高考数学提分专项复习平面向量奔驰定理
高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√A. (3,7)
B. (0, 7)
C. (3,5)
D. (3,5)
因为向量 a (1,1) ， b (3, 2) ， 所以 3a 2b 3(1,1) 2(3, 2) (3,3) (6, 4) (3, 7) .故选 A.
变式训练
2.已知向量 a ，b 满足 2a b 0,3 ，a 2b 3,0 ，a b 1,1，则 ( )
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线： 一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识， 注重数形结合思想、方程思想与转化思想的形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则 的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2.基底 若 e1 ，e2 不共线，则把{e1 ，e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二：平面向量的坐标
知识梳理
设向量 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 )， R ，则有下表：
运算
文字描述
谢谢观看
平面向量
考情分析
重点
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数 乘运算. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理
高考数学提分专项复习解析几何奔驰定理
1. 引言
解析几何是高考数学中的重要内容，其中的奔驰定理是一条核心定理。
本文将对奔驰定理进行详细解析，帮助学生在高考数学中取得更高的分数。
2. 奔驰定理的定义和原理
奔驰定理是解析几何中用于证明两直线平行的重要定理。
具体而言，当两直线被一对平行线截断时，所成的对应角相等。
3. 奔驰定理的应用
奔驰定理在高考数学中的应用广泛。
掌握了奔驰定理，可以用于解决平行线相关的几何问题，例如判定两条直线是否平行，求证两条直线平行的条件等等。
4. 解题示例
以下是一道应用奔驰定理的解题示例：
题目：已知线段AB和线段CD是两对平行线截断的边，若
∠ADE = 60°，求证∠BEC = 60°。
解析：根据奔驰定理，当两直线被一对平行线截断时，所成的
对应角相等。
因此，∠ADE = ∠BEC。
已知∠ADE = 60°，所以
∠BEC = 60°。
证毕。
5. 总结
奔驰定理是解析几何中的重要定理，对于高考数学来说至关重要。
掌握了奔驰定理的定义、原理和应用，可以在解决平行线问题
时轻松应对。
希望通过本文的解析，能帮助学生提高数学成绩，取
得更好的高考成绩。
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如果还有其他问题，欢迎继续咨询。
祝您在高考中取得优异的成绩！。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理平面向量奔驰定理引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它是向量的一种，具有方向和大小，可以进行加减乘除等运算。
本文将介绍平面向量的一个重要定理——平面向量奔驰定理。
一、定义1.1 平面向量平面上的一个有向线段称为平面向量，记作$\vec{a}$。
其中，有起点和终点分别为$A$和$B$，则$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$。
1.2 平移在平面上，将一个图形沿着某个方向移动一段距离后所得到的新图形称为原图形的平移。
平移可以用平面向量来表示。
二、定理2.1 平行四边形法则对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的四边形是一个平行四边形。
证明：如下图所示，以$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$和$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$为邻边构造一个以$O$为顶点的平行四边形$OABC$。
连接$AC$和$BD$两条对角线，则由于对角线互相平分且相等，所以$AC=BD$。
又因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC }$，所以$\overrightarrow{OC}$是以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$为邻边的平行四边形对角线。
得证。
2.2 平面向量奔驰定理对于任意两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$所对应的三角形的三条边上依次取一点$D,E,F$，则有：$$\frac{\overrightarrow{OD}}{\vec{a}}+\frac{\overrightarrow{OE} }{\vec{b}}+\frac{\overrightarrow{OF}}{\vec{c}}=\vec 0$$其中，$\overrightarrow {OD},\ \overrightarrow {OE},\\overrightarrow {OF}$分别表示向量$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$的起点与点$D,\ E,\ F$的连线所组成的向量。
平面向量奔驰定理
平面向量奔驰定理一、概述在平面向量的运算中，有一个重要的定理被称为奔驰定理。
奔驰定理是向量的加法与减法的一种推广，通过该定理，我们可以更加方便地进行平面向量的运算。
二、奔驰定理的表述奔驰定理表述如下：对于任意三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，有如下关系：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗其中，0⃗⃗表示零向量。
三、奔驰定理的证明为了证明奔驰定理，我们可以利用向量的法则进行推导。
假设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，令d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则有：d⃗+a⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗d⃗+a⃗=a⃗+a⃗+b⃗⃗+c⃗d⃗+a⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗同理，我们可以得到：d⃗+b⃗⃗=a⃗+2b⃗⃗+c⃗d⃗+c⃗=a⃗+b⃗⃗+2c⃗将以上三个等式相加，可以得到：d⃗+a⃗+d⃗+b⃗⃗+d⃗+c⃗=2a⃗+b⃗⃗+c⃗+a⃗+2b⃗⃗+c⃗+a⃗+b⃗⃗+2c⃗化简可得：3d⃗=6(a⃗+b⃗⃗+c⃗)再进一步化简得到：d⃗=2(a⃗+b⃗⃗+c⃗)即：a⃗+b⃗⃗+c⃗=1 2 d⃗由于d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，将其代入上式得到：a⃗+b⃗⃗+c⃗=12(a⃗+b⃗⃗+c⃗)进一步化简可得：a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗因此，奔驰定理得证。
四、奔驰定理的应用奔驰定理在向量运算中有重要的应用。
通过奔驰定理，我们可以方便地进行向量的加法和减法运算。
以下是一些常见的奔驰定理的应用场景：1. 向量相加设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗2. 向量相减设有三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，要求d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗，则可以利用奔驰定理进行如下计算：d⃗=a⃗−b⃗⃗−c⃗=0⃗⃗3. 向量之间的关系判断对于已知的三个向量a⃗，b⃗⃗和c⃗，如果已知a⃗+b⃗⃗+c⃗=0⃗⃗，则可以判断三个向量之间存在某种关系，比如共线、共面等。
五、总结通过对奔驰定理的学习和理解，我们可以更加灵活地进行平面向量的运算。
平面向量奔驰定理公式
平面向量奔驰定理公式一、奔驰定理内容。
设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0二、证明（以向量法为例）1. 设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c- 因为ABC的面积S = S_ BOC+S_ AOC+S_ AOB- 对于→OA与→OB的夹角∠ AOB=α，→OB与→OC的夹角∠ BOC = β，→OC与→OA的夹角∠ COA=γ，且α+β+γ = 2π2. 根据向量的三角形面积公式。
- S_ AOB=(1)/(2)|→OA||→OB|sinα- S_ BOC=(1)/(2)|→OB||→OC|sinβ- S_ AOC=(1)/(2)|→OA||→OC|sinγ3. 要证明S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0- 以O为原点建立平面直角坐标系。
