上海市南洋模范中学2016届高三5月三模考试数学试题(扫描版)
南洋中学高三月考试卷
上海市南洋中学高三数学测试卷_____班，_____号，姓名_____________ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．若实数a 、b 满足a 2+b 2=1，则ab 的取值范围是______________．2．设12,x x 是一元二次方程2260x ax a -++=的两个实根，则2212(1)(1)x x -+-的最小值 为______________． 3．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +2x +b （b 为常数），则f (-1)=______________． 4．已知集合A ={(x ,y )|-2<y <1,x ∈Z ,y ∈Z }，{(,)|,,}2B x y x x y ππ=<<∈∈Z Z ，则A ⋂B 的真子集的个数为______________． 5．函数()122(23)f x x x -=--+的单调递增区间是______________．6．不等式0)2)(sin |(|<-+x x x 的解集为______________．7．已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[0,+∞)，则)1(f 的最小值为__________． 821m αα=-有解，则实数m 的取值范围是______________． 9．若y =f (2x -1)是周期为t 的周期函数，则函数y =f (x )的一个周期是______________． 10．已知()2sin(2)6f x x π=+若006(),[,]542f x x ππ=∈，则0cos 2x =______________．11．若正数a ,b 满足2+log 2a =3+log 3b =log 6(a +b )，则11a b+的值为______________．12．设集合3{|12}b a b a+≤≤≤中的最大元素与最小元素分别为M ,m ，则M -m 的值为______．13．若函数f (x )=x 2+a |x -1|在[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．14．对于定义域和值域均为[0.1]的函数f (x )，定义f 1(x )=f (x )，f 2(x )=f (f 1(x ))，…，f n (x )=f (f n -1(x ))，n =1,2,3,…．满足f n (x )=x 的点称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122, 1.2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则f 的n 阶周期点的个数是______________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（ ）A ．如果a b =，0c ≠，那么a b c c= B ．如果a b =，那么22a b =C ．如果a b =，c d =，那么a d b c +=+D ．如果a b =，c d =，那么a d b c -=-16．设p ,q 是两个命题，1:1p x≤-，:|21|1q x +<，则p 是q（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 17．定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(-1,1]时，f (x )=x 2-x ，且对任意的x 满足f (x -2)=af (x )（常数a >0），则函数f (x )在区间(5,7]上的最小值是 （ ） A ．341a -B ．341a C ．341aD ．341a-18．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点P (x ,y )的轨迹方程是()y f x =，则关于()f x 的最小正周期T 及()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积S 的正确结论是 （ ） A ．T =4，S =π+1 B ．T =2π，S =2π+1 C ．T =4，S =2π+1 D ．T =2π，S =π+1 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题5分，第2小题7分．已知函数21,(0),()21,(1).x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，且89)(2=c f ．(1) 求实数c 的值； (2) 解不等式182)(+＞x f ．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数)1lg()(+=x x f ．(1) 若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；(2) 若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()g x f x =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知函数)4sin()4sin(sin )cot 1()(2ππ-+++=x x m x x x f ．(1) 当0=m 时，求)(x f 在区间]43,8[ππ上的取值范围；(2) 当2tan =α时，53)(=αf ，求m 的值． 22．（本题满分16分）第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分．已知函数222()(,0)21x x a a f x x x +-=∈≠-R ，其中a 为常数，且a <0．(1) 若)(x f 是奇函数，求a 的取值集合A ；(2) 当a =-1时，设)(x f 的反函数为)(1x f-，且函数)(x g y =的图像与)1(1+=-x f y 的图像关于x y =对称，求)1(g 的取值集合B ；(3) 对于问题(1)(2)中的A 、B ，当},,0|{B a A a a a a ∉∉<∈时，不等式)4(9102-<+-x a x x 恒成立，求x 的取值范围．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．对于函数)(1x f 、)(2x f 、)(x h ，如果存在实数b a ,使得)()()(21x f b x f a x h ⋅+⋅=，那么称)(x h 为)(1x f 、)(2x f 的生成函数．(1) 下面给出两组函数，)(x h 是否分别为)(1x f 、)(2x f 的生成函数？并说明理由； 第一组：x x f sin )(1=，x x f cos )(2=，)3sin()(π+=x x h第二组：x x x f -=21)(，1)(22++=x x x f ，1)(2+-=x x x h ；(2) 设x x f 21log )(=，x x f 212log )(=，1,2==b a ，生成函数)(x h ．若不等式0)2()4(<⋅+x h t x h 在]4,2[∈x 上有解，求实数t 的取值范围；(3) 设)0()(1>=x x x f ，)0(1)(2>=x xx f ，取0,0>>b a ，生成函数)(x h 图像的最低点坐标为)8,2(．若对于任意正实数21,x x ，且121=+x x ，试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．高三数学测试三答案1、11[,]22-． 2、8． 3、-3． 4、15． 5、[-1,1)． 6、(0,+∞) 7、4． 8、[-1,2]． 9、2t ． 10． 11、108． 12、5- 13、[-2,0]．14、2n ． 15、D ． 16、B ． 17、D ． 18、A ．19、解：（1）因为01c <<，所以20c c <<， ………………………2分由239()18f c c =+=得：12c = ………………………5分 （2）由1021112x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩12x << ……………………8分由4112211x x -⎧≤<⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩得1528x ≤< ………………………11分所以，不等式的解集为5)8………………………12分20、解：（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21、解：(1)当0=m 时，21)2cos 2(sin 21sin )cot 1()(2+-=+=x x x x x f 21)42sin(22+-=πx 3分 又由]43,8[ππ∈x 得]45,0[42ππ∈-x ，故]1,22[)42sin(-∈-πx 从而]221,0[21)42sin(22)(+∈+-=πx x f 6分 (2)x mx x x m x x x x f 2cos 22sin 2122cos 12cos 2cos sin sin )(2-+-=-+= 21]2cos )1(2[sin 21++-=x m x由2tan =α得54tan 1tan 22sin 2=+=ααα，53tan 1tan 12cos 22-=+-=ααα 12分所以21)]1(5354[2153+++=m ，解得2-=m 14分22、解：（1）由必要条件,0,020)1()1(2<=--=+-a a a f f 得 所以a=-1，…………2分下面 证充分性，当a=-1时，xxx f 2121)(-+=， 任取R x x ∈≠,0，02121121221212121)()(=-++-+=-++-+=+---xxx x x x x x x f x f 恒成立， (4)分由A={-1}。
上海市浦东新区2016届高三5月综合练习(三模)数学理试题(详细解析)
2016届浦东新区综合练习（三模）数学理试题 2016.05一、填空题1、抛物线214y x =-的准线方程是 【答案】1y =【解析】22144y x x y =-⇒=-，则其准线方程为1y =2、计算：2lim123nn C n→∞=++++【答案】1【解析】()()()()2112limlim lim 1112312nn n n n n n n Cn n n n n →∞→∞→∞--===++++++3、已知2a =，3b =，且a ，b 的夹角为3π，则32a b -=【答案】6【解析】223294123636126cos7236363a b a b ab π-=+-=+-⋅⋅=-=，所以326a b -=4、在复平面内，点()2,1A -对应的复数为z ，则1z +=【解析】2z i =-+，1i -+5、关于x 的方程sin 1014cos x x=的解为【答案】()()1212k k x k Z ππ=+-∈ 【解析】s i n 1104s i n c o s 10s i n 214c o s 2x x x x x =⇒-=⇒=，所以()216k x k ππ=+-⋅，解得()()1212k k x k Z ππ=+-∈ 6、设{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，B A ⊆，则实数a 的取值集合为【答案】10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】易得{}1,3A =-①若B =∅，则0a =，满足题意；②若B ≠∅，则1B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭。
由B A ⊆，则11a =-或13a =，解得1a =-或13a =7、已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa = 【答案】179【解析】()()53151315333422S S a a a a d a =⇒+=⋅+⇒=，所以5117a a =，319a a =，所以53179a a =8、某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示） 【答案】1415【解析】444614115C P C =-=9、圆心是(),0C a ，半径为a 的圆的极坐标方程为 【答案】2cos a ρθ=【解析】设圆上的点(),P ρθ，由图知：2cos a ρθ=10、如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111A BC D 后形成的。
上海市浦东新区2016届高三5月综合练习(三模)数学(理)试题 含答案
一、填空题：本大题共14个小题，每小题4分,共56分.1.抛物线214y x =-的准线方程是 ．2。
计算2lim 123nn C n→∞=++++… ．3。
已知||2a =,||3b =,且a ，b 的夹角为3π,则|32|a b -= . 4。
在复平面内,点(2,1)A -对应的复数为z ，则|1|z += ． 5。
关于x 方程sin 1014cos xx=的解为．6。
设{}2|230A x xx =--=，{}|10B x ax =-=,B A ⊆,则实数a 的取值集合为 ．7.已知公差为d 的等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若533SS =，则53a a = ．8。
某校要从2名男生和4名女生中选出4人,担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为（结果用数值表示）．9.圆心是(,0)C a 、半径是a 的圆的极坐标方程为 ． 10.如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面1111A B C D 后形成的．已知1AB =,11112A A C C D D ==，1D B 与底面ABCD 所成的角为3π，则这个多面体的体积为 ．11。
直线1y kx =+与抛物线22y x =至多有一个公共点,则k 的取值范围是 ． 12。
已知函数21(1)[0,2)()(2),[2,)x x f x f x x --∈=-∈+∞⎪⎩，若对于正数n k （*n N ∈),关于x 的函数()()ng x f x k x =-的零点个数恰好为21n +个，则22212lim()n n k k k →∞+++=…．13.函数()3|5|2|2|f x x x =+-+，数列1a ,2a ，…，na ，…,满足1()n n af a +=(*n N ∈）,若要使1a ，2a ,…，na ,…成等差数列，则1a 的取值范围 ． 14.设整数3n ≥,集合{}1,2,,P n =…,A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为 ．二、选择题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 15。
