第6课 相似三角形的性质(学生版)
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的一个深化和拓展。
本节内容主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握相似三角形的性质，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了相似三角形的概念和性质，对相似三角形的知识有一定的了解。
但学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生更好地理解和运用相似三角形的性质。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
2.培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.提高学生的数学兴趣，使学生能够自主学习，提高学习效果。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而激发学生的学习兴趣。
通过案例教学，让学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示相似三角形的性质，让学生直观地理解和掌握。
同时，教师结合性质给出相应的例题，让学生进一步理解和运用。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
教师在过程中给予个别学生指导，确保学生能够正确地运用相似三角形的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享自己的解题心得，互相学习和交流。
相似三角形的性质(学生)
义务教育 九年级 数学（华师版） 课型 新授 主备人 王立辉 组长 年级主任 使用时间 2013 年 10 月 23日24.3.4 相似三角形的性质小组 姓名 评价 学习目标：1．经历相似三角形的性质的探索过程，理解并掌握相似三角形的性质。
2. 会运用相似三角形的性质进行有关的计算和证明。
3.高效自学，合作探究，探索相似三角形性质的解题方法和规律。
重点：掌握相似三角形的性质。
难点：会运用相似三角形的性质进行有关的计算和证明。
预习课1、旧知链接：相似三角形的定义及相似图形的有关知识。
2、新知预习 : （1）阅读教材59--61页的内容并勾画。
（2）做课后练习及探究课。
（3）将预习中不能解决的问题用红笔标出来，便于讨论。
探究课探究点一：相似三角形的性质一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么这些对应的线段的比有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高的比之间的关系。
请画出上述的两个三角形△ABC ∽△A ′B ′C ′，作对应边AB 和A ′B ′边上的高，用刻度尺量一量CD 与C ′D ′的长，CDC ′D ′等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论： 。
同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比 ；相似三角形对应角平分线的比 ；相似三角形周长的比 。
探究点二 相似三角形的面积比观察下图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )， (3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( ) (3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比( )。
可以得出结论：相似三角形的面积比等于 .探究点三：相似三角形的性质的应用 例1、如图，在△ABC 中EF ∥BC 且EF=1.5，BC=2 cm ，△AEF 的周长为10 cm ，求梯形BCFE 的周长.学法指导：由平行可知两个三角形相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比即可求解.阳光高效课堂导学稿AB C D E 例2、已知，如图， 在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=3，求S △ADE ：S △ABC 的值例3：如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ∶EC=3∶1，S △FBE =18,求S △FDA .跟踪训练：1、两个相似三角形的面积之比为2：3，则它们对应角平分线的比为 ，对应边的高的比为 。
(完整版)《相似三角形的性质》教案
《相似三角形的性质》教案课标要求了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．教学目标知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力．情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识．教学重点相似三角形性质定理的理解与运用．教学难点探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．教学流程一、情境引入三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等．问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系．二、探究归纳回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？相似三角形的对应角相等，对应边成比例．问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少．图1图2问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠B ＝∠B ′∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比．思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．21212ABCA B C BC AD S BC AD k k k S B C A DB C A D ∆'''∆⋅==⋅=⋅=''''''''⋅ 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方．三、应用提高例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边BC 上的高是6，面积为125，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．解：在△ABC 和△DEF 中，∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，1.2DE DF AB AC ∴== ∵∠A ＝∠D ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为1.2∵△ABC 的边 BC 上的高是6，面积为125，∴△DEF 的边 EF 上的高为163,2⨯= 面积为211253 5.2⨯=（）应用：1．判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ）（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．（ ）2．