学案28 导数的计算(3)
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
高中数学导数的运算教案
高中数学导数的运算教案一、知识点概述导数是描述函数在某一点上变化率的量，也可以理解为切线的斜率。
在高中数学中，我们主要学习一阶导数的计算和运用。
本节课的知识点包括：1. 导数的定义和性质2. 函数的导数运算法则3. 求导数的方法和技巧4. 导数的应用二、教学目标1. 了解导数的定义和性质，能够正确应用导数运算法则计算函数的导数2. 熟练掌握求导数的方法和技巧，能够独立完成导数计算题目3. 能够灵活运用导数解决实际问题三、教学过程1. 导入通过引导学生回顾函数的概念和图像，引出函数的变化率和导数的概念。
2. 导数的定义和性质- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$- 导数的性质：导数的性质包括线性性质、求和、乘积和商的导数法则等。
3. 函数的导数运算法则- 常数函数导数法则：$$(c)' = 0$$- 幂函数导数法则：$$(x^n)' = nx^{n-1}$$- 指数函数导数法则：$$(a^x)' = a^x \ln a$$- 对数函数导数法则：$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$4. 求导数的方法和技巧- 利用导数定义和性质进行导数计算- 使用导数运算法则简化导数计算过程- 注意特殊函数的导数计算方法5. 导数的应用- 导数在函数的极值问题中的应用- 导数在函数的图像研究中的应用- 导数在实际问题中的应用6. 拓展练习设计一些综合性的导数计算题目，让学生灵活应用所学知识进行解答。
7. 练习与总结布置一定数量的导数计算题目，学生在课后完成并批改。
总结本节课的重点知识，巩固所学内容。
四、评价方式通过课堂练习和课后作业检查学生对导数的理解和掌握程度，评价学生的学习效果。
可以采用量化评价和质性评价相结合的方式进行评价。
导数的计算教案
导数的计算教案教案：导数的计算方法1. 理解导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数可以帮助我们研究函数在不同点的性质和变化趋势。
2. 基本函数的导数计算2.1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有d/dx(c) = 0。
2.2. 幂函数的导数计算：对于函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
2.3. 指数函数的导数计算：对于函数f(x) = a^x，其中a是正实数，其导数为d/dx(a^x) = a^x * ln(a)。
3. 基本运算法则3.1. 常数乘以函数的导数：若K是常数且f(x)是可导函数，则Kf(x)的导数为d/dx(Kf(x)) = K * (d/dx)f(x)。
3.2. 函数之和的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) + g(x))的导数为d/dx(f(x) + g(x)) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)。
3.3. 函数之差的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) - g(x))的导数为d/dx(f(x) - g(x)) = (d/dx)f(x) - (d/dx)g(x)。
3.4. 函数乘积的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) * g(x))的导数为d/dx(f(x) * g(x)) = f(x) * (d/dx)g(x) + g(x) * (d/dx)f(x)。
3.5. 函数商的导数：若f(x)和g(x)是可导函数且g(x)不为0，则(f(x) / g(x))的导数为d/dx(f(x) / g(x)) = ((d/dx)f(x) * g(x) - f(x) * (d/dx)g(x)) / (g(x))^2。
4. 复合函数的导数若y = f(g(x))是由两个可导函数复合而成的函数，则y' =(d/dx)f(g(x)) * (d/dx)g(x)。
3.2导数的计算 导学案和作业
3.3计算导数教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。
（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y =c 、y =x 、2y =x 、1y =x的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y =c 、y =x 、2y =x 、1y =x的导数公式及应用 教学过程：一、复习回顾：1．求f(x)在x 0处的导数的步骤为： 1）求增量：Δy=f(x+Δx)-f(x) 2)算比值：Δy f(x +Δx)-f(x)=Δx Δx3）求极限：y ’=Δx →0ΔylimΔx2．导数的几何意义。
二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率．那么，对于函数y =f(x)，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，用常用的函数的导函数计算导数． 三．新课探究：1．函数y =f(x)=c 的导数根据导数定义，因为Δy f(x +Δx)-f(x)c -c===0Δx Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δyy =lim=lim 0=0'y =0表示函数y 0．2．函数y =f(x)=x 的导数因为Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x===1Δx Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δyy =lim=lim 1=1Δx'y =1表示函数y 1． 3．函数2y =f(x)=x 的导数因为22Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x ==Δx Δx Δx222x +2x Δx +(Δx)-x ==2x +Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δy y =lim =lim(2x +Δx)=2x'y =2x 表示函数y =x 图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x <0时，随着x 的增加，函数2y =x 减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，函数2y =x 增加得越来越快．4．函数1y =f(x)=x的导数因为11-Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx x==Δx Δx Δx2x -(x +Δx)1==-x(x +Δx)Δx x +x Δx 所以'22Δx →0Δx →0Δy 11y =lim =lim(-)=-5．函数y =因为Δy f(x +Δx)-f(x)==Δx Δx Δx=(x +Δx)-x=所以'Δx →0Δx →0Δy 11y =lim =lim =Δx（2）推广：若ny =f(x)=x (n ∈R)，则'n-1f (x)=nx例1（06安微文）若曲线4y =x 的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为（A ）A ．4x -y -3=0B ．x +4y -5=0C ．4x -y +3=0D ．x +4y +3=0例2：（1）求曲线y=f(x)=1x 在点（1，1）年的切线方程。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
