量子力学第4章-1
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
第4章 力学量随时间的演化和对称性
第四章 力学量随时间的演化与对称性
§4.1 力学量随时间的演化
一、力学量平均值随时间的变化
在波函数(x,t)所描写的态中，力学量A的平均值为
A(t) *(x,t)Aˆ (x,t)dx (1)
dA dt
*
t
Aˆ
dx
*
Aˆ
t
dx
*
Aˆ
t
dx
(2)
由薛定谔方程，i Hˆ
4.5.1 全同粒子的交换对称性
自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电 子，质子，中子，光子，π介子等。 同一类粒子 具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自 旋，磁矩，寿命等.
在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒 子称为全同（identical）粒子.
全同粒子组成的多体系的基本特征是： 任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任
dt ih
t
如Â不显含t，即:
Aˆ 0 t
则有:
dA 1 [ Aˆ, Hˆ ] (3) dt ih
这就是力学量 平均值随时间 变化的公式。
若
[ Aˆ, Hˆ ] 0
(4)
则
dA 0
(5)
dt
即这种力学量在任何态 (t) 之下的平均值都不随
时间改变。
力学量 A 的平均值为
用标积表示
At t, A t
守恒量有两个重要性质： (1) 在任意态(t)之下的平均值都不随时间改变； (2) 在任意态(t)之下的概率分布不随时间改变。
三、举例
1、证明：若Ĥ不显含时间t,则Ĥ为守恒量
证： ∵Hˆ 不显含t
∴ Hˆ 0 t
又∵ [Hˆ , Hˆ ] 0
量子力学第四章习题(1)
第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。
下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。
又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。
进而求的本征值。
4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。
4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。
一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。
试证明之。
4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。
4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。
（a）试求C3的数值。
（b）写出在t时的波函数。
（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。
第4章能量守恒定律
的转化.跑动和起跳需要消耗体能或生物能，人体的动能,转化为撑杆的弹性势能,并使人体升高转化为重力势能,跃过横竿后随着人的下落转为动能.能量和转移或转化是通过做功等方式来实现的,并保持能量守恒.第4章能量守恒定律人类最初研究机械装置的目的,大概是为了省力和做功.因此在欧洲各国的语言里,力学(mechanics)和机械学(mechanism)是同源的词.例如早期的磨房装置,就是利用水轮把水的重力势能和水流的动能转化为水轮转动的动能从而带动磨盘做功的.这里动能和势能都是机械运动的能量(energy).除机械能外,自然界还存在其他形式的能量,而且不同形式的能量可能相互转化,例如核电站就是把核能转化为电能的设施.大量的事实证明，能量的转移和转化服从能量守恒定律.本章将局限于讨论与机械运动有关的能量守恒定律.§4-1 动能定理4-1-1 能量守恒定律上一章我们讨论了动量.但动量并不是描述物体“运动状态”的唯一动力学量.例如,匀速率圆周运动中,质点的速度大小虽然不变,但方§4-1 动能定理 59 向不断变化,质点的动量p不再是一个守恒量.由于速率不变,人们想到引入动力学量m v2,它是守恒的.如何理解m v2的物理意义呢？让我们来看自由落体运动.设质量为m 的物体在重力作用下,t 时间内下落了h的高度,则由运动学可以写出两个关系式 v=g t和v2/2=gh.第一个关系式乘上质量m后有 m v=m g t,即物体所受重力的冲量m g t等于物体获得的动量m v,正是动量定理的体现.而第二个式子乘上m,则有m v2/2=mgh.这里与重力对时间的累积作用m g t不同,mgh是重力对空间的累积作用,称为重力在该过程中所做的功（work).显然,动力学量m v2/2(这里比m v2多了常数因子1/2)是描写由于力做功而使物体获得的运动的物理量,称为动能（kinetic energy).由此可见,动能与动量是从不同的方面来描述机械运动的.动量是矢量,动量的增加与力的时间累积作用即冲量相联系;而动能是标量,动能的增加与力的空间累积作用即功相联系.利用p=m v,还可以将动能表示为p2/2m.动能是从能量角度来描写机械运动的.而能量的概念要广泛的多,能量与动量的关系也要在狭义相对论中(第8章)才能进一步说明.可以指出的是,在狭义相对论中能量与质量是等价的,有质量就有能量,反过来,有能量必有质量,质量m和能量E之间的关系为E=mc2,c为真空中的光速.而且m v2/2(或p2/2m)也仅仅是低速情况下动能的近似表达式.思考题：有了动量还有必要引入动能吗？比较质量m的物体下落h 和质量m/2的物体下落2h两种情况的动量和动能值.除机械运动外,物质的运动形式还有热运动,电磁运动,核运动,乃至化学运动,生物运动等等.每种运动都存在着作为物质运动状态函数的能量形式,即除机械能外,还有热能、电磁能、核能、以及化学能、生物能等.物质运动的各种形式可以相互转化,因而必然导致各种形式能量的转换.大量的事实证明:在一个孤立系统中,无论物质运动的过程如何,该系统的能量都不能被创造,也不能被消灭,只能从一种形式转化为另一种形式,而各种形式的能量总和保持不变.即∑i E= 常量. (4−1) 这就是普遍的能量守恒定律(law of conservation of energy),它是自然界最普遍的定律之一,适用于任何变化过程(物理的,化学的,生物的等等),迄今为止,无一例外.从近代物理的观点来看,能量守恒定律是时间均匀性这一对称性的结果.60 第4章 能量守恒定律由于相互作用不同,引起能量变化的方式也不同,除了做功之外,还有热传递、辐射的发射和吸收、化学反应和核反应等等（由此看来,麦克斯韦把能量定义为“物体做功的本领”是有局限的）.做功可以引起系统动能或者机械能的改变,传热将引起系统内能的改变,核反应则能引起总能量从而系统总质量的改变而产生巨大能量.在有耗散力(如摩擦力)存在的运动中,由于部分能量以传热的方式转化为物体的内能,机械能一般是不守恒的,但包含内能在内的总能量仍守恒.如果计及所有形式的能量,则在任何运动过程中,能量的总和是守恒的.顺便指出,在经典力学中能量的取值不受限制,但在量子力学中能量可能不能连续取值.