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，AD 、BE 是的△ABC 高，A ′D ′、B ′E ′是的△A ′B ′C ′高，求证.AD BE A D B E =''''3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原来的2cm 变成了6cm ，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？四、体验收获说一说你的收获．相似三角形的性质：1．对应角相等，对应边成比例（对应边的比等于相似比）2．对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比3．对应周长比等于相似比4．对应面积比等于相似比的平方五、拓展提升1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们的面积之差是60cm2那么它们的面积之和是多少？2．如图，这是比例尺为1:1000的一块三角形草坪的图形，则草坪的实际面积是多少？3cm2cm3．如图，△ABC 的面积为100，周长为80，AB＝20，点D 是AB 上一点，BD＝12，过点D 作DE∥BC，交AC于点E．（1）求△ADE 的周长和面积；（2）过点E 作EF∥AB，EF 交BC 于点F，求△EFC 和四边形DBFE 的面积．六、课内检测1．用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1cm变成5cm，那么看到的图案面积是原来的（）A．5倍B．15倍C．25倍D．30倍2．两个等腰直角三角形的斜边比为1:2，则它们的周长比为（）A．1:1 B．1:2 C．1:4 D．23．两个相似三角形最长边分别是20cm和16cm，它们的周长之和为90cm，则较大三角形的周长为（）A．40cm B．50 cm C．60 cm D．70 cm4．两个相似三角的对应高分别为6cm和4cm，则这两个三角形的周长比为_____，面积比为_____．5．已知两个相似三角形面积之比为9:25，其中一个周长为36，则另一个的周长为_______．七、布置作业必做题：教材42页习题27.2第6题．选做题：教材43页习题27.2第12题．附：板书设计教学反思：。
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
3.引导学生回顾已学的全等三角形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
4.揭示本节课的主题——相似三角形的性质及其应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将系统地讲授相似三角形的性质和判定方法：
-以小组为单位，共同完成一道具有挑战性的相似三角形综合应用题，要求小组成员分工合作，共同讨论解题策略。
-每个小组将解题过程和答案进行整理，并在下一节课上进行汇报，分享学习成果。
4.思考与反思：
-结合本节课的学习，反思自己在解决相似三角形问题时遇到的困难和挑战，分析原因，并总结经验教训。
-撰写一篇学习心得，谈谈自己对相似三角形性质及其应用的认识和理解。
4.学会运用相似三角形的性质解决与实际生活相关的问题，如测量物体的高度、求解线段长度等。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现相似三角形的性质及其应用。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力，提高学生的几何思维能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，发现几何图形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
5.预习与拓展：
-预习下一节课要学习的相似多边形的性质及其应用，为新课的学习做好准备。
-探索相似三角形与其他数学分支（如代数、平面几何等）的联系，拓展知识面。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生解决几何问题的策略和方法。
4.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的情感态度，提升学生的数学素养。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引起学生对相似三角形性质的兴趣。
第24章 专题06 相似三角形的性质重难点专练(学生版)
专题06 相似三角形的性质重难点专练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB ．CD ．第II 卷（非选择题）二、解答题2．（2021·上海中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；①若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．3．（2021·上海金山区·九年级二模）已知在①ABC 中，AB ＝AC＝①BAC ＝120°，①ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），①DAE ＝30°．（1）求证：①ABF ①①DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FEC S S．①联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．4．（2021·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，AB ＝DC ，点E 在下底BC 上，①AED ＝①B ．（1）求证：CE •AD ＝DE 2； （2）求证：22CE ABADAE =．5．（2021·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ①AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．6．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知在①ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分①ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG ①DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADE ABCS S ∆∆的值．7．（2021·上海九年级专题练习）（1）问题发现如图1，①ABC与①ADE都是等腰直角三角形，且①BAC＝①DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在①ABC和①ADE中，①ABC＝①ADE＝α，①ACB＝①AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD 和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．8．（2021·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．求证：FG AE =；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，23BC AB =将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若34BE BF =，GF =，求CP 的长． 9．（2021·上海九年级专题练习）如图，P 是正方形ABCD 边BC 上一个动点，线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点F ，连接CF ．