向量减法及其几何意义教案
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
向量的减法运算(教学设计)
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7． 学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。
向量减法运算及其几何意义(教学设计)
向量减法运算及其几何意义（教学设计）
孟 强
【教学目标】
一、知识与技能：
1、掌握向量减法的概念，能准确作出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。
2、向量的加法与减法互为逆运算。
二、过程与方法：
1、经历向量减法的三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；
2、体会数形结合的数学思维方法。
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题。
【教学重点】
向量减法定义的理解。
【教学难点】
向量减法的意义。
【教学过程】
一、复习回顾
1、向量加法法则（1）三角形法则；（2）平行四边形法则
2
在四边形ABCD 中，=++___
二、师生互动，新课讲解：
1、用“相反向量”定义向量的减法
（1）“相反向量”的定义：与长度相同、方向相反的向量。
记作-
（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量-=
（3）向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差
（4）探究：
1）如果从向量的终点指向向量的终点作向量，那么所得的向量是-
2）若//，如何作出-？
【例题选讲】
例1（课本P86例3）已知向量、、、。
求作向量-、-
例2（课本P86例4）平行四边形ABCD中，用a、b表示AC、DB
【课堂小结，巩固反思】
1、理解互为反向量。
2、向量减法的三角形法则和平行四边形法则
3、向量减法的几何意义。
向量减法运算及其几何意义教学设计.doc
向量减法运算及其几何意义教学设计教学课题简介学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4）一、教学目标1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法则及其几何意义求两向量的差.2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点，体会向量减法的几何意义.3、情感态度与价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想.二、教学重点和难点1．重点：向量减法法则及其几何意义．2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用．三、教学方法：互动探究式授课通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法．四、教学使用工具多媒体教学五、课堂教学过程设计（一）内容引入类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学习的主要内容．（二）、师生交流温故知新1 回顾、类比、得新知——相反向量问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以说，减去一个向量，等于加上什么呢？其实，数有相反数，在向量中，与相反数对应，有“相反向量”这个概念．相反向量：我们规定，与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a.容易知道，将某一方向反转两次，仍然回到原来的方向，故a 与-a 互为相反向量，即-（-a ）=a.（小思考：如果用大写字母表示的有向线段表示向量，如AB ，不画图，你能否直接写出它的一个相反向量？）与数量类似，我们对相反向量有以下结论：（1）我们规定：零向量的相反向量仍是零向量．（2）任一向量与其相反向量的和是零向量．即a +(-a )=(-a )+a =0（3）若a 、b 互为相反向量，则a =-b ,b =-a ,a +b =02 重点讲解 向量减法有了相反向量这一概念，我们很容易类比得到向量减法法则：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即a -b =a +(-b )．(小思考：+=-AB CD AB ?)由此，我们将向量减法转化为我们已经学习过的向量加法，那么，你能否结合相反向量和向量加法作图法则画出任意给定的两个向量a 、b 的差a -b?BA OA BO BO OA =(-b)+a =b -a =+=+由此，我们可以观察得到a -b 的作图方法：已知向量a 、b ,在平面内任取一点O ，作OA=a ,OB=b ,则BA=a -b.要点：1.两向量的起点在同一位置；2.差的指向是从被减向量的终点指向减向量的终点．向量减法作图方法： 给定两个向量a 、b ，试作图求出a -b . 分析：由运算法则可知：a -b =a +(-b ) a o A -b B a a +(-b ) b bB a o A a -b3 例题讲解 巩固知识例1 如图， ABCD 中，AB=a ,AD=b ，你能用a 、b 表示向量AB,CD 吗？解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a +b ;同样，由向量的减法知 DB=AB-AD=a -b思考：联系向量的书写方法，不经过画图，你能否直接写出下列算式的结果？书本87页，练习2：AB-AD=_ BA-BC=_ BC-BA=_ OD-OA=_ OA-OB=_例2解：(1) (AB+MB)+(-OB-OM) =AB+MB+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AB(2) AB-AD-DC=DB-DC=CB(3) (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+CD+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0四、课堂小结1.