高中数学函数对称性的探究专题辅导
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法
高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。
在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。
本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。
一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。
关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。
关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。
2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。
函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。
二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。
2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。
例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。
三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
函数的对称性【函数对称性的探究】
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理函数y=f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x)=2b证明（必要性）设点P(x ,y)是y=f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y=f (x)图像上，∴2b－y=f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f (x)图像上任一点，则y0=f (x0)∵f (x) + f (2a－x)=2b∴f (x0) + f (2a－x0)=2b，即2b－y0=f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论函数y=f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x)=0定理函数y=f (x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f (a +x)=f (a－x) 即f (x)=f (2a－x) （证明留给读者）推论函数y=f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x)=f (－x)定理①若函数y=f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b），则y=f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y=f (x) 图像同时关于直线x=a 和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
专题03 函数的对称性-高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)
【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
高三函数对称性知识点归纳
高三函数对称性知识点归纳函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图像的观察，可以揭示函数的性质和规律。
在高三数学学习中，函数对称性是一个基础而又重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、函数关于y轴对称当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。
2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。
例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = -sin(x) = f(x)。
函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。
2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。
三、函数关于原点对称当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。
例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。
函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。
高中数学教学中函数的对称性教学研究
高中数学教学中函数的对称性教学研究摘要：现阶段，随着我国新课标改革，提倡基于核心素养下对原有的教学模式进行改革。
因此，在高中数学教学中，需要教师对原有的教学模式进行改进，采取新的教学理念，并结合日常教学过程中存在的问题，采取针对性的教学策略，从而更好地提高数学教学质量。
高中数学知识较多，需要教师合理的规划各个章节讲课内容，基于核心素养培养要求下进行讲课，从而更好地提高学生掌握基础知识的能力和实践解题的能力。
基于此，本文以高中数学《函数的对称性》为分析案例，提出在高中数学教学中进行函数对称教学的设计策略，并提出相关教学策略，希望对于高中数学教师的教学提供一定的参考。
关键词：高中数学；教学研究；函数的对称性引言：数学作为一门逻辑性较强的学科，不仅仅关乎学生高考，更会影响到学生的逻辑思维能力和未来综合发展。
而且，随着新课标改革，对学生的发展要求越来越高，采取以往的教学策略已经不能满足当下培养学生学习的需要，因此，需要教师不断地探索新的教师实践策略，帮助学生更好地学习相关数学知识。