（1）如图（1），①BAP ＝20°，直接写出①AFE 的大小；（2）如图（2），求证：BE CF ；（3）如图（3），连接CE ，G 是CE 的中点，AB ＝1，若点P 从点B 运动到点C ，直接写出点G 的运动路径长．10．（2021·上海宝山区·九年级期中）如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交边BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 在AE 上，联结,GD GDF F ∠=∠（1）求证：2AD DG AF =⋅；（2）连结BG ，如果BG AE ⊥，且6,9AB AD ==，求AF 的长．11．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠． （1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．12．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠． （1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．13．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝4，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ①AC ，点E 是射线AM 上一点，联结OE 交AB 边于点F ．以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH ．（1）求证：①HDO ①①EAO ；（2）设BF ＝x ，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AG ，当①AEG 是等腰三角形时，求BF 的长．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ．（1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =；16．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．17．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为10的正方形ABCD 中，内接有六个大小相同的正方形，点P ，Q ，M ，N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．18．（2021·上海）如图1，在Rt ABC 中，90,,C AC BC D ︒∠==是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点（与点A C 、不重合），,DF DE DF ⊥与射线BC 相交于点F ． （1）如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE DF =；（2）如果:AD DB k =，求:DE DF 的值；（3）如果6,:1:2AC BC AD DB ===，设,AE x BF y ==，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；19．（2021·上海）如图，在Rt①ABC 中，①C=90°，AC=BC=6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且①FDE=90°．（1）当DF//AB 时（图1），联结EF ，求DE ：DF 值；（2）当点F 在线段BC 上时（图2），设AE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CE ，若①CDE 为等腰三角形，求BF 的长．20．（2021·上海）如图．已知在ABC ∆中.90,5,3ACB AB BC ︒∠===，点D 是边AB 上任意一点．连接DC ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为点C ，连接DE ，使得EDC A ∠=∠，连接BE（1）求证：.AC BE BC AD ⋅=⋅（2）设AD x =，四边形BDCE 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式及x 的取值范围 （3）当14BDE ABC S S ∆∆=，求CD 的值． 21．（2020·上海上外附中九年级月考）已知直角三角形斜边上的高为12，且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是__________22．（2021·上海九年级专题练习）如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA//BC ，D 是BC 上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，①OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持①DEF=45°（1）直接写出D 点的坐标；（2）设OE x =，AF y =，试确定y 与x 之间的函数关系；（3）当AEF ∆是等腰三角形时，将AEF ∆沿EF 折叠，得到A EF '∆，求A EF '∆与五边形OEFBC 重叠部分的面积23．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴的负半轴上，且CB x ⊥轴，点A 的坐标为()0,6，在OB 边上有一点P ，满足AP =（l ）求P 点的坐标；（2）如果AOP 与APC △相似，且90PAC ∠=︒，求点C 的坐标．24．（2020·上海浦东新区·九年级月考）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠=，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠=交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF =⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．25．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC 中，①B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将①EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）①当α＝0°时，AE BD = ； ①当α＝180°时，AE BD= ； （2）试判断：当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． （3）当①EDC 旋转至A 、B 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．26．（2020·上海市青浦区第一中学）在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD 平行于BC ，3AB =，2AD =，点P 在线段AB 上，联结PD ，过点D 作PD DC ⊥，与BC 交于点C ，设AP 的长为x ．（1）当AP AD =时，求线段PC 的长；（2）设PDC ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当APD ∆与DPC ∆相似时，求线段BC 的长．27．（2021·上海九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，①DAB =90°，AB =8，CD =5，BC（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求①DBC 的正切值．