初高中衔接知识点及习题(十字相乘、韦达定理、二次不等式)
第二课：初升高衔接(二)——韦达定理及二次不等式
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题） 授课日期时段第二课：初升高衔接（二）——韦达定理及二次不等式一、同步知识梳理一、一元二次方程根的判断式1．当24b ac ∆=->0时，方程有两个不相等的实数根：242b b ac x a -±-=2.当24b ac ∆=->0=0时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a =- 3.当24b ac ∆=->0<0时，方程没有实数根。
二、一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a +=-=【说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”。
上述定理成立的前提是0∆≥二、同步题型分析例1. 已知关于的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。
例2. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -。
例3.解二次不等式(1)260x x +->。
(2) 0132>+-x x(3) 2440x x -+≤(4) 0122≤---x x例4.解二次不等式（1）0522>+-x x （2）0332<+-x x例5. 解分式不等式(1)2301x x -<+ （2）0212≥--x x (3) 1231≥-+-x x例6．解多次不等式（1）0)3)(2)(1(≤---x x x （2）03232<-+-x x x三、课堂达标检测1. 若12,x x 是方程0432=+--x x 的两个根，试求12||x x -的值。
高中数学初高中衔接读本专题1.2十字相乘法高效演练学案word格式
第 2 讲十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起重视要的作用，是连续高中数学学习的一项基本技术。
因式分解的方法好多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完满平方公式) 外，还有公式法( 立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等。
【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了以下乘法公式：（ 1）平方差公式(a b)(a b)a2b2；（ 2）完满平方公式(a b)2a22ab b2．（ 3）立方和公式(a b)(a2ab b2 )a3b3；（ 4）立方差公式(a b)( a2ab b2 )a3b3；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这类变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的差别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，如有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即经过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必然是几个整式的乘积，不然不是因式分解；（5）因式分解的结果必然进行到每个因式在要求的范围内（比方有理数范围内）不可以再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完满平方公式）、三检查（完满分解）．【高效演练】1．将以下各式因式分解：（ 1）x26x 7；（ 2）2x ﹣ 6x +4x；32（ 3）a24ab5b2；（ 4）x22x 3；（ 5）ax510ax416ax3；（ 6）a2b216ab39 ；（ 7）152 n7n n 142n 2；y yx x（ 8）x2222x 23x72 ；3x【答案】 (1)( x1)(x7) ；（ 2） 2x（ x﹣ 1）（ x﹣2）；（3）(a 5b)(a b)；（ 4）x22x14( x1) 222( x 12)( x12)( x3)( x1) ；（ 5）ax3( x 2)( x8) ；（ 6）原式ab 2ab39ab3ab1316（ 7）原式3x n y n15x n 4 y n1（ 8）原式x 23x 4 x23x18x4x 1x 6 x32. 把4x4y25x 2 y 29 y2分解因式的结果是________________。
韦达定理.初高中数学衔接
韦达定理（1课时）知识要点：若实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根为12,x x ，则根与系数有如下关系： 1212b x x a c x x a ìïï+=-ïïíïï?ïïïî，也称韦达定理。
注意：满足以上关系的前提是一元二次方程20ax bx c ++=有实数解，即0D >例题1. 若方程20x ax b --=的两个解是2和3，则不等式012>--ax bx 的解是_____.2. 设12,x x 是方程2210x x --=的两个根，且12x x >求（1）12x x + （2）12x x ×（3）12x x - （4）2212x x +（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +3．设12,x x 是方程210x ax -+=的两个根，若22123x x +>，求实数a 的取值范围.4.已知12,x x 是方程22(2)40x a x a ++-+=的两根，求实数a 的范围；（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.变式：将以上题目中条件由“两根都大于0”改为“两根都大于1”，做法有变化吗？练习：1．方程250ax x b ++=的两解是13和12，那么a = ，b = . 2. 设12,x x 是方程2310x x --=的两个根，且12x x >求（1）12x x + （2）12x x ×（3）12x x - （4）2212x x +（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +3. 设12,x x 是方程20x x a -+=的两个正根，若2212+>x x a ，求实数a 的取值范围. 4. 已知12,x x 是方程22(1)10x a x a -+-+=的两根，求实数a 的范围；（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.。
初高中衔接知识点及习题(十字相乘、韦达定理、二次不等式)
一、因式分解（十字相乘）。
十字相乘法：它的特征是“拆两头，凑中间”（12.21）二、韦达定理：方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x 则___21=+x x ____21=x x 。
()21221214x x x x x x -+=- 。