此外,自然界的任何过程都必须遵从能量守恒定律,但反过来满足能量守恒的过程却不一定能实现,例如禁戒的量子跃迁,涉及热运动的某些过程等等.4-1-2 质点的动能定理如上所述,经典力学中质量为m 、速度为 v 的质点的动能表达式为 221v m E k = (4−2) 在SI 中,能量(包括动能)的单位为焦耳,用J 表示.它是以英国物理学家焦耳(J.P.Joule )的名字命名的.22s m 1kg 1J −⋅=.我们已经知道,动量和动能都是描述质点运动状态的物理量,物体间动量的传递用它们之间的力来表征.在匀速率圆周运动的例子中,对质点施加力(向心力)的结果必然导致动量的转移,但却不改变质点的动能.那么,物体间动能的传递用什么来表征呢？让我们来考察在力F 作用下质点动能的变化.对动能微分,注意到v v ⋅=2v , )21d()21d(d 2v v ⋅==m m E k v 经典力学中m 与运动状态无关,而v v v v d 2)d(⋅=⋅,于是r F d d d )d(d d ⋅=⋅=⋅=t tm m E k v v v v (4−3) r F d ⋅是作用在质点上的合力F 与元位移d r 的点积,称为元功,用dA 表示.于是r F d d ⋅==dA E k (4−4) 可见,质点动能的改变是由作用在质点上的力做功来表征的.上式表明质点动能的增量等于合力对质点所做的功,这称为质点的动能定理.式(4−4)§4-1 动能定理 61 为动能定理的微分形式.对于沿一定路径从a 点到b 的有限位移过程,式(4−4)化为A E b a E E k b a =⋅=∫∫r F d d 即 A m m E E E a b ka kb k =−=−=Δ222121v v (4−5) 这就是动能定理的积分形式.我们也可以反过来说,力对空间累积作用的效果,是使质点动能改变.由动能定理可见,物体的动能等于使物体从静止开始运动到具有速率v 时,合外力对物体所做的功 2021d v vm E k =⋅=∫r F (4−6)由于速率与参考系有关,动能是相对的.思考题：以速度v 垂直下落的质量为m 的冰雹,对于以速率v 做水平运动的车的动能为多少？4-1-3 功和功率让我们来考察在力F 作用下质点位移d r 过程中元功的表达式.如图4−1所示.由于|d r |=d s ,元功可以表示为θcos d d s F dA =⋅=r F (4−7) θ 为力F 与元位移d r 的夹角.功的单位与能量的单位相同,在SI 中也是J,m N 1s m 1kg 1J 22⋅=⋅=−.我们看到,元功是一个标量,它的正负决定于力与元位移之间的夹角:当2/0πθ<≤时,dA >0,力对质点做正功；当2/πθ=时,dA =0,力对质点不做功；当πθπ≤<2/时,dA <0,力对质点做负功,也常说成质点克服(反抗)力F 做功.在匀速率圆周运动中,由于F 始终与位移d r (或速度)垂直, dA =0,所以按照动能定理质点的动能当然不变.质点在力F (不一定是常力)作用下,沿路径L 由a 运动到b 所做的功∫∫∫=⋅==b a b a b a s F dA A d cos d θr F(4−8)在直角坐标系下,则有∫++=ba z y x z F y F x F A )d d d ( (4−9)练习1：试由(4−8)式导出直线运动下恒力的功的表达式.练习2：试由(4−8)式导出自然坐标系下功的表达式.图4-１ 功的定义62 第4章 能量守恒定律 例题4-２图 例题4-1 质量为m 的物体,在粗糙的水平桌面上从a 点移到b ,摩擦系数为μ,求摩擦力对物体所做的功. 解：这里摩擦力mg μ为恒力,与运动方向相反,cos θ =−1， L mg s f s f A b a b a μθμμμ−=−==∫∫d d cos 可见,做功与物体实际经过的路径的长度L 有关,显然a 到b 沿直线最短,A μ 最小.注意,虽然物体对桌面也有摩擦力,但桌面(或其上的质元)没有移动,所以不做功. 思考题：人造地球卫星绕地球作圆周运动,由于受到空气的摩擦阻力,人造卫星的速度和轨道半径将如何变化？ 由上面的定义可见,功具有如下性质: (1).功是标量,它没有方向只有正负. (2).功具有可加性,即合力的功等于各分力的功的代数和 A A a b a b a b =⋅=⋅=⋅=∫∑∫∑∑∫F r F r F r d d d i i i i i i (4−10) A a b i i d =⋅∫F r 为分力F i 所做的功. (3).功是力对空间的累积作用,它与运动的过程相联系.只有在受力质点的位置发生变动的过程中力才可能做功.因而谈到功,一定要明确是什么力,在什么路径或过程中做功.由于功是一个过程量,一般不是状态的函数,因而元功dA 不应理解为对功的微分(特意用了斜体d 来表示,以便与表示微分的正体d 相区别). (4).功是相对量,与参考系的选择有关.例如在运行的电梯中,静止的人受到电梯支承力N 的作用,选电梯为参考系时,位移为零,故力N 不做功；选地面为参考系时,人对地面有位移,故力N 做功. 例题4-２ 质量为m 的小环套在固定的光滑刚性圆环上,一端被固定在O 点的轻弹簧拉着,如图所示.设弹簧原长等于圆环半径R ,劲度系数为k .求小环从C 点无初速地运动到B 点时的速率. 解：本例可用动能定理求解.我们先来求合力的功.在任意点(x ,y )小环受到弹力F ，重力m g 和支承力N 的作用,由于r N d ⊥，支承力不做功0=N A .重力只有y 分量，由（4-9）可得重力的功 mgR mgy y mg y mg m A R R B C B C B C mg 23d d d |22/====⋅=∫∫∫r g 即重力做正功.再来计算弹力的功.弹力的大小为)(22R y x k F −+−=，在O-xy坐标系中写出其矢量式例题4-1图§4-1 动能定理 63 j i 22222222)()(y x y R y x k y x xR y x k F +−+−+−+−= 由（4-9）得d )(d )[(d 22222222y x y y R y x y x x x R y x k A B C B C F +−+−+−+−=⋅=∫∫r F 22d d )d d (y x y y x x kR x x y y k B C B C ++++−=∫∫ 2)2,0()2/,2/3(22)2,0()2/,2/3(2221)(21||kR y x kR y x k R R R R R R −=+++−= 即弹力做负功.由（4-10）得合力所做的功为22123kR mgR A A A A F mg N −=++= 运用动能定理(4-5)式, 22221232121kR mgR A m m c B −==−v v 由于v C =0,得mkR gR B 23−=v在一些实际问题中,不仅需要知道做功的多少，往往还要确定做功的快慢.为此引入功率(power)这个物理量,用P 表示,它定义为力在单位时间内所做的功.若d t 时间内做的功为dA ,则 v ⋅=⋅==F r F dtd d t dA P (4−11) 在SI 中,功率的单位为瓦特,用W 表示.它是以英国工程师瓦特(J.Watt)的名字命名的.1s 1J 1W −⋅=.同样,由于功不是态函数,P 不能看作是A 对时间的导数.动力机械的输出功率是有一定限制的,其最大输出功率称为额定功率.当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小；负荷力越小,可达到的速率就越大.