2014烟台市高三一模文科数学
2014年山东省高考数学模拟试卷(一)(文科)
2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设常数a∈R，集合A={x|(x-1)(x-a)≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围为()A.(-∞，2)B.(-∞，2]C.(2，+∞)D.[2，+∞)【答案】B【解析】试题分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．当a＞1时，A=(-∞，1]∪[a，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=(-∞，a]∪[1，+∞)，B=[a-1，+∞)，若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立∴a＜1；综上，a的取值范围是(-∞，2]．故选B．2.复数=()A.-B.--iC.D.-i【答案】A【解析】试题分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，再进行复数的乘方运算，得到结果．∵==2=-+i∴原式=-+i故选A．3.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：先看当k=1时，可求得圆心到直线的距离小于半径，可知直线与圆相交，判断出充分性；再看当直线与圆相交时求得圆心到直线的距离小于半径求得k的范围，当k=1时，圆心到直线的距离d==＜1，此时直线与圆相交，所以充分性成立．反之，当直线与圆相交时，d=＜1，|k|＜，不一定k=1，所以必要性不成立．故选A4.设0＜a＜1，m=log a(a2+1)，n=log a(a+1)，p=log a(2a)，则m，n，p的大小关系是()A.n＞m＞pB.m＞p＞nC.m＞n＞pD.p＞m＞n【答案】D【解析】试题分析：因为0＜a＜1时，y=log a x为减函数，故只需比较a2+1、a+1、2a的大小．可用特值取a=0.5．取a=0.5，则a2+1、a+1、2a的大小分别为：1.25，1.5，1，又因为0＜a＜1时，y=log a x 为减函数，所以p＞m＞n故选D5.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a，b∈R)，f(lg(log210))=5，则f(lg(lg2))=()A.-5B.-1C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由题设条件可得出lg(log210)与lg(lg2)互为相反数，再引入g(x)=ax3+bsinx，使得f(x)=g(x)+4，利用奇函数的性质即可得到关于f(lg(lg2))的方程，解方程即可得出它的值∵lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0，∴lg(log210)与lg(lg2)互为相反数令f(x)=g(x)+4，即g(x)=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g(lg(log210))+g(lg(lg2))=0∴f(lg(log210))+f(lg(lg2))=g(lg(log210))+4+g(lg(lg2))+4 =8又f(lg(log210))=5，所以f(lg(lg2))=8-5=3故选C6.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是()A.①④B.①③C.②③④D.②③【答案】A【解析】试题分析：①根据面面平行的性质，只有第三平面与α、β都相交时，交线平行；②利用线面平行的性质，可得线线平行，利用m⊥α，根据面面垂直的判定，可得结论；③先判断m∥n，利用n⊥β，可得m⊥β；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β．②∵m∥β，∴过m作平面与β相交，交线为n，则m∥n，∵m⊥α，∴n⊥α，∴根据面面垂直的判定，可得α⊥β，故②正确；③∵n⊥α，m⊥α，∴m∥n，∵n⊥β，∴m⊥β，故③正确；④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，α∥β，则m⊥β，故④不正确．综上，错误命题的序号是为①④，故选A．7.函数f(x)=[(1+2x)-|1-2x|]的图象大致为()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：已知函数的解析式f(x)=[(1+2x)-|1-2x|]过点(0，1)，当x＞0时，2x＞1，去掉绝对值进行化简，再将x=-1代入验证，从而进行判断；∵函数f(x)=[(1+2x)-|1-2x|]，当x＞0，可得2x＞1，此时f(x)=[(1+2x)-|1-2x|]=×[1+2x-(2x-1)]=1；当x=-1时，f(x)=×[+1-(1-)]=＜1，综上可选A；故选A；8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【答案】C【解析】试题分析：根据题意，可得抛物线焦点为F(1，0)，由此设直线l方程为y=k(x-1)，与抛物线方程联解消去x，得-y-k=0．再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F(1，0)，∴设直线l方程为y=k(x-1)由消去x，得-y-k=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1+y2=，y1y2=-4…(*)∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=-3y2，代入(*)得-2y2=且-3y22=-4，消去y2得k2=3，解之得k=∴直线l方程为y=(x-1)或y=-(x-1)故选：C9.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．函数等价于，表示圆心在(5，0)，半径为3的上半圆(如图所示)，若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，所以，所以公比的取值范围为．故选D10.已知，则双曲线C1：与C2：的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】D【解析】试题分析：通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2(sin2θ+cos2θ)=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选D．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知向量，，若∥，则实数m等于．【答案】-或【解析】试题分析：利用向量共线定理即可得出．∵∥，∴m2-2=0，解得．故答案为：或．12.已知实数x，y满足，如果目标函数z=x-y的最小值是-1，那么此目标函数的最大值是．【答案】3【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-y的最小值是-1，确定m 的取值，然后利用数形结合即可得到目标函数的最大值．作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x-y的最小值是-1，得y=x-z，即当z=-1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A(2，3)，同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，即直线方程为x+y=5，平移直线y=x-z，当直线y=x-z经过点B时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大．由，解得，即B(4，1)，此时z max=x-y=4-1=3，故答案为：3．13.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值是．【答案】【解析】试题分析：根据程序框图，进行运行，得到S的取值具备周期性，利用周期即可得到程当k=0时，满足条件k＜2012，S=，k=1，当k=1时，满足条件k＜2012，S=，k=2，当k=2时，满足条件k＜2012，S=，k=3，当k=3时，满足条件k＜2012，S=，k=4，…∴S的取值具备周期性，周期数为3，∴当k=2011时，满足条件，此时与k=1时，输出的结果相同，即S=，k=2012，当k=2012时，不满足条件k＜2012，此时输出S=，故答案为：．14.已知圆x2+y2-10x+24=0的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为．【答案】y=【解析】试题分析：由圆x2+y2-10x+24=0的圆心是(5，0)，知双曲线=1(a＞0)的焦点坐标是(±5，0)，故双曲线是，由此能求出此双曲线的渐近线方程．∵圆x2+y2-10x+24=0的圆心是(5，0)，∴双曲线=1(a＞0)的焦点坐标是(±5，0)，∴a2=25-9=16，∴双曲线为，∴此双曲线的渐近线方程为y=．故答案为：y=．15.观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：．sin2(30°+x)+sin(30°+x)cos(30°-x)+cos2(30°-x)=【解析】试题分析：观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2(30°+x)+sin(30°+x)cos(30°-x)+cos2(30°-x)，右边的式子：，写出结果．观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2(30°+x)+sin(30°+x)cos(30°-x)+cos2(30°-x)，右边的式子：，故答案为：sin2(30°+x)+sin(30°+x)cos(30°-x)+cos2(30°-x)=．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足(a+b+c)(a-b+c)=ac(I)求B(II)若sin A sin C=，求C．【答案】解：(I)∵(a+b+c)(a-b+c)=(a+c)2-b2=ac，∴a2+c2-b2=-ac，∴cos B==-，又B为三角形的内角，则B=120°；(II)由(I)得：A+C=60°，∵sin A sin C=，cos(A+C)=，∴cos(A-C)=cos A cos C+sin A sin C=cos A cos C-sin A sin C+2sin A sin C=cos(A+C)+2sin A sin C= +2×=，∴A-C=30°或A-C=-30°，则C=15°或C=45°．(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cos B，将关系式代入求出cos B的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A-C)，变形后将cos(A+C)及2sin A sin C的值代入求出cos(A-C)的值，利用特殊角的三角函数值求出A-C 的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．17.2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K(I)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(II)在(I)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；(III)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【答案】解：(I)由题意，男生抽取6×=4人，女生抽取6×=2人；(II)在(I)中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率P==；(III)K2==8.333，由于8.333＞6.635，所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．【解析】(I)根据分层抽样的定义，写出比例式，得到男生抽取人数即可．(II)由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利用排列组合写出所有事件的事件数，及满足条件的事件数，得到概率．(III)计算K2，同临界值表进行比较，得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．18.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n-a1=S1•S n，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；【答案】解：(Ⅰ)令n=1，得2a1-a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2-1=1+a2，解得a2=2，当n≥2时，由2a n-1=S n得，2a n-1-1=S n-1，两式相减得2a n-2a n-1=a n，即a n=2a n-1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n-1，即数列{a n}的通项公式a n=2n-1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，na n=n•2n-1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①-②得，-T n=1+2+22+…+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，∴T n=1+(n-1)2n．【解析】(Ⅰ)令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n-1得到2a n-1-1=S n-1，两个式子相减得a n=2a n-1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出na n=n•2n-1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．19.三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1．(2)求证：MN⊥平面A1B1C．(3)求三棱锥M-A1B1C的体积．(Ⅰ)证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．又∵MN不属于平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．(Ⅱ)解：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形．∴BC1⊥B1C．∴MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≌△BMC．∴A1M=CM，又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C．∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知MN是三棱锥M-A1B1C的高．在直角△MNC中，，∴．又．．【解析】(Ⅰ)连接BC1，AC1，通过M，N是AB，A1C的中点，利用MN∥BC1．证明MN∥平面BCC1B1．(Ⅱ)说明四边形BCC1B1是正方形，连接A1M，CM，通过△AMA1≌△AMC．说明MN⊥A1C 然后证明MN⊥平面A1B1C．(Ⅲ)由(Ⅱ)知MN是三棱锥M-A1B1C的高．在直角△MNC中．求出．即可解得．20.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．【答案】解：(I)由题意可知：F1(-2，0)，F2(2，0)．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线高中数学试卷第11页，共13页x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为(m，n)．则，解得．∴圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4；(II)由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，∴b=．由得(5+m2)y2+4my-1=0．设l与E的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)．则，．∴a===，∴ab===．当且仅当，即时等号成立．故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．【解析】(I)由题意可知：F1(-2，0)，F2(2，0)，可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点．设圆心的坐标为(m，n)．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；(II))由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．21.已知函数．(I)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(II)当时，讨论f(x)的单调性．【答案】解：(I)当a=-1时，f(x)=lnx+x+-1，x∈(0，+∞)，所以f′(x)=+1-，因此，f′(2)=1，高中数学试卷第12页，共13页即曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1，又f(2)=1n2+2，y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y-(ln2+2)=x-2，所以曲线，即x-y+ln2=0；(Ⅱ)因为，所以′=，x∈(0，+∞)，令g(x)=ax2-x+1-a，x∈(0，+∞)，(1)当a=0时，g(x)=-x+1，x∈(0，+∞)，所以，当x∈(0，1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；(2)当a≠0时，由g(x)=0，即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=-1．①当a=时，x1=x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；②当0＜a＜时，x∈(0，1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(1，-1)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(-1，+∞)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；③当a＜0时，由于-1＜0，x∈(0，1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0函数f(x)单调递减；x∈(1，∞)时，g(x)＜0此时函数f′(x)＞0函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递减；函数f(x)在(1，+∞)上单调递增当a=时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减当0＜a＜时，函数f(x)在(0，1)上单调递减；函数f(x)在(1，-1)上单调递增；函数f(x)在(-1，+∞)上单调递减．【解析】(I)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．(II)利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数fˊ(x)；(3)在函数的定义域内解不等式fˊ(x)＞0和fˊ(x)＜0；(4)确定的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．高中数学试卷第13页，共13页。
山东省烟台市2014届高三5月适应性训练一文科数学试卷(带解析)