- 设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)，→OC=(x_3,y_3)- 根据上述面积公式计算出S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，然后代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC中，通过向量运算可以得到结果为→0三、推论及应用。
1. 推论。
- 若O是ABC的重心，则S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB，此时→OA+→OB+→OC=→0（因为重心将三角形面积三等分）2. 应用。
- 在解决与三角形内点相关的向量问题时，奔驰定理可以将向量关系转化为面积关系，或者将面积关系转化为向量关系。
- 例如：已知O是ABC内一点，→OA=2→OB+3→OC，求AOB、BOC、AOC的面积之比。
- 根据奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知→OA=2→OB+3→OC，即→OA-2→OB-3→OC=→0，所以S_ BOC:S_ AOC:S_AOB=1:2:3。
高考数学知识点复习：奔驰定理与向量四心
专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ， 由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。
平面向量中的奔驰定理
平面向量中的奔驰定理在向量题目中，同学会经常遇到一类题型，涉及三角形各心的向量表达式，如果在此基础上探究，不免会遇到一个更一般性的问题，即因为本题的图形特别象奔驰汽车的标志，所以把此结论称为奔驰定理。
【证法一】取点,,A B C '''，使得,,OA OA OB OB OC OC αβγ'''===，则0OA OB OC '''++=，即O 为'''A B C ∆的重心，''''''B OC A OC A OB S S S ∆∆∆⇒== 1sin 121''''sin ''2AOBPOB OA OB AOB S OA OB S OA OB OA OB A OB αβ∆⋅∠⋅===⋅⋅∠ 1OB A OB S S αβ∆Λ''⇒= 同理11,AOC A OC BOC B OC S S S S αγβγ∆∆''∆∆''== 111::::::BOC AOC AOB S S S αβγβγαγαβ∆∆∆⇒==。
【分析】即证明0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=【证法二】以O 为原点建立坐标系，设()()()111222333,,,,,,,,A x y z B x y z C x y z ， 则221111333322111,,222BOC AOC AOB x y x y x y S S S x y x y x y ∆∆∆===， BOC AOC AOB S OA S OB S OC∆∆∆⋅++⋅ ()()()221111112233333322111,,,(0,0)0222x y x y x y x y x y x y x y x y x y =++== 若O 为△ABC 内任一点，有0OA OB OC αβγ++=，则::::BOC AOC AOB S S S αβγ∆∆∆=.【证法三】()BOC AOC AOB S OA S OB S OC OA ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯ AOC AOB S OB OA S OC OA ∆∆=⋅⨯+⋅⨯()()220AOC AOB AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=⋅-+⋅=同理()0BOC AOC AOB S OA S OB S OC OB ∆∆∆⋅+⋅+⋅⨯=所以0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+=． 【题目】已知O 为△ABC 的垂线，且230OA OB OC ++=，求∠A ．【解答】如图，由平面向量中的奔驰定理可得::1:2:3BOC AOC AOB S S S ∆∆∆=， 1212BOCAOCOC BD S BD S AD OC AD ∆∆⋅⋅==⋅⋅，在△ACD 和△BCD 中，tan ,tan CD CD A B AD BD ==， 所以tan tan A BD B AD=，故tan tan BOC AOC S A S B ∆∆=，同理tan tan BOC AOB S A S C ∆∆=， 故::tan :tan :tan BOC AOC AOB S S S A B C ∆∆∆=，即tan :tan :tan 1:2:3A B C =， 又tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C +=-+=--， 所以tan 1,45A A ︒=∠=．评注：由此题的结论可得若O 为△ABC 的垂心，则有::tan :tan :tan ::BOC AOC AOB S S S A B C αβγ∆∆∆==．B。
平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题-高一数学下学期题型分类归纳(人教A版2019必修第二册)
平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题1、奔驰定理：O 是ABC ∆内的一点，且x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =x:y:z2、证明过程：已知O 是ABC ∆内的一点，∆BOC ，∆COA ，∆AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 延长OA 与BC 边相交于点D ， 则BDDC =S ∆ABD S ∆ACD=S ∆BOD S ∆COD=S ∆ABD −S ∆BOD S ∆ACD −S ∆COD=SC S B ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC BC OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD BC OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =S B S B+S COB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+S COC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OD OA =S BOD S BOA=SCOD S COA=S BOD +S COD S BOA +S COA=S ASB +S C，∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−S AS B +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−S ASB +S COA ⃗⃗⃗⃗⃗ =S BS B+S COB⃗⃗⃗⃗⃗ +S C S B+SCOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以S A ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .（3）奔驰定理推论：x ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则①S ∆BOC :S ∆COA :S △AOB =|x |:|y |:|z | ②S ∆BOCS∆ABC=|x x+y+z |，S ∆AOC S ∆ABC=|y x+y+z |，S ∆AOB S ∆ABC=|zx+y+z |.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。
平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理
秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题2 培优点5 平面向量“奔驰定理”
考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O 是△ABC 的重心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1 ⇔O→A＋O→B＋O→C＝0. (2)O 是△ABC 的内心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c ⇔aO→A＋bO→B＋cO→C＝0.
(3)O 是△ABC 的外心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C ⇔sin 2A·O→A＋sin 2B·O→B＋sin 2C·O→C＝0. (4)O 是△ABC 的垂心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C ⇔tan A·O→A＋tan B·O→B＋tan C·O→C＝0.