导数运算的教案
导数运算的教案教案标题：导数运算的教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 能够应用导数运算解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数运算的基本规则。
3. 应用导数运算解决实际问题。
教学难点：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握导数运算的基本规则和方法。
3. 运用导数解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、白板、书写工具等。
2. 学生准备：教材、笔记本、铅笔、计算器等。
教学过程：Step 1: 导入导数的概念（15分钟）1. 教师向学生介绍导数的概念，解释导数在数学中的重要性和应用领域。
2. 通过具体例子引导学生思考导数的意义，并与实际问题联系起来。
Step 2: 导数的定义和计算方法（30分钟）1. 教师介绍导数的定义，即函数在某一点的切线斜率。
2. 通过图示和实例演示导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数的两种方法。
3. 强调导数的符号表示和几何意义。
Step 3: 导数运算的基本规则（30分钟）1. 教师向学生介绍导数运算的基本规则，包括常数倍规则、和差规则、乘积规则和商规则。
2. 通过具体例子演示每个规则的应用和计算步骤。
3. 强调规则的正确使用和注意事项。
Step 4: 应用导数运算解决实际问题（30分钟）1. 教师提供一些实际问题，如最值问题、曲线的切线问题等，引导学生运用导数运算解决问题。
2. 学生进行个人或小组练习，并在黑板上展示解题过程和答案。
3. 教师进行点评和总结，强调导数运算在解决实际问题中的应用。
Step 5: 总结与拓展（15分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调导数运算的重要性和应用。
2. 提供一些拓展问题，让学生继续巩固和拓展所学内容。
3. 鼓励学生积极参与讨论和思考，激发他们对数学的兴趣和求知欲。
教学评估：1. 教师通过课堂练习和黑板展示学生的解题过程和答案，对学生的掌握情况进行评估。
《导数的应用》学案
(1)能根据导数定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)掌握常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式．学习过程：一 知识梳理：1．几种常见函数的导数: (1) C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)；(3)(sinx)′＝ (4)(cosx)′＝ ；(5)(e x )′＝ ； (6)(a x )′＝ (a>0且a ≠1)；(7)(lnx)′＝ ； (8)(log a x)′＝ (a>0且a≠1)．2．导数运算法则:(1)[f(x)±g(x)]′＝ ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3)[f(x)g(x)]′＝ ． 注：（特别是商的求导法则，求导过程中符号易判断不清，导致错误．）3．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导数的基本步骤：(1)分析函数y ＝f (x )的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．二．问题探究：1.求下列函数的导数：(1)522123+--=x x x y x x y ln 2)2(2-= (3) x x y 23log += （4）xx y sin cos = (5) x x x y sin cos -= （6）x x y sin 4cos 3-=2．已知f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于 。
3．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x ＋x 2，且2)(0'=x f .则0x ＝________.4.已知函数x x y ln =，求这个函数的图像在点x=1处的切线方程。
5．已知点P 和点Q 是曲线322--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q的横坐标是4；求：①割线PQ 的斜率，②点P 处的切线方程。
导数的计算教案
导数的计算教案(二)教学目标:1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数的导数3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 重点:1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.2.掌握几种常见函数的导数公式.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算. 难点: 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 教学过程创设情景、引入课题 问题1：复习导数定义 新课:1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx Δy＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx Δy＝.(2).函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(3)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(4).曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(5)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝为f (x )的导函数．(6)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝xln a 1f (x )＝ln xf ′(x )＝x 13.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)x 1′＝－x21；(2)(ln|x |)′＝x 1； (3)(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．例1.求下列函数的导数：(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . 解: (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x ′e x －x e x ′e x2＝e x －x e x e 2x＝1－xe x.练习:课本小结: 于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 作业:蓝本。
导数计算导学案
3.2 《导数的计算》导学案编写人 审核人： 编写时间：2014.3.1班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________【学习目标】(1）、能用导数的定义求五个函数的导数，并理解导数不同方面（几何、物理方面）的意义；(2)、熟记基本初等函数的导数公式和导数运算法则并能利用其求简单函数的导数； (3)、学会求函数在某点或过某点的切线方程【学习重难点】重点：会利用定义计算5个函数的导数，感受根据导数定义求导数这种基本方法，并能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. 难点：与导数有关的切线方程的应用。
