最大公约数与最小公倍数应用
小学五年级数学最大公约数和最小公倍数 应用题
小学五年级数学最大公约数和最小公倍数应用题1.一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是多少厘米？每个正方形的面积是多少平方厘米？可以裁多少个这样的正方形？解：首先求出96和60的最大公约数，即24.所以可以将纸张裁成4行和2列，每个小正方形的边长为24厘米，面积为576平方厘米。
一共可以裁10个这样的正方形。
2.把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少厘米？至少需要多少个这样的长方形？解：首先求出12和9的最大公约数，即3.所以每个小长方形的面积为108平方厘米。
要拼成正方形，每条边的长度必须相等，因此正方形的面积为若干个小长方形的面积之和。
设正方形边长为x，则有x^2 = n × 108，其中n为至少需要的小长方形个数。
将108分解质因数得到2^2 × 3^3，则x^2 = 2^2 × 3^3 × n。
因为x是整数，所以n必须是完全平方数，且至少为4.因此n的取值为4、9、16、25.对应的x分别为12、18、24、30.因为要求正方形的边长至少是多少，所以取最小值，即正方形边长为18厘米，需要9个小长方形。
3.___、___都爱在图书馆看书，___每4天去一次，___每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？解：___和___在相遇时，一定是在他们各自的“第几次去图书馆”的倍数相同的那一天相遇的。
设这个倍数为k，则___去图书馆的次数为4k，___去图书馆的次数为6k。
下一次相遇时，他们各自去图书馆的次数又必须是相同的倍数。
因此，下一次相遇时，___去图书馆的次数为8k，___去图书馆的次数为12k。
两次相遇之间的时间间隔为8k-4k=4k天。
因为要求至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇，所以k的取值应该是大于1的最小整数。
最大公约数法与最小公倍数法解应用题
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生？解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=6，42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：2×3×5=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。
这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是米，宽是米，厚是米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：米=325厘米，米=175厘米，米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
可以截成棱长是25厘米的小木块：3×7×13=273（块）答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
n个数最小公倍数和最大公约数的关系
n个数最小公倍数和最大公约数的关系最小公倍数和最大公约数是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和其他相关领域中有着广泛的应用。
本文将探讨n个数的最小公倍数和最大公约数之间的关系。
我们需要了解最小公倍数和最大公约数的定义。
最小公倍数（LCM，Least Common Multiple）是指能被两个或多个整数同时整除的最小正整数。
例如，2和3的最小公倍数是6，因为6能同时被2和3整除，且没有比6更小的数满足这个条件。
最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor）是指能同时整除两个或多个整数的最大正整数。
例如，8和12的最大公约数是4，因为4是8和12的公约数，且没有比4更大的数同时能整除8和12。
现在，让我们考虑n个数的情况。
假设这n个数分别为a1, a2, ..., an。
我们先来讨论最小公倍数。
要求n个数的最小公倍数，我们可以先求出任意两个数的最小公倍数，然后再将其与剩下的数求最小公倍数，直到求出n个数的最小公倍数。
根据最小公倍数的定义，我们可以得出以下结论：1. 若a和b的最大公约数为gcd(a, b)，则a和b的最小公倍数为lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)。
2. 若a、b和c的最小公倍数为lcm(a, b, c)，则lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)。
根据这个规律，我们可以逐步计算n个数的最小公倍数。
接下来，我们来讨论最大公约数。
要求n个数的最大公约数，我们可以先求出任意两个数的最大公约数，然后再将其与剩下的数求最大公约数，直到求出n个数的最大公约数。
根据最大公约数的定义，我们可以得出以下结论：1. 若a和b的最小公倍数为lcm(a, b)，则a和b的最大公约数为gcd(a, b) = a * b / lcm(a, b)。
2. 若a、b和c的最大公约数为gcd(a, b, c)，则gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。
最大公约数和最小公倍数的应用
最大公约数和最小公倍数的应用1：兄弟三人在外地工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过多少天？（一）：我们可以猜想，也就是进行推的过程。
兄弟三人在一天同时出发，也就是同时在一天回家。
下一次的情况：大哥6天后第一次回家，12天后第二次回家，18天后第三次回家，24天后第四次回家，也就是大哥24天后第四次回家；二哥8天后第一次回家，16天后第二次回家，24天后第三次回家，也就是二哥24天后第三次回家；小弟12天后第一次回家，24天后第二次回家，也就是小弟24后第二次回家；无论大哥、二哥和小弟是第几次回家，24天后他们都会再一次相聚。
此方法不适合数据较大的例子，并且作为应用题过程阐述上不够明确，实在是有点不妥当。
（二）：兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面经过的天数，应该是6的倍数，也是8的倍数，同时还是12的倍数，换句话说也就是：下次见面经过的天数是6、8和12的公倍数，而公倍数中只需求出最小公倍数（即：第一次相聚后的下一次相聚）6、8和12的最小公倍数是24兄弟三人同时在11日回家，三人下次见面要经过24天。