28．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，点E 为□ABCD 对角线AC 上的一点，点F 在线段BE 的延长线上，且EF=BE ，线段EF 与边CD 相交于点G ．（1）求证：DF //AC ；（2）如果AB=BE ，DG=CG ，联结DE 、CF ，求证：四边形DECF 是矩形．三、填空题29．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ①ABC 中，AC ＝BC ＝3，D 为AB 中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE ，过点C 作CF ①AE ，垂足为F ，连接DF ，则DF 的长为_____．30．（2021·上海九年级专题练习）如图，等边①ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， （1）若①ADQ ①①BPC ，则AQ ＝_____；（2）四边形PCDQ 面积的最大值为_____．31．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，点F 在DA 有延长线上，连接BF 交CE 延长线于点M ，tan 2DCA ∠=，:25:38BM MF =，若5EM =，则AF 的长为_____________．32．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．33．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF①CA=a①b ，那么BE①AE 的值为______．（用含a 、b 的式子表示）34．（2021·上海）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为____．35．（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC ∆中，①C =90°，AC =2，BC =4， ，点,D E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE ∆绕着点B 旋转，点,D E 旋转后的对应点分别为点,D E ''，当直线,D E ''经过点A 时，线段CD '的长为 ____________36．（2021·上海九年级专题练习）如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，AB ＝4，CD ＝6，BD ＝14，P 是BD 上一点，联结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是_____．37．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形纸片ABCD 的边长为4，E 是边CD 的中点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，则GE 的长为_____．38．（2021·上海）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．39．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若10AB =，4CF =，则线段EP 的长是__________．40．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，G 是ABC ∆的重心，延长BG 交AC 于点D ，延长CG 交AB 于点,,E P Q 分别是BCE ∆和BCD ∆的重心，则PQ BC=____________41．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________42．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，已知在ABC ∆中，60,CAB P ︒∠=为ABC ∆内一点且120,3,2APB APC AP BP ︒∠=∠===，则CP = ____________43．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，连接EF ，EF 交AC 于G ，则AG AC=___________． 44．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．45．（2021·上海）如图，在矩形ABCD 中， AB =3，BC =4，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD 的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF 的长度为____．46．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt①ABC 中，①BAC=90°，CE 平分①ACB ，点 D 在 CE 的延长线上，连接 BD ，过B 作BF①BC 交 CD 于点 F ，连接 AF ，若CF=2BD ，DE ：CE=5：8 ， BF =AF 的长为_________．47．（2021·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将①BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM①CD，BC＝4．则AF＝_____48．（2021·上海）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．49．（2021·上海九年级专题练习）定义：如果三角形的两个内角①α与①β满足①α=2①β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．50．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE①AC，BD＝，把①BDE绕着点B旋转得到①BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．。
九年级数学上册《相似三角形的性质》教案、教学设计
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。给出以下讨论题目：
1.请列举出相似三角形的性质，并尝试用简洁的语言解释每个性质。
2.请举例说明相似三角形在实际问题中的应用。
3.你认为相似三角形的性质与全等三角形的性质有哪些联系和区别？
要求学生在小组内进行充分讨论，分享各自的观点和想法。在此过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进度，适时给予提示和引导。
2.培养学生运用几何图形描述和分析问题的能力，提高他们的逻辑思维和推理能力。
3.引导学生将相似三角形的性质应用于实际生活，培养他们的应用意识和创新能力。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和证明，尤其是其中的比例关系和角度关系。
2.学生在解决实际问题时，如何将相似三角形的性质灵活运用。
3.培养学生合作交流能力，提高他们在团队中的参与度和贡献度。
2.相似三角形的性质：详细讲解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，并结合实际例子进行解释。
3.相似三角形的判定方法：介绍判定相似三角形的方法，如AA、SSS、SAS等，并通过典型例题进行讲解。
