全等与相似
几何图形的相似与全等
几何图形的相似与全等是几何学中的两个重要概念。
它们在日常生活、工程设计、艺术创作等领域都有着广泛的应用。
下面将对这两个概念进行详细探讨，分析其定义、性质、判定方法以及应用。
一、全等几何图形1. 定义：如果两个几何图形能够完全重合，那么这两个图形就称为全等图形。
全等图形意味着两个图形的形状和大小都完全相同。
2. 性质：全等图形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高线相等、对应边上的中线相等、周长相等、面积相等。
这些性质使得全等图形在实际应用中具有很高的价值，例如在建筑设计、机械制造等领域，需要保证各个部件之间的尺寸完全相同，以确保整体的稳定性和性能。
3. 判定方法：判定两个图形是否全等，通常有以下几种方法：* SSS（边边边）判定：如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
* SAS（边角边）判定：如果两个三角形的两组对应边分别相等，且夹角也相等，则这两个三角形全等。
* ASA（角边角）判定：如果两个三角形的两组对应角分别相等，且夹角所对的边也相等，则这两个三角形全等。
* AAS（角角边）判定：如果两个三角形的两个对应角分别相等，且其中一个角所对的边也相等，则这两个三角形全等。
* RHS（直角边、斜边、边）判定：在一个直角三角形中，如果一个直角边和斜边分别等于另一个直角三角形的一条直角边和斜边，那么这两个直角三角形全等。
4. 应用：全等图形在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在建筑设计中，建筑师需要确保各个部件之间的尺寸完全相同，以确保建筑的整体稳定性和美观性。
在机械制造中，工程师需要利用全等图形的性质来制造各种精确的机械部件。
此外，在地图绘制、艺术创作等领域也广泛运用全等图形的概念。
二、相似几何图形1. 定义：如果两个几何图形的形状相同但大小不一定相同，那么这两个图形就称为相似图形。
相似图形意味着两个图形的对应角相等、对应边之间的比例相等。
2. 性质：相似图形的对应角相等、对应边之间的比例相等、对应边上的高线之间的比例相等、对应边上的中线之间的比例相等、周长之间的比例相等、面积之间的比例等于对应边之间的比例的平方。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似与全等是数学中涉及三角形的重要概念。
相似和全等代表了不同三角形之间的关系和性质。
在本文中，我们将深入探讨相似与全等的定义、判定条件以及应用。
一、相似三角形的定义与判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在讨论相似三角形之前，我们首先需要了解相似的含义。
1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
具体而言，设有三角形ABC和DEF。
若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以说两个三角形ABC和DEF相似。
2. 判定：相似三角形判定有三种情况：a) AA判定法：如果两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。
b) SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，两个对边成比例，则它们是相似的。
c) SSS判定法：如果两个三角形的三对边成比例，则它们是相似的。
二、相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，这些性质是在解决三角形问题时非常有用的。
1. 对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度成比例。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以得出两个三角形对应边的比例关系。
2. 对应角相等：在相似三角形中，对应角是相等的。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，若∠A=∠D，则可以得出两个三角形对应角的等量关系。
3. 高线比例定理：在相似三角形中，两个相似三角形的高线长度的比等于两个三角形底边长度比的相同。
设∆ABC和∆DEF是相似三角形，且h1和h2分别为相似三角形∆ABC和∆DEF的高线。
则h1/h2=AB/DE。
三、全等三角形的定义与判定全等三角形指的是具有相同大小和形状的三角形。
1. 定义：如果两个三角形的对应边和对应角全部相等，则它们是全等的。
具体而言，设有三角形ABC和DEF。
若AB=DE，BC=EF，AC=DF且∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以说两个三角形ABC 和DEF全等。
2. 判定：a) SSS判定法：如果两个三角形的三对边全部相等，则它们是全等的。
相似和全等的概念及判定方法
相似和全等的概念及判定方法相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述两个图形之间的关系。
相似和全等既有共同点，也有不同之处。
在几何学中，相似和全等的判定方法有其独特的规则和标准。
