北师大版高中数学必修三第13讲：概率的应用(学生版)

北师大版高中数学概率的应用
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1.学会古典概型、几何概型在实际问题中的应用。

2.能在具体问题中分析出问题是那种类型的概率。

1. 概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用
的词汇．任何事件的概率是________之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件
(__________)很少发生，而大概率事件(__________)则经常发生.
2. 极大似然法
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性
最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．极大似然法是统计中重要的思
想方法之一.
类型一概率的应用
例1：在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个象大硬币似的均匀塑料圆板
抽签器，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜抛出的抽签器落到球台上时，是红圈朝上还是绿圈朝上，如果他猜对了就由他发球，否则由对方发球，请就裁判员的这一做法作
出解释．
练习：下面给出的游戏规则，哪些是公平的？
(1)抛掷一枚均匀硬币，正面朝上甲胜，反面朝上乙胜；
(2)抛掷两枚均匀硬币，朝上一面相同甲胜，朝上一面一正一反乙胜；
(3)抛掷一枚均匀骰子，出现奇数点甲胜，出现偶数点乙胜；
(4)抛掷一枚均匀骰子，出现小点(1,2,3点)甲胜，出现大点(4,5,6点)乙胜；
(5)抛掷两枚均匀骰子，点数相邻(如4,5点)或相同(如1,1点)甲胜，点数不相邻(如1,3点)乙胜；
(6)口袋中有一红一白两个球，从中摸出一球得红球甲胜，得白球乙胜；
(7)口袋中有两红、两白共4个球取出两球，这两球同色甲胜，不同色乙胜；
(8)口袋中有3个红球，1个白球，摸取两球这两球同色甲胜，不同色乙胜．
类型二古典概型及其应用
例2：连续抛掷两颗骰子，设第一颗点数为m，第二颗点数为n，则求
(1)m＋n＝7的概率；
(2)m＝n的概率；
(3)m·n为偶数的概率．
练习1：有2个人在一座11层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一
层离开是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．
类型三几何概型及其应用
例3：在间隔时间T(T>2)内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机．若这两个信号的间隔
时间小于2，则收音机将受到干扰，试求收音机受到干扰的概率(单位：秒)．
练习1：设有一个等边三角形网格，如图所示，等边三角形的边长是43cm，现有直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
练习2：在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条，试
求这三条线段能构成三角形的概率．
类型四极大似然数
例4：抛掷10枚硬币，全部正面朝上．试就这一现象，分析这些硬币的质地是否均匀.
1．从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )
A．1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
5
2．在120个零件中，有一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的一个样本，则每个个体被抽到的概率为( )
A．
1
120
B．
1
20
C．
1
60
D．
1
6
3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A．π
4
B．1－
π
4
C．
π
8
D．1－
π
8
4．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一球，
摸出白球的概率为0.23，那么摸出黑球的概率为________，摸出红球或黑球的概率为________．5．某公共汽车站每隔10 min就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过 4 min 的概率是_______．
6．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是
否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
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基础巩固
一、选择题
1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是()
A．0.30B．0.50
C．0.80D．0.70
2．调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的()
A．3.33% B．53%
C．5% D．26%
3．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是8 9的
是()
A．颜色全相同B．颜色不全相同
C．颜色全不相同D．颜色无红色
4．4名学生与班主任站成一排照相，班主任站在正中间的概率是()
A．1
5
B．
1
4
C．1
3
D．
1
2
5．甲、乙乒乓球队各有运动员三男两女，其中甲队一男与乙队一女是种子选手，现在两队进行混合双打比赛，则两个种子选手都上场的概率是()
A．1
6
B．
5
36
C．
5
12
D．
1
3
6．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为()
A．1
2
B．
3
8
C．5
8
D．0
二、填空题
7．在3名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为
________．
8．口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概
率为0.75，摸出白球或黑球的概率为0.60，那么口袋中共有白球、红球、黑球各________个．
三、解答题
9．今有长度不等的电阻丝放在一起，已知长度在84～85 mm间的有三条，长度在85～86 mm 间的有四条，长度在86～87 mm间的有五条，从中任取一条，求：
(1)长度在84～86 mm间的概率；
(2)长度在85～87 mm间的概率．
能力提升
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四人做相互传递球练习，第一次甲传给其他三人中的一人(假设每个人得到球的概率相同)，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了三次，则第三次球仍传回到
甲手中的概率为()
A．3
9
B．
2
9
C．
3
10
D．
7
10
2．一只蚂蚁在一直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm的概率为()
A．
2
2
B．
2
3
C．2－ 3 D．2－ 2
二、填空题
3．从甲、乙、丙、丁四人中选两名代表，甲被选中的概率是____________．
4．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．
三、解答题
5．已知直线Ax＋By＋1＝0，若A、B从－3，－1,0,2,7这5个数中选取不同的两个数，求斜率
小于0的直线的概率．
6．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对A和B饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．。