2122122212x x x x x x -+=+）（练习：一、把下列各式分解因式： 1、1522--x x 2、3722+-x x3、21152-+-y y 4 、101132++x x5、3522---x x ；6、 2265y xy x +-7、225163b ab a -+- 8、 ()()2762-+-+b a b a二、1、已知21,x x 是方程03522=--x x 的两根，则：1）___21=+x x 。
2）________21=x x 。
3）_______1121=+x x 。
4）________2221=+x x 。
5）()()________1121=++x x 。
6）21x x -= 。
2、二次项系数为1的二次方程，两根之和为5，两根之积为6，求二次方程3、一元二次方程0232=++ax x 的一个根为31，则另一个根为 =a 4、方程()002≠=++p r qx px 的两根为1,0-求p q :三、一元二次不等式及其解法形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．口诀：一化正；二求根；三大于取两边、小于取中间1、解下列一元二次不等式071522≤++x x 042≤-x 0162≤-+x x2230x x --+≥ 10732>-x x(2)(3)6x x +-< 041132>+--x x03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x2、填空题1）不等式(1)(12)0x x -->的解集是2）已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N =3）不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
新高一衔接课-韦达定理
8、韦达定理韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【知识梳理】（一）方程有两个实数根⇔240b ac ∆=-≥（二）韦达定理及应用： 1212,b c x x x x a a+=-= 222121212()2x x x x x x +=+-,12x x a -=== 3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦（三）方程根的分布1. 方程有两根同号 ⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩2.方程有两根异号⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩3.拓展： （1）方程有两根同正⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎩（2）方程有两根同负⇔ 1212000b x x a c x x a ∆>⎧⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎩（3）方程有两根同时比t 大⇔ 121200()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩（4）方程有两根同时比t 小⇔ 121200()()0x t x t x t x t ∆>⎧⎪-+-<⎨⎪-->⎩1、已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．2、已知不等式x 2+mx +n =0的解集为, 求实数的值.3、已知不等式ax 2+bx −6=0的解集为, 求实数a ,b 的值.4、若不等式的两个根为，求的值5、1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．1、若12,x x 是方程x 2+2x −1=0的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -； （5）31x ＋32x2、已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．3、已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．4、关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．5、设a ,b 是相异的两实数，满足a b b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值．【例3】1、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。
十字相乘法与韦达定理
实用标准文案十字相乘法与韦达定理十字相乘法1．十字相乘法的依据和具体内容一、知识准备：( x a)( x b) x2ax bx ab x 2( a b) x ab（1）左边：x a与x b的形式；（2）右边：二次项系数为 1；常数项的和(a b)为一次项的系数；常数项的积 ab 作为常数项；直接写出结果：(x2)( x 3)=，( x3)( x4) =，(x5)( x 2)=， ( x8)( x6) =，二、探究活动：1、(x a)( x b) x2(a b) x ab 反过来： x2(a b)x ab也就是说，对于二次三项式x2px q ，如果常数q能分解为两个因数 a ，b的积，并且常数 q 等于两个因数a， b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。
(1) 对于二次项系数为 1 的二次三项式：2()()() xa b x ab x a x b方法的特征是“拆常数项，凑一次项”（多试）①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；x 25x 6 (x 2)( x 3)x 28x 15x211x 28②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．x 2x 6 ( x 3)( x 2)x 2x 6x 24x 12练习：解方程（用十字相乘法）x 25x 4 0x28x 12 0x25x 36 0x 2x 42 0x252x 100 0x219 x 1200x 260 x 2700 0x250 x 525 0x 2 2.8x 4.80(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2bx c a1a2x2(a1c2 a2 c1 )x c1c2(a1 x c1 )(a2 x c2 )它的特征是“ 拆两头，凑中间，多试验”2 x25x 2 ；3x28x 35x 27 x 6（ 3）解方程：4x24x 15 =0 6 x2x 35 =010 x213x 4 =0注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．2.拓展提高1、把下列各式分解因式：5a2b223ab 10x25xy 6 y2x410x292、已知：x 211x 24 0 ，求x的取值范围。
初高中衔接-第4讲、韦达定理
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b c x x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