一、相似的概念及判定方法1. 相似的概念相似是指两个图形在形状上相同，但大小可能不同的关系。
就像我们平时所说的“相似”的概念一样，相似的图形可以相互比较，可以通过比例关系来描述。
2. 相似的判定方法（1）AAA判定法则：若两个三角形的三个内角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS判定法则：若两个三角形的一对内角相等，与这对角的两边分别成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS判定法则：若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。
二、全等的概念及判定方法1. 全等的概念全等是指两个图形在形状和大小上完全相同的关系。
如果两个图形是全等的，它们的对应的边长和角度完全相等。
2. 全等的判定方法（1）SSS全等法则：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS全等法则：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA全等法则：若两个三角形的一对角和两边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）RHS全等法则：若两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
三、相似和全等的联系与区别相似和全等都是在描述两个图形之间的关系，但其判定方法和条件是不同的。
联系：相似和全等都需要比较两个图形的边长和角度。
区别：相似只需要满足角度相等或边长成比例即可，而全等需要同时满足角度和边长完全相等。
结语相似和全等是几何学中常用的概念，用于描述和比较不同图形之间的关系。
了解相似和全等的概念及判定方法，对于解决几何学问题具有重要的意义。
通过学习相似和全等的概念和判定方法，我们可以在实际问题中应用几何学知识，提高解决问题的能力。
如何判断图形的相似和全等
如何判断图形的相似和全等？
判断图形的相似和全等是几何学中常见的问题，它们有着特定的判定条件和方法。
下面将介绍如何判断图形的相似和全等的步骤。
一、相似图形的判断：
1. 相似图形具有相同的形状，但可能不同的大小。
2. 判断两个图形是否相似，需要满足以下条件：
-对应角相等：两个图形的对应角度相等。
-对应边成比例：两个图形的对应边长成比例，即相似比例。
-对应边的比例恒定：对于任意两个对应边，它们的比例都相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形相似。
二、全等图形的判断：
1. 全等图形具有相同的形状和大小。
2. 判断两个图形是否全等，需要满足以下条件：
-对应边相等：两个图形的对应边长相等。
-对应角度相等：两个图形的对应角度相等。
3. 如果满足以上条件，即可判定两个图形全等。
需要注意的是，判断相似和全等图形时，只需考虑对应的角和边，不需要考虑其他部分的相等性或相似性。
在实际问题中，可以利用相似和全等的性质来解决几何问题，如计算未知边长、角度等。
熟练掌握判断相似和全等图形的方法，可以更好地解决与几何相关的问题。
判断相似和全等图形是几何学中重要的基本技巧，也是学习更高级几何学和应用数学的基础。
通过实际操作和练习，可以提高判断准确性和效率。
高中数学知识点精讲精析 全等与相似
1 全等与相似1、在数学上，两个图形可以完全重合，或者说两个物体大小、形状完全相等，那么这两个物体全等。
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.2、一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合.3、两个多边形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合角的叫对应角.三角形全等的判定公理及推论有 （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS”（5）“斜边、直角边”简称“HL”（直角三角形）注意：在全等的判定中，没有AAA 和SSA ，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状. 全等三角形的性质全等三角形的对应角相等、对应边相等. 注意：1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反.2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便.1. 如图1，在正方体ABCD A B C D 1111中，M 、N 分别是棱AB 、BC 上的点，P 是棱DD 1的中点。
求M 、N 在什么位置时，PB ⊥面MNB 1，并证明之.图1【解析】当M 、N 分别是棱AB 、BC 的中点时，PB ⊥面MNB 1 连接AC 、DB ，则AC ⊥DB又PD ⊥AC ，由三垂线定理得AC ⊥PB 在正方形ABCD 中，由MN ∥AC ，得MN ⊥PB 取C C 1中点E ，连接PE ，则PE ⊥面BCC B 11 在正方形BCC B 11中，Rt B BN Rt BCE ∆∆1≅ 则∠∠BB N CBE 1=，而∠∠BB N BNB 1190+=︒ 故∠∠CBE BNB +=︒190 即B N BE 1⊥由三垂线定理得：PB ⊥B N 1 从而PB ⊥面MNB 1。
