2016考前谈兵(4).谈解析几何解题中的设而不求技术(1)
解析几何中“设而不求”的常用技巧
解析几何中“设而不求”的常用技巧赵忠平【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2012(000)010【总页数】3页(P19-21)【作者】赵忠平【作者单位】永昌县第一高级中学甘肃永昌737200【正文语种】中文解析几何综合问题作为每年数学高考的压轴题型之一，能够有效地考查学生的思维能力和运算能力.由于解题过程中经常出现大量的参数，需要用到“设而不求”的思想方法进行消参，许多学生感到运算难度大、解题正确率低.本文总结解析几何中“设而不求”的几种常用技巧，仅供参考.1 利用曲(直)线定义例1 过圆外一点P(2，-1)引圆x2+y2=1的2条切线，求经过2个切点的直线方程.分析设2个切点分别为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则切线方程为因为切线方程过点P(2，-1)，所以可见 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都满足方程 2x-y=1.因此，经过2个切点的直线方程为2x-y=1.例2 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144，F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.点评曲线定义中往往包含“数”与“形”的特征，巧妙运用曲线定义可以达到在运算中进行“整体代换”的目的.2 利用韦达定理例3 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C 截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点O.若存在，写出l的方程;若不存在，请说明理由.分析设存在这样的直线 l：y=x+b，代入x2+y2-2x+4y-4=0，得设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意OA⊥OB，得将式(1)，式(2)代入式(3)得即b=1或b=-4.易验证b=1或b=-4时，Δ＞0，故直线l存在，其方程为y=x+1或y=x-4.点评直线与曲线位置关系的综合问题一般可以通过联立方程组消去一个变量，得到关于另外一个变量的二次方程，再运用韦达定理表示弦长、面积、弦中点、弦的垂直平分线方程等，在运算中进行“整体代换”，消去多余参数.3 利用“点差法”例4 过点M(-2，0)的直线 l与椭圆 x2+2y2=2交于点P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，设直线OP的斜率为k2，则k1k2= ______. 分析设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则两式相减得点评与“弦中点”有关的问题或与曲线上2个点斜率有关的问题通常可以运用“点差法”进行“整体代换”，从而简化运算.4 利用方程“整体”结构例5 垂直于x轴的直线交双曲线于点M，N，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.分析设 A1(-a，0)，A2(a，0)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，则直线A1M的方程为直线A2N的方程为式(4)×式(5)，得因为(x1，y1)在双曲线上，所以当a=b时，轨迹为以原点为圆心、以a为半径的圆;当a≠b时，轨迹为椭圆.点评利用方程整体结构特点，两式相加或相乘消去多余参数，从整体上实现对方程的化简也是一种常用的“设而不求”技巧.5 利用焦半径公式例6 已知过椭圆的右焦点F2垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的2个点 A，C 满足|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.求AC中点的横坐标.因此AC中点的横坐标为4.点评与曲线上点到焦点有关的问题常常利用焦半径公式化简，可以起到“整体代换”的作用.6 利用“特征构造法”例7 ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段 OD 的中点.已知|AB|=4，曲线C过点Q，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;(2)过点B的直线l与曲线C交于点M，N，与OD所在直线交于点求证：λ1+λ2为定值.分析 (1)略.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(0，y0)，易知B(2，0).因为，所以因此λ1，λ2是方程的2个根，即点评由2个结构特征完全相同的等式(或不等式)可以先构造方程(或不等式)，再利用根与系数关系实现“设而不求”.。
人教版数学-备课资料解析几何中的设而不求解题技巧
解析几何中的设而不求解题技巧解析几何是中学数学的重点内容，也是高考主要考察的地方，解析几何的方法与技巧也较多，其中一类的问题是设而不求，就是可以设出有关的点，或设出有关的变量，通过这些变量来解决问题，而设出的这些变量不用求出来，只是参与解题，通过这一桥梁作用求出问题，解决问题，下面就常用的设而不求的类型总结如下，希望对同学有所帮助。
一 遇到中点问题一般用设而不求例1 ,椭圆Q ：)0( 12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （c,0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).20(sin 2πθθ≤<=b 确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？（1）设椭圆),(1:112222y x A by a x Q 上的点=+、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2222222222212212ba y a xb ba y a xb 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，由①—②得)(.0,,02)(2)(22222222121212212*=-+∴-=-=--∴=-+- cx b y a x b cx yy a x b x x y y y y y a x x x b2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：022222=-+cx b y a x b（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c a x 2=原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为,2ca,1||),0,2(,1,1,2.,2,,2).42(2cos 1cos sin 1).20(sin ,sin cos 1,22222222======+=+++=≤<=++=-=DF D c b a l Q in c a b a b a c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθθθπθθθθ),(112:1122y x A y x Q 上的点设椭圆=+、),,(22y x B.0,1,2484,11,)2()1(84)()(4,21,22.012)2(,112,1.||21||21||212222221221221222122122222121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤≥+=++=-+=-=+-=+-=+=-++=++=-=+=∆k t t tS k t k k y y y y y y S k y y k k y y ky y k y x ky x m y y y y S ABD 因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 点评：求圆锥曲线的弦的中点轨迹问题时一般用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入圆锥曲线方程两式相减便可求出中点坐标与斜率的关系。
