平静,从开始进入大学到顺利毕业,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!。
毕业论文：二阶对象控制系统设计(PC机)
摘要：计算机控制系统就是利用计算机来实现生产过程自动控制的系统。
通信与网络技术、微电子技术的高速发展,给计算机控制技术带来了巨大的变革。
人们利用这种技术可以完成常规控制技术无法完成的任务，达到常规控制技术无法达到的性能指标。
本次二阶对象控制系统就是采用通过用户在键盘上输入PID参数，从而选取合适的主要参数Kp，Ki，Kd和采用周期T，使整个系统具有满意的动态特征，并满足稳态误差要求。
关键词：二阶对象、控制、PID参数、A/D、D/A目录1 概述 (3)2 课程设计任务及解决方案 (3)2.1 课程设计任务 (3)2.2 系统设计解决方案 (4)3 系统硬件的设计 (4)3.1 系统硬件设计方案 (4)3.2 D/A转换电路 (5)3.3 A/D转换电路 (6)4 系统软件的设计 (7)4.1 程序设计思想及流程 (7)4.2 A/D转化子程序 (9)4.3 键盘读入子程序 (10)4.4 屏幕显示子程序 (11)5 任务分工及总结 (12)5.1 任务分工 (12)5.2 总结 (12)参考文献 (14)附录 (15)附录一系统硬件连接图 (15)附录二程序清单 (16)二阶对象控制系统设计（采用PC机）1 概述通信与网络技术、微电子技术的高速发展,给计算机控制技术带来了巨大的变革。
人们利用这种技术可以完成常规控制技术无法完成的任务，达到常规控制技术无法达到的性能指标。
自动控制技术在许多领域里获得了广泛的应用。
所谓自动控制，就是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。
近年来，计算机已成为自动控制技术不可分割的重要组成部分，并为自动控制技术的发展和应用开辟了广阔的新天地。
本次课程设计是采用PC机设计二阶系统的控制器，通过用户在键盘上输入PID参数，从而将二阶系统的参数控制在一定范围之内。
2 课程设计任务及解决方案2.1 课程设计任务1、采用运算放大器搭建如图2-1所示的二阶系统，观察并记录该二阶系统的阶跃响应曲线，判断二阶系统的稳定性。
二次方程解情况论文
探讨二次方程解的情况【摘要】二次方程是中学阶段数学学习的一个重要的知识，它联系着二次函数、二次不等式，起着一个举足轻重的作用。
二次方程的研究则依靠二次函数的图像进行分类讨论，对不同的题型存在不同的分类标准，使解答过程变得更加简单，从而让学生更好的利用二次方程、二次函数和二次不等式的特征去解决一些更复杂、更难理解的题型。
【关键词】二次方程；解二次函数、二次方程、二次不等式这三个知识点在高中阶段中占有很重要的作用，无论是解决未知数的取值范围、求最值问题，还是求单调区间都与之密切相关。
而许多学生对于二次函数的图像不熟悉，对于图像的平移无法理解，从而对许多的变形题目无从下手，使自己的学习得不到提高。
在此，我针对二次方程根的情况利用一些题型进行研究。
下面我们先从方程开始，先因式分解得或。
当方程变为时，图像随的取值不同而移动。
时图像往上移动，时图像往下移动。
利用判别式，得时方程有两个不等根为，时方程有一根，时方程无根。
对于方程的复合变形题，除了判别式的分类以外，还要求对所求根的正负值进行讨论，因此讨论的分类标准肯定增加，从而使学生更加难以把握。
例如：，令，则，原式为，当时，即方程无解；当时即，，而无解；当即，当时无解，当时，则要求，，，方程只有一个根。
由上面的解题过程可知，对于较复杂的题目，若只依靠代数的运算过程，我们无法快速地寻找到简单的运算，若代数与图像的综合运用，就会使计算过程简单，从而更快地找出答案。
如图1可知，对于方程，只有时才存在正数根，，又如方程，令，则，函数为单调增函数，方程由右图可知，当时图像在x轴上方，方程无解；当时，图像与x轴只有一个交点，方程只有一解，，；当时，图像与x轴有两个负交点，方程有两解，，或；当时，图像与x轴只有一个负交点，方程只有一解，，。
因此不同的取值方程就存在不同的解，而解的大小也有所不同。
以上的例子是针对一重复合函数的解答过程，而对于二重复合函数则要求更高，它在一重函数的基础上还要对新一重函数进行新的分类讨论。
二次函数论文
目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3 提出问题 (2)3 数形结合的概述 (2)4 数形结合在高中二次函数中的运用 (3)4.1运用数形结合研究二次函数的性质 (3)4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用 (4)4.2.1利用二次函数图象讨论一元二次不等式的解 (4)4.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题 (4)4.2.3利用二次函数图象讨论特殊三角函数式 (6)4.2.4巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题 (8)4.2.5巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题 (9)4.2.6巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题 (11)4.2.7巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题 (13)4.3运用数形结合求解问题误区的探讨 (14)5结论 (16)5.1主要发现 (16)5.2启示和意义 (16)5.3局限性 (16)5.4努力方向 (17)6参考文献 (18)1引言数学是一种古老而又年轻的文化，人类从蛮荒时代的结绳计数，到如今用电子计算机指挥宇宙航行，无时无刻不受到数形结合思想的恩惠和影响.