(20、21)第四章 4.3 非稳态导热
传热学第四章非稳态导热1125
2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
傅里叶准则
2 2 单位时间通过 面积厚为的导热量 2 Fo a 3 c 单位时间体积为 3的内能变化
(b) (c)
边界条件（3）代入(b) 得
将 右端整理成：
y h
tg ( )
h
h 1
Bi
注意，这里Bi数的尺度为 平板厚度的一半。 显然，β是两曲线交点 对应的所有值。式(c) 称为特征方程。 β称 为特征值。分别为β1、 β2…… βn。
至此，我们获得了无穷个特解：
( x, ) 2 sin 1 x cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
(0, ) m ( ) 2 sin 1 e 0 0 1 sin 1 cos 1
2 1 F0
( x, ) 2 sin 1 x F cos( 1 ) e 0 1 sin 1 cos 1
以上两式的通解为：
C1e
于是
a 2
X C2 cos( x) C3 sin( x)
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
( x, ) e
a 2
[ A cos( x) B sin( x)]
（ a）
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
非稳态传热
物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制
物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等(即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
2
h(V
A)
(V
a
A)
2
令
V A
lc
则有：
h(V A) hL Bi
a
a
Fo
(V A)2 L2
L―定型尺寸
Bi―毕渥数
Fo ―傅立叶数
4）将毕渥数和傅立叶数代回温度计算式，则：
hA
e cV eBi Fo
物体中的温度 呈指数分布
0
hA
W m2K
m2
W1
5）方程中指数的量纲：
cV
kg m3
(
2 n
F0
)
0 [1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
-δ
t t(x,τ)
0
δx
x x+dx
0[1
n1
n2
2sin2 n n sin n cos n
e ] ( n2F0 )
由上式可知:
0
f (Bi, Fo)
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
第九章 导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 . t f (x, y, z, )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：
非稳态导热微分方程
非稳态导热微分方程非稳态导热问题是研究物体内部或者在不同温度环境下的温度分布变化的数学模型。
其核心是通过非稳态导热微分方程来描述温度随时间和空间的变化规律。
本文将从导热微分方程的基本概念、一维问题和二维问题等方面进行论述。
一、非稳态导热微分方程的基本概念非稳态导热问题是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
在一维情况下，我们可以将问题简化为描述物体内部温度分布随空间变化的微分方程。
非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度随空间和时间的变化，α是导热系数。
二、一维非稳态导热问题在一维情况下，我们考虑物体的温度分布只与空间变量x有关。
根据非稳态导热微分方程，我们可以通过分析边界条件和初始条件来求解问题。
具体的求解方法包括分离变量法、格林函数法等。
例如，我们考虑均匀杆的一维非稳态导热问题。
初始时刻杆上各点的温度分布u(x,0)已知，杆的两端分别与两个恒温热源接触。
边界条件可以表示为u(0,t)=T1和u(L,t)=T2，其中T1、T2为两个恒温热源的温度。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,t)。
三、二维非稳态导热问题在二维情况下，物体的温度分布与空间变量x和y都有关。
同样地，我们需要给定边界条件和初始条件来求解问题。
二维非稳态导热微分方程的一般形式如下：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)例如，我们考虑矩形板的二维非稳态导热问题。