山东省烟台市2014届高三5月适应性训练一文科数学试卷（带解析）1．设复数+=1z i2(其中i 为虚数单位)，则3z z +的虚部为（ ） A ．4i B ．4 C ．4i - D ．4- 【答案】B【解析】因为, +=1z i i212-=，所以，3123(12)44z z i i i +=-++=+，其虚部为4.故选B考点：复数的四则运算,复数的概念.2(02)a ≤≤的最大值为（ ）A ．0BC ．32D ．94【答案】C=(02)a ≤≤，所以，12a =(02)a ≤≤的最大值为32，选C . 考点：二次函数的性质.3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“∈∃x R ,使得012<-+x x ”的否定是：“∈∀x R ,均有012>-+x x ”；D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题. 【答案】D【解析】命题“若1,12==x x 则”的否命题应为：“若21x ≠，则1x ≠”.A 错；当1-=x 时，0652=--x x 成立；反之，0652=--x x 可得1-=x 或6x =.所以，B错；命题“∈∃x R ,使得012<-+x x ”的否定应是：全称命题“∈∀x R ,均有012≥-+x x ”，C错；命题“若y x y x sin sin ,==则”是真命题，所以其逆否命题为真命题.故选D ．考点：1、命题；2、简单逻辑联结词；3、存在性命题与全称命题；4、充要条件. 4．已知()2παπ∈ , ，3sin()45πα+=，则sin α=（ ）A ．10B ．10C ．10-或10D ．10-【答案】B 【解析】由已知，354,cos()44445ππππαα<+<+=-， 所以，s i n 44ππαα=+-， 故选B .考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和差的三角函数.5．已知向量a )2,1(-=x ,b ),4(y =且a ⊥b ，则93x y+的最小值为（ ）A ．B ．6C ．12D ． 【答案】B【解析】由已知，a ⋅02)1(4),4()2,1(=+-=⋅-=y x y x ，即22x y +=.所以，936x y +≥==，当且仅当121,,12x y x y ====时，93x y +取得最小值6.故选B .考点：1、平面向量的数量积；2、基本不等式.6．若双曲线C ：224(0)x y λλ-=>与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，且AB =λ的值是（ ）A.1B.2C.4D.13 【答案】A【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，代人224(0)x y λλ-=>解得(0)y λ=>，所以，由双曲线的对称性得，||1AB λ===. 选A .考点：1、抛物线的几何性质；2、双曲线的几何性质. 7．如果在一次试验中，测得(,x y )的四组数值分别是根据上表可得回归方程ˆˆ1.04yx a =+，据此模型预报当x 为5时，y 的值为（ ） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.04 D ．7.2【答案】B【解析】由题意知，12343 3.8 5.262.5, 4.544x y ++++++====，代人ˆˆ1.04yx a =+解得，ˆ 1.9a=，即ˆ 1.04 1.9y x =+，所以，5x =时，ˆ 1.045 1.97.1y =⨯+=，选B ． 考点：回归分析.8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时，()ln(1)g x x =--，设函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ ,若2(2)f x ->()f x ，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞+∞ B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(1,2)D ．(2,1)- 【答案】D【解析】由已知，0x >时，0x -<，所以()()l n (1g x g x x =--=+，即3(0)()ln(1)(0)x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩；由幂函数、对数函数的性质可知，其在(,)-∞+∞是增函数，所以，由2(2)f x ->()f x 可得22,x x ->，解得，21x -<<，故选D .考点：1、函数的奇偶性、单调性；2、分段函数；3、幂函数、对数函数的性质；4、一元二次不等式解法.9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.34 B.38C.4D.8 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一四棱锥，其底面正方形边长为2，高为2，故其体积为2182233⨯⨯=，选B . 考点：1、三视图；2、几何体的体积. 10．已知函数22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++，集合{}()0,S x f x x ==∈R ，{}()0,T x g x x ==∈R ，记c a r d ,c a r d S T 分别为集合,S T 中的元素个数，那么下列结论不正确的是（ ）A ．card 1,card 0S T ==B ．card 1,card 1S T ==C ．card 2,card 2S T ==D ．card 2,card 3S T == 【答案】D【解析】集合{}()0,S x f x x ==∈R ， {}()0,T x g x x ==∈R 均表示方程的解集，集合中元素的个数，就是方程解的个数.当20,40a b c =-<时，2()()0x a x bx c +++=有一解，2(1)(1)0ax cx bx +++=无解，A 正确；当20,40a b c ≠-<时，2()()0x a x bx c +++=有一解，2(1)(1)0ax cx bx +++=有一解，B 正确；当20,40a b c ≠-=时，2()()0x a x bx c +++=有两解，2(1)(1)0ax cx bx +++=有两解，其不可能有三个解，C 正确，D 不正确. 故选D .考点：1、新定义；2、集合的概念；3、函数与方程.11．执行如图所示程序框图，若输入A 的值为2，则输出的=P .【答案】4【解析】执行程序，运行情况如下：输入,2=A 1,1P S ==，满足条件S A ≤，32,2P S ==；继续运行，满足条件S A ≤，113,6P S ==； 继续运行，满足条件S A ≤，254,12P S ==； 不满足条件S A ≤，输出 4.P = 所以答案应填：4考点：算法与程序框图.12．如图，目标函数z ax y =-的可行域为四边形OACB (含边界)，若点(3,2)C 是该目标函数取最小值时的最优解，则a 的取值范围是 .【答案】22a -≤≤-【解AC 的斜率20234AC k -==--,直线BC 的斜率BC k =当直线z a xy =-的斜率介于AC 与BC 的斜率之间时，(3,2)C 是该目标函数z a x y =-取最小值的最优解，所以, 223a -≤≤-.所以答案应填：223a -≤≤-考点：直线的斜率，简单线性规划.13．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 与BD ,则四【答案】【解析】点(0,1)E 在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为圆的直径及与该直径垂直的弦.如图所示AC 为直径，BD 是与AC 垂直的弦，由1101312BD AC k k -=-=-=--得，直线BD 的方程为112y x =-+，由圆的几何性质得，BD ====.所以答案应填：考点：1、圆的几何性质；2、直线的斜率与方程；2、点到直线的距离.14．一艘海轮从A 处出发，以每小时20海里的速度沿南偏东40°方向直线航行．30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是 .【答案】 【解析】由已知，图中000070403,406BA CA B C A B ∠=-=∠=+=(海里)，所以，045,C ∠=，由正弦定理得，0000,sin 30sin 30sin 45sin 45BC AB ABBC ==⨯= 即B 、C两点间的距离是.所以答案应填： 考点：正弦定理的应用.15．已知函数)(x f 的定义域［-1，5］，部分对应值如表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，下列关于函数)(x f 的命题:①函数)(x f 的值域为12［，］； ②函数)(x f 在02［，］上是减函数；③当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4. 其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号) . 【答案】①②③【解析】由图知，0,2,4x x x ===是极值点，且0,4x x ==处取得极大值2，2x =时取得极小值1.5，由函数的单调性，5x =时，1y =最小，故函数的值域为12［，］，①正确； 因为，在02(，)，导函数值为负，所以，函数)(x f 在02［，］上是减函数，所以，②正确； a x f y -=)(的零点的个数，即(),y f x y a ==交点的个数.由导函数的图象可知，导函数值由正变负，再变正，后变为负值.所以，函数的图象先升后降，再升又降，其最大值、最小值分别为2,1，故当21<<a 时，函数a x f y -=)(最多有4个零点，③正确；由于在区间15-［，］，函数)(x f 的值域为12［，］，所以，如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，t 的最大值为5，④不正确.综上知，答案为①②③.考点：1、应用导数研究函数的单调性、极值、最值；2、函数的零点；3、函数的图象.16．某数学兴趣小组有男女生各5名.以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分).已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为8.126. （1）求x ，y 的值；（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率.【答案】(1)5=x ，8=y ；(2)53. 【解析】试题分析：(1)由茎叶图，列出男生成绩为119 ，122，x +120 ,134 ,137 根据位数为125，得5=x .列出女生成绩为119 ，125，y +120 ,128 ,134 根据平均数为=8.1265134128120125119+++++y ,解之得8=y .(2)设成绩高于125的男生分别为1a 、2a ，记1341=a ,1372=a设成绩高于125的女生分别为1b 、2b 、3b ，记1281=b ,1282=b ,1343=b 列出从高于125分同学中取两人的所有取法：),(21a a , ),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(21b b ),(31b b ),(32b b 共10种，其中恰好为一男一女的取法：),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a 共6种，利用古典概型概率的计算公式得解.(1)男生成绩为119 ，122，x +120 ,134 ,137 其中位数为125，故5=x . 3分 女生成绩为119 ，125，y +120 ,128 ,134平均数为=8.1265134128120125119+++++y ,解之得8=y 6分(2)设成绩高于125的男生分别为1a 、2a ，记1341=a ,1372=a设成绩高于125的女生分别为1b 、2b 、3b ，记1281=b ,1282=b ,1343=b 从高于125分同学中取两人的所有取法：),(21a a , ),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a ,),(21b b ),(31b b ),(32b b 共10种， 8分其中恰好为一男一女的取法：),(11b a ,),(21b a ,),(31b a ,),(12b a ,),(22b a ,),(32b a 共6种， 10分因为53106= 故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为53. 12分 考点：茎叶图，中位数，平均数，古典概型. 17．设函数2()sin(2)2sin 6f x x x πωω=++（0ω>），其图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若△ABC 的内角为C B A ,,所对的边分别为c b a ,,（其中c b ＜），且()2f A =，7=a ,ABC ∆面积为323，求c b ,的值. 【答案】（1）1)62sin()(+-=πx x f ；（2）⎩⎨⎧==32c b ； 【解析】 试题分析：（1）根据三角公式化简得()sin(2)1cos 26f x x x πωω=++-1)62sin(+-=πωx ，根据π=T , 得1=ω，得到1)62sin()(+-=πx x f ；（2）由()2f A =，得3π=A ,利用面积表达式及余弦定理可得方程组⎩⎨⎧=+=13622c b bc ，求解即得所求.（1）()sin(2)1cos 26f x x x πωω=++-12cos 212sin 23+-=x x ωω1)62sin(+-=πωx 3分由题意知π=T , 所以πωπ=22，1=ω 1)62sin()(+-=πx x f 6分（2）由()2f A =，得1)62sin(=-πA , π<<A 0,所以3π=A ,∴bc bc S ABC 433sin 21233===Λπ即6=bc , 8分 又A bc c b a cos 2222-+= ,将7=a ,3π=A 代入得1322=+c b ， 10分又c b <解⎩⎨⎧=+=13622c b bc 得⎩⎨⎧==32c b 12分 考点：三角函数式的图象和性质，三角函数式的化简，余弦定理的应用.18．如图，四边形PCBM 是直角梯形，o 90=∠PCB ，BC PM //，1=PM ，2=BC ．又1=AC ，o 120=∠ACB ，PC AB ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：AC PC ⊥； （2）求三棱锥B MAC V -的体积.【答案】（1）证明：见解析；（2【解析】试题分析：（1）利用BC PC ⊥,AB PC ⊥，可得 PC ⊥平面ABC ，从而AC PC ⊥；（2）过M 做BC MN ⊥,连接AN ，APCBM可得1==PM CN ，MN ⊥平面ABC,o 60=∠AMN ，在ACN ∆中，由余弦定理得， 3120c o s 2222=⋅-+=o CN AC CN AC AN 在AMN Rt ∆中，计算得1=MN ，点M 到平面ACB 的距离为1，进一步计算得到体积. （1）证明：∵BC PC ⊥,AB PC ⊥，又B BC AB =⋂∴ PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC PC ⊥ 5分（2）过M 做BC MN ⊥,连接AN ，则1==PM CN ，MN ⊥平面ABC,o 60=∠AMN 7分在ACN ∆中，由余弦定理得， 3120c o s 2222=⋅-+=o CN AC CN AC AN 在AMN Rt ∆中， ∴1=MN ∴点M 到平面ACB 的距离为1，而13sin1202ACB S AC CB ∆=⋅=10分.∴13B ACM M ACB ACB V V S MN --∆==⋅=12分 考点：平行关系，垂直关系，余弦定理的应用，体积计算. 19．在数列}{n a 中，已知411=a ,411=+n n a a ,1423log ()n n b a n *+=∈N . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n n n n b a c c +=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）*)()41(N n a n n ∈=；（2）n S n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+= .【解析】PCB M试题分析：（1）由411=+n n a a , 知数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，即得所求.（2）由（1）知，23,)41(-==n b a n nn ,得到,)41()23(n n n c +-= 利用“分组求和法”.+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=32417414411n Snn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-41)23(41)53(1[])23()53(741-+-+⋅⋅⋅+++=n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-nn 4141414112.（1）∵411=+n n a a , ∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列，∴*)()41(N n a nn ∈=. 6分 （2）由（1）知，23,)41(-==n b a n nn ,∴,)41()23(nn n c +-= 8分∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=32417414411n S nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-41)23(41)53(1[])23()53(741-+-+⋅⋅⋅+++=n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-nn 414141411210分n n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+= 12分考点：等比数列的概念及其求和公式，等差数列的求和公式，“分组求和法”.20．已知向量()x =a ，()1 0，b =，且()()0+⋅=a a ．(1)求点()Q x y ，的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M N 、，又点()0 1A -，，当A M A N =时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2213x y +=.(2)当0k ≠时，m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭，当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. 【解析】试题分析：(1)由题意得()=x +a，()=x a ，()()0⋅=a a ，计算并化简得2213x y +=.(2)由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222316310k x mkx m +++-=， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2231m k <+. 讨论当0k ≠时，得所求的m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭； 当=0k 时，得m 的取值范围是()1 1-，.(1)由题意得()=x +a，()=x a ，∵()()0⋅=a a，∴(0x x =，化简得2213x y +=，∴Q 点的轨迹C 的方程为2213x y +=. 4分 (2)由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222316310k x mkx m +++-=， 由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴0∆>，即2231m k <+.① 6分(i)当0k ≠时，设弦MN 的中点为()P P P x y ，，M N x x 、分别为点M N 、的横坐标，则23231M N P x x mkx k +==-+， 从而2=31P P m y kx m k +=+，21313P AP P y m k k x mk+++==-， 8分 又AM AN =，∴AP MN ⊥.