上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则2. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误错误的是学科人数物理化学生物政治历史地理124√√×××√101××√×√√86×√√××√74√×√×√×A ．前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B ．前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C ．整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D ．整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数3. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n ﹣na n ＜0，对n ＞1，n ∈N *恒成立”是“d ＞0”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件4. 已知双曲线经过抛物线的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线的离心率是A ．2B．C．D．5.已知函数，若且，则函数取得最大值时x 的可能值为（ ）A．B．C．D．6. 已知平面向量，，则（ ）A．B．C．D．7. 若“”是“函数的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．8.已知集合，则（ ）A．B．C．D．上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题 (2)上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题 (2)三、填空题四、解答题9.已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m 与n 可能满足的关系式为（ ）A．B ．C．D．10.若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．若是纯虚数，那么D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则11.如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、为线段上的两个动点（不包括端点），且满足，以下结论正确的个数是（）A．B．平面C ．二面角的大小为定值D．四面体的体积为定值12. 已知向量，是平面内的一组基向量，O 为内的定点，对于内任意一点P ，当时，则称有序实数对为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）A ．线段A ，B的中点的广义坐标为B ．A ，B两点间的距离为C．若向量平行于向量，则D．若向量垂直于向量，则13. 已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则___________；___________.14. 已知集合，全集，则________.15.的展开式中，的系数为________.16.设数列的前项和为，当时，有．(1)求证：数列是等差数列；(2)若，，求的最大值．17. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点分别作两直线PA ，PB 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，若直线PA ，PB 关于直线对称，求直线AB 的斜率．18. 已知函数在处取得极值．（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．19. 如图，在平面四边形ABCD中，，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；（2）若∠BCD＝，求BC的长．20. 如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面.(1)求三棱锥的体积；(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.21. 某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用．。
上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题
一、单选题1. 正方体的棱长为1，E ，F ，G分别为的中点，下列结论中正确的是（ ）A．B ．平面C ．直线与直线所成角的余弦值为D ．平面截正方体所得的截面面积为2. 已知：，：，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与都是红球C ．恰有一个黑球与恰有两个黑球D ．至少有一个黑球与至少有一个红球4.已知数列的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（ ）A．B．C．D．5. 函数的部分图象如图所示，则的值为A．B．C．D．6. 函数的图象是A．B．C．D．7. 已知空间三个平面下列判断正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则8. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A ．4B．C．D．9. 若复数z满足其中i 为虚数单位，则z=上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题A ．1+2iB ．12iC．D．10.将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得曲线上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则（ ）A．B．C．D．11. 下列函数，在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．B．当时，C ．若，则D ．若，，则的值为13.已知函数满足，则（ ）A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度得到14.已知，则（ ）A．B．C．D．15. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为__________.16.在数列中，，，记为数列的前项和，则___________.17. 若全集为实数集，，则________18. 黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前n项和为﹐且满足，则__________，__________．（其中表示不超过x 的最大整数）19. 三个平面至少可将空间分成____________部分，最多可将空间分成____________部分．20. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；六、解答题（2）化简求值：．21. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.22. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数与中位数（结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分.23. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.01七、解答题八、解答题九、解答题2.7063.841 6.63524. 在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的最小值．25. 大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队之间进行单循环（每只球队均与另外三只球队进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25，出现平局的概率为0.5．(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分的分布列与数学期望；(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率．26. 如图,在三棱锥中，平面，，且，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．。
南模中学高三三模(2016.05)
南洋模范中学高三三模数学试卷2016.05一. 填空题1. 若集合{|13}A x x =≤≤，集合{|2}B x x =<，则A B =2. 计算：2lim123n n P n→∞=+++⋅⋅⋅+ 3. 设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =4. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=5. 函数()y f x =的反函数为2log (1)1y x =++（0x >），则()f x =6. 某产品经过4次革新后，成本由原来的105元下降到60元，如果这种产品每次革新后成 本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是 （精确到0.1%）7. 设1F 、2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上一点，且123||4||PF PF =， 则12PF F ∆的周长是8. 已知复数2lg(1)lg(1)z x i x =-+-（其中i 是虚数单位），若z 在复平面上对应的点位 于第三象限，则实数x 的取值范围是 9. 若21(1)n x -（1n >，*n N ∈）的展开式中4x -的系数为na ，则12111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=10. 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数 记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为11. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么 这个圆锥的母线长为 cm12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()6f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为13. 设*n N ∈，圆222:n n C x y R +=（0n R >）与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =的交点为(,)n n N x y ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a ，若数列{}n x 满足：143n n x x +=+，13x =，则常数p = 使数列1{}n n a pa +-成等比数列14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A 、B 、M 是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角θ，使得cos sin OM OA OB θθ=⋅+⋅，则直线OA 、OB 的斜率乘积为二. 选择题15. 1e 、2e为不共线的向量，且12||||e e = ，则以下四个向量中模最小的（ ）A. 121122e e +B. 121333e e +C. 122355e e +D. 121344e e +16. 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则满足()(1)f m f < 的实数m 的取值范围是（ ）A. 10m -<<B. 01m <<C. 11m -<<D. 11m -≤≤17. 数列{}n a 通项公式1(1)n a n n =+，*n N ∈，前n 项和910n S =，则双曲线2211x y n n -=+ 的渐近线方程为（ ）A. 3y x =±B. 4y x =±C. 10y x =±D. 3y x =± 18. 如果函数||2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是（ ）A. [1,1)-B. {1,0}-C. (,1][0,1)-∞-D. [1,0](1,)-+∞三. 解答题19. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD，SB = （1）求证：BC SC ⊥；（2）设棱SA 中点为M ，求异面直线DM 与BC 所成角大小；20. 已知函数22cos()sin 2()2cos()6x xf x x ππ-=+，x R ∈；（1）求()f x 的最小正周期及判断函数()f x 的奇偶性；（2）在ABC ∆中，()0f A =，||AC m = ，[2,4]m ∈，若对任意实数t 恒有||AB t AC -≥||BC，求ABC ∆面积的最大值；21. 已知1(1)2nx +展开式的各项依次记为121(),(),,(),()n n a x a x a x a x +⋅⋅⋅； 设1231()()2()3()()(1)()n n F x a x a x a x na x n a x +=+++⋅⋅⋅+++；（1）若1()a x ，2()a x ，3()a x 的系数依次成等差数列，求n 的值； （2）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，恒有112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-；22. 抛物线C 的方程为2y ax =（0a <），过抛物线C 上一点00(,)P x y （00x ≠）作斜率 为1k 、2k 的两条直线分别交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（P 、A 、B 三点互不 相同），且满足210k k λ+=（0λ≠，1λ≠-）； （1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）当1λ=时，若点P 的坐标为(1,1)-，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围；（3）设直线AB 上一点M ，满足BM MA λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；23. 一个三角形表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公 差的等差数列，从第二行起，每个数是其肩上两个数的和，例如：(2,1)(1,1)(1,2)f f f =+；(,)f i j 表示数表中第i 行的第j 个数；（1）求第2行和第3行的通项公式(2,)f j 和(3,)f j ；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列； 并求(,1)f i 关于i （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的表达式；（3）若(,1)(1)(1)i f i i a =+-，11()i i i b a a -+=，试求一个等比数列()g i （1,2,,i n =⋅⋅⋅）， 使得21(1)(2)()3n i n S b g b g b g n =++⋅⋅⋅<，且对任意的11(,)43m ∈，均存在实数λ，当n λ> 时，都有n S m >；(1,1)(1,2)(1,1)(1,)(2,1)(2,2)(2,1)(3,1)(3,2)(,1)f f f n f n f f f n f f n f n ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅参考答案一. 填空题1. [1,2)2. 23. 20-4. 65. 121x --(1)x >6. 13.1%7. 248.9. 2 10. 2911. 12. (2,)+∞ 13. 2或4 14. 12-二. 选择题15. A 16. C 17. C 18. A三. 解答题19.（1）略；（2）45︒；20.（1）3())32f x x π=+-，T π=，非奇非偶函数；（2）90C ︒∠=，max S =21.（1）8n =；（2）min ()(0)1F x F ==，倒序相加，1max ()(2)2(2)n F x F n -==+， ∴112|()()|2(2)1n F x F x n --≤+-； 22.（1）焦点1(0,)4a ，准线14y a =-；（2）1114y -<<-；（3）略； 23.（1）(2,)84f j j =+，(3,)1616f j j =+；（2）证明略，(,1)(1)2if i i =+⋅；（3）()2i g i =；。
上海市浦东新区2016年高三(三模)综合练习数学试卷含答案
上海市浦东新区2016年高三(三模)综合练习数学试卷含答案上的点与抛物线y=-1/2x没有交点，因此k≥0.当x≥2时，f(x-2)的图像向右平移2个单位，因此g(x)的零点为2n+1时，f(x)的图像与y=kx+1相交1次，即k≤2.综上所述，k∈{0}U[,+∞)∩[0,2]={0}U[0,2)。
2.计算lim(n→∞)1+2+3+。
+n/[(nπ)^2]。
解答过程：1+2+3+。
+n=n(n+1)/2，所以原式为lim(n→∞)(n^2+n)/(2(nπ)^2)=lim(n→∞)(1/(2π^2))(1/n+1/(n^2π))，显然极限为0.3.已知a=2，b=3，且a、b的夹角为θ，则3a-2b=6cosθ-6sinθ=6cos(θ-π/4)=-6/√2.改写：已知a、b分别为2和3，且它们的夹角为θ，则3a-2b=6(cosθ-sinθ)=6cos(θ-π/4)=-6/√2.4.在复平面内，点A(-2,1)对应的复数为z，则|z+1|=2.改写：设点A对应的复数为a+bi，则|(a+1)+bi|=2，即(a+1)^2+b^2=4.5.关于方程sinx+(1/2)cos2x=0的解为x=kπ±π/4(k∈Z)。