初中数学 什么是相似图形和全等图形
初中数学什么是相似图形和全等图形初中数学中，相似图形和全等图形是几何学中重要的概念。
它们描述了图形之间的形状关系和对应关系。
本文将详细介绍相似图形和全等图形的定义、性质和判定方法。
一、相似图形相似图形是指具有相同形状但不一定相等大小的图形。
在相似图形中，对应边的比例相等，对应角度相等，但图形的大小可以不同。
相似图形的性质：1. 边长比例：相似图形的对应边之间的比例相等。
2. 角度相等：相似图形的对应角度相等。
3. 全等图形是相似图形的一种特殊情况，其比例因子为1。
相似图形的判定：1. SSS判定法：如果两个图形的相应边长之比相等，则它们是相似的。
2. SAS判定法：如果两个图形的一个角相等，并且相应边长之比相等，则它们是相似的。
3. AA判定法：如果两个图形的对应角度相等，则它们是相似的。
二、全等图形全等图形是指形状、大小和内部结构都完全相等的图形。
全等图形之间的对应边长和对应角度都相等。
全等图形的性质：1. 边长相等：全等图形的对应边长相等。
2. 角度相等：全等图形的对应角度相等。
3. 全等图形之间可以进行平移、旋转、翻转等变换。
全等图形的判定：1. SSS判定法：如果两个图形的相应边长相等，则它们是全等的。
2. SAS判定法：如果两个图形的一个角相等，并且相应边长相等，则它们是全等的。
3. ASA判定法：如果两个图形的两个角和一个边相等，则它们是全等的。
总结：本文详细介绍了初中数学中的相似图形和全等图形的定义、性质和判定方法。
相似图形是指具有相同形状但不一定相等大小的图形，其边长比例相等，角度相等。
全等图形是指形状、大小和内部结构都完全相等的图形，其对应边长和对应角度都相等。
相似图形可以通过SSS、SAS和AA判定法进行判定，而全等图形可以通过SSS、SAS和ASA判定法进行判定。
通过深入理解和应用这些概念和判定方法，学生可以更好地判断、证明和应用相似图形和全等图形的性质和关系，并在实际生活中应用它们解决几何问题。
图形的相似与全等
定义法：根据相似图形的定义，如 果两个图形形状相同但大小不同， 则它们相似。
平行法：如果两个图形一组对应边 平行，且对应角相等，则它们相似。
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判定定理法：根据相似图形的判定 定理，如果两个图形对应角相等且 对应边的比值相等，则它们相似。
综合法：根据综合法，如果两个图形 一组对应边平行且对应边的比值相等， 或者一组对应角相等且对应边的比值 相等，则它们相似。
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边角边相等：两边和夹角分别相等 的两个三角形全等
角角角相等：三个角分别相等的两 个三角形全等
建筑设计：利用全等图形设计出对 称、美观的建筑结构
艺术创作：全等图形可以创造出独 特的视觉效果，丰富艺术作品的表 现力
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机械制造：在机械零件设计中，全 等图形可以用来表示完全相同的部 分
科学实验：在物理、化学等实验中， 全等图形可以用来表示实验器材的相 同部分，便于实验操作和结果分析
PART THREE
相似与全等都 是图形之间的 相等关系，但 全等更严格， 要求形状和大
小都相等。
相似图形是大 小不同的图形， 但形状相同， 可以用于研究 图形的性质和
规律。
全等图形是完 全重合的图形， 可以通过平移、 旋转或翻转等 方式实现重合。
相似与全等的 关系可以通过 相似比和全等 变换来描述和
证明。
定义不同：相似是指两个图形形状相同，大小可以不；全等是指两个图形形状和大小都完 全相同。
性质不同：相似只要求形状相同，不要求大小相等；全等要求形状和大小都相等。
判定方法不同：相似可以通过对应角相等、对应边成比例来判定；全等可以通过完全重合来 判定。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似和全等是几何学中用来描述和比较形状的概念。
在三角形中，相似和全等可以帮助我们判断三角形的属性和关系。
本文将详细介绍三角形的相似与全等。
1. 相似三角形：相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角度相等，而对应的边的比例相等。
根据相似三角形的性质，我们可以推导出以下几个重要的结论：1.1 边比例定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们是相似的。
设两个三角形ABC和DEF，若满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
1.2 角的对应关系：相似三角形中，对应角是相等的。
设两个相似三角形ABC和DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么三角形ABC与三角形DEF 相似。
1.3 边长比例与角度：对于相似三角形，两个对应边的比例等于其对应角度的正弦、余弦或正切值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比例为AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且sinA/sinD = sinB/sinE = sinC/sinF。
