复变函数解析函数与调和函数的关系

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复变函数第10讲

ux v y , uy v x ,
由于f (z)有各阶导数，故有
uxx v yx , uyy v xy .
由解析函数高阶导数定理, u( x , y ), v( x , y )具有任意阶的连续导数，从而v xy v yx ,由此可得
uxx +uyy =0,
同理有 v xx v yy 0.
11
法四全微分法
v x u y 2 x 2 y , v y u x 2 x 2 y , dv v x dx v y dy ( 2 y 2 x )dx ( 2 x 2 y )dy ,
2 ydx 2 xdy 2 xdx 2 ydy
1
例1 验证u( x, y ) x 3 3 xy 2 9是z平面上的调和函数.
解：显然u( x , y ) x 3 3 xy2 9在z平面上有二阶连续偏导数 .
又 ux 3 x 2 3 y 2 , u xx 6 x ,
u y 6 xy, u yy 6 x;
5
3、构造解析函数
已知一个调和函数u( x , y ), 利用C R方程可求得共轭调和函数v( x , y ), 从而构成解析函数 f ( z ) u iv .
由调和函数，构造解析函数的方法如下： (1) 不定积分法； (3) 曲线积分法；
注意
(2)利用导数公式； (4)全微分法.
作此类题时，首先一定要验证给定的函数是否是调和函数.
6
2 2 设 u x 2 xy y , 求以u为实部的例2 解析函数 f ( z ).
法一不定积分法
v y 2 x 2 y v 2 xy y 2 ( x),

调和函数、解析函数与调和函数的关系

2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域��内的调和函数.
定理1：区域��内的解析函数的实部与虚部，都是��内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域��内的解析函数，
那么在区域��内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域��内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域��内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数

复变函数-第8章

设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则

第六讲_解析函数与调和函数的关系

2
2
又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
第四章级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
要想 u使 iv在 D内解 ,u及析 v还必须 C满 R 足方程v，必即须 u的是共轭调 .由和此函，数
已知一个解析函数部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域内的调和
(2)
8in
8n收
敛， (8i)n绝
对
收
n0 n! n0n!
n0 n!
(3 ) n 1( n 1 )n 收n 1 敛 2 1 n 收，敛 n 1(( n 1 )， n2 in)收 . 敛
又
(1)n
条
件收
敛原，级数非
绝.
对
n1 n
例3
讨论
zn的敛散性。
分
22
法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
又解 v2xy v2x yy2(x)

复变函数3-4

y
z z z
打洞!
C

பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o

9

C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )

z i

2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2

z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.

z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d

复变函数3.4解析函数与调和函数的关系

z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3

再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节解析函数与调和函数的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)

解析函数与调和函数的关系

已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程

满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数也是调和函数. 应用构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数

复变函数(3.5.7)--解析函数与调和函数的关系

知
?ﾢ f
(z)
=
1 2πi
C (z
(R2 - zz ) - z)(R2 - z
z)
f (z )dz
令 z = reij ,z = Rei , 则 dz = Rieiq dq
而 zz = r 2 , (z - z)(R2 - z z ) = (z - z)(R2 - Rreiq e-iq )
Reiq (Reiq - reij )(Re-iq - re-ij ) = Reiq [Reiq - Rr(eiq e-iq + e-iq eij )] = Reiq [R2 + r2 - 2Rr(cosq cosj + sinq sin j)] = Reiq (R2 - 2Rr cos(q - j) + r2 )
| z - z0 |= r ，它的内部全含于 D ，试证：
ﾢ (1)
u(x0 , y0 ) =
1 2p
2p 0
u(
x0
+
r
cos
j,
y0
+
r
sin
j
)dj
即
调
和
函
数
在
任
一
点
( x0
,
y0
)
的
值，等于它在圆周 C 上的平均值.
�� (2)
u(x0 ,
y0 )
=
1 p r02
r0 0
2p 0
u ( x0
vx = 3y2 - 3x2 + 6xy; vy = 3x2 + 6xy - 3y2 可用以下三种方程求 v .
1.（凑全微分法）
dv = (3y2 - 3x2 + 6xy)dx + (3x2 + 6xy - 3y2 )dy = 3y2dx + 3xdy2 + 3x2dy + 3ydx2 - d(x3 + y3) = 2(3xy2 + 3x2 y - x3 - y3 )