相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a.2.向量减法：减去一个向量等于加上这向量的相反向量a-b=a+(-b)．3向量减法作图要点：两个向量的起点重合；由被减向量的终点指减向量的终点.五、练习练笔 巩固新知书本第87页练习1、3《赢在课堂》第40页，例2、迁移与应用课后思考：联系向量加法中，a+b 的大小和方向与a 、b 的关系，尝试归纳总结a-b 的大小和方向与a 、b 的关系．六、板书设计D B C A ab 化简：(1) (AB+MB)+(-OB-OM);(2) AB-AD-DC;(3) (AB-CD)-(AC-BD).§2.2.2向量减法运算及其几何意义1.相反向量：我们规定，与a 长度相等方向 3.向量减法作图要点：相反的向量叫做a 的相反向量， ①两个向量的起点重合；记作-a. ②由被减向量的终点指减向量的终点.2.向量减法：减去一个向量等于加上这向量的相反向量a-b=a+(-b)．.a o A -b B a a +(-b ) b b B a o A a -b。
示范教案( 向量减法运算及其几何意义)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.三维目标1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量AB=b,AC=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①AB=b-a.②略.应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.=DCB.AD+=ACC.-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D 中,+=+=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有++=0.(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当、反向时,||=8+5=13;(3)当、不共线时,3<||<13.综上,可知3≤||≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,另一方面a+b=+=.由于与是一对相反向量,∴有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习解答:1.直接在课本上据原图作(这里从略).2.,,,,.点评:解题中可以将减法变成加法运算,如-=+=,这样计算比较简便.3.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.作业课本习题2.2 A组6、7、8.设计感想1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.。
数学高中向量的减法教案
数学高中向量的减法教案
教学重点与难点：向量的减法运算规则，向量的减法计算。
教学准备：教材、教具、黑板、粉笔。
教学过程：
一、导入新课（5分钟）
教师向学生简单介绍向量的减法概念，并通过例题引出向量的减法规则。
二、示范与讲解（10分钟）
1. 向量的减法规则：将被减向量取相反向量，再进行加法运算。
2. 用具体的例子进行详细讲解，让学生理解向量的减法运算规则。
三、练习与巩固（15分钟）
1. 让学生做一些简单的向量减法计算练习题，巩固所学的知识。
2. 教师及时纠正学生的错误，指导学生正确解题。
四、课堂小结（5分钟）
通过本节课的学习，让学生总结向量的减法规则，再次强调向量减法的步骤。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：
本节课主要围绕向量的减法运算展开，通过示范、讲解、练习等多种方式，让学生掌握向量的减法规则。
在教学过程中，要注意引导学生理解向量减法的意义，避免简单地机械运算，鼓励学生多思考多实践，提高数学思维能力。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 向量的定义与表示方法介绍向量的基本概念，说明向量是既有大小，又有方向的量。
展示向量的表示方法，如用箭头表示，以及用坐标表示。
1.2 向量的减法定义解释向量减法的概念，即一个向量减去另一个向量的运算。
通过图示和实例说明向量减法的结果是一个向量，其大小和方向与原来两个向量的差有关。
第二章：向量减法的几何意义2.1 向量减法的几何图形表示通过图形（如三角形和平行四边形）展示向量减法的几何意义。
解释向量减法可以看作是从一个向量的起点到另一个向量的终点的位移。
2.2 向量减法与向量加法的联系说明向量减法可以看作是向量加法的逆运算。
通过实例和图示展示向量减法与向量加法之间的关系。
第三章：向量减法的坐标运算3.1 二维和三维空间中的向量减法介绍在二维和三维空间中进行向量减法的坐标运算。
给出二维空间中向量减法的坐标表示公式，并解释其实际应用。
3.2 向量减法的坐标运算规则介绍向量减法的坐标运算规则，如交换减数和被减数的位置，结果不变。
通过实例和练习题让学生熟悉向量减法的坐标运算。
第四章：向量减法的应用4.1 向量减法在几何中的应用介绍向量减法在几何问题中的应用，如计算线段长度、夹角和距离等。
通过图示和实例说明向量减法在几何问题中的重要性。
4.2 向量减法在物理中的应用介绍向量减法在物理学中的应用，如计算物体的速度变化和加速度等。
通过实例和练习题让学生了解向量减法在物理问题中的作用。
第五章：向量减法的练习与巩固5.1 向量减法的练习题提供一些关于向量减法的练习题，包括填空题、选择题和解答题等。
让学生通过练习题巩固对向量减法的理解和掌握。
5.2 向量减法的巩固练习提供一些综合性的练习题，让学生应用向量减法解决实际问题。
通过练习题帮助学生巩固对向量减法的理解和应用能力。
第六章：向量减法的性质与运算规则6.1 向量减法的性质介绍向量减法的几个基本性质，如交换律、结合律和分配律等。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 教学目标让学生了解向量减法的概念。
让学生理解向量减法在几何中的意义。
1.2 教学重点与难点向量减法的定义及其表示方法。
向量减法与向量加法的关系。
1.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法。