这就是为什么汽车上坡行驶慢,而利用慢档可以增大牵引力的原因. 4-1-4 质点系的动能定理质点系中质点受力可以分为外力和内力.对其中任意质点i 的功,可以相应地表示为作用在其上的外力和内力的功之和：A i =A i 外+A i 内,于是64 第4章 能量守恒定律 将动能定理应用于质点i 上,有内外i i ia i ib i kia kib ki A A m m E E E +=−=−=Δ222121v v 上式对指标i 取和,得 ∑∑∑∑+=−i i i a bA A m m ii i 2i i 2i i 2121内外v v 定义系统内所有质点的动能之和为质点系的动能,即 ∑∑==i i 2i i i21v m E E k k (4−12)系统内所有内力和外力的功的代数和分别用A 外和A 内表示,则得内外A A E E E ka kb k +=−=Δ (4−13) 式(4−13)称为质点系的动能定理,它表明质点系总动能的增量等于质点系内各质点所受的外力和内力的功的代数和.应当注意,(1)动能是运动状态的函数,质点的运动状态一旦确定,其动能就唯一地确定了;但功不同,功是一个过程量,与质点受力运动的过程有关.(2)动能定理适用于惯性系,在不同的参考系中,由于质点的速度和位移不同,动能和功的数值与参考系的选取有关,但动能定理是绝对的,即由(4-4)式或(4-5)式表征的关系在任何惯性系中都成立,不因惯性系的改变而改变.另外,在应用质点系的动能定理时,还应注意:(1).质点系所受合外力做功的说法没有意义,因为各外力作用于不同的质点,而各质点的位移不同.(2).由牛顿第三定律可知F 内≡0,内力不能改变系统的总动量.但是一般而言内力的功A 内并不为零,即内力能改变系统的总动能.比如,荡秋千时,把人和秋千作为一个系统,则靠人的内力做功使系统的动能增加而越荡越高的.*4-1-5 质心系中动能和动能定理上一章曾指出在质心系中考虑问题有时比较方便.下面我们来给出质心系中的动能和动能定理.以r C 和v C 分别表示质点系的质心的位矢和速度,以i r ′和i v ′分别表示质心参考系中第i 个质点的位矢和速度,则∑∑′+==i2i 2)(2121i C i i i k m m E v v v§4-1 动能定理 65 ∑∑′+′⋅+=i 2i 22121i i i i C C m m m v v v v 式中m 为系统总质量,221C m v 代表系统随质心整体平动的动能,称为轨道动能,∑′i 221ii m v 则是质点系相对其质心参考系的动能,称为内动能,用 kE ′表示,而中间的交叉项由于质心系是零动量参考系而为零.于是, k C k E m E ′+=221v (4−14) 此式称为柯尼希(König )定理.它表明质点系的动能等于其轨道动能与内动能之和.而功为∑∫∫∑∑∫∫∑′⋅+⋅+′⋅+⋅=iC i i i C i i A i i i i r F r F r F r F d d )(d d )(内内外外式中等号右边第二项为质心参考系中外力的功的代数和,记为A 外'.第三项由于内力的矢量和为零而结果为零,第四项为质心参考系中内力的功的代数和,记为A 内',第一项由质心运动定理可得222121d d d d )(Ca Cb C C i i m m t mv v −=⋅=⋅∫∫∑r r F C v 外 代入动能定理并消去质心动能,得内外A A E k ′+′=′Δ (4−15)与(4-13)式形式上完全一样,而与质心系是否为惯性系无关.这正是质心系的特殊之处.特别地,对于由两个质点构成的质点系,可以引入相对速度表示内动能.由于相对速度与参考系无关,质点1对质点2的相对速度为u =v 1−v 2= v '1−v '2,乘以m 121111v v ′−′=m m m u 注意对质心参考系总动量为零2211=′+′v v m m 可以解得2121m m m +−=′u v ，2112m m m +=′u v 于是 2222211212121u m m E k μ=′+′=′v v ，2121m m m m +=μ66 第4章 能量守恒定律 μ 称为折合质量(reduced mass ).柯尼希定理此时为222121u m E C k μ+=v (4−16)两个物体的碰撞过程若没有外力作用,则质心速度不变,因而质心动能也不变,碰撞中改变的只是相对动能.在高能物理中,正是相对动能提供了粒子反应的能量,所以称它为资用能(a v ailable energy ).4-1-6 一对力的功在一个系统内部,两个质点之间的作用力和反作用力称为一对力.由于质点系的动能与内力的功有关,而内力是成对出现的.因此需要计算一对力的总功.设相互作用的质点m A 和m B 的位矢分别为 r A 和r B ,它们之间的相互作用力有关系f A = −f B .在某段时间内,两质点的位移分别为d r A 和d r B ,如图4−2所示,在这段时间内,这一对力所做的总功为)d()d (d d d A B B A B B B B A A dA r r f r r f r f r f −⋅=−⋅=⋅+⋅=r B - r A =r BA 为质点m B 相对于m A 的位矢,于是BA B dA r f d ⋅= (4−17)可见,两质点间的相互作用力所做的元功之和等于其中一个质点所受的(来自另一个质点的)力与该质点对另一质点的相对元位移的点积. 由(4−17)式可知,一对力做功具有如下特点:(1).由于相对位移d r AB 和力 f B 都与参考系选择无关,一对力做功的总和不因参考系不同而改变,是绝对量.这提示我们可以选取方便的参考系来计算一对力的功.比如选取其中一个物体为参考系,此时d r AB 即为另一物体的位移.利用这点容易判断,一对滑动摩擦力的功恒为负,而两个电子间的一对库仑力的功恒为正.(2).如果两质点间没有相对运动,或者它们相对运动的方向与力的方向垂直,那么这一对力所做的功的总和为零.例如,一对静摩擦力的功恒为零,而一对正压力的功恒为零.实际应用中,应注意区分一对力的功和单个力的功.对单个力上述结论可能不成立.比如电梯中的人受到电梯的支承力N ,N 做的功可以不为零,但N 与人对电梯的作用N ′一起构成一对力,它们做功之和为零.练习：证明一对滑动摩擦力的功恒为负.思考题：单个滑动摩擦力可以做正功吗？分析骑行自行车前后轮的摩擦力做功情况和能量转换情况.图4-2 一对力的功§4-2 机械能守恒定律 67§4-2 机械能守恒定律4-2-1 保守力的功与势能前面已讲过,一对力的功与参考系的选择无关.虽然一般而言功是过程量,沿不同的路径做功的量不同,然而某些一对内力的功也可能与路径无关.通常把做功仅与始、末位置有关,而与路径无关的一对力叫做保守力(conser v ati v e force).也就是说,对保守力f ,有A ＝f r fr ⋅=⋅∫∫d d ()()a l b a l b21 (4−18) 其中,l 1 和l 2 为从a 到b 的任意两条路径.显然,由于保守力做功仅由始、末状态决定,绕任一闭合路径L 系统始、末状态相同,保守力做功必然为零, f r ⋅=∫d 0L (4−19)以上两式均可作为保守力的定义,二者是等价的.事实上,由(4−18)式, ∫∫∫∫∫+⋅=⋅+⋅=⋅−⋅=211212d d d d d 0)()()()(l l bl a a l b b l a b l a r f r f r f r f r f 路径l 1 和l 2 是任意的,它们构成的闭合路径l 1 +l 2 也是任意的.