注：问题部分“兄弟三人同时在11日回家”中的“11日”，实际与下次见面要经过的时间天数无关，它就是一个叙述方式，一个为了表达完整的叙述方式。
2：一张长105厘米、宽75厘米的长方形铁皮，要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，这张长方形铁皮最少可以分成多少个正方形铁皮？分析：要分成大小完全相等的正方形铁皮且无剩余，也就是正方形的边长既是原来的长方形长的约数，也是原来的长方形宽的约数，即：正方形的边长是原来的长方形长和宽的公约数；又因为是求这张长方形铁皮最少可以分成多少个正方形铁皮，正方形的个数最少，也就是正方形的边长越大，回到刚才分析的正方形的边长是原来的长方形长和宽的公约数，而现在确切的是找边长最大正方形，就是找原来的长方形长和宽的最大公约数作为正方形的边长。
最大公约数与最小公倍数应用
最大公约数与最小公倍数应用(一)—、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md, b=nd,并且(m,n)二1。
例如：(24,54) =6,24=4X6,54=9X6, (4,9)二1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且aXb=[a, b] X (a,b)o例如：(18, 12) = , [18, 12]= (18, 12) X[18, 12] =3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
(运用性质2)练一练：甲数是36,屮、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
” 例3已知a 与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, Co 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12, 15]=60 的倍数。
再由[a, b, c]二120 知，a 只能是60 或120。
[a, c]=15, 说明c没有质因数2,又因为[a, b, c]=120=23X3X5,所以c=15o练一练：已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
习题四1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
小学五年级数学最大公约数和 最小公倍数应用题
小学五年级数学最大公约数和最小公倍数应用题最大公约数和最小公倍数在实际问题中的应用被称为公约数和公倍数问题。
解决这类问题的关键是先求出给定数的最大公约数或最小公倍数，然后根据问题要求进行计算。
例如，有三根铁丝，分别长为18米、24米和30米，现在要将它们截成相同长度的小段。
每段最长可以有多少米？一共可以截成多少段？答案是小段长度为18、24、30的最大公约数，即6米。
一共可以截成的段数为(18+24+30)÷6=12段。
又如，一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要将它截成相同大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？答案是正方形的边长为60和36的最大公约数，即12厘米。
能够截成的正方形个数为(60÷12)×(36÷12)=15个。
再例如，用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
如果每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？答案是做成花束的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数，即24个。
每个花束里有4朵红玫瑰花和3朵白玫瑰花，每个花束里最少有7朵花。
再比如，公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？答案是三路汽车同时发车的时间一定是5、10和6的公倍数，即30分钟。
最后，例如某厂加工一种零件要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少需要多少个工人最合理？答案是各道工序每小时所需的工人数应该是对应数的最小公倍数的因数，即3、12和5的最小公倍数为60，所以每小时至少需要(60÷3)÷(60÷12)÷(60÷5)=4个工人。
小学最大公约数与最小公倍数
小学最大公约数与最小公倍数在小学数学中，最大公约数和最小公倍数是基础但重要的概念。
它们在解决数学问题、简化分数、约分等方面都起到了重要作用。
本文将深入讨论小学阶段学生需要了解和应用的最大公约数和最小公倍数的概念、求法以及实际应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除这些数的最大的正整数。
求解最大公约数常用的方法有因式分解法、列举法和辗转相除法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最大公约数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的公因子，最后再将这些公因子相乘即可得到最大公约数。
例如，对于数26和39，我们可以进行因式分解得到：26 = 2 × 1339 = 3 × 13由此可见，26和39的最大公约数为13。
2. 列举法列举法是一种直观简单的方法，它通过列举数的所有因数，找出两个数的公因数，再从中选取最大的那个数作为最大公约数。
以12和16为例，我们列举出它们的因数如下：12的因数有：1、2、3、4、6、1216的因数有：1、2、4、8、16可以看到，12和16的公因数有1、2、4，则最大公约数为4。
3. 辗转相除法辗转相除法，也叫欧几里得算法，通过一系列的除法运算，最终将两个数的余数为零的一步的除数作为最大公约数。
以56和32为例，我们可以使用辗转相除法求解最大公约数：56 ÷ 32 = 1 (24)32 ÷ 24 = 1 (8)24 ÷ 8 = 3此时余数为零，所以最大公约数为8。
二、最小公倍数（Least Common Multiple）最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被这些数整除的最小的正整数。
求解最小公倍数常用的方法有因式分解法、列举法和倍数相乘法。
1. 因式分解法使用因式分解法求解最小公倍数时，我们将每个数进行因式分解，然后找出它们各自的所有因子，最后再将这些因子相乘即可得到最小公倍数。
最大公约数与最小公倍数的应用