2. 全等三角形：全等三角形是指形状和大小完全相同的三角形。
两个三角形全等的条件是它们的所有对应边和对应角均相等。
对于全等三角形，我们可以得出以下几个重要的结论：2.1 SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，那么它们是全等的。
即若AB = DE，AC = DF，BC = EF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
2.2 SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么它们是全等的。
即若AB = DE，∠A = ∠D，BC = EF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
2.3 ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边对应相等，那么它们是全等的。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
相似与全等的认识
相似与全等的认识相似与全等是数学中常用的概念，它们在几何学、代数学等领域都有着重要的应用。
相似与全等虽然看起来相似，但实际上在定义和性质上存在着明显的差异。
本文将详细介绍相似和全等的概念以及它们之间的区别。
1. 相似的定义和性质相似是指两个或多个事物在形状上有一定的相似性质，但大小或比例可以不同。
在数学中，我们通常用“∼”或“∽”来表示相似。
设两个图形A和B，若存在一个变换f，使得A经过f的变换后变为B，那么称A与B相似。
这里的变换可以是平移、旋转、镜像等。
相似具有以下性质：1.1 两个相似图形的对应边的比例相等。
设图形A与B相似，对应边的长度分别为a与b，则有a/b=k（比例因子），其中k为正常数。
1.2 两个相似图形的对应角度相等。
设图形A与B相似，对应角度分别为α与β，则有α=β。
通过相似的性质，我们可以进行一些有关长度、面积等方面的推导和计算。
例如，当两个三角形相似时，根据对应边的比例可以求得它们的面积比。
2. 全等的定义和性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同，各个部分完全重合。
在数学中，我们通常用符号“≌”来表示全等。
设两个图形A和B，若A与B的所有对应边长相等，所有对应角度相等，那么称A与B全等。
全等具有以下性质：2.1 两个全等图形的对应边的长度相等。
设图形A与B全等，对应边的长度分别为a与b，则有a=b。
2.2 两个全等图形的对应角度相等。
设图形A与B全等，对应角度分别为α与β，则有α=β。
2.3 全等图形的面积相等。
全等的概念在几何学中应用非常广泛。
例如，当两个三角形全等时，它们的三个对应边长相等，各个对应角度也相等。
3. 相似与全等的区别相似与全等在定义和性质上存在着明显的差异。
它们的区别主要体现在以下几个方面：3.1 形状与大小：相似是指形状相似，但大小可以不同；全等是形状和大小都相同。
3.2 变换要求：相似需要存在一个变换将一个图形变为另一个相似的图形；全等要求图形的所有对应边长和对应角度都相等。
图形的全等、相似
图形的全等、相似一、全等三角形【知识点】1.“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边一定是对应边；（4）有公共角的，角一定是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角。
2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等。
3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
∵AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
∵∠B=∠B1，BC=B1C1，∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
∵∠B=∠B1，∠A=∠A1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
∵AB=A1B1，∠A=∠A1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
∵∠C=∠C1=90°，AB=A1B1，BC=B1C1∴△ABC≌△A1B1C1（HL）4.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
5.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段平分线上的点到线段两端点的距离相等。
小学数学几何图形的相似与全等
相似与全等的 应用实例：如 证明两条线段 相等，两个角 相等等
04
在面积和周长计算中的应用
相似图形的面积 比等于对应边的
平方比
全等图形的面积 和周长都相等
利用相似和全等 关系可以简化面
积和周长计算
在实际应用中， 需要根据具体情 况选择合适的方
法进行计算
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在日常生活中的应用