“设而不求”在解析几何中的应用
“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2， 同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。
设而不求法的解题步骤
设而不求法的解题步骤
一、设立未知数
首先，我们需要根据题目的条件和要求，选择适当的未知数。
未知数的选择应该使得问题简化，并且能够通过代数运算求解。
二、建立方程或方程组
根据题目给出的条件和未知数，我们需要建立方程或方程组来表达问题的数学关系。
这个步骤需要仔细分析题目的条件，找出等量关系或不等量关系，并转化为数学表达式。
三、整体代入
在建立方程或方程组后，我们需要对方程中的未知数进行代入。
通常我们会将已知量或较容易求得的量代入到方程中，以简化计算过程。
四、消去未知数
在整体代入后，我们可以通过代数运算来消去方程中的未知数。
常用的方法包括加减消元法、代入法等。
在消去未知数的过程中，需要特别注意符号和运算顺序，确保计算的正确性。
五、求解问题
最后，我们可以通过代数运算得出最终结果。
在求解问题时，需要注意结果是否符合实际情况和题目的要求，并进行必要的检验和验证。
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。
若思维得法，解题就会一气呵成。
“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。
“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。
解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。
一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。
例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点p（4，1），过p作直线交椭圆于a、b两点，在线段ab上取点q，使ap/pb=-aq/qb，求动点q的轨迹方程。
分析：b、q、a、p在同一线段上，且ap/pb=-aq/qb，故可设ap/pb=k，于是b、q、a、p坐标之间的联系就找到了，把b、a点的坐标及k 设而不求，通过消元的办法找出q点坐标的关系式，即求出q点的轨迹方程。
解：设q（x，y），a（x1，y1），b（x2，y2），ap/pb=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。
例2.（2010高考模拟）p0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点p作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于q、r，求证四边形orpq的面积为定值。
分析：设oq、or的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线pr的方程为y=■（x-x0）+y0，直线qr的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xr=■-■y0，xq=■+■y0。
谈解析几何解题中的设而不求技术
谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术（一） 什么是“设而不求” ?我们先看下面的例子:过圆外一点P(a,b)引圆x 2+y 2=R 2的两条切线，求经过两切点的直线方程. 按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看:【解析】设两切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则两切线方程分别为：x 1x+y 1y=R 2,x 2x+y 2y=R 2.∵切线经过点P(a,b),∴ax 1+by 1=R 2,ax 2+by 2=R 2.∵点(x 1,y 1),(x 2,y 2)适合方程ax+by=R 2,∴所求直线方程为ax+by=R 2. 在这里,我们用四个参变量x 1, y 1,x 2 ,y 2分别表示两切点A 、B 的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是“设而不求”. （二） 哪些问题可以实施“设而不求”?【题1】椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是【解析】设弦两端分别无A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 ()13642121=+y x()23642222=+y x（1）-（2）：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x （3）由条件：AB 中点为（4，2），∴()：代入⎩⎨⎧=+=+3482121y y x x ∴()()，则21,016821212121-=--==-+-x x y y k y y x x 故所求直线方程为：()0824212=-+--=-y x x y 也就是：.【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施“设而不求”.【题2】已知直线1:02856:2222=+=--by a x c y x l 与椭圆（0<b<a 且b ∈Z ）交于M 、N 两点，B 是椭圆的上顶点，△BMN 的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C 的方程.【解析】设直线()():,,,,2211则两点于交椭圆y x N y x M c l()()()105656028560285621212211⎩⎨⎧=-+-+⇒=--=--y y x x y x y x 且()()()()⎩⎨⎧=-++-+⇒=+=+,021*********222222222212212y y y y a x x x x b ba x a xb b a y a x b 但点M 、N 在直线:65280,l x y --=上()()()212122121266,255MNb x x y y k x x a y y +-∴==∴=--+椭圆上顶点为B （0，b ），且椭圆右焦点F （c ，0）为△BMN 的重心，()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=+=+⇒=++=++∴:13303021212121代入b y y cx x b y y c x x()()():23456518再代入=+b c(),,52,563222222c b a a bc b a c b +==∴-=-⋅而.22,025222bc b c b cb c ==∴=+-∴或()()从而代入舍去代入,4,5614:42;,,5641:42=∴==∉==b b bc Z b b b c .11620:,20,222222=+=+==y x c b a c 则所求椭圆方程为 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施“设而不求”.