4.相似三角形的应用：展示相似三角形在实际问题中的应用，如测量、设计等，让学生体会几何知识在实际生活中的价值。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会从以下几个方面进行：
1.知识点回顾：引导学生回顾本节课所学的相似三角形的定义、性质、判定方法及应用。
2.学习方法总结：让学生总结自己在学习相似三角形过程中的心得体会，分享有效的学习方法。
3.情感态度与价值观：强调几何知识在实际生活中的重要性，激发学生学习几何的兴趣和热情。
1.学生对相似三角形定义的理解程度，以及对相似性质的认识和运用能力。
6.5 相似三角形的性质-苏科版数学九年级下册精品讲义
第6章 图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。
（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（ ）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（ ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》说课稿2
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》是本册教材中的一个重要内容，它是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是相似三角形的性质，包括相似三角形的定义、性质定理及其应用。
这部分内容在高考中占有重要地位，对于学生来说，理解和掌握相似三角形的性质对于解决实际问题和提高数学素养具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中，对于一些抽象的概念和定理的理解还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生通过观察、思考、探究，自主地得出相似三角形的性质，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握相似三角形的定义及其性质，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的定义及其性质。
2.教学难点：相似三角形的性质定理的证明和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引导学生思考：如果两个三角形的形状完全相同，那么它们之间的关系是什么？2.自主探究：让学生分组进行自主探究，观察和分析相似三角形的性质，引导学生发现相似三角形的性质定理。
3.性质定理的证明：引导学生通过逻辑推理和几何画图，证明相似三角形的性质定理。
4.性质定理的应用：通过实例分析，让学生学会运用相似三角形的性质定理解决实际问题。
相似三角形的性质说课
相似三角形的性质说课今天我将为大家讲解一个关于相似三角形性质的话题，这个话题将涉及一些基本的数学概念和应用。
我希望通过这个话题的讨论，大家能够更好地理解相似三角形的性质及其在日常生活中的应用。
一、相似三角形的基本概念首先，我们需要了解什么是相似三角形。
简单来说，相似三角形是两个或更多个形状相同但大小不同的三角形。
这些三角形的对应边成比例，对应角相等。
例如，如果我们有一个边长为3、4、5的三角形，那么我们可以通过放大或缩小这个三角形的尺寸，得到一个与原三角形相似的三角形，比如边长为6、8、10的三角形。
二、相似三角形的性质1、对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度比是相等的。
这意味着，如果我们知道了一个三角形的某些边的长度，我们可以通过这个比例来找出其他边的长度。
2、对应角相等：在相似三角形中，对应角的角度是相等的。
这意味着，我们可以通过测量一个三角形的角度来确定另一个三角形中对应角的角度。
3、面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
这意味着，如果我们知道了两个相似三角形的面积比，我们可以通过这个比例来找出它们的边长比。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在日常生活中有很多应用。
例如，我们可以利用相似三角形的性质来测量不可直接测量的距离或高度。
比如，我们可以通过测量一个物体在太阳下的影子长度和该物体的高度来估算太阳的高度。
我们也可以利用相似三角形的性质来计算面积或体积。
例如，我们可以使用一个已知面积的矩形的面积作为一个参考，来估算一个相似矩形的面积。
四、教学建议对于如何教授相似三角形的性质，我有以下几点建议：1、首先，要确保学生了解基本的数学概念，如比例和角度。
这是理解相似三角形性质的基础。
2、其次，通过实例和练习题来帮助学生理解和应用相似三角形的性质。
例如，可以让学生找出一些相似三角形并测量它们的边长和角度。
3、最后，鼓励学生将相似三角形的性质应用到日常生活和其他学科中。
这有助于提高他们的学习兴趣和理解程度。
(详细版)相似三角形的性质和应用
(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。
2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。
这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。
- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。
通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。
- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。
3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。
为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。
测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。
根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。
通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。
以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。
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相似三角形的性质教案(完美版)
在线分享文档地提升自我By ：麦群超相似三角形的性质一、教学目标 知识与技能2. 能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算．过程与方法对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度 情感态度与价值观在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用 二、重、难点重点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用难点：相似三角形性质定理的探索、理解及应用 三、教学过程（一）、课前导学：学生自学课本内容，并完成下列问题 １.相似三角形的对应角______ ，对应边 . 2.相似三角形的判定方法有那些？ 三边对应 的两个三角形相似.两边 且夹角 的两个三角形相似.对应 的两个三角形相似. 直角三角形相似的判定定理:两边和它们的夹角对应 的两个三角形相似.3.回顾交流：读图，思考回答如下问题（1）三角形中有哪几条主要线段？（2）全等三角形具有哪些性质？（3）全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等吗？请说明。
