高中数学第二章平面向量第16课时数乘向量课件新人教B版必修4
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高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量课件新人教B版必修4
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1λ,μ∈R,下列关系正确的是( A.若λ=0,则λa=0 B.若a=0,则λa=0 C.|λa|=|λ|a D.λ(μ+a)=λμ+λa 答案:B
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的线性运算 【例2】 计算下列各题:
2 (1)化简 3 1 1 (4������-3������) + ������- (6������-7������) ; 3 4 1 (2)设向量 a=3i+2j,b=2i-j,求 ������-������ − 3 2 1 3 7 解: (1)原式= 4������-3������ + ������- ������ + ������ 3 3 2 4 2 3 1 7 = 4- ������ + -3 + + ������ 3 2 3 4 2 5 11 5 11 = ������- ������ = a- b. 3 2 12 3 18 1 2 (2)原式= a-b-a+ b+2b-a 3 3 1 2 5 5 = -1-1 a+ -1 + + 2 b=- a+ b 3 3 3 3 5 5 10 10 5 =- (3i+2j)+ (2i-j)= -5 + i+ - 3 3 3 3 3 2 ������- ������ 3
2.1.4 数乘向量
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.掌握数乘向量的定义,并理解其几何意义. 2.掌握数乘向量的运算律. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
数乘向量 【问题思考】 1.甲、乙、丙三人都从点M出发,甲向正南方向运动了5 km,乙向 正南方向运动了15 km,丙向正北方向走了20 km,请问他们的位移 是什么关系? 提示:甲、乙位移方向相同,乙的位移大小是甲的3倍,甲、乙与丙 4 的位移方向相反,丙的位移大小是甲的4倍,是乙的 3 倍. 2.填空: (1)实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且λa的长度 |λa|=|λ||a|.若a≠0,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的 方向与a的方向相反.当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0. (2)向量数乘的几何意义:把向量a沿着a的方向或a的反方向放大 或缩小. (3)数乘向量的运算律. 设λ,μ为实数,则①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.
数学：第二章《平面向量-综合》课件(新人教B版必修4)
3 x 2 3 x 2 a + b = (cos x + cos ) + (sin x − sin ) 2 2 2 2
= 2 + 2cos2x = 2 cos x π
2
Q x ∈ 0, ,∴cos x > 0. 2 ∴ a + b = 2 cos 2x
(2) f ( x) = cos 2 x − 4λ cos x, 即f ( x) = 2(cos x − λ ) 2 − 1 − 2λ2 .
1 3 3 ∴函数k = f (t) = t − t的减区间为(-1,1) 4 4
r r r r 总结：（）考察向量垂直的充要条件；⊥ b ⇔ a • b = 0； 1 a （）考察向量的加减及数乘和数量积的运算； 2 （3）利用导数确定函数的单调区间，注意适时运用； （）注意两个单调区间中间不能用并集符号“ ”。 4 U
第一课时
考点系统整合
一、知识整合
向量的运算
1、主要知识点有：向量的加法、减法运算；实数与向 主要知识点有：向量的加法、减法运算；
量的积； 量的积；两个向量数量积的运算以及向量的坐标表 示。 重点内容是：向量共线的条件； 重点内容是：向量共线的条件；向量的加减法运算 法则； 法则；数量积
a • b = a b cos θ
1 2 3 ) + , 2 4 r r 1 ∴ x = 时 , a − xb 的 值 最 小. 2
总结： 总结：
共线向量定理、 共线向量定理、平面向量基本 定理是解决向量共线、 定理是解决向量共线、共面的常用 工具，常用数量积解决向量长度、 工具，常用数量积解决向量长度、 夹角、位置关系问题。 夹角、位置关系问题。
r r 1 3 例2：已知平面向量a = ( 3, −1), b = ( , ), 2 2 r r (1)证明：⊥ b a ； r r 2 r （2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a + (t −3)b, u r r r r u r y = −ka + tb,且x ⊥ y,是求函数关系式k=f(t); (3)根据（）的结论，确定k=f(t)的单调区间。 2 r r 1 3 3 3 解析：(1)证明Qa • b = ( 3, −1) • ( , ) = − = 0 2 2 2 2 r r ∴a ⊥ b.