则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+， ②将②代入①得22m m >，解得02m <<，由②得22103m k -=>，解得12m >， 故所求的m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 10分 (ii)当=0k 时，AM AN =，∴AP MN ⊥，2231m k <+， 解得11m -<<. 12分 综上，当0k ≠时，m 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 当=0k 时，m 的取值范围是()1 1-，. 13分 考点：平面向量的数量积，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系. 21．已知2()ln (f x x ax x a =+-∈R ).（1）若0=a 时，求函数()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）令2()(),g x f x x =-是否存在实数a ，当(0,e ](ex ∈是自然对数的底）时，函数()g x 的最小值是3.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）0x y -=；（2（3）存在实数2a e =，使()l n g x a x x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3. 【解析】试题分析：（1）当0a =时，2()ln f x x x =-，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；（2）函数()f x 在[]2,1上是减函数，[1,2]上恒成立；令2()21h x x ax =+-，解(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩（3）假设存在实数a ，使()l n g x a xx =-在(0,]x e ∈上的最小值是3，根据11()ax g x a x x-'=-=， 讨论当0a ≤、 10a e <≤、1a e >等三种情况时，令()0g x '<，求解即得.（1）当0a =时，2()ln f x x x =- 1()2f x x x '∴=-1分(1)1,(1)1f f '∴==,函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0x y -= 3分（2）函数()f x 在[]2,1上是减函数2121()20x ax f x x a x x+-'∴=+-=≤在[1,2]上恒成立 4分令2()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 6分72a ∴≤-7分 （3）假设存在实数a ，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是311()ax g x a x x-'=-= 8分 当0a ≤时，()0g x '<，()g x ∴在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=4a e=（舍去) 10分 当0a >且1e a ≥时，即10a e<≤，()0g x '<在(0,]e 上恒成立，()g x ∴在(0,]e 上单调递减min ()()13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去) 11分当0a >且1e a <时，即1a e >时，令()0g x '<，得10x a <<；()0g x '>，得1x e a <≤()g x ∴在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增min 1()()1ln 3g x g a a ∴==+=，2a e =满足条件 13分综上所述，存在实数2a e =，使()ln g x ax x =-在(0,]x e ∈上的最小值是3. 14分 考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.。
山东省烟台市2014届高三第一次模拟考试文科数学试卷
山东省烟台2014届高三第一次模拟考试文科数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于 A ．)0,1(- B ．)1,1(- C ．)1,0( D ．)3,1( 2．若复数z 的实部为1，且||2z =，则复数z 的虚部是A B C D3. 若命题:p α∃∈R ，cos()cos παα-=；命题:q ∀R ∈x ，012>+x . 则下面结论正确的是 A.p 是假命题 B.q ⌝是真命题 C.p ∧q 是假命题 D.p ∨q 是真命题4．若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则((e))f f =（其中e 为自然对数的底数）A ．0B ．1C ．2D.2ln(e 1)+5.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是 直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的 个数为A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列}{n a 中，12012a =- ，其前n 项和为n S ，若，则2014S 的值等于8．函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是9．若函数的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点， D ．7210. 对任意实数,m n ，定义运算m n am bn cmn *=++，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知12=4*，23=6*，且有一个非零实数t ，使得对任意实数x ，都有x t x *=，则t =A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应位置. 11．若直线10ax by -+=平分圆22:241C x y x y ++-+0=的周长,则ab 的取值范围是12.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的i 值为13. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-04242k y x y y x ，且目标函 数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k 14. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= (5)323+=119733++=1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m15．已知抛物线24y x =的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且曲线的离心率e 为三、解答题.本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16.（本小题满分12分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）（1）求x ，y ； （2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．17.（本小题满分12分）（1）求函数()f x 的周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值.18.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90,ADC BA BC ∠==.把BAC ∆沿AC 折起到PAC∆的位置，使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点E F 、分别为棱PC CD 、的中点.（1）求证：平面//OEF 平面APD ； （2）求证：CD ⊥平面POF ；（3）若3,4,5AD CD AB ===，求四棱锥E CFO -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+. （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．20.（本小题满分（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2时，讨论()f x 的单调性.21. （本小题满分14分）形.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线经过点，求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.参考答案及评分标准一、选择题C BD C D C D A D B 二、填空题12. 8 13. 9 14. 11 15.2 三、解答题16.解：（1）由题意可得，所以7x =，3y =. ……………………3分 （2）记从中层抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高管抽取的2人为1c ，2c ，则抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种. ……8分设选中的2人都来自中层的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种. ………………10分故选中的2人都来自中层的概率为0.3. ……………………………………12分17.解：4分 6分 8分又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+， ………………9分………………………………10分………………………………………………12分18.解：（1）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………1分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………2分所以//OE PA ，PA PAD ⊂平面所以 //OE PAD 平面 …………………3分 同理//OF PAD 平面又,OE OF O OE OF OEF =⊂ 、平面所以平面//OEF 平面PDA …………………5分 （2）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………7分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………8分（3）因为90ADC ∠= ，3,4AD CD ==，而点,O E 分别是,AC CD 的中点，…………………10分由题意可知ACP ∆为边长为5 …………11分即P 点到平面ACD E 为PC 的中点，所以E 到平面CFO…………………12分………………………1分当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴ 12n n a a -=. ……………2分 ∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2n n a =. ………3分 由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴ 21n b n =-. ……………………………6分（2）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分……………………………12分20.2分所以切线方程为：(ln 2+2)2y x -=-，整理得：ln 20x y -+=； …………………………5分（2……6分 当0a =时，，此时，在'(0,1)()0f x <,()f x 单调递减， 在'(1,)()0f x +∞>,()f x 单调递增；…………………………… 8分在(0,)+∞恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减； …………………………………10分，此时在,()f x 单调递减，()f x 在 ………………………………12分综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)单调递减，()f x 在(1,)+∞单调递增；()f x 在单调递减，()f x 在在(0,)+∞单调递减. ……………………………………13分21.解: （1…………2分 ，代入可得21b =， …………4分 (2)设1122(,),(,),A x yB x y 因为AB 的垂直平分线通过点 显然直线AB有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴，此时1212,x x y y =-=，当且仅当1||1x =时，AOB S ∆取得最大值为 ……………7分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+，代入得到222(21)4220k x ktx t +++-= ……………8分 当228(21)0k t ∆=-+>, 即2221k t +> ①………………10分，化简得到2212k t += ② 代入①，得到02t << …………………11分考虑到2212k t +=且02t <<化简得到 …………………13分 因为02t <<，所以当1t =时，即时，AOB S ∆取得最大值综上，AOB ∆面积的最大值为 …………………14分。
山东省烟台市2014届高三上学期期末考试 数学文 Word版含答案
高三期末自主练习 数学（文）注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．设全集}6|*{<∈=x N x U ，集合}3,1{=A ，}5,3{=B ，则)(B A 等于 A ．}4,1{ B ．}5,1{ C ．}5,2{ D ．}4,2{ 2．若6.03=a ，6.0log 3=b ，36.0=c ，则A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12π=x 对称的是A ．)32sin(π+=xyB ．)3sin(π-=x y C ．)32sin(π-=x yD ．)32sin(π+=x y 4．设平面向量)2,1(=a ，),2(y -=b ，若b a //，则|2|b a -等于 A ．4 B ．5 C ．53 D ．54 5．在∆ABC 中，若cb bc a c a +-=-++1lglg )lg()lg(，则A = A ．︒90 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 6．函数23)21()(--=x x x f 的零点所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3.4) 7．已知直线l ⊥平面α，直线⊆m 平面β，则下列四个结论： ①若βα//，则m l ⊥ ②若βα⊥，则m l // ③若m l //，则βα⊥ ④若m l ⊥，则βα// 其中正确的结论的序号是：A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8。
2014年全国高考山东省数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(B)(C) 0(D)(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014年山东高考文科数学真题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi += (A) 34i - (B) 34i + (C) 43i -(D) 43i + (2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根 (B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A) 33x y > (B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+ (D) 221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<>(D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m = (A) (B) (C) 0 (D)(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷(四)(文科)
2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷（四）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共11小题，共55.0分)1.如果a＜b＜0，那么（）A.a-b＞0B.ac＜bcC.＞D.a2＜b22.设x，y满足，则z=x+y（）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值3.已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A.a＞b-1B.a＞b+1C.|a|＞|b|D.2a＞2b4.若变量x、y满足约束条件＜，则z=2x+3y的最小值为（）A.17B.14C.5D.35.若关于x的不等式2x2-8x-4-a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A.a＜-4B.a＞-4C.a＞-12D.a＜-126.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A.4B.11C.12D.147.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系是（）A.a＞ab＞ab2B.a＜ab＜ab2C.a＜ab2＜abD.ab＜a＜ab28.已知实数a、b满足“a＞b”，则下列不等式中正确的是（）A.|a|＞|b|B.a3＞b3C.a2＞b2D.＞19.不等式成立的充要条件是（）A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab＞0D.ab＜010.若x≠2或y≠-1，M=x2+y2-4x+2y，N=-5，则M、N的大小关系是（）A.M＞NB.M＜NC.M=ND.不确定11.不等式x2+4x+4≤0的解集是（）A.∅B.{x|x≠-2}C.{x|x=-2}D.R二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)12.设x，y满足约束条件，，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为______ ．13.不等式的解集为______ ．14.已知c＞10，，，则M、N的大小关系是M ______ N．15.已知a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，则m与n的大小关系为______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)16.经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为＞（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？17.已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤5，求f（-3）的取值范围．18.求下列不等式的解集：（1）6x2-x-1≥0（2）-x2+4x+5＜0．19.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20.如图所示，我校计划在汉东中学操场北修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？21.已知f（x）是定义在R上的单调函数，对任意的实数m，n总有：f（m+n）=f（m）•f（n）且x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1且x＜0时f（x）＞1；（2）当f（4）=，求使f（x2-1）•f（a-2x）≤对任意实数x恒成立的参数a的取值范围．。
数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(一)(文科)_(含答案)