2．（1）如果△ABC ∽△A'B'C'的相似比为2，那么△ABC 与'''C B A △的周长比是多少？ 面积比呢？1. 掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长，面积的比存在的等量关系，掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系在线分享文档让每个人平等地提升自我：麦群超(2）如果△ABC ∽△A'B'C'的相似比为k ，那么△ABC 与的周长比是多少？ 面积比呢？【结论】相似三角形的周长比等于 ．相似三角形的面积比等于 ． (二)、合作、交流、展示例1、已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，AD 与A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高, 求证：【结论】：相似三角形对应高的比等于 。
【思考】：如果两个三角形是直角三角形，钝角三角形时结果还成立吗？试试看！2、证明：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比【结论】：相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于 。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
相似三角形的性质(有答案)
27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 k ，它们的面积比是多少？证明 画出它们的高，由前面的结论，我们有k C B BC =''，k D A AD=''，22121k k k D A AD C B BC D A C B AD BC S S C B A ABC=⋅=''⋅''=''⋅''⋅='''△△【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍；相似比 2k ……周长比13……面积比10000……(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差 为60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm 2，且53==AB AD AC AE ，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP ＝2，则DQ的值为( )1A．2 B．4 C．1 D.23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似 解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k B A ABD A AD =''=''. 【典例精析】解：∵ △ABC ∽△DEF ，∴EFBCEH BG =(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴468.4=EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考 解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k ，那么k AC CAC B BC B A AB =''=''=''，因此AB ＝k A'B'，BC ＝kB'C'，CA ＝kC'A'，从而k A C C B B A A C k C B k B A k A C C B B A CA BC AB =''+''+''''+''+''=''+''+''++. 探究点2：相似三角形面积的比 【针对训练】1.2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm ，40cm (2) 50cm 2,8cm 2解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE ，AC=2DF ，∴21==AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A ，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为21. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，∴△DEF 的边 EF 上的高为21×6 = 3， 面积为53512212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛.【针对训练】14解：∵ ∠BAC = ∠DAE ，且53==AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm 2，∴ △ADE 的面积为 36 cm 2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm 2).【针对训练】解：∵ DE ∥BC ，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ，∴21==AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为21=AC CE ， ∴面积比为 1 : 4.设 S △ABC = 4，则 S △ADE = 1，S △EFC = 1， S 四边形BFED = S △ABC －S △ADE －S △EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形BFED : S △ABC = 2 : 4 =21. 当堂检测1. (1) √ (2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 345. 解：∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ △ADE ∽△ABC ，∠ADE =∠EFC ，∠A =∠CEF ， ∴△ADE ∽△EFC.又∵S △ADE : S △EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S △ADE : S △ABC = 4 : 25，∴ S △ABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，则22121==⋅⋅=EC AE DF EC DF AE S S DCEADE △△， ∴32=AC AE . 又∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴943222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE S S ABC ADE △△，即 S △ADE : S △ABC ＝4 : 9.。
相似三角形的性质和应用(学生版)
针对练习：如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //知识概括、方法总结与易错点分析相似三角形的判断、性质和平行线的判定。
考点三：求相似三角形的周长典型例题例：两相似三角形的对应边的比为4：5，周长和为360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？针对练习：如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；ABCD E FG知识概括、方法总结与易错点分析 相似三角形的周长比等于相似比 考点四：计算多边形的面积典型例题1．如图，已知：在ABC ∆与CAD ∆中，BC DA //，CD 交AB 于E ，且2:1:=EB AE ，BC EF //交AC 于F ，1=∆ADE S 。