进入21世纪，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习在传授知识与方法的同时培养学生的数学能力.在促进学生数学学习过程中，加强数与形的结合,能化繁为简，对于帮助学生开阔思路,突破思维定势有积极的作用，能加深学生对知识的理解.二次函数是初高中教材中一个重要的内容，同时二次函数也是高考命题的重点，如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻.本论文运用数形结合思想对高中二次函数做了更深一步的研究，主要有运用数形结合研究二次函数的性质、利用二次函数图象讨论一元二不等式的解、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题、利用二次函数图象讨论特殊三角函数式、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题、巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与对数函数的复合问题、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题和运用数形结合求解问题误区的探讨这几个方面论述.2文献综述2.1国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用.王丰霞在文献[1]中浅谈了构造数形结合培养创新思维.张冰、杨光在文献[2-3]中浅谈了数形结合的概念及培养学生数形结合的兴趣.孙雪梅、王雨来、朴林玉等在文献[4-6]中浅谈了数形结合在解题中的应用.周建涛，姚爱梅在文献[7-8]中讲了高中数学教学中数形结合的有效应用.李德军在文献[9]中讲了二次函数在高中数学教学中的应用.曹学才、杨渭清、李一淳等人分别在文献[10-18]中谈论了数形结合思想可以在许多知识中都有应用.张武在文献[19]中对“数形结合”解题误区的认识与思考给出了自己独特的见解.2.2国内外研究现状评价在所查阅到的国内外参考文献[1-19]中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究.数形结合思想在高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在高考中的应用具有重要的意义.2.3提出问题数学结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的、重要的数学思想.同时二次函数也是高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法在高中二次函数中的综合应用，数学教师应该怎样在二次函数教学及二次函数与其他知识综合中渗透这种思想方法呢？本论文在参考相关文献的基础上对这个问题进行了系统的阐述.3数形结合的概述数学研究的对象可以分为两个方面，一个方面是数，一个方面是形，但是数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，他们是数学的两大基石.我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性,我们认为:数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【2】【3】在数学思想中，数形结合的思想从渗透到形成和应用，经历了三个主要阶段：(1)数----形对应：它是数形结合的基础.主要通过初中、高一、高二、高三阶段的学习逐步领悟和掌握的.(2)数-----形转化：它体现了数与形的关系在解决问题的过程中，如何作为一种方法而得到运用的.在新授课时这类例子已相当普遍（例如解法、图解法等）.(3)数----形分工：这里指的是把应用数形结合思想作为解决问题过程中的一种策略，是数学规律性与灵活性的融合.从内容上看，数形结合的渠道主要有：(1)平面几何中的一些算法（主要是与解三角形有关的计算）；(2)解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域（区间）与不等式的对应；在数学中，数形结合的具体方法有：解析法、三角法、图解法等；(3)函数与它的图象以及有相关的几何变换：(4)三角函数的概念：负数的几何意义.4 数形结合在高中二次函数中的运用4.1运用数形结合研究二次函数的性质数形结合是一种重要的教学思想方法，它在数学教学中主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷的得以解决.而函数在初高中数学教学中占了很主要部分，学好二次函数对于学好数学也就至关重要了.下面主要从三个方面进行阐述.(1)利用二次函数理加深解函数概念.初中讲述了函数的定义、一次函数、正比列函数、反比例函数，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着学习了函数概念，主要是用映射观点来阐述函数，这时就可以用学生已经了解地函数，特别是二次函数来加以更深刻的认识函数的概念.二次函数是从一个集合B （定义域）到集合C （值域）上的映射f :B C →使得集合C 中的元素()y a x k h =-+(a≠0）与集合B 的元素x 对应，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识.