【学法指导】1，熟读课本81到85页，认真完成导学案 2，注意双色笔的使用【知识链接】1、利用导数的定义求五个函数y=c （常数）, y=x, y=2x , y=x1，x y =的导数。
2.根据定义求函数的导数实际上最终归结为求极限.具体步骤是 (1)计算y ∆,并化简y x∆∆； (2)观察当x ∆趋近于0时,yx∆∆趋近于哪个定值(3)y x∆∆趋近于的定值就是函数的导数. 【基础预习】新知1、基本初等函数的导数公式（熟记）____='C （C 为常数）;_______)(='x a ___________)(='x e ；______)(log ='x a =')(ln x _________；)('αx =_____________ ； )(sin 'α=____________ =')(cos α________ .新知2、导数运算法则（熟记） []='±)()(x g x f[]=')()(x g x f ______________________ []=')(x Cf ______________='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f __________________________ 注：教材直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数的定义推导这些公式和法则，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可。
高中数学同步学案 导数的运算
3．2导数的运算[读教材·填要点]1．一些基本的初等函数导数公式表原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x α(α≠0)f′(x)＝αxα－1(α≠0)f(x)＝e xf′(x)＝e xf(x)＝a x f′(x)＝a xln a(a>0,a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1x(x>0)f(x)＝log a x f′(x)＝1xln a(a ＞0,a≠1,x>0)f(x)＝sin x f′(x )＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝tan xf′(x)＝1cos 2x2．导数的运算法则 (1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (x )′＝－f′(x )(f (x ))2(f(x)≠0)；(5)⎝⎛⎭⎪⎫g (x )f (x )′＝f (x )g′(x )－g (x )f′(x )[f (x )]2(f(x)≠0)．[小问题·大思维]1．函数f(x)＝ln x 与f(x)＝log a x 、f(x)＝e x与f(x)＝a x的导数公式之间各有什么内在联系？ 提示：f(x)＝ln x 的导数是函数f(x)＝log a x 的导数的特例；f(x)＝e x的导数是函数f(x)＝a x的导数的特例,即a ＝e 时,函数f(x)＝log a x 的导数就是f(x)＝ln x 的导数,函数f(x)＝a x的导数就是f(x)＝e x的导数．2．下列关系式成立吗？(1)(af(x)＋bg(x))′＝af′(x)＋bg′(x),其中a,b 为常数； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1f (x )′＝－f′(x )(f (x ))2(f(x)≠0)；(3)(u(x)±v(x)±…±w(x))′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 提示：由导数的运算法则知,这三个关系式都成立．求函数的导数求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝3x 2＋xcos x ； (3)y ＝lg x －1x 2；(4)y ＝x －1x ＋1；(5)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．[自主解答] (1)y′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x. (2)y′＝(3x 2＋xcos x)′ ＝(3x 2)′＋(xcos x)′ ＝6x ＋cos x －sin x·x.(3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′ ＝1xln 10＋2x3. (4)法一：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1.∴y′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.(5)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6,∴y′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量．1．求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x·ln x；(3)y ＝exsin x.解：(1)y′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x)′－(2x 2)′＝cos x －4x. (2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′ ＝－sin x·ln x＋cos xx.(3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x－e x·(sin x )′sin 2x＝e x·sin x－e x·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x .与切线有关的综合问题(1)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c,其中a ＞0,曲线y ＝f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y＝1,则b ＝________,c ＝________.(2)若曲线y ＝xln x 上在点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0,则点P 的坐标是________． [自主解答] (1)由题意得f′(x)＝x 2－ax ＋b,由切点P(0,f(0))既在曲线f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f′(0)＝0，f (0)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a·0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b·0＋c ＝1，解得b ＝0,c ＝1.(2)设P(x 0,y 0),∵y ＝xln x, ∴y′＝ln x ＋x·1x＝1＋ln x.∴k ＝1＋ln x 0,又k ＝2,∴1＋ln x 0＝2,∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e,∴点P 的坐标是(e,e)． [答案] (1)0 1 (2)(e,e)试求本例(2)中过曲线y ＝xln x 上一点与直线y ＝－x 平行的切线方程． 解：设切点为(x 1,y 1),因为y′＝ln x ＋1, 所以切线的斜率为k ＝ln x 1＋1, 又k ＝－1,得x 1＝1e 2,y 1＝－2e2,故所求的切线方程为y ＋2e 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1e 2,即e 2x ＋e 2y ＋1＝0.