最大公约数与最小公倍数的应用最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是数学中常见的概念，在数论和代数学中具有广泛的应用。
它们能够帮助我们解决很多实际问题，从分数化简到找出最优解，都离不开最大公约数和最小公倍数的运用。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及一些实际应用案例。
一、最大公约数的定义和计算最大公约数指的是两个或多个整数能够整除的最大的正整数。
如果两个数a和b的最大公约数为d，则表示为GCD（a，b）= d。
最大公约数的计算可以使用欧几里得算法（Euclidean Algorithm）来进行。
欧几里得算法的原理是：假设有两个正整数a和b，其中a > b。
首先，用a除以b得到余数r1，即r1 = a % b。
然后，再用b除以r1得到余数r2，即r2 = b % r1。
接着，再用r1除以r2得到余数r3，以此类推，直到余数为0。
此时，上一步得到的余数r2就是a和b的最大公约数。
例如，求解最大公约数GCD（24，36）：24 ÷ 36 = 0 余数2436 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0因此，GCD（24，36）= 12。
二、最小公倍数的定义和计算最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的正整数。
如果两个数a和b的最小公倍数为l，则表示为LCM（a，b）= l。
最小公倍数的计算可以通过最大公约数来进行。
最小公倍数与最大公约数的关系是：两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积。
即 a × b = GCD（a，b）× LCM（a，b）。
利用这个关系可以得到计算最小公倍数的公式：LCM（a，b）= （a × b）/ GCD（a，b）。
例如，求解最小公倍数LCM（24，36）：24 × 36 = 864GCD（24，36）= 12因此，LCM（24，36）= 864 / 12 = 72。
数论中的最大公约数与最小公倍数
数论中的最大公约数与最小公倍数数论是研究整数的性质和规律的数学分支，其中最大公约数和最小公倍数是数论中常见且重要的概念。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
对于整数a和b，记作GCD(a,b)，其中a≠0或b≠0。
最大公约数具有以下性质：1. 对称性：GCD(a,b)=GCD(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则GCD(a,c)=a或GCD(a,c)=b。
4. 数量性：GCD(a,b)≥1，当且仅当a和b有公共的质数因子。
最大公约数在数论、代数、密码学等领域都有重要的应用。
例如，它可以用来求解线性同余方程，并在密码学中用于数据加密和解密。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
对于整数a和b，记作LCM(a,b)，其中a≠0且b≠0。
最小公倍数具有以下性质：1. 对称性：LCM(a,b)=LCM(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则LCM(a,c)=c或LCM(a,c)=b。
最小公倍数的计算也是很重要的，它常常用于分数的通分、有理数的化简等问题中。
同时，在应用数学、电路设计等领域，最小公倍数也有广泛的应用。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间有一个重要的性质，即对任意两个整数a和b，有以下等式成立：a ×b = GCD(a,b) × LCM(a,b)。
这个等式的推导可以用因数分解的方法来证明，它意味着最大公约数和最小公倍数之间的乘积等于这两个数的乘积。
最大公约数与最小公倍数及解决问题
1、两数互为倍数关系，最大公约数是较小的数，最小公倍数是较大的数2、两数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两数的乘积3、对于其它的两个数可以用短除法求它门的最大公约数和最小公倍数。
例：1、a 、b 都是自然数，如果a ÷b=10，那么a 和b 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
2、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数26和13（ ）、【 】 13和6（ ）、【 】；4和6（ ）、【 】29和87（ ）、【 】 30和15（ ）、【 】；13、26和52（ ）、【 】3、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
（三个数的只求最小公倍数）45号60 36和6027和72 76和8042、105和56 24、36和484、学校买来40支笔和50个本子，平均奖给四年级的三好学生，结果笔多4支，本子多2个，四年级有多少个三好学生，他们各得什么奖品？练习：一、填空1、甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是（ ）×（ ）=（ ），甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）=（）。
2、如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
3、五（2）的学生每5人一组或每8人一组，最后一组都只有3人，这个班有（ ）人。
二、把下面各分数约分106= 129= 159= 3014= 4025=三、求下面各组数的最大公约数及最小公倍数15和18 12和18 12和1610和14 12和30 6和158和10 4和18 24和166、8和12 5、12和16四、解决问题1、五（1）班学生去烈士陵园植树，分成6人一组或7人一组都可以。
这个班至少有多少人参加植树?2人民公园是1路汽车和3路汽车的起点站。
1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？3、有长18分米、宽15分米、高12分米的长方体木料，要使木料充分利用（不能有剩余），又要锯成尽可能大的同样正方体，每个正方体的体积是多少？可以锯成多少个？4、小超每6天去一次图书馆，小亮每4天去一次图书馆。
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式
三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式三个数的最大公因数与最小倍数的关系公式公因数和最小公倍数是数学中基础的概念之一，它们在数论、代数、几何等多个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三个数的最大公因数（简称最大公约数）与最小公倍数之间的关系公式，进一步解析它们的数学特征和性质。