【题3】 长为2的线段AB 在抛物线y=x 2上滑动，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为抛物线y=x 2上两点，那么：()12)())((2122121212121222211⎩⎨⎧-+=+-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x y y x x x x y y x y x y 设AB 中点为M(x,y),那么：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-⇒⎩⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=+=+yx x x x x x y y x x x y x x x y y yy y x x x 2212212221************)(4)(242)(2:1222代入∴|AB|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=(1+4x 2)(x 1－x 2)2=(1+4x 2)[(x 1+x 2)2－4x 1x 2]=(1+4x 2)[4x 2－4(2x 2－y)]=4（1+4x 2）（y －x 2）已知|AB|=2.∴(1+4x 2)(y －x 2)=1,所求点M 的轨迹方程为：y=x 2+2411x +.【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’.以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施“设而不求”.但是, “设而不求”的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：考场精彩【题4】（高考题）P.Q.M.N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知共线，与共线，与且，0=⋅求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.【分析】（1）∵PQ⊥MN ，S四边形PMQNMN PQ 21，故应先求椭圆的弦PQ 与MN 之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施“设而不求”. （2）“设而不求”必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ ⊥MN ，弦PQ 与MN 之长的计算过程类似,又可以用“同理”的技术处之.【解析】椭圆的上交点为F （1，0）.设直线PQ 的参数方程为：⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t xα∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，t 为参数.代入椭圆方程：()().01sin 2cos 1,2sin 1cos 222222=-++=++ααααt t t t 即设此方程之二根为t 1，t 2,则|PQ|=|t 1-t 2|=()()221212222224sin 4222241cos 1cos 1cos 1cos t t t t MN αααβα+-=+==++++，同理：， 90PQ MN βα⊥∴=︒-，，|MN|=,sin 1222α+ 于是MN PQ S PMQN ⋅=21四边形 ,2sin 4124sin 122cos 12221222ααα+=+⋅+⋅=当α=0时，S max =2；当α=4π时，S min =916.【评析】由于实施了“分析”中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,“大题”也是可以“小做”的.【题5】（高考题） 设A 、B 是椭圆223x y λ+=上两点，点(1,3)N 是线段AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点。
解析几何中_设而不求_的妙用
3.曲 线 方 程 的 探 求 问 题 例 4：一条直线 L 被两条 相 交 直 线 L1：4x+y+16=0 和 L2：3x－5y－6＝ 0，截得的线段中点恰好是坐标原点，求直线 L 的方程： 解 ：设 L 与 L1，L2 分 别 交 于 M（x0，y0）和 N，∵ M、N 关 于 原 点 对 称 ， ∴ N（－x0，－y0），从 而 有 4x0＋y0＋6＝0，－3x0＋5y0－6＝0，这 两 个 方 程 相 加 ，得 x0＋6y0＝0，可见 M（x0，y0）在直线 x＋6y＝0 上，并且这条直线经过原点，所 以，所求直线 L 的方程为 x＋6y＝0。
【关键词】自信心；表现勇气；鼓励
在幼儿园每个班都可找到那种有他不多，无他不少的幼儿。 他们 上课是听众，活动是观众，游戏则随众。 缺乏表现的勇气，胆小、羞涩、 自信心不足是他们最明显的特点。 怎样及时调适这类幼儿的心理，使 他们健康成长，应引起我们幼教工作者和家长的重视。
1.帮 助 幼 儿 树 立 信 心
2.与 对 称 性 有 关 的 问 题 例 3：已知抛物线 C：x－y2－2y＝0 上存在关于直线：L：y＝x＋m 对称的 相异两点，求 m 的取值范围 解：设抛物线 C 上关于直线 L 对称的两点是 A（x1，y1）、B（x2，y2）代 入抛物线方程并作差，得 y1－y2/x1－x2·（y1＋y2）＋2（y1－y2）/x1－x2＝1 ∵ y1－y2 / x1－x2＝－1，∴ y1＋y2＝－3， 又将 A、B 两点坐标分别入抛物线 C 和直线 L 的方程中并分别相加，得， x1+x2=y21+y22+2(y1+y2),y1＋y2 ＝x1＋x2＋2m， ∴ y21+y22=(y1+y2)-2m-2(y1+y2)=3-2m ∴y21+y22>(y1+y2)2/2=9/2，即： ∴ 3－2m＞9/2，∴ m＜－3/4
“设而不求”在解析几何中的应用
ｚ ＜ ．
必过一个定点．
Ａ＿ Ｉ 证 明 ： Ａ （ ｌＹ ） Ｂ（ ２ Ｙ ） 由 ｋ — Ｙ 设 ｚ ，１， ｘ ，２， ＿
～
，
志 Ｅ — （
‘
．
一
（ ） ． １５孛 一 ２
ｂ ＜ ２
—
ｆ ． 一－１ － ，①
芝且 Ａ０， ４ ② ，Ｑ上Ｂ 一 得 ，
解 ： 椭 圆 方 程 是 ｐ ｑ １ ＞ ０ ｑ ０ （ 种 设 ｚ＋ Ｙ一 （ ，＞ ） 这
、
与 中点 弦 及 弦 的 中点 有 关 的 问题
设法避免 了讨论焦 点位 置）Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ Ｙ ）代 入 ， ｘ ， ， ｘ ，。 ， 椭 圆方程得 ｐ ｝￣ ｙ 一１ ｐ ；［ ｙ 一 １ 两式作 差并 整 ｘ － ｑ ｝ ，ｘ － ｑ ； ， － －
３ ７
Ｅ ： ｘ ・Ｉ ‘ ｚ ｃ ６ ∞１ 脚 幻 ＠ Ａ ＫＯ ＺＯＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
识 。生物学教学 目标 之一 是通 过教 学过程 使 学生 掌握 生态学 知识 ， 步形 成生 态学 观点 ， 得爱 护 自然 的重 初 懂 染、 水土流失 、 堆积成 山的垃圾 等 ， 使学 生切身感 受到生
通 过开展 以生态 环境保 护 为主题 的书 画 比赛 、 报 、 壁 宣 传栏 、 生态 环境保 护知 识竞赛 等活 动 ， 大力 倡导 节约 资 源、 爱护 自然 、 适度消 费、 色生活 的理念 ， 成“ 绿 形 节约 环 保 光荣 、 费污染可耻 ” 浪 的文 明风 尚， 建设具有 浓厚 的生 态环境保 护意识 氛 围的校 园文 化 。通过 校 园文化 氛 围
态 环 境 问题 的严 重 性 ， 而 形 成 强 烈 的生 态 意 识 。 进
高中数学解析几何设而不求的若干途径学法指导
高中数学解析几何设而不求的若干途径设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。