2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的）1. 设常数a∈R，集合A={x|(x−1)(x−a)≥0}，B={x|x≥a−1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为()A (−∞, 2)B (−∞, 2]C (2, +∞)D [2, +∞)2. 复数(1−√3i1+i)2=()A −√3+iB −√3−iC √3+iD √3−i3. “k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 即不充分也不必要条件4. 设0<a<1，m=log a(a2+1)，n=log a(a+1)，p=log a(2a)，则m，n，p的大小关系是（）A n>m>pB m>p>nC m>n>pD p>m>n5. 已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a, b∈R)，f(lg(log210))=5，则f(lg(lg2))=()A −5B −1C 3D 46. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n；②若m⊥α，m // β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A ①④B ①③C ②③④D ②③7. 函数f(x)=12[(1+2x)−|1−2x|]的图象大致为( )A B C D8. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )A y=x−1或y=−x+1B y=√33(x−1)或y=−√33(x−1) C y=√3(x−1)或y=−√3(x−1) D y=√22(x−1)或y=−√22(x−1)9. 函数y=√9−(x−5)2的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A 34B √2C √3D √510. 已知0<θ<π4，则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的（）A 实轴长相等B 虚轴长相等C 离心率相等D 焦距相等二、填空题（每小题5分，共5分） 11.已知a →=(1,m)，b →=(m,2)，若a → // b →，则实数m =________． 12. 已知实数x ，y 满足{y ≥1y ≤2x −1x +y ≤m，如果目标函数z =x −y 的最小值是−1，那么此目标函数的最大值是________．13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值是________．14. 已知圆x 2+y 2−10x +24=0的圆心是双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为________． 15. 观察下列一组等式：①sin 230∘+cos 260∘+sin30∘cos60∘=34， ②sin 215∘+cos 245∘+sin15∘cos45∘=34，③sin 245∘+cos 275∘+sin45∘cos75∘=34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________．三、解答题（本大题共6道小题，满分75分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的内角对边分别为a ，b ，c ，满足(a +b +c)(a −b +c)＝ac ． (Ⅰ)求B ． (Ⅱ)若sinAsinC =√3−14，求C ． 17. 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；(3)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：，其中n=a+b+c+d．独立性检验统计量K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n−a1=S1⋅S n，n∈N∗.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．19. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90∘，AB= BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN // 平面BCC1B1．(2)求证：MN⊥平面A1B1C．(3)求三棱锥M−A1B1C的体积．+y2=1的左、右焦点F1，F2关于直线x+y−2＝0的对称20. 已知F1，F2分别是椭圆E:x25点是圆C的一条直径的两个端点．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=lnx−ax+1−a−1(a∈R)．x（I）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（II）当a≤1时，讨论f(x)的单调性．22014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）答案1. B2. A3. A4. D5. C6. A7. A8. C9. D 10. D 11. ±√2 12. 3 13. 1214. y =±34x15. sin 2(30∘+x)+sin(30∘+x)cos(30∘−x)+cos 2(30∘−x)=3416. （I ）∵ (a +b +c)(a −b +c)＝(a +c)2−b 2＝ac ， ∴ a 2+c 2−b 2＝−ac ， ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，又B 为三角形的内角， 则B ＝120∘；(II)由(I)得：A +C ＝60∘，∵ sinAsinC =√3−14，cos(A +C)=12，∴ cos(A −C)＝cosAcosC +sinAsinC ＝cosAcosC −sinAsinC +2sinAsinC ＝cos(A +C)+2sinAsinC =12+2×√3−14=√32， ∴ A −C ＝30∘或A −C ＝−30∘，则C ＝15∘或C ＝45∘．17. 解：(1)由题意，男生抽取6×2020+10=4人，女生抽取6×1020+10=2人；(2)设“被抽取的2人中恰有一名女生”为事件A ，被抽到的4位男生分别即为a ，b ，c ，d ，被抽到的2位女生分别即为e ，f ，则随机抽取2人的基本事件有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ， bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef 共15种，“恰有一名女生”的基本事件有：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df 共8种， 所以事件A 发生的频率P =815；(3)K2=50×(20×15−5×10)2=8.333，30×20×25×25由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．18. 解：(1)令n=1，得2a1−a1=a12，即a1=a12，∵ a1≠0，∴ a1=1，令n=2，得2a2−1=1⋅(1+a2)，解得a2=2，当n≥2时，由2a n−1=S n，得2a n−1−1=S n−1，两式相减得2a n−2a n−1=a n，即a n=2a n−1，∴ 数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴ a n=2n−1，即数列{a n}的通项公式a n=2n−1；(2)由(1)知，na n=n⋅2n−1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+...+n×2n−1，①2T n=1×2+2×22+3×23+...+n×2n，②①-②得，−T n=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，∴ T n=1+(n−1)2n．19. (I)证明：连接BC1，AC1，∵ 在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴ MN // BC1．又∵ MN不属于平面BCC1B1，∴ MN // 平面BCC1B1．(II)解：∵ 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴ 四边形BCC1B1是正方形．∴ BC1⊥B1C．∴ MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≅△BMC．∴ A1M=CM，又N是A1C的中点，∴ MN⊥A1C．∵ B1C与A1C相交于点C，∴ MN⊥平面A1B1C．(III)解：由(II)知MN是三棱锥M−A1B1C的高．在直角△MNC中，MC=√5，A1C=2√3，∴ MN=√2．又S△A1B1C =2√2．V M−A1B1C=13MN⋅S△A1B1C=43．20. （I）由题意可知：F1(−2, 0)，F2(2, 0)．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y−2＝0的对称点．设圆心的坐标为(m, n)．则{nm=1m2+n2−2=0，解得{m=2n=2．∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2＝4；(II)由题意，可设直线l的方程为x＝my+2，则圆心到直线l的距离d=√1+m2，∴ b=2√22−d2=√1+m2．由{x=my+2x2+5y2=5得(5+m2)y2+4my−1＝0．设l与E的两个交点分别为(x1, y1)，(x2, y2)．则y1+y2=−4m5+m2，y1y2=−15+m2．∴ a=√(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=√(1+m2)[16m2(5+m2)2+4m2+5]=2√5(m2+1)m2+5，∴ ab=8√5√m2+1m2+5=√5√m2+1+4√2≤√52√√m2+1⋅4√m2+1=2√5．当且仅当√m2+1=√m2+1，即m=±√3时等号成立．故当m=±√3时，ab最大，此时，直线l的方程为x=±√3y+2，即x±√3y−2=0．21. 解：(I)当a=−1时，f(x)=lnx+x+2x−1，x∈(0, +∞)，所以f′(x)=1x +1−2x2，因此，f′(2)=1，即曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线斜率为1，又f(2)=ln2+2，y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2+2)=x−2，所以曲线，即x−y+ln2=0；（II）因为f(x)=lnx−ax+1−ax−1，所以f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2−x+1−ax2，x∈(0, +∞)，令g(x)=ax2−x+1−a，x∈(0, +∞)，（1）当a=0时，g(x)=−x+1，x∈(0, +∞)，所以，当x∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；（2）当a≠0时，由g(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1，x2=1a−1．①当a=12时，x1=x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当0<a<1时，2x∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，−1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(1, 1a−1, +∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1a−1<0，③当a<0时，由于1ax∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0函数f(x)单调递减；x∈(1, +∞)时，g(x)<0此时函数f′(x)>0函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0, 1)上单调递减；函数f(x)在(1, +∞)上单调递增时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减当a=12时，函数f(x)在(0, 1)上单调递减；当0<a<12−1)上单调递增；函数f(x)在(1, 1a−1, +∞)上单调递减．函数f(x)在(1a。
山东省烟台市2014届高三上学期期末考试 文科数学Word版含答案
高三期末自主练习数学（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集{|6}U x N x *=∈<，集合{1,3},{3,5,}A B ==，则()U C A B 等于（ ）A ．{}1,4B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}2,4 2、若0.6333,log 0.6,0.6a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 3、下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()3y x π=-C ．sin(2)3y x π=-D ．sin(2)3y x π=+ 4、设平面向量(1,2),(2,)a b y ==-，若//a b ，则2a b -等于（ ）A ．4B ．5C ．D ．5、在ABC ∆中，若1lg()lg()lg lga c a cb b c+--=-+，则A =( ) A ．90 B ．60 C ．120 D ．150 6、函数()321()2x f x x -=-零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47、已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论： ①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m ③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ 其中正确的结论的序号是：（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③8、函数(01)x xa y a x=<<的大致形状是（ ）9、设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．3[,1]2-- B ．[1,4]- C ．3[,4]2- D ．[2,4]- 10、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A．．9 C．．2711、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3 C．912、已知函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4 B ．1(0,]2 C ．11(,)42 D ．11[,]43第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。
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高三文科参考答案与评分标准一、选择题(每小题5分)D A D D C B C D D B B C二、填空题（每小题4分）13. (0,1) 14.15. 5 16.③④ 三、解答题 17. 解：（1）∵ 1OP OQ ⋅=- ， ∴ 22sin 2cos 1θθ-=- ……………2分∴ 1cos 2(1cos 2)12θθ--+=-， ∴ 1cos 23θ=. ……………5分 （2）由（1）得：21cos 22cos 23θθ+==， ∴ 4(1,)3P 21cos 21sin 23θθ-==， ∴ 1(,1)3Q - ……………7分∴ 5||3OP ==，||3OQ ==， ……………9分 ∴ 4sin 5α=，3cos 5α=，sin β=cos β= ……………11分sin()sin cos cos sin 10αβαβαβ∴+=+=- ……………12分 18. 解 ：(1)证明： ∵AB ∥DC ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD .∴AB ∥平面PCD . ……………5分(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形 ∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠ABC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，∴AD ＝CE ＝1，则AC ＝AD 2＋DC 2＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ， …………………9分 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ………………12分19. （1）由题意可得：(1)n n na S n n =+-，∴1()(1),(,2)n n n n n S S S n n n N n *--=+-∈≥ …………3分 即：11(1)(1),11n n n n S S n S nS n n n n ----=-∴-=-， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列； …………6分（2）由（1）得：21(1)1,n n S n n S n n=+-⨯=∴=， 221(1)21n n n a S S n n n -∴=-=--=-，(,2)n N n *∈≥ ………9分 111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++ ， …………12分 20. 解：（1）由题意知， 20(4)(102)y P P x P=+⨯-+-， 将123+-=x P 代入化简得： 4161y x x =--+，（0x a ≤≤）， ……………………6分 （2）441617(1)171311y x x x x =--=-++≤-=++， 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ……………………9分 当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当1a <时, )114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增,所以在x a =时,函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .综上述,当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当1a <时,促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………12分21. 解:（1）∵()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,， ∴可设()()5f x ax x =-，0a >.∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. ∴256a a -=-，解得2a =.∴()()225210f x x x x x =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x +=等价于方程32210370x x -+=… 6分 设()h x =3221037x x -+，则()()26202310h x x x x x /=-=-. …………… 7分 当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭， ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,, ()4,+∞内没有实数根. …………… 12分 ∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 13分22. 解:（1）由已知，可得2=c ，b a 3=， ∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ， ∴1322=+y x . ……………………………………………………4分 （2）当0k =时，直线和椭圆有两交点只需11m -<<； ………………5分 当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M N 、的横坐标，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以0∴∆>，即2231m k <+ ① ……………………7分2221331231313p M N p p p AP p y x x mk m m k x y kx m k k k x mk++++==-=+===-++从而……………………9分 又22311,,2313m k AM AN AP MN m k mk k++=∴⊥-=-=+则即 ②，…10分将②代入①得22m m >，解得02m <<， 由②得22110,32m k m -=>>解得 ， 故所求的m 取值范围是1(,2)2. ……………………12分 1022011k m k m ∴≠=当时，的取值范围是（，），当时，的取值范围是（－，）.………………………………………13分。