初始时刻板上各点的温度分布u(x,y,0)已知，板的边界上的温度分布也已知。
通过求解非稳态导热微分方程，我们可以得到随时间变化的温度分布u(x,y,t)。
结论非稳态导热微分方程是研究温度随时间和空间的变化规律的重要数学模型。
通过分析边界条件和初始条件，可以求解一维和二维非稳态导热问题，并得到随时间变化的温度分布。
第四章非稳态导热
hA h（V / A） / c） （ BiV FoV 2 cV （V / A）
Bi hL
Bi e 0
a L
2
V
FoV
毕渥数，是表征物理现象特征的 无量纲数，也称特征数或准则数
Fo
2013-9-10
傅里叶数，也是一个 无量纲数
第四章 非稳态导热
21
Bi与Fo的物理意义:
hA hA 0 e
hA cV
W （*）
导热体从初始时刻至某一时刻（0～τ） 时间间隔内与周围环境交换的总热流量为：
Q d hA 0 e
0 0
hA cV
d cV（ e 0 1
hA cV
）
hA cV（t 0 t f ）1 exp( ) cV
2013-9-10 第四章 非稳态导热 4
一、典型非稳态导热过程的分析 1. 大平壁一侧突然受热升温时的导热 （1） 温度分布
1 2
图中直线AD:初始时刻,大平壁内部各处 温度均匀为t0
2013-9-10 第四章 非稳态导热 5
曲线HBD:突然使大平壁左侧表面温度 升高到t1并保持不变，右侧仍与温度为t0的 空气接触紧挨高温表面那部分的温度很快 上升，其余部分仍保持初始温度t0。 随着时间的推移，平壁从左到右各部分 的温度依次升高从某一时刻开始平壁右侧 表面温度逐渐升高，图中曲线HCD、HE、 HF示意性地表示了这种变化过程。 直线HG:经过相当长的时间τ∞后达到新 的稳态，温度分布保持恒定。
h
τ
球体内各处的温度从表面到球心逐层不 断下降 直到与所处环境达到热平衡状态为 止。 随着时间的推移，Φ逐渐减小直至为零。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
非稳态导热分析解法课件
非稳态导热问题常常涉及到复杂的边界条件和几何形状，给分析带来很大挑战。未来发展需要研究更高效的数值方法 ，以处理更复杂的导热问题。
多物理场耦合
许多实际导热问题涉及到多物理场的耦合，如热-力、热-流体等。未来发展需要研究多物理场耦合的非稳态导热问题 ，以提高对复杂系统的理解和预测能力。
高效能材料和新能源技术
随着高效能材料和新能源技术的发展，非稳态导热问题将更加复杂和多样化。未来发展需要加强与相关 领域的交叉融合，以应对不断出现的新的挑战和机遇。
核能利用
在核能利用中，非稳态导热分析可用于研究反应堆的冷却系统、核废料的处理和存储等。 通过优化导热性能，可以提高核能系统的安全性和稳定性。
风能利用
在风能利用中，非稳态导热分析可用于研究风力发电机的散热性能和风能转换效率。通过 改进导热设计，可以提高风能发电的经济性和可靠性。
非稳态导热面临的挑战和未来发展方向
物理模拟实验
物理模拟实验是通过模拟实际系统的物理过程来研究其行为的方法。
在非稳态导热分析中，物理模拟实验通常采用加热棒、散热片等模拟导热过程，通 过测量温度场、热流密度等参数来研究非稳态导热规律。
物理模拟实验具有直观、可重复性高等优点，但实验条件和操作难度较高，且难以 模拟复杂实际系统的非稳态导热过程。
有限体积法
有限体积法是一种将连续的求解域离散化为 有限个小的体积，通过求解每个体积的近似 解来逼近原问题的数值解法。
有限体积法的基本思想是将导热问题分解为 若干个小的体积，每个体积具有简单的几何 形状和边界条件，然后通过求解每个体积的 近似解来逼近原问题的解。这种方法在处理 复杂的几何形状和边界条件时具有较高的精
度和可靠性。
CHAPTER
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热
23/250291/4/16
0~τ范围内积分，得凝固层厚度的表达式
2 b L t w c ttp 0tw K
此式称为平方根定律，即凝固层厚度与凝固时 间的平方根成正比。式中
K2 b L t w c ttp 0tw
ms12
K 称为 凝固系数
24/250291/4/16
几种材质在不同冷却条件下的K值
由于砂型的导热系数较小，型壁较厚，所以平面 砂型壁可按半无限大平壁处理。本节得到的公式 应用于铸造工艺，可以计算砂型中特定地点在τ 时刻达到的温度和0~τ时间内传入砂型的累积热量。 瞬时热流密度qw和累计热量Q w都与蓄热系数成正 比，所以选择不同造型材料，即改变蓄热系数， 就成为控制凝固进程和铸件质量的重要手段。
物性的这种组合可表成: a c
cb W /m (2Cs1/2)
a b称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/250291/4/16
