高二竞赛讲义数列不等式2教案.doc
高二数学不等式全章教案 人教版 教案
高二数学不等式全章教案不等式的性质(1)教学目的:1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用;2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系,学会比较两个代数式的大小.教学重点:比较两实数大小.教学难点:差值比较法:作差→变形→判断差值的符号课时安排:1课时教学过程:一、引入:人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系,这种关系是本章内容的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系问题1.a克水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?问题2.课本80页问题3二、讲解新课:1.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明:(1)不等号的种类:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等)(3)不等式研究的X围是实数集R.2.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:>bbaa⇔>-ab=ba=-⇔0<-⇔<b a b a由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了,这好比站在同一水平面上的两个人,只要看一下他们的差距,就可以判断他们的高矮了. 三、讲解X 例:例1比较(a +3)(a -5)与(a +2)(a -4)的大小【练习】已知x ≠0,比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小【变式】在上一题中,如果没有x ≠0这个条件,那么两式的大小关系如何?【结论】用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要【解决问题1】已知a>b>0,m>0,试比较ma mb ++与ab的大小例2.已知x>y ,且y ≠0,比较yx 与1的大小例3.比较231-和10的大小例4.设0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a的大小 四、课堂练习:1在以下各题的横线处适当的不等号:(1)(3+2)26+26;(2)(3-2)2(6-1)2;(3)251-561-;(4)当a >b >0时,log 21a log 21b五、小结 :本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系,并以此关系为依据,研究了如何比较两个实数的大小,其具体解题步骤可归纳为:第一步:作差并化简,其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论第三步:得出结论六、课后作业: A :P83页B 组:1B :1.已知142=+yx 比较22y x +与201的大小2.比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a的大小 【探究】设数列{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0 (1) 求数列{a n }的通项公式(2)若数列{b n }满足b n =(2n 2-21n )a n ,求数列{|b n |}的前n 项和不等式的性质(2)教学目的:1.理解实际生活中的不等关系 2.理解同向不等式,异向不等式概念; 3.理解不等式的性质1-4及其证明4.通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点:掌握不等式性质,注意每个性质的条件。
高中数学优秀教案第二册上.不等式的性质(二)
课题:不等式的性质(2)教学目的:1理解同向不等式,异向不等式概念;2理解不等式的性质定理1—3及其证明;3理解证明不等式的逻辑推理方法.4通过对不等式性质定理的掌握,培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯教学重点:掌握不等式性质定理1、2、3及推论,注意每个定理的条件教学难点:1理解定理1、定理2的证明,即“a>b⇔b<a和a>b,b>c⇒a>c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则2定理3的推论,即“a>b,c>d⇒a+c>b+d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时,就不能得出一般结论授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学方法:引导启发结合法——即在教师引导下,由学生利用已学过的有关知识,顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用教学过程:一、复习引入:1.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2.(1)如果甲的年龄大于乙的年龄,那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高,乙的个子比丙高,那么甲的个子比丙高吗?为什么?从而引出不等式的性质及其证明方法.二、讲解新课:1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b ,c 〉d 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式如:a 〉b ,c 〈d ,是异向不等式2.不等式的性质:定理1:如果a>b ,那么b 〈a ,如果b<a,那么a 〉b .(对称性) 即:a 〉b ⇒b 〈a ;b 〈a ⇒a 〉b证明:∵a 〉b ∴a —b 〉0由正数的相反数是负数,得-(a-b)〈0即b —a<0 ∴b 〈a (定理的后半部分略) .点评:可能个别学生认为定理l 没有必要证明,那么问题:若a 〉b,则a 1和b1谁大?根据学生的错误来说明证明的必要性a 、b 的大小”与“a —b 与零的关系"是证明不等式性质的基础,本定理也称不等式的对称性.定理2:如果a 〉b ,且b 〉c ,那么a>c .(传递性)即a>b ,b>c ⇒a 〉c证明:∵a 〉b ,b>c ∴a —b>0, b-c>0根据两个正数的和仍是正数,得(a-b)+( b-c)>0 即a —c>0∴a 〉c根据定理l ,定理2还可以表示为:c 〈b ,b<a⇒c 〈a 点评:这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n 个的情形. 定理3:如果a 〉b ,那么a+c>b+c .