备战高考数学(文)二轮专题23课时《极坐标与参数方程》优质课件PPT

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【变式训练】(20115月名校创新试卷)如图，在极坐标系中，
已知曲线C1： 2cos(0 2)，O11,0， C2： 4cos(0 2)，O2 2,0，
射线 a( 0,0 2)与C1，C2分别交于A、B(不同的极点)．
1若a 6，求直线BO2的极坐标方程； 2试用a表示图中阴影部分的面积．
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1在直线BO2上任取点P(，)，sin2
参 数 方 程 中 的 参 数 表 示 出 来 ， 再 消 参 即 可 ．
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由 动 点 C在 椭 圆 上 运 动 ， 可 设 C的 坐 标 为 (6 co s ，3 sin )， 点 G的 坐 标 为 ( x， y )．
1b2 a
t1
t2
.
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【变式训练】(2011浙江选考)已知直线l：xy
1t cos tsin
(t为参数，a为l的倾斜角，且0a )与曲线
C：xy si2ncos (为参数)相交于A、B两点，点F的坐标
为1,0．
1求ABF的周长；
2若点E1,0恰为线段AB的三等分点，求 ABF的面积．
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因此t1
t2
12csoins2，t1t2
1 ，
1sin2
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因 为 t1
2
t
，
2
所
以
8 cos2 1 sin2
1，
所以k 2 7 ，y 7 x 1，
2
2
与椭圆方程联立得
x1
5 4
，
x2
1 2
，
y1
14 8
y
2
14 4
所以S
ABF
1 2 2
y1 y23 1Βιβλιοθήκη . 8心在(
x
，
0
y
0
)，
半
径
为
r的
圆
的
参
数
方
程
为
：
x
y
x0 y0
r cos r sin
( 为 参 数 )．
2过定点M0(x0，y0 )，倾斜角为的直线l的参数方程为：
x y
x0 y0
t cos t sin
(为参数)．
其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为
终点的有向线段M0M的数量M0M，当点M在M0的上方时， t 0；当点M在M0的下方时，t 0.
2，
sin( )
3
3
所以直线BO2的极坐标方程为sin(3 ) 3.
2依题有：AB OB OA 2cosa，
S 1 2cosa 2 sina (1 2a 12 1 11 sin2a)
2
2
2
3sin2a a. 2
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2.参数方程
【 例 2 】 求 经 过 点 1 ,1 ， 倾 斜 角 为 1 3 5 的 直 线 截 椭 圆 x 2 y 2 1
4 所 得 的 弦 长 ．
将直线的参数方程代入椭圆方程，根据参数的几何 意义，再利用韦达定理即可求得弦长．
由条件可知直线的参数方程是
x 1
2t 2 (t为参数)，
y 1
2t 2
1 2 t2 代入椭圆方程可得 2 (1
2 t)2 1，
4
2
11
即5t2 3 2t 10. 2
设方程的两实根分别为t1，t2，则t1 t2
1因为C：x
y
2cos sin
(为参数)，则x2
2
y2
1，直线
为y kx1，因此直线过椭圆左焦点F1 1,0，因此
ABF的周长为4a 4 2.
2对于x2
2
y2
1与直线l：xy t s1int cos(t为参数)
交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1sin2 a)t2 2tcosa10，
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3.综合问题
【 例 3 】 已 知 A ， B 分 别 是 椭 圆 x 2 y 2 1 的 右 顶 点 和 上 顶 点 ， 3 69
动 点 C 在 该 椭 圆 上 运 动 ， 求 A B C 的 重 心 的 轨 迹 的 普 通 方 程 ．
利 用 重 心 坐 标 公 式 将 A B C 的 重 心 坐 标 用 椭 圆 的
4
m0的距离为 3. 1求实数m的值； 2设P是直线l上的动点， Q在线段OP上，且满足OPOQ1，
求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
将 极 坐 标 方 程 转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 再 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 求 得 m 的 值 ； 极 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 与 直 角 坐 标 系 下 的 轨 迹 方 程 的 求 解 方 法 类 似 ， 此 处 可 用 动 点 转 移 法 解 决 ．
专题八 自选模块
1． 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化
1 互 化 的 前 提 ：
①极点与直角坐标系的原点重合；
② 极 轴 与 x轴 的 正 方 向 重 合 ； ③两种坐标系中取相同的长度单位．
2互化公式
x
y
cos sin
2 ， tan
x2
y2 y,x x
. 0
2
．1
圆
t1t2
6 2 5，
2
5
则直线截椭圆的弦长是t1 t2
t1
t22
4t1t2
4 2. 5
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利用直线参数方程的几何意义是求弦长的常用 方法，但需注意直线的参数方程必须是标准形式，
即xyxy00
at bt
(t为参数)，当a2
b2
1，且b0时才
是标准形式，若不满足a2 b2 1，且b0两个条件，
则弦长为d
3
椭圆x2 a2
y2 b2
1a b 0的一个参数方程为：
x y
acos bsin
(为参数)．
4抛物线y2 2pxp0的参数方程为：
x2pt2(t为参数)． y2pt 由于y1，因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物
xt 线的顶点连线的斜率的倒数．
1.极坐标问题
【例1】在极坐标系中，已知点A( 2， 0)到直线l：sin()m
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1以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角
坐标系，则点A的直角坐标为( 2，0)，直线l的直角坐标方
程为x y 2m 0.因为A到直线l的距离d |
1 m 3，所以m 2.
2由1得直线l的方程为sin( ) 2.
4
设P(0 ,0 ),Q(, )，
则
0
0
1
0
0
1
.①
2 2m | 2
6
因为点P(0，0)在直线l上，所以r0sin(0
)
4
2.②
将①代入②，得1 sin( ) 2，即 1sin( )．
4
2
4
这就是点Q的轨迹方程．
化为直角坐标方程为(x 2)2 (y 2)2 1 .
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8 16
因此点Q的轨迹是以(1，3)为圆心，1为半径的圆．
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4
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直角坐标与极坐标互化要注意互化的前 提．若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程 化为直角坐标方程，再判断．在直角坐标系中， 求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法， 动点转移法．在极坐标系中，求曲线的极坐标 方程，这几种方法仍然是适用的．