由于保守力属于一对力,保守力的功与参考系及路径的选取都无关,所以我们可以选取最方便的参考系和路径来计算功.当选取其中一个质点的位置为原点时,这一对力的功就表现为一个力的功.由于这个原因,有人在保守力定义中不去刻意区分一对力和一个力.下面我们来计算几种保守力的功.(1).地球附近重力的功(如图4−3).质量为m 的物体在重力场中由h 0点移到h 点,重力所做的功为)(d )(d g 0r r 0mgh mgh h mg m dA A hh b a b a−−=−=⋅==∫∫∫r (2).弹簧的弹力的功A kx x kx kx a b x x=⋅=−=−−∫∫F r d ()d ()01212202注意,这里x 0和x 分别是弹簧初末位置的伸长量,而不是弹簧长度.(3).万有引力和电荷间的库仑力都可写成F r =−k r $2的形式(对万有引力,k=GMm ,对库仑力,k q q =−124πε),统称为平方反比力.平方反比力的功为 图4-3 重力的功()[(d d ˆd 0220r k r k r r k r k A r r ba b a −−−−=−=⋅−=⋅=∫∫∫r r r F 这里r 0和r 分别是两质点(或电荷)初末位置的距离.我们看到,这些力所做的功均可表示为某个函数的末态量与初态量之差的负值,而与路径无关,所以它们都是保守力.这个函数称为势能函数或简称为势能(potential energy ).下面我们用E p 表示终末态的势能,E p 0表示初始态的势能,于是可以一般地把保守力f 的功表示为)(d 00p p pp E E −−=⋅∫r f (4−20)对于无限小的元过程,(4−20)式可写为f r =⋅−d d E p (4−21) 可见,保守力所做的功等于系统势能的减少.这里,E p 是态函数,所以, d E p 是微分. 保守力做功在量值上等于系统势能的减少,而根据动能定理,这将使动能增加.即保守力做功是使系统的势能转化为等值的动能.如图4−4所示,滑板运动定性而直观地反映出运动过程中动能和势能转化的关系. 对(4−20)或(4−21)式应注意,势能属于相互作用的质点之间,亦即属于相互作用的系统共有.事实上,势能储存于传递物体间相互作用的场中,而不属于某个质点.势能之差即保守力的功是一个绝对量,与参考系选择无关.如果我们选某个点p 0为计算势能的参考点,即取E p 0=0,则任意一点p 的势能值E p 为∫∫⋅⋅−=p p p p E 00d =d p r f r f (4−22)可见,势能等于从p 点到势能零点p 0保守力所做的功,与p 0点位置的选择有关.习惯上,势能零点的取法是使E p 的形式最简单.表4−1是几种常见的势能表示式. 势能随物体间相对位置变化的曲线叫做势能曲线.图4−5为几种势能曲线的例子.练习：可绕固定端在竖直平面自由转动的轻杆另一端与质量m 的小球连接,试以摆角θ 为位置变量,画出势能曲线E p -θ.图4-4 滑板运动中的能量转化由势能函数可以求出相应的保守力.考虑系统内两个物体沿其连线方向的运动,在物体间保守力f 作用下彼此间的距离增大d r ,f 的方向沿连线方向,由(4−21)式得f ⋅d r = f d r =− d E p或 f E rp =−d d (4−23) 即某点保守力的大小,等于势能曲线在该点的斜率的负值,其方向沿势能减小的方向.例如,在图(4-4b)的弹簧弹性势能曲线中,x <0的区域斜率为负,弹力为正,即弹簧压缩时弹力沿x 正方向;x =0时斜率为0,弹力为0,这正是弹簧原长时的情况; x >0的情况请读者自己分析.(4-23)式对应于一维运动,在三维空间中,上式可一般地推广为 f i j k =−++(∂∂∂∂∂∂E x E y E z ppp引入梯度算符grad ≡∇,在直角坐标系中 grad ≡∇=++ij k ∂∂∂∂∂∂x y z 则有f =−=−∇grad E E p p (4−24) 按照梯度的几何意义,一个标量的梯度是一个矢量,它的方向沿该标量空间增加率最大的方向,它的数值就等于这个最大变化率.所以,保守力的方向是沿着势能减小最快的方向.例如,万有引力沿着径矢r 的反方向指向力心,该方向是其势能减小最快的方向.这样,如果已知势能函数E p ,则由(4−24)式就可求出相应的保守力.例题4-3.已知弹性势能E kx pk =22/,平方反比有心力的势能E k r pc =−/,分别求相应的弹性力和有心力.解：由(4−24)式,弹性力f k 为 f i j k i k p pppE E x E y E z kx =−∇=−−−=−∂∂∂∂∂∂对有心力,其空间变化率最大的方向即沿两物体连线方向,即$r方向,故有 (a)重力势能 (b) 弹性势能 (c)引力势能 图4-5 几种势能曲线f r r c =−=−d d $$E r k rp2由于系统内任意一对质点i 和j 之间的内力是对称的,一对保守内力的势能可以写成以下对称的形式 E r E r E r p p p ()[()()]ij ij ji =+12于是,所有保守内力的势能之和,即体系的总势能可以写为 E E r p p =≠∑12()ij i j (4−25)与保守力做功与路径无关相区别,非保守力做功与路径有关,例题4-1中摩擦力做功就是一例.显然,对非保守力,势能的概念失去了意义.进一步还可以说明,一对非保守力的功可以小于零,其作用是把机械能转化为热能,称为耗散力,比如滑动摩擦力等；也可以大于零,其作用是把其它形态的能量(如化学能)转化为机械能,如爆炸力等.迄今所知,自然界存在的四种基本相互作用都是保守力.既然宏观的力都来源四种基本相互作用,那么摩擦力的非保守性又如何解释呢？我们知道,保守力的特点是其做功回到原处之后,系统也恢复到原来的状态.摩擦力的非保守性是由于它并不直接对应于两个粒子的相互作用,而只是两个相接触物体的分子间许多对电磁相互作用的宏观表现.虽然摩擦力做功回到原处后在宏观上看不出系统状态的变化来,但在微观上相接触的分子间由于相互作用,初、末态的能量可能已发生转化,状态并没有复原,于是在宏观上就表现为一种非保守力,例如滑动摩擦力就是这样.保守力和非保守力的这种差别,并不意味着非保守力做功时能量在转换中不守恒了,而只是反映宏观能量转化中存在可逆和不可逆过程的区别.事实上不可逆过程与时间的单向性有关,我们将在以后学习热力学第二定律时再讨论.4-2-2 功能原理引入保守力概念后,系统的内力可分为保守内力和非保守内力两类.若以A 保、A 非保分别表示保守内力和非保守内力所做的功,则动能定理可写成ΔE k ＝A 外+A 保+A 非保,而保守力做功A 保=－ΔE p ,于是ΔE ＝Δ(E k +E p ) ＝A 外+A 非保 (４−26) 这里E ＝E k +E p 是系统的动能与势能之和,称为系统的机械能(mechanical energy ).式(4−26)称为质点系的功能原理,它表明,质点系所受外力和非保守内力做功的代数和等于系统总机械能的增量.我们看到,动能定理和功能原理,物理内容完全相同,后者由于将保守内力的功用势能表示,从而为讨论机械能与其它形式的能量转化带来某些方便.由于保守内力的功与参考系无关,在质心参考系中也有A 保'=−ΔE 'p ,而质心系中系统的内动能与系统内质点间的势能之和,称为内能,用E '内表示,E '内=E 'k +E 'p ,于是,功能原理在质心系表示为ΔE '内＝ A '外+A'非保 (４−27) 在形式上也与(4-26)式一样,与质心系是否是惯性系无关.例题４-4 一根长l 的匀质链条,放在摩擦系数为μ 的水平桌面上,其一端下垂,长度为a ,如图4−4所示.