因此，本文将以函数为例，探讨教师运用整体教学的策略研讲授函数对称性问题。
一、高中数学函数的对称性设计策略（一）知识与技能的教学培养目标培养学生在解答函数时能够用函数的对称性的快速解答，同时也能灵活地使用函数的对称性相关知识。
并熟练掌握函数的对称性应用实践答题的技巧。
（二）学习过程与方法的教学目标在数学教师的教导下，学会如何观察题目，从而有条理地去推导、并在解题后进行交流总结等一系列过程，从而让学生掌握如何得出函数的对称性的过程，在这一过程中提高学生对问题的推理分析与归纳总结的能力（三）情感与态度的教学目标在采用整体设计教学的模式下，教师要在这样的教学过程中培养学生对数学的逻辑分析思维和独立思考意识，提高学生团队合作学习的能力。
二、高中数学函数的对称性整体教学设计的措施（一）采用分组合作营造课堂氛围，激发学生的创新思维教师在进行函数的对称性整体设计教学中合理地按照学生学习的实际情况进行分组，让学生自由讨论，并通过合作学习的方式提高学习效率，更好地在讨论中激发学生思维创新性。
(完整word版)高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f的图像关于点A对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点P是y=f图像上任一点，∵点P 关于点A的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f图像上，∴2b－y=f即y+f=2b故f+f=2b，必要性得证。
（充分性）设点P是y=f图像上任一点，则y0=f∵f+f=2b∴f+f=2b，即2b－y0=f。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f图像上，而点P与点P'关于点A对称，充分性得征。
推论：函数y=f的图像关于原点o对称的充要条件是f+f=0定理2.函数y=f的图像关于直线x=a对称的充要条件是f=f即f=f（证明留给读者）推论：函数y=f的图像关于y轴对称的充要条件是f=f 定理3.①若函数y=f图像同时关于点A和点B成中心对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f图像既关于点A成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f图像既关于点A成中心对称，∴f+f=2c，用2b－x代x得：f+f[2a－]=2c………………（*）又∵函数y=f图像直线x=b成轴对称，∴f=f代入（*）得：f=2c－f[2+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f[2+x]=2c－f[4+x]代入（**）得：f=f[4+x],故y=f是周期函数，且4a－b是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f与y=2b－f的图像关于点A成中心对称。
定理5.①函数y=f与y=f的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f与a－x=f的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f与x－a=f的图像关于直线x－y=a成轴对称。
高中数学对称的结论教案
高中数学对称的结论教案
教学目标：
1. 了解对称性在数学中的重要性和应用；
2. 学习和掌握几何中的对称关系；
3. 探索对称性在数学问题中的解决方法。
教学准备：
1. 教材：包含对称的内容和相关例题；
2. 教具：尺规作图工具，白板、彩色粉笔等。
教学步骤：
一、引入：介绍概念和重要性（10分钟）
1. 通过展示一些具有对称性的图形或物体，让学生从直观上了解对称的概念；
2. 引导学生讨论对称性在日常生活和数学中的应用。
二、探究对称的性质（20分钟）
1. 讲解对称轴及对称中心的定义和性质；
2. 给出一些简单的几何图形让学生通过观察找出其对称轴和对称中心。
三、解决问题：应用对称性解决问题（30分钟）
1. 通过几何问题的实例，引导学生使用对称性去推理和解决问题；
2. 练习一些对称性相关的练习题，巩固学生的知识和技能。
四、拓展延伸：探索更多对称的性质（15分钟）
1. 讲解对称性在其他数学领域的应用，如代数、几何等；
2. 提出一些深入的对称性问题，引导学生进行思考和讨论。
五、总结复习：总结对称性的重要性和应用（5分钟）
1. 总结本节课所学的对称性概念和性质；
2. 提出一些对称性的练习题，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够深入理解对称性的概念和应用，提高解决问题的能力。
在教学过程中，教师应引导学生积极思考和探索，在实践中不断加深对对称性的理解和运用。
高中数学总复习 函数的对称性
因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1).
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
对任意x∈R恒成立，则
√A.f(－1)<f(3)
C.f(－1)＝f(3)
B.f(0)>f(3) D.f(0)＝f(3)
因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).
思维升华
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝ f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 成中心对称.
跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上 单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实 数x的取值范围是 A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－2,1)
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以 f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得 到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x －1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于 D，函数 y＝xx－－1b＝x－bx－＋bb－1＝1＋bx－－b1的图象关于点(3，c) 中心对称，