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
热物性 材料
铸铁
导热系数 比热容 密度 热扩散率 蓄热系数
λ
c
ρ
a
b
46.5 753.6 7000 8.82×10－6 15600
5 /59 2021/4/16
积蓄（或放出）热 量随时间而变化是过 程的又一个特点。于 是在工程计算中，确 定瞬时热流密度和累 计热量也是非稳态导 热问题求解的任务。 在图中，累计热量由 指定时间τ与纵坐标 间曲线下的面积表示。
6/59 2021/4/16
4-2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
式：
qw ' Lctptw
d d
与式
非稳态导热的分析计算(最全版)PTT文档
时间常数关系到测温仪表的响应时间。 被周围温度为tf的流体冷却
令过余温度θ＝t－tf ，则dt＝dθ，代入上式得： 由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即： * 对物体加热或冷却一定时间后，确定物体内部的温度分布和温度场随时间的变化率 被周围温度为tf的流体冷却
由式(4-1)可得
A
A
dt d ' d (e cV ) '( A )(e cV )
d d d
cV
所以导热体在单位时间内传递给流体的热量为
A
Q cV dt 'Ae cV d
W (4-2)
因导热体被冷却，故dt／dτ＜0，加负号以使Q
为正值。
利用上式，可得导热体在τ＝0到τ＝τ时
d A d cV
当V、A、α、ρ、c等为已知定值时，对上式积
分得：
d A d cV
'
d
A cV
0 d
ln
'
A cV
'
ttf t' t f
A cV
e
上式是采用集总参数法求解非稳态导热问题的 基本公式，可用于已知温度求时间，或反之。
当时间τ＝ρcV／(αA)
t tf ' t' tf
一、基本计算公式
初始温度为t' 被周围温度为tf的流体冷却 换热系数α为定值 导热体的平均温度t
经dτ时间后，由于散热，温度下降dt。
由能量平衡，散热量＝△导热体本身内能，即：
A(t
θt
f
)
cV
dθt
d
(散热)
A(t f
t)
第4章-非稳态导热的计算分析
是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度 随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近 于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度 随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关， 但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ） 和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应 的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布 对称。中心为原点。
传热学笔记
p x
(
2u x2
2u y2
)
动量守恒方程（N-S
方程）：
( v
u
v x
v
v ) y
Fy
p y
(
2v x2
2v y2
)
能量守恒方程：
t
非稳态项
u t v t xy
对流项
cp (x2t2 y2t2 )
扩散项
边界层理论的四个基本要点： （1）当粘性流体沿固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。
可得
d 2t dx2
hp(t t ) Ac
引入过余温度
t
t 最终可得
d 2t dx2
m2
，其中 m
hp/(Ac) ，H 为肋高
温度分布的解析解：
0
em x
e2mHemx He2m H
0
ch[m(x H)] ch[mH]
；热流量：
hp m
0th(mH)
通过环肋及三角形截面直肋的导热
肋效率 f
( )是时刻
物体的平
均过余温度。
Fo
a R2
0.2 时， (x, ) 0
Aexp(12Fo) f
(1) ——（3-27）；( ) /0
Aexp(12Fo)B ——（3-28）
分析解应用范围的推广和讨论
介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解，在 Bi 的极限情况下转化为第一类边界条件下的解，而在 Bi 0
传热学
第一章 绪论
热量传递的三种基本方式：导热、对流和热辐射
傅里叶定律：单位时间内通过该层的导热热量与当地的温度变化率及平板面积 A 成正比。
A dt dx