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可得Q→A＋23Q→B－23Q→A＋14Q→C－14Q→A＝0， 整理得Q→A＋8Q→B＋3Q→C＝0， 所以SS△△AABBQC＝1＋38＋3＝14，SS△△AABBQP＝45.
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6.△ABC 的内切圆圆心为 O，半径为 2，且 S△ABC＝14,2O→A＋2O→B＋3O→C＝ 64π
专题强化练
1.点P在△ABC内部，满足 P→A＋2P→B＋3P→C＝0，则S△ABC∶S△APC为
A.2∶1
B.3∶2
√C.3∶1
D.5∶3
根据奔驰定理得， S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3. 所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.
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2.点 O 为△ABC 内一点，若 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设A→O＝λA→B
(2)设点 P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC＝π6，如图.若△PBC，
平面向量的奔驰定理(解析版)
专题九 平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0．证明：如图，延长AP 与BC 边相交于点则D ，BD DC ＝S △ABD S △ACD ＝S △BPD S △CPD ＝S △ABD －S △BPD S △ACD －S △CPD ＝S △PAB S △PAC， ∵PD →＝DC BC PB →＋BD BC PC →，∴PD →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →， ∵PD PA ＝S △BPD S △BPA ＝S △CPD S △CPA S △BPD ＋S △CPD S △BPA ＋S △CPA ＝S △PBC S △PAC ＋S △PAB ，∴PD →＝－S △PBC S △PAC ＋S △PABPA →， 即－S △PBC S △PAC ＋S △PAB PA →＝S △PAC S △PAC ＋S △PAB PB →＋S △PAB S △PAC ＋S △PABPC →，∴S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0． AB CP由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推论：已知P 为△ABC 内一点，且xP A →＋yPB →＋zPC →＝0．(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)．则有(1)S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝|x |∶|y |∶|z |．(2)S △PBC S △ABC ＝|x x ＋y ＋z |，S △P AC S △ABC ＝|y x ＋y ＋z |，S △P AB S △ABC ＝|z x ＋y ＋z|． 【例题选讲】[例1](1)设点O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32答案 A 解析 分别取AC 、BC 的中点D 、 E ，∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，∴OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，即2OD →＝－4OE →，∴O 是DE 的一个三等分点，∴S △ABC S △AOC ＝3．秒杀 根据奔驰定理得，S △ABC ∶S △AOC ＝(1＋2＋3)∶2＝3．(2)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD等于( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 B 解析 如图，由点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13．秒杀 由AD →＝13AB →＋12AC →得，DA →＋2DB →＋3DC →＝0，根据奔驰定理得，S △BCD ∶S △ABD ＝1∶3． (3)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13P A →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6答案 B 解析 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29P A →，由RP →＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)，整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29P A →，整理得4P A →＋6PB →＋9PC →＝0，根据奔驰定理得，∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．(4)已知点P ，Q 在△ABC 内，P A →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|PQ →||AB →|等于( )A ．130B ．131C ．132D ．133答案 A 解析 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △P AC ∶S △P AB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，∴S △P AB ＝S △QAB ＝12S △ABC ，∴PQ ∥AB ，又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15S △ABC ，∴|PQ →||AB →|＝15－16＝130． (5)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A ．29，49B ．49，29C ．19，29D ．29，19答案 A 解析 秒杀 根据奔驰定理，得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0，整理得AO →＝29AB →＋49AC →，故选A ． (6)设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC ＝30°，如图．若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x ＋y 的最大值是________．答案 33 解析 根据奔驰定理得，12P A →＋xPB →＋yPC →＝0，即AP →＝2xPB →＋2yPC →，平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy | PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ，又因为点P 是△ABC 的外心，所以|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，且∠BPC ＝2∠BAC＝60°，所以x 2＋y 2＋xy ＝14，(x ＋y )2＝14＋xy ≤14＋⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得0<x ＋y ≤33，当且仅当x ＝y ＝36时取等号．所以(x ＋y )max ＝33． 【对点训练】1．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．1．答案 12解析 设D 为AC 的中点，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →．又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－ OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为12．秒杀 由OA ＋OC ＝－2OB ，得OA ＋OC ＋2OB ＝0，根据奔驰定理得，△AOB 与△AOC 的面积之比为12． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．2．答案 4 解析 ∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点．又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABC S △AOC＝4．秒杀 因为OA →＋OB →＋2OC →＝0，根据奔驰定理得，S △ABC S △AOC＝4． 3．已知P ，Q 为△ABC 中不同的两点，且3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，则S △P AB ∶S △QAB 为_____．3．答案 1∶2 解析 因为3P A →＋2PB →＋PC →＝2(P A →＋PB →)＋P A →＋PC →＝0，所以P 在与BC 平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S △P AB ＝16S △ABC ，QA →＋QB →＋QC →＝0，可得Q 是△ABC 的重心，因此S △QAB ＝13S △ABC ，S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ． 秒杀 由3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，根据奔驰定理得，S △P AB ∶S △ABC ＝1∶6，S △QAB ∶S △ABC ＝1∶3＝2∶6，所以S △P AB ∶S △QAB ＝1∶2，故选A ．4．已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A ．15B ．25C ．35D ．454．答案 C 解析 因为D 是AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以2AM →－2AD →＝3AC →－3AM →，即2DM →＝3MC →，所以5DM →＝3DM →＋3MC →＝3DC →，所以DM →＝35DC →，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高，所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM →||DC →|＝35．秒杀 由5AM →＝AB →＋3AC →，得AM →＋BM →＋3CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ABC ＝35． 5．若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为( )A ．12B ．13C ．14D ．2 5．答案 A 解析 设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12． 秒杀 由BA →＋BC →＝4BM →，得AM →＋2BM →＋CM →＝0，根据奔驰定理得，S △ABM S △ACM ＝12． 6．已知O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为__________．6．答案 1 解析 如图，设AC 中点为M ，BC 中点为N ．因为OA →＋OC →＋OB →＋OC →＝0，所以2OM →＋2ON →＝0，所以OM →＋ON →＝0，O 为中位线MN 的中点，所以S △AOC ＝12S △ANC ＝12×12S △ABC ＝14×4＝1．秒杀 根据奔驰定理得，S △OBC ∶S △OAC ∶S △OAB ＝1∶1∶2．因为S △ABC ＝4，所以S △AOC ＝1．7．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为 ________．7．答案 4 解析 由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →．所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4．秒杀 由AD →＝15AB →－45CA →，得8AD →＋BD →＋4CD →＝0，根据奔驰定理得，S △ABD ∶S △ACD ＝4∶1，所以S △ABD ＝4．8．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( )A ．12B ．32C ．1D ．2 8．答案 D 解析 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1．因为P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，所以λ1＝12，所以λ2＋λ3＝12，所以λ2λ3≤⎝⎛⎭⎫λ2＋λ322＝116，当且仅当λ2＝λ3＝14时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P 为EF 的中点．延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，所以P A ＝PM ，所以P A →＝－PM→＝－12(PB →＋PC →)，又因为P A →＋xPB →＋yPC →＝0，所以x ＝y ＝12，所以3x ＋y ＝2．故选D ． 秒杀 根据奔驰定理得，。
专题08平面向量重点题型复习(4知识点7题型)高考数学
A. B. C. D.2
√
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，于是，则且，解得，所以实数的值为 故选：
10.两个非零向量，平行的充要条件是( )
A. B. C. D.存在非零实数，使
证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以为重心
证明：，，(为内切圆的半径)，所以，再由奔驰定理可得
③是的外心：
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以(为外接圆的半径)，同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
