2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷(3)
广东省学业水平考试高中数学模拟卷+答案
ｃｏｓ
α＝
３ ５
，则α 角的终边落在
Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限 Ｃ． 第三象限
６． Ａ→Ｂ ＋ Ｂ→Ｃ － Ａ→Ｃ ＝
Ａ． ２ Ａ→Ｃ
Ｂ． ２ Ｃ→Ａ
Ｃ． ０
７． 等差数列－ １， － ３， － ５， － ７，…中， － ３９ 位于第 项．
（ ） Ｄ． 第四象限
（ ）
教 Ｃ． （－ ∞，１］
Ｄ． （－ ∞ ，１） （ ）
Ａ． － ２
Ｂ． ０
Ｃ．
１ ２
Ｄ． ２
５． 直线ｘ ＋ ３ｙ ＋ ３ ＝ ０ 的斜率为
Ａ．
－
１ ３
Ｂ．
１ ３
化Ｃ． －３
（ ）
Ｄ． ３
设向量 （ ， ），则 ６．
ａ ＝ ２ｃｏｓ θ ２ｓｉｎ θ
ａ＝
（ ）
文 Ａ． ８
Ｂ． ４
７． 下列函数在其定义域内单调递减的是
１０
０ ２０
１８． ２
｛， ｝ ３
１９． ０ １
ＡＣ 与２０Ｂ．Ｄ证的明交：点连必接为ＡＮＣ，点因． 为ＡＢＣＤ 为平行四边形，则 中位２又 所 所线１．．因 以 以为解ＭＭＮＮ：Ｍ∥ ∥设是平ＳＣＳ点面，Ａ 又的ＳＰＢ因中Ｃ（．为点ｔ，，Ｍ４Ｎ所ｔ２以）面，ＭＳＮ距ＢＣ是离，三Ｓ为Ｃ角形ｄ面，ＳＡＳｄＢＣＣ的＝．
Ｄ．
１ ２
Ｂ→Ｃ
（ ）
Ａ． ３
Ｂ． １
Ｃ． － ５
Ｄ． － ６
１５． 设ｌ 是直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
若 ， ，则 Ａ． ｌ∥α ｌ∥β α∥β
若 ， ，则 Ｂ． ｌ⊥α ｌ⊥β α∥β
若 ， ，则 Ｃ． ｌ⊥α ｌ∥β α∥β
2020年普通高中学生学业水平考试数学样卷3(附答案)
2020年普通高中学生学业水平考试数学样卷3数 学本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P （A B ）= P （A ）+ P （B ）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (2007广州市水平测试)函数x y sin =的最小正周期是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π22. (2007广州市水平测试)直线013=+-y x 的斜率是A ．3B ．3-C ．33 D ． 33- 3. (2007广州市水平测试) 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取 出的是红球的概率是 A.61B.41C.31 D. 21 4. (2007广州市水平测试)已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B AA ．{}12<<-x xB ．{}10<<x xC ．{}21<<x xD ．{}2012x x x -<<<<或5. (2007广州市水平测试)已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是 A ．161 B ．41C ．4D ．166. (2007广州市水平测试) 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2” 也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是 A.81 B. 21C. 2D. 87. (2007广州市水平测试)在ABC ∆中，1,4AD AB E =为BC 边的中点，设=AB a ,=AC b , 则=DEA ．b 21+a 41 B ．b 21+a 43 C ．b 21-a 41 D ．b 21-a 438. (2007广州市水平测试)已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是A ．ab a <2B ．ba 11> C ．b a <D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21219. (2007广州市水平测试) 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A ．332 B ．32 C ．334 D ．34 图2 10. (2007广州市水平测试)定义: 对于函数()x f , 在使()f x ≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值叫做函数()x f 的上确界. 例如函数()x f x x 42+-=的上确界是4, 则函数()()02log 221≠+=x x x x g 的上确界是A. 2-B. 23- C. 2 D. 22第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. (2007广州市水平测试)经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 . 12. (2007广州市水平测试)在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==,ABC ∆的面积为1，则=C sin .13. (2007广州市水平测已知函数()()()2,0,3,0.xx x f x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩若()3=a f ，则a = .14. (2007广州市水平测试)某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15. (2007广州市水平测试)（本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16. (2007广州市水平测试)（本小题满分12分）下面是某地100[ 4, 4.5 ) 2 合计1001.00（1）请同学们完成上面的频率分布表(请把答案填在答卷所提供的表格上);（2）根据频率分布表, 画出频率分布直方图(请把答案画在答卷所提供的坐标系上); （3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围 内的概率大约是多少?17. (2007广州市水平测试)（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18. (2007广州市水平测试)（本小题满分14分）如图3，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点.（1）求证://PA 平面EBD ; （2）求证:PBC ∆是直角三角形.图19. (2007广州市水平测试)（本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围.20. (2007广州市水平测试)（本小题满分14分）定义在R 上的函数()∈++=b a ax bx x f ,(12R ,)0≠a 是奇函数, 当且仅当1=x 时，()x f 取得最大值.（1）求,a b 的值; （2）若函数()()xmxx f x g ++=1在区间()-1,1上有且仅有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围.2007学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 220x y +-= 12.3113. 3 14. 275 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）（本小题主要考查利用三角公式进行恒等变形的技能，考查运算求解能力）解:πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 54531cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴θθ.4sin cos 4cos sin 4sin πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和概率等基础知识，以及数据处理能力、运算求解能力、应用意识） 解：（1） 某地100（2）频率分布直方图如下:（3）根据频率分布表和频率分布直方图估计该地居民月均用水量落在[ 1, 2.5 )范围内的概率大约是6.010060=.17．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等差数列前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力）解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴．（2）()()14211--=-+=n n n dn n na S n n n 52+-=[ 2.5, 3 ) 10 0.10 [ 3, 3.5 ) 8 0.08 [ 3.5, 4 ) 5 0.05 [ 4, 4.5 ) 2 0.02 合 计 100 1.00252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∈n Ｎ*,∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6.18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系等基础知识，考查空间想像能力和推理论证能力） 证明:（1）连接AC AC ,与BD 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点. E 为PC 的中点,PA EO //∴. ⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.ABCD 是菱形，︒=∠60BAD ,∴ABD ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF . ,//AD BC⊥∴BC 平面PBF . ⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴.∴PBC ∆是直角三角形.19．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线和圆、平面向量等基础知识，考查数形结合、函数与方程的数学思想方法，以及运算求解能力、创新意识）（1）解法一:设圆C 的圆心为C , 依题意得直线AC 的斜率=AC k 1-, ∴直线AC 的方程为()24--=-x y , 即06=-+y x .直线OA 的斜率24=OA k 2=, ∴直线OA 的垂直平分线为()1212--=-x y , 即052=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=-+=-+.052,06y x y x 得圆心C 的坐标为(7,1)-.∴圆C 的半径为()()22721452r AC ==-+--=,∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法二: 设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+-.,22,42222222r b a r b a r b a解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.25,1,7r b a∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法三: 设圆心C 的坐标为()b a ,.依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=⨯--.42,11242222b a b a a b解得⎩⎨⎧-==.1,7b a∴圆心C 的坐标为()7,1-. ∴圆C 的半径为r OC ===.∴圆C 的方程为()501722=++-y x .（2）解:设直线l 的方程为,m x y +-=()()1122,,,M x y N x y .由()()⎩⎨⎧=++-+-=.5017,22y x m x y 消去y 得()22221620x m x m m -+++=.2121228,2m mx x m x x +∴+=+=.∴AN AM ⋅)4)(4()2)(2(2121--+--=y y x x)4)(4()2)(2(2121-+--+-+--=m x m x x x ()()()442222121+-++--=m x x m x x()()()4482222+-++--+=m m m m m21236m m =-+()26m =-.直线l 与圆C 相交于不同两点,25217<--∴m..164<<-∴m∴AN AM ⋅的取值范围是[)0,100.…………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、函数的应用、基本不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解：（1） 函数()12++=ax bx x f 是奇函数,()()x f x f -=-∴.1122++-=++-∴ax bx ax b x , 得0=b . ()12+=∴ax xx f .若,0<a 则函数()12+=ax xx f 的定义域不可能是R , 又0≠a , 故0>a . 当x ≤0时，()f x ≤0; 当0>x 时, ()21x f x ax =+=.当且仅当12=ax , 即ax 1=时, ()x f 取得最大值. 依题意可知11=a, 得1=a . （2）由（1）得()21x f x x =+，令()0=x g ，即0112=+++xmxx x . 化简得()210x mx x m +++=.0=∴x 或 012=+++m x mx .若0是方程012=+++m x mx 的根, 则1-=m , 此时方程012=+++m x mx 的另一根为1, 不符合题意.∴函数()()x mxx f x g ++=1在区间()1,1-上有且仅有两个不同的零点等价于方程 012=+++m x mx (※)在区间()1,1-上有且仅有一个非零的实根.（1）当0=m 时, 得方程(※)的根为1-=x , 不符合题意.（2）当0≠m 时, 则①当()21410m m ∆=-+=时, 得221±-=m .若221--=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-==∈-,符合题意;若221+-=m , 则方程(※)的根为()111,12x m =-==∉-,不符合题意. ∴221--=m .② 当0>∆时, 令()12+++=m x mx x ϕ, 由()()()⎩⎨⎧≠<⋅-.00,011ϕϕϕ 得01<<-m .()021≠=-m ϕ. 若()01=ϕ, 得1-=m , 此时方程012=+++m x mx 的根是01=x , 12=x , 不符合题意.综上所述, 所求实数m 的取值范围是()121,02⎧--⎪-⎨⎪⎪⎩⎭.。
2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(三)
2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(三）(时间90分钟，总分150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，则A ∩B ＝( )A .{1,3} B.{2,4,5}C .{1,2,3,4,5} D.∅2.cos 210°＝( )A .－32 B.32 C.－12 D.123.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.AB→＋BC →＝CA → B.AB →－AD →＝BD → C.AB→＋AD →＝AC → D.BC →＋CD →＝BD → 4.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数D .最小正周期为π2的偶函数 5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a 的值为( ) A ．±2或±4B ．±2或－4C ．2或4D ．2或－4 6.把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上都不对 7.设a ，b ，c 都是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π28.在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，若EF ，HG 交于一点P ，则( )A .点P 一定在直线BD 上B .点P 一定在直线AC 上C .点P 一定在直线AC 或BD 上 D .点P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上9.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．2710.已知2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A .12 B.14C.16D.1811.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A .85,85,85 B.87,85,86C .87,85,85 D.87,85,9012.将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )A .8 B.22C.2D.2413.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A .钝角三角形 B.直角三角形C .等边三角形 D.等腰直角三角形14.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.1415.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM ⊥AB ，垂足为M ，EN ⊥AD ，垂足为N ，设MB ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是( )A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)16.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________17.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为________18.底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_______19.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是____________，三人中至少有一人达标的概率是____________三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(8分)已知a ，b 为两个非零向量，且||a ＝2，||b ＝1，()a ＋b ⊥b ．(1)求a 与b 的夹角；(2)求||3a －2b ．21.(14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．(1)求证：FG ∥平面PBD ；(2)求证：BD ⊥FG ．22.(14分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．(1)求f (x)的解析式；(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调．．．，求实数a的取值范围．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：∵集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，∴A ∩B ＝{}1，3．故选A ．2.A 解析：cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32． 3.D 解析：根据向量的运算法则可得AB →＋BC →＝AC →，所以A 错误；根据向量的运算法则可得AB →－AD →＝DB →，所以B 错误；因为四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC → 错误，所以C 错误；根据三角形法则可得BC →＋CD →＝BD →正确，所以D 正确．故选D ．4.D 解析：函数f (x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x ，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为2π4＝π25.D 解析：当a>0时，f (a)＝a 2＝4，得a ＝2(舍去－2)；当a ≤0时，f (a)＝－a ＝4，得a ＝－4．综上，a ＝2或a ＝－4．故选D ．6.C 解析：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．7.A 解析：由a ＝b ＋c ，可知c ＝a －b ，故c 2＝a 2－2a·b ＋b 2，∴a·b ＝12． 设a ，b 的夹角为θ，即cos θ＝12．又0≤θ≤π，∴θ＝π3． 8.B 解析：如图，∵P ∈HG ，HG ⊂平面ACD ，∴P ∈平面ACD ．同理，P ∈平面BAC ．∵平面BAC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ．故选B ．9.B 解析：前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16．因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38． 所以第三组频数为38－16＝22．又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32．所以a ＝22＋32＝54．故选B ．10.D 解析：因为2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，所以x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝10＋8x y ＋2y x≥10＋28x y ·2y x ＝18．当且仅当2y x ＝8x y，即x ＝6，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值为18． 11.C 解析：∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110×(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．12.C 解析：8个半径为1的实心铁球的体积为8×43π＝323π， 设熔成的大球半径为R ，则43πR 3＝323π，解得R ＝2．故选C ． 13.C 解析：由b 2＋c 2＝a 2＋bc 及余弦定理知A ＝π3，又由sin B·sin C ＝sin 2A 及正弦定理得bc ＝a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以(b －c)2＝0，即b ＝c ，所以△ABC 为一个内角为π3的等腰三角形，即为等边三角形． 14.C 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P(A)＝35，P(A )＝1－35＝25，P(B)＝p ，P(B )＝1－p ，依题意得35×(1－p)＋25×p ＝920，解得p ＝34，故选C ． 15.A 解析：∵EM ⊥AB ，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x ．当点E 在BC 上运动时，即当0<x ≤3时，y ＝x(5－x)＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋254；当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x<5，y ＝－3x ＋15．所以y 与x 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－()x －522＋254(0<x ≤3)，－3x ＋15(3<x<5)，画出图象如选项A 所示．故选A ．二、填空题16.答案：27 解析：由题意得定点A 为(2,8)，设f (x)＝x α，则2α＝8，α＝3，∴f (x)＝x 3，∴f (3)＝33＝27．17.答案：4－3310 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝4－3310． 18.答案：4π3 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋(2)2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3． 19.答案：0.24，0.96 解析：由题意可知，三人都达标的概率为P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．三、解答题20.解：(1)∵()a ＋b ⊥b ，∴()a ＋b ·b ＝0，即a·b ＋b 2＝0，∴||a ||b cos θ＋||b 2＝0，解得cos θ＝－12．∴θ＝2π3． (2) ||3a －2b 2＝()3a －2b 2＝9a 2－12a·b ＋4b 2＝52，∴||3a －2b ＝213．21.证明：(1)连接PE(图略)，∵G ，F 分别为EC 和PC 的中点，∴FG ∥PE ．又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，∴FG ∥平面PBD ．(2)∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA ．∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵FG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ．22.解：(1)由已知f (x)是二次函数，且f (0)＝f (2)得f (x)图象的对称轴为x ＝1．又f (x)的最小值为1，故设f (x)＝a(x －1)2＋1，且a>0．∵f (0)＝3，∴a ＋1＝3，解得a ＝2．∴f (x)＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3．(2)要使f (x)在区间[2a ，a ＋1]上不单调，则2a<1<a ＋1，∴0<a<12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12．。
广东省2020年中考数学全真模拟测试卷(含解析版答案)
广东省2020年中考全真模拟试卷数 学(全卷满分：120分 考试时间：90分钟)班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________一、单选题（每小题3分，共30分)1．- 14的绝对值是（ ）A ．-4B ．14C ．4D ．0.42．某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（） A ．62.2110⨯ B ．52.2110⨯ C ．322110⨯ D ．60.22110⨯3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图所示一个L 形的机器零件，这个零件从上面看到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．96．化简24的结果是( ) A ．4- B ．4 C ．4± D ．27．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形8．若⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，且d 与R 是方程x ²-4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．不等式组次33015x x x ->⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0），点P 是AD 边上的一个动点，若点A 关于BP 的对称点为A '，则A 'C 的最小值为（ ）A 5B ． 45C 51D ．1二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：3x 2-12=________． 12．若2m -+|n+3|=0，则m+n 的值为________ ．13．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43︒，则∠2＝_______15．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =28°，则∠C =______．16．若()11,A x y ，()22,B x y 都在函数2019y x=的图象上，且120x x <<，则1y __________2y ．(填“>”或“<”)17．如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆L 都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B L 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C L n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y L 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x L 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：()()20200112|1233π--+-．19．化简求值：22111m m m m --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中31m =-.20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D （要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC 的度数．四、解答题二（每小题8分，共24分)21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？22．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．A 型智能手表B 型智能手表进价 1300元/只 1500元/只售价 今年的售价 2300元/只（1）请问今年A 型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A 型智能手表和B 型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如上表，若B 型智能手表进货量不超过A 型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？23．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE（1）求证：四边形AOBE 是菱形（2）若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积五、解答题三（每小题10分，共20分)24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A 在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为y p的取值范围，若没有，请说明理由．广东中考（数学)全真模拟试卷（解析版)一、单选题（每小题3分，共30分)1．- 14的绝对值是（ ） A ．-4 B ．14 C ．4 D ．0.4【答案】B【解析】直接用绝对值的意义求解.【详解】−14的绝对值是14． 故选B ．【点睛】此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（ ）A ．62.2110⨯B ．52.2110⨯C ．322110⨯D ．60.22110⨯【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】221000的小数点向左移动5位得到2.21，所以221000用科学记数法表示为2.21×105，故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.【详解】解:A此图形旋转后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;B,此图形旋转后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不正确;C,此图形旋转后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; D,此图形旋转后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确.故选:D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.4．如图所示一个L形的机器零件，这个零件从上面看到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据俯视图的概念即可得出答案【详解】解：根据俯视图的定义可得出这个零件从上面看到的图形是：故选：B ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，关键是培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9 【答案】B【解析】直接利用平均数的求法进而得出x 的值，再利用中位数的定义求出答案．【详解】∵一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，∴679525x x ++++=⨯，解得：3x =，则从大到小排列为：3，5，6，7，9，故这组数据的中位数为：6．故选B ．【点睛】此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x 的值是解题关键．6．化简24的结果是( ) A ．4-B ．4C ．4±D ．2【答案】B【解析】根据算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】24=4，故选B.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.7．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形 【答案】D【解析】根据多边形的外角和是360°， 正多边形的每一个外角都等于40°，直接用360÷40即得.【详解】解：360÷40=9.故答案为：D.【点睛】此题考查多边形外角和定理，解题关键在于掌握运算法则8．若⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，且d 与R 是方程x ²-4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据△=0即可求出m的值．【详解】∵d、R是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16-4m=0，解得，m=4，故选D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．9．不等式组次33015xx x->⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.【详解】解：33015xx x-⎧⎨-≥-⎩＞①②解①得x＞1，解②得x≥3，∴不等式组的解集x≥3.故答案为：A.【点睛】此题考查不等式组的解集，解题关键在于分别将不等式求出解，再用数轴表示出来10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0），点P 是AD 边上的一个动点，若点A 关于BP 的对称点为A '，则A 'C 的最小值为（ ）A ．5B ． 45-C ．51-D ．1【答案】B 【解析】由轴对称的性质可知BA ＝BA′，在△BA′C 中由三角形三边关系可知A′C≥BC −BA′，则可求得答案．【详解】解：连接BA′，如图：∵平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0）， 2222125OA OB +=+BC ＝4，∵若点A 关于BP 的对称点为A'，∴BA′＝BA 5在△BA′C中，由三角形三边关系可知：A′C≥BC﹣BA′，A′C的最小值为4故选B．【点睛】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC−BA′是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：3x2-12=________．【答案】3(x+2)(x-2)【解析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），首先提取公因式3，然后运用平方差公式分解即可.【详解】解：3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则12，则m+n的值为________．【答案】-1【解析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得m-2=0，n+3=0，解出m、n的值即可．【详解】解：由题意可得，m-2=0，n+3=0，解得m=2，n=-3,∴m+n=-1.故答案为-1.【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，掌握运算法则是解题关键13．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．【答案】3 4【解析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34.故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43 ，则∠2＝_______【答案】133°【解析】试题解析：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n，∵AB⊥m，∠1=43˚，∴∠ABD=90°，∠DBC=∠1=43°∴∠2=∠ADB+∠1=90°+43°=133°．故填133°．15．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______．【答案】38°【解析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算．【详解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28°∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．故答案为38°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键．16．若()11,A x y ，()22,B x y 都在函数2019y x =的图象上，且120x x <<，则1y __________2y ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】首先根据反比例函数的解析式判定其位于一、三象限，然后根据自变量的取值范围，即可比较函数值的大小.【详解】由0k ＞，得反比例函数位于一、三象限，∵120x x <<∴12y y ＜故答案为：<.【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.17．如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆L 都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B L 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C L n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y L 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x L 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．【答案】1232n n -- 【解析】由题意(11)A -，，可得(01)C ，，设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =，求出1C 的坐标，再设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =，故求出2C 的坐标，同理可求出3C 、4C 的坐标，根据规律 即可得到n C 的纵坐标.【详解】解：由题意(11)A -，，可得(01)C ，， 设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =， ∴1(2,2)C ，设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =， ∴2(5,3)C ，设3(,5)C a a -，则14533a a -=+，解得192a =， ∴3199(,)22C ，同法可得46527(,)44C ，…，n C 的纵坐标为1232n n --， 故答案为1232n n --． 【点睛】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出1C 、2C 、3C ，再发现规律即可求解.三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：()()202001|13π--+-． 【答案】1【解析】根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、-1的幂等实数的运算法则分别进行计算求得结果即可.【详解】解：原式111=-+1=．【点睛】本题考查了零指数幂、二次根式化简、绝对值、-1的幂等实数的运算，注意零指数幂的底数不能为零，绝对值是非负数，-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是+1．19．化简求值：22111m m m m --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中31m =-. 