首先，我们先来看一下最大公约数和最小公倍数的定义及性质。
最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则表示能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
我们用a、b和c表示三个整数，它们的最大公约数用符号gcd(a, b, c)表示，最小公倍数用符号lcm(a, b, c)表示。
首先，我们来探讨最大公约数和最小公倍数两者之间的关系。
可以通过以下公式来表示：gcd(a, b, c) * lcm(a, b, c) = |a * b * c|其中，|a * b * c|表示a、b和c的绝对值的乘积。
这个公式的证明可通过分解质因数的方法进行。
我们知道，任意一个整数都可以分解为若干个质数的乘积，而质数的定义是只能被1和自身整除的整数。
假设a、b和c的质因数分别为p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm和r1、r2、...、rk，其中p、q和r分别代表不同的质数。
由于质因数是唯一的，所以在a、b和c的质因数分解中，每个质因数只会出现一次。
那么，a、b和c的绝对值乘积即为p1^α1 * p2^α2 * ... *pn^αn * q1^β1 * q2^β2 * ... * qm^βm * r1^γ1 * r2^γ2* ... * rk^γk，其中α、β和γ表示不同质因数出现的次数。
接下来，我们来看最大公约数和最小公倍数的定义。
最大公约数表示同时整除a、b和c的最大正整数，即gcd(a, b, c) = p1^min(α1, β1, γ1) * ... * pk^min(αk, βk, γk)，其中min表示取最小值。
小学奥数最大公约数与最小公倍数的应用比较
最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见的概念。
它们在计算、代数和数论等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及它们的计算方法。
一、最大公约数的定义和性质最大公约数，也被称为最大公因数，指的是几个数共有的最大的约数。
对于两个数a和b来说，最大公约数通常用符号（a，b）表示。
最大公约数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最大公约数（a，b）大于等于1，即最大公约数不会小于1。
2. 若（a，b）=1，则称a和b互质。
互质的两个数的最大公约数为1.3. 若（a，b）=d，则a和b可以被d整除，即d是a和b的公倍数。
二、最小公倍数的定义和性质最小公倍数，也被称为最小公倍数，指的是几个数共有的最小的倍数。
对于两个数a和b来说，最小公倍数通常用符号[a，b]表示。
最小公倍数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最小公倍数[a，b]大于等于a和b中的最大数，即最小公倍数不会小于a和b中较大的数。
2. 若a和b互质，则它们的最小公倍数为a*b。
3. 若（a，b）=d，则可以用最小公倍数来表示最大公约数，即（a，b）=a*b/[a，b]。
三、最大公约数和最小公倍数的计算方法1. 辗转相除法：利用辗转相除法可以逐步求得最大公约数。
具体步骤如下：a. 用较大数除以较小数，得到余数。
b. 将较小数作为被除数，将余数作为除数，再进行一次相除。
c. 依次类推，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
2. 公式法：最小公倍数可以通过最大公约数计算得到。
根据[a，b]= a*b / (a，b) 的公式，可以用辗转相除法求得最大公约数，然后将其带入公式计算最小公倍数。
四、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用，特别是在分数的化简、方程的解法以及倍数关系的确定等方面。
以下是一些具体的应用实例：1. 分数的化简：通过计算分子和分母的最大公约数，可以将分数化简为最简形式，从而方便进行运算和比较大小。
数论中的最大公因数与最小公倍数
数论中的最大公因数与最小公倍数数论是数学的一个重要分支，研究整数的性质和关系。
在数论中，最大公因数（Greatest Common Divisor，GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）是两个经典概念，它们在数学中起着重要的作用。
本文将深入探讨数论中的最大公因数与最小公倍数的定义、性质以及应用。
一、最大公因数定义与性质最大公因数，又称最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。
对于给定的整数a和b，记为gcd(a, b)或(a, b)。
最大公因数有以下性质：1. 整数a和b的约数也是其最大公因数的约数；2. 若最大公因数为1，则称a和b互质（或互为素数）；3. 若a和b互质，则gcd(a, b) = 1；4. 若a能被b整除，则gcd(a, b) = b；5. 对任意整数a和b，gcd(a, b) = gcd(b, a)。
二、最小公倍数定义与性质最小公倍数，指的是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个数。
对于给定的整数a和b，记为lcm(a, b)或[a, b]。
最小公倍数有以下性质：1. 整数a和b的倍数也是其最小公倍数的倍数；2. 若最小公倍数为1，则称a和b互质（或互为素数）；3. 若a和b互质，则lcm(a, b) = a * b；4. 若a能被b整除，则lcm(a, b) = a；5. 对任意整数a和b，lcm(a, b) = lcm(b, a)。
三、最大公因数与最小公倍数的关系在数论中，最大公因数与最小公倍数有如下关系：gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b这个关系表明，对于任意两个整数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数乘积等于它们的积。
四、最大公因数与最小公倍数的应用最大公因数与最小公倍数不仅在数论中起到关键作用，而且在实际生活和其他数学领域中也有广泛应用。
1. 分数的化简与比较：通过求得分子和分母的最大公因数，可以将分数化简为最简形式。
最大公约数与最小公倍数的计算与问题解决
最大公约数与最小公倍数的计算与问题解决公约数与公倍数是数学中常见的概念，它们在数量关系的分析和问题解决中起着至关重要的作用。