通过例题，让学生掌握向量减法的运算规则。
1.4 教学内容向量减法的定义：向量减法可以看作是向量加法的逆运算，表示为a b，其中a、b是已知向量。
向量减法的表示方法：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2 b2)。
向量减法与向量加法的关系：a b = -(b a)。
第二章：向量减法的几何意义2.1 教学目标让学生了解向量减法在几何中的意义。
让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。
2.2 教学重点与难点向量减法在几何中的意义。
利用向量减法解决几何问题的方法。
2.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法在几何中的意义。
通过例题，让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。
2.4 教学内容向量减法在几何中的意义：向量减法可以表示为从点A到点B的位移向量减去从点B到点A的位移向量，即表示为从点A到点A的位移向量，即零向量。
利用向量减法解决几何问题的方法：通过向量减法，可以将复杂的几何问题转化为向量运算问题，从而更方便地求解。
第三章：向量减法的坐标运算3.1 教学目标让学生掌握向量减法的坐标运算规则。
让学生能够利用坐标运算求解向量减法问题。
3.2 教学重点与难点向量减法的坐标运算规则。
利用坐标运算求解向量减法问题。
3.3 教学方法通过例题，让学生掌握向量减法的坐标运算规则。
通过练习题，让学生巩固利用坐标运算求解向量减法问题的能力。
3.4 教学内容向量减法的坐标运算规则：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2b2)。
利用坐标运算求解向量减法问题：通过坐标运算，可以求解两个向量的差，即求解向量a减去向量b的结果。
第33课 平面向量的减法
第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。
高中数学向量减法教案
高中数学向量减法教案
教学目标：
1. 了解向量减法的定义与性质；
2. 熟练掌握向量减法的运算方法；
3. 能够解决相关的数学问题。
教学重点：
1. 向量减法的定义；
2. 向量减法的运算方法。
教学难点：
1. 理解向量减法的几何意义；
2. 运用向量减法解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件、黑板、白板笔等教学工具；
2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。
教学步骤：
一、导入：通过引导学生回顾前几节课的知识，复习向量的定义和向量的加法，激发学生对本节课内容的学习兴趣。
二、讲解：介绍向量减法的定义和性质，引导学生理解向量减法的几何意义，并演示向量减法的运算方法。
三、练习：让学生进行相关的练习，包括计算向量的减法并求解具体的数学问题。
四、拓展：引导学生思考向量减法在实际生活中的应用，并提出相关问题，让学生运用向量减法解决实际问题。
五、总结：对本节课的内容进行总结，强调向量减法的重点及运用方法，帮助学生加深对向量减法的理解。
六、作业：布置相关的作业，让学生巩固向量减法的知识点，并在下节课前完成作业。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握向量减法的定义与性质，熟练运用向量减法的运算方法，并能够解决相关的数学问题。
同时，应该能够加深对向量减法的理解，提高解决实际问题的能力。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量减法的概念，掌握向量减法的运算规则。
2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 向量减法的定义：已知两个向量a 和b，则向量a-b 定义为从向量b 的起点出发，到达向量a 的终点的向量。
2. 向量减法的运算规则：向量a-b 等于向量a 加上向量-b，即a-b = a+(-b)。
3. 向量减法的几何意义：向量减法可以理解为将向量b 反转，与向量a 相加，得到的和向量从向量b 的起点指向向量a 的终点。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量减法的概念、运算规则及其几何意义。
2. 教学难点：向量减法的几何意义的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量减法的概念和运算规则。
2. 采用几何画图法，直观展示向量减法的几何意义。
3. 采用练习法，让学生通过实际例题和练习题，巩固向量减法的知识和技能。
五、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括向量减法的概念、运算规则及其几何意义。
2. 准备黑板、粉笔，用于板书和画图。
3. 准备练习题，用于课后巩固所学知识。
教案编写仅供参考，具体实施时可根据实际情况进行调整。
六、教学过程1. 导入：回顾向量的概念和性质，引导学生思考向量减法的意义。
2. 新课讲解：a) 讲解向量减法的定义，通过PPT展示实例，让学生理解向量减法的概念。
b) 讲解向量减法的运算规则，引导学生发现减法与加法的联系。
c) 讲解向量减法的几何意义，通过PPT展示图形，让学生直观理解向量减法的几何意义。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用向量减法解决问题，巩固所学知识。
七、课后作业1. 完成练习题，巩固向量减法的知识和技能。
2. 思考向量减法在实际问题中的应用，如物理中的速度变化、几何中的图形变换等。
八、教学反思1. 反思本节课的教学效果，观察学生对向量减法的掌握程度。
永城高中高一(I)部数学学案-向量的减法运算及其几何意义
高一（I ）部数学学案（11）出题人：许福利 2013/2/28向量的减法运算及其几何意义一、1． 知道向量减法的定义，理解相反向量的意义。
2． 掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量。
3． 能够化简含有向量的式子。
二、（1） 向量减法的实质是向量加法的逆运算。
