必修2课本例题习题改编解析

O OO 'O '22OO人教A 版必修2课本例题习题改编1.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

改编 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=+3(cm )．2.原题（必修2第30页习题1.3B 组第二题）已知三棱柱ABC- A B C '''的侧面均是矩形，求证：它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。

（提示：依据三角形任意两边之和大于第三边即可得证）改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。

分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S 1，S 2，S 3和V 1,V 2,V 3.则它们的关系为 ( ) A.S 1>S 2>S 3, V 1>V 2>V 3 B.S 1<S 2<S 3, V 1<V 2<V 3 C.S 1>S 2>S 3, V 1=V 2=V 3 D.S 1<S 2<S 3, V 1=V 2=V 3解：()a a bc V c b a S 21131,bc ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 222231,c b V c c a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=πππcb V b b a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=232331,πππ 则选B3.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：(1)(2)(3)(4)解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）。

本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型。

答案（1）、（4）4.原题（必修2第三十七页复习参考题B组第三题）如右上图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中有以下结论①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM与60°角；④DM与BN是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④解：如左下图，可还原成正方体，由此可判断③④是正确的，答案选C改编如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直60的直线共有 12 对.线中，所成的角为5.原题（必修2第三十七页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）(A)(B)(C)(D)解：选项A 、B 、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。

即A 、B 、D 不可能，故选C 。

6.原题（必修2第五十九页例3）改编 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．答案：D7.原题（必修2第六十二页习题2.2A 组第八题）如图，直线AA 1，BB 1，CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，求证：平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.改编 如图，直线AA 1、BB 1、CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78，设空出三棱锥的高为x ，则331x =87，所以，x=273,液面高度为1-273.8.原题（必修2第六十三页习题 2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABA 1B 1C 1ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值。

改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______。

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形。

（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）。

（6） （7）9.原题（必修2第七十九页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的结论.改编 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,2PC PD CD ===，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PCPD P =，故AB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ，所以,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．又1,2PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=．在平面四边形PCHD 中，090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=，所以090CHD ∠=．故平面α⊥平面β．10.原题（必修2第一百页习题3.2A 组第九题）求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程。

改编1 求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=，即01=+-y x 或023=-y x .改编2 直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程. 解:依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或05=-+y x .11.原题（必修2第一百一十页习题3.3B 组第七题）已知AO 是ABC 边BC 的中线，求证：2222||||2(||||)AB AC AO OC +=+改编 已知在三角形ABC 中，D 是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:3412.原题（必修2第一百一十页习题 3.3B 组第八题）已知01,01,x y <<<<求证：改编 长方形ABCD 的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P 是坐标平面上的动点，若AP 2+BP 2+CP 2+DP 2的值最小，则点P 的位置在( )A.长方形的顶点处B.AB 边的中点处C.两条对角线的交点处D.三角形ABC 的重心处解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x 2+y 2+(x-a) 2+y 2+(x-a) 2+(y-b) 2+x 2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a 2+b 2当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C 。

13.原题（必修2第一百一十五页复习参考题B 组第七题）设,,,a b c d R ∈，求证：对于任意,,p q R ∈≥改编 设R d c b a ∈,,,，a,b,c,d 为常数，其中()()03232<+-•+-d c b a ，对于任意实数x ,()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a 。

解:可设A （a ，b ），B （c ，d ），C （x ，2x+3），由()()03232<+-•+-d c b a ，知A ，B 在直线y=2x+3两侧，()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ||AB =()()22a d b c -+-14.原题（必修2第一百二十九页例３）改编 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25m =-，∴实数m 的取值集合是122{,,0,2}55--.15.原题（必修2第一百三十页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m 根铁索的长度f(m)= _______米。

16.原题（必修2第一百三十三页习题 4.2A 组第九题）求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长。