关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标．总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．2．偶函数f(x)＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1),且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2,求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e ＝1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x)．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e. ∴b ＝0,d ＝0.∴f(x)＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2, ∴切点为(1,－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f′(1)＝4a ＋2c,∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52,c ＝－92.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝52x 4－92x 2＋1.已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的AOB 上求一点P,使△ABP 的面积最大．[解] 法一：因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大,只要点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点即可,设P(x,y)．由图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y ＝－2x,所以y′＝－1x.因为k AB ＝－12,所以－1x＝－12,x ＝4.由y 2＝4x(y<0),得y ＝－4, 所以P(4,－4)．法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0,因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要使点P 到直线AB ：x ＋2y －4＝0的距离最大即可,设点P 到直线AB 的距离为d,则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14y 20＋2y 0－45＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪14(y 0＋4)2－8 ,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋2y －4＝0，消去x,得y 2＋8y －16＝0, 故y 0∈(－4－42,42－4)． 当y 0＝－4时,d 最大, 此时△PAB 的面积最大, 所以P 点坐标为(4,－4)．1．函数y ＝x(x 2＋1)的导数是( ) A ．x 2＋1 B ．3x 2C ．3x 2＋1D ．3x 2＋x解析：y ＝x(x 2＋1)＝x 3＋x,∴y′＝(x 3＋x)′＝(x 3)′＋x′＝3x 2＋1.答案：C2．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝4,则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4解析：∵f(x)＝x α,∴f(x)′＝αx α－1,∴α(－1)α－1＝4,∴α＝－4.答案：D3．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析：依题意得,y′＝－3x 2＋6x,y′|x=1＝－3×12＋6×1＝3,即所求切线的斜率等于3,故所求直线的方程是y －2＝3(x －1),整理得y ＝3x －1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x －1x 2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x=1＝2×1－112＝1,所以切线方程为y －2＝x －1,即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝05．设f(x)＝ax 2－bsin x,且f′(0)＝1,f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12,则a ＝________,b ＝________.解析：∵f′(x)＝2ax －bcos x, f′(0)＝－b ＝1得b ＝－1, f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23πa＋12＝12,得a ＝0.答案：0 －16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点P(1,1),且在点Q(2,－1)处与直线y ＝x －3相切,求实数a,b,c 的值．解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点P(1,1), ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y′＝2ax ＋b,∴y′|x=2＝4a ＋b ＝1.② 又曲线过点Q(2,－1),∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③,解得a ＝3,b ＝－11,c ＝9.A 卷一、选择题1．若y ＝2x 3＋3x ＋cos x,则y′等于( ) A ．6x 2＋x －23 －sin x B ．2x 2＋13x －23 －sin xC ．6x 2＋13x －23 ＋sin xD ．6x 2＋13x －23 －sin x解析：y′＝(2x 3)′＋(3x )′＋(cos x)′ ＝6x 2＋13x －23 －sin x.答案：D2．设f(x)＝xln x,若f′(x 0)＝2,则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：因为f′(x)＝(xln x)′＝ln x ＋1,所以f′(x 0)＝ln x 0＋1＝2,所以ln x 0＝1,即x 0＝e. 答案：B3．若f(x)＝x 2－2x －4ln x,则f′(x)＞0的解集为( ) A ．(0,＋∞) B ．(－1,0)∪(2,＋∞) C ．(2,＋∞)D ．(－1,0)解析：∵f(x)＝x 2－2x －4ln x, ∴f′(x)＝2x －2－4x＞0,整理得(x ＋1)(x －2)x ＞0,解得－1＜x ＜0或x ＞2,又因为f(x)的定义域为(0,＋∞),所以x ＞2. 答案：C4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2,则f′(－1)＝________. 解析：由f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 得f′(x)＝4ax 3＋2bx, 又f′(1)＝2,所以4a ＋2b ＝2,所以f′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b)＝－2. 答案：－26．已知函数f(x)＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a ＝________. 