【精选】_高中数学第二章平面向量第16课时数乘向量课件新人教B版必修4
变式训练 3 在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若A→D＝ 2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B，求 λ 的值．
解析：方法一：由A→D＝2D→B得C→D－C→A＝2(C→B－C→D)， 即C→D＝13C→A＋23C→B，所以 λ＝23. 方法二：因为C→D＝C→A＋A→D＝C→A＋23A→B＝C→A＋23(C→B－C→A) ＝13C→A＋23C→B，所以 λ＝23.
解析：(1)真命题．理由： ∵－2＜0，∴－2a 与 a 的方向相 反，两向量共线．
又|－2a|＝2|a|，∴－2a 的模是 a 的模的 2 倍． (2)真命题．理由：∵3＞0，∴3a 与 a 的方向相同，且|3a| ＝3|a|. ∵5＞0，∴5a 与 a 的方向相同，且|5a|＝5|a|. ∴3a 与 5a 的方向相同，且 3a 的模是 5a 的模的35. (3)真命题．理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为 真命题． (4)真命题．理由：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b 与－(b－a)为相等的向量.
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
点评： 在解答本题的过程中，易把 a－b 与－(b－a)当作相反向量， 导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化.
人教新课标版数学高一B版必修4课件 向量的概念
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且 不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段 表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的 基线 (如图).如果向量的基线互相平行或 重合，则称这些向量 共线 或 平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量 ，记作0.零向量的方向不确定， 在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 平行 .
第二章 平面向量
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量 及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念
高中数学人教B版必修四2.1.4《数乘向量》ppt课件
如图所示，OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边的平行 四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、b 表示O→M、O→N、 M→N.
[解析] B→M＝13B→C＝16B→A ＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， ∴O→M＝O→B＋B→M＝b＋16(a－b)＝16a＋56b， C→N＝13C→D＝16O→D，
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
40
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
41
[分析] 先求向量A→B，从而可求得A→C＝C→D＝D→B＝13A→B.
[解析] ∵O→A＝3a，O→B＝3b， ∴A→B＝O→B－O→A＝3b－3a. ∵C、D 是 AB 边上的三等分点， ∴O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋13A→B＝3a＋(b－a)＝2a＋b， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B＝3a＋2(b－a)＝a＋2b.
•数乘向量的几何意义
已知点 C 在线段 AB 的延长线上，且AACB＝34. (1)用B→C表示A→B；
(2)用C→B表示A→C.
• [分析] 本例中已知条件没有涉及方向，但欲求 结果中却涉及了方向．因此，解答此类问题，要把握 好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡．
[解析] 如图①，由已知点 C 在线段 AB 的延长线上，且AACB
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算 2.1.4 数 乘 向 量
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
高中数学(人教B版)必修第二册：数乘向量、向量的线性运算【精品课件】
-a=(-1)a.
名师点析对数乘向量的理解
(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有
意义.
(2)若λa=0,则λ=0或a=0.
1
(3)对于非零向量a,当λ= 时;λa表示a方向上的单位向量.
||
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(
)
答案:×
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的线性运算
例2化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
3 1
11
=λ+μ,所以 λ+μ=4 + 6 = 12.故选 A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
3.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得
+ =m成立,则 m 的值为
.
解析:∵ + + =0,∴点 M 是△ABC 的重心.
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
2
5;
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)真命题.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
名师点析对数乘向量的理解
(1)实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有
意义.
(2)若λa=0,则λ=0或a=0.
1
(3)对于非零向量a,当λ= 时;λa表示a方向上的单位向量.
||
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)对于任意的向量a,总有0·a=0.(
)
答案:×
(3)真命题.
(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的线性运算
例2化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根据向量的加法、减法及数乘运算化简即可.
3 1
11
=λ+μ,所以 λ+μ=4 + 6 = 12.故选 A.
答案:A
探究一
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当堂检测
3.已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使得
+ =m成立,则 m 的值为
.
解析:∵ + + =0,∴点 M 是△ABC 的重心.
