数学建模相关分析与回归分析

（实例） 实例）
对前例计算的相关系数进行显著性检(α=0.05) 对前例计算的相关系数进行显著性检(α=0.05) 1. 提出假设：H0：ρ = 0 ；H1： ρ ≠ 0 提出假设：H 2. 计算检验的统计量 0.9987 13 − 2 t= = 64.9809 1− 0.99872 3. 根据显著性水平α＝0.05，查t分布表得tα/2(n根据显著性水平α 0.05，查t分布表得t 2)=2.201
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回归方程一词是怎么来的
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis 回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton 在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出 19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出 来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高 来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高 。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。 对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮 ，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身 高高。 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的 趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个数 值变量的方法称为回归分析。
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相关关系的测度
（相关系数） 相关系数）
样本相关系数的计算公式
r=
∑(x − x)( y − y) ∑(x − x) ⋅ ∑( y − y)
2
2
或化简为 r =
n∑x − (∑x) ⋅ n∑y − (∑y)
2 2 2
n∑xy − ∑x∑y
2
14
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义） 相关系数取值及其意义）
7
变量间的关系
（相关关系） 相关关系）
1. 变量间关系不能用函数关 y 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时，变 取某个值时， 量 y 的取值可能有几个 4. 各观测点分布在直线周围
8
x
变量间的关系
（相关关系） 相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量( 与居民收入( 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额( 与广告费支出( 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量( 与施肥量( 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 降雨量( 温度( 温度(x3)之间的关系 收入水平( 与受教育程度( 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高( 与子女身高( 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
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第二节 一元线性回归
一. 二. 三. 四. 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用
23
什么是回归分析？ 什么是回归分析？
（内容） 内容）
1. 从一组样本数据出发 ，确定变量之间的数学 从一组样本数据出发， 关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 ，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 哪些变量的影响显著， 哪些变量的影响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式， 根据一个或几个变量的 利用所求的关系式， 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
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回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 相关分析中， 归分析中， 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 称为因变量， 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 称为自变量， 2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中， 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 是随机变量， 以是随机变量， 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小， 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
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由于| =64.9809>t (13-2)=2.201，拒绝H 由于|t|=64.9809>tα/2(13-2)=2.201，拒绝H0，人均 消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著
相关系数的显著性检验
（相关系数检验表的使用） 相关系数检验表的使用）
1. 若 IrI 大于表上的 α =5% 相应的值 ， 小于表上 α ＝ 大于表上的α 相应的值， 1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系 相应的值，称变量x 之间有显著 显著的线性关系 2. 若IrI大于表上α=1%相应的值，称变量x与y之间有 大于表上α 相应的值，称变量x 十分显著的线性关系 十分显著的线性关系 3. 若IrI小于表上α=5%相应的值，称变量x与y之间没 小于表上α 相应的值，称变量x 明显的线性关系 有明显的线性关系 4. 根据前例的r＝0.9987>α=5%(n-2)=0.553，表明人 据前例的r 9987> )=0 553， 均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线 性相关关系
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回归模型的类型
一个自变量
回归模型
两个及两个以上自变量
一元回归
多元回归
线性 回归
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非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
回归模型与回归方程
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回归模型
1. 回答“变量之间是什么样的关系？” 回答“变量之间是什么样的关系？ 2. 方程中运用
1 个数字的因变量(响应变量) 个数字的因变量(响应变量)
6
x
变量间的关系
（函数关系） 函数关系）
函数关系的例子
某种商品的销售额( 与销售量( 某种商品的销售额 (y) 与销售量 (x) 之间的关 为单价) 系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2 企业的原材料消耗额( 与产量( 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 原材料价格( 量消耗( 量消耗 (x2) 、 原材料价格 (x3) 之间的关系可 表示为y 表示为y = x1 x2 x3