解析：∵f′(x)＝3ax 2＋1, ∴f′(1)＝3a ＋1. 又f(1)＝a ＋2,∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7),∴7－(a ＋2)＝3a ＋1,解得a ＝1. 答案：17．已知函数f(x)＝x 2·f′(2)＋5x,则f′(2)＝________. 解析：f′(x)＝2x·f′(2)＋5, ∴f′(2)＝4f′(2)＋5. ∴f′(2)＝－53.答案：－538．若曲线f(x)＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3ax 2＋1x ,∵f(x)存在垂直于y 轴的切线, ∴f′(x)＝0有解,即3ax 2＋1x ＝0有解．∴3a ＝－1x 3.而x>0,∴a ∈(－∞,0)．答案：(－∞,0) 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝(1＋sin x)(1－2x)；(3)y ＝sin x －cos x 2cos x.解：(1)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 2′＝3x 2－2x 3.(2)y′＝[(1＋sin x)(1－2x)]′＝(1＋sin x)′(1－2x)＋(1＋sin x)(1－2x)′ ＝cos x(1－2x)＋(1＋sin x)(－2) ＝－2sin x －2xcos x ＋cos x －2. (3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝(sin x －cos x )′·2cos x－(sin x －cos x )·(2cos x )′4cos 2x ＝(cos x ＋sin x )·2cos x＋(sin x －cos x )·2sin x4cos 2x ＝24cos 2x ＝12cos 2x. 10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1,l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 解：(1)y′＝2x ＋1. 直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B(b,b 2＋b －2), 则直线l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 因为l 1⊥l 2,则有2b ＋1＝－13,b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.l 1,l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0. 所以所求三角形的面积 S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512. B 卷一、选择题1．函数y ＝sin x(cos x ＋1)的导数是( ) A ．cos 2x －cos x B ．cos 2x ＋sin x C ．cos 2x ＋cos xD ．cos 2x ＋cos x解析：y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x ＋1)′ ＝cos x(cos x ＋1)＋sin x(－sin x) ＝cos 2x ＋cos x,故选C. 答案：C2．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f′(x)＝a xln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3, 故f′(－1)＝ln 33.答案：C3．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4 B ．2 C ．16D ．8解析：∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.答案：A4．若y ＝x 2·4x,则y′＝( ) A ．x 2·4x＋2xB ．(2x ＋x 2)·4xC ．(2x ＋x 2ln 4)·4xD ．(x ＋x 2)·4x解析：y′＝(x 2)′·4x ＋x 2(4x )′ ＝2x·4x ＋x 2·4x ln 4＝(2x ＋x 2ln 4)·4x,故选C.答案：C5．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( ) A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1) 解析：因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1, 即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1, 则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)．答案：D6．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 解析：因为点(1,－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上,所以该点处切线的斜率为k ＝y′|x=1＝(3x 2－6x)|x=1＝3－6＝－3,∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1),即y ＝－3x ＋2.答案：B二、填空题7．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________.解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x, 所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1. 答案：1 8．已知函数f(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x, ∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22,得f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：19．已知a ∈R,设函数f(x)＝ax －ln x 的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a －1x,所以f′(1)＝a －1,又f(1)＝a,所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：1三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝x 2sin x ； (4)y ＝x ＋3x 2＋3. 解：(1)y′＝(x －ln x)′＝(x )′－(ln x)′＝12x －1x . (2)y′＝[(x 2＋1)(x －1)]′＝(x 3－x 2＋x －1)′＝(x 3)′－(x 2)′＋(x)′－(1)′＝3x 2－2x ＋1.(3)y′＝(x 2)′·sin x－x 2·(sin x )′sin 2x ＝2xsin x －x 2cos x sin 2x. (4)y ′＝1·(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. 11．已知函数f(x)＝x,g(x)＝aln x,a ∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相交且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程． 