改写：方程sinx+(1/2)cos2x=0等价于2sinx+cos2x=0，即2sinx+2cos^2x-1=0，解得cosx=±1/√10，因此x=kπ±π/4(k∈Z)。
6.设A={x|x-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，且B⊆A，则实数a的取值集合为{0,-1}。
改写：解方程x-2x-3=0得到x=±3，因此A={-3,3}。
由于B⊆A，所以a=1/3或a=0时，B中的所有元素都在A中，即a∈{0,1/3}。
又因为当a=1/3时，B={1/3}∉A，因此实数a的取值集合为{0,-1}。
8.某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在XXX举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为7/15.改写：从6人中选出4人的方案数为C(6,4)=15，其中既有男生又有女生的方案数为C(2,1)×C(4,3)=8，因此男、女都有的概率为8/15=7/15.9.（文）已知约束条件为5x+4y≤26，2x+5y-13≤0，则目标函数z=20x+10y的最大值为100.改写：约束条件可以写成5/2x+2y≤13和y≤(13-2x)/5，因此可将z=20x+10y表示为z=10(5/2x+2y)，最大值为10×max{5/2x+2y}，其中x和y满足约束条件5/2x+2y≤13和y≤(13-2x)/5.画出这两个不等式的交点和约束区域，可以发现最大值为100，取到的点为(2,3)。
上海市虹口区届高三5月模拟(三模)数学理试题-word版含答案
2016年虹口区高考模拟试卷 理科数学2016.5考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合103x M xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}21xN x =≥，则M N ⋂=__________.2．在ABC ∆中，3tan ,4A =- 则sin 2A =_________.3.已知复数()z i z z =为虚数单位，表示的共轭复数，则z z ⋅=_________.4.若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5.若函数()()()f x x a x a R =-∈存在反函数1()f x -，则1(1)(4)f f -+-=_________.6 .在数学解题中，时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若a ,b 是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin55a b a b πππππ+=-，则b a =________.7. 若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________.8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为________（结果用最简分数表示）.9．若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于________.10．若复数z 满足34(z z i i +=-为虚数单位)，则z 的最小值为_______. 11．在极坐标系中，圆2sin ρθ=被直线1sin()32πρθ+=截得的弦长为 ． 12．过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若6,AF = 则OAB ∆的面积为 ．13．若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同实根，则实数a 的取值范围为_______.14．在平面直角坐标系中，定义11111,()(,)(,)n n nn n n n n n n n nx x y n N P x y P x y y x y +*++++=-⎧∈⎨=+⎩为点到点的一个变换，我们把它称为点变换.已知1222(1,0)(,)P P x y ，，333(,)P x y ，是经过点变换得到的一组无穷点列，设112,n n n n n a P P P P +++=⋅则满足不等式122016n a a a +++>的最小正整数n 的值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( ) （A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β；（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β； （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则;l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β.16．若函数()y f x =的图像与函数3x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(1)(3)3f f -+-=，则实数a 等于 ( )（A ）-1 ( B) 1 （C ） 2 (D) 417． 在锐角ABC ∆中,60,B =︒2,AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为 ( ) （A ）（0， 12） （B ）1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（C ）(]0,4 （D ） (]0,2 18．在平面直角坐标系中，定义1122(,)(,)P x y Q x y 两点与之间的“直角距离”为：1212(,)+.d P Q x x y y =--现给出下列4个命题：P D 1A 1C 1ADCB B 1O 1① 已知22(1,2)(cos ,sin )(),P Q R θθθ∈,(,)d P Q 则为定值；② 已知,P Q R ,三点不共线，则必有(,)(,)(,)d P Q d Q R d P R +>； ③ 用PQ 表示,P Q 两点之间的距离，则(,)PQ P Q ≥；④ 若P Q ,是椭圆22154x y +=上的任意两点，则(,).d P Q 的最大值为6则下列判断正确的为 （ ） （A ）命题①，②均为真命题 （B ）命题② ，③均为假命题 （C ）命题②，④均为假命题 （D ）命题① ，③ ，④均为真命题三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分， 第1小题7分. 已知函数xnx m x f 2sin 2cos )(=的图像过点)3,12(π和点)2,32(-π. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数)(x f y =的图像向左平移)0(πϕϕ<<个单位后，得到函数)(x g y =的图像；已知点)5,0(P ，若函数)(x g y =的图像上存在点Q ，使得3||=PQ ，求函数)(x g y =图像的对称中心.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第1小题8分.已知函数2()2(0)f x a x a x b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求,a b 的值及()f x 的解析式；（2）设()()f x g x x=，若不等式(3)30x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第1小题8分. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，4,2,AC BD ==且侧棱1 3.AA = 其中111O A C 为11.B D 与的交点(1) 求点1B 到平面1D AC 的距离；(2) 在线段1BO 上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与1CD 垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，定义椭圆C 的“相关圆”E为:222222a b x y a b +=+.若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的右焦点重合，且椭圆C 的短轴长与焦距相等.（1）求椭圆C 及其“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作其切线 l ，若 l 与椭圆C 交于,A B 两点， 求证:AOB ∠为定值（O 为坐标原点）；(3) 在（2）的条件下，求OAB ∆面积的取值范围.23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.若数列12:,,,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足110,1(1,2,,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =+++（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值； （2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.2016年虹口区高考模拟数学试卷 参考答案与评分标准2016年5月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．[)0,3 2． 2425-3． 1 4． 16 5．1-7. 500818．3289. 6 10．71011．212.13．(,-∞- 14． 11； 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. D 16. C 17. A 18.(理) D ；(文) D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分，第2小题7分.解：（1）易知x n x m x f 2cos 2sin )(-=，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，……2分解得, 1.m n ==-故()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- ……5分 （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当)2,0(Q 在)(x g y =的图像上时满足条件. ……7分 2)62s i n (2)0(=+=∴πϕg . 由πϕ<<0，得 .6πϕ=……9分故x x x g 2cos 2)22sin(2)(=+=π. 由22ππ+=k x ，得().24k x k Z ππ=+∈1于是，函数)(x g y =图像的对称中心为：))(0,42(Z k k ∈+ππ. ……12分 20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 解：（1）由2()(1)0f x a x b a a =-+->（）及条件，可得(3)35,(1)1f a b f b a =+=⎧⎨=-=⎩……3分解得 1, 2.a b == 故2()22f x x x =-+ ……6分 （2）由（1）可得()2()2,f x g x x x x==+-于是题设条件得 []232300,23x x x t x +--⋅≥∈在上有解, ……8分 即 []221111122120,2.33322x x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-+=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+在上有解 ……10分令[]211111,1(0,2)2,1.39229x u x t u u ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∈≤-+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，则在上有解 ……12分 21111,12,1 1.9222u u t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-+∈≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦当时，，于是因此，实数t 的取值范围为(],1.-∞ ……14分 21．（理）(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.解：(1) 由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与 BD 的交点O 为原点，以射线OA 、OB 、1OO 分别为 x y z 、、轴，建立空间直角坐标系. 由已知条件，相关点的坐标为(2,0,0),(0,1,0)A B ，111(2,0,0),(0,0,3),(0,1,3),(0,1,3).C O B D -- ……2分设平面1D AC 的法向量为(,,),n x y z =由(4,0,0),AC =-1(2,1,3),AD =--得1400,3.230n ACx x y z n AD x y z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?--+=ïîïî 令1z =，则(0,3,1)n =. ……5分 因11(0,2,0),D B =故点1B到平面1D AC 的距离为11(0,2,0)(0,3,1)(0,3,1)D B n d n××=== ……7分(2) 设1,BP BO λ=? 则由(2,1,0),AB =-1(0,1,3),BO =-得(2,1,3).AP AB BP λλ=+=-- 又1(2,1,3),CD =- ……10分故当1AP CD ⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)1050.2AP CD λλλλ⋅=--⋅-=-=⇒=……12分 于是，在线段1BO 上存在点P ，使得1;AP CD ⊥此时112BP BO == ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点()1,0与椭圆C 的右焦点重合，所以1c =，又因为椭圆C 的短轴长与焦距相等，所以1b c ==. (2)分故椭圆C 的方程为：2212x y +=，其“相关圆”E 的方程为：2223x y +=. ……4分证：（2）（i ）当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x =，则,3333A B ⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以2AOB π∠=. ……6分 （ii ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()()1122,,,A x y B x y ，则由2212y kx mx y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=,……8分 故△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即 22210(*)k m -+>且212122242(1),.1212km m x x x x k k -+=-=++由直线l 与 “相关圆”E 相切，得d ===, 即223220.m k --=…8分221212121212122222222222()()(1)()2(1)(1)43220.121212OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m k m k m m k m k k k ⋅=+=+++=+++++---=-+==+++故从而,OA OB ⊥.2AOB π∠=即综合上述，得.2AOB π∠=为定值 ……10分解：（3）由于1,2OAB S AB OP ∆=⋅=所以求OAB S ∆的取值范围，只需求出弦长AB 的取值范围.当直线l 的斜率不存在时，由（2）的（i ），知AB = ……12分 当直线l的斜率存在时，12AB x =-==（i ）当0k =时,||AB = ……14分（ii ）当0k ≠时, 因为221448k k ++≥，所以2288113,13344k k ⎛⎫ ⎪<+≤ ⎪ ⎪++⎝⎭<≤A Bk ==A B于是AB的取值范围为⎢⎣⎦. 因此OAB S ∆的取值范围为⎡⎢⎢⎥⎣⎦2,.3……16分 23.（理）(本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;S A =(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =-（v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,4.-- ……5分(2) 由于n A 为L 数列，且10,n a a ==11(1,2,,1),k k a a k n +-==-故n 必须是不小于3的奇数. ……7分于是使()n S A 最大的n A 为：0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分这里213(),n k k n N *=+≥∈、 并且[]21()212(1),.2n n S A k k k k -=+++-+==因此，2max1()(3).2n n S A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭为不小于的奇数 ……11分 （3）令1(1,2,,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得213221243312311121,,,,.n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=+++[]12312321123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=+++++=-+-+-+++=-+-+-+++++--+--+--++-+--=---+--+--++-+-故[]1).n c - 1,1(1,2,,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--++-+-为偶数.于是要使(1)()0,2n n n S A -=必须为偶数，即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分。