【答案】3 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m 的值代入计算即可求出值．【详解】原式()()2111m m m m m m --=⨯+-()()111m m m m m -=⨯+-11m =+ 当31m =-时，13133113m ===+-+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D （要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC 的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）65°．【解析】（1）分析题意，根据角平分线的作法作出∠BAC 的平分线AD 即可.(2)根据题意求出∠DAC的值，随之即可解答.【详解】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+25°＝65°．【点睛】此题主要考查了角平分线的作法和直角三角形的性质，本题就属于尺规作图中的四种基本作图之一：作角平分线，旨在通过画图，培养学生的作图能力及动手能力，明确尺规作图的意义，体会数学作图语言和图形的和谐统一.四、解答题二（每小题8分，共24分)21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？【答案】（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°，（3）1600×60+56200=928（名），答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如上表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？【答案】（1）今年A型智能手表每只售价1800元；（2）进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是72500元．【解析】试题分析: 1）设今年A型智能手表每只售价x元，则去年售价每只为（x+600）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A型a只，则B型（100﹣a）只，获利y元，由条件表示出W 与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．试题解析:（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+600）元，根据题意得，72000600x + =72000(125%)x⨯-， 解得：x=1800，经检验，x=1800是原方程的根，答：今年A 型智能手表每只售价1800元；（2）设新进A 型手表a 只，全部售完利润是W 元，则新进B 型手表（100﹣a ）只，根据题意得，W=（1800﹣1300）a+92300﹣1500）（100﹣a ）=﹣300a+80000， ∵100﹣a≤3a，∴a≥5，∵﹣300＜0，W 随a 的增大而减小，∴当a=25时，W 增大=﹣300×25+80000=72500元，此时，进货方案为新进A 型手表25只，新进B 型手表75只，答：进货方案为新进A 型手表25只，新进B 型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是72500元．23．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE（1）求证：四边形AOBE 是菱形（2）若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积【答案】（1）见解析；（2）S 四边形ADOE =3【解析】(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB.即可证明四边形AOBE为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO.根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=根据面积公式SΔADC，即可求解.【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OB=OC=OD.∵平行四边形ADOE，∴OD∥AE，AE=OD.∴AE=OB.∴四边形AOBE为平行四边形.∵OA=OB，∴四边形AOBE为菱形.（2）解：∵菱形AOBE，∴∠EAB=∠BAO.∵矩形ABCD，∴AB∥CD.∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.∵∠EAO+∠DCO=180°，∴∠DCA=60°.∵DC=2，∴AD=23.∴SΔADC=1223232⨯⨯=.∴S四边形ADOE =23.【点睛】考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强.五、解答题三（每小题10分，共20分)24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【解析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△A DC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DE AD DC，∴DC2=AD•DE，∴设DE=x，则，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（25x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A 在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为y p的取值范围，若没有，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣12）或（﹣12）；（32＜yP2且y P≠0时，∠OPC是钝角．【解析】（1）先求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先利用同角的余角相等，判断出∠COP=∠CPQ，进而求出PQ，即可得出结论；（3）借助（2）的结论和图形，即可得出结论．【详解】解：（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴9303b cc-+=⎧⎨=-⎩，∴23bc=⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设P（﹣1，p）．∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=PQOQ．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=CQPQ，∴PQ CQOQ PQ=，∴PQ2=CQ×OQ=2（此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ）．∵PQ＞0，∴PQ2，∴p2p=2P（﹣12）或（﹣12）；（3）存在这样的点P，理由：如图，由（2）知，y P=2±OPC=90°．∵y P=0时，∠OPC2y P2且y P≠0时，∠OPC是钝角．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，同角的余角相等，求出PQ是解答本题的关键。
2020年广东省中考数学仿真试卷解析版
2020年广东省中考数学仿真试卷（最新模式）解析版一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，数轴上点M所表示的数的相反数为（）A. 2.5B. 5C. －2.5D. －52.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A. B. C. D.3.今年参加国庆70周年阅兵的全体受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次. 将15000用科学记数法表示为( )A. 15×103B. 1.5×104C. 0.15×105D. 0.15×1064.下列计算正确的是（）A. x2﹣3x2＝﹣2x4B. （﹣3x2）2＝6x2C. x2y•2x3＝2x6yD. 6x3y2÷（3x）＝2x2y25.“雾霾”让越来越多的西安人关注空气质量问题，西安市空气质量检测部分也在网上每逢整点更新着空气质量指数（AQ）.2016年3月9日，从上午7点至下午3点这9个整点时公布的空气质量指数如下：则上述空气质量指数的中位数和众数分别为（）A. 97、98B. 98、99C. 98、98D. 99、996.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2，则S△DEF：S△ABC为( )A. 3∶2B. 2∶3C. 9∶4D. 4∶97.如图，直线y=kx+l与x轴、y轴所围成三角形的面积为（）A. 3B. 6C. 34D. 328.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D.9.Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，作直径DE ，连接BE ，若sin ∠ACB=45 ， BC=6，则BE=（ ）A. 6B. 325C. 245 D. 810.如图，已知在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别在 BC 、CD 上，△ AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于 G ，给出下列结论：① BE =DF ； ② ∠DAF =15∘ ;③ AC 垂直平分 EF ; ④ BE +DF =EF ．其中结论正确的共有( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共7题；共28分）11.分解因式： x 2−y 2= ________12.如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是________.13.已知|a +3|+（b -1）2=0，则3a +b =________．14.已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于________。
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟试卷及答案解析(12月份)
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题，满分60分，每小题4分）
1．（4分）若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则集合A∪B＝（ ）
A．{1，2，3，4，5，6，8}B．{2，3，4，5，6}
C．{1，3，5，6，8}D．{2，4}
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，
∴集合A∪B＝{1，2，3，4，5，6，8}．
故选：A．
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分） ＝（ ）
A．﹣ + iB．﹣ ﹣ iC． + iD． ﹣
5．（4分）若直线l与两直线y＝1，直线x﹣y﹣7＝0分别交于M，N两点且MN的中点为P（1，﹣1），则直线l的斜率等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．（4分）不等式x﹣x2＞0的解集是（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
7．（4分）计算： ＝（ ）
A．22019B．22018C．22017D．22016
12．（4分）圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，1）的圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝1B．（x+2）2+y2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣2）2＝1
13．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且 ＝ ， ＝ ，连接AC、MN交于P点，若 ＝λ ，则λ的值为（ ）
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷(三)
2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（三）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={1, 3, √m}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =( ) A.0或 √3 B.0或3 C.1或 √3 D.1或32. 复数z 满足(z −i)(2−i)＝5．则z ＝（ ） A.−2−2i B.−2+2i C.2−2i D.2+2i3. 若函数f(x)={x 2+1,x ≤1lg x,x >1 ，则f[f(10)]＝（ ）A.lg 101B.2C.1D.04. 公比为√23的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝（ ） A.4 B.5C.6D.75. 在△ABC 中，AB =2，AC =3，AB →⋅BC →=1，则BC 等于( ) A.√3 B.√7 C.2√2 D.√236. 已知sin α+cos α=√2，α∈(0, π)，则tan α＝（ ） A.−1 B.−√22C.√22D.17. 设a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，是“函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√2．将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直 B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直 C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直9. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A.众数 B.平均数C.中位数D.标准差10. 对任意的实数k ，直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝2的位置关系一定是（ ） A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心11. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为（ ）A.16B.13C.23D.4512. 已知正三角形ABC 的顶点A(1, 1)，B(1, 3)，顶点C 在第一象限，若点(x, y)在△ABC 内部，则z ＝−x +y 的取值范围是（ ） A.(1−√3, 2) B.(0, 2) C.(√3−1, 2) D.(0, 1+√3)13. 设F 1，F 2是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30∘的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.4514. 已知x =ln π，y =log 52，z =e −12，则( ) A.x <y <z B.z <x <y C.z <y <x D.y <z <x15. 若tan θ+1tan θ=4，则sin 2θ＝（ ） A.15B.14C.13D.12二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）函数f(x)=√1−2log 6x 的定义域为________．已知△ABC的三边长成公比为√2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C+√3a sin C−b−c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为√3，求b，c．已知等差数列{a n}前三项的和为−3，前三项的积为8．(Ⅰ)求等差数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．参考答案与试题解析2020年广东省普通高中学业水平数学模拟仿真试卷（三）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．【解答】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1, m}⊆{1, 3, √m}，∴m=3或m=√m，即m=3或m=0或m=1（与集合中元素的互异性矛盾，舍去）．综上所述，m=0或m=3.故选B.2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．【解答】(z−i)(2−i)＝5⇒z−i=52−i ⇒z=52−i+i=5(2+i)(2−i)(2+i)+i=5(2+i)5+i＝2+2i．3.【答案】B【考点】求函数的值函数的求值【解析】利用函数的性质直接求解．【解答】∵函数f(x)={x2+1,x≤1lg x,x>1，∴f(10)＝lg10＝1，f[f(10)]＝f(1)＝12+1＝2．故选：B．4.【答案】B【考点】对数的运算性质等比数列的通项公式【解析】由公比为√23的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，知a72=16，故a7＝4，a16=a7⋅q9=32，由此能求出log2a16．【解答】∵公比为√23的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，∴a72=16，∴a7＝4，∴a16=a7⋅q9=32，∴log2a16＝log232＝5．5.【答案】A【考点】解三角形数量积表示两个向量的夹角【解析】设∠B＝θ，由AB→⋅BC→=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，表示出cosθ，再利用余弦定理表示出cosθ，两者相等列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵AB→⋅BC→=1，设∠B=θ，AB=2，∴2⋅BC⋅cos(π−θ)=1，即cosθ=−12BC，又根据余弦定理得：cosθ=22+BC2−324BC=BC2−54BC，∴−12BC=BC2−54BC，即BC2=3，则BC=√3．故选A．6.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan α的值． 【解答】∵ sin α+cos α=√2，α∈(0, π)，∴ 1+2sin αcos α＝2， ∴ sin αcos α=12，∴ sin α＝cos α=√22，则tan α=sin αcos α=1，7.【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，所以a ∈(0, 1)， “函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”所以a ∈(0, 2)； 显然a >0且a ≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数”，是“函数g(x)＝(2−a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． 8.【答案】 B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A 成立，则需BD ⊥EC ，这与已知矛盾；若B 成立，则A 在底面BCD 上的射影应位于线段BC 上，可证明位于BC 中点位置，故B 成立；若C 成立，则A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的；D 显然错误 【解答】如图，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，依题意，AB ＝1，BC =√2，AE ＝CF =√63，BE ＝EF ＝FD =√33， A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则∵ BD ⊥AE ，∴ BD ⊥平面AEC ，从而BD ⊥EC ，这与已知矛盾，排除A ；B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME ⊥BD ，∴ ∠AEM 就是二面角A −BD −C 的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确；C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除C D ，由上所述，可排除D 9. 【答案】 D【考点】众数、中位数、平均数 【解析】利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案 【解答】A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错．