解：f′(x)＝12x ,g′(x)＝a x (x ＞0), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝aln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2,x ＝e 2, 所以两条曲线交点的坐标为(e 2,e)． 切线的斜率为k ＝f′(e 2)＝12e, 所以切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2), 即x －2ey ＋e 2＝0.12．设函数f(x)＝ax ＋1x ＋b(a,b ∈Z)在点(2,f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y ＝f(x)在点(3,f(3))处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积． 解：(1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2, 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a,b ∈Z,故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，即f(x)＝x ＋1x －1. (2)由(1)知当x ＝3时,f(3)＝72, f′(x)＝1－1(x －1)2,f′(3)＝1－1(3－1)2＝34, 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72的切线方程为y －72＝34(x －3), 即3x －4y ＋5＝0.切线与直线x ＝1的交点为(1,2),切线与直线y ＝x 的交点为(5,5),直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12×|5－1|×|2－1|＝2.。
导数复习-导数单元复习归纳-导数题型-知识点总结
学案26 导数复习课一、 导数的几何意义导数的几何意义： .习题1：函数)(x f y =的图像在点(5,(5))f 处的切线方程是,8+-=x y则(5)(5)f f '+=____________.习题2：曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为 .习题3：过抛物线2y x =上点11(,)24M 的切线的倾斜角为 .二、常见函数的导数及导数的四则运算常见函数的导数：____________()()_____________,()(sin )____________, (cos )_____________,()_____________, ()_____________,(log )_____________ (ln )____x x a C C x x x a e x x αα''==''==''==''==为常数，为常数，_________.导数的运算法则：如果(),()f x g x 有导数，那么（1）[()()]_______________________f x g x '+=，（2）[()()]______________________f x g x '-=，（3）[()] Cf x '=（C 为常数），（4）[()()]____________________________f x g x '=，（5）()[]___________________(()0)()f xg x g x '=≠ 习题4：函数)23)(32(2-+=x x y 的导数为______________________.习题5：函数sin x y x=的导数为______________________. 习题6：32()32,f x ax x =++若(1)4f '-=，则 .a =※习题7：已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=三、导数与函数的单调性()()0()0y f x f x f x ='>'<一般地，设函数在某个区间内可导，如果在该区间上，则函数在该区间上为_____函数；如果在该区间上，则函数在该区间上为_____函数.习题8、函数3yx x 的递增区间是 .习题9、函数3255yx x x 在122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 的递减区间是 .习题10、根据导函数()f x '的下列信息，试画出函数()f x 图象的大致形状 当14x <<时，()0;f x '>当4x >或1x <时，()0;f x '<；当4x =或1x =时，()0;f x '=.四、导数与函数的极值和最值1、求可导函数()f x 极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x ；(2)求方程/()f x =0的根；(3)列表，判定符号.2、求)(x f 在[]b a ,上的最值的步骤如下：(1)求)(x f 在(,)a b 内的极值；(2)将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 习题11、函数3242y x x x =--的极大值点为_________，极大值为_________；极小值点为_______，极小值为_______.习题12、函数18)(24+-=x x x f 在区间[3,1]-上的最大值是_____________最小值是_____________.习题13、已知函数42)(23-++=bx x ax x f 在1-=x 时有极大值.4-求)(x f y =的解析式并求出单调区间.课后作业：1、（07全国）已知曲线的24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 .2、曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .3、函数22234y x x =--（）（）的导数为 .4、函数42335x x y x--=+3的导数为 .5、下列说法正确的是：（ ）A 、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B 、极大值、极小值只能各有一个C 、对于32()21f x x px x =+++，若26p <，则()f x 无极值D 、()f x 在0x 取得极大值，则()f x 在定义域内是先增后减的函数.6、已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为 .7、已知函数53()1f x x ax bx =+++，在1x =和2x =处取得极值， ,a = .b =8、已知函数11232)(23++--=x x x x f 在区间[]1,m 上的最小值为－17,则 m 的值为 .9、若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是 .10、已知函数32()f x x bx ax d 的图象过点(0,2)p ，且在点(1,(1))M f --的切线方程为670x y -+=①求函数()y f x =的解析式； ②求函数()y f x =的单调区间.11、求曲线212ln ,[,1]4y x x x =+∈的切线中，斜率最小的切线在y 轴上的截距.12、设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，①求,,a b c 的值；②求函数的递减区间．。
高中数学导数运算教案
高中数学导数运算教案
一、概述
本节课将介绍导数的概念和导数的运算法则，帮助学生掌握导数的基本理论和计算技巧。
二、教学目标
1. 了解导数的定义；
2. 掌握导数的常见运算法则；
3. 能够运用导数计算函数的导数。
三、教学内容
1. 导数的定义；
2. 导数的四则运算法则；
3. 导数的基本计算方法。
四、教学过程
1. 导数的定义
- 引导学生回顾函数的定义并介绍导数的概念；