上海市2016届高三上学期期中考试数学理试题Word版含答案
南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷一、填空题：(每题4分)1.函数23()(0)f x x x -=<的反函数是1()f x -=___________.2. 已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos 2sin()4απα-的值为3.函数3()sin())22f x x x ππ=-++,方程()0f x k -=在[0,]x π∈上有两个不等的实根,那么实数k 的取值范围为 .4.关于函数()sin 2cos 2f x x x =-有以下命题：①函数()y f x =的最小正周期为π； ②直线4x π=是()y f x =的一条对称轴； ③点(,0)8π是()y f x =的图象的一个对称中心；④将()y f x =的图象向左平移4π个单位，可取得2y x =的图象． 其中真命题的序号是 .5. 某船在A 处看灯塔S 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，通过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°方向，那么现在该船到灯塔S 的距离约为 海里.6. 设A 是自然数集的一个非空子集，关于k A ∈,若是2k A ∉，A 那么k 是A 的一个“酷元”,给定集合{}2lg(36),S x y x x N ==-∈,设集合M 由集合S 中的两个元素组成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么如此的集合M 有 个．7.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率别离是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发彼此独立. 假设新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；假设新产品B 研发成功，估量企业可取得利润100万元. 那么该企业可获利润的数学期望为 万元.8. .设函数()sin f x x x π=+,则1240264027()()()()2014201420142014f f f f ++++= . 9.关于函数()f x ,假设在概念域内存在实数x ,知足()()f x f x -=-,那么称()f x 为“局部奇函数”．若 ()2x f x m =+是概念在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 .10.假设不等式23log 0a x x -<在1(0,)3x ∈内恒成立，则a 的取值范围是 ．11.设180,0,102y x y x x y>>+++=，那么2x y +的最大值为 . 12. 已知偶函数()f x 知足对任意的x R ∈均有(1)(3)f x f x +=-,且2(1)[0,1]()1(1,2]m x x f x x x ⎧-∈=⎨-∈⎩,假设方程3()f x x =恰有5个实数解,那么实数m 的取值范围是 .13.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+, ()g x mx =,假设关于任一实数x()f x 与()g x 至少有一个为正数，那么实数m 的取值范围是 .14.已知函数()(2)f x x a x =+,且关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ,假设11[,]22A -⊆,那么实数a 的取值范围是 .二、选择题: (每题5分)15. 若是关于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如 []3.273=，[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件16.以下函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ） A. 22log 2x y x -=+ B. cos 2y x = C. 222x xy --= D. 2log y x = 17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离a ，b ，c ，给出以下命题：①A＞B ＞C ，那么sinA ＞sinB ＞sinC ；②必存在A ，B ，C ，使tanAtanBtanC ＜tanA+tanB+tanC 成立；③若tanAtanB ＞1，那么△ABC 必然是钝角三角形；④若a=40，b=20，B=25°，△ABC 必有两解．其中真命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 18.已知函数2212(1),,1,12()111,0,.362x x x x f x x x ⎧⎛⎤-+-∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()sin()22(0)6g x a x a a =-+>,假设存在[]12,0,1x x ∈, 使得12()()f x g x =成立,那么实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：19. （此题12分） 函数22()log 1x f x x -=-的概念域为集合A,关于x 的不等式2212()()2ax a x a R +<∈的解集为B,求使A B B ⋃=的实数a 的取值范围.20、（此题14分）已知函数21()2cos 22f x x x =--, （1）求函数()f x 在[0,]2π的最大值和最小值,并给出取得最值时的x 值;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，假设sin 2sin B A =，求a ，b 的值．21、（此题14分）已知函数22()()()6x x f x e a e a -=-+-- , x R ∈(1)求()f x 的最小值; (2)假设函数()f x 在R 上存在零点,求实数a 的取值范围.22. （此题16分）已知函数()22f x x a x x =-+,a R ∈(1)若0a =,判定函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2）假设函数()f x 在R 上是增函数，求实数的取值a 范围；(3）假设存在实数[2,2]a ∈-,使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．23.（此题18分）已知函数()y f x =，x D ∈，若是关于概念域D 内的任意实数x ，关于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，那么称函数()y f x =是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ．假设恒有()()f x T mf x +=成立，那么称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数,周期为T ．(1)已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；(2)已知T=1，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是 [0,)+∞上的单调递增函数,当[0,1)x ∈时,()2x f x =，求实数m 的取值范围；(3)是不是存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，假设存在，求出实数k 和T 的值，假设不存在，说明理由．南模中学2021学年第一学期高三期中考试数学学科（理）试卷参考答案1. -32(0)x x-> 2.142- 3.3[,3)24. ①③5. 626. 57. 1408. 40279.5[,1]4-- 10.1[,1)2711. 1812.837415415837 (,)(,) 6666++++--⋃13. (0,8) 14. （-1,0）15.A 16.D 17.C 18. A 19.20．22.考点函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．专题函数的性质及应用．分析（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．解答解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t﹣4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf （2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t﹣4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．23 .。
2019届上海市南洋模范中学2016级高三三模考试数学试卷及解析
2019届上海市南洋模范中学2016级高三三模考试数学试卷★祝考试顺利★一、填空题1.若集合{}{}310,12A x x B x =+=-<，则A B =I _____．【答案】1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】分别求出A B ，集合的x 的范围，求交集即可。
【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A ＝{x |3x +1＞0}＝{x |x ＞﹣13}， B ＝{|x ﹣1|＜2}＝{x |﹣2＜x ﹣1＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣13＜x ＜3}， 故答案为：（﹣13，3）． 2.若复数z 满足1i i z-=-，其中i 为虚数单位，则z =_____． 【答案】1i -【解析】【分析】先求出z =1+i ，则1z i =-。
【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，则可求．【解答】解：由1i z -＝﹣i ，得21i (1i)i z 1i i i --===+--， ∴1z i =-．故答案为：1﹣i ．3.若函数()()11+02f x x =>的反函数为()1f x -，则不等式()12f x ->的解集为_____．【答案】31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】先求出()11()1f x x x -=>1-，即121x >-求解即可。
【详解】∵1()1f x x =+， ∴有11()(1)1f x x x -=>-， 则121x >-，必有x ﹣1＞0， ∴2（x ﹣1）＜1，解得1＜x 32<． 故答案为：31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 4.试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 【答案】35x【解析】【分析】T r +1＝（﹣1）r r 7C x 7﹣2r ，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出 【详解】7721711rr r r r r T x x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣＝C ＝（﹣）， r 必须偶数，分别令r ＝0，2，4，6， 其系数分别为：1， 27C ,47C ,67C经过比较可得：r ＝4时满足条件， 415735T C x x-== 故答案为：35x．5.若4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n n n nn a b a b →∞-=-_____． 【答案】12【解析】。
上海市杨浦区2016年高考数学三模试卷(理科) Word版含解析
2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科）一.填空题1．函数y=log2（x+1）的反函数为．2．若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，则实数m=．3．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，则p+q=．4．已知sinx=，x∈（，π），则行列式的值等于．5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B=．6．已知A地位于东经30°、北纬45°，B地位于西经60°、北纬45°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于．8．在极坐标系下，点（2，）到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为．9．若（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是．10．三阶矩阵中有9个不同的数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（结果用分数表示）11．若函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），所得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为．12．若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即=k（k∈Z），则称a、b对模m同余，用符号a≡b（mod m）表示，若a≡10（mod 6）（a＞10），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2…a n，…，则数列{a n}的前16项和为．13．已知双曲线﹣=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜9，则a2=．14．如图，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且=，则•的取值范围是．二.选择题15．已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q（p≠0，q≠1），则“q=﹣1”是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件16．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|=||=B．