即a 〉b ⇒a+c>b+c证明:∵a 〉b , ∴a-b 〉0,∴(a+c )—( b+c)>0 即a+c 〉b+c点评:(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出:如果a+b>c ,那么a 〉c-b ,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论:如果a 〉b ,且c>d ,那么a+c>b+d .(相加法则) 即a 〉b , c>d⇒a+c 〉b+d .证法一:⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>d b c b d c c b c a b a a+c 〉b+d 证法二:⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a a+c 〉b+d 点评:(1)这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(2)两个同向不等式的两边分别相减时,不能作出一般的结论;三、讲解范例:例1。
高中数学备课教案不等式与数列
高中数学备课教案不等式与数列高中数学备课教案:不等式与数列一、引言在高中数学教学中,不等式与数列是重要的内容之一。
不等式是数学中用于表示大小关系的工具,而数列则是一系列有规律的数字的排列。
本教案旨在帮助教师充分了解不等式与数列的相关知识,并提供备课思路和教学方法,以提升学生对这些概念的理解和应用能力。
二、不等式的基础知识1. 不等式的定义和性质不等式是指数之间的大小关系,包括大于等于、小于等于、大于、小于等四种形式。
教师应当对不等式的定义和常见的性质进行介绍,例如不等式的传递性、加减乘除法则等。
2. 不等式的解法a. 直接法:对于简单的一元一次不等式,可以直接通过变量的加减乘除运算得到解。
b. 图像法:通过将不等式转化为图像,利用图像上的区域来得到解,特别适用于复杂的二次不等式。
c. 区间法:将不等式转化为区间表示,通过判断变量所在的区间来得到解。
三、不等式的应用1. 不等式的图像表示及应用a. 了解不等式的图像表示方式,例如用数轴来表示不等式中变量的取值范围。
b. 掌握利用不等式解决实际问题的方法,如利用不等式求解范围、判断条件等。
2. 不等式的证明a. 了解和掌握不等式的比较原理和证明方法,如数学归纳法、反证法等。
b. 引导学生从不等式的定义和性质出发,运用合适的证明方法来证明不等式的成立。
四、数列的基础知识1. 数列的定义和表示方法a. 数列由一系列有规律的数字所组成,通常用数学表达式表示。
b. 掌握等差数列和等比数列的定义和常见特点。
2. 数列的通项公式a. 等差数列的通项公式:an = a1 + (n-1)d。
b. 等比数列的通项公式:an = a1 * r^(n-1)。
3. 数列的求和公式a. 等差数列的求和公式:Sn = n/2 * (a1 + an)。
b. 等比数列的求和公式:Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。
五、数列的应用1. 数列的图像表示及应用a. 掌握数列的图像表示方法,如坐标表示、直方图表示等。
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义(五)──数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
高中数学竞赛讲义(免费)(完整资料).doc
【最新整理,下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3. 初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(五)──数列
⾼中数学竞赛讲义(五)──数列⾼中数学竞赛讲义(五)──数列⼀、基础知识定义1 数列,按顺序给出的⼀列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种,数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的⾸项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a-q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B⾄少有⼀个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等⽐数列,q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等⽐数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等⽐中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列,若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1,则称之为⽆穷递增等⽐数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第二节解不等式(2) 文 教案
第二节 解不等式不等式是高中数学的传统内容,对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现,这类试题虽然难度不大,但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目;高考中涉及不等式的,更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体,综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性(是研究函数、方程、极限等必不可少的工具)、渗透性(容易与其它各部分知识结合在一起)、应用性(实际应用广泛),很自然地成为每年高考的热点.近几年,高考关于不等式的命题趋势是: (1)单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现,若是解答题也是中等难度的题目;(2)高考中涉及不等式的,更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体,综合考查不等式的解法和证明,突出不等式的工具性.在高考试卷中,有关解不等式的试题一般有一到两道. 考试要求(1)不等关系:了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.② 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 题型一: 不等式的解法例1(2011上海理科20)已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅,其中常数,a b 满足0ab ≠。
⑴ 若0ab >,判断函数()f x 的单调性;⑵ 若0ab <,求(1)()f x f x +>时x 的取值范围。