- 解释导数的物理意义，即函数在某点的导数表示函数在该点的变化率。
2. 导数的四则运算法则
- 分别介绍导数的四则运算法则，包括常数倍法则、和差法则、积法则和商法则；
- 在例题中演示如何运用四则运算法则计算导数。
3. 导数的基本计算方法
- 通过练习题让学生掌握导数的基本计算方法；
- 强调导数计算中的小技巧和注意事项。
五、教学互动
1. 利用课堂练习巩固学生对导数概念和运算法则的理解；
2. 带领学生讨论导数在实际问题中的应用，并引导学生思考如何运用导数解决实际问题。
六、作业布置
1. 完成课后练习题，巩固导数的基本概念；
2. 提出导数应用题，让学生运用导数计算方法解决实际问题。
七、教学反思
1. 总结学生在学习导数过程中的困难和问题；
2. 收集学生的反馈意见，不断改进教学方法和内容。
八、教学评价
1. 通过作业和课堂练习检查学生对导数的掌握情况；
2. 根据学生的表现评估教学效果并调整下节课的教学计划。
以上为高中数学导数运算教案范本，希朥对您有所帮助。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学案
§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案--预习目标1.娴熟驾驭基本初等函数的导数公式；2.驾驭导数的四则运算法则；3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数二.预习内容1.基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]=2.[f(x)∙g(x)]=3-g(x).(2)推论：[cf(x)]=(常数与函数的积的导数，等于：)Ξ.提出怀疑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些怀疑，请把它填在下面的表格中怀疑点 怀疑内容课内探究学案学习目标1 .娴熟驾驭基本初等函数.的导数公式；2 .驾驭导数的四则运算法则；3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简洁函数的导数二.学习过程 （一【复习回顾】复习五种常见函数y=c 、y=x 、y=f 、＞=2_、y的导数公式填写下表X（二）。
【提出问题，展示目标】y=f(χ)=e xy=e x函数导数1y=-Xy=4χ我们知道，函数y=/（x ）二∈。
"）的导数为.V =心"7,以后望见这种函数就可以干脆按公式去做，而不必用导致的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】1.（D分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数导数y=c y=oy=f(x)=x n (n 三Q^)y'=nx n ~l y=sinx y=COSx y=Cosx y=-sinx y=/U)=优y=a x Λna(a>0)(2)依据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数.(1)y=/与y=2*(2)y=3"与y=l0g3X2.(1)记忆导数的运算法则，比较积达则与商法则电相酶变回电_______________ 导数运算法则1.[f(x)±s(x)]=f(x)±g(x)2.[f(x)∙g(切'=f'(x)g(x)±f(x)gXx)3.[敛]=」一“)—乃加(X)(g(A Ao)_g*)」[g(x)]推论：[ςf(χ)]=ςf'(χ)(常数与函数的积的导数，等于：)提示:积法则,商法则，都是前导后不导，前不导后导，但积法则中间是加号，商法则中间是减号..(2)依据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.(1)y=x3-2x+3(2)y=xSinx；(3)y=(2x2-5x+l)∙eλ；(4)y=-：4【点评】①求导数是在定义域内实行的.②求较困难的函数积、商的导数，必需细心、耐性.(B).典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价〃(单位：元)与时间f(单位：年)有如下函数关系p(∕)=po(l+5%)',其中PO为，=0时的物价.假定某种商品,的Po=I,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0..01)?分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训I练1：假如上式中某种商品,的Po=5,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?例2日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯铮度为x%时所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时改变率：(1)90% (2)98%分析：净化费用的瞬时改变率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发觉？三.反思总结：(I)分四组写,出基本初等函数的导数公式表：(2)导数的运算法则：四.当堂检测1求下列函数的导数(1)y=Iog2X(2)y=2e x(3)y=2x3-3X2-4(4)y=3cosx-4sinx 2.求下列函数的导数In Y(1)y=x∖nx(2)y= ---------X。
高中数学选修《导数的计算》教案及例题
高中数学选修《导数的计算》教案及例题高中数学选修《导数的计算》教案及例题学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。
为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
下面和一起看看有关高中数学选修《导数的计算》教案及例题。
1.能根据定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.【学法指导】1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣.2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中ln a的位置的不同等.1.几个常用函数的导数原函数导函数f（x）=c f （x）=f（x）=x f（x）=f（x）=x2 f（x）=f（x）=1xf（x）=f（x）=xf（x）=2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）=c f（x）=f（x）=x（Q*）f（x）=f（x）=sin x f（x）=f（x）=cos x f（x）=f（x）=ax f（x）= （a0）f（x）=ex f （x）=f（x）=logaxf（x）= （a0且a1）f（x）=ln x f（x）=探究点一几个常用函数的导数问题1 怎样利用定义求函数y=f（x）的导数?问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1）y=c （2）y=x （3）y=x2 （4）y=1x （5）y=x问题3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.（1）函数y =f（x）=c（常数）的导数的物理意义是什么?（2）函数y=f（x）=x的导数的物理意义呢?问题4 画出函数y=1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.探究点二基本初等函数的导数公式问题1 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题?问题2 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?