中位数分别为86，88，不相等，C 错． A 样本方差S 2=110[(82−86)2+2×(84−86)2+3×(86−86)2+4×(88−86)2]＝4，B 样本方差S 2=110[(84−88)2+2×(86−88)2+3×(88−88)2+4×(90−88)2]＝4， 故两组数据的标准差均为2，D 正确．10. 【答案】 C【考点】直线与圆的位置关系 【解析】对任意的实数k ，直线y ＝kx +1恒过点(0, 1)，且斜率存在，(0, 1)在圆x 2+y 2＝2内，故可得结论． 【解答】对任意的实数k ，直线y ＝kx +1恒过点(0, 1)，且斜率存在 ∵ (0, 1)在圆x 2+y 2＝2内∴ 对任意的实数k ，直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝2的位置关系一定是相交但直线不过圆心 11.【答案】 C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设AC ＝x ，则BC ＝12−x ，由矩形的面积S ＝x(12−x)>20可求x 的范围，利用几何概率的求解公式可求． 【解答】设AC ＝x ，则BC ＝12−x(0<x <12)矩形的面积S＝x(12−x)>20∴x2−12x+20<0∴2<x<10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P=10−212−0=23．12.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】设C(a, b)，(a>0, b>0)由A(1, 1)，B(1, 3)，及△ABC为正三角形可得，AB＝AC＝BC＝2即(a−1)2+(b−1)2＝(a−1)2+(b−3)2＝4∴b＝2，a＝1+√3即C(1+√3, 2)则此时直线AB的方程x＝1，AC的方程为y−1=√33(x−1)，直线BC的方程为y−3=−√33(x−1)当直线x−y+z＝0经过点A(1, 1)时，z＝0，经过点B(1, 3)z＝2，经过点C(1+√3, 2)时，z＝1−√3∴z max=2,z min=1−√313.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】利用△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=3a2上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|，∠PF2E=60∘，∵P为直线x=3a2上一点，∴|PF2|⋅cos60∘=3a2−c，∴2(32a−c)=2c，∴e=ca=34.故选C．14.【答案】D【考点】不等式性质的应用指数式、对数式的综合比较不等式比较两数大小【解析】利用x=lnπ>1，0<y=log52<12，1>z=e−12>12，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ>ln e=1，0<log52<log5√5=12，即y∈(0, 12)；1=e0>e−12=e>√4=12，即z∈(12, 1)，∴y<z<x．故选D.15.【答案】D【考点】二倍角的三角函数【解析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】sin2θ＝2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2tanθ+1tanθ=24=12二、填空题（本大共4个小题，每个小题4分，满分16分）【答案】(0, √6]【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．【解答】解：函数f(x)=√1−2log6x要满足1−2log6x≥0，且x>0∴2log6x≤1，x>0∴log6x≤12，x>0，∴log6x≤log6√6，x>0，∴0<x≤√6，故答案为：(0, √6]. 【答案】−√2 4【考点】等比数列的性质余弦定理【解析】根据三角形三边长成公比为√2的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，√2a，2a，根据2a 为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，√2a，2a，∵2a>√2a>a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ=2√2a)222√2a2=−√24．故答案为：−√24.【答案】2√2【考点】直线与圆的位置关系【解析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到(3, 1)在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】根据题意得：圆心(2, 2)，半径r＝2，∵√(3−2)2+(1−2)2=√2<2，∴(3, 1)在圆内，∵圆心到此点的距离d=√2，r＝2，∴最短的弦长为2√r2−d2=2√2．【答案】√33π【考点】扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径满足2πr=2π，所以r=1，所以圆锥的体积为：13×π×√22−1=√33π．故答案为：√33π．三、解答题（本大题共2个小题，每个小题12分，满分24分.解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤）【答案】由正弦定理得：a cos C+√3a sin C−b−c＝0，即sin A cos C+√3sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C+√3sin A sin C＝sin(A+C)+sin C，即√3sin A−cos A＝1∴sin(A−30∘)=12．∴A−30∘＝30∘∴A＝60∘；若a＝2，△ABC的面积=12bc sin A=√34bc=√3，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2−2bc⋅cos A＝(b+c)2−2bc−bc＝(b+c)2−3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．【考点】正弦定理【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin(A−30∘)=12．即可求出A的值；（2）若a＝2，由△ABC的面积为√3，求得bc＝4．①，再利用余弦定理可得b+c＝4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】由正弦定理得：a cos C+√3a sin C−b−c＝0，即sin A cos C+√3sin A sin C＝sin B+sin C∴ sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin (A +C)+sin C ， 即√3sin A −cos A ＝1 ∴ sin (A −30∘)=12． ∴ A −30∘＝30∘ ∴ A ＝60∘；若a ＝2，△ABC 的面积=12bc sin A =√34bc =√3，∴ bc ＝4．①再利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2−2bc ⋅cos A ＝(b +c)2−2bc −bc ＝(b +c)2−3×4＝4， ∴ b +c ＝4．②结合①②求得b ＝c ＝2．【答案】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1+d ，a 3＝a 1+2d ，∵ 等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8， ∴ {3a 1+3d =−3a 1(a 1+d +(a 1+2d)=8 ，解得{a 1=2d =−3，或{a 1=−4d =3 ，所以由等差数列通项公式，得a n ＝2−3(n −1)＝−3n +5，或a n ＝−4+3(n −1)＝3n −7． 故a n ＝−3n +5，或a n ＝3n −7．（2）当a n ＝−3n +5时，a 2，a 3，a 1分别为−1，−4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n −7时，a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ＝1时S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|+|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |＝5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) ＝5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10．当n ＝2时，满足此式．综上所述，S n ={4,n =132n 2−112n +10,n ≥2 ．【考点】数列的求和 等差数列的性质【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)由(Ⅰ)和a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，知|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3 ，由此能求出数列{|a n |}的前n 项和为S n ． 【解答】（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1+d ，a 3＝a 1+2d ，∵ 等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8， ∴ {3a 1+3d =−3a 1(a 1+d +(a 1+2d)=8 ，解得{a 1=2d =−3，或{a 1=−4d =3 ，所以由等差数列通项公式，得a n ＝2−3(n −1)＝−3n +5，或a n ＝−4+3(n −1)＝3n −7． 故a n ＝−3n +5，或a n ＝3n −7．（2）当a n ＝−3n +5时，a 2，a 3，a 1分别为−1，−4，2，不成等比数列； 当a n ＝3n −7时，a 2，a 3，a 1分别为−1，2，−4，成等比数列，满足条件． 故|a n |＝|3n −7|={−3n +7,n =1,23n −7,n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ＝1时S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|+|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2+|a 3|+|a 4|+...+|a n |＝5+(3×3−7)+(3×4−7)+...+(3n −7) ＝5+(n−2)[2+(3n−7)]2=32n 2−112n +10．当n ＝2时，满足此式．综上所述，S n ={4,n =132n 2−112n +10,n ≥2 ．。
2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷 3 Word版含解析
学考仿真卷(三)(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{－1,1,3,5}D ．{－3,5}A [因为A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <4}，B ＝{－3，－1,1,3,5}，所以A ∩B ＝{－1,1,3}，故选A.]2．若实数b 满足：(3＋b i)(1＋i)－2是纯虚数，则实数b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [(3＋b i)(1＋i)－2＝1－b ＋(b ＋3)i 是纯虚数，所以1－b ＝0，b ＝1.] 3．函数f (x )＝2－x ＋x 的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0,2)D ．[0,2]D [由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤2，故选D.]4．已知向量a ＝(1,3)，向量b ＝(x ，－1)，若a ⊥b ，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．1B [由于两个向量垂直，故a ·b ＝x －3＝0，x ＝3.]5．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( )A.12B.13C.14 D ．不确定B [P ＝13.]6．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2的直线方程是( ) A ．x －y ＋2＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0A [易知k ＝1，则直线方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0.]7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A.32π B ．2π C ．3πD ．4πA [由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝32π，故选A.]8．命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0 B ．∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0且g (x 0)＝0 D ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0D [根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：命题“∀x ∈R ，f (x )g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)＝0或g (x 0)＝0”，故选D.]9．把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4A [把函数y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位得到y ＝g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，再把y ＝g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，故选A.]10．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2＝－13y B ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9xD [当抛物线的焦点在x 轴上时，设方程为y 2＝mx ， 则9＝m ，即y 2＝9x ，当抛物线的焦点在y 轴上时，设方程为x 2＝my ，则1＝－3m ，m ＝－13，故x 2＝－13y ，故选D.]11．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10 C.252D.254D [因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52.令y ＝0得x ＝5， 故S △＝12×52×5＝254.]12．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.]13．函数f (x )＝ln|x |＋1x 的图象大致为( )A [由四个选项的图象可知f (1)＝1，令x ＝1e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1＋e>1＝f (1)，由此排除C 选项．令x ＝e ，f (e)＝1＋1e >1＝f (1)，由此排除B 选项．由于f (－e 100)＝100－1e100>0，排除D 选项．故选A.]14．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5C [将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时取等号．故选C.]15．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e x ，其中e 是自然对数的底，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D [由f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，知f (x )在R 上单调递增，且f (－x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x －2e x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2⇔2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．16 [40×400150＋150＋400＋300＝16.]17．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．23 [两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为46＝23.]18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________.－22 [△ABC 中，∵3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝－23ab2ab＝－13，∴sin C＝1－cos2C＝22 3，故tan C＝sin Ccos C＝－2 2.]19．如图，已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在第二象限且∠PF1F2＝120°，△PF1F2的面积为________．335[由已知，得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①，得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin 120°＝12×65×2×32＝335.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF ⊥平面EDB .[证明] (1)∵F 是BE 的中点，取BA 的中点M ，连接CM ，FM ，∴FM ∥EA ， FM ＝12EA ＝a ，∵EA 、CD 都垂直于平面ABC ，∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM ，又CD ＝a ＝FM ，∴四边形FMCD 是平行四边形，∴FD ∥MC ，FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC∴FD ∥平面ABC .(2)因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB ， 又EA 垂直于平面ABC ，∴CM ⊥AE ，又AE ∩AB ＝A ，所以CM ⊥面EAB ，∵AF ⊂面EAB∴CM ⊥AF ，又CM ∥FD ，从而FD ⊥AF ，因F 是BE 的中点，EA ＝AB ，所以AF ⊥EB .EB ，FD 是平面EDB 内两条相交直线，所以AF ⊥平面EDB .21．已知公差不为零的等差数列{a n }满足：a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n 表示数列{a n }的前n项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题可知a 1·a 13＝a 24，即3(3＋12d )＝(3＋3d )2，解得d ＝2， 则a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. (2)由上述推理知S n ＝n (n ＋2)， 则T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12(n ＋1)－12(n ＋2)＝34－2n ＋3n ＋n ＋.。
2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷(3)