若|z2|=2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22=0，则z1=0或z2=0D．z1+z2一定是实数17．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C． D．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（）A．y=x2 B．y= C．y=x﹣D．y=sin x三.解答题19．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为，已知|OA|=1，|PA|=2．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离．20．已知数列{a n}中，a n+1=+（n∈N*），a1=1；（1）设b n=3n a n（n∈N*），求证：{b n}是等差数列；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求的值．21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2；（1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；（2）求证：|OA|•|OB|为定值；（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．23．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；（1）若f（x）=，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求证：函数h（x）=（2x﹣3）∈A；（2）若函数f（x）=（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f （x）∈A，均有f（x0）=x0．2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题1．函数y=log2（x+1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）．【考点】反函数．【分析】由y=log2（x+1）（x＞﹣1）解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=log2（x+1）（x＞﹣1）解得x+1=2y，即x=2y﹣1，把x与y互换可得：y=2x ﹣1（x∈R）．∴y=log2（x+1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）．故答案为：y=2x﹣1（x∈R）．2．若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，则实数m=6．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值．【解答】解：直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，即为3x﹣y﹣1=0∴2×3+m×（﹣1）=0，解得m=6，故答案为：6．3．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，则p+q=1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】可知2﹣i也是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，从而利用韦达定理求得．【解答】解：∵2+i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，∴2﹣i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，∴2+i+2﹣i=﹣p，（2+i）（2﹣i）=q，解得，p=﹣4，q=5；故p+q=1；故答案为：1．4．已知sinx=，x∈（，π），则行列式的值等于．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可得解．【解答】解：∵sinx=，x∈（，π），∴cosx=﹣=﹣，secx==﹣，∴=sinxsecx+1=（﹣）+1=．故答案为：．5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B={x|1＜x＜2} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A中不等式，当x＞0时，解得：x＜2，此时0＜x＜2；当x＜0时，解得：x＞2，无解，∴A={x|0＜x＜2}，集合B中不等式变形得：log2（x﹣1）＜1=log22，即0＜x﹣1＜2，解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|1＜x＜2}．6．已知A地位于东经30°、北纬45°，B地位于西经60°、北纬45°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：R，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为故答案为：．7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于38．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据披平均成绩求出a的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．【解答】解：∵5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，∴78+85+a+82+69=5×80，解得：a=86，∴s2= [（78﹣80）2+（85﹣80）2+（86﹣80）2+（82﹣80）2+（69﹣80）2]=38，则他们成绩的方差等于38，故答案为：38．8．在极坐标系下，点（2，）到直线ρcos（θ﹣）=1的距离为1．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：直线ρcos（θ﹣）=1化为： +=1，即x﹣y+2=0．点P（2，）化为P，∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．9．若（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数是15．【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1，则（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和=2n=64，解得n．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则（x+）n（n∈N*）展开式中各项系数的和为：2n=64，解得n=6．∴的展开式的通项公式T r+1==，令=3，解得r=2．∴展开式中x3的系数为：=15．故答案为：15．10．三阶矩阵中有9个不同的数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（结果用分数表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C31=3种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C21=2种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有3×2=6种方法三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=，故答案为：11．若函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），所得到的图象关于y轴对称，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可得﹣φ+=kπ，k∈Z，从而求得φ的最小值．【解答】解：把函数y=cos（x+）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），可得y=cos（x﹣φ+）的图象；根据所得到的图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，可得φ的最小值为，故答案为：．12．若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即=k（k∈Z），则称a、b对模m同余，用符号a≡b（mod m）表示，若a≡10（mod 6）（a＞10），满足条件的a由小到大依次记为a1，a2…a n，…，则数列{a n}的前16项和为976．【考点】整除的定义．【分析】由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若a≡10（mod 6）（a＞10），则a﹣10为6的整数倍，则a=6n+10，再根据等差数列{a n}的前n项公式计算即可得答案．【解答】解：由两数同余的定义，m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b是m的倍数，则称a、b模m同余，我们易得若a≡10（mod 6）（a＞10），则a﹣10为6的整数倍，则a=6n+10，故a=16，22，28，…均满足条件．由等差数列{a n}的前n项公式，则=976．故答案为：976．13．已知双曲线﹣=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜9，则a2=1或4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．【解答】解：双曲线﹣=1的b=2，c2=a2+4，设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得m﹣n=2a，由题意可得4c2=mn，m2+n2=d2，可得（m﹣n）2+2mn=4a2+8c2=d2∈（25，81），即25＜12a2+32＜81，即为a2＜，由a为正整数，可得a=1，2，故答案为：1或4．14．如图，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且=，则•的取值范围是[﹣1，11] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设∠QBA=θ，则∠PAC=90°+θ，从而有=﹣，=﹣，通过计算求出即可．【解答】解：设∠QBA=θ，则∠PAC=90°+θ，∵=﹣，=﹣∴•=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+•=•﹣•+•﹣•+•=2﹣cos（+θ）+3cos（π﹣θ）﹣•2•cos（+θ）+•2•cos=5+3sinθ﹣3cosθ=5+6sin（θ﹣），∵﹣1≤sin（θ﹣）≤1，∴•∈[﹣1，11]．二.选择题15．已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q（p≠0，q≠1），则“q=﹣1”是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．=（p﹣1）•p n﹣1进而可判定n≥2时，{a n}【分析】先求出a1的值，再由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1是等比数列，最后再验证当n=1时q=﹣1时可满足，{a n}是等比数列，从而{a n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=﹣1；反之，q=﹣1时，当p=0或p=﹣1时，{a n}不是等比数列；利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当n=1时，a1=S1=p+q；=（p﹣1）•p n﹣1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{a n}是等比数列．要使{a n}（n∈N*）是等比数列，则=p，即（p﹣1）•p=p（p+q），∴q=﹣1，即{a n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=﹣1．反之，q=﹣1时，S n=p n﹣1，a n=（p﹣1）•p n﹣1，因为p=1时，{a n}不是等比数列所以“q=﹣1”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件．故选B．16．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A．|z1|=||=B．若|z2|=2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位）C．若z12+z22=0，则z1=0或z2=0D．z1+z2一定是实数【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】A．取z1=i，即可判断出正误；B．由|z2|=2，则z2=2（cosθ+isinθ），θ∈[0，2π）；C．取z1=i，z2=﹣i，即可否定；D．设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，利用复数的运算法则即可判断出正误．【解答】解：A．不成立，例如取z1=i；B．不成立，|z2|=2，则z2=2（cosθ+isinθ），θ∈[0，2π）；C．不成立，例如取z1=i，z2=﹣i；D．设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2=（a+bi）（c﹣di）+（a﹣bi）（c+di）=ac+bd+（bc﹣ad）i+ac﹣bd+（ad﹣bc）i=2ac，因此是实数，正确．故选：D．17．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（）A．y=x2 B．y= C．y=x﹣D．y=sin x【考点】函数的图象；函数的图象与图象变化．【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【解答】解：当y=f（x）=x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y=3x﹣2，故||=3x﹣2﹣x2，当x=时，||的最大值为，即该函数的“曲径”为，当y=f（x）=时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y=﹣x+3，故||=﹣x+3﹣，当x=时，||的最大值为3﹣2，即该函数的“曲径”为3﹣2，当y=f（x）=x﹣时，端点A（1，0），B（2，），直线AB的方程为y=x﹣，故||=x﹣﹣x+=﹣x﹣+，当x=时，||的最大值为﹣，即该函数的“曲径”为﹣，当y=f（x）=sin x时，端点A（1，），B（2，），直线AB的方程为y=，故||=sin x﹣，当x=时，||的最大值为1﹣，即该函数的“曲径”为1﹣，故函数y=x﹣的曲径最小，故选：C．三.解答题19．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为，已知|OA|=1，|PA|=2．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得AC∥BD，即可证明直线AC平行于平面PBD，C到平面PBD的距离即直线AC到平面PBD的距离，由V C﹣PBD=V P﹣BCD，求出直线AC到平面PBD的距离．【解答】（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则r=1，h=，∴圆锥的体积V=Sh=；（2）证明：由对称性得AC ∥BD ， ∵AC ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ∥平面PBD ，∴C 到平面PBD 的距离即直线AC 到平面PBD 的距离，设C 到平面PBD 的距离为d ，则由V C ﹣PBD =V P ﹣BCD ，得，可得，∴d=，∴直线AC 到平面PBD 的距离为．20．已知数列{a n }中，a n+1=+（n ∈N *），a 1=1；（1）设b n =3n a n （n ∈N *），求证：{b n }是等差数列；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求的值．