许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。
一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求 例1 过圆外一点P （a ，b ）引圆222r y x =+的两条切线，求经过两个切点的直线方程。
解：设两个切点分别为P 1（11y x ，），P 2（22y x ，），则切线方程为：211PP r by ax :1=+l ，222PP r by ax :2=+l 。
可见P 1（11y x ，），P 2（22y x ，）都满足方程2r by ax =+，由直线方程的定义得：2r by ax =+，即为经过两个切点的直线方程。
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求 例2 已知椭圆2122F F 19y 25x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，3PF F 21π=∠，求21PF F S ∆。
解析：由题意知点P 为椭圆上一点，根据椭圆的定义10|PF ||PF |21=+。
再注意到求21PF F S ∆的关键是求出|PF ||PF |21⋅这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设2211r |PF |r |PF |==，由椭圆定义得10r r 21=+① 由余弦定理得643cos r r 2r r 212221=π-+ ② ①2－②得，12r r 21=333sin r r 21S 21PF F 21=π=∴∆ 三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求 例3 求过椭圆16y 4x 22=+内一点A （1，1）的弦PQ 的中点M 的轨迹方程。
解析：设动弦PQ 的方程为)1x (k 1y -=-，设P （11y x ，），Q （22y x ，），M （00y x ，），则：16y 4x 2121=+① 16y 4x 2222=+ ②①－②得：0)y y )(y y (4)x x )(x x (21212121=-++-+当21x x ≠时，0x x y y 2y y 42x x 12122121=--⋅+⋅++ 由题意知k x x y y y 2y y x 2x x 1212021021=--=+=+，，，即0k y 4x 00=+ ③ ③式与)1x (k 1y 00-=-联立消去k ，得0y 4x y 4x 002020=--+ ④ 当21x x =时，k 不存在，此时，0y 1x 00==，，也满足④。
例谈“设而不求”在解析几何中的应用
例谈“设而不求”在解析几何中的应用
作者：王俊胜
来源：《新高考·高三数学》2016年第03期
“设而不求”的解题方法是通过设定未知数，根据题目给出的条件，找到各量之间的制约关系，从而通过方程解出未知数，或是通过有关未知数的列式计算出答案。
“设而不求”的思想通过搭建桥梁关系，直达问题中心，从而得出答案，既节省时间，又减少了解题步骤，提高了解题正确率。
运用“设而不求”的技巧，注意了运算的合理性、目的性，同时用到了韦达定理、中点坐标公式、向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化，从而帮助我们迅速地解决了问题。
在数学解题过程中，有些题目如果选择“设而不求”的方法，则会更加简捷。
有的题目按照常规思路考虑只会更加复杂，难以解决。
如果在做数学题的过程中，遇到了这样的问题，就应该尝试使用“设而不求”的方法，通过这种特殊的思想，简化解题步骤，从而开拓思维，解决问题。
高中数学解题中的“设而不求”综述
高中数学解题中的“设而不求”综述设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。
本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。
1 整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。
例1：已知等比数列{an}中，Sm=16 ，S2m=64，求S3m。
解：设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1。
于是■=16①■=64 ②②÷①得1+qm=4，则qm=3所以S3m=■=■（1+qm+q2m）=16×（1+3+32）=2082 转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。
例2：设a、b均为正数，且a+b=1，求证■+■≤2■。
证明：设u=■，v=■（u>1、v>1），u+v=m则u、v同时满足u+v=m u2+v2=4其中u+v=m表示直线，m为此直线在v轴上的截距，u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。
图1由图易得mmax=2■，即■+■≤2■。
3 适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。
例3：已知对任何满足（x—1）2+y2=1（）的实数x、y，如果x+y+k≥0恒成立，求实数k的取值范围。
解：设x=1+cosθ y=sinθ （θ∈R）则g（θ）=x+y+k=sinθ+cosθ+1+k≥—■+1+k令—■+1+k≥，得k≥■—1。
4 巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。
例4：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O。
解析几何问题中的“设而不求”与“设而求之”
学生难以通过联立方程组利用韦达定理 “ 设 而 不 求” 得出答案 ．而用 “ 设而求之 ” ， 求出所设， 即 求 出 犃， 犆 两点的横坐标就能拨云见日 ， 逐步得到正 确 结 果 ． 正 所谓 ： 远山初见疑无路 ， 曲径徐行渐有村 ． ２ 设而求之 以简驭繁 例 ２ （ ２ ０ １ ４ 陕 西 理）如
２ 狔 图 １， 曲线犆 由上半椭圆犆１ ： ２＋ 犪 ２ 狓 （ ） 和部分 １ 犪 ＞犫＞０， 狔 ≥０ ２ ＝ 犫 ２ 抛物线 犆 （ ） 狔 ＝－狓 ＋１ 狔 ≤０ ２：
连 接 而 成， 犆 １ 与犆 ２ 的公共点为 ３ 槡 其中 犆 犃， 犅， ． １ 的离心率为 ２ （ ）求 犪， １ 犫 的值 ；
２ 犽 －４ －８ ２ 即 犽 因犽≠ ·（ ＋１，２ 犽） ０． －犽， －犽 －２ ＝ ２ 犽 犽 ＋４ ＋４
狓 狓 １ ２ 犽 狓１ ＋狓 ２· ２ 犽 Nhomakorabea＝
２ ２ 犽 ＋１ 犽狘 狘
· 狘
狓 狓 １ ２
狘 ＝
（
）
２ （ ） ２ 犽 ２狘 犽狘 ＋１ 槡 ， 整理得 犛 ＝槡 ２． ２ ２ ·槡 犽狘 槡 １＋２ 犽 ２ 犽 狘 ＋１
原点的两条直线犾 犅和 １ 和犾 ２ 分 别 与 椭 圆 交 于 点 犃， 记得到的平行四边形 犃 犆， 犇． 犅 犆 犇 的面积为犛． （ ） 设 犃（ ， ， 用 犃， １ 狓 犆（ 狓 犆 的坐标表示 狔 狔 １， １） ２， ２） 点犆 到直线 并证明犛＝ ； 犾 ２狘狓 狔 狔 １ 的距离 ， １ ２ －狓 ２ １狘 １， （ ）设犾 求 犛 的值 ． ２ １ 与犾 ２ 的斜率之积为 － ２ １ 解 （ ） 略． （ ） 设犾 则犾 １ ２ 犽 狓， 狔＝ 狔＝ － 狓． １： ２： ２ 犽 设 犃（ ， ，由 狓 犆（ 狓 狔 狔 １， １） ２， ２）
解决圆锥曲线问题的一把“利器”——谈“设而不求”思想在解析几何中的妙用
＜ ＜ｘ ／ Ｔ
一
，
７
又Ｍ、 Ｂ、 Ⅳ 三点不共线 ， 所以后 ≠０ ．
综 上 瓞 的 取 值 范 围 是 孚， 。 ） Ｕ （ ０ ， 孚） ． 为 ： ｙ ＝ （ 一 ５ ） （ ≠ ０ ， ≠ ± ３ ） ， 联 立 方 程 组