④是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得
A. B. C. D.
【分析】根据平面向量共线定理可设，可得，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解.
√
【详解】因为，所以设，因为，，所以，可得，所以，故选：
15.设是不共线的两个向量.
(1)若，，，求证：三点共线；
【答案】证明见解析；
【分析】要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
③、至少有一个时
(1)向量的夹角
①定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则()叫做向量与的夹角.
②Hale Waihona Puke 质：当时，与同向；当时，与反向.(2)向量的数量积的定义
①定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量 与的数量积(或内积)；
②记法：向量与的数量积记作，即；
③规定：零向量与任一向量的数量积为0；
√
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：
向量奔驰定理公式
向量奔驰定理公式一、向量奔驰定理内容。
1. 定理表述。
- 设O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为S_ BOC、S_ AOC、S_ AOB，且→OA、→OB、→OC不共线，则S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0。
2. 证明（以面积法为例）- 延长AO交BC于点D，设→AO = x→AD。
- 因为→AD=(BD)/(BC)→AC+(CD)/(BC)→AB。
- 设ABC的面积为S，则S_ BOC=(OD)/(AD)S，S_ AOC=(CD)/(BC)S，S_ AOB=(BD)/(BC)S。
- →OA= - x→AD，→OB=→OA+→AB，→OC=→OA+→AC。
- 将→OA、→OB、→OC代入S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC，通过化简可以得到→0。
二、向量奔驰定理的推论及应用。
1. 推论。
- 当O为ABC的重心时，S_ BOC=S_ AOC=S_ AOB=(1)/(3)S_ ABC，此时→OA+→OB+→OC=→0。
- 当O为ABC的内心时，设a,b,c分别为ABC三边BC、AC、AB的长，→OA× b+→OB× c+→OC× a=→0（这里的×表示向量与实数相乘）。
2. 应用示例。
- 例1：已知O是ABC内一点，且S_ BOC:S_ AOC:S_ AOB=3:2:1，设→OA=→a，→OB=→b，→OC=→c，求λ的值使得3→a+2→b+λ→c=→0。
- 解：由向量奔驰定理S_ BOC→OA+S_ AOC→OB+S_ AOB→OC=→0，已知S_ BOC:S_ AOC:S_ AOB=3:2:1，设S_ BOC = 3k，S_ AOC=2k，S_ AOB=k（k≠0）。
- 则3k→OA+2k→OB+k→OC=→0，即3→OA+2→OB+→OC=→0，所以λ = 1。
- 例2：在ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于点O，若→AO=λ→AD，→BO=μ→BE，利用向量奔驰定理求λ和μ的值。
高考数学复习考点题型专题讲解7 等和线、奔驰定理、三角形四心
高考数学复习考点题型专题讲解专题7 等和线、奔驰定理、三角形四心1.平面向量等和线定理平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP →，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，且k ＝|OP ||OF |＝|OB 1||OB |＝|OA 1||OA |，则λ＋μ＝k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1，(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0. 2.三角形“四心”(1)点O 是△P 1P 2P 3的重心⇔OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0⇔S△P 2OP 3＝S △P 1OP 3＝S △P 1OP 2＝13S △P 1P 2P 3；(2)点O 是△P 1P 2P 3的垂心⇔OP 1→·OP 2→＝OP 2→·OP 3→＝OP 3→·OP 1→⇔tan P 1·OP 1→＋tan P 2·OP 2→＋tan P 3·OP 3→＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝tan P 1∶tan P 2∶ tan P 3(△P 1P 2P 3不是直角三角形)；(3)点O 是△P 1P 2P 3的内心⇔aOP 1→＋b OP 2→＋c OP 3→＝0⇔S△P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝a ∶b ∶c (其中a ，b ，c 是△P 1P 2P 3的三边，分别对应角P 1，P 2，P 3)；(4)点O 是△P 1P 2P 3的外心⇔|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|⇔OP 1→sin∠P 2OP 3＋OP 2→sin∠P 1OP 3＋OP 3→sin∠P 1OP 2＝0⇔S △P 2OP 3∶S △P 3OP 1∶S △P 1OP 2＝sin 2P 1∶ sin 2P 2∶sin 2P 3. 3.奔驰定理如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.类型一 利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.例1 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.答案12解析法一(通法) 由题意作图如图.∵在△ABC 中，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.法二(利用等和线) 如图，过点A 作AF →＝DE →，连接DF .设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF ＝FH ， ∴AF ＝12AH ，因此λ1＋λ2＝12.训练1 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12 答案 B解析法一(通法) ∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →＋12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，∴λ＝12，μ＝14，则λ＋μ＝34.法二(等和线法)如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ＝k ， 则k ＝|BE ||BF |.由图易知，|BE ||BF |＝34，故选B.类型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤：(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个方面，计算最大值和最小值.例2(2022·丽水质检)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________.答案 2 解析法一(通法)以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA→＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.法二(等和线法) 如图所示，设x ＋y ＝k ，则直线AB 为k ＝1的等和线，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心O 最远，即此时k 取得最大值， 易知OE ⊥AB ， ∵OA ＝1，∠AOB ＝2π3， ∴OE ＝12，则k ＝|DO ||OE |＝112＝2，即x ＋y 的最大值为2.训练2 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD ＝2，点P 是△BCD 内任意一点(含边界)，设OP →＝λOC →＋μOD →，则λ＋μ的取值范围为________.