(2)利用二次函数的图象研究与二次函数有关的函数性质.在高中学习单调性时，必须要对二次函数2()y a x k h =-+（a≠0）在区间(-∞，k ]及[k,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严格理论的基础上，进一步利用函数图象的直观性，使学生逐步自觉的利用二次函数的图象研究其他函数的最值.(3)利用二次函数三个二次关系的知识训练数学思维.作为二次函数，它有丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数，可以以它做代表来研究函数，二次函数可以与三角函数、等差数列求和、不等式等建立起联系，可以编出各种各样的数学问题，考查学生的基础知识.【9】4.2 数形结合在二次函数与相关知识中的综合运用4.2.1利用二次函数的图象讨论一元二次不等式的解二次函数2c y ax bx =++（a>0）与x 的相互位置关系有三种情况.利用二次函数图象讨论二次函数与一元二次不等式的关系.(1)当0∆>时，二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，不等式20ax bx c ++>解集是{x | x < 1x 或 x > 2x }，不等式20ax bx c ++<的解集是{x |12x x x << }.(2)当0∆=时，二次函数2c y ax bx =++与x 轴有1个交点，不等式2ax bx c >0++的解集是{x | x ≠ - 2b a}，不等式2ax bx c <0++的解集是空集∅.(3)当0∆<时, 二次函数2c y ax bx =++与x 轴没有交点，不等式2ax bx c >0++的解集是R ，不等式2ax bx c <0++的解集∅.对于二次项系数是负数（ 即ａ＜0 )，可以把二次项系数化成正数，然后在按照上面的形式三种形式比较.例1任意实数x , 不等式(2m - 1)x 2+(m +1)x+m -4>0 都成立，求 m 的范围.分析：右图说明x 为任意实数时 2ax x 0?b c ++>都成立,解这个问题时，常感到无从下手.其原因是单纯从代数角度及不等式本身考虑时很抽象,很难找到解决问题的切入点.如果结合图象考虑,可以发现：(1)图象与x 轴没有交点；(2)抛物线的开口上.解：由题意得不等式组：()2m 1 4(2m 1)m 40210m ⎧+---<⎨->⎩（） 解得 m >5 时，x 为任意实数，原不等式都成立 评析：通过图象可以知道开口向上，并且它与x 轴没有交点，由此可以根据二次函数的判别式解决此题.4.2.2利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题一元二次方程ax 2+bx+c （a ≠0）的根与判别式△=b 2-4ac 有关系，它的解按照0∆>,0∆=,0∆<分为三种情况，二次函数y= ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点也有三图1种情况，下面讨论一下二次函数与一元二次方程之间的关系.（1）0∆>时,二次函数的图象与x 轴有两个交点(x 1 ,0),(x 2 ,0),相应的一元二次方程有两个不等的实数根1x ,2x 。
数学与应用数学毕业论文 二次方程的分类及其相关讨论
分类号：O182.2 单位代码：密级：一般学号：本科毕业论文（设计）题目：二次方程的分类及其相关讨论专业：数学与应用数学姓名：指导教师：职称：答辩日期：二〇一〇年五月八日二次方程的分类及其相关讨论摘 要：本文分析研究了二次方程化简和分类的四种方法：坐标变换法；主直径主方向法；不变量与半不变量法；因式分解法.并在此基础上，详细介绍了二次曲线与二次曲面的化简与分类的具体方法与步骤，使我们所不熟悉的马鞍面方程xy z =，和椭圆方程)0(1)(122122222111≠-=+++++b a b a c y b x a c y b x a ）（ 的化简与分类得到圆满解决.关键词：二次曲线 ； 二次曲面； 旋转； 平移Classification of the Quadratic Equation and Some DiscussionsAbstract:This paper analyzed four methods:coordinate transformation; the main diameter method and the main direction method; invariants and semi-invariant method; factorization method, which methods discussed methods of the simplication and classification on the quadratic equation. And on this basis, this paper introduced concrete measures and steps about the quadratic and classification of the simplication and classification in detail,so that the unfamiliarsaddlesurfaceequation:xy z = and ellipticequation:)0(1)(122122222111≠-=+++++b a b a c y b x a c y b x a ）（ are solved perfectly.Key words ：Conics; Conicoid; Rotation; Translation1 前言二次方程的化简与分类不仅是大学空间解析几何研究的重要内容之一，而且对中学二次曲线内容的教学有非常重要的作用.