点拨;解不等式的基本思想方法是转化:一元二次不等式转化为一元一次不等式,分式不等式转化为整式不等式,指数与对数不等式(通过化“同底”)转化为代数不等式,抽象函数不等式(通过单调性)转化为具体不等式等.本题是指数不等式,可通过化“同底”求解.解:⑴ 当0,0a b >>时,任意1212,,x x R x x ∈<,则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+- ∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<,121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<, ∴ 12()()0f x f x -<,函数()f x 在R 上是增函数。
高二数学 第六章 不等式: 6.3不等式的证明(二)优秀教案
高二数学第六章不等式: 6.3不等式的证明(二)优秀教案教材:不等式证明二(综合法,分析法,反证法,变换法)目的:加强不等式证明的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程:1 综合法有时我们可以利用某些已经证明过的不等式(例如均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.2 分析法证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.证明:同理因为不全相等,所以三式不能全取等号例1.已知是不全相等的正数,求证:证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21<25下手,因此,我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要方法证明:因为 和 都是正数,所以为了证明只需证明展开得因为 成立,所以 成立例3 证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大证明:设周长为 ,依题意,圆的面积为 ,正方形面积为 . 所以本题只需证明 为了证明上式成立,只需证明:两边同时乘以正数 ,得:因此只需证明:上式是成立的,所以:这就证明了,如果周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.例2 求证:3 反证法反证法是一种间接证明方法,我们如果欲证明“若A则B”,可以通过否定B 来达到肯定B的效果,步骤一般分为三步:1.反设结论不成立;2.归谬,由假设作为条件推出矛盾;3.结论,肯定欲证结论的正确所以,矛盾!4 变换法变换法就是利用拆项或者插项,换元(三角换元,增量换元,等价转化)等变换达到证明不等式的目的,其中,最为常用的就是三角换元法,把多个变量换成同一个角的三角函数值,再用三角公式进行证明.中至少有一个不大于证明:假设都是小于1的正数但是已知: ,且求证:证明:由已知,可设已知都是小于1的正数,求证:三、小结:各种证明方法四、作业:P15—16 练习1,2P18 习题6.3 1,2,3。
解不等式二 高二数学不等式全套教案 人教版 高二数学不等式全套教案 人教版
解不等式二一.教学内容: 解不等式(二) 二. 重点、难点:1. 无理不等式(介绍内容)(1)f x g x f x g x g x ()()()()()>⇔>≥⎧⎨⎩0(2)f xg x f x g x f x g x ()()()()()()<⇔≥><⎧⎨⎪⎩⎪002(3)f x g x g x f x f x g x g x ()()()()()()()>⇔<≥⎧⎨⎩>≥⎧⎨⎩0002或 2. 指数不等式: (1)aa a f x g x a f x g x f x g x ()()()()()()()()>∈⇒<∈+∞⇒>⎧⎨⎩011,, (2)[]()()apa q f x f x 20++>令a t f x ()=,t pt q 20++>⇒t 的范围⇒x 的范围。
3. 对数不等式(1)log ()log ()()()()()()()a a f x g x a g x f x a f x g x >∈⇒>>∈+∞⇒>>⎧⎨⎪⎩⎪01010,,(2)[log ()][log ()]a a f x p f x q 220++>令log ()a f x t t pt q t =++>⇒,20的范围⇒x 的范围。
【例题分析】 无理不等式 解不等式: 例1. 231x x -<+解:230102313214x x x x x x x -≥+≥-<+⎧⎨⎪⎩⎪⇒≥≥-<⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴∈x [)324,例2. x x x 2323-+>+解:x x x x x x x x x 222232030323379320303-+≥+≥-+>+--⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪-+≥+<-∞-⎧⎨⎪⎩⎪()[)(),,或 ∴∈-∞-x (),79例3. x x x 22152--<-解:x x x x x x 2222150202152--≥-≥--<-⎧⎨⎪⎩⎪()⇒-+≥≤<⎧⎨⎪⎩⎪⇒∈-∞-()()(]x x x x x 53022193, 指数不等式: 解不等式: 例1. ()()2121221->+--xxx 解:()()2121221+>+-+-xxx-+>-+-<∈---+x x x x x x 222110152152(),例2. 1623022xx-+<+解:令4x t = 原式为t t 2430-+<()()t t t x --<∴<<<<13013443∴∈x (log )034, 例3. 6232483x x x ++<⋅解:232323224483x x x x ⋅⋅⋅<⋅+23322323234444x x x xy x ⋅<⋅<=↓∴∈+∞()()()(),对数不等式 解不等式:例1. log ()log ()..0220234210x x x --<+ 解:y x =↓log .02x x x x 2342102100-->++>⎧⎨⎩x ∈--+∞()()527,, 例2. 25202212log log x x ++≤解:令log 12x t =2520212422121212t t t x ++≤-≤≤-≤≤log log log ∴∈x []24,例3. log ()()x x x ---<32340 解:0313412<-<-->⎧⎨⎩x x x 或0341302<--<->⎧⎨⎩x x xφ或43292<<+x ∴∈+x ()43292,【模拟试题】1. 解不等式x a x ax a 223>+-() 2. a ∈+∞()()011,, ,解不等式:aa a xx x 2221+<++-。
2013白蒲中学高二数学教案:不等式:2(苏教版)