山东省2014届高三4月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案.pdf
文 科 数 学 （根据2014年山东省最新考试说明命制） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持答题卡上面清洁，不折叠，不破损. 第I卷（共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合 A. B. C. D. 2.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图1所示，则该样本的方差为A.25B.24C.18D.16 4.执行如图2所示的程序框图，输出的Z值为A.3B.4C.5D.6 5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为已知 A. B. C. D. 6.设命题平面； 命题函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是A.为真B.C. 为假D. 为真 7.函数的部分图象是 8.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图3所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为 A. B. C. D. 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（共100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知抛物线上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是 . 12.数列的前n项和为，则 . 13.矩形ABCD中，若=. 14.观察下列不等式： ①；②；③ 15.设变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为a，最小值为b，则a—b的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）如图4，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且.将角α的始边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记. （1）若； （2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记，求角的值. 17.（本题满分12分）四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，平面，E，F分别为AD，PC的中点. （1）求证： （2）若AB=2，求四棱锥P—ABCD的体积.. 18.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示 某市2013年11月（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图： （1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； （2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率. 19.（本题满分13分）已知在等比数列. （1）若数列满足，求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 20.（本题满分13分）已知分别为椭圆的上下焦点，其是抛物线的焦点，点M是与在第二象限的交点，且 （1）试求椭圆的方程； （2）与圆相切的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足的取值范围. 21.（本题满分13分）已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数a的最小值； （3）若成立，求实数a的取值范围.。
数学_2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷(五)(文科)_(含答案)
2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷（五）（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）A 若a ⊥b ，a ⊥α，则b // αB 若a // α，α⊥β，则a ⊥βC 若a ⊥β，α⊥β，则a // αD 若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β2. 若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）A 12cm 3B 23cm 3C 56cm 3D 78cm 3 3. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为√2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）A √32B 1C √2+12D √2 4. 如图所示，在斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90∘，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在（ ）A 直线AB 上 B 直线BC 上 C 直线CA 上D △ABC 内部5. 如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =√2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A′−BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）A A′C ⊥BDB ∠BA′C =90∘ C △A′DC 是正三角形D 四面体A′−BCD 的体积为13 6. 过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA =AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）A 30∘B 45∘C 60∘D 90∘7. 已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m // α成立的一个充分条件是（ ）A m // β，α // βB m ⊥β，α⊥βC m ⊥n ，n ⊥α，m ⊄αD m 上有不同的两个点到α的距离相等8. 在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A BC // 平面PDFB DF⊥平面PAEC 平面PDF⊥平面ABCD 平面PAE⊥平面ABC9. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A α // β且l // αB α⊥β且l⊥βC α与β相交，且交线与l垂直D α与β相交，且交线与l平行10. 已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么（）A a // b且c // dB d中任意两条可能都不平行C a // b或c // dD d中至多有一对直线互相平行11. 如图，在棱长为5的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=2，Q是A1D1中点，点P是棱C1D1上动点，则四面体PQEF的体积( )A 是变量且有最大值B 是变量且有最小值C 是变量且有最大值和最小值D 是常量12. 已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α // β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．）13. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，下列结论：（1）棱AB与PD所在的直线垂直；（2）平面PBC与平面PCD垂直；（3）△PCD的面积大于△PAB的面积；（4）直线AE与BF是异面直线．以上结论正确的是________．14. 如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=√3BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是√2；a2；（2）V B−ACE的体积是16（3）AB // CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为√3．3其中正确的叙述有________（写出所有正确结论的编号）．15. 如图，在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大值是________．16. 三棱锥S−ABC中，∠SBA=∠SCA=90∘，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①SB⊥AC；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是1a．2其中正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC= 90∘，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．（1）证明：A1M⊥平面MAC；（2）求三棱锥A−CMA1的体积；（3）证明：MN // 平面A1ACC1．18. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．（1）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论．19.如图1，⊙O 的直径AB =4，点C 、D 为⊙O 上两点，且∠CAB =45∘，F 为BC →的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．（1）求证：OF // 平面ACD ；（2）在AD 上是否存在点E ，使得平面OCE ⊥平面ACD ？若存在，试指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．20. 如图，直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD =∠ADC =90∘，AB =2AD =2CD =2．（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．21. 如图，已知矩形ABCD 中，AB =10，BC =6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：BC ⊥A 1D ；（2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ；（3）求三棱锥A 1−BCD 的体积．22. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB // DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60∘．(Ⅰ)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P −ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；(Ⅱ)若M 为PA 的中点，求证：DM // 平面PBC ；(Ⅲ)求三棱锥D −PBC 的体积．2014年山东省烟台市育星教育高考数学模拟试卷（五）（文科）答案1. D2. C3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. D10. C11. D12. C13. 棱AB⊥面PAD，PD⊂面PAD，∴ 棱AB棱AB与PD所在的直线垂直，故正确；对于平面PBC与平面PCD所成角为钝角，故不正确；对于S△PAB＝S△PCDcosxθ，△PCD的面积大于△PAB的面积，故正确对于（1），（3）14. （1）（2）（4）（5）πR315. 2√3916. ①②③④17. 解：（1）证法一：由题设知，AC⊥AA1，又∵ ∠BAC=90∘∴ AC⊥ABB1A1，AB⊂平面AA1B1B，AA1∩AB=A，∴ AC⊥平面AA1B1B，…A1M⊂平面AA1B1B∴ A1M⊥AC．…又∵ 四边形AA1B1B为正方形，M为A1B的中点，∴ A1M⊥MA…AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…∴ A1M⊥平面MAC…证法二：在Rt△BAC中，BC=√AB2+AC2=√22+22=2√2在Rt△A1AC中，A1C=√A1A2+AC2=√22+22=2√2．∴ BC=A1C，即△A1CB为等腰三角形．…又点M为A1B的中点，∴ A1M⊥MC．…又∵ 四边形AA1BB1为正方形，M为A1B的中点，∴ A1M⊥MA...AC∩MA=A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC…∴ A1M⊥平面MAC…（2）由（1）的证明可得：三棱锥A−CMA1的体积V A−CMA1=V C−AMA1=13×S△AMA1×CA...=13×12×2×1×2…=23．…（3）证法一：连接AB1，AC1，…由题意知，点M，N分别为AB1和B1C1的中点，∴ MN // AC1．…又MN⊄平面A1ACC1，AC1⊂平面A1ACC1，…∴ MN // 平面A1ACC1．…证法二：取A1B1中点P，连MP，NP，…而M，P分别为AB1与A1B1的中点，∴ MP // AA1，MP⊄平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，∴ MP // 平面A1ACC1，同理可证NP // 平面A1ACC1…又MP∩NP=P∴ 平面MNP // 平面A1ACC1．…∵ MN⊂平面MNP，…∴ MN // 平面A1ACC1．…18. 证明：（1）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∴ AA1⊥BC，在等边△ABC中，D是BC中点，∴ AD⊥BC∵ 在平面A1AD中，A1A∩AD=A，∴ BC⊥面A1AD又∵ A1D⊂面A1AD，∴ A1D⊥BC在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴ B1C1 // BC ∴ A1D⊥B1C1（2）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中联结A1C，交于AC1点O，连接DO．故O为A1C中点．在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，∴ DO // A1B．因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，∴ A1B // 面ADC1∴ A1B与面ADC1平行．19. （1）证明：∵ ∠CAB =45∘，∴ ∠COB =90∘，又∵ F 为BC →的中点，∴ ∠FOB =45∘，∴ OF // AC ，又AC ⊂平面ACD ，OF ⊄平面ACD ，∴ OF // 平面ACD ．（2）解：存在，E 为AD 中点，∵ OA =OD ，∴ OE ⊥AD ，又OC ⊥AB 且两半圆所在平面互相垂直，∴ OC ⊥平面OAD ，又AD ⊂平面OAD ，∴ AD ⊥OC ，∴ AD ⊥平面OCE ，又AD ⊂平面ACD ，∴ 平面OCE ⊥平面ACD ．∴ 在AD 上是存在点E ，E 为AD 中点，使得平面OCE ⊥平面ACD ．20. 证明：（1）直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ． 又∵ ∠BAD =∠ADC =90∘，AB =2AD =2CD =2，∴ AC =√2，∠CAB =45∘，∴ BC =√2，∴ BC ⊥AC ．又BB 1∩BC =B ，BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．（2）存在点P ，P 为A 1B 1的中点．证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1=12AB ． 又∵ DC‖AB ，DC =12AB ，∴ DC // PB 1，且DC =PB 1， ∴ DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1 // DP ．又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴ DP‖面ACB 1．同理，DP‖面BCB 1． 21. 证明：（1）连接A 1O ， ∵ A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上，∴ A 1O ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD∴ BC ⊥A 1O又BC ⊥CO ，A 1O ∩CO =O ，∴ BC ⊥平面A 1CD ，又A 1D ⊂平面A 1CD ，∴ BC ⊥A 1D（2）∵ ABCD 为矩形，∴ A 1D ⊥A 1B 由(I)知A 1D ⊥BC ，A 1B ∩BC =B ∴ A 1D ⊥平面A 1BC ，又A 1D ⊂平面A 1BD∴ 平面A 1BC ⊥平面A 1BD（3）∵ A 1D ⊥平面A 1BC ，∴ A 1D ⊥A 1C ．∵ A 1D =6，CD =10，∴ A 1C =8，∴ V A1−BCD =V B−A1CD=13⋅(12⋅6⋅8)⋅6=48．故所求三棱锥A1−BCD的体积为：48．22. （2）∵ M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于12AB，再由(Ⅰ)可得CD平行且等于12AB，可得MN和CD平行且相等，故MNCD为平行四边形，故DM // CN．由于DM不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM // 平面PBC．(Ⅲ)三棱锥D−PBC的体积V D−PBC＝V P−BCD=13S△BCD⋅PD=13(S梯形ABCD−S△ABD)⋅PD=13[4(3+6)2−12×6×4]×4√3=8√3．。