如果链条自静止开始向下滑动,试求链条刚刚滑离桌面时的速度. 解:取链条、地球及桌面为研究系统,则系统不受外力,系统的内力有:链条与桌面的摩擦力,属非保守力；链条与地球间的重力,为保守力；桌面的支承力和链条的压力以及链条内的张力均不做功.如图以桌子为参考系,桌面为坐标原点向下建立Ox 坐标,并取O 点为重力势能零点,则系统的重力势能的改变决定于链条相对O 点的位移,即只需考虑链条下垂部分的势能,它等于下垂部分质心的势能.于是,由功能原理 2()[(]21)2([2ag a l mm lmg A −−+−=v μ式中m 为链条总质量,A μ为摩擦力做的总功.由于选桌子为参考系，桌子和地球的动能均为零.链条下滑时的摩擦力为变力,当下垂长度为x 时,摩擦力为 f ml l x g μμ=−() 故 A f x m l l x g x mg l a a l a lμμμμ=−=−−=−−+∫∫d ()d ()222解得 )2()(22l a a l g g la l +−−−=μv 讨论:(1).v 仅与l 、a 、μ有关.由v ≥0,可知欲使链条下滑,初始下垂长度a 应满足条件: a l ≥+μμ1.(2).当μ=0即桌面光滑时,g l a l )/(2−=v ,则无论a 为多少均能下滑.练习：把链条选为系统试用动能定理重做上题.4-2-3 机械能守恒定律及其应用由功能原理式(4−26)可知,若A 外≡0,A 非保≡0,则ΔE =0,即 例题４-４图O x。
量子力学第四章-表象理论(3部分)
∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。 之间的几率。 之间的几率
在这样的表象中， 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示： 表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开： 本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中， 所以，在动量表象中， 具有确定动量p 的粒 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 函数。 p为变量的δ- 函数。 换言之， 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 函数。 个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章 态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵
苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m
量子力学第四版卷一习题答案第4章
——证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-，求平均。
） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为ηm ，即ψψηm L z=[]x L i ηΘ=-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L ηηηηη同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==η说明y x l l ˆˆ不是厄密的。
2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221η+=，lm m lm L z η=，lm m L lm z η=，利用基本对易式 L i L L η=⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-==ηη2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2ηη将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 ηΘm l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121ηm l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()()[]2222222121ηm l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴同理 ()()[]222121ηm l l L y-+=∆。
量子力学导论第4章答案参考资料
第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。
1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。
iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。
m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。
p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。
量子力学 第4章
ˆ U(t ) = e
ˆt H /ih
ˆt 1 H ν ) ≡∑ ( ! ih ν =0 ν
∞
称为演化算符
演化算符的性质
是么正变换： 是么正变换：
ˆ ˆ + (t ) = e−Ht/ih U
ˆ + (t )U(t ) = U(t )U+ (t ) = 1 ˆ ˆ ˆ U
Û 与 Ĥ 对易，Û 的时间变化率为 对易，
r 证明 ： 引入任意波函数 ψ (r ) r r ˆ [ H ( r )ψ ( r )] = H ( − r )ψ ( − r ) ˆ r ˆ r P r r r ˆ ( r )ψ ( − r ) = H ( r ) Pψ ( r ) ˆ r ˆ =H ˆ ˆ [ P， H ] = 0 所以 ˆ ˆ P又不显含时间 ， 所以 P是守恒力学量 。 ˆ ˆ 宇称守恒时 ， P与 H可以有共同的本征函数 。 也就是讲 ， ˆ 我们可以让 H的本征函数具有确定的 宇称 ， 而且它的宇称态不随时 间而改变 。 这就是宇称守恒的意义 。
(3)能量守恒 能量守恒
ˆ ˆ 当哈密顿算符 H 不含时间 ， H是守恒力学量 。
5. 宇称
r r ˆ ψ (r , t ) = ψ (− r , t ) (1)定义宇称算符 ： P ˆ Pψ ( x , y , z ) = ψ ( − x , − y , − z ) 或者 ˆ 思考题 ： Pψ ( r， θ， ϕ ) = ？ (2) 宇称算符的本征值与本 征函数 r r ˆ ψ ( r ) = λψ ( r ) P 本征值方程
r d pϕ ( p)
r ∂ r ∂ r ∂ ∂ r r ˆ r r → r = ih∇ p = i h r = i h(i ) + j +k ∂p x ∂p ∂p y ∂pz
量子力学第 4 章
Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
量子力学(第四章)
5