高中数学讲义微专题05 函数的对称性与周期性
微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识 （一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a bx +=为所给对称中心即可。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究函数的对称性是数学中的重要概念，它在高中数学中有着广泛的应用。
本文将从函数的对称性的定义、常见的函数对称性以及对称性的应用三个方面来进行探究。
一、函数的对称性的定义函数的对称性是指函数图像在某个轴线或点上满足一定的对称性质。
常见的函数对称性有奇偶对称和轴对称。
1. 奇偶对称：若对于定义域内任意一个实数x，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)具有奇对称性。
若对于定义域内任意一个实数x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有偶对称性。
二、常见的函数对称性1. 奇函数：奇函数是指满足奇对称性的函数。
奇函数的特点是在原点处取值为0，即f(0) = 0。
常见的奇函数有y=x、y=x^3等。
3. 轴对称函数：轴对称函数是指具有轴对称性的函数。
轴对称函数的特点是关于对称轴对称，即f(c-x) = f(c+x)。
常见的轴对称函数有y=sin(x)、y=cos(x)等。
三、对称性的应用1. 确定函数的奇偶性：通过函数的对称性，可以方便地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
利用奇偶性可以简化函数的计算和求解，提高解题的效率。
2. 求函数的零点和对称轴：当函数具有奇或偶对称性时，可以通过已知的零点或对称轴来求解未知的零点或对称轴。
这为函数的图像绘制和解析形式的表示提供了便利。
3. 研究函数的性质和性质间的关系：函数的对称性与函数的单调性、最大最小值、图像特征等性质间存在一定的关系。
通过函数的对称性可以简化性质的证明和推导过程。
4. 构造函数和解题思路：利用函数的对称性可以构造出满足一定条件的各类函数，进而解决与函数对称性相关的问题。
对称性也可作为解题的思路和切入点，引导解题者寻找规律和关系。
函数的对称性在高中数学中起着重要的作用。
通过研究函数的对称性，可以更加深入地理解函数的性质和特点，为解题提供便利和启示。
函数的对称性也为函数的运算和性质的证明提供了一定的方法和途径。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究对称性在数学中是非常重要的概念，而函数对称性则是我们在学习函数的过程中十分需要掌握和应用的。
本文将主要就高中数学中函数对称性的应用进行探究。
一、奇偶性首先，我们来看一个最为常见的函数对称性——奇偶性。
我们知道，如果一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。
这里的x可以理解为是正负对称的，也就是说，如果一个函数在x轴右侧有一个点A(x,y)，那么在x轴左侧就会有一个点B(-x,y)，二者关于x轴对称。
利用奇偶性，我们可以极大地简化计算。
例如，我们要求f(x)=x^4-2x^2在[-2,2]上的积分。
不难发现，这是一个偶函数，所以积分的结果为两个关于x=0对称的部分面积。
因此，我们只需计算[0,2]上的面积，再乘以2即可。
这样，就可以避免涉及到负数部分的计算，大大简化了计算过程。
二、周期性除了奇偶性，周期性也是一个常见的函数对称性。
如果一个函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数，那么这个函数就是T周期函数。
周期函数的图像会在以T 为周期的区间内重复出现。
我们可以用这个性质来描绘一些重复的现象，如天体运动、电流波动等。
例如，我们可以看看正弦函数和余弦函数：f(x)=sin(x)和g(x)=cos(x)都是2π周期函数。
这意味着，在[0,2π]（或者其他以2π为周期的区间）内，它们的函数值会依次覆盖在[-1,1]的范围内，同时在折线图上呈现出周期性的重复。
我们可以利用周期性，精准地描述这些现象，方便我们的理解和计算。
三、轴对称性除了上述两种对称性，我们还有另外一种常见的对称性——轴对称性。
如果一个函数f(x)在某一直线L上对称，那么称直线L为这个函数的对称轴，也称为轴对称线。
利用轴对称性，我们可以轻松地求出函数在某些点处的函数值，从而避免繁琐的计算。
例如，我们可以看看二次函数f(x)=x^2-2x+3。
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究一、引言数学中的函数对称性是一种重要的性质，它在实际生活中有着广泛的应用。
在高中数学课程中，我们经常会学习到关于函数的对称性的知识，并且会在各种数学问题中应用这些知识。
本文将探讨高中数学函数对称性的应用，并通过一些例题来说明函数对称性在实际问题中的应用。
二、基本概念在数学中，函数对称性是指函数图象在某个轴、平面或中心对称的性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1. 关于x轴的对称：如果函数图象关于x轴对称，那么对于任意点(x,y)，其对称点为(x,-y)。
即f(x) = f(-x)。
这些对称性在数学中有非常重要的意义，它不仅帮助我们理解函数的规律，还能够应用到各种实际问题中。
下面我们通过具体的例题来探讨函数对称性在实际问题中的应用。
三、实际问题探究1. 设有一根长为10cm的直线段，将其分成三段，使得这三段可以构成一个等边三角形。
求这三段的长度是多少？解析：设中间一段的长度为x，则另外两段的长度也为x。
根据等边三角形的性质可知，x+x+x=10，即3x=10。
解得x=10/3=3.33。
由于等边三角形的对称性，我们知道三条边的长度都是相等的。
这三段的长度分别为3.33cm，3.33cm和3.33cm。
在这个问题中，我们通过对称性的思想，将直线段分成了等长的三段，从而解决了问题。
这个问题展示了对称性在几何问题中的应用。