数学_2014年山东省某校高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2014年山东省某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知i 为虚数单位，复数z 1=a +i ，z 2=2−i ，且|z 1|=|z 2|，则实数a 的值为（ ）A 2B −2C 2或−2D ±2或02. 已知全集U =R ，且A ={x||x −1|>2}，B ={x|x 2−6x +8<0}，则(∁U A)∩B 等于（ ）A (2, 3)B [2, 3]C (2, 3]D (−2, 3]3. (cosπ12−sin π12)(cos π12+sin π12)=( ) A −√32 B −12 C 12 D √324. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A 12B 32C 1D 13 5. 已知x 、y 的取值如下表从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ̂=0.95x +a ，则a =6. 下列结论错误的是( )A 命题“若x 2−3x −4=0，则x =4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2−3x −4≠0” B “x =4”是“x 2−3x −4=0”的充分条件 C 命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆命题为真命题 D 命题“若m 2+n 2=0，则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”7. 设z =x +y ，其中实数x ，y 满足{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为12，则z 的最小值为（ ）A −3B −6C 3D 68. 已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足直线ax +by +c ＝0与圆x 2+y 2＝1相离，则△ABC 是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 以上情况都有可能9. 抛物线y 2=−12x 的准线与双曲线x 29−y 23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（ ）A 3√3B 2√3C 2D √310. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, +∞)D (−∞, 1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=2，(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →的夹角等于________．12. 如果执行如图的框图，输入N =5，则输出的数等于________． 13. 若△ABC 三边长a ，b ，c 满足等式(a +b −c)(a +b +c)=ab ，则角C 的大小为________．14. 已知数列{a n }为：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 50=________．15. 若函数y =f(x)是奇函数，则：①y =|f(x)|的图象关于y 轴对称；②若函数f(x)对任意x ∈R 满足f(x +2)=1−f(x)1+f(x)，则4是函数f(x)的一个周期；③若log m 3<log n 3<0，则0<m <n <1；④若f(x)=e |x−a|在[1, +∞)上是增函数，则a ≤1．其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数f(x)＝2√3sin(x +π4)cos(x +π4)−sin(2x +π)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若将f(x)的图象向右平移π12个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0, π2]上的最大值和最小值． 17. 对山东省实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（1）求出表中m，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率．合计m118. 如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE // BC，DC⊥BC，DE=12BC=2，AC=CD=3．（1）证明：EO // 平面ACD；（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE；（3）求三棱锥E−ABD的体积．19. 已知等差数列{a n}的公差d>0，且a2，a5是方程x2−12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且满足b1=3，b n+1=2T n+3(n∈N∗)．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足，c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和M n．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过焦点垂直于长轴的弦长为√2，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过点P(−2, 0)作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AF1B的面积的最大值．21. 已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx．（1）函数f(x)在点（2, f(2)）处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）对于任意x1，x2∈(0, +∞)，x1>x2，有f(x1)−f(x2)>x2−x1，求实数a的范围．2014年山东省某校高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. C3. D4. A5. D6. C7. B8. C9. A10. D11. 45∘12. 4513. 2π3 14. 6515. ①②④16. （1）f(x)＝2√3sin(x +π4)cos(x +π4)−sin(2x +π)=√3sin(2x +π2)+sin2x =√3cos2x +sin2x＝2sin(2x +π3)， ∵ ω＝2，∴ f(x)的最小正周期为π；令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，则f(x)单调递增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，k ∈Z ；（2）根据题意得：g(x)＝2sin[2(x −π12)+π3]＝2sin(2x +π6)，∵ 2x +π6∈[π6, 7π6]，∴ −1≤2sin(2x +π6)≤2， 则f(x)的最大值为2，最小值为−1．17. 解：（1）由频率分布表知，[10, 15)内的频数为10，频率为0.25，∵ 10M =0.25，∴ M =40，p =1−0.25−0.6−0.05=0.1．（2）∵ m =40−10−24−2=4，∴ 社区服务的次数不小于20次的学生共有，m +2=6，[20, 25)小组由4人，设为A ，B ，C ，D ，[25, 30)小组由2人，设为E ，F ，任选2人的基本事件有，AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，来自同一组的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，EF ，共7种，∴ 两人来自同一小组的概率为715． 18. 解：（1）如图，取BC 的中点M ，连接O 同、ME ．在三角形ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，∴ OM // AC ，在直角梯形BCDE 中，DE // BC ，且DE =CM ，∴ 四边形MCDE 是平行四边形，∴ EM // CD ，∴ 面EMO // 面ACD ，又∵ EO ⊂面EMO ，∴ EO // 面ACD ．（2）∵ AB 是圆的直径，C 点在圆上，∴ AC ⊥BC ，又∵ 平面BDCE ⊥平面ABC ，平面BDCE ∩平面ABC =BC∴ AC ⊥平面BDCE ，∵ AC ⊂平面ACD ，∴ 平面ACD ⊥平面BCDE ；（3）由（2）知AC ⊥平面ABDE ，可得AC 是三棱锥A −BDE 的高线，∵ Rt △BDE 中，S △BDE =12DE ×CD =12×2×3=3． 因此三棱锥E −ABD 的体积=三棱锥A −BDE 的体积=13×S △BDE ×AC =13×3×3=3． 19. 解：（1）∵ 等差数列{a n }的公差d >0，且a 2，a 5是方程x 2−12x +27=0的两根，∴ {a 2+a 5=12a 2a 5=27，解得a 2=3，a 5=9，或a 2=9，a 5=3（∵ d >0，∴ 舍去） ∴ {a 1+d =3a 1+4d =9，解得a 1=1，d =2， ∴ a n =1+(n −1)×2=2n −1．n ∈N ∗．∵ b 1=3，b n+1=2T n +3(n ∈N ∗)，①∴ b n =2T n−1+3(n ∈N ∗)，②两式相减并整理，得b n+1=3b n ，n ≥2，∴ b n =3n ，n ∈N ∗．（2）c n =a n b n =2n−13n ，∴ M n =13+332+⋯+2n+13n ，① 13M n =132+333+⋯+2n−13n+1，②23M n =13+232+233+⋯+23n −2n −13n+1 =13+29(1−13n−1)1−13−2n −13n+1 =23−2n+23n+1，∴ M n =1−n+13n ．20. 解：（1）∵ 过焦点垂直于长轴的弦长为√2，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形， ∴ b =c ，2b 2a =√2，∴ a =√2，b =1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:my =x +2(m ≠0)，代入椭圆方程可得(m 2+2)y 2−4my +2=0， △=(4m)2−8(m 2+2)>0，可得m 2>2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4m m 2+2，y 1⋅y 2=2m 2+2，∴ △AF 1B 的面积为S △PF 1B −S △PF 1A =12|PF 1||y 2−y 1|=12|y 2−y 1|， |y 2−y 1|=√(4m m 2+2)2−8m 2+2=2√2(m 2−2)(m 2+2)2=2√2(m 2−2)+16m 2−2+8≤2√28+8=√22， 当且仅当m 2=6时，取等号，满足m 2>2，∴ △AF 1B 的面积的最大值为12⋅√22=√24． 21. 解：（1）∵ f(x)=12x 2−ax +(a −1)lnx ，∴ f′(x)=x −a +a−1x ，∵ 函数f(x)在点（2, f(2)）处的切线与x +y +3=0平行，∴ 2−a +a−12=−1，∴ a =5；（2）f′(x)=(x−1)[x−(a−1)]，x∴ x=1或a−1．a>2时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上递增；a=2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；1<a<2时，f(x)在(0, a−1)上单调递增，在(a−1, 1)上单调递减，在(1, +∞)上递增；a≤1时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上递增．（3）∵ f(x1)−f(x2)>x2−x1，∴ f(x1)+x1>f(x2)+x2，令F(x)=f(x)+x，则对于任意x1，x2∈(0, +∞)，x1>x2，有f(x1)−f(x2)>x2−x1，等价于F(x)在(0, +∞)上是增函数．∵ F(x)=f(x)+x，[x2−(a−1)x+a−1]，∴ F′(x)=1x令g(x)=x2−(a−1)x+a−1a−1<0时，F′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则g(0)≥0，∴ a≥1，不成立；a−1≥0，则g(a−1)≥0，即(a−1)(a−5)≤0，∴ 1≤a≤5，2综上1≤a≤5．。
2014届山东省烟台市高三3月模拟考试文科数学试题(含答案解析)扫描版
高三数学三月份诊断考试（文科）参考答案及评分标准一、选择题C BD C D C D A D B 二、填空题11.1(,]8-∞ 12. 8 13. 9 14. 11 15.2 三、解答题16.解：（1）由题意可得2632718x y ==，所以7x =，3y =. ……………………3分 （2）记从中层抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高管抽取的2人为1c ，2c ，则抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种. ……8分设选中的2人都来自中层的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种. ………………10分 因此3()0.310P A ==. 故选中的2人都来自中层的概率为0.3. ……………………………………12分 17.解：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+ s i n (2)6x π=+………………………………………………3分（1）最小正周期：22T ππ==， ………………………………………………4分 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; ………………6分 （2）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或所以3A π=, ………………………………………………8分又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+， ………………9分而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴= ………………………………10分222221()4cos 111223612b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=. ………………………………………………12分18.解：（1）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………1分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………2分所以//OE PA ，PA PAD ⊂平面所以 //OE PAD 平面 …………………3分 同理//OF PAD 平面又,OE OF O OE OF OEF =⊂ 、平面所以平面//OEF 平面PDA …………………5分 （2）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………7分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………8分 （3）因为90ADC ∠=，3,4AD CD ==，所以13462ACD S ∆=⨯⨯=，而点,O E 分别是,AC CD 的中点，所以1342CFO ACD S S ∆∆==， …………………10分由题意可知ACP ∆为边长为5的等边三角形，所以高OP = …………11分即P 点到平面ACD 又E 为PC 的中点，所以E 到平面CFO 的距离1332E CFO V -=⨯=. …………………12分 19.解：（1）当1=n ，21=a ； ………………………1分当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴ 12n n a a -=. ……………2分 ∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a =. ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴ 21n b n =-. ……………………………6分（2）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分2122223n n n +-=--． ……………………………12分20.解：（1）当1a =时，2()ln +1f x x x x=+-， 此时'212()+1f x x x =-， ………………………………2分 '12(2)+1124f =-=，又2(2)ln 2+21ln 2+22f =+-=，所以切线方程为：(ln2+2)2y x -=-，整理得：ln 20x y -+=； …………………………5分（2）2'222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x++--++-=+-==， ……6分 当0a =时，'21()x f x x-=，此时，在'(0,1)()0f x <,()f x 单调递减， 在'(1,)()0f x +∞>,()f x 单调递增； …………………………… 8分当102a -≤<时，'21()(1)()aa x x a f x x ++-=， 当11a a +-=即12a =-时2'2(1)()02x f x x -=-≤在(0,)+∞恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减； …………………………………10分 当102a -<<时，11a a +->，此时在'1(0,1),(,)()0af x a+-+∞<,()f x 单调递减，()f x 在'1(1,)()0a f x a->单调递增； ………………………………12分综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)单调递减，()f x 在(1,)+∞单调递增； 当102a -<<时， ()f x 在1(0,1),(,)a a -+∞单调递减，()f x 在1(1,)a a-单调递增；当12a =-时()f x 在(0,)+∞单调递减. ……………………………………13分 21.解: （1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴a =， ∴222212x y b b+=， …………2分又∵椭圆经过点(1,2P ，代入可得21b =，∴故所求椭圆方程为22 1.2x y += …………4分(2)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-， 显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴，此时1212,x x y y =-=所以11111=|2|||||||2AOB S x y x y ∆=，因为221112x y +=，所以2211111||||||()222x x y y y =≤+=所以AOB S ∆≤，当且仅当1||1x =时，AOB S ∆……………7分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+所以2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(21)4220k x ktx t +++-= ……………8分 当228(21)0k t ∆=-+>, 即2221k t +> ①方程有两个不同的解又122421kt x x k -+=+，1222221x x ktk +-=+ ………………10分 所以122221y y t k +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2212k t += ②代入①，得到02t << …………………11分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x -=所以1=||||2AOB S AB d ∆==考虑到2212k t +=且02t <<化简得到AOB S ∆ …………………13分因为02t <<，所以当1t =时，即k =时，AOB S ∆.综上，AOB ∆ …………………14分。
2014年高考真题——文科数学(山东卷)解析版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是(A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m == . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A) 23(B)3(C) 0(D) 3-(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014年山东省烟台市高考数学一模试卷(文科)