的判别式 ， 根 与系数 的关 系 ， 中点坐标公式及参数法等求 解， 这样 可以大 大减少 运算量． 下 面结合本人 的上课 实践谈谈 “ 设而不求” 在解决 圆
锥 曲线 中的运 用．
一
、
利用“ 设而不求” 求直 线 的方 程
例１ 已知 ＡＡ Ｂ Ｃ 的三个顶 点都在抛 物线ｙ ２ ＝ ３ ２ ｘ 上，
用 多种数 学方法 来处理 问题 ． 熟 记各种定 义 、 基 本公 式 、 法则 固然重要 ， 但要做 到迅速 、 准确解 题 ， 还 须掌握 一些 方法 和技巧． 在解答 平面解析几何 中的某些 问题 时 ， 如果
Ｘ １
＋
Ｙ ｌ ＝ １ ，
１ ６ ４
＋ ＝ １ ， 两式相减得 ： Ｘ １ － Ｘ ２ ＋ １ ６ ４ ＝０， ｌ ６ ＿４
四、 利 用“ 设 而不求” 证 明 定 值 问题
例４ 已知腥 双 曲线 Ｘ ２
一
］ 型得 （ ９ — １ ６ ） ＋ １ ６ ０ ｋ 一 ４ ０ ０ ｋ ２ － １ ４ ４ ＝ ０ ．
等 １ 的 一 个 焦 点 ， 过 腓
，
设 Ａ（ ｌ ， Ｙ １ ） ， Ｂ（ ２ ， Ｙ ２ ） ， Ａ Ｂ中点 ％ ｔ Ｊ Ｎ（ ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ） ， 贝 ０ Ｉ ＋ ２ ＝
浅谈“设而不求”的解题方法
教学参谋解法探究2017年9月浅谈“设而不求”的解题方法!%南省永顺县第一中学石家文“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法， 笔者通过多年的教学和研究，体会到这种解题方法不仅 用于解决解析几何问题，而且函数、不等式等问题也经 常用到，下面笔者从六个方面，谈一谈对这种解题方法 的体会.—、“设而不求”之“引参法”通过引人参数，架设沟通桥梁.l lg #l ,0<#" 10,81已知函数"（#)=$ 1 , 若），*，+互不& #+6，#(10，2相等，旦f ))=f *)=f +)，则〇*+的取值范围是_________.解析:不防设/(〇)=/(*)=/(+)=/，在同一坐标系中作出函数#)及0$/的图像，如图1所示.1‘01a l*10 c 12’#图1由图 1知/(a )$/* )'-lg a =lg * :即a _1=* :即〇* = 1:所以abc =c .由图1知+的取值范围是(10,12)，所以▲的取值范 围是(10,12).点评：这里参数/的引入，目的便于作图，把a ，b ，c 在 图上画出来，让我们据图说话，一幅图真的是胜过千言 万语，而参数/就像一根杠杆，起到了四两拨千斤的作用.二、“设而不求”之“换元法”通过换元，优化式子结构.8 2设2、3、4是三角形234的三个内角，求sin 2s in 3s in 4s in 3's in 4-sin 2 sin 2's in 4-s in 3 sin 2's in 3-s in 4的取小值.解析：由正弦定理得原式.bb 'c -a 'c -b a 'b-c令#=b +c -a ,0=c +a -b ,解得'b 2=a +b _c ,_0+5-j ，_ 2+#.T "，_#+y" 2 '所麵 i +M +#+f4-+——+——+——+-#rr奋丄.6mm.3,当且仅当丄:2 ##0055#丄.A .上:即#.0.5 时，取0 0 55故所求的最小值为3.点评：设辅助元对分母实施代换，把多项式分母化 为单项式分母，优化了式子的结构，为后续的恒等变形 和放缩变形创造条件’三、“设而不求”之“逆代法”当直线与曲线或曲线与曲线的交点不易解出来或 无法解出来时，可以先把交点坐标设出来，然后往回代 人，笔者称之为“逆代法”'例如点差法等’83已知椭圆C :Z +f .1，试确定6的取值范围，4 3使得椭圆上有两个不同的点关于直线0.4#+m 对称.解析:设2 /(，^，召^^提椭圆上关于直线树称[3#2+40?.12 ①，的两点，8(#。
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用
高考解析几何题“设而不求”解题法的应用作者：李远文来源：《学周刊·A》2013年第02期数学问题的解答中，思维方法往往是解题的突破口。
若思维得法，解题就会一气呵成。
“设而不求法”指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法。
“设而不求”解题思想是高考解析几何题常利用的方法之一，它通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷。
解析几何问题“设而不求”的解题思想的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法、利用曲线系方程整体消元法等。
一、设而不求，整体化归通过巧设坐标或参数，应用性质进行化归，整体消元，绕开复杂的运算过程，从而使问题得到迅速解决。
例1.（2011高考模拟）如图1，已知椭圆x2+2y2=8和定点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使AP/PB=-AQ/QB，求动点Q的轨迹方程。
分析：B、Q、A、P在同一线段上，且AP/PB=-AQ/QB，故可设AP/PB=k，于是B、Q、A、P坐标之间的联系就找到了，把B、A点的坐标及k设而不求，通过消元的办法找出Q点坐标的关系式，即求出Q点的轨迹方程。
解：设Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AP/PB=k，则4=■，1=■x=■，y=■∴4x=■，2y=■两式相加得4x+2y=■=8所以Q点的轨迹方程为2x+2y=4（在已知椭圆内）点评：通过坐标或参数设而不求，巧妙化归，整体消元，解题过程变得顺畅、完美。
例2.（2010高考模拟）P0（x0，y0）是双曲线的■-■=1上的一点，过点P作两渐近线的平行线，分别与另一渐近线交于Q、R，求证四边形ORPQ的面积为定值。
分析：设OQ、OR的倾斜角分别为？琢，？茁，夹角为？兹，且有tａｎ？琢＝■，tａｎ？茁＝-■，cos？琢＝■，cos？茁＝-■，则直线PR的方程为y=■（x-x0）+y0，直线QR的方程为y=-■（x-x0）+y0，分别与双曲线方程联立解得xR=■-■y0，xQ=■+■y0。
“设而不求法”在中学数学解题中的巧用
例谈“设而不求法”在中学数学解题中的巧用数学的学习离不开解题，数学学习应该以解题为中心，只有在解题中才能消化所学的知识，只有在解题中才能积极地展开数学思维活动，进而达到融会贯通的目的。
本文就介绍中学数学学习中一种常见而又重要的解题方法——设而不求法，在解数学题时，有时可以考虑设出某些中间变量，但不必将其求出，而是以它们为过渡，帮助我们解题，这就是设而不求地技巧。
它的作用有两个：一是在解题中起桥梁作用，辅助解题；二是因为不直接求出而简化计算。
这种方法在解解析几何题时使用较多，如两曲线相交时，对其交点设而不求，从而快速简捷的求出轨迹方程、弦中点坐标等。
在数列、立体几何等其他问题中也有应用。
为了寻求问题的解决途径，给问题的转化创造必要的条件，常常引进一个或几个起连接作用的辅助元素；把分散的条件集中起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件合结果联系起来，或者转繁难为简易，从而达到转化问题找出解决途径的目的。
所以设立辅助元素而不求出也是一种转化的方法。
那么在解决实际问题时，怎样从已知条件入手来假设辅助元素呢？这就需要你有扎实的数学基本功，开阔的数学思维能力，对一个问题通过分析条件和特征，从解决问题的需要角度来确定。
在使用设而不求的技巧时，常常伴随曲线的定义、几何性质、点参数、曲线系、韦达定理、方程理论、消去法等概念和方法的运用。
下面我们来看几个“设而不求法”在平面解析几何中的具体的应用：1、F 1 、F 2是椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两个焦点，∠F 1P F 2 = 900，则△F 1P F 2则的面积是多少？思路：设点P 坐标，列出方程组，再消去点P 坐标。