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由a n+1=+（n ∈N *），可得3n+1a n+1﹣3n a n =3，又b n =3n a n （n ∈N *），可得b n+1﹣b n =3，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：b n =3n ，3n a n =3n ，可得a n =．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得：S n =﹣．再利用极限的运算性质即可得出．【解答】（1）证明：∵a n+1=+（n ∈N *），∴3n+1a n+1﹣3n a n =3，又b n =3n a n （n ∈N *），∴b n+1﹣b n =3，∴{b n }是等差数列，首项为3，公差为3．（2）解：由（1）可得：b n =3+3（n ﹣1）=3n ，∴3n a n =3n ，可得a n =．∴S n =1++3×+…++n ×，=+…+（n ﹣1×）+n ×，∴=1+++…+﹣n ×=﹣n ×=﹣×，∴S n =﹣．∴1﹣=．∴=．∴==．21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，从而确定点E的位置；（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0≤x＜10时，y=2，由二次函数求最小值，当10≤x≤20时，y=，由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S▱ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×=100．由S△EBF=x•BF•sin120°=25，得BF=，∴由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，=（x+CF）×10×sin60°=25得CF=10﹣x，由S四边形EBCF当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值y min=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2；（1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；（2）求证：|OA|•|OB|为定值；（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）利用距离公式，即可用x1表示|OA|；（2）分类讨论，计算|OA|•|OB|，即可证明|OA|•|OB|为定值；（3）由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】（1）解：设A（x1，y1），代入圆E：（x﹣1）2+y2=4，得y12=﹣x12+2x1+3，∴|OA|==；（2）证明：设B（x2，y2），同理可得|OB|=，∴|OA|•|OB|=x 1≠x 2，设直线AB 的方程为y=kx ，代入圆的方程得（k +1）x 2﹣2x ﹣3=0，∴x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，代入可得|OA |•|OB |=3，x 1=x 2，直线过原点，直线AB 的方程为x=0，即x 1=x 2=0，代入可得|OA |•|OB |=3， 综上所述，|OA |•|OB |=3为定值；（3）解：由（2）得|OA |•|OB |=3，同理|OC ||OD |=3∴S 1+S 2=（|OA ||OC |+|OB ||OD |）≥=3，当且仅当|OA ||OC |=|OB ||OD |时取等号，此时，S 1+S 2最小值为3，直线AB 的方程为y=±x ．23．已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质： ①对任意f （x ）∈A ，f （x ）均存在反函数f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）∈A ； ②对任意f （x ）∈A ，方程f （x ）=x 均有解；③对任意f （x ）、g （x ）∈A ，若函数g （x ）为定义在R 上的一次函数，则f （g （x ））∈A ；（1）若f （x ）=，g （x ）=2x ﹣3均在集合A 中，求证：函数h （x ）=（2x ﹣3）∈A ；（2）若函数f （x ）=（x ≥1）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数x 0，使得对一切f（x ）∈A ，均有f （x 0）=x 0．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f （x ）=∈A ，根据性质①可得：f ﹣1（x ）=∈A ，且存在x 0＞0，使得=x 0，由g （x ）=2x ﹣3∈A ，且为一次函数，根据性质③即可证明．（2）由性质②，方程=x （x ≥1），即a=x 在x ∈[1，+∞）上有解，可得a ≥1．变形f（x ）==x +1+﹣2，（x ∈[1，+∞））．对与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．（3）任取f 1（x ）=ax +b ，f 2（x ）=cx +d ∈A ，由性质（1）a ，c ≠0，不妨设a ，c ≠1，（若a=1，则b=0，f 1（x ）=x ），由性质③函数g （x ）=f 1（f 2（x ））=acx +（ad +b ）∈A ，函数h （x ）=f 2（f 1（x ））=acx +（bc +d ）∈A ，由性质①：h ﹣1（x ）=∈A ，由性质③：h ﹣1（g（x ））==x=∈A ，由性质②方程：x +=x 有解，可得ad +b=bc +d ，即，即可证明．【解答】（1）证明：由f（x）=∈A，根据性质①可得：f﹣1（x）=∈A，且存在x0＞0，使得=x0，由g（x）=2x﹣3∈A，且为一次函数，根据性质③可得：h（x）==f﹣1（g（x））∈A．（2）解：由性质②，方程=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，∴a≥1．由f（x）===x+1+﹣2，（x∈[1，+∞））．若＞2，a＞3时，＞1，且f（1）=，∴此时f（x）没有反函数，即不满足性质①．若≤2，1≤a≤3时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有反函数，即满足性质①．综上：a∈[1，3]．（3）证明：任取f1（x）=ax+b，f2（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，∴f1（x）=x），由性质③函数g（x）=f1（f2（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f2（f1（x））=acx+（bc+d）∈A，由性质①：h﹣1（x）=∈A，由性质③：h﹣1（g（x））==x=∈A，由性质②方程：x+=x有解，∴ad+b=bc+d，即，f1（x）=x，可得ax+b=x，x=．f2（x）=x，可得cx+d=x，x=．由此可知：对于任意两个函数f1（x），f2（x），存在相同的x0满足：f1（x0）=x0f2（x0），∴存在一个实数x0，使得对一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．2016年8月24日。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷(含解析)
南洋模范中学高三开学考数学试卷2024.09一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知a ，b 均为实数，，则__________.2.的展开式中，常数项为__________.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________.4.不等式的解集为__________.5.设，，若，则实数a 的取值集合为__________.6.圆的半径的最大值为__________.7.已知__________.8.已知点P 为双曲线（，）右支上的一点，点、分别为双曲线的左、右焦点，若M 为的内心，且，则双曲线的离心率为__________.9.在一座尖塔的正南方向地面某点A ，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点B ，测得塔顶的仰角为，且A ，B 两点距离为7，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为__________.10.已知函数是定义在R 上的奇函数，且任意，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为__________.11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为__________.12.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前n 项和为，则数列的最小值为__________.(2i)(1i)i(i)a b ++=+ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b π32a = 1b = 2a b += 2146xx x ≥-+{}2540A x x x =-+=∣{10}B xax =-=∣A B A = 2222210x y ax ay a a +++++-=πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 12PF F △121212PMF PMF MF F S S S =+△△△30︒30︒45︒()y f x =x ∈R ()(2)f x f x =-10x -≤<2()log ()f x x =-()()2g x f x =+(1,8)-3,01()ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩1x 2x 120x x ≤<()()12f x f x =216x x -()y f x ={}n x ()()()10n n n n x x f x f x +-'+={}n x ()f x ()y f x =(0,4)-(1)()21f x f x x +=++{}n x ()f x {}n a ()()ln 2ln 2n n n a x x =+--{}n a n S 52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、单选题（本大题共4题，满分20分）13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）A.93B.93.5C.94D.94.514.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，则（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则15.已知函数.若存在，，使得，则的最大值为（ ）A.B. C.D.16.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P 与直线l 上任意一点Q ，称的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列四个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）A.命题①成立，命题②不成立B.命题①不成立，命题②成立C.命题①②都成立D.命题①②都不成立三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D 是AB 的中点.（1）求证：平面；75%αβ//αβm α⊂n β⊂//m n m α⊂n β⊂m n ⊥a β⊥m α⊥n m ⊥//n αn αβ= m α⊂//m β//m n ()2cos 2f x x x =+1t 2[π,2π]t ∈-()()124f t f t =12t t -π2π3π22π{}1212(,)max ,d A B x x y y =--()11,A x y ()22,B x y (,)d P Q (,)d P l (3,1)P :210l x y --=4(,)3d P l =1(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>y k =111ABC A B C -1//BC 1A DC（2）求异面直线与所成角的正弦值.18.已知函数是定义在R 上的奇函数（，）.（1）求的解析式；（2）求当时，函数的值域.19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A 、B 两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A 同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立.（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.（1）若椭圆上点P 满足，求的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点且法向量为的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R 满足（、），求的最大值.21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有.（1）已知，求曲线在处的切线方程；（2）若且，研究函数的单调性；（3）已知m ，n ，s ，t 均大于0，且，讨论和的大小关系.1A D 1BC 13()3x x a f x b+-=+0a >0b >()f x [0,1]x ∈()()()3191x x g x f x =⋅++-2322:12x C y +=1F 2F 212PF F F ⊥1PF (,0)T t ST 2F (1,)m -OR OM ON λμ=+λμ∈R λμ()[()](()0)v x y u x u x =>xy x =()()ln e xx xy x ⎡⎤'='='⎢⎥⎣⎦()ln ln e e (ln 1)x x x x x ='=+1()(0)x xf x xx +=>()y f x =1x =0a >1a ≠11()(0)4xxa g x x ⎛⎫+=>⎪⎝⎭m n ≠3ts s m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3st t m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答 案一、填空题1.【答案】21【解析】根据可得到，故，，求得，，所以.2.【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：.3.【答案】【解析】由题意，可得，所以.4.【答案】【解析】因为，所以恒成立，所以，所以，，所以.5.【答案】【解析】由可得，由于，故，，，因此，，，，，，故实数a 的取值集合为.6.【解析】由可得，当表示圆，即解得a 的取值范围是，半径为(2i)(1i)i(i)a b ++=+22i i 1i a a b ++-=-+21a -=-21a b +=3a =7b =21ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()32631331C C kkkk kk T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭630k -=2k =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2033C 3T x ==222π244444cos 123a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=2a b += []2,32246(2)20x x x -+=-+>2460x x -+>2214646x x x x x x ≥⇔≥-+-+2560x x -+≤(2)(3)0x x --≤23x ≤≤10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2540A x x x =-+=∣{1,4}A =A B A = {1}B ={4}∅{1}B =101a a ∴-=⇒={4}B =14104a a ∴-=⇒=B =∅0a ∴=10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭2222210x y ax ay a a +++++-=2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭23104a a --+>22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是开口向下对称轴为的抛物线，在严格递增，在严格递减，所以7.