2014年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={x|x2-2x-3＜0}，N={x|log2x＜0}，则M∩N等于( )A.(-1，0)B.(-1，1)C.(0，1)D.(1，3)【答案】C【解析】试题分析：利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N．∵集合M={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，N={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=(0，1)．故选：C．2.已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得b的值，即为所求．设复数z的虚部是为b，∵已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有1+b2=4，解得b=±，故选D．3.若命题p：∃α∈R，cos(π-α)=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是( )A.p是假命题B.￢q是真命题C.p∧q是假命题D.p∨q是真命题【答案】D【解析】试题分析：先判定命题p、q的真假性，再判定各选项是否正确．∵α= π/2时，cos(π- π/2)=cosπ/2=cosπ/2=0；∴命题p：∃α∈R，cos(π-α)=cosα是真命题；∵∀x∈R，x2+1≥1＞0，∴命题q是真命题；∴A中p是假命题是错误的；B中￢q是真命题是错误的；C中p∧q是假命题是错误的；D中p∨q是真命题正确；故选：D．4.设函数则=()A.0B.1C.2D.ln(e2+1)【答案】C【解析】试题分析：从里到外根据自变量的范围选择解析式、逐一求解．f(e)=lne=1，所以f(f(e))=f(1)=12+1=2．故选C．5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．6.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若，则S2014的值等于( )A.2011B.-2012C.2014D.-2013【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的公差，写出前n项和公式，取n=n+1后作差得到{}为公差是的等差数列，由等差数列的通项公式结合求得公差，代入等差数列的前n项和公式得答案．∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为，∴，∴，∴{}为公差是的等差数列，∴，又，∴d=2．∵数列{a n}为等差数列，a1=-2012，∴×2=2014×(-2012)+=2014．故选：C．7.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)[90，100)，则图中x的值等于()A.0.754B.0.048C.0.018D.0.012【答案】C【解析】试题分析：根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；由图得30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，解得x=0.018故选C．8.函数y=xsinx在[-π，π]上的图象是()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题可采用排除法解答，先分析出函数的奇偶性，再求出和f(π)的值，排除不满足条件的答案，可得结论．∵y=x和y=sinx均为奇函数根据“奇×奇=偶”可得函数y=f(x)=xsinx为偶函数，∴图象关于y轴对称，所以排除D．又∵，排除B．又∵f(π)=πsinπ=0，排除C，故选A．9.若函数f(x)=2sin(x+)(-2＜x＜14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(+)•=(其中O为坐标原点)()A.-32B.32C.-72D.72【答案】D【解析】试题分析：由f(x)=2sin(x+)=0，结合已知x的范围可求A，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解由f(x)=2sin(x+)=0可得x+=kπ∴x=8k-2，k∈Z∵-2＜x＜14∴x=6即A(6，0)设B(x1，y1)，C(x2，y2)∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=12，y1+y2=0则(+)•=(x1+x2，y1+y2)•(6，0)=6(x1+x2)=72故选：D．10.对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算、现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m=()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】试题分析：将1*2=4，2*3=6按照定义建立两个等式关系，将a和b都有c进行表示，再根据对任意实数x，都有x*m=x，建立恒等式，使x前的系数相等和常数项相等求出m即可．，x*m=-6cx+(2c+2)m+cxm=(cm-6c)x+(2c+2)m=x恒成立，．故选D二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心(-1，2)，故有a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．∵直线ax-by+1=0平分圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的周长，∴直线ax-by+1=0过圆C的圆心(-1，2)，∴有a+2b=1，由1=a+2b，可得ab≤，∴ab的取值范围是．故答案为：．12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i值为【答案】8【解析】试题分析：根据框图流程依次计算运行的结果，直到满足条件n=1，求得此时i的值．由程序框图知：程序第一次运行n=10，i=2；第二次运行n=5，i=3；第三次运行n=3×5+1=16，i=4；第四次运行n=8，i=5；第五次运行n=4，i=6；第六次运行n=2，i=7；第七次运行n=1，i=8．满足条件n=1，程序运行终止，输出i=8．故答案为：8．13.已知变量x，y满足约束条件，且目标函数z=3x+y的最小值为-1，则实常数k= ．【答案】9【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为-1，建立条件关系即可求出k的值．目标函数z=3x+y的最小值为-1，∴y=-3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为-1，则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方，求3x+y=-1，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B，由，解得，即B(-1，2)，同时B也在直线x-4y+k=0时，即-1-8+k=0，解得k=9，故答案为：9．14.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= ．【答案】11【解析】试题分析：根据m2=1+3+5+…+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值．∵m2=1+3+5+…+11==36，∴m=6∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，∴53=21+23+25+27+29，∵p3的分解中最小的数是21，∴p3=53，p=5∴m+p=6+5=11故答案为：1115.已知抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为．【答案】2【解析】试题分析：求出y2=4x的准线l：x=-1，由抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，从而得出A、B的坐标，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a，b，c的关系式得出出a，c的关系，即可求得离心率．∵y2=4x的准线l：x=-1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，∴A(-1，)，B(-1，-)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得=，∴b2=3a2，∴3a2=c2-a2，即4a2=c2，∴e==2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：(单位：人)(1)求x，y；(2)若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．【答案】(1)由分层抽样可知，，所以x=7，y=3(2)记从中层抽取的3人为b1，b2，b3，从高管抽取的2人为c1，c2，则抽取的5人中选2人的基本事件有：(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)共10种．设选中的2人都来自中层的事件为A，则A包含的基本事件有：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3种因此故选中的2人都来自中层的概率为0.3【解析】本题的关键是利用分层抽样的基本理论求出一般职工、中层被抽出的人数，在根据古典概型的计算方法求出概率．17.已知函数，(1)求函数f(x)的周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点成等差数列，且，求a的值．【答案】=(1)最小正周期：，由可解得：，所以f(x)的单调递增区间为：；(2)由可得：或∴，又∵b，a，c成等差数列，∴2a=b+c，而，∴bc=18∴，∴．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f(x)的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；(2)通过函数f(x)的图象经过点成等差数列，求出A以及列出abc的关系，利用，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC．把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD=3，CD=4，AB=5，求三棱锥E-CFO的体积．【答案】(1)证明：因为点P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AC因为AB=BC，所以O是AC中点，所以OE∥PA，因为PA⊂平面PAD所以OE∥平面PAD同理OF∥平面PAD又OE∩OF=O，OE、OF⊂平面OEF所以平面OEF∥平面APD；(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD所以OF⊥CD又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC所以PO⊥CD又OF∩PO=O所以CD⊥平面POF；(3)因为∠ADC=90°，AD=3，CD=4，所以.而点O，E分别是AC，CD的中点，所以.由题意可知△ACP为边长为5的等边三角形，所以高.即P点到平面ACD的距离为.又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故．【解析】(1)证明平面OEF∥平面APD，只需证明OE∥平面PAD，OF∥平面PAD；(2)证明CD⊥平面POF，只需证明OF⊥CD，PO⊥CD；(3)求出以，E到平面CFO的距离为，利用体积公式，即可求三棱锥E-CFO的体积．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2，数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设，求数列{c n}的前2n项和T2n．【答案】解：(1)当n=1，a1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1．∴{a n}是等比数列，公比为2，首项a1=2，∴．由b n+1=b n+2，得{b n}是等差数列，公差为2．又首项b1=1，∴b n=2n-1．(2)∴+[3+7+…+(4n-1)]==．【解析】(1)当n=1，可求a1，n≥2时，a n=S n-S n-1可得a n与a n-1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a n，由b n+1=b n+2，可得{b n}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求b n．(2)由题意可得，然后结合等差数列与等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解20.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．【答案】(1)当a=1时，，此时，又，∴切线方程为：y-(ln2+2)=x-2，整理得：x-y+ln2=0；(2)，当a=0时，，此时，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(1，+)时，f(x)＞0，f(x)单调递增；当时，，当，即时，在(0，+)恒成立，∴f(x)在(0，+)单调递减；当时，，此时在(0，1)，，f(x)＜0，f(x)单调递减，f(x)在，f(x)＞0单调递增；综上所述：当a=0时，f(x)在(0，1)单调递减，f(x)在(1，+)单调递增；当时，f(x)在单调递减，f(x)在单调递增；当时f(x)在(0，+)单调递减．【解析】(1)当a=1时，直接求出f(x)从而确定f(2)和f(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分情况讨论a=0，，三种情况下f(x)的正负，即可确定f(x)的单调性．21.已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB(O 为原点)面积的最大值．【答案】(1)∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴，∴，又∵椭圆经过点，代入可得b2=1，∴故所求椭圆方程为．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的垂直平分线通过点，显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，此时x1=-x2，y1=y2∴，∵，∴∴，当且仅当|x1|=1时，S△AOB取得最大值为，当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t∴，代入得到(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0当△=8(2k2-t2+1)＞0，即2k2+1＞t2①方程有两个不同的解又，∴，又，化简得到2k2+1=2t②代入①，得到0＜t＜2又原点到直线的距离为∴考虑到2k2+1=2t且0＜t＜2化简得到∵0＜t＜2，∴当t=1时，即时，S△AOB取得最大值．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】(1)利用椭圆结果的点以及两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，列出方程求出a，b即可求得椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)通过直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，求出三角形的面积，然后求出S△AOB取得最大值．当直线AB的斜率不为0时，设AB 的方程为y=kx+t，通过直线与椭圆联立方程组利用弦长公式以及点到直线的距离求出三角形的面积然后求出最大值．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-山东卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位、 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i +(C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==、 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 (A) 6 (B) 8 (C) 12(D) 18(9) 对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) ()f x =(B) 3()f x x =(C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+(10) 已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为(A) 5(B) 4(D) 2第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、(11) 执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 、 (12)函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 、 (13)一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .(14) 圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 . (15) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分、 (16)（本小题满分12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示、 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率、(17) （本小题满分12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c 、 已知3,cos 2a A B A π===+、 （Ｉ）求b 的值； （II ）求ABC ∆的面积、 (18)（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点、 （Ｉ）求证：AP BEF ∥平面； （II ）求证：BE PAC ⊥平面、 (19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项、 （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T 、(20) （本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数、 （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论函数()f x 的单调性、 (21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C 、 （Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）、 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点、 （i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值、参考答案一、选择题1、A2、C3、C4、A5、A6、D7、B8、C9、D10、B二、填空题11、3 12、π13、1214、 22(2)(1)4x y -+-=15、y x =±三、解答题 16、解：（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个体数的比时615015010050=++所以，样本中包含三个地区的个体数量分别是：111501,1503,1002505050⨯=⨯=⨯= 所以，A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2 （Ⅱ）设6件来自A,B,C 三个地区的样品分别为12312;,,;,A B B B C C则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：12312{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A C A C 1213111223{,},{,},{,},{,},{,}B B B B B C B C B B2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C 共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现时等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同的地区”， 则事件D 包含的基本事件由12132312{,},{,},{,},{,}B B B B B B C C 共4个.