③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不 同一个态可以在不同的表象中表示， 波函数的形式也不同，但它们完全等价。 同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。 坐标表象：ψ ( x, t ) 坐标表象： 动量表象： Φ ( p, t ) 动量表象：
RETURN
6
§ 4.2
算符的矩阵表示
一、算符在一般表象中的表示 二、算符在自身表象中的表示 三．算符表示矩阵的性质
H mn ˆ ψ dx = E ψ *ψ dx = (n + 1 )hω δ = ∫ψ m H n n∫ m n mn 2
*
1 2 0 ( H mn ) = 0 M
0 3 2 0 M
0 0 L 0 0 L hω 5 0 L 2 M M M
∫u
* m
un dτ = δ mn
3
可知量） 任何一个态ψ （可知量）可按该基矢展开
ψ = ∑ anun
* 展开系数 an (t ) = ∫ψ un dτ 上的投影, 其中 a n 是矢量ψ 在基 un 上的投影,这一 组数 (a1, a2 ,L, an ,L)就是矢量 ψ 在Q表象中的表 示,记为一矩阵形式
† Fmn = Fnm* = Fmn
F† = F
结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。 结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。
12
[例题] 求一维谐振子的坐标 ，动量 及哈密顿 例题] 求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿 在能量表象中的矩阵表示。 量H在能量表象中的矩阵表示。 在能量表象中的矩阵表示 [解 ] 利用厄米多项式的递推关系 xmn = ∫ψ m* xψ n dx
n
a1 (t ) a 2 (t ) ψ = M a n (t ) M
周世勋《量子力学教程》学习辅导书-第4~8章【圣才出品】
5．幺正变换的两条重要性质 （1）幺正变换不改变算符的本征值； （2）幺正变换不改变矩阵 F 的迹。
三、狄拉克符号 1．狄拉克符号定义 量子力学中描写态和力学量，可以不用具体的表象，这样的描
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—
⌒
为F＝ψ ＋Fψ ，归一化条件为 ψ ＋ψ ＝I，本征值方为Fψ＝λψ 。
【注】此处的态 ψ 已经是其在 Q 表象中的矩阵形式。
【重要结论】算符在其自身表象中是一个对角矩阵，主对角线上的各矩阵元的集就是该
算符所对应的本征值。
二、幺正变换 1．幺正矩阵 S＋＝S－1
A A 【注】幺正矩阵不是厄米矩阵，厄米矩阵满足 †
2．变换矩阵
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由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变
换，如 (x) Sn n (x) 中，以 Snβ 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。
n
变换矩阵的作用：通过变换矩阵，将 A 表象的基矢 ψ n 变换为 B 表象的基矢 φ β。 【例】在量子力学中，状态随时间的变化可写为：ψ （t）＝U（t）ψ （0）。其中，U （t）＝eiHt/ħ 是幺正算符。
在 Q 表象中的矩阵形式可以写为
a1
(t
)
ψ
a2
(t
)
,
ψ
(
a* 1
(t
),
a* 2
(t
),
L
,
a* n
(t
))
M
an (t)
【注】上述表达只针对分立谱情况，当同时存在连续谱和分立谱时，任意波函数 ψ（x，
量子力学答案(第二版)苏汝铿第4章课后答案4.1-4#13
2
（4）
(E
p
p
Em )x pm 2
2m
将 p 换成 n 即为题中所要求证明的结论 ：
(E
n
n
Em )xnm 2
2
2m
ˆ ˆ ˆ iB ˆ 1 (U ˆ U ˆ ) i (U U ) A ˆ U ˆ 2 2i 4.4 设 U 为么正算符。
1
)3 e
i p r
i
p r
（2）对于
Lx 2
( Lx2 ) pp (
d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y ) 2 e d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y )( y pz z p y )e d 2 1 3 i p r ipr ) e ( y pz z p y )(i )( pz py )e d 2 p y pz Lx 2 e (i )( pz
即
ei 0
ei l m 0 n k
l m 1 0 0 i n k 0 1 e l m nei i n k le
kei me i
2
1
)3 e
i p r
i
p r
i p r 1 3 i p r py ) ) e ( y p z z p y )e d p y pz 2
( pz ( pz
2 1 3 i ( p p ) r py ) ( ) e d p y pz 2 2 py ) ( p p) p y pz
ˆ U ˆ † U ˆ U ˆ ˆ )† U ˆ (A ( ) A 2 2
量子力学习题解答-第4章
第4章三维空间中的量子力学本章主要内容概要1.球对称势场中能量本征函数的求解方法： 能量本征方程为22(),2V r E mψψψ-∇+=其中球坐标系中的拉普拉斯算符为2222222211111sin .sin sin r r r r r r θθθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()(,,)()(,)(,)u r r R r Y Y rψθφθφθφ==分离变量，能量本征方程分解为角方程和径向方程和222111sin (1).sin sin YY l l Y θθθθθφ⎧⎫∂∂∂⎛⎫+=-+⎨⎬⎪∂∂∂⎝⎭⎩⎭()222221.22l l d u V u Eu m dr m r +⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦角方程的解是球谐函数(,)ml Y θφ，径向方程在指定势函数后可由级数法等求解。
2. 空间角动量空间角动量算符ˆ(/)()i =⨯=⨯∇L r pr 2222211sin ,sin sin L θθθθθφ⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦.z L i φ∂=∂ 对易关系[, ]; [, ]; [, ]x y z y z xz x yL L i L L L i L L L i i===⇒⨯=L L L ()2,0, ,,i L L i x y z ⎡⎤==⎣⎦2L 与L 的三个直角分量都对易，球谐函数(,)m l Y θφ为2,z L L 的共同本征函数。
22ˆˆ(,)(1)(,), (,)(,)m m m m l l z l lL Y l l Y L Y m Y θφθφθφθφ=+= 以1l =的三个基矢量11111,,,Y Y Y -构成的（子）表象是常用表象，在这个表象中，,,x y z L L L 的矩阵表示是010*******L 101, L 0, L 0002201000001x y z i i i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中z L 是在自身表象中，为对角矩阵，对角元是本征值。