【答案】【解析】，，故，.8.【答案】2【解析】设内切圆半径为R ，由题意知，所以，即，由点P 为双曲线右支上的一点，则，故双曲线的离心率.9.【解析】设塔高为OP ，如下图所示，由题意知：，，，平面AOB ，，若在C 处的仰角最大，即最大，则取得最大值，，当OC 取得最小值时，最大，=2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭23a =-22,3⎛⎫--⎪⎝⎭22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭23a =-78-π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭ 1cos 2αα+=11cos 24αα+=π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212PMF PMF MF F S S S =+△△△121211112222PF R PF R F F R ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12PF PF c -=122PF PF a c -==2ce a==()909030150AOB ∠=︒+︒-︒=︒30PAO ∠=︒45POB ∠=︒PO ⊥7AB =PCO ∠tan PCO ∠tan OPPCO OC∠=∴tan PCO ∠设，则，，，解得：，，，，当时，OC 最小，即若在C 处的仰角最大，则C 点到塔底O.10.【答案】【解析】奇函数，对于都有，，则，即，则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称，作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，所以，，，，则，故在内所有的零点之.OP h =tan OP OA PAO ==∠tan OPOB h PBO==∠2222222cos 4749AB OA OB OA OB AOB h h ⎛∴=+-⋅∠=-⨯== ⎝h =OA ∴=OB =111sin 222AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠=⨯=△OC AB ⊥min()1722AOB S OC AB ∴===△794()y f x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-()(2)(2)f x f x f x ∴=-=--(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 12()x k k Z =+∈()y f x =2y =-1x 2x 3x 4x 5x ()21log 2x -=-114x =-2332x x +=4572x x +=123451792044x x x x x ++++=-+=(1,8)-79411.【答案】【解析】结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上严格递减，在上严格递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.12.【答案】【解析】由二次函数最低点为可知：，又，所以，则.由题意得，又由，得，因为，所以，即，又，，所以，则，即，322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦01x ≤≤()[0,3]f x ∈1x >()(0,)f x ∈+∞()()12f x f x =123ln x x =ln 3x =3e x =321e x <≤212262ln x x x x -=-()3()2ln 1e g t t t t =-<≤22()1t g t t t-'=-=()0g t '<12x <<()0g t '>32e x <≤()2ln g t t t =-(1,2)(32,e ⎤⎦min ()(2)22ln 2g t g ==-1t →()1g t →()33e e 61g =->3max ()e 6g t =-216x x -322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦5112-(0,4)-2()4(0)f x ax a =->22(1)()(1)44(21)21f x f x a x ax a x x +-=+--+=+=+1a =2()4f x x =-()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-()()()10n n n n x x f x f x +-'+=()21240n n n n x x x x +-+-=20n x ->0n x ≠2214422n n n n n n x x x x x x +-+=-=()21222n n n x x x +++=()21222n n nx x x +--=()()21212222n n n n x x x x ++++=--1122ln 2ln 22n n n n x x x x ++++=--12n n a a +=故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.令，则，故当时，，当时，，故.二、单选题13.【答案】A【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数是第8个数93，故选：A.14.【答案】D【解析】对于A ，若，，，则m ，n 可能平行，也可能异面，A 错误；对于B ，若，，，则可能有，也可能有，也可能平面，相交，B 错误；对于C ，若，，则有可能是，也可能，C 错误，对于D ，根据线面平行的性质定理可知若，，，则，正确，故选：D.15.【答案】D 【解析】由，因，必有，或者，，由，，分别得到，.于是，，或者，，得的最大值为，故选：D.16.【答案】D【解析】对于①，设点Q 是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，{}n a 12n n a -=21n n S =-()552122n n n n n c S ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(8)22n n n c c n -+-=-⋅-8n ≤1n n c c +<9n ≥1n n c c +>()9min 5112n c c ==-75%107.5⨯=75%//αβm α⊂n β⊂a α⊂b β⊂a b ⊥a β⊥//a βαβm α⊥n m ⊥//n αn α⊂n αβ= m α⊂//m β//m n π()2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()124f t f t =()12f t =()22f t =()12f t =-()22f t =-ππ22π62x k +=+ππ22π62x k +=-ππ6x k =+ππ3x k =-1t 25ππ7π,,666t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭1t 2π2π5π,,333t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭12t t -2π21y x =-(,21)Q x x -(,)max{|3|,|22|}d P Q x x =--|3||22|x x -≥-513x -≤≤(,)|3|d P Q x =-53x =43|3||22|x x -<-53x >1x <-(,)|22|d P Q x =-(,)d P Q 44(3,),,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上可得，P ，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；对于②，定点、，动点，满足，可得P 不y 轴上，P 在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点.故②正确；综上可得，故选：C.三、解答题17.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接交于O ，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以O 是的中点，而D 是AB 的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以在直三棱柱中，所有棱长均为4，431(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>12F F ()2x c c x a +--=x a =x a =-()()12,,2d P F d P F a -=2x c y a +-=y k =1AC 1AC 111ABC A B C -11AAC C 1AC 1//OD BC OD ⊂1A DC 1BC ⊂/1A DC 1//BC 1A DC 1//OD BC 1A D 1BC 1A DO ∠11AAC C 1112A O A C ===111ABC A B C -因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数是R 上的奇函数，则有，解得，即，，，即，，解得，经验证得，时，是奇函数，所以.（2）由（1）知，，当时，，因此当时，，当时，，所以所求值域为.19.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，A 同学连胜2场或连败2场，则其概率.（2）由题可知，X 的取值可能是2，4，6，由（1）知，，当时，前2场打平，后两场A 连胜或连败，11BB C C 112OD BC ===111ABC A B C -1A D ===1cos A DO ∠==1sin A DO ∠===()313()13x xf x -=+1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13()3x x a f x b+-=+3(0)01a fb -==+3a =133()3x x f x b +-=+x ∀∈R 111333333()()3313x x x xx x f x f x b b b-+++-----===-=-+⋅++x ∀∈R 313xxb b ⋅+=+1b =3a =1b =()f x ()313()13x xf x -=+()()22131()()319133913332324x x x x x x x g x f x +⎛⎫=⋅++-=-+-=-⨯+=-- ⎪⎝⎭[0,1]x ∈133x≤≤332x =min 1()4g x =-1x =max ()2g x =1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦59266812211533339P =⨯+⨯=5(2)9P X ==4X =则，，所以分布列为：，所以数学期望.20.【答案】（1（2）（3）【解析】（1）因为，所以设点，则，所以，即，所以；（2）设，则，，则，所以，，要时取最小值，则必有，所以；（3）设过点且法向量为的直线l的方程为，，，22112221212120(4)C C33333381P X⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16(6)1(2)(4)81P X P XP X==-=-==2465201698181⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭52016266[]2469818181E X=⨯+⨯+⨯=t≥224m+212PF F F⊥(1,)P t2112t+=||t=2PF=122PF a PF=-==(,)S m n2212mn+=m⎡∈⎣22222222||()212122m mST m t n m tm t tm t=-+=-++-=-++2221||(2)12ST m t t=--+m⎡∈⎣m=2||ST2t≥t≥2F(1,)m-10x my--=()11,M x y()22,N x y联立，消去x 得，则，，则，，又，又点R 在椭圆C 上，则，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值为.21.【答案】（1）略；（2）在上单调递增；（3）略.【解析】（1）略（2）依题意，，，221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my ++-=12222m y y m -+=+12212y y m -=+()2121222242222m x x m y y m m -+=++=+=++()222212121222222211222m m m x x m y y m y y m m m ---+=+++=++=+++()1212,OR OM ON x x y y λμλμλμ=+=++ ()()22121212x x y y λμλμ+++=()22222222112211222222x x x x y y y y λλμμλλμμ+++++=()()()2222221112122222222x y x x y y x y λλμμ+++++=22222222222222m m m λλμμ⎛⎫-+-+++= ⎪++⎝⎭2222222212222222m m m m m λλμμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭224m λμ+≤λμ224m +(0,)+∞()1ln 1ln 41()e 4x a x x x a g x +-⎛⎫+== ⎪⎝⎭0x >求导得，，设，，求导得，由，得，由，得，则函数在上严格递减，在上严格递增，因此，从而，所以在上严格递增.（3）略()()ln 1ln 42ln ln 1ln 41()e x x x a x x a a x a a g x x +--+++'=⋅()()()()()ln 1ln 42ln 1ln 11ln 4e 1x a x x x x x x x a a a a a x a +--++++=⋅+0x v a =>()ln (1)ln(1)(1)ln 4h v v v v v v =-++++4()ln ln(1)ln 4ln1v h v v v v '=-++=+()0h v '>13v >()0h v '<103v <<()h v 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111444()ln ln ln 4ln 30333333h v h ⎛⎫≥=-+=> ⎪⎝⎭()0g x '>()g x (0,)+∞。
上海市南洋中学高三数学理月考试题含解析
上海市南洋中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由条件可得得x02+y02 ＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d 小于半径，可得结论．【解答】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2. 在四边形ABCD中，，，则（）A. 5B. －5C. －3D. 3参考答案：C【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论. 【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题3. 已知，是数列的前n项和………………（）(A）和都存在 (B) 和都不存在(C) 存在，不存在 (D) 不存在，存在参考答案：A4. 已知函数的图象关于直线对称，则的最小正值等于（）A. B . C. D. 参考答案：D5. 已知全集U＝R，集合，，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（）参考答案：B略6. 设全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}，则( U A)∩( U B)=( ).A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6}参考答案：B7. 设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0}参考答案：B【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．8. 设a=，则( )A. a>b>cB. b>c>aC.b>a>c D. a>c>b参考答案：C9. 设是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有，当时，，则函数在区间 [－2018, 2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036参考答案：B10. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为 ( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形。