（2）常见变形：2212x x +=1211x x +=2112x x x x +=12x x -==++)1)(1(21x x 注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
初高中衔接——韦达定理
高一数学（初高中数学知识衔接）——一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【知识链接】已知，、是关于x 的一元二次方程的两根。
求证：； 分析：由求根公式计算一下， 可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。
证明：由求根公式有：，∴注：① 当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x 的方程时，则由韦达定理知：，，即12()p x x =-+,12q x x =⋅②以两个数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:21212()0x x x x x x -++⋅=【例题分析】例1：不解方程，求下列方程的12x x +与12x x ⋅：（1）25100x x --= （2）22710x x ++=（3）23125x x -=+ （4）(1)37x x x -=+（5） 2310x x -+= (6)2322x x -=1x 2x )0( 02≠=++a c bx ax a b x x -=+21ac x x =⋅21aac b b x 242-±-=21x x +21x x ⋅a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=a b a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a ac b b a ac b b x x 24242221---⋅-+-=⋅2224)4()(a ac b b ---=a c a ac b b =+-=2224402=++q px x p x x -=+21q x x =⋅21例2：关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝例3：已知：、是方程两个实数根。
求：①； ②；③； ④；⑤ ⑥12x x -例4：m 为何值时，的两根均为正【练习】一、选择题1.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．B ．C ． D． 2、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A 、0 B 、－1 C 、1D 、±1 3．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）1x 2x 0252=--x x 21x x +21x x ⋅2111x x +2221x x +)1)(1(21--x x 0)32()1(2=-++-m x m x 0122=--x x 0322=+-x x 3322-=x x 0442=+-x xA.271250x x -+=B.261350x x --=C.242150x x ++=D.21580x x +-=4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B.且 C. D. 且5．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. 0p q ==B. 0p =，0q ≠C. 0p ≠，0q = D .0p ≠，0q ≠6．关于x 的一元二次方程2250ax x a a -++=的一根是0，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．0 或1-7．若方程的两根为、，则的值为( ) A ．3 B ．－3 C ． D ． 8.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．259、以5-和5+为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-10x-1=0B ．x 2+10x-1=0C ．x 2+10x+1=0D ．x 2-10x+1=010、若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是（ ） A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定二、填空题 11． 若方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x =12．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p q +=13.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是14.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝16、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是17、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >， 则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x 2+6x +8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy +6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
一元二次方程提优、十字相乘、韦达定理、习题
十字相乘法解一元二次方程【十字相乘定义】我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即 ，其中常数项6分解成 两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6= ，且 =5。
一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到运用 公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
把2x px q ++分解因式时：如果常数项q 是正数，那么把它分解成 ，它们的符号与 相同。
如果常数项q 是负数，那么把它分解成 ，其中 相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解。
我们知道： 反过来，就得到：我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