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
2
5;
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)真命题.∵2>0,
∴2a与a同向,且|2a|=2|a|.
(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且|5a|=5|a|.
高中数学(人教B版)必修第二册：平面向量的坐标及其运算【精品课件】
向量(x,y).
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以
平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.由于自由向量的起点可
以任意选取,如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求向量的模的基本策略
坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=
2 + 2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(2)中点坐标公式:AB 的中点坐标为
1 + 2 1 +2
2
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
,
2
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析描述两向量共线的三种方法
(1)几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使得b=λa.
它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可
分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方向
分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以
平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.由于自由向量的起点可
以任意选取,如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求向量的模的基本策略
坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=
2 + 2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(2)中点坐标公式:AB 的中点坐标为
1 + 2 1 +2
2
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
,
2
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析描述两向量共线的三种方法
(1)几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使得b=λa.
它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可
分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方向
分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.
人教B版高中数学必修4第二章2.1.4数乘向量同步教学课件
2、若 λa = 0 ，则可能有λ=0，也可能有 a=0 .
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以 证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明 三点共线，直线平行，线段数量关系的理论 根据.
针对练习
1、对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真 命题是（ ） B A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c
MA = - 1 AC = - a + b = - a - b
2
2 22
MB = 1 DB = a - b = a - b
2
2 22
MC = 1 AC = -MA = a + b
2
22
MD 1 DB MB a b
2
22
课堂小结
1、实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但 实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有 意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
解析: a b时也有a·b=0,故A不正确；
由a2=b2,只能得到 a b ，所以C不正确; 由a·b=a·c得不到b=c,如a为零向量或a 与b、c垂直时，故选B。
2、已知向量a与向量b的夹角为 120°，且 a b 4 ，那么a·b的值为 ____-_8____。
解析:
a b a b cosa, b 1 2
3、在平行四边形OABC的对角线OB的 两端点分别为O(0,0),B(1,1),则 AB AC ____1______
解析: 由题意知A（1,0），C(0,1),
∴ AB AC (0,1)(1,1) 0(1) 11 1
课堂练习
１、若 a b c 则化简
3(a 2b) 2(3b c) 2(a b) a
3、向量的数乘运算律，不是规定，而是可以 证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明 三点共线，直线平行，线段数量关系的理论 根据.
针对练习
1、对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真 命题是（ ） B A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c
MA = - 1 AC = - a + b = - a - b
2
2 22
MB = 1 DB = a - b = a - b
2
2 22
MC = 1 AC = -MA = a + b
2
22
MD 1 DB MB a b
2
22
课堂小结
1、实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但 实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有 意义，向量除以非零实数就是数乘向量.
解析: a b时也有a·b=0,故A不正确；
由a2=b2,只能得到 a b ，所以C不正确; 由a·b=a·c得不到b=c,如a为零向量或a 与b、c垂直时，故选B。
2、已知向量a与向量b的夹角为 120°，且 a b 4 ，那么a·b的值为 ____-_8____。
解析:
a b a b cosa, b 1 2
3、在平行四边形OABC的对角线OB的 两端点分别为O(0,0),B(1,1),则 AB AC ____1______
解析: 由题意知A（1,0），C(0,1),
∴ AB AC (0,1)(1,1) 0(1) 11 1
课堂练习
１、若 a b c 则化简
3(a 2b) 2(3b c) 2(a b) a
高中数学 第二章 平面向量 2.1.4 数乘向量课件 b必修4b高一必修4数学课件
12/7/2021
第二十七页，共三十三页。
1.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）的结果是(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：选 B.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）
＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)
＝13a＋43b－43a＋23b
＝－a＋2b
＝2b－a.
12/7/2021
12/7/2021
第十七页，共三十三页。
数乘向量在平面几何中的应用 已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点．求证：E→F＝12(A→B＋D→C)．
12/7/2021
第十八页，共三十三页。
【证明】 取以点 A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如 图．
因为 E 为 AD 的中点，所以A→E＝12A→D. 因为 F 是 BC 的中点， 所以A→F＝12(A→B＋A→C)．
12/7/2021
第二十一页，共三十三页。
(2)向量线性运算几何意义应用中的常见结论：
图形
结论
表示 a＋b，a－b 两向量的有向线段恰为同一 平行四边形的两条对角线
A→B＋A→C＝2A→D(D 为 BC 中点)
|aa|表示与 a 同向的单位向量
12/7/2021
第二十二页，共三十三页。
如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD， M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a， b 表示B→C和M→N.
