湖北省黄梅县2013届高三高考仿真模拟考试数学(文)试卷

本试卷共4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将试卷类型A或B后方框涂黑。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，监考人员将答题卡和试题卷一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合要求）
1．如果复数（2－bi）i（其中b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b=（）A．2 B．－2 C．－1 D．1
2．设集合A=｛x|－3＜x＜1｝，B=｛x|log2|x|＜1｝则A∩B等（）
A．（－3，0）∪（0，1）B．（－1，0）∪（0，1）
C．（－2，1）D．（－2，0）∪（0，1）
3．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）
A B．6
C D．2
5
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（）
A．α⊥β，m⊂αB．m⊥α，α⊥βC．m⊥n，n⊂βD．m∥n，n⊥β
6．已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足
220
20
10
x y
x y
y
-+
⎧
⎪
+-
⎨
⎪-
⎩
≥
≤
≥
，则PQ的最小值为（）
A
B
C．5 D．以上都不对
7．如图，在△OAB中，∠AOB=120°，OA=2，OB=1，C、D分别是线段OB和AB的中点，那么OD AC
⋅=（）
A．－2 B．－3
2C．－1
2
D．3
4
8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）
A．9
16B．1
2
C．7
16
D．3
8
9．已知双曲线
22
2
1
9
y x
a
-=的两条渐近线与以椭圆
2
2
1
259
y
x+=的左焦点为圆心、半径为16
5
的圆相切，则双曲线的离心率为（）
A．5
4B．5
3
C．4
3
D．6
5
10．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－log a(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（）
A．（0
B．（0
）C．（1
）D．（1
）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
11．若命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为．
16．已知函数f (x sin2x －cos2x ，x ∈R ，给出以下说法：
①函数f (x )的图象的对称轴是x =2
k π+3π，k ∈Z ；
②点P （712
π，0）是函数f (x )的图象的一个对称中心；
③函数f (x )在区间［2π，π］上的最大值是12
；
④将函数f (x )的图象向右平移12
π个单位，得到函数g (x )=sin2x x 的图象．
其中正确说法的序号是 ．
17．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学
科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），则第四的白圈与黑圈的“坐标”为 ．照此规律，第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为 ．
三、解答题（共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分12分）
在等差数列｛a n ｝中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列｛b n ｝的各项均为正数，
b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，q =2
2
S b （Ⅰ）求a n 与b n ；
（Ⅱ）数列｛c n ｝满足c n =1n
S ，求｛c n ｝的前n 项和T n ．
19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足b cos C =（3a －c ）cos B ． （Ⅰ）求cos B ；
（Ⅱ）若BC BA =4，b
，求边a 、c 的值．
21．（本小题满分14分）
已知直角坐标平面内一动点P 到点F （2，0）的距离与直线x =－2的距离相等． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点M （m ，0）（m ＞0）作直线与曲线C 相交于A ，B 两点，问：是否存在
一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分14分）
设函数f (x )=ln x －12
ax 2－bx ．
（Ⅰ）当a =b =12
时，求函数f (x )的最大值；
（Ⅱ）令F （x ）=f (x )+12
ax 2+bx +a x （0＜x ≤3）其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切
线的斜率k ≤12
恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当a =0，b =－1时，方程2mf (x )=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．
数学(文史类)模拟试题参考答案
一、选择题(每小题5分，共50分)
11．［－2，2］ 12． 9
13． 30
14． 23
15．542
π+
16． ①②④
17．(14，13)
113131,22n n n N --+⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭
三、解答题(本大题共5小题，共65分)
19．解：(Ⅰ)由正弦定理和b cos C =(3a －c )cos B ，得
sin B cos C =(3sin A －sin C )cos B ，
化简，得sin B cos C +sin C cos B =3sin A cos B ， 7即sin (B +C )=3sin A cos B ， 故sin A =3sin A cos B ． 因为sin A ≠0，
所以cos B =13． ...................................................................................................... 6分
(Ⅱ)因为BC ·BA =|BC |·|BA |·cos B =4． 所以|BC |·|BA |=12，即ac =12． ①
又因为cos B =222
123
a c
b a
c +-=，
整理，得a 2+c 2=40． ②
联立①②2240
12a c ac ⎧+=⎨=⎩
解得
{
26a c ==或{
62
a c == ............................................................................................. 12分
21．解：(Ⅰ)由抛物线的定义，知所求P 点的轨迹是以F (2， 0)为焦点，直线x =
－2为准线的抛物线．其方程为y 2=2px ，其中
2
p
=2，p =4． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2=8x ． ......................................................... 5分 (Ⅱ)设过点M 的直线方程为x =λy +m ，代入y 2=8x ，得
y 2－8λy －8m =0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2=8λ，y 1y 2=－8m ． 于是x 1+x 2=λ(y 1+y 2)+2m =8λ2+2m ． ∴AB 的中点坐标为(4λ2+m ，4λ)． 又AB
=
．
设存在直线x =x 0满足条件，则2|4λ2+m －x 0
化简，得(16+8x 0)λ2+8m －m 2－x 02+2mx 0=0．
所以，(16+8x 0)λ2+8m －m 2－x 02+2mx 0=0对任意的λ成立， 所以022
00
1680820x m m x mx +=⎧⎨--+=⎩，解得x 0=－2，m =2． 所以，当m =2时，存在直线x =－2与以线段AB 为直径的圆始终相切． ... 14分
22．解：(Ⅰ)依题意，知f (x )的定义域为(0，+∞)，
当a =b =12时，f (x )=ln x －14x 2－12
x ，
f '(x )=(2)(1)
111222x x x x x
-+---= ....................................................................... 2分
令f '(x )=0，解得x =1.(∵x ＞0)
当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，此时f (x )单调递增；
当x ＞1时，f '(x )＜0，此时f (x )单调递减；
所以f (x )的极大值为f (1)=－34
，此即为最大值 .............................................. 4分
(Ⅱ)F (x )=ln x +a x ，x ∈(0，3］，则有k =F'(x )=020
12x a
x ≤，在x 0∈(0，3］上恒成立，
∴a ≥(－2
012
x +x 0)max ，x 0∈(0，3］
当x 0=1时，－2
012x +x 0取得最大值12，所以a ≥12
.......................................... 8分。