第二教时教材:不等式基本性质(续完)目的:继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程:一、复习:不等式的基本概念,充要条件,基本性质1、2二、1.性质3:如果b a >,那么c b c a +>+ (加法单调性)反之亦然证:∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则:b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论:如果b a >且d c >,那么d b c a +>+ (相加法则)证:d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>推论:如果b a >且d c <,那么d b c a ->- (相减法则) 证:∵d c < ∴d c ->-d b c a d c ba ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证:)()()()(d c b a d b c a ---=---dc b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ………2.性质4:如果b a >且0>c , 那么bc ac >;如果b a >且0<c 那么bc ac < (乘法单调性)证:c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正,异号相乘得负,得:0>c 时0)(>-c b a 即:bc ac > 0<c 时0)(<-c b a 即:bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >(相乘法则)证:bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,推论1’(补充)如果0>>b a 且d c <<0,那么db ca >(相除法则)证:∵0>>c d∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >推论2 如果0>>b a , 那么n nb a >)1(>∈n N n 且3.性质5:如果0>>b a ,那么n nb a >)1(>∈n N n 且证:(反证法)假设n nb a ≤则:若ba b a b a b a nnn n =⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n nb a >三、小结:五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6。
江苏省白蒲中学高二数学 不等式教案2 苏教版
第二教时教材:不等式基本性质(续完)目的:继续学习不等式的基本性质,并能用前面的性质进行论证,从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程:一、复习:不等式的基本概念,充要条件,基本性质1、2二、1.性质3:如果b a >,那么c b c a +>+ (加法单调性)反之亦然证:∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则:b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论:如果b a >且d c >,那么d b c a +>+ (相加法则)证:d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论:如果b a >且d c <,那么d b c a ->- (相减法则)证:∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证:)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2.性质4:如果b a >且0>c , 那么bc ac >;如果b a >且0<c 那么bc ac < (乘法单调性)证:c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正,异号相乘得负,得:0>c 时0)(>-c b a 即:bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即:bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >(相乘法则)证:bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’(补充)如果0>>b a 且d c <<0,那么db c a >(相除法则)证:∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3.性质5:如果0>>b a ,那么n n b a > )1(>∈n N n 且证:(反证法)假设n n b a ≤ 则:若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 三、小结:五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题(或作业)1.已知0>>b a ,0<<d c ,0<e ,求证:db ec a e ->- 证:⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2.若R b a ∈,,求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解:00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3.设R c b a ∈,,,0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证:∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4.||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解:a 1-b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a >0<-a b 0>ab ∴0<-aba b ∴a 1<b1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5.若0,>b a 求证:a b a b >⇔>1 解:01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 6.若0,0<<>>dc b a 求证:db c a ->-ππααsin sin log log 证:∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立。
高二不等式教案设计.docx
第六章不等式 6. 1不等式的性质(一)教材:不等式、不等式的综合性质目的:首先让学生掌握不等式的一个等价关系,了解并会证明不等式的基本性质III 。
过程:一、 引入新课:1.世界上所有的事物不等是绝对的,相等是相对的。