2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（3）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．）1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则()U A B =ð（ ） A ．{1，3，4} B ．{3，4} C ．{3} D ．{4} 2．函数()2log 3y x =-的定义域为（ ）A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）D ．R 3．设i 为虚数单位，则复数512ii-等于（ ） A ．2﹣i B ．1﹣2i C ．﹣2+i D ．﹣1+2i 4．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“x 2﹣x ﹣2＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，则直线l 的方程是（ ） A ．2x ﹣3y +5＝0 B ．2x ﹣3y +8＝0 C ．3x +2y ﹣1＝0 D ．3x +2y +7＝0 6．已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（ ） A ．x 2＝4y B ．x 2＝﹣4y C ．y 2＝4x D ．y 2＝﹣4x 7．已知向量a =（2，﹣2），b =（2，﹣1），则a b +=（ ）A ．1BC ．5D ．25 8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （﹣1，1），则（ ）A ．sin α＝1B ．tan α＝﹣1C ．cos 2α=D ．sin 2α=- 9．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是（ ） A ．lg lg lgy y x x -= B ．ln lg ln10xx = C ．3lg 3lg x x = D ．()lg lg lg x y x y +=+10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n +1＝a n +4（n ∈N *），则{a n }的前5项和S 5＝（ ） A ．15 B ．28 C ．45 D ．6611．已知变量x ，y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则z ＝x ﹣2y 的最小值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．1D ．3 12．已知两点P （4，0），Q （0，2），则以线段PQ 为直径的圆的标准方程是（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝10 C ．（x +2）2+（y +1）2＝5D ．（x +2）2+（y +1）2＝1013．若x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则11x y+的最小值为（ ）A．2+ B ．4 C ．2 D ．3214．已知()f x 是奇函数，且当()0,x ∈+∞时，()()1f x x x =+，则当(),0x ∈-∞时，()f x =（ ）A ．()1x x -B ．()1x x -+C ．()1x x +D ．()1x x -- 15．已知样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为2，方差为5，则2x 1+1，2x 2+1，…，2x n +1的平均数和方差分别为（ ）A ．4和10B ．5和11C ．5和21D ．5和20 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 16．已知0x >，且1，x ，9成等比数列，则x ＝ ．17．函数()sin cos cos sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 ．18．从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1和F 2在y 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程为 ．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）20．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 2A +sin 2B ﹣sin 2C ＝sin A sin B ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC的面积为c＝ABC 的周长．21．（本小题满分12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝CD＝1，AD＝BC，AC．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（3）参考答案一、选择题：16．3 17．π 18．1319．2211612y x +=三、解答题：20．解：（1）由sin 2A +sin 2B ﹣sin 2C ＝sin A sin B 及正弦定理得 a 2+b 2﹣c 2＝ab ，…………………2分由余弦定理得2221cos C 22a b c ab +-==，…………………4分 ∵()C 0,π∈，∴C 3π=．…………………6分 （2）由（1）知C 3π=，∴1sin C 24S ab ===， ∴ab ＝8，……………8分由余弦定理得()2222222cosC 312c a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-=，………10分 ∴（a +b ）2＝36，∴a +b ＝6，…………………11分∴△ABC 周长为6+．…………………12分21．证明：（1）∵AD ，CD ＝1，AC ∴AD 2+CD 2＝AC 2，∴CD ⊥AD ．…………………2分∵BD ＝CD ＝1，BC ＝， ∴BD 2+CD 2＝BC 2，∴CD ⊥BD ，…………………4分又∵AD ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，AD ∩BD ＝D ， ∴CD ⊥平面ABD ．…………………6分（2）∵M 是AD 中点，S △ABM ＝12S △ABD ＝111D 224⨯⨯AB⨯B =．…………………8分1 3S△ABM ⨯CD＝11113412⨯⨯=．…………………12分∴三棱锥A﹣MBC的体积V＝。
2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)
2020届广东省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-=则M N ⋃=（ ） A ．M B ．NC ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,2【答案】C【解析】根据集合的并集运算可得答案. 【详解】因为集合{}{}1,0,1,2,1,2,3,M N =-= 所以M N ⋃={1,0,1,2,3}-. 故选:C 【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题. 2．设i 是虚数单位，则复数()1i i +=（ ） A ．1i -+ B ．1i +C ．1i --D ．1i -【答案】A【解析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()1i i +=2(1)1i i i i +=+-=-+.故选:A 【点睛】本题考查了复数的乘法运算,属于基础题.3．某次歌唱比赛中，7位评委为某选手打出的分数分别为83，91，91，94，94，95，96，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为（ ） A ．94 B ．93C ．92D ．91【答案】B【解析】去掉96和83后剩下5个数的和除以5可得答案. 【详解】去掉一个最高分96,去掉一个最低分83,剩下的数为:91,91,94,94,95,它们的平均数为:9191949495935++++=.故选:B 【点睛】本题考查了利用平均数的定义求平均数,属于基础题. 4．直线210x y --=的斜率是（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】将直线方程化为斜截式,可得斜率. 【详解】由210x y --=得1122y x =-, 所以210x y --=的斜率为12.故选:A. 【点睛】本题考查了由直线方程的斜截式求斜率,属于基础题. 5．下列函数为偶函数的是（ ） A ．()3f x x =+ B ．()22f x x =-C ．()3f x x =D ．()1f x x=【答案】B【解析】根据偶函数的定义逐个判断可得答案. 【详解】当()f x =22x -时,22()()22()f x x x f x -=--=-=,所以2()2f x x =-为偶函数,()3f x x =+为非奇非偶函数函数,3()f x x =与1()f x x=为奇函数. 故选:B 【点睛】本题考查了用定义判断函数的奇偶性,属于基础题.6．（2015秋•河西区期末）若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案． 解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角． 故选：B ．【考点】三角函数值的符号． 7．函数()f x = ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞+∞D ．(][),04,-∞+∞【答案】D【解析】利用被开方大于等于0列式,解一元二次不等式可得答案. 【详解】 由函数()f x =,可得240x x -≥, 解得4x ≥或0x ≤. 故选:D. 【点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域,一元二次不等式的解法,本题属于基础题. 8．在等差数列{}n a 中，若51015,10,a a =-=-则20a =（ ） A ．20- B ．5-C ．0D ．5【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件列方程组,解得首项和公差,从而可得20a .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则11415910a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ,解得1191a d =-⎧⎨=⎩, 所以2011919190a a d =+=-+=. 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.9．已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，设()1f a =，则()f a =（ ） A ．2 B ．12C ．12-D ．32-【答案】A【解析】由(1)f a =求得1a =-,再根据分段函数解析式求得(1)f -即可得到答案. 【详解】因为()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩, 所以(1)121f =-=-,所以1a =-, 所以11(1)()22f --==.故选:A 【点睛】本题考查了根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.10．设,x y 满足约束条件201010y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．3-C ．5-D ．6-【答案】C【解析】作出可行域后,根据斜率关系找到最优解,代入最优解的坐标可得z 的最小值. 【详解】作出可行域,如图所示:将目标函数2z x y =-化为斜截式得122z y x =-, 由图可知,最优解为2()1,M -,所以当1x =-,2y =时,min 1225z =--⨯=-. 故选:C 【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,作出可行域,根据斜率关系找到最优解是答题关键. 11．设20.33log 3,log 2,log 2a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数的性质以及单调性可比较大小. 【详解】因为22log 3log 21a =>=,0.30.3log 2log 10b =<=,33log 2log 31c =<=,33log 2log 10c =>=,所以b c a <<. 故选:D 【点睛】本题考查了利用对数的性质以及单调性比较大小,属于基础题. 12．直线:20+-=l x y 被圆22:3C x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】先求出圆心到直线的距离,再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】由22:3C x y +=可知圆心为(0,0),,所以圆心到直线:20+-=l x y 的距离为d ==由勾股定理可得弦长为2=. 故选:B 【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心和半径,考查了点到直线的距离公式,考查了勾股定理,属于基础题.13．已知命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+=则p ⌝为 （ ） A ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞+= B ．[)()0,,ln 1x x x ∀∉+∞+= C ．[)()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞+≠ D ．[)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠【答案】D【解析】先否定存在量词,改为全称量词,再否定结论. 【详解】因为命题[)()000:0,,ln 1,p x x x ∃∈+∞+= 所以p ⌝为: [)()0,,ln 1x x x ∀∈+∞+≠. 故选:D 【点睛】本题考查了含有一个存在量词的命题的否定,属于基础题.14．一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一球的球面上，则该球的表面积是（ ）（参考公式：球的表面积公式为24S R π=，其中R 是球的半径） A ．3π B ．4πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据正方体的对角线是其外接球的直径,可得球的半径,进而可得球的表面积. 【详解】因为正方体的对角线是其外接球的直径,所以正方体的外接球的直径2R ==,所以R =,所以该球的表面积244312S R πππ==⨯=. 故选:D 【点睛】本题考查了正方体与球的组合体,考查了正方体的对角线长定理,考查了球的表面积公式,属于基础题.15．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知4A π=,4b =，且ABC ∆ 的面积为2，则a =（ ）A ．BC ．D【答案】B【解析】根据面积公式可求得c =再根据余弦定理可求得a =【详解】根据三角形的面积公式可得12sin 2bc A =,所以124sin 24c π=⨯⨯,所以c =由余弦定理可得2222cos 1622410a b c bc A =+-=+-⨯=,所以a =. 故选:B 【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理,本题属于基础题.二、填空题16．设向量(1,3),(2,),a b m ==-，若//b a ，则m =_____ 【答案】6-【解析】根据向量共线的坐标表示列方程可解得. 【详解】因为//b a ,所以13(2)0m ⨯-⨯-=, 解得6m =-. 故答案为:-6 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,本题属于基础题.17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，23S =，则3S =_____ 【答案】7【解析】根据121,3a S ==列方程可解得公比q ,再根据等比数列的前n 项和公式可求得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =, 由2123S a a =+=,得13q +=,所以2q =,所以3313(1)127112a q S q --===--. 故答案为:7 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的基本量的计算,属于基础题. 18．从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是____ 【答案】16【解析】利用组合知识求得基本事件种数和所求事件包含的事件种数后,利用古典概型的概率公式可得答案. 【详解】从4张分别写有数字1，2，3，4的卡片中随机抽取2张,总共有246C =种抽法, 所取2张卡片上的数字之积为奇数的共有221C =种抽法, 根据古典概型的概率公式可得所求概率为16. 故答案为:16【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,关键是求出积为奇数时的抽法种数,属于基础题. 19．设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A,B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则该椭圆的离心率为____【解析】利用三角形1AF B ∆为等边三角形可得2||3AF =,1||AF =,再根据椭圆的定义列式可得离心率. 【详解】因为1AF B ∆为等边三角形,所以126AF F π∠=,所以212||||33AF F F c ==,12||2||3AF AF c ==, 又由椭圆的定义可知12||||2AF AF a +=,所以233c a +=,a =,所以离心率3c e a ==.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的几何性质:离心率,利用正三角形的性质求出1||AF 和2||AF 后,再用椭圆定义列等式是答题关键,属于基础题.三、解答题20．已知函数()sin 2f x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期和最大值； (2)若θ满足325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，求4f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【答案】(1)()f x 的最小正周期是π,最大值是1 (2)725【解析】(1)利用正弦型函数的周期公式2||T πω=直接求出周期,根据正弦函数的最大值可求得函数的最大值;(2)利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得答案. 【详解】解：(1)函数()sin 2f x x =，则()f x 的最小正周期是22T ππ== ()f x 的最大值是1(2)由325f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3sin 5θ=所以27sin(2)cos 212sin 4225f ππθθθθ⎛⎫+=+==-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,正弦函数的最大值,诱导公式,二倍角的余弦公式,属于基础题.21．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是1,BC AB 的中点.(1)证明：//DE 平面11ACC A ； (2)若11BB =,证明：1C D ⊥平面ADE 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】(1) 连接11,A B A C ,根据中位线可得1//DE A C ,根据线面平行的判定定理可得//DE 平面11ACC A ;(2)根据直棱柱可得1BB AD ⊥,根据等边三角形可得BC AD ⊥,根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面11B BCC ,再根据性质定理可得1AD C D ⊥,根据勾股定理22211111DB C D B C +=可得11C D DB ⊥,最后根据线面垂直的判定定理可得1C D ⊥平面ADE .【详解】证明：(1)连接11,A B A C ，如图所示:第 11 页 共 11 页 在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，因为点E 是1AB 的中点，所以点E 是1A B 的中点又因为点D 是BC 的中点，所以1//DE A C ,因为1AC ⊂平面11ACC A ,DE ⊄平面11ACC A , 所以//DE 平面11ACC A(2)连接1B D ，如图所示:在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以 1BB AD ⊥又因为底面ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥，又1BC BB B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又1C D ⊂平面11B BCC所以1AD C D ⊥由2BC =，得1BD =，又111BB CC ==所以11DB C D ==所以22211111DB C D B C +=，所以11C D DB ⊥1DB AD D ⋂=，即1C D ⊥平面ADE【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定定理以及性质定理,利用勾股定理22211111DB C D B C +=证明11C D DB ⊥是答题关键.。
广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题(三)