——热导率，导热系数；单位W /(m K) ；
4传热学-非稳态导热
温度分布(Temperature distribution)
x sin µ n cos µ n ∞ θ ( x,τ ) l 2 aτ = 2∑ exp − µ n ⋅ 2 θ0 l µ n + sin µ n cos µ n n =1 aτ Fo = 2 ≥ 0.2 ——正常情况阶段 l x sin µ1 cos µ1 θ ( x,τ ) l = f Fo, Bi, x 2 aτ = 2 exp − µ1 ⋅ 2 1 l µ1 + sin µ1 cos µ1 l θ0 where, µ1 − PositiveRootOfTheTranscendentalEquation Bi = µ1 ⋅ tan µ1
特征尺寸和引用尺寸 Bi < 0.1 ⇔ BiV < 0.1M
特征尺寸 引用尺寸 lc=V/A le δ δ R/2 a/4 R/3 a/6 R a/2 R a/2 M=lc/le 1 1/2 1/2 1/3 1/3
大平壁 长圆柱体
长正方柱体
球体 正立方体
时间常数τr
定义式：
τr = ρcV
hA
中心面过余温度(θm) Excess temperature at x=0
x = 0,θ m = t (0,τ ) − t∞
θm sin µ1 2 = exp(− µ1 ⋅ Fo ) = f 2 (Fo, Bi ) θ0 µ1 + sin µ1 cos µ1 θ θ θm Q = ⋅ (3 − 14) θ0 θm θ0 θ ∴ = cos µ1 θm
λ
V Characteristic − length : lc = A
温度分布(Temperature distribution)
非稳态传热
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
2014-12-9 18
2014-12-9 24
第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
9
第三章 非稳态导热
第4章 非稳态导热的计算与分析
θ ( x,τ ) ∞ x 2 aτ = ∑ Cn exp − µn 2 cos µn θ0 δ δ n =1
式中
4sin ( µ n ) Cn = 2 µn + sin ( 2 µn )
µn称为特征值，是以下超越方程的根： 称为特征值 是以下超越方程的根： 特征值， 超越方程的根
θ |τ = 0 = θ 0 = t 0 − t f
∂θ | x =0 = 0 ∂x
∂θ −λ | x =δ = hθ | x =δ ∂x
求解是数学问题，方法很多。典型的分离变量法、 求解是数学问题，方法很多。典型的分离变量法、 分离变量法 Laplace变换方法等 变换方法等 变换方法
分析解
分析解为： 分析解为： 无穷级数之和
物理模型
问题描述： 问题描述： 厚为2δ、 厚为 、无内热源的常物性平壁 初始时刻温度分布均匀， 初始时刻温度分布均匀，为t0 某时刻突然投入到温度为t 某时刻突然投入到温度为 ∞的高 温流体中对称加热， 温流体中对称加热，表面传热系 数均为h，且沿壁面均匀、恒定 数均为 ，且沿壁面均匀、 试分析平壁内的温度变化过程
2
(0 < x < δ ,τ > 0)
定解条件： 定解条件： ——几何条件：平壁、一维 几何条件：平壁、 几何条件 ——物理条件：常物性、无内热源 物理条件：常物性、 物理条件 ——初始条件：必须的 初始条件： 初始条件 ——边界条件： 边界条件： 边界条件
∂t | x =0 = 0 ∂x来自t |τ =0 = t 0
∂ ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ( ρct ) = λ + λ + λ + Φ ∂y ∂z ∂z ∂τ ∂x ∂x ∂y
非稳态导热PPT课件
h
ctg
上式中：为书写方便，令=，只要求出即可得，另上
式左侧的分母即为毕渥准则数 Bi=h/ 上式可写为：
/Bi=ctg
<13>
式<13>为一特征方程（超越方程），其解理论上有无穷
多个，如图3-4所示，为 y1= /Bi 与 y2=ctg 间的交点， 其具体数值如P57表3-1所示。于是也有无穷多个解
p116图34见图34a由于表面换热热阻可以忽略一开始平板表面温度就被冷却到随着时间的推移平板内各点的温度逐渐下降而趋近见图34b由于平板导热热阻可以忽略任一时刻各点的温度一致即tf并随时间的推移整体下降逐渐趋近于当两种热阻的数值比较接近即bi为有限值时其温度分布见图34c
第一节 非稳态导热的基本概念
t
2t 2t 2t
( )
x2 y2 z2 t(x,y,z,0)t0
c
nt wh(twtf)
数学上可以证明其解t=f(x,y,z，τ）是唯一的。
.