解析函数与调和函数

2v 2v 0 x2 y 2
故 u是全平面上的调和函数，v除原点外在全平面上调和。但 u v,不满足C-R条件，所以 f z 不是
解析函数。x y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
u 例3 证明：若为调和函数且不等于常数，
则 u 2 不是调和函数。
例4求形如 ax3 bx2 y cxy2 dy3的最一般的调和函数。
并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。
解：因为 u ax3 bx2 y cxy2 dy3,所以
2u 6ax 2by, 2u 6dy 2cx.
x 2
y 2
令
2u 2u (6a 2c)x (6d 2b) y 0
u yy vxy
uxx u yy 0 . 同样可得 vxx vyy 0 .
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
注：逆定理显然不成立，即
对区域D内的任意两个调和函数 u，v，
f (z) u iv及（ f z） v iu
不一定是解析函数 .
例如： f z z2 x2 y2 i2xy是解析函数，
故u，v是调和函数，但
f z v iu 2xy i x2 y2
不再是解析函数
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R方程 ux =v y，uy =-v x，则称v为u的共轭调和函数。
( f 0 0 c 0)
复变函数与积分变换
例2
Complex Analysis

复变函数的解析函数与调和函数

复变函数的解析函数与调和函数复变函数是数学分析中的一个重要概念，它与解析函数和调和函数密切相关。

本文将介绍复变函数的解析函数与调和函数，并讨论它们的性质和应用。

一、复变函数的解析函数与调和函数1. 解析函数：解析函数是复变函数中的一类特殊函数，它在其定义域内处处可导，并且导数连续。

具体而言，设复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy为复平面上的任意点，则f(z)在其定义域内解析的充分必要条件是它满足柯西—黎曼方程，即满足以下两个偏微分方程：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x。

2. 调和函数：调和函数是解析函数的一种特殊情况，即当解析函数的虚部为零时，即v(x, y) ≡ 0，此时其实部u(x, y)就是一个调和函数。

调和函数满足拉普拉斯方程，即在定义域内满足以下二阶偏微分方程：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。

二、解析函数与调和函数的性质比较1. 解析函数的性质：(1) 解析函数的实部和虚部都是调和函数；(2) 解析函数与其共轭函数的乘积是调和函数；(3) 解析函数的实部和虚部满足柯西—黎曼方程，从而具有一些重要的性质，如旋度为零、偏导数的连续性等。

2. 调和函数的性质：(1) 调和函数具有最大值原理和平均值原理；(2) 调和函数的解存在一定的唯一性；(3) 调和函数具有良好的逼近性质，可以用调和函数逼近光滑函数。

三、解析函数与调和函数的应用1. 解析函数的应用：(1) 解析函数常用于描述电磁场、流体力学、热传导等自然科学领域中的问题；(2) 解析函数在工程与技术中的应用广泛，例如电路分析、图像处理、通信系统等。

2. 调和函数的应用：(1) 调和函数在物理学中有广泛的应用，如波动方程的求解、电势场的描述等；(2) 调和函数在几何学和偏微分方程中也具有重要的作用，如调和映射、调和分析等。

总结：本文介绍了复变函数的解析函数与调和函数，讨论了它们的性质和应用。

6复变(1解析函数与调和函数的关系2复级数的概念3幂级数)