最大公约数是指两个或多个数中能够同时整除的最大的数，而最小公倍数则是指能够同时被两个或多个数整除的最小的数。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的计算方法，并探讨一些与之相关的问题与解决方法。
一、最大公约数的计算方法最大公约数的计算涉及到几个数之间的公共因子，以下介绍两种常见的最大公约数计算方法。
1.1 辗转相除法辗转相除法是一种简便且有效的计算最大公约数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个数中较大的数除以较小的数；（2）将较小的数除数与余数进行相除，直到余数等于0；（3）最后一次相除的除数即为最大公约数。
例如，计算48和60的最大公约数：（1）首先将60除以48，商为1，余数为12；（2）将48除以12，商为4，余数为0；（3）因此，48和60的最大公约数为12。
1.2 素因子分解法素因子分解法是另一种用于计算最大公约数的方法，它基于质数的概念。
具体步骤如下：（1）将两个数分别进行素因子分解；（2）计算两个数中公共的素因子的乘积；（3）得到的乘积即为最大公约数。
例如，计算48和60的最大公约数：（1）将48分解为2^4 * 3，60分解为2^2 * 3 * 5；（2）两个数的公共素因子是2^2 * 3，乘积为12；（3）因此，48和60的最大公约数为12。
二、最小公倍数的计算方法最小公倍数与最大公约数互为倒数关系，即两者的乘积等于原始数的乘积。
以下介绍两种最小公倍数的计算方法。
2.1 相乘法相乘法是最直观且常见的计算最小公倍数的方法。
具体步骤如下：（1）将两个数相乘；（2）除以它们的最大公约数；（3）得到的商即为最小公倍数。
例如，计算48和60的最小公倍数：（1）48和60的乘积为2880；（2）48和60的最大公约数为12，将2880除以12得到240；（3）因此，48和60的最小公倍数为240。
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最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1:如果a、b两数的最大公约数为d,贝U a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4 X 6,54=9 X 6, （4,9 ）=1。
2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a x b=[a,b]x（a,b ）。
例如：（18, 12）= , [18 , 12]= （18, 12）X [18 , 12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
（运用性质2）练一练：甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”例3已知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, c。
分析与解：因为12 , 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12 , 15]=60 的倍数。
再由[a , b , c]=120 知，a只能是60或120。
[a , c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a , b , c]=120=23 X3X5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公约数是21 ,最小公倍数是126 ,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50 ,它们的最大公约数是5 ,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240 ,最小公倍数为60 ,求这两个数。
习题四1. 已知某数与24的最大公约数为4 ,最小公倍数为168 ,求此数。
2. 已知两个自然数的最大公约数为4 ,最小公倍数为120 ,求这两个数。
3. 已知两个自然数的和为165 ,它们的最大公约数为15 ,求这两个数。
4. 已知两个自然数的差为48 ,它们的最小公倍数为60 ,求这两个数。
5. 已知两个自然数的差为30 ,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450 ,求这两个自然数。
6. 已知两个自然数的和为900 ,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432 , 求这两个自然数。
7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几？9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且A X B= 42,求B。
10、已知A和B的最大公约数是31，且A X B= 5766，求A和B。
11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3, 5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？家庭练习1. 拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2. 现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班, 每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几？4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组？例1用自然数a去除498, 450, 414,得到相同的余数，a最大是多少?分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a 整除。
498-450=48, 450-414=36 , 498-414=84。
所求数是(48, 36, 84) =12。
例2现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101X 11,它的约数只能是 1 , 11, 101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111 , 1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101, 101和909。
所以所求数是101。