研究如何把二次方程代表的曲面进行化简、分类、作出具体图形具有重要的理论价值.目前，各种教材及相关文献资料给出了二次方程化简的四种方法：坐标变换法；主直径、主方向法；不变量与半不变量法；因式分解法.在上述四种方法中，有的化简简单，但难于作图；而有的化简相对繁琐，但易于作图. 本文通过深入分析有关二次方程的知识，对此进行分类、整理，运用了高等数学的方法，归类总结出二次方程化简的方法和分类方法.得出一种易于二次方程的化简和分类的简便方法，以便为学生的学习和教师的教学提供一定的指导. 2 二次曲线的分类与化简利用坐标变换能够把二次曲线方程化为所表图形的标准方程，从而能断定所表示的曲线是何种图形，并确定它在平面上的位置.本部分要解决这样一个理论问题，即一定有这样的坐标变换，能使二次曲线方程变为标准形式，并且给出作这种坐标变换的方法，从而解决了二次曲线的分类问题.2.1 二次曲线方程在坐标变换下系数的变化设在直角坐标系Oxy 中二次曲线C 的方程为0222),(22=+++++≡d gy fx cy bxy ax y x F )1.1.2(其中d b a ,,, 是常数，且a ，b ，c 不同时为零.设另有直角坐标系'''y x O ，如果同一点在两个系中坐标的变换格式是⎩⎨⎧+'+'=+'-'=00cos sin sin cos y y x y x y x x θθθθ )2.1.2(将)2.1.2(代入)1.1.2(式，得到二次曲线C 在'''y x O 系中的方程：0222'''''2'''''2''=+++++d y g x f y c y x b x a 1)1.1.2(分别就)2.1.2(表示旋转（000==y x ）与平移（0=θ）写出从方程)1.1.2(到1)1.1.2(的系数变化公式.引理2.1.1[1] 在旋转的坐标变换)2.1.2(下（000==y x ），二次曲线方程)1.1.2(变为1)1.1.2(，其中系数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=-+--=++=dd g f g g f f c b a c b c a b c b a a '''22'22'22'cos sin sin cos cos cos sin 2sin )sin (cos cos sin )(sin cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθθθθθ )3.1.2( 由公式)3.1.2(可见，在旋转坐标变换下，二次曲线方程的二次项系数变为二次项系数，一次项系数变为一次项系数，而常数项保持不变.引理 2.1.2[2] 在平移的坐标变换)2.1.2(下（0=θ），二次曲线方程)1.1.2(变为1)1.1.2(，其中系数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++====),(,,,00'00'00''''y x F d g cy bx g f by ax f c c b b a a )4.1.2( 由公式)4.1.2(可见，在平移坐标变换下，二次曲线方程的二次项系数保持不变，一次项系数只和原二次与一次项系数有关，而新的常数项'd 是原方程)1.1.2(左端在新原点（00,y x ）处的值),(00y x F . 2.2 二次曲线方程的化简第一步，通过旋转坐标变换消去方程)1.1.2(中混乘项的系数，在方程)1.1.2(的混乘项系数0≠b 的情况下按公式bca 22cot -=θ )1.2.2( 由以上给出的坐标变换称为主轴变换，新坐标轴的方向称为该二次曲线的主方向.选取转角θ，使得新坐标系中方程1)1.1.2(的系数0'=b ，即方程1)1.1.2(为 022'''''2''2''=++++d y g x f y c x a 2)1.1.2( 容易证明在主轴变换下转角与系数有如下关系：引理 2.2.1[3] 由)1.2.2(式确定的转角θ与二次曲线方程)1.1.2(的二次项系数满足关系式01tan tan 2=--+θθbca )2.2.2( 引理 2.2.2[4] 在由)1.2.2(式确定的主轴变换下，2)1.1.2(中的二次项系数为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-==+=+=a b b c c b c b b a a θθθθcot tan 0cot tan ''' )3.2.2(一次项系数满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=θθθθθθ22222'22222'cos )tan tan 2(cos )tan tan 2(f fg g g g fg f f )4.2.2( 第二步，通过平移坐标变换继续化简2)1.1.2(. 