6
第一节 非稳态导热的基本概念
4、非稳态导热的三种情形
流设体一中块冷厚却2δ，的表金面属换平热板系，数初为始h温，度平为板的t 0，导突热然系将数它为置λ。于根温据度平为板的t的f
1=1/、 2=2/、 3=3/. 、… n=n/ 即：=F（B1i）6
第三节 典型一维物体非稳态导热
一、无限大平板非稳态导热
2.解：③解微分方程
于是，在给定Bi条件下，将对应的1 、2、…、n代入式 <12>，即得一组温度分布：
1（x,）=D1cos（1x）exp（2（x,）=D2cos（2x）exp（-
b.随着时间的推移，a、b、c处的 温度分别自a、b、c时刻后 开始上升；
第四章 非稳态导热
边界条件 常用的三类
求解方法：
分析解法、数值解法、实验模拟法、图解法等
首先求出温度分布t f ( x, y, z, )； 然后由傅里叶定律算出 各点的瞬时热流量。
9
10
第四章 / 第三节 非稳态导热
二、非稳态导热问题的求解及诺模图
以第三类边界条件下的 无限大平壁的非稳态导热为例
11
第四章 / 第三节 非稳态导热
工程中：
机器启动、停机、变工况时部件的导热过程； 冶金、热加工、热处理工艺中工件的加热及冷却过程等； 石油工程中钻井、焖井、采油等过程中热量在地层内的扩散过程。
具有实际意义。
2
第三节
本节讨论:
非稳态导热
——基本概念和特点
——非稳态导热问题的求解及诺模图
——集总参数法
3
（一）无限大平壁的分析解及诺模图 1、平壁内温度分布的求解
物理模型：
常物性、无内热源、一维平壁
数学模型：
两侧受流体对称加热，中心面为对称面，
只需研究半厚的平壁。 将坐标原点置于平壁中心面，建立如图 直角坐标系。
t 2t a 2 x
定解条件
0 x , 0
原因：各处本身温度变化要积蓄(或放出)热量。
6
第四章 / 第三节 非稳态导热
一、 概述
3、研究目的
（1）确定非稳态过程中的温度场
——物体中某个部位到达某个预定温度所需的时间； ——在预定时间内物体可以达到的温度； ——物体的温度对时间的变化速率。 （2）确定非稳态过程的热流量
——物体在某一瞬间每一位置处的热流密度；
—出现在特征数中的几何尺度 —不同情况下，不同形状的物体特征长度是不同的。 Fo 数 、 Bi数称为特征数，习惯上又称准则数， 具有特定的物理意义。
传热学课件第四章非稳态导热
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
a
(R / 2)2
Fo a
R2
h(R / 3)
BiV
a
FoV (R / 3)2
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足 Bi0.1，就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。
x 1
w tw t f 500 1000 0.51 0 to t f 20 1000
查图可知：在平板表面上 w m 0.81
平板中心的无量纲过余温度
m w w 0.51 0.63 0 0 m 0.81
查图可知 Fo 1.2
2
Fo
正规状况阶段 新稳态阶段 两个特点： 1. 在非稳态导热的过程中，物体内的温度变化 是逐层“传播”的，各点的温度随时间不断地变化。 2. 在与热流方向相垂直的各个截面上的热流量 处处不等，即使在同一截面上，不同时刻的热流量 也不相等，物体内有能量的积聚或散失。
第二节 集总参数法
当Bi0.1时，物体内部的导热热阻远小于其表面 的对流换热热阻，可以忽略，物体内部各点的温度 在任一时刻都近似于均匀，物体的温度只是时间的 函数。对于这种情况，只须求解物体温度随时间的 变化规律以及物体放出或吸收的热量。
• 例4-1 一块厚20mm的钢板，加热到 500℃后置于20℃的空气中冷却。设 冷却过程中钢板两侧面的平均换热
系数为80 W /(m K)，钢板的导热系 数为45 W /(m K)，热扩散率为 1.37× 105 m2 / s 。试确定使钢板冷 却到30℃时所需的时间。
第四章 非稳态导热
−l
l
l
∫l sin kπ x s= in nπ x 0 (k ≠ n)
−l
l
l
利用三角函数族是正交的，可求得f(x)展开为傅里叶级 数表达式中的展开系数为：
任意时刻平壁温度分布在壁面处的变
化率为：
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
- ∂t
= t x=δ − t∞
∂x x=δ
λh
∴ x' =λ =δ
h Bi
点O’距离壁面的距离为λ/h或δ/Bi
任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标
为(δ +λ/h，t∞)或(δ +δ/Bi，t∞)的O’点——第三类边
物体处于恒温介质中非稳态导热过程与物 体外表面的对流换热热阻和内部导热热阻有关。 表征这两个热阻比值的无量纲数称为毕渥数 （Biot number）。
δ
= Bi
物体内部导热热阻 =
物体表面对题 1分
初始温度为t0的平壁(厚度为2δ)浸没在温度为t∞的流体 中进行冷却，当Bi→0时，平壁中的温度分布为：
得： X ( x) ⋅ Γ' (τ ) = aΓ (τ ) ⋅ X '' ( x)
令：
1 Γ' = X '' = ±β 2
aΓ X
其中，β为待定常数，称为特征值。 偏微分方程转化为两个常微分方程为：
dΓ
dτ
β
2aΓ
=0
d2X dx2
β2X
=
0