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 解析法一(通法)分别以边OA ，OC 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则OC →＝(0，1)，OD →＝(2，0)，设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，∴(x ，y )＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)， ∴⎩⎨⎧x ＝2μ，y ＝λ， ∴λ＋μ＝12x ＋y ，设z ＝12x ＋y ，则y ＝－12x ＋z ，所以z 是直线y ＝－12x ＋z 在y 轴上的截距，由图可知，当该直线过点B (1，1)时，它在y 轴上的截距最大，为32；和直线CD 重合时，在y 轴上的截距最小，为1，故z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.法二(等和线法) 如图，设λ＋μ＝k ，则直线CD 为k ＝1的等和线，所有与直线CD 平行的直线中，过点B 的直线离点O 最远，此时k 的值最大，且此时k ＝|OE ||OD |， 易知AD ＝DE ＝1，故此时k ＝32，显然k 的最小值为1， 即λ＋μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.类型三 利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题已知P 为△ABC 内一点，且xPA →＋yPB →＋zPC →＝0(x ，y ，z ∈R ，xyz ≠0，x ＋y ＋z ≠0)，则有(1)S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝|x |∶|y |∶|z |； (2)S △PBC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x ＋y ＋z ，S △PAC S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋y ＋z ，S △PAB S △ABC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z x ＋y ＋z . 例3 (1)(2022·镇江质检)已知O 是△ABC 内部一点，满足OA →＋2OB →＋mOC →＝0，且S △AOB S △ABC ＝47，则实数m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13PA →，QR →＝13QB →，RP →＝13RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )A.14∶3B.19∶4C.24∶5D.29∶6 答案 (1)C (2)B解析 (1)法一(通法) 延长CO 到点M ，使得OM →＝－m3OC →，因为OA →＋2OB →＋mOC→＝0，所以－m 3OC →＝13OA →＋23OB →，即OM →＝13OA →＋23OB →，所以A ，B ，M 三点共线， 又因为OC →与OM →反向共线， 所以|OM →||CM →|＝m m ＋3，所以S △AOB S △ABC ＝|OM →||CM →|＝m m ＋3＝47，解得m ＝4.法二(奔驰定理法) 由奔驰定理得S △BOC ·OA →＋S △AOC ·OB →＋S △AOB ·OC →＝0， 又OA →＋2OB →＋mOC →＝0， ∴S △BOC ∶S △AOC ∶S △AOB ＝1∶2∶m .∴S △AOB S △ABC ＝m 1＋2＋m ＝47⇒m ＝4. (2)法一(通法) ∵QR →＝13QB →，∴以PQ 为底的△PQR 与△PQB 的高之比为1∶3， ∴S △PQB ＝3S △PQR ，即S △PRB ＝2S △PQR ，∵以BR 为底的△PBR 与△BCR 的高之比为1∶3， ∴S △BCR ＝3S △PBR ＝6S △PQR ， ∴S △PBC ＝2S △PBR ＝4S △PQR ， 同理可得S △ACP ＝S △ABQ ＝6S △PQR ， 所以S △ABC S △PBC ＝S △BCR ＋S △ACP ＋S △ABQ ＋S △PQR S △PBC ＝19S △PQR 4S △PQR ＝194. 法二(奔驰定理法) 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13(PB →－PQ →)，整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29PA →，由RP →＝13RC →，得RP →＝13(PC →－PR →)，整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29PA →，整理得4PA →＋6PB →＋9PC →＝0，∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.训练3 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为________. 答案 4解析法一(通法)∵D为AB的中点，则OD→＝12(OA→＋OB→)，又OA→＋OB→＋2OC→＝0，∴OD→＝－OC→，∴O为CD的中点. 又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，则S△ABCS△AOC＝4.法二(奔驰定理法)因为OA→＋OB→＋2OC→＝0，根据奔驰定理，所以S△ABCS△AOC＝1＋1＋21＝4.类型四与三角形四心有关的问题所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.解题时，要结合题目已知条件，充分利用各“心”的性质，巧妙转化.例4 过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC→＝34AC→，QC→＝nBC→，则n的值为________. 答案 35解析 如图，因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0， 即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →.QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n )OC →， 因为P ，O ，Q 三点共线， 所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35.训练4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA→＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝________. 答案π6解析 由G 是△ABC 的重心， 则GC →＝－GA →－GB →，因此aGA→＋bGB→＋33c(－GA→－GB→)＝⎝⎛⎭⎪⎫a－33c GA→＋⎝⎛⎭⎪⎫b－33c GB→＝0，又GA→，GB→不共线，所以a－33c＝b－33c＝0，即a＝b＝33c，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32，又0<A<π，故A＝π6.一、基本技能练1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝( )A.23 B.13C.－13D.－23答案 A解析由于D是AB边上一点，所以A，B，D三点共线，所以13＋λ＝1，λ＝23.2.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( )A.12 B.13C.14D.1答案 A解析法一(通法) 设BM →＝tBC→，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，∴λ＝12－t 2，μ＝t 2，∴λ＋μ＝12.法二(等和线法) 如图，BC 为值是1的等和线，过N 作BC 的平行线，设λ＋μ＝k ， 则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN →||AM →|＝12，故选A.3.(2022·武汉质检)已知△ABC ，平面内一动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则动点P 过△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案 A解析∵AB→|AB →|，AC→|AC →|分别表示AB →，AC → 方向上的单位向量，∴AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与∠BAC 的角平分线一致.∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →的方向与∠BAC 的角平分线一致， ∴一定通过△ABC 的内心.4.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →，则m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点， ∴AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →， ∴m ＝3.5.