求BCE S ∆和AEF S ∆针对练习．如图，已知，在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若COD ∆的面积为2a ，AOB ∆的面积为2b ，其中0>a ，0>b .求：梯形ABCD 的面积S典型例题2．已知等腰直角三角形的面积为2cm 36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：针对练习1：如图所示直角ABC ∆中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：①一边在斜边上；②一边在直角边上。
试比较这两种情况中正方形的大小。
针对练习2：AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF知识概括、方法总结与易错点分析⑴在相似形中，面积比等于相似比的平方；⑵同底（或等底）三角形面积之比等于对应高的比； ⑶同高（或等高）三角形面积之比等于对应底的比。
九年级数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
6.课后布置综合性、实践性作业，让学生将所学知识应用于实际情境，提高学生的几何建模和解决问题的能力。
-例如，让学生设计一幅利用相似三角形原理的图案，或解决生活中的实际问题。
7.开展课后辅导和个性化教学，关注学生的个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）学生通过观察、分析，总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（3）教师引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
（4）教师讲解相似三角形判定方法，如AA、SAS、SSS等，并结合实例进行分析。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用问题。
2.教学活动设计：
-对于学习困难的学生，教师可以提供针对性的辅导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示实际生活中含有相似三角形元素的图片，如建筑物的立面图、艺术作品等，引发学生对相似三角形的关注。
教师引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中有什么共同特征？它们在几何学中有什么特别之处？”
（1）学生分享本节课的收获，教师点评并补充。
（2）教师强调相似三角形在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
（3）教师布置课后作业，巩固所学知识。
（4）教师鼓励学生继续探索相似三角形的相关知识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，以及培养学生的几何思维和问题解决能力，特布置以下作业：
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和应用，尤其是相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论的理解。
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永昌三中人教版九年级数学（下）第二十七章学案 主备人：苏建礼 审核人：九年级数学备课组 班级： 姓名： 时间：2013/3/8
第6课 相似三角形的性质
一、前置预习：
1.两个三角形相似，对应角 ，对应边 .
2.两个相似图形的相似比就是 的比.
3.如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 分析：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，即
k A C CA
C B BC B A AB ==='
'''''，因此，AB=_______ __，BC=_________，CA= ___________. '
'''''C A C B B A AC
BC AB ++++=__________________________________=__________________.
由此我们得到：相似三角形周长的比等于______________. 二、合作探究：阅读课本37页，完成下列探究
1.如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线之间有什么关系？写出推导过程.
2.如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导过程.
3.如果两个三角形相似，它们的对应边上的对应角的平分线之间有什么关系？写出推导过程.
4.如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？写出推导过程.
总结归纳：相似三角形的性质
性质1 两个三角形相似，对应角 ，对应边 .
性质2 相似三角形周长的比等于 ，对应线段（高线，中线，角平分线）的比都等于 .
性质3 相似三角形面积的比等于 ．
思考：两个相似多边形的周长和面积分别又有什么关系？（可类比两个相似三角形的关系推导.） 相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于 ．
相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于 ． 三、巩固练习：
1.若两个相似三角形对应边的比为3∶5，则它们的相似比为 ，周长比为 ，面积比为 ．
2.如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为__ ___，周长比为___ ___．
3.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于____ __，面积比等于____ ___．
4.在△ABC 中，∠BAC=90o
，AD ⊥BC 于D ，BD=3，AD=9，则CD=____ _，AB 2
：AC 2
=______ __.
5.直角三角形的两条直角边分别为6、8，则它的斜边上的高与斜边之比为___ ____ .
6.等腰△ABC 和等腰△DEF 相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高
线的比为____ ___.
7.如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EH ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、 △GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，则△ABC 的面积为________
8.如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？ 如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．
四、作业布置：
已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，
（1）若32EC AE =，① 求
AC
AE
的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积； （2）若S S ABC =∆，3
2EC
AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□ BFED 的面积.
F
E D
C B
A F
E
D
C B
A
F
E
D
C B
A
E
D
C
B
A。