第二章 平面(píngmiàn)向量
2．1.4 数乘向量
12/7/2021
第一页，共三十三页。
第二章 平面(píngmiàn)向量
高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高二必修4数学课件
则、运算律计算．
12/12/2021
第二十七页，共五十五页。
【解】 (1)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝23 4－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.
(2) 原 式 ＝(2λ＋ μ)e1 ＋13(2λ＋ μ)e2 －312λ－2μ e1 －412λ－2μ e2 ＝ 2λ＋μ－32λ＋6μ e1 ＋ 23λ＋13μ－2λ＋8μ e2 ＝ 12λ＋7μ e1 － 43λ－235μe2.
12/12/2021
第二十二页，共五十五页。
(3)由数乘向量和相反向量的定义可知(3)是真命题． (4)∵a－b 与 b－a 互为相反向量， ∴a－b 与－(b－a)是相等向量， ∴命题(4)是假命题．
12/12/2021
第二十三页，共五十五页。
规律方法 我们可以把向量 a 的长度伸长(当|λ|>1 时)，也可 以缩短(当|λ|<1 时)，同时，我们可以不改变向量 a 的方向(当 λ>0 时)，也可以改变向量 a 的方向(当 λ<0 时)．
(3)方向：λa(a≠0)的方向
当λ>0时，λa与a的方向相同. 当λ<0时，λa与a的方向相反. 特别地，当 λ＝0 或 a＝_0__时，0×a＝0 或 λ×0＝_0__.
12/12/2021
第七页，共五十五页。
(4)几何意义 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表 示向量 a 的有向线段_伸__长__或__压__缩___． 当|λ|>1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上__伸__长__为原来的__|_λ_| __倍； 当|λ|<1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上_缩__短___为原来的__|λ_|__倍．
高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高一必修4数学课件
12/13/2021
12/13/2021
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考点三 共线向量定理的应用 [典例] 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知―A→B ＝2e1－8e2，
―C→B ＝e1＋3e2，―C→D ＝2e1－e2. (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)若―B→F ＝3e1－ke2，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值．
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§3 从速度的倍数到数乘向量 3．1 数乘向量
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
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二、归纳总结·核心必记
1．数乘向量 (1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (2)长度：|λa|＝ |λ||a| . (3)方向：λa(a≠0)的方向
12/13/2021
[类题通法] 用已知向量表示其他向量的方法
12/13/2021
[针对训练] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四 边形．又 BM ＝13 BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN .
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解：∵ BM ＝13BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23 OD ＝23(OA＋OB )＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
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考点三 共线向量定理的应用 [典例] 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知―A→B ＝2e1－8e2，
―C→B ＝e1＋3e2，―C→D ＝2e1－e2. (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)若―B→F ＝3e1－ke2，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值．
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§3 从速度的倍数到数乘向量 3．1 数乘向量
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
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二、归纳总结·核心必记
1．数乘向量 (1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (2)长度：|λa|＝ |λ||a| . (3)方向：λa(a≠0)的方向
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[类题通法] 用已知向量表示其他向量的方法
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[针对训练] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四 边形．又 BM ＝13 BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN .
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解：∵ BM ＝13BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23 OD ＝23(OA＋OB )＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
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点评： 在解答本题的过程中，易把 a－b 与－(b－a)当作相反向量， 导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化.
变式训练 1 若 m∈R，则下列说法正确的是( ) A．若 ma＝0，则必有 m＝0 B．若 m≠0，a≠0，则 ma 与 a 方向相同 C．若 m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a| D．若 m≠0，a≠0，则 ma 与 a 共线
解析：由已知得－3x4－x＋2y＝3y＝a b①②，. ①×3＋②×2 得 x＝3a＋2b， ①×4＋②×3，得 y＝4a＋3b. 所以 x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
类型三 几何图形中的向量表示 【例 3】 如图所示，D，E 分别是 △ABC 中边 AB，AC 的中点，M，N 分别 是 DE，BC 的中点，已知B→C＝a，B→D＝b， 试用 a，b 分别表示D→E，C→E，M→N.
