中考必做的36道压轴题及变式训练

解得： 所以抛物线的解析式为：
（2）设M的坐标为（x， ），则N的坐标为（x， ），
MN=
=
当 时，MN有最大值为
（3）当 时，解得 ，
故A（1,0），B（5,0），所以AB=4
由（2）可知，N的坐标为（ ， ）
∴
则 ，那么
在y上取点Q(-1，0)，可得
故QP∥BC
则直线QP的解析式为
当 时，解得 ，
∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°
∴∠FBA=∠MAF=∠MFA
又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ ， =
过点F作FG⊥ 轴于点G,在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，
∴P(－ , 0)
设直线PF： ，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入 解得 = ， = ，∴直线PF：
【答案】解：（1）将B（4，0）代入 中，得：
∴抛物线的解析式为：
（2）∵当 时，解得 ，
∴A点坐标为（－1，0），则OA=1
∵当x=0时，
∴C点坐标为（0,－2），则OC=2
在Rt⊿AOC与Rt⊿COB中，
∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB
∴∠ACO=∠CBO
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°
在Rt△FCN中，FC= +2，NC=NB-CB= ,∴ ＝ ＝ =
而 = ＝
∴ ＝ ，NF=NB
（3）连结AF、BF
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥ 轴，NB⊥ 轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,
所以，方程ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根.
所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.………3分
（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－ ）2－ ，
所以，点C的坐标为（ ，－ ）.
当y＝0时，a（x－m）2－a（x－m）＝0.解得x1＝m，x2＝m＋1.所以AB＝1.
当m不小来自百度文库5时成立，即y1＋y2＞y3成立．
所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，
变式二（重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线 的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN//y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
在Rt△PNH中，
PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，
PM2=（ -y）2=y2- y+ ，
（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.
【答案】（1）证明：y＝a（x－m）2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.
因为当a≠0时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.
则向左平移后得到图象G的解析式为： ，（ ）.
此时平移后的一次函数的解析式为 .
若平移后的直线 与平移后的抛物线 相切.
则 有两个相等的实数根。
即一元二次方程 有两个相等的实数的根。
∴判别式=
解得： 与 矛盾.
∴平移后的直线 与平移后的抛物线 不相切.
∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为 和 .
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．
第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”
（例题）23．（河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A、B两点，点A在 轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（ 不与A、B重合），过点P作 轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及 的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含 的代数式表示线段PD的长，
并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成
两个三角形，是否存在适合的 值，
使这两个三角形的面积之比为9:10?
若存在，直接写出 值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）由 ，得 ∴
由 ，得 ∴
∵ 经过 两点，∴ ∴
中考必做的36道压轴题及变式训练
第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”
例1(北京，23,7分)在平面直角坐标系 O 中，抛物线
（ ）与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线 与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 的解析式；
（3）若该抛物线在 这一段位于直线 的上方，并且在 这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
那么⊿ABC为直角三角形
所以⊿ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（1.5，0）
（3）连接OM.设M点坐标为（x， ）
则
=
=
∴当x=2时，⊿MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，－3）
变式（安徽芜湖24）面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'．
Ⅰ、当m=1+ 时，P点的坐标为（1+ ， ），M点的坐标为（1+ ， ）
Ⅱ、当m=1- 时，P点的坐标为（1- ， ），M点的坐标为（1- ， ），
经过计算可知PF=PM，
∴△MPF为正三角形，
∴P点坐标为：（1+ ， ）或（1- ， ）．
（3）当t= 时，即N与F重合时PM=PN恒成立．
证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，
解方程 ，得 =－3或 =2（不合题意，舍去）
当 =－3时， = ，∴M（－3 , ）
变式一25．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y= 作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x=1上有一点F(1， )，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b－3，解得b=－2.
当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.
（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，
∴抛物线与直线l的交点横坐标为－1；
当x＝－1时，y＝－2x(－1)＋2＝4
则抛物线过点（－1，4）
当x＝－1时，m＋2m－2＝4，m＝2
∴抛物线解析为y＝2x2－4x－2.
连接（江苏南京，26，9分）已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
设直线AB与 轴交于点 ，则
∵ ∥ 轴，∴ .
∴
（2）由⑴可知抛物线的解析式为
∴
在 中，
∵ ∴当 时， 有最大值
②存在满足条件的 值，
【提示】
分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
在 中，
又
∴ ．
当 时，解得 ；
当 时，解得 ．
变式一27．（江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．
所以m＝－ ，或m＝ ，或m＝ .………9分
变式:（北京，23，7分）已知二次函数 在 和 时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数 的图象与二次函数的图象都经过点 ，求 和 的值；
（3）设二次函数的图象与 轴交于点 （点 在点 的左侧），将二次函数的图象在
点 间的部分（含点 和点 ）向左平移 个单位后得到的图象记为 ，同时将（2）中得到的直线 向上平移 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．
解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，
可得- =1， =1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，
故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m， ），
所以P点坐标为（2， ），（ ， ），
第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”
（例题）
（四川资阳，25，9分）抛物线 的顶点在直线 上，过点F 的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥ 轴于点A，NB⊥ 轴于点B．
（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 的代数式表示），再求 的值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为 ，△ABN的面积为 ，且 ，求点P的坐标.
【答案】解：（1）设直线BC的解析式为 ，将B（5，0），C（0，5）代入有：
解得： 所以直线BC的解析式为
再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线 有：
（2）(3分)设点N的横坐标为 ，试用含 的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（3）(3分)若射线NM交 轴于点P，且PA×PB＝ ，求点M的坐标．
答案：解（1）
∴顶点坐标为(－2 , )
∵顶点在直线 上，
∴－2+3= ，得 =2
（2）∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为
即点N( , )
过点F作FC⊥NB于点C，
则 ，解得：
，解得：
∴
第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破
（例题）（湖南湘潭，26，10分） 如图，抛物线 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，已知 点坐标为 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点 是线段 下方的抛物线上一点，求 的面积的最大值，并求出此时 点的坐标.
解：（1）当x＝0时，y＝－2.
∴A（0，－2）．
抛物线对称轴为x＝ ，
∴B（1，0）．
（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，－2）
则直线l经过A、B.
没直线的解析式为y＝kx＋b
则 解得
∴直线的解析式为y＝－2x＋2．
（3）∵抛物线对称轴为x＝1
抛物体在2<x<3这一段与在－1<x<0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x<1这一段位于直线l的上方，在－1<x<0这一段位于直线l的下方．
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m- ）2=（m-1）2+（ - ）2
∴-m2+2m- = 或-m2+2m- =- ，
①当-m2+2m- =
时，即-4m2+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式无解
②当-m2+2m- =- 时，即m2-2m=-
∴m=1+ 或m=1-
当△ABC的面积等于1时， ×1× ＝1.
所以 ×1×（－ ）＝1，或 ×1× ＝1.
所以a＝－8，或a＝8.
②当x＝0时，y＝am2＋am.所以点D的坐标为（0，am2＋am）.
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
×1× ＝ ×1×
×1×（－ ）= ×1×（am2＋am），或 ×1× = ×1×（am2＋am）.
有公共点时， 的取值范围。
【答案】（1）
①方法一：∵二次函数 在 和 时的函数值相等
∴ .
∴ .
∴这个二次函数的解析式是
②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为
则
∴ .
∴这个二次函数的解析式是 .
（2）∵二次函数的图象过 点.
∴ .
又∵一次函数 的图象经过点
∴
∴
（3）令
解得：
由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为 ，（ ）.