利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法。
在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点．．．．．．．．，箭头指向被减向量．．．．．．．．终点．．”即可。
（2） 以向量b AD a AB ==,为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为b a AC +=，a b BD -=，b a DB -=（3）|||||,||||,|b a b a b a +--三者的大小关系:||||||||||b a b a b a +≤-≤-【例1】如图所示的向量c b a ,,是不共线的向量，求作向量c b a -+。
分析：向量加（减）法作图的依据是三角形法则，先观察各向量的位置，再寻找或构造相应的平行四边形或三角形，最后依据几何意义确定其图形表示。
【例2】化简下列各式 （1）CD BD AC AB -+-； （2）MP MN QP NQ -++。
【例3】已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与CD OC OA +-相等的向量有 .①CF ；②AD ；③DA ；④BE ；⑤BC CE +；⑥CD CA -；⑦AE AB +四1.PQ ）A ．BQ PA AB ++ B ．QC BA PC AB -++ C ．QP CQ QC -+D ．BQ BA PA -- 2.化简以下各式：CA BC AB ++；CD BD AC AB -+-； AD OD OA +-；MP MN PQ NQ -+-结果为零向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43,若58==||,||AC AB ，则||BC 的取值范围是（ ） A ．],[83 B ．),(83 C ．],[133 D ．),(1334.O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ，则（ ）A ．OD AO =B ．OD AD 2=C ．OD AO 3=D ．OD AO =25.设点O 是△ABC 内一点，若0=++OC OB OA ，则必有 （ ） A 、点O 是△ABC 的垂心 B 、点O 是△ABC 的外心 C 、点O 是△ABC 的重心 D 、点O 是△ABC 的内心 6.已知7=||a ，2=||b ，且b a //，则=-||b a ____________7.在OAB ∆中，已知b OB a OA ==,，且4==||||b a ，AOB ∠︒=60，则=-||b a ______8.如图所示，在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，对角线AC 与BD 交于O ，设a OA =，b OB =，用a和b 表示AB 和ADOABCD。
向量减法及其几何意义教案
向量减法及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量减法的概念及其几何意义。
2. 学会用坐标表示两个向量的减法运算。
3. 掌握向量减法的性质和运算法则。
教学内容：第一章：向量减法概念1.1 向量减法的定义：两个向量a和b，它们的减法运算定义为a b，表示从向量b的起点出发，到达向量a终点的向量。
1.2 向量减法的几何意义：向量减法表示从向量b的起点出发，到达向量a终点的向量。
第二章：坐标表示2.1 二维空间中的向量减法：设向量a = (x1, y1)，向量b = (x2, y2)，则向量a b = (x1 x2, y1 y2)。
2.2 三维空间中的向量减法：设向量a = (x1, y1, z1)，向量b = (x2, y2, z2)，则向量a b = (x1 x2, y1 y2, z1 z2)。
第三章：向量减法的性质3.1 交换律：对于任意两个向量a和b，有a b = b a。
3.2 结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a b) c = a (b + c)。
第四章：向量减法的运算法则4.1 分配律：对于任意向量a、b和实数λ，有λ(a b) = λa λb。
4.2 反向量：对于任意向量a，存在其反向量-a，使得a + (-a) = 0。
第五章：应用举例5.1 利用向量减法求解几何问题：举例：在平面直角坐标系中，已知向量A = (3, 4)，向量B = (1, 2)，求向量A B。
5.2 利用向量减法求解物理问题：举例：一个物体在t = 0时刻的速度向量为V0 = (10, 0)，在t = 2s时刻的速度向量为V2 = (8, 6)，求物体在t = 2s时刻的加速度向量。
教学评价：通过本章学习，学生应能理解向量减法的概念及其几何意义，会用坐标表示两个向量的减法运算，掌握向量减法的性质和运算法则，并能应用于实际问题中。
第六章：向量减法的图像表示6.1 利用坐标轴绘制向量：通过在坐标轴上绘制向量的起点和终点，可以直观地表示向量减法的几何意义。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量的减法运算概念，掌握向量减法的运算规则。
2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 向量的减法定义：已知两个向量a和b，则向量a减去向量b，记作a-b，其结果是一个向量。
2. 向量减法的运算规则：(1) 交换律：a-b = b-a(2) 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)(3) 分配律：a-(b+c) = (a-b)-c3. 向量减法的几何意义：(1) 表示起点相同，终点不同的两个向量之间的“差”。
(2) 表示从一个向量的终点返回到起点的“反向向量”。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 教学难点：向量减法的运算规则及几何意义的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的向量减法运算。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固向量减法的知识和技能。