所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为41517、解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==由正弦定理可得3sin sin a Bb A=== （Ⅱ）由2B A π=+得cos cos()sin 2B A A π=+=-= 由A B C π++=，得()C A B π=-+ 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+ 13=因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=18、证明：（Ⅰ）设AC BE O ⋂=，连接OF,EC由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点， 又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF 又OF BEF AP BEF ⊂⊄平面，平面 所以//AP BEF 平面（Ⅱ）由题意知//,ED BC ED BC =所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD 又AP PCD ⊥平面，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥ 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE AC ⊥又,,AP AC A AP AC PAC ⋂=⊂平面 所以BE PAC ⊥平面 19、（Ⅰ）由题意知2111(3)a d a a d +=+（）即21112(6)a a a +=+（）解得12a =所以，数列{}n a 的通项公式为2n a n =（Ⅱ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+所以122334...(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+ 因为12(1)n n b b n +-=+可得，当n 为偶数时，12141()()...()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+4812...2n =++++(42)22nn += (2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数 20、（Ⅰ）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+ 此时22()(1)f x x '=+可得1(1)2f '=，又(1)0f = 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++ 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++ 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+ ①当12a =-时，0∆=， 221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ②当12a <-时，0,()0g x ∆<< ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.③当102a -<<时，0∆> 设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则12x x ==由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当102a -<<时， 函数()f x在(1)(1)(0,),()a a a a-+-++∞上单调递减，在(1)(1)()a a a a-+-+上单调递增.21、=，可得224a b = 椭圆C 的方程可简化为2224x y a += 将y x =代入可得x =55=，可得2a = 因此1b =所以，椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --,因为直线AB 的斜率11AB y k x =， 又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-设直线AD 的方程为y kx m =+， 由题意知0,0k m ≠≠由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=所以122814mkx x k+=-+， 因此121222()214my y k x x m k +=++=+由题意知12x x ≠， 所以1211121144y y y k x x k x +==-=+所以，直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+ 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x 可得1212y k x =- 所以1212k k =-，即12λ=- 因此，存在常数12λ=-使得结论成立. （ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+， 令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y - 由（ⅰ）知1(3,0)M x ， 可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯= 因为221111||||14x x y y ≤+=当且仅当11||||2x y ==时等号成立， 此时S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98。
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绝密★启用并使用完毕前文 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是 A.15iB. 15-C. 15i -D.152.设{}{}2623A x x B x a x a B A =≤≤=≤≤+⊆，，若，则实数a 的取值范围是A. []13，B. [)3+∞，C. [)1+∞，D. ()13，3.已知,a b为非零向量，则“a b ⊥ ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅- 为一次函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()2ln x f x x=的大致图象为5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为{}913,18,52,n n S S S b =-=-为等比数列，且557715,b a b a b ==，则的值为A.64B.128C. 64-D. 128-6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增.若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是A.[]1,2B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,27.若执行如右图所示的程序框图，那么输出a 的值是 A.-1 B.2 C.12-D.128.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c S 表示ABC ∆的面积，若()2221cos cos sin ,4a Bb Ac C S b c a B +==+-∠=，则 A.30B. 45C. 60D. 909.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ABCD10.设0,0,0a b c >>>，下列不等关系不恒成立的是 A. 321114c c c c ++>+-B. a b a c b c -≤-+-C.若1141 6.8a b a b+=+>，则D. ()20ax bx c x R ++≥∈二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.11.已知在3,60,ABC AB A A ∆=∠=∠中的平分线AD 交边于点D ，且()13A D A C AB λλ=+∈R ，则AD 的长为____________12.设20,240240x y z kx y x y x y x y +-≥⎧⎪=+-+≥⎨⎪--≤⎩，其中实数满足若z 的最大值为12，则实数k=_______13.若函数xy e ax =+，有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是______.14.已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O是双曲线C 的中心，直线y =是双曲线C 的一条渐近线.以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为________. 15.设函数()(){}()211231,012n n n f x a a x a x a x f a f -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==，数列满足 ()2*n n a n N ∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于______________.三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.） 16.（本小题满分12分）已知函数()()22c o s 13c o s s i n 01fx x xx ωωωω=-+<<，直线()3x f x π=是图像的一条对称轴.（1）试求ω的值；（2）已知函数()y g x =的图象是()()y g x y f x ==由图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移23π个单位长度得到，若62,0,352g ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求sin α的值。
17.（本小题满分12分）为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：（1）现采用分层抽样的方法，从这个样本中取出5株玉米，再从这5株玉米中随机选出2株，求选到的2株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；（2）根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？（下面的临界值表和公式可供参考：()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，其中）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，侧面ABC,11底面⊥B B AA D 为CC 1 的中点，11E A B 为的中点，160ABB ∠=.（1）求证：1//C E 平面1A BD ；（2）求证：11AB A BD ⊥平面；（3）求三棱锥1A A BD -的体积.19. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 为等比数列，它的前n 1123,1,n S a a S a =+=项和为且 （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）已知n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知函数()32x f x a=图象上斜率为3的两条切线间的距离为()f x 的导数为()()()(),3bf x f x g x f x x''=-+函数。
（1）若函数()()1g x x x =在有极值，求g 的解析式；（2）若函数()[]11g x -在，是增函数，且()[]2411b mb g x -+≥-在，上都成立，求实数m 的取值范围.已知椭圆()2222102x y C a b a b +=>>：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于两点A,B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3PA PB -< 时，求实数t 取值范围.文 科 数 学 答案与提示一、选择题D C B D C C B B A D二.填空题:11、 12、2 13、 (,1)-∞- 14、3+ 15、1+n n 三、解答题16. ()cos 222sin(2)6f x x x x πωωω==+…………………………………2分(1)由于直线3x π=是函数()2sin(2)6f x x πω=+图像的一条对称轴，所以2sin()136ππω+=± ……………………………………………3分 因此231(),()36222k k Z k k Z πππωπω+=+∈=+∈ ………………………4分又01ω<<，所以111,0,=332k k ω-<<=从而所以. …………………………6分(2)由（1）知()2sin(2)6f x x πω=+由题意可得12()2sin ()236g x x ππ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，即1()2cos()2g x x =……………………8分由6(2)2cos(2)2cos(),3365g πππααα+=+=+=得3cos(),65πα+=……………9分 又2(0,),2663ππππαα∈<+<所以4sin(),65πα+=…………………………………10分所以sin αsin ()sin()cos cos()sin 666666ππππππααα⎡⎤=+-=+⋅-+⋅⎢⎥⎦⎣4313525210=⨯-⨯=…………………12分 17.解：(1) 现采用分层抽样的方法，从样本中取出的5株玉米中圆粒的有3株，分别设为a 、b 、c ； 皱粒的有2株，分别设为A 、B 。
………………2分所以从中再次选出3株时，总共有：（a,b ）（a,c ）（b,c ）（a,A ）（a,B ）（b,A ）（b,B ）（c ,A ）（c,B ）（A,B ）等10种情况。
既有圆粒又有皱粒的为（a,A ）（a,B ）（b,A ）（b,B ）（c ,A ）（c,B ） 等4种情况。
………………4分 故“从选出的5株玉米中随机选出3株，之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米”的概率 53106==P . …………….6分(2) 根据已知列联表：所以2250(1171319) 3.860 3.84130202426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.又2( 3.841)0.050p K =≥，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关………………………………………12分 18.证明：（1）连接1AB 交1A B 于点O ，连接,OD OE 因为,O E 分别为1A B ，11B A 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 又因为D 为1CC 中点，所以1//OE DC 且1OE DC =，所以1OEC D 是平行四边形，所以1//C E OD又因为111,C E A BD OD A BD ⊄⊂平面平面.所以E C 1 ∥ 平面BDA 1…………4分（2）斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，所以11ABB A 是菱形，所以11A B AB ⊥，因为⊥11BB AA 底面ABC ，所以⊥11BB AA 面111A B C ，三角形111A B C 是等边三角形，E 为11B A 的中点，所以1C E ⊥11B A ,所以1C E ⊥平面BD A 1又因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1C E ⊥1A B .因为1//C E OD ，所以OD ⊥1A B ，1A B OD O ⋂=,,所以⊥1AB 平面BD A 1……………………………………8分（3）由(2)可知⊥1AB 平面BD A 1，所以AO 就是A 到平面BD A 1的距离 所以1113BD A A A BD V S AO -∆=⋅，因为斜三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2， 601=∠ABB ,所以1AO =，1111322A BD S AB DO ∆=⋅=⨯=所以11BD A A V -=……………………………………………………………………12分O20.解：222233(),3f x x x x a a a '=⋅∴⋅==± 由有 即切点坐标为(,)(,)a a a a --或 ，所以切线方程为3()3()y a x a y a x a -=-+=+或，整理得3203=2x y a x y a --=-或 ……………………………………………………2分15a ==±解得： ………………………………………………4分 323(),()3,()33f x x f x x g x x bx '∴==∴=-+ ………………………………………5分（1）2()33g x x b '=-， ()1g x x =在有极值2(1)0,3130,1g b b '∴=⨯-==即解得3()33g x x x ∴=-+ ………………………………………………………………7分（2） 函数()[]1,1g x -在是增函数，∴2()33g x x b '=-在[]1,1-上恒大于0，0b ∴≤ ………………………………………………………………9分 又()[]2411b mb g x -+≥-在，上恒成立，∴ ()241b mb g -+即2443b mb b -+? ………………………………………………11分(]3,0m b b ∴≥-∈-∞在上恒成立， ……………………………12分3m ∴≥ ……………………………13分21.解：（1）由题意知22222212c c a b e e a a a -==∴=== 即222a b =又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，221,2b a ∴==，故椭圆C 的方程为2212x y +=…………………….2分（2）由题意知直线AB 的斜率存在，设直线:(2)AB y k x =-.设1122(,),(,),(,)A x y B x y p x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-= 22221644(21)(82)0,2k k k k ∆=-+-><…………………………………………4分2122812k x x k +=+，21228212k x x k -⋅=+ OA OB tOP += ，212121228(,)(,),(12)x x k x x y y t x y x tt k +∴++===+1224(12)y y k y t t k +-==+ ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+..……7分12x -<22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ，∴22(41)(1413)0k k -+>， ∴214k >.................................................11分∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴2t -<<2t <<， ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.……..…………….…14分。