又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
an

a
,
lim
n
bn

b.
“” 已知 lim an a, lim bn b 即，
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn

a

ib

lim
n
n

a,
lim
n

n

b

an和 bn都收敛。
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。

性质级数

收敛的必
2
2
第四章级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
1. 复数列的极限
定义设复数列：{n }(n 1,2,), 其中n＝an ibn ,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒有n ，
函
数, 则
2u x 2

2u y 2

0
即, u 、u 在D内有连续一阶偏导数 y x
且
( u ) ( u )
y y x x
v v
u
u
v
dx dy dx dy
x y
y x
dv( x, y)

复变函数课件解析函数与调和函数的关系

证明由 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 解析，有
u v , x y u v , y x
2 2 u u 2 0. 2 x y 2u 2v , 2 xy y
2 u 2v , 2 yx x
定理函数 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 在区域 D 内解析的充要
P37 定理 2.4
条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。 u 是 v 的共轭调和函数。
注意 v 是 u 的共轭调和函数
-u 是 v 的共轭调和函数
4
三、构造解析函数
问题已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )，使 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 解析，且满足指定的条件。依据构造解析函数 f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) 的依据： (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C R 方程。注意必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。方法偏积分法
实部的解析函数 f ( z ), 使得 f ( i ) i .
解 (3) 求确定常数 c
f ( z ) ( x 3 3 xy 2 ) i ( 3 x 2 y y 3 c ) ,
根据条件 f (i ) i , 将 x 0 , y 1 代入得
i (1 c ) i , c 0 ,
g(0) g' (0) 0, 求 g( y ), u( x , y ), 使 f ( z ) 满足条件
f (0) 0.
2014年考题

复变函数2-2调和函数

2u y2 6 y,
积
分变换
于是
2u x 2

2u y2

0,
故
u( x,
y)
为调和函数.
解法1 偏积分法
哈尔滨
因为 v u 6xy, y x
工
程大学
v 6 xydy 3xy2 g( x),
复变函
v 3 y2 g( x) u 3 y2 3x2 ,
工程
并求满足 f (i) 1 的 f (z).
大
学
例4
复
变函数
已知 u v ( x y)( x2 4xy y2 ) 2( x y),
与积
试确定解析函数 f (z) u iv.
分
变
换
例3 求 k 值, 使 u x2 ky2 为调和函数.
再求v, 使f (z) u iv 为解析函数,
复
变函
f (z) 3z2 2,
数
与
积分
f (z) (3z2 2)dz z3 2z c.
变
换
(c 为任意实常数)
练习
哈尔
1. 用不定积分法求解例1,2 中的解析函数
滨
工
程
大学
2. 证明 u( x, y) x3 6 x2 y 3 xy2 2y3
y ( x0 , y0 )
x
程大学

( x, y)
(3
y2

3
x2
)dx

6
xydy)

C
( 0 ,0 )
复变函数

复变函数(3.5.5)--解析函数与调和函数的关系

利用线积分与路径无关的条件积分如下
�ﾮ � v== x(x,0y)d=x22+yxdyxy +22xxddyy
0(0,0)
0
v(x, y) = 2xy + c
因此，。从而得到一个解析函数
w = x2 y2 + i(2xy + c).
即
w = f (z) = z2 + c.
▎ 如果我们有一定的作题经验后，可以直接用全微分法去求原函数。此例说明：只要已知解析函数的实部，就可以确定它的虚部（至多相差一个任意常数）。我们同样可以由解析函数的虚部确定（可能相差一个常数）它的实部
2v x2
+
Duv2v y 2
=
0
同理可得。因此，与都是内的调和函数。 ▎
u x
=
v ,uvu(x+Duv,iyv)u y y
=

v x
,
设为区域内给定的调和函数，如果区域内的另一个函数使在内构成解析函数，则称为的共轭调和函数。换句话说，若调和函数与在内满足柯西-黎曼方程则称为的共轭调和函数。因此，定理 3.10 说明：区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。值得注意的是，该定理的逆命题不一定成立，也就是说，即使一个复变函数的实部和虚部都是调和函数，这个函数也不一定解析。但是，解析函数与调和函数的上述关系使我们可以借助与解析函数的理论解决有关调和问题的许多问题。
4
0.
这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用。下面的定理刻画了调和函数与解析函数之间的关系。
D
定理 3.10 任何区域内解析的函数，它的实部和虚部都是内的调和函数。