小学数学几何图 形的相似与全等
汇报人：xxx
目录
01
相似与全等的定 义
02
相似图形的性质
03
全等图形的性质
04
相似与全等的证 明方法
05
相似与全等的应 用
06
如何区分相似与 全等
相似图形的定义
相似图形：形状相同，大小不同的两个图形 相似比：相似图形对应边之比 相似三角形：三个角对应相等的两个三角形 相似多边形：对应边成比例，对应角相等的多边形
●
平行线分线段成比例定理：一条直线与两条平行线相交，所截得的线段成比例
●
平行线内错角相等，两直线平行
●
平行线同旁内角互补，两直线平行
●
平行线判定公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
●
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
●
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
全等：只能由平移得到
从应用上区分
全等：形状、大小都相同
相似：形状相同，大小不一 定相同
相似：可以应用于比例尺、 地图等
全等：可以应用于复制、粘 贴等操作
THANKS
汇报人：xxx
数学中的相似与全等
数学中的相似与全等相似与全等是数学中重要的几何概念，用于描述两个图形之间的关系。
在本文中，我们将探讨相似与全等的概念、性质及其在解决几何问题中的应用。
一、相似的概念与性质相似是指两个图形在形状上相同、但大小不同的关系。
具体来说，若图形A与图形B相似，那么它们的对应边的比例相等，并且对应角相等。
我们通常用符号“∼”表示相似关系，即A∼B。
相似关系还具有以下性质：1. 对应角的相等性质：相似的两个图形, 其对应的角相等。
2. 对应边的比例性质：相似的两个图形，其对应边的比值相等。
3. 可以进行放大缩小：相似的两个图形，可以通过放大或缩小来得到。
二、全等的概念与性质全等是指两个图形在形状和大小上完全相同的关系。
当且仅当两个图形的对应边相等，并且对应角相等时，我们称它们为全等图形。
全等图形的符号表示为“≌”，即A≌B。
全等关系具有以下性质：1. 对应边的相等性质：全等的两个图形，其对应边相等。
2. 对应角的相等性质：全等的两个图形，其对应角相等。
3. 位置和方向相同：全等的两个图形，它们的位置和方向完全相同，可以通过平移、旋转和翻转相互重合。
三、相似与全等的应用相似与全等在解决几何问题中有广泛的应用。
以下是其中一些例子：1. 测量与比较：通过相似性质可以测量无法直接测量的长度、高度等。
例如，通过相似三角形的边比例可以计算出较难测量的高度。
2. 图形构造：在设计中，我们经常需要根据给定的图形构造出与其相似或全等的图形。
通过相似性质和全等性质，我们可以进行放大、缩小、旋转和翻转等操作来完成构造。
3. 几何证明：在几何证明中，相似性质和全等性质是常用的证明方法。
通过运用相似三角形的性质或全等图形的运算，可以推导出所需要证明的结论。
4. 地图制作与测量：地理学中，相似性质和全等性质被广泛应用于地图制作和测量。
通过相似关系可以进行比例尺的确定，而全等性质则可以用于测量地理要素的大小和距离。
综上所述，相似与全等是数学中用于描述图形之间关系的重要概念。
平面几何的相似与全等的证明与应用
平面几何的相似与全等的证明与应用相似和全等是平面几何中常见的概念和性质，它们在形状、大小和结构上有着重要的作用。
本文将对相似和全等的定义进行简要介绍，并探讨它们在几何证明和实际应用中的意义和重要性。
一、相似和全等的定义相似是指两个或多个图形在形状上相同，但在大小上不同。
形状相同意味着它们的对应边等长，对应角相等。
换句话说，一个图形通过缩放或扩大后能够得到另一个图形，这两个图形就是相似的。
全等是指两个图形在形状和大小上完全相同。
两个全等的图形可以通过平移、旋转或镜像来重合。
二、相似与全等的证明与应用1. 相似的证明与应用相似的证明通常基于几何定理和性质，以下是一些常见的证明方法：(1) AA相似定理：当两个三角形的两个角分别相等时，它们是相似的。
这个定理在证明两个三角形相似时经常使用。
(2) SSS相似定理：当两个三角形的三边对应成比例时，它们是相似的。
这个定理在证明两个三角形相似时也是常用的。
(3) 相似三角形的性质：相似的三角形有很多与比例相关的性质，比如对应边长的比例相等、对应角的相等等。
这些性质可以用于解决各种与相似三角形相关的应用问题。
相似的应用广泛存在于日常生活和工程领域。
例如，地图的缩放就是通过相似的概念实现的。
另外，相似性在建筑设计、三维成像、计算机图形学等领域也有重要的应用。
2. 全等的证明与应用全等的证明相对简单，通常涉及到对应的边长和角度的相等性。
以下是一些全等的证明方法：(1) SSS全等定理：当两个三角形的三边分别相等时，它们是全等的。
(2) SAS全等定理：当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们是全等的。
(3) ASA全等定理：当两个三角形的两个夹角和一条边分别相等时，它们是全等的。
全等的应用比相似稍微有限一些，因为全等要求两个图形在大小和形状上完全相同。
但是，在证明几何定理、解决几何问题以及构造几何图形时，全等的概念都起到了重要的作用。
三、相似与全等的实际应用举例1. 根据相似性解决三角形测量问题：当我们需要在实际测量中得到无法直接测量的距离、高度或者角度时，可以利用相似三角形的性质，通过已知的测量数据求解未知量。