2. 考虑一个关于x轴对称的函数f(x)，且f(2)=3。
求f(-2)的值。
解析：根据关于x轴的对称性可知，当x=2时，f(-2)的值也等于3。
因为对称性保证了函数图象在x轴两侧的对应点的函数值相等。
f(-2)=3。
在这个问题中，我们利用了函数图象的对称性来简化计算，从而快速得出了函数值的解。
3. 有一条铁路轨道，轨道的左半部分是直线段，右半部分是一个半圆。
已知轨道的总长度为100m，且轨道的左半部分与右半部分的交点为A。
高中数学函数对称轴题解题方法
高中数学函数对称轴题解题方法函数对称轴题是高中数学中常见的一种题型，考察学生对函数对称性的理解和运用能力。
在解题过程中，我们需要掌握一些解题方法和技巧，以便更好地解决这类问题。
首先，我们来看一个例子：已知函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，且 f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - 1，求 a 的值。
解析：根据题目中给出的条件，函数 f(x) 的图像关于直线 x = a 对称，意味着对于任意的 x，有 f(x) = f(2a - x)。
我们可以利用这个性质来解题。
首先，我们将函数 f(x) 展开，得到 f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - 1。
然后，我们将 x替换为 2a - x，得到 f(2a - x) = (2a - x)^2 + 2a(2a - x) + a^2 - 1。
由于 f(x) = f(2a - x)，我们可以将两个式子相等，得到方程 x^2 + 2ax + a^2 - 1 = (2a - x)^2 + 2a(2a - x) + a^2 - 1。
化简上述方程，我们可以得到 4ax - 2x = 0，进一步化简得到 2x(2a - 1) = 0。
由于x ≠ 0，所以我们可以得到 2a - 1 = 0，即 a = 1/2。
所以，函数 f(x) 的图像关于直线 x = 1/2 对称。
通过这个例子，我们可以总结出解决函数对称轴题的一般方法：1. 根据题目中给出的条件，确定函数对称轴的方程。
对称轴的方程可以是 x =a、y = b 或其他形式，具体根据题目而定。
2. 利用对称性质，将函数 f(x) 替换为 f(2a - x) 或其他形式，得到一个新的方程。
3. 将原方程和新方程相等，化简得到一个或多个方程。
4. 解方程，求出未知数的值。
需要注意的是，在解题过程中，我们要注意运用代数运算的技巧和常见的等式变形方法，以简化计算和化简方程。
同时，我们还要注意判断解的合理性，避免出现无解或多解的情况。
高三函数周期性与对称性教学策略
高三函数周期性与对称性教学策略函数周期性和对称性是高中数学中的重要内容之一，教学这个知识点需要灵活使用多种策略，帮助学生深入理解概念，掌握相关的性质和定理。
下面是一些教学策略，帮助学生更好地理解函数周期性和对称性。
1. 图像分析法：通过观察函数的图像，分析函数的周期性和对称性。
让学生从图像中观察到函数的周期长度、对称轴的位置等特点，帮助他们形成直观的认识。
2. 实例分析法：通过给出一些具体的函数实例，让学生通过计算和图像分析，发现函数的周期性和对称性。
给出三角函数的周期性和对称性的典型例子，让学生通过实例分析，理解函数周期性和对称性的基本性质。
3. 常见函数的周期性和对称性总结法：总结常见的函数的周期性和对称性的性质和定理，建立学生对函数周期性和对称性的系统性认识。
让学生总结正弦函数和余弦函数的周期性和对称性的性质，以及二次函数的对称轴等。
4. 习题实践法：通过大量的习题训练，巩固学生对函数周期性和对称性的理解。
设计一些具有挑战性的习题，让学生独立解题，提高他们的问题解决能力。
5. 制作教具法：设计一些教具帮助学生理解函数的周期性和对称性。
制作一张函数图像的透明修正带，让学生通过调整透明修正带的位置，找到函数的对称轴。
6. 综合应用法：通过一些生活中常见的例子，引导学生探索和应用函数周期性和对称性的知识。
让学生分析音乐中的节奏和旋律的周期性和对称性，帮助他们将抽象的知识与实际应用联系起来。
函数周期性和对称性是需要通过综合多种策略来教学的知识点。
通过图像分析、实例分析、总结性认识、习题训练、制作教具和综合应用等策略，能够帮助学生全面理解函数周期性和对称性的概念和性质。
教学中还应注重培养学生的实际应用能力，引导学生将函数周期性和对称性的知识用于解决实际问题。
专题研究二：函数的对称性课件高三数学一轮复习
(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x) ＝x，则 f(7.5)＝___－__0_._5_．
【解析】 方法一：由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋1)＝f((x－1)＋2)＝－f(x－ 1)＝f(1－x)，故 f(x)的图象关于 x＝1 对称，也关于原点对称，其图象如图．
∴f(x)的周期 T＝4×(1－0)＝4， ∴f(7.5)＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 方法二：由 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期 T＝4. 以下同解法一． 【探究】 本例是一条对称轴，一个对称中心．
状元笔记
专题研究二 函数的对称性
1．函数自身的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称． (2)若 y＝f(x＋a)是偶函数，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． 若 y＝f(x＋a)是奇函数，则 f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． (3)函数 y＝f(x)的图象关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x) ⇔f(2a－x)＝f(x)．
f(x)，∴f(x＋8)＝f((x＋4)＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期为 8，∴f(－2 022)
＋f(2 023)＝－f(2 022)＋f(2 023)＝－f(6)＋f(7)＝f(2)－f(1)＝2－1＝1.