2. 过去我们已经接触过许多不等式,从而提出课题二、 几个与不等式有关的名称:1•“同向不等式与异向不等式” 2.“绝对不等式与矛盾不等式” 三、 不等式的一个等价关系(充要条件)1.从实数与数轴上的点 对应谈起:a>boa-b>0 a =b<^>a-b = Oa<b<^>a-b<02•应用:例一 比较(d + 3)(d —5)与(。
+2)@ —4)的大小解:(取托)(a + 3)(a — 5) — (a + 2)(a — 4) = (a“ — 2ci -15)-(/ — 2a — 8) = —7 < 0(a + 3)(a — 5)〈(a + 2)(a — 4)例二已知“0,比较(x 2+1)2与/+,+ 1的大小角¥:(取差)+1)2 — (x 4 + x 2 +1) = x 4 + 2x 2 +1 —兀° —兀“ 一1 =兀“T x H 0/• %2 > 0 从而O' +l)2>x 4 +x 2 +1h h + m2. 土和=(a,b,mwRj a a + m 解:(収差,-也二四—a a a (a^m )“ b、b + m xlz f . b b + m 七, b b + m• •当b 〉a 时一 > --- ; 当 b = a 时一二 ---- : < a 时一〈 -----a a + m a a + m a a + m3.设0〉0且。
工1, f 〉o 比较|log u r 与log “号!•的大小解:严牛。
当 d 〉1 吋一log “ t W log四、不等式的性质1 •性质1:如果a>h ,那么“Vo ;如來“VQ,那么a>h (对称性)证:丁 a>b:.a-b>0市正数的相反数是负数 2•性质2:如果ci> b , b>c 那么a>c (传递性)小结:步骤:作差一变形一判断一结论例三比较大小1.] V3-V2和価 ] V3-V2=V3 + V2 ・・・(V3+V2)2-(V10)2=2V6-5 = V24-V25 <01 *73^/2<Vio号;当 ° VdV 1 吋 *log 」21og“¥-(a-b) <0 b-a <0b <a证:T (a + c)-(b + c) = a- b > 0 d + c > b + c从而可得移项法则:Q+b 〉c=>Q + b + (-Z?)〉c + (-/?) => a > c-b 推论:如果a>b 且c>〃,那么a + c >b + d (相加法则)a>b^>a + c>b + c]iiE : \ a + c> b + dc 〉d =>b + c 〉b + dj推论:如果a>b 且cvd,那么a-oh-d (相减法则)、.a> bilk.: T c < d /•-(?> ~d <u — c > b _ d-c > -d或证:(a - c) -(b-d) = (a - b) - (c - cl)•/ a > b:. a - h > 0] t\ =上式〉0...........T c < d:.c-d < 0J2.性质4:如果d>b 且c>0,那么ac > be ;如果a>b 且c <0那么ac < he (乘法单调性)证:•: a> b ,b > c:.a-h>0, h-c>0V 两个正数的和仍是正数(d — b) +(b — c)〉0 ci — c 〉0: • a > c由对称性、性质2可以表示为如果c<bAb<a 那么c<a五、小结:1.不等式的概念 2. 一个充要条件 3.性质1、补充题:1-若25 = 1,比较宀护与訥大小解:音2 2 1x + y ---------・ 20+ y 22.比较 2sin0与 sin20的大小(0<0<2n) 略解:2sin0-sin20=2sin0(1-cosO) 当* (0,兀)吋 2sin0(l-cos0) 20 2sin0^sin2e 当Gw (K , 2兀)时 2sinO (1-cosO) <0 2sin0<sin203.设。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高二数学竞赛班一试讲义第2讲 数列求和与数列不等式班级 姓名一、知识要点:1.公式法:适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列. 2.错位相减法:若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则求数列{}n n a b 的前n 项和n S ,常用错位相减法。
3.分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列;4.裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项。
5.倒序相加法:类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.6.并项求和法:把数列的连续若干项并在一起组成一项,再求这些大项的和7.数列求和不等式的证明方法:均值不等式法,利用有用结论,部分项放缩,添减项放缩,利用单调性放缩,换元放缩,递推放缩,转化为加强命题放缩,分奇偶项讨论,数学归纳法。
二、例题精析例1.(1)已知数列{}n a 的通项公式2293932n n n a n n -=--,求数列{}n a 的前n 项的和n S 。
(2)已知数列{}n a 的通项公式12(21)(21)nn n na +=--,求数列{}n a 的前n 项的和n S 。
例2.数列数列{}n a :1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,,L 即正整数k 有k 个,自小到大排列而成, 求n a 及n S .例3.设10<<a ,定义a a a a a nn +=+=+1,111,求证:对一切正整数n 有.1>n a例4.(1)已知n a n =,1()2nn b =,求证:11222n n a b a b a b +++<L 。
(2)已知函数bxa x f 211)(⋅+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21, 求证:.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ(02年全国联赛山东预赛题)例5.在数列{}n x 中,已知14,2)n x x n ==≥,求证: (1)12333n n x x --≤-; (2)11223()3()33n n n x ---≤≤+。
例6.(1)求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ(2)设++=a n a 211.2,131≥++a n a a Λ求证:47<n a例7.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S nn n(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)证明:对任意的整数4>m ,有8711154<+++m a a a Λ(04年全国卷Ⅲ)三、精选习题1.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且5321n n A n B n +=-,则这两个 数列的第九项之比99a b = . 2.求和:1222214343434343nn n n n n ----+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+= 。