（3） （4）
( ) 方程（3）的解为：Γ (τ=) C exp ±aβ 2τ
界条件的定向点。
4.2 有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法
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1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。
4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。
2非稳态导热非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。
在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却等。
讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。
了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。
本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。
（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。
两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。
考虑温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。
这是一维的非稳态导热问题。
41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数令过余温度5傅里叶数的物理意义：Fo 为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。
毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。
由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。
2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越方程的根根有无穷多个，是Bi 的函数。
无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是正的递增数列，Θ的解是一个快速收敛的无穷级数。
2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三个无量纲特征数的函数7（2）分析解的讨论1）傅里叶数Fo 对温度分布的影响分析解的计算结果表明，当Fo ≥0.2时，可近似取级数的第一项，对工程计算已足够精确，即因为，所以将上式左、右两边取对数，可得，m 为一与时间、地点无关的常数，只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。
式中式右边的第二项只与Bi 、x/δ有关，与时间τ无关。
8上式可改写为该式说明，当Fo ≥0.2时，即时，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。
上式两边求导，可得m 的物理意义是过余温度对时间的相对变化率，单位是s －1，称为冷却率（或加热率）。
上式说明，当Fo ≥0.2，进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。
9对于平壁中心，上面两式之比可见，当Fo ≥0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然θ与θm 都随时间变化，但它们的比值与时间无关，只取决于毕渥数Bi 与几何位置x/δ。
认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分时间都处于正规状况阶段。
102）毕渥数Bi 对温度分布的影响平壁非稳态导热第三类边界条件表达式上式的几何意义：在整个非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通点,即，该点称为第三类边界条件的定向点。
11毕渥数Bi对温度分布的影响分析(a)Bi →0:平壁的导热热阻趋于零，平壁内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表面的对流换热强度。
定向点在无穷远处。
工程上只要Bi ≤0.1，就可以近似地按这种情况处理，用集总参数法进行计算。
12对流换热热阻趋于零，非稳态导热一开始平壁表面温度就立即变为流体温度，相当于给定了壁面温度，即给定了第一类边界条件，平壁内部的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。
定向点位于平壁表面上。
当Bi >100时可近似按此处理。
(b)Bi →∞:(c )0<Bi<100，按一般情况处理。
