第七章 能带理论一

2 2 2 2 2m V ri ri 2m U i ri ui (ri ) ri Ei ri




电子i与所有其他电子的相互作用势能
26 电子i与原子核之间的相互作用势能
（3） 周期势场近似：
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Bloch定理： 对于一个周期势场，单电子Shodinger 方程的解必定具有形式：
k (r ) = k (r ) e
ik r
即波函数为一个周期性函数与一个平 面波相乘的形式，其中 k (r ) 是一个 具有晶体点阵周期性的函数。 k (r ) = k（ r + T ） T 为点阵平移矢量。
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存在周期性势场时，电子满足的 Shodinger方程为:
h2 2 (r ) k (r ) k k (r ) 2m
其中

(r ) =
( r +T )
Bloch定理是关于周期势场中单电子 Shodinger方程的本征解的形式的问题。
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能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础
能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
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能带理论是固体物理学的核心部分之一， 具有极重要的意义。
能带理论促进了半导体科学的发展，并对当代 高度发展的微电子工业作出了奠基性的贡献。
布洛赫(F Bloch)首先运用量子力学原理来分析晶体中外层电 子的运动，阐明了周期场中运动的电子所具有的基本特征， 为固体能带理论奠定了基础。
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自由电子气
真实晶体中的电子
4
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围， 而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
能带理论的三个基本假设（近似）：
（1）波恩-奥本海默(Born－Oppenheimer)绝热近似： 所有原子核(或离子)都周期性地静止排列在其格点位置 上，因而忽略了电子与声子的碰撞。 电子质量m远远小于原子质量M →电子速度vi远远大于原子核速度v →原子核(离子)不动 电子可看作是在由原子核产生的、固定不动的势场中运动。 因为价电子对晶体性能的影响最大，并且在结合成晶体时 原子中的价电子状态变化也最大，而原子内层电子状态变化 较小，所以，可以把内层电子和原子核看成是一个离子实。 一般温度下，离子实总是围绕其平衡位置做微小振动(晶格振 动)。但在零级近似下，晶格振动的影响可以忽略，价电子可 以看作是在固定不变的离子实势场中运动。 24 →一个多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。
1 i 1

E r , r , ; R , R ,

由体系的薛定谔方程导出单电子的薛定谔方程：
h 2 ( r ) ( r ) ( r ) k k k 2 m
2
28
§7.2 Bloch定理
于是，多电子系统的薛定谔方程可简化为
2 2 1 e i 2 2 i j 4 0 r rij i 2m U r1 , ri , ; R1 , R , ri , R E ri , R





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（2） 哈特里-福克(Hatree－Fock)平均场近似：
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由Bloch定理可得两个重要结论： 〈1〉Bloch定理表明周期势场中 电子的本征函数有Bloch函数的形 式，是一个被周期场调幅了的平面 波，平面波的振幅具有周期势场的 周期性，这与自由电子的波函数不 同，自由电子的波函数是一个平面 波。
对于一维点阵（点阵常数为a）， 电子的波函数 eikx 若k远离BZ边界时 π （即 k a n 时），电子波不受Bragg 反射，从各原子散射的波没有确定的 位相关系，对入射波的传播无什么影 响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。
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π 但当 k n a
平面波 eikx 满足Bragg条件，波 程差为2a，相位差为2π ，从相邻 的原子反射的波有相同的位相， 发生相长干涉，产生向反方向传 i x 播的波 e a ，这样就形成了向相 反方向传播的两列行进波，平衡 时两波叠加形成驻波。
9
§7.1 近自由电子模型
10
1. 近自由电子模型
近自由电子模型认为：电子在晶体中要受 周围势场的作用，但这个势场的平均势场是一 个很微弱的势场，平均势场是周期势,由于很 弱，可以用量子力学中的微扰论来处理，这时 Shodinger方程中的哈密顿量既有动能又有势 能。
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P H ( r ) 2m p2 这里 (r ) 2m
假定是理想完整晶体，每一个电子都处在除其自身外其他 电子的平均势场和离子实产生的周期势场中运动，其周期 为晶格所具有的周期。 U(r) + u(r) = V(r) U(r)——平均势场，是一衡量 u(r)——离子实产生的周期势场。
因此，V(r)具有晶格周期性：
V r V r Rl


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把波函数平移点阵平移矢量可得： ik ( r T ) ( r T ) e k (r T ) = i k r i k T i k T (r ) e e ( r ) e = K = K 这也是Bloch定理的另一种表达式， 利用这种表达式Bloch定理可叙述为： 周期势场中单电子Shodinger方程的 本征函数k (r ) 可以这样来选取，使得 与每个 k (r ) 相联系的有一个波矢 k 满足： ik T k (r T ) = k (r ) e
5
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子实和其它电 子的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
6
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求
出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由
能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带 论。 能带论是用量子力学研究固体中电子的运动 规律。
第七章
能带Ⅰ
Energy Bands Ⅰ
引
言
固体中电子的运动状态对其力学、热学、 电磁学、光学等物理性质具有非常重要的影响， 因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电 子理论）是固体物理学的一个重要内容。
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但是：索末菲量子的自由电子气理论仍有对不少物理性质无 法解释。 如：有些金属霍尔系数为正； 固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质。 测量的平均自由程比理论的大很多等
2 u u ( x) n cos nx
n
a
Eg
=
un
能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un 是收敛的，能隙的宽度越来越小。
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能带理论的量子力学讲法初步
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围， 而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
多电子系统的薛定谔方程仍不能精确求解。这是因为任何 一个电子的运动不仅与它自己的位置有关，而且还与所有 其他电子的位置有关；同时，这个电子自身也影响其他电 子的运动，即所有电子的运动都是关联的。 为了进一步简化，可以利用一种平均场来代替价电子之间 的相互作用： ——假定每一个电子所处的势能均相同，从而使每个电子 与其他电子之间的相互作用势能仅与该电子所处的位置有 关，而与其他电子的位置无关。 这样，就把一个多电子问题简化为单电子问题。


U r1 , ri , ; R1 , R , r1 , ri , ; R1 , R ,
1 i 1

E r , r , ; R , R ,

i ——电子系统； ——原子系统 利用上式可以得到多粒子体系的能量本征值及其相应的电子 本征态，但是严格求解这样一个多粒子体系的薛定谔方程显 23 然是不可能的，必须对方程式进行简化。
15
时，如 k a ，此时
有两种形态的驻波：
() e
i x a

e
i x a

2 cos
x
a
( ) e
i x z

e
i x a

2i sin
x
a
这是由自由电子的行波在Bz边界上的Bragg 反射而形成的，两个驻波使电子聚积在不 同的区域内。
() （ ） cos ( x) a


ρ （- ）:
Eg
u ( x)dx ρ （- ）
1 0

1 0
ρ （+ ） u ( x)dx -
u ( x)dx ρ （-）
1 0
19
=
2u
(
1 0
cos
2

a
x
-
sin
2

a
x
)
2 cos xdx a
= u
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实际的势场并非是上面的简单形式， 而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢 量展成付氏级数，展成余弦势的叠加， 在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。
——周期势场假设
Rl ——晶格晶格平移矢量。
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2 2 2 1 e 2 2 U 0 R1 , R , i 2 i j 4 0 r rij 2M i 2m