【十字相乘习题】例1 （1）232x x ++=0 （2） 2421x x --=0例2 (1) 2273x x -+=0 (2) 2675x x --=0(3) 03522=--x x (4)22157x x ++=0(5) 2384a a -+=0 (6) 2576x x +-=0(7) 261110y y --=0 (8) 05522=+-x x(9) 02522=+-x x (10) 0652=--x x(11) 01682=++x x (12) 0262=-+x x(13)03)31(2=+++x x【作业】(1) a 2－7a+6=0； (2)8x 2+6x －35=0；(3)18x 2－21x+5=0； (4) 20－9y －20y 2=0；(5)2x 2+3x+1=0； (6)2y 2+y －6=0；(7)6x 2－13x+6=0； (8)3a 2－7a －6=0；(9)6x 2－11x+3=0； (10)4m 2+8m+3=0；(11)10x 2－21x+2=0； (12)8m 2－22m+15=0；(13)4n 2+4n －15=0； (14)6a 2+a －35=0；(15)5x 2－8x －13=0； (16)4x 2+15x+9=0；(17)15x 2+x －2=0； (18)6y 2+19y+10=0；(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2=0； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20=0一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【韦达定理】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 证明：【韦达定理用处】（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：小结：【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
初高中衔接十字相乘法
二次项系数为1的十字相乘法
1、形如： x2 ( p q)x pq型
【例 1】把下列各式因式分解： (1) x2 7x 6 (2) x2 13x 36
说明：此例可以看出，常数项为正数时， 应分解为两个同号因数，它们的符号与一 次项系数的符号相同。
二次项系数为1的十字相乘法
暗线本作业
暗线作业： 1.把下列各式分分解因式:
(1)2x2 15x 7
(2)3a2 8a 4
(3)5x2 7x 6
(4)6 y 11y 10
(5)x2 7xy 12y2
(6)x4 7x2 18
(7)4m2 8mn 3n2
(8)(2a b)2 14(2a b) 48
(1)12x2 5x 2 (2) 2x2 5x 3 (3) 3x2 8x 3
二次项系数不为1的十字相乘法
2、形如： ax2 bx c型
【例 5】把下列各式因式分解： (1） x4 10x2 9 (2） 5x2 6xy 8 y2
(3) ( p q)x pq型
【例 2】把下列各式因式分解：
(1) x2 5x 24
(2) x2 2x 15
说明：此例可以看出，常数项为负数时， 应分解为两个异号的因数，其中绝对值较 大的因数与一次项系数的符号相同。
二次项系数为1的十字相乘法
1、形如： x2 ( p q)x pq型
【例 3】把下列各式因式分解： (1) x2 xy 6 y2 (2) (x2 x)2 8(x2 x) 12
说明：（1）中将y看成是x的系数，以x为 主元进行分解；（2）用整体思想或者用换 元法。
初升高数学衔接知识点
初升高数学衔接知识点1.绝对值绝对值的几何意义是表示一个数在数轴上的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是指在数轴上，这两个数之间的距离。
填空。
1) 若 x=5，则 x=5；若 x=-4，则 x=-4.2) 如果 a+b=5，且 a=-1，则 b=6；若 1-c=2，则 c=-1.选择题。
下列叙述正确的是（C）若a<b，则a<b。
化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
2.乘法公式我们在初中已经研究过了一些乘法公式。
1) 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2.2) 完全平方公式 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式。
1) 立方和公式 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.2) 立方差公式 (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.3) 两数和立方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.4) 两数差立方公式 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.练。
填空。
1) 1111.2) (4m+2)^2=16m^2+4m+4.3) a^2-b^2=(b+a)(b-a)。
4) (a+2b-c)^2=a^2+4b^2+c^2-2ab+2ac-4bc。
选择题。
1) 若 x^2+mx+k 是一个完全平方式，则 k 等于 1.2) 不论 a，b 为何实数，a^2+b^2-2a-4b+8 的值可以是正数也可以是负数。
3.分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
十字相乘法。
例1 分解因式。
1) x^2-3x+2.2) x^2+4x-12.3) x^2-(a+b)xy+aby^2.4) xy-1+x-y。
提取公因式法与分组分解法。
例2 分解因式。
1) x^3+9+3x^2+3x。
2) 2x^2+xy-y^2-4x+5y-6.练。
初高中衔接第三讲韦达定理
1.方程x 8 x 4 0两根分别为、 , 不解方程求：
2
(1)
1
(4) | |
1
(2) Βιβλιοθήκη 2 2(3)
3
3
2.(1)求作一个一元二次方程, 使它两根为 1 5和 1 5. (2)方程x 2 3 x 2 0, 不解方程, 求作一个一元二次 方程, 使它的一个根为原方程两根的平方和, 另一根 是原方程两根的平方.
对一元二次方程 ax 2 bx c 0 b b 4ac 1.求根公式： x (b 2 4ac 0) 2a 2.判别式： 0, 方程有两个不同实根；
2
0, 方程有两个相同实根； 0, 方程没有实根； b c 3.韦达定理： 1 x 2 , x1 x 2 x a a 4.以x1、x 2为根一元二次方程为 x 2 ( x1 x 2 ) x x1 x 2 0 因式分解ax bx c a ( x x1 )( x x 2 )
4.关于x 一元二次方程ax 2 5 x a 2 a 0的一个 根为0, 则a值是 A.0
2
B .1 C . - 1 D.0或 - 1
2
5.已知关于x方程x 2( m 2) x m 4 0有两 个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两根积 大 21, 求m值. 6.已知方程mx 2( m 1) x m 3 0, m为何值
2
时, 一元二次方程 (1)有实数根 ? (3)有两负根 ? (4)一正一负 ?