133）平壁与周围流体之间交换的热量在0~τ时间内，微元薄层dx 单位面积放出的热量等于其热力学能的变化，在0~τ时间内，单位面积平壁放出的热量将Fo ≥0.2时无量纲过余温度的近似解代入上式，得？ττ=0x d x 0θθ0θδ14（3）诺谟图1）152）163）17几点说明：(1)上述分析是针对平壁被冷却的情况进行的，但分析结果对平壁被加热的情况同样适用；(2)由于平壁温度场是对称的，所以分析时只取半个平壁作为研究对象，这相当于一侧（中心面）绝热、另一侧具有第三类边界条件的情况，因此分析结果也适用于同样条件的平壁；(3)线算图只适用于Fo ≥0.2的情况;0,,r f Bi Fo R θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2,hR a Bi Fo R τλ==18(4)对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi 、Fo 和r/R 的函数,(5)当Fo ≥0.2时，圆柱和球体的一维非稳态导热过程也都进入正规状况阶段，分析解可以近似地取无穷级数的第一项，近似结果也被绘成了线算图。
（P 221）2.特殊多维非稳态导热问题的简易求解方法19(1)无限长方柱(2)短圆柱(3)垂直六面体9-4导热问题的数值解法基础20数值解法的基本思想:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。
21数值解法的基本内容与步骤:（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。
（2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和单值性条件。
第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点,每个节点就代表以它为中心的子区域（控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
22（4）建立节点温度代数方程组；（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。
目前求解导热问题常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元法等。
其中有限差分法比较成熟，应用广泛。
下面主要介绍有限差分法的基本原理。
1.有限差分法的基本原理23以常物性、无内热源的二维稳态导热为例:用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）例如:∆x ≈d x ，,进而将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。
(1)求解域的离散化1)子区域的划分选择网格宽度∆x 、∆y （步长），划分子区域。
步长大小根据问题的需要而定。
2)节点的选择选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点，标定节点位置，如(i,j)、(i+1,j )等。
24(2)节点温度差分方程的建立两种方法：泰勒级数展开法与控制容积热平衡法。
只介绍控制容积热平衡法。
控制容积热平衡法：根据节点所代表的控制容积在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。
1)内部节点温度差分方程内部节点(i,j )所代表的控制容积在导热过程中的热平衡对于垂直于纸面方向单位宽度选择∆x=∆y25上式可整理为可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。
2)边界节点温度差分方程对于具有第三类边界条件的边界节点(i,j )所代表的控制容积，根据其热平衡选择步长∆x=∆y ，将上式简化26令称为网格毕渥数。
上式可整理为第三类边界条件下的外拐角边界节点：第三类边界条件下的内拐角边界节点：27绝热边界节点：运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。
求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。
2.节点温度差分方程组的求解方法28线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种：(1)简单迭代法(2)高斯-塞德尔迭代法3.非稳态导热问题的数值解法29非稳态导热数值解法的特点：（1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件；（2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间域进行离散；（3）利用热平衡法导出节点温度方程时需要考虑控制容积的热力学能随时间的变化；（4）由于时间和空间同时离散，在有些情况下空间步长和时间步长不能任意选择，否则会带来节点温度方程求解的稳定性问题。
30第九章小结（1）傅里叶定律表达式及其适用条件;重点掌握以下内容：（3）导热问题的数学描述（数学模型）;（2）物体导热系数的数值范围及特点;（4）平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题的分析求解;31（6）求解特殊非稳态导热问题的集总参数法；（7）了解导热问题数值解法的基本思想与步骤及有限差分法的基本原理。
（5）非稳态导热的特点、无限大平壁冷却或加热问题的分析求解方法、分析解的特点及其影响因素(Bi,Fo );。