3.设数列{}n a 满足11a =,11n n a a n +⋅=+()n N *∈,求证:111)nk ka =≥∑。
4.(07年高赛一试)设11(1)nn k a k n k ==+-∑,求证:当正整数2n ≥时,1n n a a +<.5.设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121,当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ; 21111111)(21≤++++++n a a a ii Λ(02年全国高考题)6.已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++(1)用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥;(2)对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828e ≈L )(05年辽宁卷第22题)7.设数列{}n x 满足21121,2n n n x x x x n+==+,证明:20071004x <。
8.设11223a <<,11(2)n n n a a a ++=-,1,2,3,n =⋅⋅⋅, 求证:12111122nn n a a a +<++⋅⋅⋅+<+9.在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. (1)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++L .10.一个数列的前5项是1,2,3,4,5,从第6项开始,每项比前面所有项的乘积少1,证明:此数列的前70项的乘积恰是它们的平方和。
高二数学竞赛班一试讲义第2讲 数列求和与数列不等式例1.(1)222211111()932(32)(31)33231n a n n n n n n =+=+=+----+-+, 231n n S n n =++ (2)11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n n n n n n a ++++---===-------,11121n n S +=--例2.解析 用数学归纳法推1+=k n 时的结论11>+n a ,仅用归纳假设1>k a 及递推式a a a kk +=+11是难以证出的,因为k a 出现在分母上!可以逆向考虑: .11111aa a a a k k k -<⇐>+=+故将原问题转化为证明其加强命题: 对一切正整数n 有.111aa n -<<(证明从略)例3.解:先对正整数分段,第一段1个数,第二段2个数,第三段3个数,…,第k 段有k个数,而前k 段项数和为(1)1232k k k +++++=L ,前1k -段项数和为(1)2k k -,如果n a k =,那么(1)(1)122k k k k n -++≤≤,于是,当n 给定时,由此式解得,k ≤≤,注意01≤<,于是k 等于12的整数部分,即k =⎣⎦,也就是n a =⎣⎦, 由于数列第k 段由k 个k 组成,其和为2k ,因此数列前1k -段的总和为2221(1)2(1)(21)12(1)6k k k k k S k ---=+++-=L ; 由于n a k =位于第k 段的第1(1)2n k k --个数,而这些项全是k ,因此,1(1)21(1)(21)1(1)(1)262n k k k k k S S n k k k n k k k ---⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)6nk k k =--;其中k =⎣⎦.例4.(1)令1122n n n S a b a b a b =+++L ,则231111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯2341111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ 两式相减,23411111111()()()()()2222222n n n S n +=++++⋅⋅⋅+-⨯ 1111()()122n n n +=--<g ∴2n S <(2)简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ .2121)2111(1)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ例5.(1)123333n n x x --==≤- (2)211121222233()3()3()3333n n n n n x x x x -----≤-≤-≤⋅⋅⋅≤-=,所以11223()3()33n n n x ---≤≤+例6.(1)简析 本题可以利用的有用结论主要有:法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注:例4是1985年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。
如理科题的主干是:证明.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ(可考虑用贝努利不等式3=n 的特例)(2)解析 ++=a n a 211.131211131222nn a a ++++≤++ΛΛ 又2),1(2≥->⋅=k k k k k k (只将其中一个k 变成1-k ,进行部分放缩),k k k k k111)1(112--=-<∴,于是)111()3121(411131211222nn n a n --++-++<++++≤ΛΛ47147<-=n例7. 简析 (Ⅰ) [].)1(23212---+=n n n a ;(Ⅱ)由于通项中含有n)1(-,很难直接放缩,考虑分项讨论:当3≥n 且n 为奇数时12222223)121121(2311213212121--++⋅=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2121(2322223123212-----+⋅=+⋅<n n n n n (减项放缩),于是 ①当4>m 且m 为偶数时=+++ma a a 11154Λ)11()11(11654m m a a a a a +++++-Λ.878321)211(412321)212121(23214243=+<-⋅⋅+=++++<--m m Λ ②当4>m 且m 为奇数时<+++ma a a 11154Λ1541111+++++m m a a a a Λ(添项放缩)由①知.871111154<+++++m m a a a a Λ由①②得证。