若H 为△ABC 所在平面内一点，且|HA →|2＋|BC →|2＝|HB →|2＋|CA →|2＝|HC →|2＋|AB →|2，则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心答案 D解析∵|HA→|2－|HB→|2＝|CA→|2－|BC→|2，∴(HA→＋HB→)·BA→＝(CA→＋CB→)·BA→，即(HA→＋HB→－CA→－CB→)·BA→＝0，即(HC→＋HC→)·BA→＝0，∴AB→⊥HC→，同理AC→⊥HB→，BC→⊥HA→，故H是△ABC的垂心.6.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若OA→＋AB→＋OC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，则CA→·CB→等于( )A.32B. 3C.3D.2 3答案 C解析∵OA→＋AB→＋OC→＝0，∴OB→＝－OC→，故点O是BC的中点，且△ABC是直角三角形，又△ABC的外接圆半径为1，|OA→|＝|AB→|，∴BC＝2，AB＝1，CA＝3，∠BCA＝30°，∴CA→·CB→＝3×2×32＝3.7.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO→＝λAB→＋μAC→，则实数λ和μ的值分别为( )A.29，49B.49，29C.19，29D.29，19答案 A解析根据奔驰定理，得3OA→＋2OB→＋4OC→＝0，即3OA→＋2(OA→＋AB→)＋4(OA→＋AC→)＝0，整理得AO→＝29AB→＋49AC→，故选A.8.(2022·广州调研)已知O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，AB→·AC→＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )A.33B. 3C.32 D.23答案 A解析∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴O是△ABC的重心，∴S△OBC＝13S△ABC，∵AB→·AC→＝2，∴|AB→||AC→|cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，∴|AB→||AC→|＝4，又S△ABC＝12|AB→||AC→|sin∠BAC＝3，∴△OBC的面积为3 3.9.若M是△ABC内一点，且满足BA→＋BC→＝4BM→，则△ABM与△ACM的面积之比为( )A.12 B.13C.14D.2答案 A解析法一(通法) 设AC的中点为D，则BA→＋BC→＝2BD→，于是2BD→＝4BM→，从而BD→＝2BM→，即M为BD的中点，于是S△ABMS△ACM＝S△AMD2S△AMD＝12.法二(奔驰定理法) 由BA→＋BC→＝4BM→，得AM→＋2BM→＋CM→＝0，根据奔驰定理得，S△ABMS△ACM＝12.10.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→＝a，BD→＝b，且AF→＝λa＋μb，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12 答案 A解析 (等和线法)如图，作AG →＝BD →，延长CD 与AG 相交于G ，因为C ，F ，G 三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，向量AO →＝λa ＋μb ，则λ＋μ的值为________.答案23解析 如图，BC 为值是1的等和线，过O 作BC 的平行线，延长AO 交BC 于M ， 设λ＋μ＝k ，则k ＝|AO ||AM |. 由题设知O 为△ABC 重心，|AO ||AM |＝23. 12.设O 为△ABC 内一点，且AO →＝13AB →＋14AC →，则S △OAB ∶S △OBC ＝________.答案 35解析由AO→＝13AB→＋14AC→可得－12OA→＝4(OB→－OA→)＋3(OC→－OA→)，整理得5OA→＋4OB→＋3OC→＝0，∴S△OAB∶S△OBC＝35 .二、创新拓展练13.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点(含边界)，且AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的取值范围为( )A.[0，1]B.[0，2]C.[0，3]D.[0，4]答案 C解析(等和线法)设λ＋μ＝k，则直线BC为k＝1的等和线，所有与BC平行的直线中，过点A时，k＝0，过点D的距离BC最远，由于△BCD与△ABC的面积之比为2，故二者的高的比也是2，故k的最大值为3，即λ＋μ∈[0，3].14.(2022·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若A(1，0)，B(3，4)，OC→＝xOA→＋yOB→，x＋y＝6，则|AC→|的最小值为( )A.1B.2C.5D.2 5答案 D解析法一由题意得OA→＝(1，0)，OB→＝(3，4)，由OC→＝xOA→＋yOB→，得OC→＝(x＋3y，4y)，所以AC→＝OC→－OA→＝(x＋3y－1，4y)，又x ＋y ＝6，所以AC →＝(5＋2y ，4y )，则|AC →|＝（5＋2y ）2＋（4y ）2＝20y 2＋20y ＋25＝25⎝⎛⎭⎪⎫y ＋122＋5，y ∈R ，所以当y ＝－12时，|AC →|取得最小值25，故选D.法二 设点O 到AB 的距离为d ，由等面积法可知S △OAB ＝12·|OA →|·|y B |＝12×|AB →|·d ，即12×1×4＝12×（3－1）2＋42·d ， 解得d ＝255，由等和线定理得|AC →|＝|OC →－OA →|＝|(x －1)OA →＋yOB→|≥5d ＝25，故选D.15.已知正三角形ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足|PD →|≤1，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ＋y ≥1，则2x ＋y 的最大值为( ) A.1 B.32C.2D.52答案 D解析 ∵动点P 满足|PD →|≤1，∴P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆及内部，设圆D 与边AB 交于点B 1，连接B 1C ，则B 1C ⊥AB ，且B 1是AB 中点， 则AB 1＝12AB ，∵AP →＝xAB→＋yAC →，∴AP →＝2xAB 1→＋yAC →， ∵x ＋y ≥1，由等和线性质知P 点在直线B 1C 左下方，如图，作直线B 1C 的平行线l 与圆D 相切于P ，由等和线性质知，此时2x ＋y 有最大值，延长AB 交l 于 点B 2，∴(2x ＋y )max ＝AB 2AB 1＝1＋12＋11＝52.16.O 为三角形内部一点，a ，b ，c 均为大于1的正实数，且满足aOA →＋bOB →＋cOC →＝CB →，若S △OAB 、S △OAC 、S △OBC 分别表示△OAB 、△OAC 、△OBC 的面积，则S △OAB ∶S △OAC ∶S △OBC 为( ) A.(c ＋1)∶(b －1)∶a B.c ∶b ∶a C.1a ∶1b －1∶1c ＋1D.c 2∶b 2∶a 2 答案 A解析 由aOA →＋bOB →＋cOC →＝CB →， ∴aOA →＋bOB →＋cOC →＝OB →－OC →， ∴aOA →＋(b －1)OB →＋(1＋c )OC →＝0，如图，设OA 1→＝aOA →，OB 1→＝(b －1)OB →，OC 1→＝(1＋c )OC →，∴OA →1＋OB 1→＋OC 1→＝0，即O是△A1B1C1的重心，∴S△OB1C1＝S△OA1B1＝S△OA1C1，∴S△OABS△OA1B1＝12OA·OB sin∠AOB12OA1·OB1sin∠A1OB1＝OA·OBOA1·OB1＝1a（b－1），∴S△OAB＝1a（b－1）S△OA1B1，同理可得S△OAC＝1a（1＋c）S△OA1C1，S△OBC ＝1（b－1）（1＋c）S△OB1C1，∴S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝1a（b－1）∶1a（1＋c）∶1（b－1）（1＋c），所以S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝(c＋1)∶(b－1)∶a.故选A.17.设G为△ABC的重心，且sin A·GA→＋sin B·GB→＋sin C·GC→＝0，则角B＝________. 答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴GA→＋GB→＋GC→＝0，又sin A·GA→＋sin B·GB→＋sin C·GC→＝0，∴sin A＝sin B＝sin C，即a＝b＝c，则△ABC是等边三角形，故B＝60°.18.如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设AP→＝αAB→＋βAF→(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________.答案 [3，4]解析 (等和线法)直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM .设正六边形的边长为2，则AN ＝3，AM ＝1，AD ＝4，故α＋β∈[3，4].。