解：设点P 坐标为（x 0,y 0），则由焦半径公式知 |PF 1|= a+ex 0，|PF 2|= a - ex 0。
又∵∠F 1P F 2 = 900 ，故有,))((214)()(0022020⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-++S ex a ex a c ex a ex a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+220222202222S x e a c x e a 两式相加得 S+c 2=a 2，∴S=a 2—c 2=b 2。
立体几何中设而不求技巧的运用
立体几何中设而不求技巧的运用摘要：有些较复杂的立体几何题，看似缺少条件，但如果恰当地引入参数，就能够建立起已知条件与所求答案之间的关系，从而找到解题方法.在解题过程中，这些参数始终避而不求，而是通过巧妙的运算，达到解决问题的目的.关键词：立体几何；引入参数；设而不求；巧妙运算在解析几何中，经常引入某些参数，作为解题的桥梁，但始终避而不求，而是经过巧妙的运算，消去参数，达到解题的目的。
这种“设而不求”的方法，减少了计算量，简化了解题过程，降低了思维难度，提高了解题速度，起到了准确、快速、简捷的解题效果.这种方法，在解析几何中常用，在立体几何中，也经常用到，不仅使计算简捷，而且富有技巧，别有一番趣味，下面对立体几何中常见的设而不求技巧加以归纳，以飨读者.一、巧相加，简洁明快例1.长方体同一顶点的三个面的对角线分别为a，b，c，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z.■，三式相加得：x2+y2+z2=■.∴长方体对角线长为：■■.例2.如图1，用平行于四面体abcd一组对棱ac和bd的平面截此四面体得一平行四边形mnpq，若ac=bd=p，求证：平行四边形mnpq 的周长为定值.■证明：设mq=x，pq=y，■=■.∵■=■，■=■，∴x=■p，y=■p.两式相加得：x+y=■p+■p=p.∴平行四边形mnpq的周长为定值2p.例3.三棱锥p-abc中，三侧棱pa、pb、pc两两相互垂直，三侧面面积分别为s1、s2、s3，底面积为s，三侧面与底面分别成角α、β、γ，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1.证明：∵ｐａ⊥ｐｃ，ｐａ⊥ｐｂ，又ｐｂ∩ｐｃ＝ｐ，∴pa⊥平面ｐｂｃ，过ａ作ad⊥ｂｃ，则ｂｃ⊥pd，∴∠pda是侧面pbc与底面abc所成二面角的平面角，设ｐａ=a，ｐｂ＝b，ｐｃ＝c，∠pda=α.pd2=■，ad2=■；∴cos2α=■=■.同理：∵cos2β=■，cos2γ=■.∴cos2α+cos2β+cos2γ=1.评析：对于若干个式子的求和问题，利用加法的交换律，相反数的相消性，能够让参数“自然离去”，使问题迅速得到解决.二、巧相乘，一目了然例4.已知三棱锥p-abc的三个侧棱两两垂直，其侧面积分别为s1、s2、s3，求三棱锥的体积vp-abc .解：设三个侧棱长分别为a、b、c，则：■，三式相乘得：（abc）2=8s1s2s3，即abc=2■■.∴vp-abc=■abc=■■.例5.如图2，p为长方体abcd-a1b1c1d1的对角线，ac1上一动点，设pc与面ac成α角，pd与平面c1d成β角，求证：tanα·tan β为定值.■证明：设ap=x，ac1=y，作pm⊥面abcd，垂足m必在ac上.∵pm∥c1c，∴■=■，即cm=■am.于是tanα=■=■·■=■tan∠c1ac.同理可得：tanβ=■tan∠ac1d.∴tanα·tanβ=tan∠c1ac·tan∠ac1d为定值.评析：由于乘法具有结合律，因此，在求积的问题时，对引入的多个参数进行恰当的结合，以积的形式整体考虑，可以使参数自然消失，达到解题目的.三、巧比商，水到渠成例6.（2007年天津高考题第19题）如图3，在四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，ac⊥cd，∠abc=60°，pa=ab=bc，e是pc 的中点.（ⅰ）证明cd⊥ae.（答案略）（ⅱ）证明pd⊥平面abe.（答案略）（ⅲ）求二面角a-pd-c的大小.■（ⅲ）解：过点a作am⊥pd，垂足为m，连结em，∵ae⊥平面pcd，am在平面pcd内的射影是em，则em⊥pd，∴∠ame是二面角a-pd-c的平面角.由已知，得∠cad=30°，设ac=a，可得pa=a，ad=■a，pd=■a，ae=■a.在rt△adp中，∵am⊥pd，∴am·pd=pa·ad.∴am=■=■=■a.又∵在rt△aem中，sin∠ame=■=■.∴二面角a-pd-c的大小是arcsin■.评析：由于分式具有约分性，因此对于引入的参数，如果分子与分母具有公因式，可以通过分子与分母约分消去参数，从而达到设而不求的目的.在立体几何中，引入参数，约分消参运用广泛.四、巧配式，化零为整例7.长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.解：设过一顶点的三条棱长分别为x，y，z，对角线长为l. ■，∴长方体对角线l=■=■=■=5.因此，所求长方体的对角线长为5.例8.已知三棱锥各侧面与地面成60°角，底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x2-21x+13=0的两根，求三棱锥的体积.解：作三棱锥v-abc的高为vo，∵o为△abc的内心，∴在底面△abc中，可设△abc内角分别为∠a、∠b、∠c成等差列，对应边为a、b、c，∴∠b=60°.由韦达定理得：a+c=7，ac=■.由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosb=a2+c2-2accos60°=（a+c）2-3ac=72-3×■=36.∴b=6，△abc内切圆半径r=■=■=■，作vd⊥ac于d，连结od，则od=r，∠vdo=60°，∴vo=rtan60°=■·■=■.∴vv-abc=■sv-abc·vo=■■.评析：如果一个问题比较复杂，为了理清量与量之间的关系，可以引入多个参数.通过对多个参数配式、变形、构造，采用整体代入的思想，绕开复杂的运算过程，让众多参数“集体隐退”，达到出奇制胜的效果.五、巧运算，妙不可言例9.直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是q1和q2，求这个直平行六面体的侧面积s侧.解析：设直平行六面体abcd-a1b1c1d1底面菱形的边长为a，高为h.∵ac=■，bd=■.又菱形的对角线互相垂直平分.∴a2=（■）2+（■）2，即a2=■?圯2ha=■，∴s侧=4ha=2■.例10.长方体的高是h，底面积是q，垂直于底面的对角面面积是s，求长方体的侧面积.解：设长方体底面矩形长、宽分别为a，b，则：■，两式相加得：（a2+2ab+b2）h2=2qh2+s2.∴（a+b）h=■，故s侧=2（a+b）h=2■.评析：巧运算就是活用性质，巧妙转换，恒定变形，精妙构造，使参数“悄然消失”，以达到意想不到的效果.本文介绍了立体几何中“设而不求”的技巧，它不仅与解析几何中“设而不求”有相似之处，更有其独特的精妙之处，对这个问题的探索与研究，无疑对简化立体几何中的运算，提高思维的灵活性，是大有裨益的.（作者单位湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中）。
解析几何中“设而不求”的途径
解析几何中“设而不求”的途径
林明成
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2010(000)001
【摘要】“设而不求”，就是指在解题时，合理地引入（设）一些辅助元（参数），但不求出这些辅助元（参数）的值，而是首先用它参与运算，为解题铺路搭桥，然后从整体上考虑，巧妙地消去辅助元（参数），从而优化解题过程，使解题方法便捷．本文探讨解析几何中“设而不求”的若干实施途径，供参考．