量子力学解答(4章)
Chap4 表象理论
4-1 设力学量算符（厄米算符）A,B满足关系A2=B2=1, AB+BA=0 (a) 求 A,B 的本征值。[提示：利用 3-19 题证明的结论] (b) 在 A 表象中，求 A，B 的矩阵表示。 (c) 在 A 表象中，求 B 的特征矢量。 (d) 写出由 A 表象到 B 表象的变换矩阵 S。 (e) 利用幺正变换公式，将矩阵 A,B 由 A 表象变换到 B 表象。 解: (a) 设 A 的本征值和本征函数分别为 a,|a>。 则本征值方程为： A|a>=a|a>,利用A2= 1，有： A2|a>=Aa|a>=a2|a>=1|a>, 即： a2= 1, a为实数，故A的本征值有两个：a1=1,a2= −1 (b) 在 A 表象中，A 的矩阵为由其本征值构成的对角矩阵：
+
⎛ a*
c* ⎞ 1 ⎛ 1 ⎟= ⎜ − iδ d* ⎟ 2⎜ ⎝e ⎠
所以
1 ⎛ 1 ⎜ − iδ S = (S ) = 2⎜ ⎝e
+ +
iδ 1 ⎞ 1 ⎛1 e ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ = iδ ⎟ − e −i δ ⎟ 2⎜ ⎠ ⎝1 − e ⎠
法 2：利用算符变换：算符 B 在 A 表象的表示已经求出，B 表象的表示为本征值构成的对 角矩阵，于是：
同理，对本征值为−1 的本征态，
⎛ 0⎞ ⎛ a b ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟， ⎟ ⎜ −iδ ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝c d ⎠ 2 ⎝− e ⎠
以S+左乘上式，利用S+S=1, ⎜ ⎜ 于是， S = ⎜ ⎜ b* ⎝
+
曾谨言量子力学习题解答 第四章
ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 是厄密算符。 2
ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 也是。 2
因此 Anm
mn
ˆB ˆ 0 ˆ 作为厄密算符 0 ˆ 的定义，并设 ( A ˆ ) 又假定用 0 ˆ ) 则本题可用较简方式来证明如下： ˆ A ( B
从原来的对易式经过总数 n-1 次运算后，得
取 A=q，B=p，注意[q，p]=hi 代入前一式后，有
(6)证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 （证明）此算符 证明动量是厄密算符，则 F( )
ni ni
在前式的最后一项中，当 I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
Pxn ( X) (
h n h n 1 h n n Px ) ( X) ( )n ( X n n n 1 ) XPxn i Px i x i x x
n n n
当 i y , z : Py ( X ) XPy ; Pz ( X ) XPz
[ p, fp 2 ] pfp 2 fp 2 ( pf fp ) p 2
h i 2 f p i
(2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式
~81~
为了求证
该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的 x 分量。
以及
看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式
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第四章：力学量用算符表示P186 15.设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.1证 (A n 是实数)是厄密算符证明：此算符不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：τϕ∑τψτϕτψd P A d P F n n ˆ)ˆ(⋅≡⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰*⎰⎰⎰⋅∑=*ττϕψd P A n nn ˆ⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P A n n )ˆ(ˆ1 ⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P A n n )ˆ()ˆ(1⎰⎰⎰-*⋅∑=τϕψd P P P A n n )ˆ(ˆ)(2 τϕψd PP P P A n n )ˆ(ˆ)ˆˆ(3-*⋅∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(32τϕψd P P P A n n )ˆ(ˆ)ˆ(42-∙∑= ⎰⎰⎰-∙∑=τϕψd P P PA n n )ˆ(ˆ)ˆ(42 ⎰⎰⎰∙=ττϕψd PF ])ˆ([ )ˆ(PF 满足厄密算符的定义。
4.2证明2ˆn m m n nm n m p x x pA +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明pˆ,x ˆ都是厄密算符，即： τϕψτϕψd p d p ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅**)ˆ(ˆ τϕψτϕψd x d x⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅**)(ˆ又按题意得证算符是一维的dx x p p dx x pm n m n ⎰⎰-**⋅=⋅)ˆˆ(ˆˆˆ1ϕψϕψdx x p p m n )ˆˆ()ˆ(1ϕψ-*⋅=⎰ dx x p x dx x pm n m n ϕψϕψ1ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆ(-∙=∙=⎰⎰ dx p xn m ϕψ⋅=*⎰)ˆˆ( 这证明m m x pˆˆ不是厄密算符，但满足 dx p x dx x p n m m n ⎰⎰⋅=⋅**ϕψϕψ)ˆˆ()ˆˆ( 同理可证明dx x p dx p xm n n m ⎰⎰⋅=⋅**ϕψϕψ)ˆˆ()ˆˆ( 将前二式相加除2，得dx x p p xdx p x x p m n n m n m m n ⎰⎰∙+=+∙ϕψϕψ)2ˆˆˆˆ(2ˆˆˆˆ 因此2ˆˆˆˆn m m n p x x p +是厄密算符，因此∑-+nm n m m n nm p x x pA 2ˆˆˆˆ也是。