一、单选题二、多选题1. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A．B．C．D．2.已知且，函数，若，则（ ）A ．2B．C．D．3. 若对于任意的，都有，则a 的最大值为（ ）A．B ．C ．1D．4. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．85. 若复数，，则下列结论错误的是（ ）A．是实数B ．是纯虚数C．D．6.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．37. 如图所示，复数，在复平面中所对应的点分别为A ，B ，网格中的每个小正方形的边长都为1，则A．B ．2C．D．8.已知点在第二象限，则的一个变化区间是A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．函数无最小值B．函数有两个零点C ．直线与函数的图象最多有3个公共点D ．经过点可作图象的1条切线10.如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）三、填空题四、解答题A ．直线平面B ．三棱锥的体积为C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11. 依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I 、II 、III 、IV 、V 、劣V 类六个类别，其中I 、II 类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V 类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是（）A ．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况B ．辽河流域I~III 类水质占比小于60%C ．黄河流域的水质比长江流域的水质要好D ．IV 、V 类水质所占的比例最高的是淮河流域12. 一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron ）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta ）变异株和德尔塔（Delta ）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（）A．奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多B．德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例C ．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强D ．德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天13. 已知函数，若，则______．14.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P作，交准线l 于点A .若，则的长为_________.15. 已知函数，则函数的极大值为 ___________．16. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．17. ，，分别为锐角内角A，，的对边.已知.（1）求；（2）若，试问的值是否可能为5?若可能，求的周长；若不可能，请说明理由.18. 为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，19. 如图，在四棱锥中，已知，．(1)求证：；(2)若平面平面，，且，，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．21. 已知函数．（1）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．。
2020年高中数学 学业水平考试 模拟试题 三(含答案)
设携带品外部尺寸
长宽高分别为 a，b，c (单位：厘米)，这个规定用数学关系式可表示为（ ）
（A）a + b + c ＜160
（B）a + b + c ＞160
（C）a + b + c ≤ 160 （D）a + b + c ≥160
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2 sin
60
cos60 的值是（
）
A
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3 2
B 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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1 2
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2020年1月广东省普通高中学业水平考试模拟卷(三)数学试题(解析版)
广东省普通高中学业水平考试模拟卷(三)数学试题一、单选题1．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B 【解析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =.若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.2．复数z 满足:()(2)5z i i --=，则z =（ ） A ．22i -- B ．22i -+C ．22i -D ．22i +【答案】D【解析】试题分析：因为()(2)5z i i --=，所以【考点】复数的运算3．若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)=A ．lg101B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】【详解】因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2((10))(1)112f f f ==+=,故选B. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.4{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则216log a =( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【解析】由等比数列{}n a ，23117a a a =，可求解7a ，由9167a a q =，即得解.【详解】由等比数列{}n a ，2311716a a a ∴==，又7704a a >∴=9616744416a a q ∴==⨯=⨯=2162log log 164a ∴== 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．在ABC V 中，2,AB =3,AC =1AB BC ⋅=u u u v u u u v，则BC 等于（ ）A B C ．D 【答案】A【解析】利用向量数量积公式表示1AB BC ⋅=u u u r u u u r ，可求出1||cos 2BC ABC ∠=-u u u r ，再用余弦定理表示2AC ，即可求出BC 的长度. 【详解】2,AB =3,AC =1AB BC ⋅=u u u r u u u r，则()()||||cos ABC 2||cos ABC 1AB BC AB BC BC ⋅=⋅∠=--∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，1||cos 2BC ABC ∴∠=-u u u r .由余弦定理可知：222212cos 42292AC AB BC AB BC ABC BC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，||BC ∴=故选：A . 【点睛】本题考查向量的数量积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题.6．已知sin cos αα-=α∈(0, π)，则tan α=A ．-1B ．2-C ．2D ．1【答案】A 【解析】【详解】sin cos αα-=Q ()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα= 1tan α∴=-故选A7．已知0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数()xf x a =在R 上是减函数，则01,a <<这样函数()()32g x a x =-在R 上单调递增；若函数()()32g x a x =-在R 上是增函数，则20, 2.a a -><故选A.【考点定位】本题结合函数的单调性考查充分必要条件的判定，从基础知识出发，通过最简单的指数函数()xf x a =入手，结合熟知的三次函数()3t x x =设计问题，考查了综合解决问题的能力 【详解】请在此输入详解！8．已知矩形,ABCD 1,AB BC ==ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B 是正确的9．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差【答案】D【解析】【详解】试题分析：A 样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B 样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A 错． 平均数86，88不相等，B 错． 中位数分别为86，88，不相等，C 错 A 样本方差2S =4，标准差S=2， B 样本方差2S =4，标准差S=2，D 正确【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数10．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是 A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【答案】C【解析】试题分析：1y kx =+过定点()0,1，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心.【考点】直线与圆的位置关系. 【方法点睛】直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 ． （2）判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式204{=00b ac >⇔∆=-⇔<⇔相交相切相离②几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系:{d r d r d r <⇔=⇔>⇔相交相切相离．11．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 A ．16B ．13C ．23D ．45【答案】C【解析】试题分析：设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12） 矩形的面积S=x （12-x ）＞20 ∴x 2-12x+20＜0 ∴2＜x ＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-【考点】几何概型12．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是 A ．(1－2) B ．(0，2)C ．1，2)D ．(0，【答案】A【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（12），作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，由图知，直线:l z x y =-+过C 时，min z =1过B （0,2）时，max z =3-1=2，故z 的取值范围为（12），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想13．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.【考点】椭圆的简单几何性质.14．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】D 【解析】【详解】ln 1x π=>，5211log 2log 52y ==<，12z e -==，112<<，所以y z x <<，选D. 15．若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===，所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化；另外，22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等二、填空题16．函数()f x =__________．【答案】(【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤<故函数()f x的定义域为：(． 点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 17．已知△ABC 得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.【答案】【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.【考点】余弦定理及等比数列的定义.18．过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________. 【答案】22【解析】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，()()2232122d =-+-=，所以最短弦长为()222222222 2.r d -=-=【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度. 19．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】【详解】 由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.3所以该圆锥的体积为33.三、解答题20．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △，求b ，c ． 【答案】(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒．（2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=， 即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V则124S bc sinA =⋅== ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．21．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8． （1） 求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和 【答案】（1）35n a n =-+，或37n a n =-.（2）24,1,{31110, 1.22n n S n n n ==-+> 【解析】考察等差等比数列的通项公式，和前n 项和公式及基本运算． （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+， 由题意得1111333,{()(2)8.a d a a d a d +=-++=解得12,{3,a d ==-或14,{3.a d =-=所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-.（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列； 当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,37{37, 3.nn n a n n n -+==-=-≥ 记数列{}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，114S a ==；当2n =时，2125S a a =+=；当3n ≥时，234n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,{31110, 1.22n n S n n n ==-+> 【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.第 11 页共 11 页。
2019-2020学年高中学业水平数学模拟测试卷3
高中学业水平考试模拟测试卷(三)(时间：90分钟 满分100分)一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}解析：x 2－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}． 答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2值为( )A.14B.12C ．2D ．4解析：a 4a 2＝q 2＝4.答案：D3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( )A ．－32B.32C ．±32D ．1解析：命题“存在x 0∈R ，x 20－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2－1≠0”．答案：D4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．2x ＋3y ＋4＝0B ．2x ＋3y －8＝0C ．3x －2y －7＝0D ．3x －2y －1＝0解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.答案：C5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为k ＝tan α＝－3， 所以α＝π－π3＝2π3，故选C.答案：C6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( ) A.2B. 3C ．2D. 5解析：由题意得z ＝2＋ii ＝1－2i ，所以|z |＝ 5. 答案：D7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C.答案：C8．下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：A．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A正确；B．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B正确；C．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C正确；D．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D不正确．故选D.答案：D9．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是()A．(－2，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)解析：因为f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)．答案：C10．已知等差数列{a n}中，a2＝2，a4＝6，则前4项的和S4等于()A．8 B．10 C．12 D．14解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a4＝a2＋(4－2)d⇒d＝6－2 2＝2，a1＝a2－d＝2－2＝0，所以S4＝4（a1＋a4）2＝2(0＋6)＝12.故选C.答案：C11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是()A ．6B ．9C ．18D ．36解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱， 其底面面积S ＝12×4×52－42＝6，高是3，所以它的体积为V＝Sh ＝18.故选C.答案：C12．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )A.12B ．1或3C.1＋22D.2－12解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2＝4，所以m ＝12.答案：A13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．－10B ．－6C ．－1D ．0解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，平移直线y ＝12x －z2，由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z2的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x－2y ，得z ＝2－8＝－6，所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B. 