亳州一中南校高二(理科)数学综合试卷三

亳州一中南校高二（理科）数学综合试卷三
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．设全集U =Z ,集合{1,2}M =与{|2,}P x x x =<∈Z 关系的 韦恩()venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合为（ ）
A ．{2,1,0}--
B ．{0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{1,0}-
2．命题“2
,0x R x x ∃∈-<”的否定是
（ ）
A ．2
,0x R x x ∃∈-≥B ．2
,0x R x x ∃∈->C ．2
,0x R x x ∀∈-≥ D ．2
,0x R x x ∀∈-<
3．等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ，若75a =，721S =，那么10S 等于 （ ）
A ．55
B ．40
C ．35
D ． 70
4．=+-⎰
-dx x x )1(1
1
2
（ ）
A ．π
B ．
2
π
C ．1+π
D ．1-
π 5．在
ABC ∆中,
60=A ,a b ==则B 等于
（ ）
A ．
45或
135 B ．
135 C ．
45 D ．0
30
6．设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值是
（ ）
A ．1-
B ．4
C ．2
D ．12
-
7．函数x y 2sin =的图像经过怎样的平移变换得到函数)23
sin(x y -=π
的图像 （ ）
A ．向左平移
32π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3
π个单位 8．如图是函数)(x f 的图像，则)(x f 的导函数的图像可能是
（ ）
A B C D
9．对于定义在实数集R 上的函数()f x ，若()f x 与)2(+x f 都是偶函数，则
（ ）
A (1)f x -为偶函数
B ．)1(+x f 为奇函数
C ．)2(-x f 为偶函数
D ．)3(+x f 为奇函数
10．设⎩⎨⎧-=-)
1(3)(x f x f x
(0)(0)x x ≤> ， 若a x x f +=)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．)1,(-∞
B ．]1,(-∞
C ．]2,(-∞
D ．)2,(-∞
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．若函数)(x f 满足221
)1(x
x x x f +=+
，则=)2(f 12．已知0,0>>y x ，若1=+y x ，则
y
x 4
1+的最小值是 13．如图①②③…是由花盆摆成的图案,根据图中花盆摆放的规律,第n 个图案中花盆数
n a =
(3)
(2)(1)
14．在ABC ∆中，2=AC ，若O 为ABC ∆的外心，则=⋅
15．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：其中正确的命题序号是 ①若αββα//,,l l 则⊥⊥②若βαβα⊥⊥则,//,l l
③若αα//l l 的距离相等，则上有两点到④若βγγαβα⊥⊥则,//,
三、解答题（本答题共6小题，共75分）
16．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等比数列，且5
3
cos =B （1）求
C
C
A A sin cos sin cos +的值； （2）设=⋅BC BA 3,求c a +的值。

17．（12分）已知向量a ))cos(),sin(2(θωθω++-=x x ，b ))cos(32),(cos(θωθω++=x x
,0(>ω))0,2
(π
θ-
∈，函数=)(x f a ·b 3-，且)(x f 的图像上的点)3,0(A 处的切线斜率
为2
（1）求ω和θ的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间。

18．（12分）上海某玩具厂生产
x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元,且
]200,0(,101510002∈+
+=x x x P ,而每套售出价格为Q 元,其中，，5000(>+=a b x
a
Q )5>b ,问: ⑴该玩具厂生产多少套吉祥物时,使得每套成本费用最低？
⑵若产出的吉祥物能全部售出,问产量多大时,厂家所获利润最大?
19．（13分）在多面体ABCDEFG 中，底面ABCD 是等腰梯形，
422===BC AB AD ,ED GC AF ////且ED GC AF ==，ABCD AF 底面⊥，2=AF ，H 是棱EF 的中点 （1）证明：平面⊥ACH 平面CDE ； （2）求平面FGB 与底面ABCD 所成锐二面角的正切值。

20．（13分）已知函数e R a x a x x f ,)(2()2ln()(∈-+-=是自然对数的底） （1）求)(x f 的单调区间；
（2）当0>a 时，若方程0)(=-b x f 在区间)2,2[a
e
-
上有两个不同的实根，求证：a b a e ln 1ln 1--<≤--。

21．（13分）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且对任意*
N n ∈都有)1(2-=n n a S ，记n
n n
S n f ⋅=23)(
（1）求n a ；（2）试比较)1(+n f 与
)(4
3
n f 的大小； （3）证明：3)12()2()1()()12(<-+⋅⋅⋅++≤-n f f f n f n 。