又假定用0ˆ0ˆ=+作为厄密算符0ˆ的定义，并设=∙+)ˆˆ( B A )ˆˆ(++∙A B 则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p pˆˆ *=x x ˆˆ 所以有 n n p p)ˆ(ˆ*= mm x x )ˆ(ˆ*= n m n m m n m n p x p x x p x pˆˆ)ˆ()ˆ()}ˆ()ˆ{()ˆˆ(==∙=**** 同理有m n m n n m n m x p x p p x p xˆˆ)ˆ()ˆ()}ˆ()ˆ{()ˆˆ(==∙=**** 相加除2，得：这证明右方一式是厄密算符。
4.3 设[])(,,q f i p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[].2)(,2pf i q f p q =（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q[]qf p f qp fq p f qpf p q 22222,-=-=f i qp p qppf f pq p qppf )()( --=-=ipf pf i pq qp 2)(=+-=（2）)(])(,[pf fq i p q pf q += （证明）同前一论题)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-=)()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=（3）fp i p q f q 2])(,[2= [证明]同前一题论据：fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2ifp fpqp fqpp i qp fp fqpp +-=--=)( ifp ifp p pq qp f 2)(=+-=（4）')](,[22f p iq f p p =[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 ')](,[f i q f p =dqdf f ≡)'( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-='],[22f p if p p == ~91~（5）p pf ip q pf p '])(,[=（证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=p pf i'=（6）22'])(,[p f ip q f p=（证明）论据同（4）： 22222')(],[p f ip fp pf fp pfp fp p=-=-=4.4 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。
证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k 时该式成立 现在计算有:利用前述的假设但又按题目假设用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。
但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意][][A B B A ，，-=将第一式对易式中两算符对易得再将文字A ，B 对易得4.5 证明（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A ，B 与[A ，B]对易一点不能使用，即从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得取A=q ，B=p ，注意[q ，p]=ih 代入前一式后，有4.6设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m m p ni p x x mi x p 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m x x p x i m xxp xi x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
[]F ,xi F p ∂∂-=∴ 又 [][]()∑∑∑∞=-∞=∞===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m n m mnn m n m mn n m n m mn p ni x Cp x x C p x C x F x而 ()∑∞=-=∂∂0,1n m n m mn p ni x C p Fi[]F , pi F x ∂∂=∴4.6设F(x ，p)是x k ，p k 的整函数，证明：kk x Fi F p ∂∂=],[ ⑴ kk p Fi p F ∂∂=],[ ⑵ 整函数是指n i m k mnkimn ki p x Cp x F ∑∑=123],[，mnkiC 是数值系数 [证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：}{],[333323321331322322221221311321121111n m mn n m mn n m mn n m mn mnnm mn n m mn n m mn n m mn n m mn p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x F ++++++++=∑先证第一式∑∑∑-+-=-==kimn z n i n i z mk n i z m k m k z mn ki ki mn z ni m k n i m k z mn ki kimnni m k mn ki x x p p p p x p p x x p C p p x p x p Cp x C p p x F p )}](){(}]{],[]],[,[∑+=kimnn i z mk n i m k z mn ki p p x p x p C]},[],{[ ⑴最后一式曲括号内第一项为k z ≠时为0，因为座标不同，k z =时mz zmz z x x i x p ∂∂=],[ 第二对易式],[n i z p p 任何情形是零，因而⑴改写成：kz n l mk k klmnmn kl p x x i c p x F p δ⋅⋅∂∂=∑)()],(,[zn l m k mn kl zp x cx i ∑∂∂=),(p x F x i z∂∂=(2) 第二式证明与前半题类似],[)],(,[∑=klmnnl m k mn kl z z p x c x p x F x}{z nl m k n l z m k n l l m k n l m k z mn kl x p x p x x p x x p x x c -+-=∑]},[],{[n l z m k n l m k z mn kl p x x p x x c +=∑ （3）最后一式曲括号内0],[=m k z x xlz n l ln l z p p ip x δ)(],[∂∂= 这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成lz n l klmnl mk mn kl z p p i x c p x F x δ)()],(,[∑∂∂=∑∂∂=n l m k mn kl zp x cp i),(p x F p il∂∂= 这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为p x ,是一对正则共轭量的缘故。