答案：B14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.故选C.答案：C15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )A ．v ＝a ＋b 2B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．b <v <ab解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝2ss a ＋s b＝2aba ＋b ，因为a >b >0，所以2aa ＋b>1， 所以v ＝2ab a ＋b >b .v ＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab .所以b <v <ab .故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________． 解析：S 4＝1－241－2＝15.答案：1517．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.答案：018．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.答案：1919．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b2＝1， 又离心率e ＝ca ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝1三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．)20．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x－2)，即x ＋2y －6＝0.(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.圆心到直线l 的距离为12，圆的半径为3，所以弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34.21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若b n ＝1S n＋3·2n －2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝a 6－a 33＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝32，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n （n ＋2）2.(2)由(1)可得1S n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2，所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2＋3·2n －2.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＋32(1＋2＋…＋2n －1)＝ ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n －12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1－1n ＋1－1n ＋2.。
2020年广东省中考数学模拟卷三
第 1 页 共 8 页 2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．2的相反数是( )A ．0B ．2C ．－2D ．12．资料显示，2018年“五·一”全国实现旅游收入约463亿元，用科学记数法表示463亿这个数是( )A ．463×108B ．4.63×108C ．4.63×1010D ．0.463×10113．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )4．在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：72，77，79，81，81，81，83，83，85，89，则这组数据的众数、中位数分别为( )A ．81，82B ．83，81C ．81，81D ．83，825．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x ＞－1的解集在数轴上表示为( )6．下列计算正确的是( )A ．x 4＋x 2＝x 6B ．(a ＋b)2＝a 2＋b 2C ．(3x 2y)2＝6x 4y 2D ．(－m)7÷(－m)2＝－m 57．已知a －2b ＝3，则3a －6b ＋1的值为( )A ．4B ．8C ．9D ．108．关于x 的一元二次方程kx 2＋3x －1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤－94B ．k ≤－94且k ≠0 C ．k ≥－94 D ．k ≥－94且k ≠0 9．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且BD ＝3AD ，那么DE ∶BC 等于( )。
2020年中考数学全真模拟试卷(广东专用)(三)(解析版)
2020年中考数学全真模拟试卷(某某)(三)(考试时间:90分钟;总分:120分)班级:___________某某:___________座号:___________分数:___________一.单选题(每小题3分,共30分)1．-2020的倒数是()A．2020B．-2020C．12020D．12020-【答案】D【解析】两个数若分子与分母相倒并且二者乘积为1,那么它们互为倒数,0没有倒数,据此进一步求解即可.【详解】-2020的倒数是1 2020 -,故选:D.【点睛】本题主要考查了倒数的定义,熟练掌握相关概念是解题关键.2．单项式﹣57πx2y3的系数和次数分别是( )A．﹣57,6B．﹣57π,3C．﹣57,5D．﹣57π,5【答案】D【解析】根据单项式的系数和次数的概念直接得出答案.【详解】解:单项式﹣57πx2y3的系数是﹣57π,次数是2+3=5,故选D【点睛】本题考查了单项式的系数和次数,单项式中的数字因数是其系数,所有字母的指数的和是其次数,注意π是常数而不是字母.3．下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;B.既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项正确;C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;D .不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误．故选:B ．【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后能够完全重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180°后两部分能够完全重合.4．不等式组()121212x x x -≤⎧⎪⎨-->-⎪⎩的最小整数解为() A ．4-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解析】解不等式组得出解集,再找出最小整数解即可．【详解】解:()121212x x x -≤⎧⎪⎨-->-⎪⎩①② 不等式①的解集是:x≤3不等式①的解集是:x ＞-4①不等式组的解集是:-4＜x≤3①不等式组的最小整数解是-3故选:B【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知"同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．袋中有8个红球和若干个黑球,小强从袋中任意摸出一球,记下颜色后又放回袋中,摇匀后又摸出一球,再记下颜色,做了50次,共有16次摸出红球,据此估计袋中有黑球()个．A．15B．17C．16D．18【答案】B【解析】根据共摸球50次,其中16次摸到红球,则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数.【详解】①共摸了50次,其中16次摸到红球,①有34次摸到黑球,①摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,①口袋中红球和黑球个数之比为8: 17,①黑球的个数8÷817＝17(个),故答案选B.【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 6．已知a.b为一元二次方程2290x x+-=的两个根,那么2a a b+-的值为()A．11B．0C．7D．-7【答案】A【解析】首先根据方程根的概念代入原方程,然后利用一元二次方程根与系数的关系,求出a+b的值,将所求代数式变形,整体代入即可得解.【详解】由已知得,a2+2a-9=0,①a2+2a=9,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=-2,所以a2+a-b=a2+2a-(a+b)=9-(-2)=11综上所述,所求值为11,故答案为A.【点睛】此题主要考查根据一元二次方程的方程根的概念和根与系数的关系,利用整体代入法求代数式的值,熟练掌握,即可解题.7．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径,某微信平台上一件商品标价为200元, 按标价的六折销售,仍可获利30元,则这件商品的进价为()A．80元B．90元C．100元D．120元【答案】B【解析】根据题意设这件商品的进价为x元,根据利润=销售价格-进价,即可得出关于x的一元一次方程,求解即可得出结论．【详解】解:设这件商品的进价为x元,根据题意得:200×0.6-x=30,解得:x=90．答:这件商品的进价为90元．故选:B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,由售价找出合适的等量关系,列出方程再求解．8．如图,如果,,120,260AB CD CD EF ∠=︒∠=︒∕∕∕∕,则BCE ∠等于()A ．80︒B ．120︒C ．140︒D ．160︒【答案】C【解析】由AB①CD,可得①1=①BCD=20°,由CD①EF,可得①2+①DCE=180°,即①DCE=180°-60°=120°,即可得①BCE 的度数．【详解】①AB①CD,①①1=①BCD=20°,①CD①EF,①①2+①DCE=180°,即①DCE=180°-60°=120°,①①BCE=①BCD+①DCE=20°+120°=140°．故选:C ．【点睛】本题考查了平行线的性质,熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．9．如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分BCD ∠与AB 交于点E ,DF 平分ADC ∠与AB 交于点F ,若8AD =,3EF =,则CD 长为()A ．8B ．10C ．13D ．16【答案】C【解析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质可得出,ADF AFD BEC BCE ∠=∠∠=∠,由此得出AD AF BE BC ===,由此推出88313CD AB AF BE EF ==+-=+-=．【详解】解:①在平行四边形ABCD 中,CE 平分BCD ∠与AB 交于点E ,DF 平分ADC ∠与AB 交于点F①,ADF AFD BEC BCE ∠=∠∠=∠①AD AF BE BC ===①8AD =,3EF =①88313CD AB AF BE EF ==+-=+-=故选:C ．【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质以及角平分线的性质,利用已知条件得出AD AF BE BC ===是解此题的关键．10．观察图中正方形四个顶点所标的数字,按照规律确定数字“2020”应标在( )A ．第506个正方形的右上角B ．第505个正方形的左下角C ．第505个正方形的右上角D ．第506个正方形的左下角【答案】B【解析】根据每个正方形需要4个数字这一规律,用2020÷4得出结果判断即可.【详解】由题意知:2020÷4=505,所以2020这一数字正好能标完第505个正方形,且根据每个小正方形数字排列顺序可知,最后一个数字应该位于正方形的左下角.故选B.【点睛】本题考查了规律探索题,解决本题的关键是正确理解题意,能够找到数字之间存在的规律.二.填空题(每小题4分,共28分)11．分解因式:4x 3﹣16x ＝___________________________________．【答案】4x (x +2)(x ﹣2)【解析】首先提公因式4x ,再利用平方差进行分解即可．【详解】原式()()()244422x x x x x =-=+-．故答案为:()()422x x x +-． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式,一般是先提取公因式,再考虑运用公式法分解． 12．某种病菌的形状为球形,直径约是0.000000102m ,用科学记数法表示这个数为______．【答案】71.0210-⨯【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数．确定n 的值时,要看把原数变成a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时,n 是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数．【详解】0.000000102的小数点向右移动7位得到1.02,所以0.000000102用科学记数法表示为71.0210-⨯,故答案为71.0210-⨯．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13．点P(-2,-3)到x 轴的距离是_______．【答案】3【解析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．【详解】解:点P(−2,−3)到x 轴的距离是3．故答案为:3．【点睛】本题考查了点的坐标,熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．14．一次函数y=kx －3的图象经过点(-1,3),则k=______【答案】-6试题解析:把点()1,3-代入 3.y kx =-得,33,k --=解得 6.k故答案为: 6.-15．公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾6a =,弦10c =,则小正方形ABCD 的面积是____.【答案】4【解析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【详解】①勾a 6=,弦c 10=,①股8=,①小正方形的边长＝862-=,①小正方形的面积224==【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式,关键是运用了数形结合的数学思想．16．如图,将ABC绕点A逆时针旋转150 ,得到ADE,这时点B C D、、恰好在同一直线上,则B的度数为______．【答案】15【解析】分析:先判断出①BAD=150°,AD=AB,再判断出①BAD是等腰三角形,最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解:①将①ABC绕点A逆时针旋转150°,得到①ADE,①①BAD=150°,AD=AB,①点B,C,D恰好在同一直线上,①①BAD是顶角为150°的等腰三角形,①①B=①BDA,①①B=12(180°-①BAD)=15°,故答案为15°．点睛:此题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．17．如图,四边形ABCD 为矩形,以A 为圆心,AD 为半径的弧交AB 的延长线于点E,连接BD,若AD=2AB=4,则图中阴影部分的面积为______．【答案】434【解析】BC 交弧DE 于F,连接AF,如图,先利用三角函数得到①AFB=30°,则①BAF=60°,①DAF=30°,BF=然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式,利用图中阴影部分的面积=S 扇形ADF +S ①ABF -S ①ABD 进行计算即可．【详解】解:BC 交弧DE 于F,连接AF,如图,AF=AD=4,①AD=2AB=4①AB=2,在Rt①ABF 中,①sin①AFB=24=12, ①①AFB=30°,①图中阴影部分的面积=S 扇形ADF +S ①ABF -S ①ABD=2304360π⋅⋅+1212×2×4=434． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算:设圆心角是n°,圆的半径为R 的扇形面积为S,则S 扇形=2360n R π⋅⋅或12S 扇形lR(其中l 为扇形的弧长);求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了矩形的性质．三.解答题一(每小题6分,共18分)18．计算:2sin 301cos 45︒---︒+【答案】2【解析】首先计算开方,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可．【详解】解:原式=121)2⨯--= 11-+=2【点睛】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方.开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外,有理数的运算律在实数X 围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．19．解方程:24111x xx -=-- 【答案】x=-5【解析】先去分母化为整式方程,再求解,再验根.【详解】解:24111x xx -=-- 24+111x x x =-- ()()()()()()4+11111111x x x x x x x x ⎛⎫⨯-+=⨯-+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭()2411x x x ++=-224+1x x x +=-22+14x x x -=--5x =-经检验:5x =-是原分式方程的根,原分式方程的解为5x =-．【点睛】考核知识点:解分式方程.20．如图,在Rt ABC 中,90,12,13ACB AC AB ∠=︒==．(1)作ABC 的高CD ;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,求CD 的长．【答案】(1)见解析;(2)1360=CD ． 【解析】(1)以C 点为圆心,再以足够长的半径画弧交AB 于M.N 两点,之后再分别以M.N 为圆心,大于12MN 长为半径画弧,两弧交于点K,连接CK 交AB 于点D,此时线段CD 即为所求;(2)首先根据勾股定理求出BC 的长度,然后利用三角形等面积法列出方程,据此进一步求解即可.【详解】(1)如图所示,线段CD 即为所求:(2)在Rt①ABC 中,AC=12,AB=13,①ACB=90°,①5BC ==,①Rt①ABC 的面积=1122AC BC AB CD ⨯⨯=⨯⨯, ①111251322CD ⨯⨯=⨯⨯ ①1360=CD . 【点睛】本题主要考查了尺规作图以及勾股定理的运用,熟练掌握相关方法是解题关键.四.解答题二(每小题8分,共24分)21．某商场销售A.B 两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如下表所示:该商场计划购进两种教学设备若干套,共需132万元,全部销售后可获毛利润18万元．(1)该商场计划购进A.B 两种品牌的教学设备各多少套?(2)通过市场调查,该商场决定在原计划的基础上,减少A 种设备的购进数量,增加B 种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A 种设备减少数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过138万元,则A 种设备购进数量最多减少多少套?【答案】(1)购进A .B 两种品牌的教学设备分别20,30套;(2)A 种设备购进数量最多减少10套【解析】(1)首先设该商场计划购进A,B 两种品牌的教学设备分别为x 套,y 套,根据题意即可列方程组3 2.41320.30.418x y x y +=⎧⎨+=⎩,解此方程组即可求得答案; (2)首先设A 种设备购进数量减少a 套,则B 种设备购进数量增加1.5a 套,根据题意即可列不等式3(20-a)+2.4(30+1.5a)≤138,解此不等式组即可求得答案．【详解】(1)设购进A .B 两种品牌的教学设备分别,x y 套,列方程组得:3 2.41320.30.418x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得2030x y =⎧⎨=⎩ 答:购进A .B 两种品牌的教学设备分别20,30套(2)设A 种设备购进数量减少a 套,由题意得:3(20) 2.4(30 1.5)138a a -++①10a 又020a①010a①a最多为10答:A种设备购进数量最多减少10套【点睛】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．