必修2课本例题习题改编解析

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人教A 版必修2课本例题习题改编

1.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。 改编 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ）

，它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为

）．

所以所求表面积2

1212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯

⨯=2

(cm )，

所求体积2

2

112123

V πππ=⨯⨯+⨯⨯=+

3(cm )．

2.原题（必修2第30页习题1.3B 组第二题）已知三棱柱ABC- A B C '''的侧面均是矩形，求证：它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。（提示：依据三角形任意两边之和大于第三边即可得证）

改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为a,b,c,（a>b>c ）。分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S 1，S 2，S 3和V 1,V 2,V 3.则它们的关系为 ( ) A.S 1>S 2>S 3, V 1>V 2>V 3 B.S 1S 2>S 3, V 1=V 2=V 3 D.S 1

解：()a a bc V c b a S 2

1131,bc ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 222231,c b V c c a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=πππ

c

b V b b a S ⋅⋅=⋅+⋅⋅=232331

,πππ 则选B

3.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用

一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

(1)(2)(3)(4)

解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）。本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型。答案（1）、（4）

4.原题（必修2第三十七页复习参考题B组第三题）如右上图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中有以下结论①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM与60°角；④DM与BN是异面直线；以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④

C．③④D．②③④

解：如左下图，可还原成正方体，由此可判断③④是正确的，答案选C

改编如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直60的直线共有 12 对.

线中，所成的角为

5.原题（必修2第三十七页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？

改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）

(A)(B)(C)(D)

解：选项A 、B 、D 中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A 、B 、D 不可能，故选C 。 6.原题（必修2第五十九页例3）改编 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ）

A ．不存在

B ．只有1个

C ．恰有4个

D ．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n, 直线 m 、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．答案：D

7.原题（必修2第六十二页习题2.2A 组第八题）如图，直线AA 1，BB 1，CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，求证：平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.

改编 如图，直线AA 1、BB 1、CC 1相交于点O ，AO=A 1O ，BO=B 1O ，CO=C 1O ，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的

1

8

，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的7

8

，设空出三棱锥的高为x ，则331x =87，所以，x=273,液面高度为1-273

.

8.原题（必修2第六十三页习题 2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器

A

B

A 1

B 1

C 1

ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值。 改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______。 (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值；

(4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形。

（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）。

（6） （7）

9.原题（必修2第七十九页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且

,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的

结论.

改编 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D α

βαβ=⊥⊥是垂足．

（Ⅰ）求证：