1）当0''≠c a 时：用坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=''''''''''c g y y a f x x 1)5.2.2( 可将2)1.1.2(化为022=''+'''+'''d y c x a 1)6.2.2(其中'2''2''''cg a f d d --= 1)7.2.2(2）当0,0,0'''≠=≠g c a 时，用坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+=''2'''''''''''2a g fa d y y af x x 2)5.2.2(可将2)1.1.2(化为02'''2'''=+y g x a 2)6.2.2( 3）当0,0,0'''==≠g c a 时：用坐标变换⎪⎩⎪⎨⎧=+=''''''''y y a f x x 3)5.2.2(可将2)1.1.2(化为0''2'''=+d x a 3)6.2.2(其中'2'''''a f a d d -=2)7.2.2(2.3 二次曲线的不变量由二次曲线C 的系数构成的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=d gf g c bf baA 是一个对称矩阵，现用它的元素引进下列记号：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+===+=dgg c d ff a J d gfg c bf b a I c b b a I c a I 2321,, )1.3.2( 易于验证，3I 与2J 还可以写成⎭⎬⎫--=+--=221222232g f dI J bfg cf ag dI I )2.3.2( 引理2.3.1[5]当二次曲线方程)1.1.2(通过主轴变换用)1.2.2(确定的旋转变为2)1.1.2(时，用)1.3.2(式定义的1I ，2I ，3I ，2J 都是不变的.引理2.3.2[6] 当二次曲线方程2)1.1.2(通过平移坐标变换变为3,2,1)6.2.2(时，用)1.3.2(式定义的1I ，2I ，3I 是不变的，以及当2I =3I =0时，2J 也是不变的.定理2.3.1[6] 在一般直角坐标变换下，二次曲线C 的方程)1.1.2(按)1.3.2(式确定的各量满足：1）1I ，2I ，3I 是不变的； 2）当2I =3I =0时，2J 是不变的.定义2.3.1 由方程)1.1.2(确定的二次曲线C ，其系数按)1.3.2(确定的1I ，2I ，3I 称为C 的不变量；而2J 称为条件不变量. 2.4 用不变量确定二次曲线的标准方程同一条曲线在不同坐标系中有不同的方程，对二次曲线来说，这表现为它们方程系数的不同.而这不同的方程既然要表示同一条曲线，那么它们的系数就应该有某些共同特点，也即是它们的系数必有某种不因坐标变换而改变的共同的东西.上节求的不变量既然与坐标系无关，那么它们就应该代表了图形的几何性质.事实上曲线的类型、形状及其大小都完全可由其不变量来确定，或是说曲线的标准方程可以由不变量得到.定义2.4.1 用二次曲线)1.1.2(的不变量1I ，2I ，所作的二次方程0212=+-I I λλ )1.4.2(称为C 的特征方程，它必有两个不等或相等的实根1λ与2λ，称为C 的特征根.定理 2.4.2[7] 二次曲线的标准方程在Oxy 系中可用其不变量与特征根给出如下： Ⅰ. 当02≠I 时，曲线是椭圆型或双曲型：0232221=++I I Y X λλ ； 1)2.4.2( Ⅱ. 当2I =0，03≠I 时，曲线是非退化的抛物型：021321=-±X I I Y I ； 2)2.4.2( Ⅲ . 当2I =3I =0时，曲线是退化的抛物型：01221=+I J Y I ； 3)2.4.2( 利用不变量可以判别曲线的类型并写出其标准方程，见表)1(表)1(问题1 判断)0(1)(122122222111≠-=+++++b a b a c y b x a c y b x a 其中）（所表示的是哪一类常见的几何图形.分析 单从方程现在的形式来看，很难辨认出它是何种图形，通过以上的学习，我们可以用不变量来确定此二次曲线的标准方程.解 写出方程的系数矩阵，先将方程)0(1)(122122222111≠-=+++++b a b a c y b x a c y b x a 其中）（变形为1)()(2)(2)()(2)(22212211221122221221122221=+++++++++++c c y c b c b x c a c a y b b xy b a b a x a a )1(则系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=222122112211221122212211221122112221c c c b c b c a c a c b c b b b b a b a c a c a b a b a a a A再计算不变量)()(222122211b b a a I +++=，21221222112221222122212211221122212)()()(*)(b a b a b a b a b b a a b b b a b a b a b a a a I +=+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=2221221122112211222122112211221122213c c c b c b c a c a c b c b b b b a b a c a c a b a b a a a I因为2I 0)(21221≠+=b a b a 且大于零.利用不变量判别曲线的类型，得方程)0(1)(122122222111≠-=+++++b a b a c y b x a c y b x a 其中）（为椭圆型，即原方程图形为一椭圆. 3 二次曲面及其分类二次曲面：022*******=+++++++++d rz qy px hxy gzx fyz cz by ax )1.3(改写为矩阵的形式0=Ax x T 1)1.3(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1z y x x ，)1,,,(z y x x T =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d rqpr c f g q f b hp g b a A ，A A T =， 称四阶矩阵A 为二次曲面的系数矩阵.