专题02 平面向量(新高考地区专用)(解析版)
专题02 平面向量一：奔驰定理1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A2.推导过程证明方法一：如图延长OA 与BC 边相交于点D 则 =OD OB +OCC B BS S S +OB +CB C S S S +OCOACB A S S S +-OAC B BS S S +OB +CB C S S S +OC 0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆二.极化恒等式1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方2.推导过程：2222=-=-AB AC AD BD AD BD三．三角形的四心 1.推论（1）重心：中线的交点，①O 是ABC ∆的重心⇔⇔0=++OC OB OA ②中线长度分成2：1③1()3OG OA OB OC =++=12312333x x x y y y ++++（,）（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①O 是ABC ∆的内心⇔⇔0=++•••OC OB OA c b a②(菱形性质）AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（3）外心：①O 是ABC ∆的外心⇔⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC C OB B OA A②()0OB OA OD +=（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 ①O 是ABC ∆的垂心:⇔O⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan AD DB B A :tan :tan = AD DB :同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，②OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅ 由，得，即，所以．同理可证，．技巧1 奔驰定理【例1】P 是ABC ∆内一点，满足2340PA PB PC ++=，则::PBC PCA PAB S S S ∆∆∆=（ ） A ．4:3:2 B ．2:3:4C ．D ．【答案】B【解析】技巧法：公共点P ，三角形ABC ，则∆对应的向量两个点为公共点P 和三角形定点A 即PBC S PA常规法：P 是ABC ∆内一点，且满足，3202PA PB PC ++=．延长PB 到1B ，使得132PB PB =，延长PC 到1C ，使得，连结1PB 、1PC 、11B C ，则．P ∴是11ABC ∆的重心，设113PB C S S =，则1111APB APC PB C SSSS ===，211323PBC S S S ∆=⨯⨯=，12PCA S S ∆=，23PAB S S ∆=，112::::2:3:4323PBC PCA PAB S S S S S S ∆∆∆∴==．故选：B ．【举一反三】1.已知ABC 所在平面内一点P ，满足12PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积的比值为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】技巧法11()22PA PB PC AB PB PA ++==-,所以31022PA PB PC ++=,即320PA PB PC ++= 公共点为P ，三角形ABC ，则ABP △所对应的向量PC ，其系数为2，ABC 为整个三角形，其所对应的系数为三个向量的系数,6，所以面积比为13常规法：如图所示,11()22PA PB PC AB PB PA ++==-,所以31022PA PB PC ++=,即320PA PB PC ++=,所以,设AB 和AC 的中点分别为,D E ,则由可得,即2PD PE =-,即点P 是ABC 的中位线DE 上靠近点E 的三等分点,所以22113323ABPABEABCABCSS S S ==⋅=,故选:C2.（广东省深圳外国语学校2020）点P 是ABC ∆所在平面上一点，若2133AP AB AC =+，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是（ ）A ．3B ．2C ．13D ．12【答案】D【解析】技巧法：公共点为A ，三角形为PCB ，则ABP ∆与ACP ∆对应的向量为，则ABP ∆与ACP ∆的面积之比为12常规法：点P 是ABC ∆所在平面上一点，过P 作//,//PE AC PF AB ，如下图所示： 由，故，所以ABP ∆与ACP ∆的面积之比为:1:2BP PC =，故选：D ．3.（天津市红桥区2019）已知点O 是ABC ∆内一点，满足，，则实数m 为（ ） A ．2 B ．-2C ．4D ．-4【答案】D 【解析】 技巧法：m -m ∆∆、对应的向量的系数为-、3AOB ABC S S ，734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-=常规法：由得： 设，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3OD mm CD∴=-734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 本题正确选项：D 技巧2 三角形的四心【例2-1】点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的__________心． 【答案】垂 【解析】OA OB OB OC ⋅=⋅ ()0OA OC OB ∴-⋅=，即OB AC ∴⊥同理可得：OA BC ⊥，OC AB ⊥点O 为ABC ∆的垂心本题正确结果：垂【例2-2】（黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学）在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．重心D ．外心【答案】D 【解析】()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则 BC ME ⇒⊥为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项：D 【举一反三】1.（河北省保定市）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则，有. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B.2．（辽宁朝阳柳城高中）设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅若，则点P 是△ABC A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【解析】由于点P 是△ABC 所在平面内一点，()0PA PB PB PC PC PAPA PB PB PC PB PC PA PB AC PB AC⋅=⋅=⋅∴⋅=⋅⇒⋅-=⋅=∴⊥若，同理可知,则说明点P 是三角形ACB 的垂心，故选D.3．设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若OA OB OC ==，则点O 是三角形ABC 的________心． 【答案】外心【解析】由OA OB OC ==可得O 点到三角形各顶点的距离相等，所以点O 是三角形ABC 的外心 故答案为外心.4．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若，则O 为ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心【答案】B 【解析】若 可得， 即为即有222||||OA OB OC ==，则OA OB OC ==，故O 为ABC ∆的外心，故选B.技巧3 极化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在ABC ∆中，若8BC =，BC 边上中线长为3，则（ ） A ．-7B ．7C ．-28D ．