初三数学平面几何中的相似与全等
初三数学平面几何中的相似与全等数学中的相似和全等是平面几何中的重要概念，它们在几何图形的运用与推理中发挥着重要作用。
本文将详细介绍相似和全等的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、相似和全等的概念相似和全等都是在比较几何图形时使用的概念，它们描述了两个或多个图形之间的关系。
在平面几何中，相似和全等主要用于描述三角形和四边形。
1.1 相似相似是指两个或多个几何图形在形状上相似，但大小可以不同。
相似关系可以通过如下条件来判断：- 对应角相等：两个图形对应的角度相等。
- 对应边成比例：两个图形对应的边长成比例。
若图形ABC与图形DEF相似，可以表示为ABC∽DEF。
相似的记号为∽。
1.2 全等全等是指两个几何图形形状和大小完全相同。
全等的判断条件为：- 对应边相等：两个图形对应的边长完全相等。
- 对应角相等：两个图形对应的角度完全相等。
若图形ABC与图形DEF全等，可以表示为ABC≌DEF。
全等的记号为≌。
二、相似和全等的性质相似和全等具有一些重要的性质，这些性质在证明过程中起到了重要的作用。
下面是相似和全等的几个性质：2.1 相似的性质- 相似的两个三角形的对应边成比例。
- 相似的两个三角形的对应角度相等。
2.2 全等的性质- 全等的两个三角形的对应边完全相等。
- 全等的两个三角形的对应角度完全相等。
相似和全等的性质可以通过简单的几何推理证明。
这些性质在解决各类几何问题时，能够提供重要的线索和帮助。
三、相似与全等的应用相似和全等在实际问题中有广泛的应用。
我们以生活中常见的几个例子来说明。
3.1 设计工程在设计工程中，相似和全等的概念被广泛应用。
例如，建筑师需要根据蓝图绘制建筑物的三视图，通过相似和全等的关系，可以准确计算出建筑物的各个尺寸比例。
这为建筑师提供了一个有效的设计工具。
3.2 地图比例尺在地图中，我们经常看到比例尺的标识。
比例尺是相似的一种应用。
地图中的比例尺可以将地球上的距离缩小到纸上的比例尺表示，使得地图的制作更加方便和实用。
平面形的相似与全等判定
平面形的相似与全等判定相似和全等是几何中常用的概念，用于判断两个平面形是否具有相同的形状和大小。
在几何学中，相似指的是形状和比例相同，而全等则是指形状和大小完全相同。
在本文中，我们将探讨如何判定平面形的相似与全等。
1. 相似的定义两个平面形相似的意思是它们的形状相同，但是尺寸有可能不同。
换句话说，如果两个平面形的各个边分别成比例，那么它们就是相似的。
例如，如果一个三角形的边长分别为3、4、5，而另一个三角形的边长分别为6、8、10，那么这两个三角形是相似的。
2. 判定相似的方法有几种方法可以判断两个平面形是否相似。
一种方法是计算两个平面形的各个边的比值，如果它们的比值相等，则可以判定它们相似。
另一种方法是比较它们的内角是否相等，如果它们的对应内角相等，则可以判定它们相似。
3. 全等的定义两个平面形全等的意思是它们的形状和大小完全相同。
换句话说，如果两个平面形的所有边和角都相等，那么它们就是全等的。
例如，如果一个三角形的三边分别等于另一个三角形的三边，那么这两个三角形就是全等的。
4. 判定全等的方法判断平面形是否全等有几种方法。
一种方法是逐一比较它们的所有边和角，如果所有边和角都相等，则可以判定它们全等。
另一种方法是使用全等的特征，例如，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则可以判定它们全等。
5. 相似和全等的关系相似和全等之间存在一定的关系。
如果两个平面形全等，则它们必定也是相似的。
但是，如果两个平面形相似，则它们未必是全等的。
相似和全等只是两个几何概念，相似要求形状和比例相同，而全等则要求形状和大小都相同。
总结：在几何中，平面形的相似与全等是非常重要的概念。
相似可以通过边的比值或内角的对应关系来判定，全等则是通过边和角都相等来判定。
相似和全等之间存在一定的关系，全等必定相似，但相似不一定全等。
通过理解和掌握相似和全等的判定方法，我们可以更好地应用它们来解决几何问题，提高几何学习的效果。
几何中的相似与全等
几何中的相似与全等相似与全等是几何中经常用到的概念。
在几何学中，我们经常会遇到需要判断两个图形是否相似或全等的情况。
相似和全等的概念在解决几何问题时非常重要，它们有助于我们推导出更多的结论和性质。
本文将介绍相似与全等的定义，以及它们的性质和应用。
相似和全等是描述两个几何图形之间关系的术语。
相似指的是两个图形的形状相同，但大小可以不同；全等则要求两个图形的形状和大小都完全相同。
一、相似的定义和性质：相似的定义是，在平面上，当两个多边形的对应角相等，且对应边的比例相等时，这两个多边形是相似的。
具体而言，如果∠A≌∠A'，∠B≌∠B'，∠C≌∠C'，且AB/AB'=BC/BC'=CA/CA'，则ΔABC∼ΔA'B'C'。
相似的性质可以总结如下：1. 相似三角形的对应边比例相等，即AB/AB'=BC/BC'=CA/CA'；2. 相似三角形的对应角相等，即∠A≌∠A'，∠B≌∠B'，∠C≌∠C'；3. 相似三角形的周长比例相等，即周长(ΔABC)/周长(ΔA'B'C')=AB/AB'=BC/BC'=C A/CA'；4. 相似三角形的面积比例相等，即面积(ΔABC)/面积(ΔA'B'C')=(AB/AB')^2=(BC/BC')^2=(CA/CA')^2。