(2)有两正根 ?
练习： 方程x mx 1 0两根为x1、x2 ,
2
且 | x1 x2 | 2, 求m
初高中数学衔接知识点及习题
数学亲爱的2019届xx学子：恭喜你进入xx中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。
打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。
假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。
你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
初高中数学衔接知识(不等式)
分析:由图象知,当x=2时，y有最小值，
ymin=f（2）=-7， 当x=-1时，y有最大值，
y =f（-1）=11，
max
-1 O
2 4x
-7
2019年5月21日星期二
四、二次函数的最值问题
1．当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当 x 1时， ymin 4 ，当 x 2 时， ymax 5 ．
2019年5月21日星期二
二、二次函数的三种表示方式
例2.已知抛物线的顶点为(－1,－3),与轴交点为(0,－5),求抛物线的解 析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3 由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上
把点( 0,-5 )代入y=a(x＋1)2-3得a-3=-5 即a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3 即：y=－2x2-4x－5 例3.已知抛物线与X轴交于A(－1,0), B(1,0)并经过点M(0,1), 求抛物 线的解析式？
2019年5月21日星期二
二、二次函数的三种表示方式 1．一般式： y ax2 bx c (a 0)
2．顶点式：y a(x h)2 k(a 0) 顶点坐标是 (h, k)
3．交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
其中 x1, x2 是二次函数图象与x轴交点的横坐标
(3)代数式一定是整式
2019年5月21日星期二
一、二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像和性质 二对次 称函 轴数 是y_=__xx_=2-—_12x_-6_的__图。象顶点坐标是_（__—12_，__-_—24_5）__
十字相乘法与韦达定理
十字相乘法与韦达定理十字相乘法一、 知识准备：(1) 左边：x a 与x b 的形式； (2)右边：二次项系数为 1 ；常数项的和(a b)为一次项的系数；常数项的积ab 作为常数项；直接写出结果：(x 2)(x 3) = ______________ ， (x 3)(x 4)= ___________________ ， (x 5)(x2) = ______________ ， (x 8)(x 6) = ___________________ ，二、 探究活动：1、(x a)(x b) x 2 (a b)x ab 反过来： x 2 (a b)x ab ________________________________也就是说，对于二次三项式 x 2 px q ，如果常数q 能分解为两个因数 a ，b 的积，并且 __________________________ 常 数q 等于两个因数a ，b 的和时，就可以用上面的公式分解因式。
(1)对于二次项系数为 1的二次三项式：x 2 (a b)x ab (x a)(x b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”(多试)① 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；② 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.练习：解方程(用十字相乘法)(2)对于二次项系数不是 1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间，多试验”注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的 和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.1、 把下列各式分解因式：2、已知：x 211x 24 0,求x 的取值范围。
3、 已知：长方形的长、宽为 x 、y ，周长为16cm,且满足x y x 2 2xy y 2 2 0，求长方形的面积。
课后作业1.如果x 2px q(x a )(x b)，那么 p 等于()A . abB.a + b C-abD.—(a + b )2.如果x (a b) x 5b x 2x 30，则 a= , b= ------ ；3.多项式x 3x a 可分解为(x — 5)( x — b )，则a= ____________ , b= _____2x 2 5x 2 ； 3x 2 8x 35x 2 7x 6(3)解方程：4x 24x 15=026x x 35 =0210x13x 4=0韦达定理及其应用、知识要点4、使用韦达定理时应满足的条件：(1) 必须是(),即条件为(a 丰0 )求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2) 若这个方程的两个实根 x 1、x 2满足x 2| |x 1 2，求m 的值及相应的x 1、x 2 .【例4】 设x 1、x 2是方程2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0的两个实数根，当 m 为何值时，勿2 x ?2求出这个最小值.17【例5】已知：四边形ABCD 中，AB// CD 且AB CD 的长是关于x 的方程x 22mx (m 3 )2上2 4(1) 当m = 2和m>2时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形？并说明理由.(2) 若M N 分别是AD BC 的中点，线段 MN 分别交 AC BD 于点P , Q, PQ= 1，且AB<CD 求课后练习A 组2 求与已知方程的两个根有关的代数式的值(2) 方程必须有( ),即条件为(b2-4ac > 0 ) 、韦达定理的应用：i.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数4. 解方程:5. 解方程1、 若一元二次方程ax 2 3 4 5 bx中，两根为X i ， X 2。
初升高衔接数学十字相乘法及韦达定理课件-高一上学期
所以顶点坐标为(1，4）
(2)方法一：由(1)知m＝2，所以－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.