上海南洋模范高三数学期中考试题
上海南洋模范高三年级数学学科期中考试题（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1、已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=________________.2、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=_________________.3、函数41y x x =+-的值域为__________________, 4、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为____________.5、设(),0,ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________.6、某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率________________（用分数作答）。
7、若偶函数()f x 在(],0-∞上为增函数，则不等式()()212f x f x +>-的解集____. 8、函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若()1y f x -=是()y f x =的反函数，则()122y f x x -=-的单调递增区间是____________________.9、将函数2log y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍，得到图象C ，若将2log y x =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m =_____. 10、如果4x π≤，那么函数()2cos sin f x x x =+的最小值是_______________.11、设()(),22x x x xe e e ef xg x --+-==，计算()()()()()13134f g g f g +-=______，()()()()()32325f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是此等式的特例，这个等式是_________________. 12、函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =_______. 13、已知函数()[]23,1,8f x x x =∈-，函数()[]2,1,8g x ax x =+∈-，若对任意[]11,8x ∈-，总存在[]21,8x ∈-使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______. 14、（文）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若集合[]{}2110,242x A x x x B x ⎧⎫=--==<<⎨⎬⎩⎭，则A B =______________.14、（理）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、15-16、设(),a -∞为()122xf x x -=-反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( )A 、2a ≤B 、2a ≥C 、2a ≤-D 、2a ≥- 17、如果一个函数()f x 满足：（1）定义域为R ；（2）任意12,x x R ∈,若120x x +=，则()()120f x f x +=；（3）任意x R ∈，若0t >,则()()f x t f x +>，则()f x 可以是( )A 、 3y x =B 、 3x y =C 、 31y x =+D 、 2y x = 18、现有两个命题：（1）若()lg lg lg x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()(),1,1xf x x x =∈+∞-的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q 。
上海市虹口区2016届高三5月模拟(三模)数学理试题-Word版含答案
2016年虹口区高考模拟试卷 理科数学2016.5考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
2。
本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合103x M xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}21xN x =≥，则M N ⋂=__________.2．在ABC ∆中，3tan ,4A =- 则sin 2A =_________.3.已知复数()z i z z =为虚数单位，表示的共轭复数，则z z ⋅=_________.4。
若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5.若函数()()()f x x a x a R =-∈存在反函数1()f x -,则1(1)(4)f f -+-= _________.6 .在数学解题中,时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构 类似.若a ，b 是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin55a b a b πππππ+=-，则b a =________.7. 若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________.8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放,则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为________(结果用最简分数表示）.9．若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于________.10．若复数z 满足34(z z i i +=-为虚数单位)，则z 的最小值为_______.11．在极坐标系中，圆2sin ρθ=被直线1sin()32πρθ+=截得的弦长为 ． 12．过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若6,AF = 则OAB ∆的面积为 ．13．若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同实根,则实数a 的取值范围为_______.14．在平面直角坐标系中,定义11111,()(,)(,)n n nn n n n n n n n nx x y n N P x y P x y y x y +*++++=-⎧∈⎨=+⎩为点到点的一个变换，我们把它称为点变换.已知1222(1,0)(,)P P x y ，，333(,)P x y ，是经过点变换得到的一组无穷点列，设112,n n n n n a P P P P +++=⋅则满足不等式122016n a a a +++>的最小正整数n 的值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上,将所选答案的代号涂黑,选对得 5分，否则一律零分。
上海市南洋模范中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市南洋模范中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．2． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 （ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 3． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4． 函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φω的值为（ ）A.18 B ．14C.12D ．15． 已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.6． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A ．B ．C ．1:D (1 7． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）A ．12+B ．12+23πC ．12+24πD ．12+π8． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2013B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 9． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 10．“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 11．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．18C ．D ．12．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．14．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．16．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市南洋模范中学2016届高三10月检测(三)数学试题(精编含解析)
高三数学测试三2015-10-12 _____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1.若实数a、b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是______________．【答案】．【解析】因为实数满足，解得的取值范围是，故答案为.2.设是一元二次方程的两个实根，则的最小值为______________．【答案】8．【解析】根据题意得，即，或，，当时，，当时，，的最小值，故答案为.3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(-1)=______________．【答案】-3．【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，所以当时，，又因为为定义在上的奇函数，所以，故答案为.4.已知集合A={(x,y)|-2<y<1,x∈Z,y∈Z}，，则A B的真子集的个数为______________．【答案】15．或，或，，所以集合的真子集的个数为，故答案为.5.函数的单调递增区间是______________．【答案】 ．【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.6.不等式的解集为______________．【答案】 )【解析】因为且 ，所以原不等式的解集是，故答案为.7.已知二次函数的值域为[0, )，则的最小值为__________．【答案】4． 【解析】因为二次函数的值域为，，，当且仅当时取等号，而，故答案为.8.若三角方程有解，则实数m 的取值范围是______________．【答案】．令，则，因为三角方程有解，所以直线与正弦曲线有公共点，，故答案为.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9.若y=f(2x-1)是周期为t的周期函数，则函数y=f(x)的一个周期是______________．【答案】．【解析】若是周期为的周期函数，则，则，故的一个周期是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)；（2）；（3） .10.已知若，则=______________．【答案】．【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为.11.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b)，则的值为______________．【答案】108．【解析】因为正数满足，，所以设，则，，故答案为 .12.设集合中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M-m的值为______．【答案】．【解析】由题意得，，当且仅当时，等号成立，，，故答案为.13.若函数f(x)=x2+a|x-1|在[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．【答案】．【解析】,要使在上单调递增，则，得，所以实数的取值范围是，故答案为.14.对于定义域和值域均为[0.1]的函数f(x)，定义f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，…，f n(x)=f(f n-1(x))，n=1,2,3,…．满足f n(x)=x的点称为f的n阶周期点．设，则f的n阶周期点的个数是______________．【答案】．【解析】当时，，解得，当时，，解得，的阶周期点的个数是，当时，解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，的阶周期点的个数是…由依次类推，有个不同的解析式，f n(x) x的点有个，的阶周期点的个数是，故答案为.【方法点睛】本题考查函数的零点及分段函数的解析式，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义f的n阶周期点达到考查函数的零点及分段函数的解析式的目的.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15.把下列命题中的“”改为“”，结论不成立的是________________（填序号）．①如果，，那么；②如果，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．【答案】①②③【解析】把下列命题中的“=”改为“>”, 对于选项，如果，那么，若时，不成立，对于选项，如果，那么，取时，不成立，对于选项，如果，取不成立，对于选项，如果，那么根据不等式的性质可知正确，故选D.16.设p,q是两个命题，，，则p是q（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】可化为，可得，显然后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以是必要非充分条件，故选B.17.定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，所以；当，所以；当，所以；所以当时，，故选D.18.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长,因此该函数的周期为.下面考查点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径旋转，再以为圆心，旋转,这时候以为半径,因此最终构成图象如下：所以两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积，故选A.三、解答题（本大题满分74分）19.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，4分（2）由（1）得，由得，6分当时，解得；8分当时，解得. 10分所以的解集为．12分考点：1.分段函数；2.不等式.20.已知函数．(1) 若，求x的取值范围；(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：（1）考虑对数函数的定义域，结合对数运算法则。