注意根据题意找到等量关系是关键．22．某校为了开展读书月活动,对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查,所有图书分成四类:艺术.文学.科普.其他．随机调查了该校m名学生(每名学生必选且只能选择一类图书),并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图:根据统计图提供的信息,解答下列问题:(1)m＝,n＝,并请根据以上信息补全条形统计图;(2)扇形统计图中,“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是度;(3)根据抽样调查的结果,请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．【答案】(1)50,30;(2)72;(3)270名学生.【解析】(1)根据其他的人数和所占的百分比即可求得m的值,从而可以求得n的值,求得喜爱文学的人数,从而可以将条形统计图补充完整;(2)根据扇形统计图中的数据可以求得“艺术”所对应的扇形的圆心角度数;(3)根据统计图中的数据可以估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．【详解】解:(1)510%50%155030%m n =÷==÷=，,文学有:501015520---=,补全的条形统计图如右图所示;故答案为50,30;(2)由题意可得,“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是:103607250︒⨯=, 故答案为72;(3)由题意可得,1590027050⨯=, 即该校900名学生中有270名学生最喜欢科普类图书．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．如图,在四边形纸片ABCD 中,①B＝①D＝90°,点E,F 分别在边BC,CD 上,将AB,AD 分别沿AE,AF 折叠,点B,D 恰好都和点G 重合,①EAF＝45°．(1)求证:四边形ABCD 是正方形;(2)若EC＝FC＝1,求AB 的长度．+．【答案】(1)见解析;(2)AB=12【解析】(1)由题意得,①BAE=①EAG,①DAF=①FAG,于是得到①BAD=2①EAF=90°,推出四边形ABCD是矩形,根据正方形的判定定理即可得到结论;(2)根据EC=FC=1,得到BE=DF,根据勾股定理得到EF的长,即可求解．【详解】(1)由折叠性质知:①BAE=①EAG,①DAF=①FAG,①①EAF=45°,①①BAD=2①EAF=2⨯45°=90°,又①①B=①D=90°,①四边形ABCD 是矩形,由折叠性质知:AB=AG,AD=AG,①AB=AD,①四边形ABCD 是正方形;(2)①EC=FC=1,=①EF=EG+GF=BE+DF,①BE=DF=12EF=2,1+． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,正方形的判定和性质,解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质:翻折前后对应边.对应角相等．五.解答题三(每小题10分,共20分)24．如图,AB 是①O 的直径,点P 在AB 的延长线上,弦CE 交AB 于点D ．连接OE.AC,且①P=①E,①POE=2①CAB ．(1)求证:CE①AB;(2)求证:PC是①O的切线;(3)若BD=2OD,PB=9,求①O的半径及tan①P的值．．【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)4【解析】(1)连结OC,如图,根据圆周角定理得①POC=2①CAB,由于①POE=2①CAB,则①POC=①POE,根据等腰三角形的性质即可得到CE①AB;(2)由CE①AB得①P+①PCE=90°,加上①E=①OCD,①P=①E,所以①OCD+①PCE=90°,则OC①PC,然后根据切线的判定定理即可得到结论．(3)设①O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,易证得Rt①OCD①Rt①OPC,根据相似三角形的性质得OC2=OD•OP,即(3x)2=x•(3x+9),解出x,即可得圆的半径;同理可得PC2=PD•PO=(PB+BD)•(PB+OB)=162,可计算出PC,然后在Rt①OCP中,根据正切的定义即可得到tan①P的值．【详解】解:(1)证明:连接OC,①①COB=2①CAB,又①POE=2①CAB．①①COD=①EOD,又①OC=OE,①①ODC=①ODE=90°,即CE①AB;(2)证明:①CE①AB,①P=①E,①①P+①PCD=①E+①PCD=90°,又①OC D=①E,①①OCD+①PCD=①PCO=90°,①PC是①O的切线;(3)解:设①O的半径为r,OD=x,则BD=2x,r=3x,①CD①OP,OC①PC,①Rt①OCD①Rt①OPC,①OC2=OD•OP,即(3x)2=x•(3x+9),解之得x=3 2 ,①①O的半径r=9 2 ,同理可得PC2=PD•PO=(PB+BD)•(PB+OB)=162,,在Rt①OCP 中,tan①P=4OC PC ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质.垂径定理.勾股定理.锐角三角函数.相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会条件出发与直线,灵活运用所学知识解决问题,学会构建方程解决问题．25．如图,已知,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A (﹣1,0).B (4,0)两点,过点A 的直线y=kx+k 与该抛物线交于点C ,点P 是该抛物线上不与A ,B 重合的动点,过点P 作PD ①x 轴于D ,交直线AC 于点E ．(1)求抛物线的解析式;(2)若k =-1,当PE =2DE 时,求点P 坐标;(3)当(2)中直线PD 为x =1时,是否存在实数k ,使①ADE 与①PCE 相似?若存在请求出k 的值;若不存在,请说明你的理由．【答案】(1)y=x 2-3x -4;(2)P 点坐标为(5,6)或(1,﹣6);(3)存在,当k =-2或-1时,①ADE 与①PCE 相似【解析】(1)将A.B 两点坐标代入函数解析式y=x 2+bx+c ,利用待定系数法求解.(2)设出P 点的坐标,则可以表示出E.D 的坐标,从而表示出PE 和ED 的长,由条件可得到关于P 点坐标的方程,则可求得P点的坐标;(3)①AED=①PEC,要使①ADE与①PCE相似,必有①EPC=①ADE=90°或①ECP=①ADE=90°,从而进行分类讨论求解.【详解】(1)①抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,①101640b cb c-+=⎧⎨++=⎩,解得34bc=-⎧⎨=-⎩,①抛物线解析式为y=x2-3x-4;(2)当k=-1时,直线AC的解析式为y=-x-1．设P(x,x2-3x-4),则E(x,-x-1),D(x,0),则PE=|x2-3x-4-(-x-1)|=|x2-2x-3|,DE=|x+1|,①PE=2ED,①|x2-2x-3|=2|x+1|,当x2-2x-3=2(x+1)时,解得x=-1或x=5,但当x=-1时,P与A重合不合题意,舍去,①P(5,6);当x2-2x-3=-2(x+1)时,解得x=-1或x=1,但当x=-1时,P与A重合不合题意,舍去,①P(1,-6);综上可知P点坐标为(5,6)或(1,﹣6);(3)存在．①①AED=①PEC,①要使①ADE与①PCE相似,必有①EPC=①ADE=90°或①ECP=①ADE=90°,CP x轴,①当①EPC=①ADE=90°时,如图,//①P(1,﹣6),根据对称性可得C(2,﹣6),将C(2,﹣6)代入AC解析式中,得2k+k=-6,解得,k=-2,①当①ECP=①ADE=90°时,如图,过C点作CF①PD于点F,则有①FCP=①PEC=①AED,则①PCF①①AED,①CF PF DE AD=,易得E(1,2k),①DE=-2k,由234y x xy kx k⎧=--⎨=+⎩得21405x x ky y k k=-=+⎧⎧⎨⎨==+⎩⎩或．①C(k+4,k2+5k),①F(1,k2+5k),①CF=k+3,FP=k2+5k+6,①235622k k kk+++=-,解得,k1=k2=-1,k3=-3(此时C与P重合,舍去)综上,当k=-2或-1时,①ADE与①PCE相似．【点睛】本题考查了抛物线和一次函数的综合问题,和相似三角形的判定,解题的关键在与设出P点的坐标,根据题意拿出坐标方程求解.。
2020届广东省中考模拟数学试题(三)有答案(加精)
广东中考模拟试题（三）一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1．函数y ＝x －2中自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥0 B．x≥－2 C ．x≥2 D．x≤－22．在平面直角坐标系中，点P （－20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则b a +的值为（ ） A ．33 B ．-33 C ．-7 D ．7 3．一次函数23y x =+的图象交y 轴于点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．（0，3） B ．（3，0） C ．（1，5） D ．（-1．5，0） 4．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( )． A ．（-1，2）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（-1，-2）5．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )． A ． ()231y x =+- B ．()233y x =++C ．()231y x =--D ．()233y x =-+ 6．下列函数中，图象经过原点的是( )A ．y ＝3xB ．y ＝1－2xC ．y ＝4xD ．y ＝x 2－17．如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2， 则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为( ) A ．－1 B ．－5 C ．－4 D ．－38．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．32 D ．529．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如下图所示，下列说法①0a >； ②0b >；③0c <；④240b ac ->，正确的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ．3 D ． 4二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分）11．函数1y =的自变量x 的取值范围是 ．12．已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m= 时，它是二次函数．13．设有反比例函数y ＝k －2x，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为其图象上两点，若x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则k 的取值范围 ．14．一次函数y= －4x+12的图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标是 ，图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ．15．如图，用20 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积 m 2．16．若关于x 的函数y ＝kx 2＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ． 三、解答题（一）（本题共3题，每小题6分，共18分）17．反比例函数y ＝kx的图象经过点A(2,3)．（1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．18．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。
2020年广东省高中毕业会考数学模拟试卷三及答案
第 1 页 共 5 页 2020年广东省高中毕业会考数学模拟试卷三
准考证号 姓名
一、选择题：(本大题共15小题，每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1. 若集合{}0,1,2,3,4=M ，{}3,4,5=N ，则下列结论正确的是 ( ).
A.⊆M N
B. ⊆N M
C. {}3,4=M N
D. {}0,1,2,5=M N
2. 函数()=f x 的定义域是 ( ). A. (,)-∞+∞ B. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 3,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
D. ()0,+∞ 3. 设向量(,4)=a
x ，(2,3)=-b ， 若2∙=a b 则 =x ( ).
A. 5-
B. 2-
C. 2
D. 7
4. 样本5,4,6,7,3的平均数和标准差分别为 ( ).
A. 5和2
B. 5
C. 6和3
D. 65. 设()f x 是定义在上的奇函数，已知当0≥x 时，23()4=-f x x x ，则(1)-=f （ ）
. A. 5- B. 3- C. 3 D. 5
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，如果θ的终边与单位圆的
交点为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
P ，则下列等式正确的是 ( ). A. 3sin 5θ= B. 4cos 5θ=- C. 4tan 3θ=- D. 3tan 4θ=-
7. “4>x ”，是“(1)(4)0-->x x ”的 ( ).
A. 必要非充分条件
B. 充分非必要条件。
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2020年广东省普通高中学业水平考试
数学模拟仿真卷（3）
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．）
1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则()U A B =ð（ ） A ．{1，3，4} B ．{3，4} C ．{3} D ．{4} 2．函数()2log 3y x =-的定义域为（ ）
A ．[3，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．（﹣∞，﹣3）
D ．R 3．设i 为虚数单位，则复数
512i
i
-等于（ ） A ．2﹣i B ．1﹣2i C ．﹣2+i D ．﹣1+2i 4．设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“x 2﹣x ﹣2＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +4＝0垂直，则直线l 的方程是（ ） A ．2x ﹣3y +5＝0 B ．2x ﹣3y +8＝0 C ．3x +2y ﹣1＝0 D ．3x +2y +7＝0 6．已知抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），则抛物线的标准方程为（ ） A ．x 2＝4y B ．x 2＝﹣4y C ．y 2＝4x D ．y 2＝﹣4x 7．已知向量a =（2，﹣2），b =（2，﹣1），则a b +=（ ）
A ．1
B
C ．5
D ．25 8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （﹣1，1），则（ ）
A ．sin α＝1
B ．tan α＝﹣1
C ．cos 2α=
D ．sin 2
α=- 9．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是（ ）
A ．lg lg lg
y y x x -= B ．ln lg ln10
x x = C ．3lg 3lg x x = D ．()lg lg lg x y x y +=+
10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n +1＝a n +4（n ∈N *），则{a n }的前5项和S 5＝（ ） A ．15 B ．28 C ．45 D ．66
11．已知变量x ，y 满足约束条件1
110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，则z ＝x ﹣2y 的最小值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣5
C ．1
D ．3 12．已知两点P （4，0），Q （0，2），则以线段PQ 为直径的圆的标准方程是（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝10 C ．（x +2）2+（y +1）2＝5
D ．（x +2）2+（y +1）2＝10
13．若x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则11
x y
+的最小值为（ ）
A
．2+ B ．4 C ．2 D ．
32
14．已知()f x 是奇函数，且当()0,x ∈+∞时，()()1f x x x =+，则当(),0x ∈-∞时，
()f x =（ ）
A ．()1x x -
B ．()1x x -+
C ．()1x x +
D ．()1x x -- 15．已知样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为2，方差为5，则2x 1+1，2x 2+1，…，2x n +1的平均数和方差分别为（ ）
A ．4和10
B ．5和11
C ．5和21
D ．5和20 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 16．已知0x >，且1，x ，9成等比数列，则x ＝ ．
17．函数()sin cos cos sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 ．
18．从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ．
19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为1
2
，两个焦点F1和F2在y轴上，P为该
椭圆上的任意一点，若△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程为．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
20．（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin2A+sin2B﹣sin2C＝sin A sin B．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为c＝ABC的周长．
21．（本小题满分12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB＝BD＝CD＝1，AD＝BC＝
，AC
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．
2020年广东省普通高中学业水平考试 数学模拟仿真卷（1）参考答案
一、选择题：
16．3 17．π 18．1
3
19．2211612y x +=
三、解答题：
20．解：（1）由sin 2A +sin 2B ﹣sin 2C ＝sin A sin B 及正弦定理得 a 2+b 2﹣c 2＝ab ，…………………2分
由余弦定理得2221
cos C 22
a b c ab +-=
=，…………………4分 ∵()C 0,π∈，∴C 3
π
=．…………………6分 （2）由（1）知C 3
π
=，
∴1sin C 2S ab =
== ∴ab ＝8，……………8分
由余弦定理得()2
222222cosC 312c a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-=，………10分 ∴（a +b ）2＝36，∴a +b ＝6，…………………11分
∴△ABC 周长为6+．…………………12分
21．证明：（1）∵AD ，CD ＝1，AC ， ∴AD 2+CD 2＝AC 2，
∴CD ⊥AD ．…………………2分
∵BD ＝CD ＝1，BC ，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴CD⊥BD，…………………4分
又∵AD⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD．…………………6分
（2）∵M是AD中点，S
△ABM ＝
1
2
S△ABD＝
111
D
224
⨯⨯AB⨯B=．…………………8分
∴三棱锥A﹣MBC的体积V＝1
3
S△ABM ⨯CD＝
111
1
3412
⨯⨯=．…………………12分。