D
E
参考答案
一、选择题
1-5 DCBBC 6-10 ABACD 二、填空题
11．2 12． 9 13． 1332
+-n n 14． 2 15． ②④ 三、解答题
16．解（1）由已知ac b =2
，由正弦定理得C A B sin sin sin 2
=………………………3分 由53cos =
B ，则5
4sin =B C
A B
C A C A C A A C A C C C A A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos =+=+=+
4
5
sin 1==
B …6分 （2）由3=⋅，得5=ac …………………………………………………………8分 由余弦定理：5
3
22
2
2
⨯
-+=ac c a b …………………………………………………10分 21)(2=+∴c a
21=+∴c a …………………………………………………．．．12分
17．解：①由已知3)(cos 32)cos()sin(2)(2-++++-=θωθωθωx x x x f
）
θωθω22cos(3)22sin(+++-=x x )3
222sin(2π
θω+
+=x …………………………………………2分 由点)3,0(A 在)(x f 的图像上及6
)0,2
(π
θπ
θ-
=-∈得……………… …4分
由1,2)0()3
222cos(4)(''==++=ωπ
θωω得及f x x f … …………………6分 ②由①)3
2sin(2)(π
+
=x x f 由复合函数得单调性知)(x f 得单调递增区间满足：
2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-k x k )(Z k ∈ …………………………………8分
12
125ππππ+≤≤-
k x k )(Z k ∈………………………………………………10分 ∴)(x f 单调递增区间是)](12
,125[Z k k k ∈+-π
πππ…………………………12分
D E H
18．解：（1）x x
x x P
2
10151000+
+=……………………………………………………2分
25510
1000≥++=x x （当且仅当100=x 时，取等号）
∴生产100万套时，每套成本费用最低………………………………………………．
．4分 （2）由题设，利润 1000)5(10
1
)10151000()(
)(22-+-+-=++-+=a x b x x x x b x a x f ，
]200,0(∈x ……………………………………………7分
当200)5(5≤-b ，即45≤b 时，100)5(2
5
)]5(5[)(2max ++-=
-=a b b f x f ∴当产量为255-b 万套时，利润最大…………………………………………………10分
当45>b 时，函数)(x f 在]200,0(上是增函数，
∴当产量为200万套时，6000200)(max -+=a b x f ………………………………12分
19．（1）在等腰梯形ABCD 中， CD AC ADC CD AD ⊥∴=∠=,60,2 ………3分
又⊥AF 底面ABCD ，∴,//CG AF 面⊥CDEG 面ABCD ，⊥∴AC 面CDE
⊆AC 面ACH ，∴面⊥ACH 面CDE ………………………………………………6分
（2）过G 作GN//BC 且GN=BC ，则面GFN//面ABC,且梯形GEFN 与梯形ABCD 全等， 则二面角B-FG-N 的正切值即为所求……………．9分 取FG 的中点O ，连结NO,BO,．
NFG ∆ 是等腰三角形，FG NO ⊥∴ 由三垂线定理知BON BO FG ∠∴⊥,
即为所求二面角的平面角……………………12分
在等腰三角形NFG 中，,12
1
==
EG NO 故所求锐二面角的
正切值为2。

……… 13分
（建立坐标系的解答可参考给分） 20．解：（1）)2(2
1
221)('<-+-=+-=x x a ax a x x f …………………．．2分 当0≤a 时，0)('<x f ，)(x f ∴是减函数……………………………………………4分
当0>a 时，)12,(a x -
-∞∈，0)('>x f ；)2,1
2(a
x -∈时，0)('<x f
此时，)(x f 的单调增减区间分别为)12,(a --∞，)2,1
2(a -………………6分 （2）0>a ，由（1）知11
ln )12()(max -=-=a
a f x f ……………8分
当)2,12[a x -∈时，)(x f 的值域是]11
ln ,(--∞a
………………………10分
由图像可知，当)12()2(a f b a e f -<≤-时，即11
ln ln -<≤-a
b e a e 时，
函数)(x f y =与函数b y =的图像有两个交点，即
当a b a e ln 1ln 1--<≤--时，方程b x f =)(有两个不同解。

……………13分
21．解：（1）当n=1时,由)1(2111-==a a S ,得21=a 当1>n 时，1112,22---=∴-=-=n n n n n n n a a a a S S a
)1(2>=∴n a n n n=1适合上式
n n a 2=∴…………………………………………………………………………………3分
（2）∵222
1)
21(21-=--=
+n n n S
∴)
22(2343)22(23)(43)1(1
211---=-+++++n n n
n n n n f n f
0)2
21
121(232121<---=++++n n n n
∴)(4
3
)1(n f n f <
+…………………………………………………………………6分 （3）)
22(23)22(23)2()(1
2221-+-=-++---+k n k n k
n k k k k n f k f )
22)(22(1
)23(21
21--⋅≥+-+k n k n
而)22(42)22)(22
(22222121
+-+++-++-+=--k n k n k n k
2122222)22(22242-=⋅-+≤++-++n k n k n …………………9分
∴)
22(23)22(23)2()(1
2221-+-=-++---+k n k n k
n k k k k n f k f )
22)(22(1
)23(21
21--⋅≥+-+k n k n
),3,2,1(),(2221)23(21 ==-⋅⋅≥+k n f n n ∴ )(2)12()1(n f n f f ≥-+
)(2)22()2(n f n f f ≥-+
……
)(2)1()12(n f f n f ≥+-
相加得 1),()12()12()2()1(=-≥-+++n n f n n f f f 时取等号。

……11分
由)1()43()1()43()(43)1(2f n f n f n f n <<-<<+ 和4
3
)1(=f ∴)1()
4
3()1()43()1(43)1()12()2()1(2
22f f f f n f f f n -+++<-+++ ])4
3
(1[44312--⋅⨯=n ])4
3
(1[312--⋅=n
3<…………………………………………13分。