练习：1、在1000到2000之间，能同时被6、8 10这三个自然数整除的自然数一共有几个？2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是& 7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。
至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少？&甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30 秒。
三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。
8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个?【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它们每秒都只跳一次。
比赛途中，从起点开始，每隔12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【例5】用长9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？【例6】（1）A B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少？（2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36,乙数是多少？【例7】加工某种机器零件,要经过三道工序. 第一道工序每个工人每小时可完成3 个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10 个,第三道工序每个工人每小时可完成 5 个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人？练习：1. 甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数是多少？2. 一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3. 已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是3 1 .求这两个自然数。
4．有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了91 个碗。
参加野炊的至少有多少同学？带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题•除此之外，例如：16十3=5… 1,即16=5X 3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数（b M 0）,那么一定有另外两个整数q和r, 0<r v b，使得a=b x q+r。
当r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。
当r M 0 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以b 的不完全商（亦简称为商）•用带余除式又可以表示为a十b=q…r，0< r v b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41 的两位数. 解题可从带余除式入手分析。
解：•••被除数十除数=商…余数，即被除数=除数x商+余数，••• 25仁除数X商+41，251-4仁除数X商，••• 210=除数X商。
•/ 210=2X 3X 5X 7，••• 210 的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42 和70 大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例 2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：•••被除数=除数X商+余数，即被除数=除数X 40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，•••（除数X 40+16）+ 除数=877,•••除数X 4仁877-16,除数=861-41,除数=21，•••被除数=21X 40+16=856答：被除数是856,除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六, 4个星期日,问这年的10月1 日是星期几？解：十月份共有31 天,每周共有7 天,••• 31=7X 4+3,•••根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
•••这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日, 从3月 1 7日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天）,15日（第三天），…）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993- 7=284 （周）…5 （天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
这是一道古算题. 它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知. ”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加. 如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于1 05为止.这样就可以得到满足条件的解. 其解法如下：方法 1 ：2X 70+3X 21+2X 15=233233-105X 2=23符合条件的最小自然数是23。
例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：[3 ，7]+2=2323 除以5恰好余3。
所以，符合条件的最小自然数是23。
方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6 整除”。
解：[5 ，6]-2=28 ，即28 适合前两个条件。
想：28+[5 , 6] X?之后能满足“ 7除余1”的条件？28+[5 ，6] X 4=148，148=21X 7+1，又148V210=[5 , 6, 7]所以，适合条件的最小的自然数是148。