回顾关于二次曲线的讨论.先通过坐标轴旋转消去含xy 的混乘项，再通过平移，将二次曲线的一般方程化简为标准方程，从而确定了二次曲线的分类.现将对二次曲面的一般方程)1.3(作类似的化简，也分转轴和移轴两步.下面分别用定理叙述.定理 3.1[8] 任意二次曲面方程)1.3(，通过适当的旋转，可以使新坐标系中方程不再含有形如''y x ，''z y ，''x z 的混乘项，即是在新坐标系中方程化为0222''''''2''2''2''=++++++d z r y q x p z c y b x a式中d b a '',为新的系数，''',,z y x 为新坐标.说明 1）按照定理的要求，要找到一个坐标系的旋转，使方程)1.3(同时消去3个混乘项.2）用以前学过的旋转公式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++='33'32'31'23'22'21'13'12'11z a y a x a z z a y a x a y z a y a x a x 代入二次曲面方程)1.3(的左边，得到曲面在新坐标系中的方程记为0222222'''''''''''''''2''2''2''=+++++++++d z r y q x p y x h x z g z y f z c y b x a定理3.1要求只是化简二次项，因此我们只要对于与)1.3(具有相同二次项部分的曲面01222222=++++++hxy gzx fyz cz by ax证明结论成立即可.3）对此定理的证明主要就是找达到极值的方向，从而使方程化简. 定理3.2[9,10] 对于不含混乘项xy ，yz ，zx 的二次曲面方程0222222=++++++d rz qy px cz by ax可以适当的坐标变换进一步化简，使它变为如下5种方程之一：0222=+++d cz by ax ， 0≠abc ； (Ⅰ) 0222=++rz by ax ， 0≠abr ； (Ⅱ) 022=++d by ax ， 0≠ab ； (Ⅲ) 022=+px cz ， 0≠cp ； (Ⅳ) 02=+d cz ， 0≠c . (Ⅴ) 上列五种方程的特点是1）没有字母x ，y ，z 的混乘项xy ，yz ，zx ；2）如果有某个坐标的二次项，就没有这个坐标的一次项；3）如果有某个坐标的一次项，就没有其他坐标的一次项，并且这时方程左边不再有常数项.满足这3个条件的二次曲面方程称为标准方程.定理3.3[11,12] 任意一个二次曲面方程)1.3(都可以用坐标变换化为标准方程（Ⅰ）～（Ⅴ）中的某一个方程.因此，二次曲面共有（Ⅰ）～（Ⅴ）所示的17种类型：1）;01222222=-++c z b y a x 2）;01222222=+++cz b y a x3）;01222222=--+c z b y a x 4）;01222222=+-+c z b y a x5) ;0222222=-+c z b y a x 6) ;0222222=++c z b y a x7) ;022222=-+z b y a x 8) ;022222=--z b y a x9) ;012222=-+b y a x 10) ;012222=++b y a x11) ;012222=--b y a x 12) ;02222=+b y a x13) ;02222=-by a x14) ;022=-px z 15) ;022=-a z16) =+22a z 0;17) .02=z这17种类型曲面可分成3种情况：a.基本类有9种：方程为 1），3），4），5），7），8），9），11），14）.b.有两个平面构成的有3种：方程为13），15)，17）； 由一条直线构成的有一种：方程为12）； 由一点构成的有一种：方程为6）.c.不代表任何图形的有3种：方程为2），10），16），称为无轨迹表示虚图形. 问题2 通过我们以上的学习，运用所学的知识判断 xy z = 是何种几何图形. 分析 仅从方程本身是不能看出它是何种图形的，我们可以对方程经过一系列的变换，看出它到底属于何种图形.解 方程xy z = 含有一个混乘项，可通过旋转变换消去混乘项，又2h ＝1≠0.可以选取hca 22cot -=θ有0102cot =-=θ 故有4πθ=作旋转变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-='''''cos sin sin cos z z y x y y x x θθθθ 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=''''')(22)(22z z y x y y x x 代入方程xy z =中有0)(212'2'=--z y x变形有z y x =-2'2'2121显然由定理3.3看出，方程xy z =为二次抛物面即马鞍面. 4 总结在学习过程中，曾经碰到过的两个问题：一个是在学习《空间解析几何》时碰到马鞍面的其他方程，另一个是在学习《数学分析》时，有一道课后题提到椭圆的其他形式.这些方程都不是我们所熟悉的马鞍面方程和椭圆方程的形式，我们平时所见到的基本上都是二次曲线与二次曲面的标准方程，对于一般的方程是不能看出它所表示的图形的.本文基于以上两个问题，通过查阅资料，用坐标变换的方法和确定不变量方法对二次曲线与二次曲面方程进行分类与化简，从而解决了类似于以上的问题.