【总页数】3页(P7-9)
【作者】林明成
【作者单位】四川省苍溪中学,628400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.解析几何设而不求的若干途径 [J], 王德昌
2.“设而不求”在解析几何问题求解中的应用 [J], 徐祖德
3.解析几何问题中的“设而不求”与“设而求之” [J], 李晓峰;周赛君
4.\"设而不求\"纵横谈\r——对高中数学中\"设而不求\"解题思想探究和感悟 [J], 李伟
5.“设而不求”纵横谈——对高中数学中“设而不求”解题思想探究和感悟 [J], 李伟
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
解析几何中的设而不求
解析几何中的设而不求设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。
许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。
一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求 例1 过圆外一点P （a ，b ）引圆222r y x =+的两条切线，求经过两个切点的直线方程。
解：设两个切点分别为P 1（11y x ，），P 2（22y x ，），则切线方程为：211PP r by ax :1=+l ，222PP r by ax :2=+l 。
可见P 1（11y x ，），P 2（22y x ，）都满足方程2r by ax =+，由直线方程的定义得：2r by ax =+，即为经过两个切点的直线方程。
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求例2 已知椭圆2122F F 19y 25x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，3PF F 21π=∠，求21PF F S ∆。
解析：由题意知点P 为椭圆上一点，根据椭圆的定义10|PF ||PF |21=+。
再注意到求21PF F S ∆的关键是求出|PF ||PF |21⋅这一整体，则可采用如下设而不求的解法： 设2211r |PF |r |PF |==，由椭圆定义得10r r 21=+① 由余弦定理得643cos r r 2r r 212221=π-+ ② ①2－②得，12r r 21=333sin r r 21S 21PF F 21=π=∴∆ 三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求 例3 求过椭圆16y 4x 22=+内一点A （1，1）的弦PQ 的中点M 的轨迹方程。
解析：设动弦PQ 的方程为)1x (k 1y -=-，设P （11y x ，），Q （22y x ，），M （00y x ，），则：16y 4x 2121=+① 16y 4x 2222=+ ②①－②得：0)y y )(y y (4)x x )(x x (21212121=-++-+当21x x ≠时，0x x y y 2y y 42x x 12122121=--⋅+⋅++ 由题意知k x x y y y 2y y x 2x x 1212021021=--=+=+，，，即0k y 4x 00=+ ③③式与)1x (k 1y 00-=-联立消去k ，得0y 4x y 4x 002020=--+ ④ 当21x x =时，k 不存在，此时，0y 1x 00==，，也满足④。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016考前谈兵（4）谈谈解析几何解题中的“设而不求”技术（一） 什么是‚设而不求‛ ?我们先看下面的例子:过圆外一点P(a,b)引圆x 2+y 2=R 2的两条切线，求经过两切点的直线方程. 按常规,应当先求切点的坐标,再求切线方程.可是求切点避免不了解方程组,而在通常情况下,解方程组牵涉到繁杂的计算,可不可以避免这一繁杂的程序呢?请看:【解析】设两切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则两切线方程分别为：x 1x+y 1y=R 2,x 2x+y 2y=R 2.∵切线经过点P(a,b),∴ax 1+by 1=R 2,ax 2+by 2=R 2.∵点(x 1,y 1),(x 2,y 2)适合方程ax+by=R 2,∴所求直线方程为ax+by=R 2. 在这里,我们用四个参变量x 1, y 1,x 2 ,y 2分别表示两切点A 、B 的坐标,以此为基础进行推理,同样达到解题的目的.这种在一定条件下,通过合理的设参、消参以避免某些中间过程的计算,最终达到解题目的的手段,就是‚设而不求‛. （二） 哪些问题可以实施‚设而不求‛?【题1】椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，那么此弦所在直线的方程是【解析】设弦两端分别无A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 ()13642121=+y x()23642222=+y x（1）-（2）：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x （3） 由条件：AB 中点为（4，2），∴()：代入⎩⎨⎧=+=+3482121y y x x ∴()()，则21,016821212121-=--==-+-x x y y k y y x x 故所求直线方程为：()0824212=-+--=-y x x y 也就是：.【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的中点而求弦所在直线方程,可以对其交点实施‚设而不求‛.【题2】已知直线1:02856:2222=+=--by a x c y x l 与椭圆（0<b<a 且b ∈Z ）交于M 、N 两点，B 是椭圆的上顶点，△BMN 的重心恰为椭圆的右焦点，求椭圆C 的方程.【解析】设直线()():,,,,2211则两点于交椭圆y x N y x M c l()()()105656028560285621212211⎩⎨⎧=-+-+⇒=--=--y y x x y x y x 且()()()()⎩⎨⎧=-++-+⇒=+=+,021*********222222222212212y y y y a x x x x b ba x a xb b a y a x b 但点M 、N 在直线:65280,l x y --=上()()()212122121266,255MNb x x y y k x x a y y +-∴==∴=--+椭圆上顶点为B （0，b ），且椭圆右焦点F （c ，0）为△BMN 的重心，()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=+=+⇒=++=++∴:13303021212121代入b y y cx x b y y c x x()()():23456518再代入=+b c(),,52,563222222c b a a bc b a c b +==∴-=-⋅而.22,025222bc b c b cb c ==∴=+-∴或()()从而代入舍去代入,4,5614:42;,,5641:42=∴==∉==b b bc Z b b b c .11620:,20,222222=+=+==y x c b a c 则所求椭圆方程为 【评述】本解说明:当直线与曲线相交,若已知直线方程（或其斜率）,而求曲线方程,可以对其交点 实施‚设而不求‛.【题3】 长为2的线段AB 在抛物线y=x 2上滑动，求AB 中点的轨迹方程. 