五、教学步骤1. 导入新课：回顾向量的基本概念，引导学生思考向量的减法运算。
2. 讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
3. 分析实际问题，运用向量减法解决问题。
4. 布置练习题，让学生巩固向量减法的知识和技能。
5. 总结本节课的主要内容和知识点，强调向量减法的重要性和应用价值。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量减法概念、运算规则及几何意义的理解和掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对向量减法的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的沟通能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 向量加法与减法的关系：引导学生思考向量加法与减法之间的联系和区别。
2. 向量减法在实际问题中的应用：举例说明向量减法在物理学、工程学等领域的应用。
3. 向量减法的进一步研究：引导学生探讨向量减法的性质和规律，提高学生的研究能力。
高中数学_向量的减法法则及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.2 向量的减法【教学目标】1.理解相反向量，掌握向量减法的运算法则。
2. 培养学生数形结合的思想方法与作图能力。
【教学重点】向量减法的三角形法则与向量减法的转换．【教学难点】理解向量减法的几何意义与转换方法．【教学方法】这节课主要采用诱导教学和自主讨论的教学方法．由以前学习知识引入，创设问题情境，教师引导学生得到相反向量的概念与表示，由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，类比教学，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．本节课选自人教版必修四2.2.2，在以往的学习中，同学们学习了实数的加减法和物理的矢量概念。
对于高一的学生，经历了高中半年多的学习适应与历练，知识经验渐趋成熟，他们的智力已经到了形式运算阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，能够根据一些学习掌握的知识来做类比推理。
所以我在授课时本着“以学生自主探讨为主体，教师引导为知识主线，发展学生思维为宗旨”的原则。
恰当的提出问题，巧妙地引导学生，让学生自主探究获得新知，并从之学会比较与模仿，学会归纳，学会描述。
这节课的重点和难点是学生数形结合能力的培养，向量减法三角形法则的理解与运用。
物质的量这个词对学生来说比较陌生、抽象、难懂。
在教学中可以通过启发、对比等教学方法，分组学习、合作学习等学习方法，使学生从我们熟悉的知识来理解物质的量、摩尔、阿伏加德罗常数等概念，从而达到突出重点，突破难点的教学目的。
使学生正确地理解了物质的量这一概念。
为了更好的引入物质的量这一概念，列举宏观的例子，比如曹冲称象的故事等，学生在快乐学习中接受了物质的量这一概念。
在进行物质的量及摩尔的教学时，强调“物质的量”这个物理量只适用于微观粒子，为了帮助学生理解，设计一些简单的有关物质的量的适用范围的练习题。
理解了物质的量的概念。
)、微粒在讨论物质的量(n)、阿伏加德罗常数(NA数(N)之间的关系时，拿宏观物质(一箱苹果)做对比，学生理解了三者之间的关系。
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2．2．2 向量减法运算及其几何意义 一、教学目标
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转
化的辩证思想. 二、课时 1课时
三、教学重点
向量减法的概念和向量减法的作图法. 四、教学难点
减法运算时方向的确定 五、教具
多媒体或实物投影仪，尺规
六、教学过程 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，=++ . 解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0
如果a 、b 互为相反向量，则a =
b ， b =
a ， a +
b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a
b = a + (
b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a
b ) + b = a + (
b ) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O ，
作= a ， = b
A B
D C
O
a
b
B
a b
a
b
则BA = a b
即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.
注意：1AB 表示a
b .强调：差向量“箭头”指向被减数
2
用“相反向量”定义法作差向量，a
b = a + (
b )
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4． 探究：
１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是 b
a.
２）若a ∥b ， 如何作出a b ？
三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、c d .
解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， ， 则= a b ， = c
d
例二、平行四边形ABCD 中，=a ，
=b ，
O A
B
a B’
b b
B
a + (
b )
a b
A B
D C
A
B
C
b
a
d c
D
O
a
b A
B
B
B’
O
a
b a a b
b
O
A
O
B
a
b a b
B
A O
b
用a、b表示向量AC、DB.
解：由平行四边形法则得：
AB = a b
AC= a + b，DB= AD
练习：Ｐ87 1、2、3
小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
七作业
课本习题2.2 A组6、7、8.。