得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1.
(3)由题图知，当抛物线在 x 轴上方时，图象上点的纵坐标大于0.这部分图
得(2x−1)(x−3)=0，
1
解得x1= ，x2=3.
2
能力提升
用十字相乘法分解下列因式
1、x4+7x2+6
解：1.原式= （x2+1）（x2 +6）
2.原式= （x-y）（x -4y）
2、x2-5xy+4y2
二、一元二次方程根的情况
2
例如：解方程 mx ＋2x＋1＝0.
(1)判断依据：对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝0(a≠0)，有
象上点的横坐标介于A,B两点的横坐标之间．所以当－1<x<3时，y>0.
X1+X2=
X1 X2 =
练习： X1与X2是方程X2-X-1=0的两根
求 X1+X2=
X1X2=
+ =
X12+X22=
练习：已知 x 1，x 2 是方程 x 2－2x－1＝0 的两个实数根，
1
1
求 (1)x 1＋x 2； (2)(2x 1－1)(2x 2－1)；
(3) ＋
x1
x2
能力提升
b
c
那么 x1＋x2＝－a ，x1x2＝a ，这一关系也被称为韦达定理．
(2)应用：若已知 x1，x2 是一元二次方程的两个根，
高中数学初高中衔接读本专题1.2十字相乘法高效演练学案.doc
第2讲 十字相乘法因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。
【知识梳理】1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；2．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．3．因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系．（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘．4．因式分解的思路：（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止．5．因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）．【高效演练】1．将下列各式因式分解：（1）x x --267； （2）2x 3﹣6x 2+4x ； （3）a ab b +-2245； （4）x x 223+-；（5）5431016ax ax ax -+；（6）a b ab 221639++ ；（7）15742122x x y y n n n n +-++；（8）()()x x x x 222322372+-++；【答案】(1) (1)(7)x x +-； （2）2x （x ﹣1）（x ﹣2）；（3）(5)()a b a b +-；（4）()()()()()x x x x x x x 22221412121231++-=+-=+++-=+-；（5）3(2)(8)ax x x --；（6）原式()()()=++=++ab ab ab ab 21639313（7）原式()()=-+++35411x y xy n n n n （8）原式()()()()()()=+-+-=+-+-x x x x x x x x 22343184163 2.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
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一、因式分解（十字相乘）。
十字相乘法：它的特征是“拆两头，凑中间”（12.21）
二、韦达定理：方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为21,x x 则___21=+x x ____21=x x 。
()21221214x x x x x x -+=
- 。
2122122212x x x x x x -+=+）（
练习：
一、把下列各式分解因式： 1、1522--x x 2、3722
+-x x
3、21152-+-y y 4 、101132++x x
5、3522---x x ；
6、 2
265y xy x +-
7、225163b ab a -+- 8、 ()()2762
-+-+b a b a
二、1、已知21,x x 是方程03522=--x x 的两根，则：
1）___21=+x x 。
2）________21=x x 。
3）
_______1121=+x x 。
4）________2221=+x x 。
5）()()________1121=++x x 。
6）21x x -= 。
2、二次项系数为1的二次方程，两根之和为5，两根之积为6，求二次方程
3、一元二次方程0232=++ax x 的一个根为
31，则另一个根为 =a 4、方程()002≠=++p r qx px 的两根为1,0-求p q :
三、一元二次不等式及其解法
形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．口诀：一化正；二求根；三大于取两边、小于取中间
1、解下列一元二次不等式
071522≤++x x 042≤-x 0162≤-+x x
2230x x --+≥ 10732>-x x
(2)(3)6x x +-< 041132>+--x x
03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x
2、填空题
1）不等式(1)(12)0x x -->的解集是
2）已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N =
3）不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
4）不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是_______________ 四、恒成立
步骤：1、根据题意初步画图，判断开口方向、有无交点；
2、计算判别公式ac b 42-=∆（0,0,0=∆>∆<∆）
eg ：022≥+-m x x 成立对任意R x ∈。
5）.不等式2
20mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；
6）若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是______________。