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)为抛物线y=x 2上两点，那么：()12)())((2122121212121222211⎩⎨⎧-+=+-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x y y x x x x y y x y x y 设AB 中点为M(x,y),那么：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-⇒⎩⎨⎧-=-=-⎩⎨⎧=+=+yx x x x x x y y x x x y x x x y y yy y xx x 2212212221************)(4)(242)(2:1222代入∴|AB|2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)2=(1+4x 2)(x 1－x 2)2=(1+4x 2)[(x 1+x 2)2－4x 1x 2]=(1+4x 2)[4x 2－4(2x 2－y)]=4（1+4x 2）（y －x 2）已知|AB|=2.∴(1+4x 2)(y －x 2)=1,所求点M 的轨迹方程为：y=x 2+2411x +.【评述】本解说明: 当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施‚设而不求‛.【小结】按理说,解数学题避免不了‘求’,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要‘求’出最后的结果的.这里说的‘不求’,专指可以简化的解题中间过程,用‘设’去代替‘求’.以上各例说明:在解析几何解题中,凡是与弦的中点或弦所在直线的斜率有关的问题,都可以实施‚设而不求‛.但是, ‚设而不求‛的范围并不仅限于此,它还大量应用于求弦的长度等中间过程之中.因而,它在解高考解析几何大题中大有用武之地,请看：考场精彩【题4】（高考题）P.Q.M.N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知共线，与共线，且，0=⋅求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.【分析】（1）∵PQ⊥MN ，S四边形PMQNPQ 与MN 之长；但是,求弦长不必先求交点,可以对交点实施‚设而不求‛. （2）‚设而不求‛必须先设参数,而参数的个数应越少越好.选用直线的参数方程可以使参数的个数减半.又由于PQ ⊥MN ，弦PQ 与MN 之长的计算过程类似,又可以用‚同理‛的技术处之.【解析】椭圆的上交点为F （1，0）.设直线PQ 的参数方程为：⎩⎨⎧+==ααsin 1cos t y t xα∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，t 为参数.代入椭圆方程：()().01sin 2cos 1,2sin 1cos 222222=-++=++ααααt t t t 即设此方程之二根为t 1，t 2,则|PQ|=|t 1-t 2|=221cos 1cos MN αβ===++，同理：， 90PQ MN βα⊥∴=︒- ，，|MN|=,sin 1222α+ 于是MN PQ S PMQN ⋅=21四边形 ,2sin 4124sin 122cos 12221222ααα+=+⋅+⋅=当α=0时，S max =2；当α=4π时，S min =916.【评析】由于实施了‚分析‛中的两点措施,解这道解析几何大题所用的工夫仅相当于解一道小题.这说明:只要方法对路,‚大题‛也是可以‚小做‛的.【题5】（高考题） 设A 、B 是椭圆223x y λ+=上两点，点(1,3)N 是线段AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点。
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程;（2）试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一圆上？并说明理由.【分析】（1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施‚设而不求‛； （2）判断‚四点共圆‛的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.【解析】（1）∵点(1,3)N 在椭圆223x y λ+=内，∴3〃12+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∝）.设AB 两端为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有：()()⎩⎨⎧=+=+231322222121λλy x y x （1）-（2）： 3（x 1-x 2）（x 1+x 2）+（y 1-y 2）（y 1+y 2）=0 （3） ∵(1,3)N 是线段AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=6. 代入（3）： 6（x 1-x 2）+6（y 1-y 2）=0， 于是k AB =2121x x y y --=-1，故直线AB 的方程为：y-3=-（x-1），即x+y-4=0.（2）解法1：CD 为AB 的垂直平分线，且k AB =-1，∴k CD =1，直线CD ：y-3=1〃（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程是：1(32x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入椭圆方程得：，λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-222232213t t即.,01222=-+λt ，（由（1）知λ>12），设此方程之二根为t A ，t B ，则212λ-=⋅B A t t （4） 直线CD 的参数方程方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=为参数）t t y t x (223221 代入椭圆方程得： λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222232213t t ，即0122622=-++λt t .设此方程之二根为t C ，t D ，则t c〃t d =12λ-（5） 由（4），（5）知 | t A〃t B | = |t c〃t d |，也就是│AN│〃│BN│=│CN│〃│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点总在同一个圆上.【题6】（2016年第一次全国联考浙江卷题19.解法为湖南曾维勇老师提供）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点(3,0)H 在椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：2PF Q ∆的周长是定值．【分析】本题的解法要点是借助椭圆的关系式去分别表示2F P PM + 和2F Q QM +.【解析】(1) 由已知得，椭圆的左、右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，则1c =．∵点(3,0)H 在椭圆上，∴122||||426a HF HF =+=+=，则3a =，2918b =-=，故椭圆的方程是22198x y +=．（2）如解图,连OP,OM.则OM ⊥PQ.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有22222221111111189728989x y x x y x y +=⇒+=⇒+=+．103x <<,PF ∴==133x ===-又PM=13x === 故3PF PM +=.同理3QF QM +=.故所求2PF Q ∆的周长为定值6． 评注：本题在计算中，充分利用椭圆方程，其核心思想，还是‚设而不求‛。