二、全等的定义和性质：全等的定义是，在平面上，当两个多边形的对应边长相等，且对应角度相等时，这两个多边形是全等的。
具体而言，如果AB=AB'，BC=BC'，CA=CA'，且∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，则ΔABC≌ΔA'B'C'。
全等的性质可以总结如下：1. 全等三角形的对应边长和对应角度都相等；2. 全等三角形的周长相等，即周长(ΔABC)=周长(ΔA'B'C')=AB+BC+CA；3. 全等三角形的面积相等，即面积(ΔABC)=面积(ΔA'B'C')。
小学数学相似与全等知识点总结
小学数学相似与全等知识点总结数学是小学阶段的重要学科之一，相似与全等是数学中的两个重要概念。
本文将对小学数学中的相似与全等知识点进行总结。
一、相似相似是指两个图形在形状上相似，但大小可能不同。
相似的图形具有以下特点：1. 边对应成比例：相似的图形的对应边的长度成比例关系，即每对对应的边之间的比例相等。
2. 角对应相等：相似的图形的对应角相等。
3. 图形的形状相似：相似的图形的对应角相等，对应边成一定的比例关系，因此它们的形状相似。
常见的相似图形包括三角形、正方形、长方形等。
相似图形的判定一般有以下几种方法：1. 边边相似判定法：比较两个图形的边的长度是否成比例关系。
2. 角角相似判定法：比较两个图形的对应角是否相等。
3. 边角边相似判定法：比较两个图形的边的长度和对应角的关系。
相似图形之间的比例关系可以用比例尺来表示，常见的比例尺有点比例尺和线段比例尺。
利用相似的性质，我们可以进行相似三角形的应用问题求解、平面图形的放大与缩小等。
二、全等全等是指两个图形在形状和大小上完全相同。
全等的图形具有以下特点：1. 边对应相等：全等的图形的对应边的长度相等。
2. 角对应相等：全等的图形的对应角相等。
3. 图形的形状相同：全等的图形的对应角相等，对应边相等，因此它们的形状完全相同。
常见的全等图形包括等边三角形、等腰三角形、矩形、正方形等。
全等图形的判定一般有以下几种方法：1. 边边边全等判定法：比较两个图形的边的长度是否相等。
2. 边角边全等判定法：比较两个图形的边的长度和对应角的关系。
全等图形之间可以根据全等的性质来进行变形、拼图、证明等。
在解题过程中，我们可以利用相似和全等的性质，进行各种问题的求解。
需要注意的是，在判定相似和全等时，不仅要比较边长和角度，还要考虑两个图形的位置关系。
总结：相似与全等是数学中的重要知识点，掌握了相似与全等的性质，可以帮助我们解决各种与形状、位置相关的问题。
通过学习和练习，让我们更加熟练地运用相似与全等的知识，提高数学解题的能力。
相似和全等的认识
相似和全等在几何证明中的应用：如证明两个三角形相似或全等，从而得出其他结论
相似和全等在物理学中的应用
相似三角形：在力学中，相似三角形可以用来求解力、力矩、力偶等问题
全等三角形：在光学中，全等三角形可以用来求解反射、折射等问题
相似和全等在几何光学中的应用：在几何光学中，相似和全等可以用来求解成像、透镜焦距等问题
全等：两个图形在形状、大小、位置等方面完全相同，大小相等
相似和全等的区别：相似强调形状、大小、位置的相似性，而全等强调完全相同
相似和全等的应用：在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛应用
相似和全等的数学表达
相似：两个图形形状相同，但大小不一定相同
全等：两个图形形状相同，大小也相同
相似和全等的定义：相似是指两个图形的形状相同，但大小不一定相同；全等是指两个图形的形状相同，大小也相同。
感谢观看
相似：两个图形对应边成比例，对应角相等
全等：两个图形对应边相等，对应角相等，对应顶点重合
相似和全等的应用：在几何证明、图形变换、测量等领域有广泛应用
03
相似和全等的应用
相似和全等在几何学中的应用
相似三角形：用于解决比例问题，如面积、周长等
全等三角形：用于解决角度、边长等精确问题
相似多边形：用于解决面积、周长等比例问题
02
相似和全等的性质
相似和全等的性质
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
全等：两个图形形状、大小都相同
相似：两个图形形状相同，但大小不一定相同
相似和全等的区别：相似强调形状相同，全等强调形状、大小都相同
相似和全等的应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
全等和相似的证明方法
怎么证明三角形相似和全等
相似三角形的判定方法
方法一
定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
方法二
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；
方法三
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
方法四
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
方法五
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
三角形全等的判定：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)
2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”).