28（2）（2020届河南省八市重点高中联盟领军）在ABC 中，2AB =，点,D E 在AB 上，且，若3CA CB ⋅=，则CD CE ⋅的值是（ ）A ．B ．C ．D ．53【答案】（1）A （2）A【解析】（1）在ABC ∆中，设BC 的中点为D ，则.由题意知：43DC AD ==，.则故选A. （2）如图，设AB 的中点为O .因为()()CA CB CO OA CO OB ⋅=+⋅+()()CO OA CO OA =+⋅-. 因为112OA AB ==，所以24CO =.又因为，所以， ，所以()()CD CE CO OD CO OE ⋅=+⋅+()()CO OD CO OD =+⋅- .故选：A. 【举一反三】1.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为( ) A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，sin 60BN AB =︒=13122DN ∴=+=， 32BM ∴=， ， ，(1,0)A ∴，3(2B ，C ，设(0,)E m ，(1,)AE m =-，3(2BE =-，m ，03m ，，当m =2116． 故选：A ．2.（2017年新课标2）已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ． B ．32-C ．3-D ．6-【答案】D 【解析】则A （0，B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ），则PA =（﹣x ，y ），PB =（﹣2﹣x ，﹣y ），PC =（2﹣x ，﹣y ），所以PA •（PB +PC ）=﹣x•（﹣2x ）+（y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣2=2[x 2+（y 2﹣3]；所以当x=0，PA •（PB +PC ）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6． 故选D ．3．（2020届湖北省武汉市）已知等边△ABC 内接于圆：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则的最大值是（ ）A B ．1C D ．2【答案】D【解析】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，，，设， 则222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即时等号成立.故选：D .1．（2020上海市控江中学）点O 在△ABC 内部，且满足，则△ABC 的面积与△ABO 、△ACO 面积之和的比为________ 【答案】15:11【解析】技巧法：由奔驰定理可得15:11常规法：作56OD OC =，则554OB OD OA +=-， ，45OB OD OA +=-. 以为邻边作平行四边形OBED ，连接OE ，交BC 于N ，如图所示：45OE OA =-，45OE OA =.根据ONC ∆与BNE ∆相似得：，； ，，，，ABC ∆∴的面积与ABO ∆、ACO ∆面积之和的比为15:11．故答案为：15:11．2．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________． 【答案】45【解析】由2PA ＋3PB ＋4PC ＝3，得2PA ＋4PC ＝3＋3BP ，∴2PA ＋4PC ＝3，即4PC ＝5.∴4455PAB PBCAPAPS SPC PC ＝，＝＝ 3．（2020届山西省太原市第五中学校）设点O 在ABC ∆的外部，且5230OA OC OB --=，则:ABC OBC S S ∆∆= 。
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平面向量奔驰定理与三角形四心
已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：
0=++•••OC S OB S OA S C B A
如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则
B
C
COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆
图1
=
OD BC DC OB +BC
BD
OC =C B B
S S
S +OB +C
B C S S S +OC
C
B A
COA BOA COD BOD COA COD BOA
BOD S S S S S S S S S S
S OA OD +=++==
= 图2
∴
C
B A S S S OD +-
=OA
∴C
B A S S S +-
OA =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
∴0=++•••OC S OB S OA S C B A
推论O 是ABC ∆内的一点，且
0=++•••OC OB OA z y x ，则
z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆
O
A B
C
D
O
A B
C
有此定理可得三角形四心向量式
O 是ABC ∆的重心
⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA
O 是ABC ∆的内心
⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a
O 是ABC ∆的外心
⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC
C OB B OA A
O 是ABC ∆的垂心
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A
证明：如图O 为三角形的垂心，DB
CD
B AD CD A ==
tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :
∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆
同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan
:=∆∆
∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心”有关的向量问题
1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
如图⑴.
A'
G
C
A
B
2已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，
时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足
（λ
∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心
B ．重心
C ．外心
D ．垂心
图⑴
图⑵
M
P
C
B
A
解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.
A
B
C
4已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭
，(0)λ∈+∞，，
则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫
⎪=+ ⎪⎝⎭
， 图⑶ 图⑷
H F
E
M A
O
P
由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
， 即
0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B
AC C
⋅⋅+
=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点
在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
5若H 为ABC △所在平面内一点，且2
2
2
2
2
2
HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
证明:
2222
HA HB CA BC -=-
()()HA HB BA CA CB BA ∴+•=+•
得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•= AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题
6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若
0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的( )
．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
B。