9
相关关系的类型
相关关系
线性相关 正 相 关
10
非线性相关
完全相关 正 相 关 负 相 关
不相关
负 相 关
相关关系的图示
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
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相关系数及其计算
12
相关关系的测度
（相关系数） 相关系数）
1. 对变量之间关系密切程度的度量 2. 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数 3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的 ， 称 若相关系数是根据总体全部数据计算的， 为总体相关系数， 为总体相关系数，记为ρ 4. 若是根据样本数据计算的 ， 则称为样本相关 若是根据样本数据计算的， 系数， 系数，记为 r
数理统计选讲
相关分析与回归分析
三峡大学 • 于 林
1
相关分析与回归分析
第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归 第三节 可化为线性回归的曲线回归
2
学习目标
1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用 掌握相关系数的含义、 2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最 小二乘估计方法 3. 掌握回归方程的显著性检验 4. 利用回归方程进行预测 5. 了解可化为线性回归的曲线回归 6. 了解如何用 Excel 进行回归分析
2 2 2 2 2
13×9156173.99 −12827.5× 7457 13×16073323.77 − (12827.5) ⋅ 13×5226399 − (7457)
2
= 0.9987
18
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系 数为 0.9987
相关系数的显著性检验
（概念要点） 概念要点）
1. 2. 3. 4. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 等价于对回归系数 β1的检验 采用 t 检验 检验的步骤为
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
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一元线性回归模型
（概念要点） 概念要点）
1. 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变 当只涉及一个自变量时称为一元回归， 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线 之间为线性关系时称为一元线 性回归 2. 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线 对于具有线性关系的两个变量， 性方程来表示它们之间的关系 3. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项ε 的方程称为回归模型 的方程称为回归模型
β0 和 β1 称为模型的参数
31
一元线性回归模型
（基本假定） 基本假定）
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0 误差项ε是一个期望值为0的随机变量， )=0 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) =β 的期望值为E 0+ β 1 x 2. 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 的方差σ 3. 误差项 ε 是一个服从正态分布的随机变量 ， 且相 误差项ε 是一个服从正态分布的随机变量， 互独立。 互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关 |=1
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关
3. r = 0，不存在线性相关关系相关 不存在线性相关关系相关 4. -1≤r<0，为负相关 5. 0<r≤1，为正相关 6. |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系 越趋于1表示关系越密切；| 越趋于0 越不密切
人均 国民收入
1068.8 1169.2 1250.7 1429.5 1725.9 2099.5
人均 消费金额
643 690 713 803 947 1148
相关关系的测度
（计算结果） 计算结果）
解：根据样本相关系数的计算公式有
r= = n∑xy − ∑x∑y n∑x − (∑x) ⋅ n∑y − (∑y)
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相关关系的测度
（相关系数取值及其意义） 相关系数取值及其意义）
完全正相关
完全负相关
无线性相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
16
相关关系的测度
（相关系数计算例） 相关系数计算例）
【例1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额 在研究我国人均消费水平的问题中， 记为y 把人均国民收入记为x 我们收集到1981～1993年的样本 记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本 数据( 数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表1，计算相关系数。 13，数据见表1 计算相关系数。 表1 我国人均国民收入与人均消费金额数据
提出假设：H 提出假设：H0：ρ = 0 ；H1： ρ ≠ 0 r n−2 t ~ t(n − 2) 计算检验的统计量： = 2 1− r 确定显著性水平α 确定显著性水平α，并作出决策
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• 若|t|>tα/2，拒绝H0 ，拒绝H • 若|t|<tα/2，接受H0 ，接受H
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相关系数的显著性检验
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一元线性回归模型
（概念要点） 概念要点）
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可 表示为 y = β0 + β1 x + ε
模型中， 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 的线性函数(部分) 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 ε 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
3
第一节 变量间的相关关系
一. 变量相关的概念 二. 相关系数及其计算
4
变量相关的概念
5
ຫໍສະໝຸດ Baidu 变量间的关系
（函数关系） 函数关系）
1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 y 一起变化， 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值， 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数， 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， 称为自变量，y 称为因变量 3. 各观测点落在一条线上
年份
1981 1982 1983 1984 1985 1986 171987
单位: 单位:元
人均 国民收入
393.8 419.14 460.86 544.11 668.29 737.73 859.97
人均 消费金额
249 267 289 329 406 451 513
年份
1988 1989 1990 1991 1992 1993