3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”).
4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5．斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”)。
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全等与相似测试卷
姓名： 得分：
一、填空题（共24分）
1、如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为204580222cm cm cm 、、，则△ABC 的面积为____________。
2、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE ＝2：3，连结AE 、BE 、BD ，
且AE 、BD 交于点F ，则S S S DEF EBF ABF ∆∆∆：：=____________________。
3、如图，△ABC 中，若BC ＝24厘米，BD ＝3
1
AB ，且DE ∥BC ，则DE 为
____________。
4、如图2，0A=0B ，OC=OD ，∠O=60°,∠C=25°,则 ∠BED 等于 。
5、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH=AC ，则∠ABC= 。
6、如图12，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，
DE ⊥AB 于D ，若AB ＝10，则△BDE 的周长等于 。
7、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC= 。
F
A
E
D
C B
A
D
E B
F
C
图12
E
D
C
B
A
P
D
A C
B O
8、如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO= 。
二、选择题（共36分）
1、如图，已知12=∠∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D =∠∠；④B E =∠∠．其中能使ABC AED △≌△的条件有（ ） Ａ 4个 Ｂ 3个 Ｃ 2个 Ｄ 1个
2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，
则在下列条件中，无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ） （A ）AD=AE （B ）AB=AC （C ）BE=CD （D ）∠AEB=∠ADC
3、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
其中，正确结论的个数是( )
(A) 3个 （B ）2个 (C)1个（D ）0个
4、如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AC 、BD 交于E 点，下列不正确的是（ ）
A 、∠DAE ＝∠CBE
B 、CE ＝DE
C 、△DEA 不全等于△CBE
D 、△EAB 是等腰三角形
5、如图15，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90° ．AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE ，其中正确结论的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
6、如图16，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB >AD ，下列结论中正A
B C
D E
B
2(12)
C
B A 1E D
A
确的是( )
A、AB-AD>CB-CD
B、AB-AD=CB-CD
C、AB-AD<CB—CD
D、AB-AD与CB-CD的大小关系不确定
7、如图7，AD是ABC
=，△的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE DF 连结BF，CE。
下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；
④△BDF≌△CDE。
其中正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8、如图8，AD=AE，BE=CD，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAE=70°，下列结论错误的是（）
A、△ABE≌△ACD
B、△ABD≌△ACE
C、∠DAE=40°
D、∠C=30°
9、考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；
②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；
④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有( )。
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
三、证明和解答题（共60分）
1、（10分）如图，BD 、CE 是△ABC 的高，D 、E 为垂足，在BD 上截取BF ，使BF ＝AC ，在CE 的延长线取一点G ，使CG ＝AB ； 试说明：（1）AF ＝AG ；（2）AG ⊥AF 。
2、（8分）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE =DF 。
3、（12分）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2
=MD.ME ；（2）MD ME AD AE 2
2。
A B
C D
E
F
G
A
B
C
D
E
M
12A
E
B
D
C
F
4、（10分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，
并且
1
()
2
AE AB AD
=+,求∠ABC+∠ADC的度数。
5、（8分）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC 交CD的延长线于F．求证：BF=CE。
6、（12分）如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE。
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比。