参考文献：[1] 刘保泰，苗文利，薛方津.线性代数与空间解析几何[M].天津:天津大学出版社，2001.[2] 许立炜，张爱华编著.线性代数与解析几何[M].北京:人民邮电出版社，2002.[3] Ayyildiz N，Coken A C，Yucesan A.Differential-geometrical conditions between geodesic curves and ruled surfaces in the Lorentz space[J].Balkan Journal of Geometry and Its Applications，2002，7(1)：13-32.[4] 尤承业.解析几何[M].北京:北京大学出版社，2004.[5] 周建伟.解析几何[M].北京:高等教育出版社，2005.[6] 史秀英，李景琴.二次曲面的分类[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2005，25（2）：1-3.[7] 黄艳红.二次曲面讨论[J].邢台职业技术学院学报，2004，21（1）：16-19.[8] 刘健.关于二次曲面分类的探讨[J].黄石高等专科学校学报，1999，15（4）：63-67.[9] 杨云.三维Minkowski空间中二次曲面的分类[J].东北大学学报（自然科学版），2007，28（6）：34-52.[10] 吕林根，许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社，1960.[11] 崔萍，高真秋.二次曲线方程化简与作图的简易方法[J].曲靖师范学院学报，2007，26(6)：13-20.[12] 傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广[J].湖北师范学院学报(自然科学版)，2001，21(2)：72-74.谢辞本论文是在导师常健老师的悉心指导下完成的.导师渊博的知识、严谨的治学态度、优良的工作作风、谦逊的人格，深深地感染了我，使我受益匪浅.值此论文完成之际，我真诚地向恩师致以崇高的敬意和诚挚的感谢!感谢她在我完成本论文的过程中给予我的指导和帮助，常健老师不仅教给我专业知识和科研技能，更教会我严谨敬业的科研精神和团结合作友爱待人的为人之道使我受益终生.另外，感谢所有计算机学院的老师，感谢他们在生活中给了我的照顾，学习中给我的指导.他们严谨的工作态度值得我们敬佩，是他们给我们传授知识，并教会我们做人的道理，让我感觉到大学生活的美好.在这里，衷心地祝福每一位计算机学院的老师，希望他们工作顺利，身体健康！多年的求学生涯中，我的父母和家人不论在精神上，还是在物质上都给予了我全力的支持、鼓励和关爱，这是我孜孜求学的力量源泉，在此也向他们表示诚挚的感谢!最后，向学习期间所有关心和帮助过我的同学们和朋友们表示忠心的感谢！（全文约7533字）。
【精品硕士论文】二阶抛物型方程粘性解的若干问题251
（Ⅱ）
首先得到了（Ⅱ）的比较原理如下： 定理 假设 H 满足适当的条件（详见 P21,定理 3.2.1） ，如果 u 是（Ⅱ）的有界 上半连续下解， v 是有界下半连续上解，那么
u≤v
此外，如果 u , v 定义如下：
(t , x) ∈ QT
(t , x) ∈ ∑1 d I {u (t , x ) ≤ ψ (t , x )} 其它 (t , x) ∈ ∑ 2 d I {v (t , x ) ≥ ψ (t , x )} 其它
⎧ u t + F (t , x , u , D u , D 2 u ) = 0 ⎪ ⎨ u (t , x ) = 0 ⎪ u (0, x ) = ϕ ( x ) ⎩
( t , x ) ∈ Q T = (0, T ) × Q ( t , x ) ∈ ∂ l Q T = [0, T ) × ∂ Q x∈Q
南昌航空大学 硕 士 学 位 论 文
（学位研究生）
二阶抛物型方程粘性解的若干问题
硕士研究生：郭 林 导 师：易 青 教授
申请学位级别：硕 士 学科、专业：偏微分方程及其应用 所在单位：南昌航空大学 答辩日期： 2007 年 6 月 授予学位单位：南昌航空大学
I
南昌航空大学硕士学位论文
目
录
Some Problems of Viscosity Solutions for Second Order Parabolic Equations
第三章 一类二阶拟线性偏微分方程粘性解的存在性 .................... 18 3.1 3.2 3.3 3.4 引 言 .......................................................18 主要结论 .....................................................20 基本引理 .....................................................22 定理 3.2.1 的证明 .............................................27 论 .................................................... 31
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
二元二次不定方程求解方法研究毕业论文.doc