南大复变函数与积分变换课件(PPT版)2.2-解析函数与调和函数的关系

v y
u x
,
v x
u . y
(A) (B )
(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：
v( x,
y)
v y
dy
u x
dy
v~( x,
y)
c
(x),
(C )
其中，v~( x, y)已知，而 ( x) 待定。
(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数 ( x).
解析
P37 定义
且满足 C R 方程：u v ,
u v ,
2.4
x y y x
函
则称 v 是 u 的共轭调和函数。
数
定理函数 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在区域 D内解析的充要
P37 定理
条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。
2.4
注意 v 是 u 的共轭调和函数
由 v 6xy ( x) u 6xy , ( x) 0,
x
y
(x) c , v(x, y) 3x2 y y3 c .
11
§2.2 解析函数与调和函数的关系
第二章
解解 (2) 求虚部 v( x, y)。
析
方法二：全微分法
函
数
由 v u 3x2 3 y2 , v u 6xy ,
8
§2.2 解析函数与调和函数的关系
第三、构造解析函数
二章
方法
全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 ) P39
解
(1) 由 u 及 C R 方程得到待定函数 v 的全微分：
析函
dv v dx v dy u dx u dy .

复变函数

与实变函数的极限性质类似.
惟一性复合运算等
• 二、函数的连续性 • 定义1.4.2 设 f ( z ) 在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 ) ，则称函数 f ( z )在点 z0 处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内连续. • 定理1.4.2 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， u ( x, y )和 v( x, y ) 0 在 z 0 x0 iy处连续的充要条件是都在点 ( x , y ) 处连续.
定义：
函数w f ( z), z D; z0 , z0 z D
w f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 极限 lim lim z 0 z z 0 z
存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的
dw 导数，记作 f ( z0 )或 . dz z z0
f ( z )在点
f ( z) f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z 0 ) lim ( z z 0 ) z z0 z z0 z z0
f ( z) f ( z0 ) lim ( z z 0 ) lim z z0 z z0 z z0
问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，
如何判别其解析（可导）性？
解析的充分必要条件
定理2.1.1 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足
u v , x y

复变函数(3.5.3)--解析函数与调和函数的关系

1 2p
2p 0
| f (z) |
|
z
-
1 2
|2
dq
ﾢ
1 2p
2p 0
|
|fz(|z=)1- z | + |
(|
z
|
-
1 2
)2
z
|
dq
ﾢ
1 2π
2p 0
2 1
dq
=
8.
4
（）
| z - CDzu0 |= r
7、如果是区域内的调和函数，为内以为圆心的正向圆周：，它的内部全含于，
试证：
证（1）由柯西公式：
第三章复变函数的积分
例题
是实常数，于是
f (z) = C1C(1- i)z + C
由此
（是复常数）
| f| (fz|ﾢ)(zf12-(|<ﾢ=)zz|)1ﾢ|ﾢ8| .z |
6、设在内解析，在上连续，且在上，证明
ﾢ |
f
ﾢ(12) |=
1 2πi
|z|=1
f (z)
(
z
-
1 2
)2
dz
证
� � � ﾢ
uyy = -uxx = -2 = a ﾢﾢ( y)
第三章复变函数的积分
例题
a ( y) = - y2 + C1 y + C2
由 C-R 条件，
ux = 2x = vy -uy = 2 y + C1 = vx
而因此由得由得，
v = 2xy + C1x + C3 C2f =(0C) 3==00 fCﾢ(10=) =00
因此 (3).（线积分法）

【工程数学】复变函数复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二）复数的运算1。

加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。

乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==，则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。

乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。