高三函数周期性与对称性教学策略
高三函数周期性与对称性教学策略随着高三数学教学的深入，函数周期性与对称性的概念成为了学生需要掌握的重点内容之一。
函数周期性与对称性不仅在数学中具有重要意义，在物理、化学、生物等自然科学领域都有广泛的应用。
如何有效地教授和学习函数周期性与对称性成为了教师们亟待解决的问题。
本文将从教学策略的角度探讨高三函数周期性与对称性的教学方法，以期为教师们提供一些有益信息。
一、教学策略一：生动形象的教学方式函数周期性与对称性是一个相对抽象的数学概念，如果仅依靠纸上的讲解，很难引起学生的兴趣，也难以形成深刻的印象。
教师在教学中可以尝试采用生动形象的教学方式，比如通过动画、图像、实例等形式将抽象的概念具体化，让学生能够感受到周期性与对称性的存在和实际应用。
在介绍函数的周期性时，教师可以通过展示周期性的图像或者视频来生动地展示函数的周期性特点，让学生通过观察和感受来理解函数的周期性规律。
这样的教学方式有助于激发学生的学习热情，同时也提升学生对知识的理解和记忆。
二、教学策略二：引导学生主动探索函数周期性与对称性是一种数学规律，而数学规律的发现往往需要通过一定的实践和探索。
教师在教学中可以引导学生主动探索，通过大量的练习和实例分析来加深对函数周期性与对称性的理解。
可以设计一些具有周期性与对称性特点的函数图形，让学生通过观察、作图和计算来总结函数的周期性与对称性规律，从而加深对这一概念的理解。
也可以设置一些开放性的问题，让学生自主思考、合作讨论，通过解决问题来发现函数周期性与对称性的规律，从而激发学生的学习兴趣，提升他们的探究能力和创新意识。
三、教学策略三：实践应用的教学设计四、教学策略四：多元化的评价方式在教学过程中，教师需要采用多元化的评价方式来对学生的学习情况进行评价。
函数周期性与对称性的学习，不仅需要学生掌握知识，还需要培养学生的思维能力和创新意识。
教师可以通过课堂练习、小组合作、实际操作等方式对学生的学习情况进行评价，从而全面地了解学生的学习状况，及时发现问题并加以解决。
高中数学函数对称性的探究专题辅导
高中数学函数对称性的探究讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。
前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。
下文中我们均简称为函数的变换性。
函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。
现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
1. 函数自身的对称性探究高考题回放：（2005年广东卷I ）设函数)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。
定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -=证明（略）推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+证明（略）推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。
定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
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高中数学函数对称性的探究
讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。
前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。
下文中我们均简称为函数的变换性。
函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。
现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
1. 函数自身的对称性探究
高考题回放：（2005年广东卷I ）设函数
)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。
定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=
定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+
推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f
偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。
定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
②若函数)(x f y =的图像同时关于直线b x a x ==和直线成轴对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
③若函数)(x f y =的图像既关于点A （a ，c ）成中心对称又关于直线x ＝b 成轴对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -4是其一个周期。
以下给出③的证明，①②的证明留给读者。
因为函数)(x f y =的图像关于点A （a ，c ）成中心对称。
所以x b c x a f x f -=-+2,2)2()(用代x 得：
[](*)2)2(2)2(c x b a f x b f =--+-