图书分类号:密级:题目：二元二次不定方程求解方法研究学生姓名______________________________________ 班级学院名称专业名称______________________________________ 指导教师学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用或参考的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标注。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名，_______________ 日期，___________ 年_月_________ 日学位论文版权协议书本人完全了解关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：本校学生在学习期间所完成的学位论文的知识产权归所拥有。
有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的纸本复印件和电子文档拷贝，允许论文被查阅和借阅。
可以公布学位论文的全部或部分内容，可以将本学位论文的全部或部分内容提交至各类数据库进行发布和检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
论文作者签名：______________ 导师签名：____________________日期：______ 年_月__________ 日日期：_____ 年_月_________ 曰目录前 (3)1二元二次不定方程概念 (3)2二元二次不定方程解的情况 (3)2.1无解 (3)2.2冇限组解 (4)3二元二次不定方程的解法 (4)3.1 —般方法 (4)3.2特殊解法 (5)3.3因式分解及因式组合法 (5)3.4判别式法 (5)3.5求根公式法 (7)3.6估计法 (7)3. 7同余法 (9)3. 8换元法 (10)3.9解析法 (11)3.10分离变数 (13)13 4一个重要的二元二次不定方程一一佩尔方程..................................4.1佩尔方程定理 (13)4.2佩尔方程的应用 (14)参考文献： (16)二元二次不定方程求解方法研究学生：（指导教师： ） （淮南师范学金融学院）不定方程应用非常广泛，比如数学分析、运筹学、几何等也有着密切的 联系，故研宂不定方程有极大的实用代价。
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二阶脉冲微分方程积分边值问题正解的存在性
（ 大学 学院 ）
摘 要：本文利用锥上的不动点定理，得到了二阶脉冲边值问题1
0(,),(0)()(),(1)0,()()(,())i i i i u Mu f t u u h s u s ds u u t u t I t u t +''-+====+⎰正解的存在性.
关键词：脉冲微分方程；边值问题；正解；存在性
Existence of Positive Solutions to Integral Boundary Value Problems for Second Order Impulsive Differential Equations
Chen Jia
(College of Mathematics and Computer Science, Jishou University, Jishou Hunan
416000)
Abstract ：By using the fixed point theorems in cones,we considered the existence of positive solutions to boundary value problems for second order impulsive differential equations (,),
()()(,()i i i i u M u f t u u t u t I t u t +''-+==+ (1)0u =, 1
0(0)()(),u h s u s ds =⎰The sufficient conditions of positive solutions for this problem
are obtained .
Keywords: impulsive differential equation;boundery value problem ;positive solution; existence
1 引 言
近年来，脉冲微分方程的研究日趋活跃，脉冲现象在物理、化学、生物医学、工业机器人技术和经济学中都 有着广泛的应用背景.它的理论比相应的微分方程更加丰富，也更加准确地刻画了许多自然现象.而很多时候我们要把脉冲微分方程准确地解出来是不可能甚至没有必要的，因此，研究脉冲微分方程解的存在性就成了一件十分必要和有意义的工作了.对于不带脉冲的微分方程边值问题的
研究已经有很多的结果.文[1-2]利用上下解方法和半序理论给出问题 .
2 预备知识
定义[8]2.1 设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中的紧集，则称M
为X 中的相对紧集.
定理[7][9]2.2（Arzela Ascoli -定理）()F C M ⊂是相对紧集当且仅当F 是一致有界且等度连续的函数族.
引理2.2 边值问题（1.1）—（1.4）等价于积分方程
证明
引理2.4 设{||||}u E u d Ω=∈<是([0,1])E C =上的一个有界开集， 则算子:T E Ω→是全连续算子.
证明
3.主要结论
定义3.1
定理3.1
证明
参考文献
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