线性运算.
2 说方法·分类探究 类型一 向量数乘运算的概念 【例 1】 已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的 真假，并说明理由． (1)－2a 与 a 是共线向量，且－2a 的模是 a 的模的 2 倍； (2)3a 与 5a 的方向相同，且 3a 的模是 5a 的模的35； (3)－2a 与 2a 是一对相反向量； (4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．
知识点 2 数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方 向扩大或缩小．
当 λ＞0 时，沿着 a 的方向扩大(λ＞1)或缩小(0＜λ＜1)到原 来的 λ 倍；
当 λ＜0 时，沿着 a 的反方向扩大(|λ|＞1)或缩小(0＜|λ|＜1) 到原来的|λ|倍.
知识点 3 数乘向量的运算律 设 λ，μ 为实数，则(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝λμa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律). 知识点 4 向量的线性运算 向量的加法、减法和数由三角形中位线定理，知 DE 綊12BC，
故D→E＝12B→C，即D→E＝12a. C→E＝C→B＋B→D＋D→E＝－a＋b＋12a＝－12a＋b. M→N＝M→D＋D→B＋B→N＝12E→D＋D→B＋12B→C ＝－14a－b＋12a＝14a－b.
点评： (1)充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反 向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关 系的向量来解决问题． (2)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求， 联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解， 直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的 反复应用.
1 说基础·名师导读 知识点 1 数乘向量的定义 实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，且 λa 的长度|λa| ＝|λ||a|.实数 λ 叫做向量 a 的系数． λa(a≠0)的方向：
当λ＞0时，与a同向； 当λ＜0时，与a反向. 当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝0 或 λ0＝0.
点评： (1)向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代 数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律， 可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． (2)向量方程的解法可类比代数方程的解法，解题过程中应注 意向量线性运算的综合应用，特别是不要忽视符号问题.
变式训练 2 设向量 a＝3x－2y，b＝－4x＋3y，求向量 x， y.
变式训练 3 在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若A→D＝ 2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B，求 λ 的值．
解析：方法一：由A→D＝2D→B得C→D－C→A＝2(C→B－C→D)， 即C→D＝13C→A＋23C→B，所以 λ＝23. 方法二：因为C→D＝C→A＋A→D＝C→A＋23A→B＝C→A＋23(C→B－C→A) ＝13C→A＋23C→B，所以 λ＝23.
解析：(1)真命题．理由： ∵－2＜0，∴－2a 与 a 的方向相 反，两向量共线．
又|－2a|＝2|a|，∴－2a 的模是 a 的模的 2 倍． (2)真命题．理由：∵3＞0，∴3a 与 a 的方向相同，且|3a| ＝3|a|. ∵5＞0，∴5a 与 a 的方向相同，且|5a|＝5|a|. ∴3a 与 5a 的方向相同，且 3a 的模是 5a 的模的35. (3)真命题．理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为 真命题． (4)真命题．理由：∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b 与－(b－a)为相等的向量.
解析：(1)①原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b. ②原式＝(m＋n)(a－b－a－b)＝－2(m＋n)b. (2)①原式可化为：5x＋5a＋3x－3b＝0，
8x＝－5a＋3b，∴x＝－58a＋38b. ②原式可化为：x－a－a＋x＋2b＝0,2x－2a＋2b＝0，x＝a －b.
解析：A 中 ma＝0 时可能 a＝0，但 m≠0，故 A 错；B 中若 m＜0，则 ma 与 a 方向相反，故 B 错；C 中若 m＜0，则 m|a|表 示负数，故 C 错；由数乘向量的定义知 D 正确．
答案：D
类型二 向量的线性运算 【例 2】 (1)化简： ①8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； ②(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)． (2)设 x 是未知向量，①解方程 5(x＋a)＋3(x－b)＝0； ②解方程(x－a)－(a－x－2b)＝0.