又因为函数)(x f y =的图像关于直线b x =成轴对称。
所以)()2(x f x b f =-代入（*）得：
[]x x b a x b a f c x f 代用+-+--=)(2(**),)(22)(得
[][]x b a f c x b a f +--=+-)(42)(2代入（**）得：
[])(,)(4)(x f y x b a f x f =+-=故是周期函数，且b a -4是其一个周期。
2. 不同函数对称性的探究
定理4 函数)2(2)(x a f b y x f y --==与的图像关于点),(b a A 成中心对称。
证明：设点)(),(00x f y y x P =是图像上任一点，则)(00x f y =。
点),(00y x P 关于点),(b a A 的对称点为)2,2('00y b x a P --，此点坐标满足)2(2x a f b y --=，显然点)2,2('00y b x a P --在)2(2x a f b y --=的图像上。
同理可证：)2(2x a f b y --=图像上关于点),(b a A 对称的点也在)(x f y =的图像上。
推论 函数)(x f y =与)(x f y --=的图像关于原点成中心对称。
定理5 函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图像关于直线a x =成轴对称。
证明 设点),(00y x P 是)(x f y =图像上任意一点，则)(00x f y =。
点),(00y x P 关于直线a x =的对称
点为),2('00y x a P -，显然点),2('00y x a P -在)2(x a f y -=的图像上。
同理可证：)2(x a f y -=图像上关于直线a x =对称的点也在)(x f y =图像上。
推论 函数)(x f y =与)(x f y -=的图像关于直线y 轴对称。
定理6 ①函数)(x f y =与)(y a f x a -=-的图像关于直线a y x =+成轴对称。
②函数)(x f y =与)(a y f a x +=-的图像关于直线a y x =-成轴对称。
现证定理6中的②
设点),(00y x P 是)(x f y =图像上任一点，则)(00x f y =。
记点),(00y x P 关于直线a y x =-的对称点),('11y x P ，则a x y y a x -=+=0101,，所以
a x y y a x -=+=1010,代入
)(00x f y =之中得)(11y a f a x +=-。
所以点),('11y x P 在函数)(a y f a x +=-的图像上。
同理可证：函数)(a y f a x +=-的图像上任一点关于直线a y x =-的轴对称点也在函数)(x f y =的图像上。
故定理6中的②成立。
推论 函数)(x f y =的图像与)(y f x =的图像关于直线y x =成轴对称。
3. 函数对称性应用举例
例1 定义在R 上的非常数函数满足：)10(x f +为偶函数，且)5()5(x f x f +=-，则)(x f 一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数
B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数
D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为)10(x f +为偶函数，所以)10()10(x f x f -=+。
所以)(x f 有两条对称轴105==x x 与，因此)(x f 是以10为其一个周期的周期函数，所以x ＝0即y 轴也是)(x f 的对称轴，因此)(x f 还是一个偶函数。
故选（A ）。
例2 设定义域为R 的函数)(x f y =、)(x g y =都有反函数，并且)1(-x f 和)2(1
--x g 的函数图像关于直线x y =对称，若2002)5(=g ，那么=)4(f （ ）
A. 2002
B. 2003
C. 2004
D. 2005
解：因为)2()1(1-=-=-x g y x f y 和的函数图像关于直线x y =对称，所以)2(1-=-x g y 的反函数是)1(-=x f y ，而)2(1-=-x g y 的反函数是)(2x g y +=，所以)(2)1(x g x f +=-，所以有2004)5(2)15(=+=-g f 故2004)4(=f ，应选（C ）。
例 3 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 2
1)(-=，则=)6.8(f ___________
解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；
又因为)(1)1()1(x f y x x f x f ==-=+也是所以的对称轴。
故)(x f y =是以2为周期的周期函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f
例 5 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1=x ，则：=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _____________
解：函数)(x f y =的图像既关于原点对称，又关于直线2
1=x 对称，所以周期是2，又0)0(=f ，图像关于2
1=x 对称，所以0)1(=f ，所以0)5()4()3()2()1(=++++f f f f f。