例1 求下列函数的导数：（1）y=sin3；（2）y=5x；（3）y=1x3；（4）y=4x3；（5）y =log3x.跟踪1 求下列函数的导数：（1）y=x8；（2）y=（12）x；（3）y=xx；（4）y=例2 判断下列计算是否正确.求y=cos x在x=3处的导数，过程如下：y| = =-sin 3=-32.跟踪2 求函数f（x）=13x在x=1处的导数.探究点三导数公式的综合应用例3 已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大.跟踪3 点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.【达标检测】1.给出下列结论：①若y=1x3，则y=-3x4；②若y=3x，则y=133x；③若y=1x2，则y=-2x-3；④若f（x）=3x，则f（1）=3.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42.函数f（x）=x，则f（3）等于（）A.36B.0C.12xD.323.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A.[0，4][34，）B.[0，）C.[4，34]D.[0，4][2，34]4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.。
3.2导数的计算(教学设计)
3．2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（导学案）教学目标：知识与技能目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则过程与方法目标：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基 本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用学习过程：一．复习回顾，创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用二．师生互动，新课讲解（一）可以直接使用的基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三、公式的初步应用，求下列函数的导数和该点处的导数值 题型一 、题型二、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝x·sinx.． 四、课堂巩固练习：课本85P 练习2 习题3.2 A 组第4题五、建构总结1、熟记 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则2、会用简单函数的导数，会用导数法则求导六、课时作业15七、课后思考：如何求函数 )52sin(2+=x x y 的导数?)1(),(,ln )()7()3(),(,log )()6()0(),(,)()5()2(),(,2)(4)6(),(,cos )()3()3(),(,sin )()24(),(,)()1(23f x f x x f f x f x f f x f e x f f x f x f f x f x x f f x f x x f f x f x x f xx x ''=''=''=''=''=''=''=求、求、求、求）、（求、求、（）求、ππ。
导数的计算
）
y log a x a 0, a 1
D．不确定 ）
3．若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（ C． x 4 y 5 0
A． 4 x y 3 0 B． 4 x y 3 0 知识探究★规律总结 1 1 1.已知自由下落的物体的距离 s 是时间 t 的函数 s f (t ) gt 2 ， 取 g 10m / s 2 .求函数在 t 2 处 ★4.已知曲线 f ( x) x ， 2 （1）求曲线过点 A(1,0) 的切线方程； 的导数 f ( x), 并解释它的实际意义.
1 （2）求满足斜率为 的曲线的切线方程. 3
D． x 4 y 3 0
总结与反思：
y cc为常数
y sin x
y cos x
y tan x y cot x
1．函数 y 3 x 的导数为（ A． 3 x
1 B． x 3
）
1 2 C． x 3 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y x a a是实数
y a x a 0, a 1
1 2 D． x 3 3
2．已知 f x x a , 若f (1) 4 ，则 a 的值为（ A． 4 B． 4 C． 4
横山中学 2018 届
班级 姓名
数学 科选修 1-1 导学案（29）
时间 主备课人
1 课时
审核人
课题：3.3 导数的计算
审批人 2.求函数 y
100 的导函数 f ( x), 并利用 f ( x), 求 f (1), f (2), f (3). x
学习目标： 能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数 y f x 在 x0 处的导数 的方法与步骤. 学习重点：一般函数 y f x 在 x0 处的导数和利用导数公式求简单函数的导函数. 自学要求：仔细阅读课本 66-67 页的内容，自主完成学案中自主学习部分，思考交流知识探 究. 自主学习 1.如果函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f ( x) ： 即： 通常也简称为 2．几个常见函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 . 知识迁移★能力提升 则 f ( x) 是关于 x 的函数，称 f ( x) 为 f ( x) 的导函数，
计算导数教案
计算导数教案一、教学目标1.了解导数的概念及其意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的概念及其意义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
具体来说，如果函数f(x)在x=a处可导，那么它在该点处的导数f′(a)表示了函数在该点处的瞬时变化率，也就是函数曲线在该点处的切线斜率。
2. 导数的计算方法2.1 极限定义法导数最初是通过极限定义法来定义和计算的。
具体来说，如果函数f(x)在x=a处可导，那么它在该点处的导数f′(a)可以通过以下极限定义来计算：f′(a)=limℎ→0f(a+ℎ)−f(a)ℎ其中ℎ表示自变量x在a处的增量。
2.2 基本导数公式除了使用极限定义法计算导数外，我们还可以利用一些基本导数公式来简化计算。
下面是一些常用的基本导数公式：•常数函数的导数为0：(k)′=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•指数函数的导数：(e x)′=e x•对数函数的导数：(lnx)′=1x•三角函数的导数：(sinx)′=cosx(cosx)′=−sinx(tanx)′=sec2x(cotx)′=−csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=−cscxcotx2.3 导数的运算法则在计算导数时，我们还需要掌握一些导数的运算法则。
下面是一些常用的导数运算法则：•和差法则：(f±g)′=f′±g′•积法则：(fg)′=f′g+fg′•商法则：(fg )′=f′g−fg′g2•复合函数求导法则：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)3. 应用导数解决实际问题导数在实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：3.1 最值问题在求解最值问题时，我们需要先求出函数的导数，然后令导数等于0，解出函数的极值点，再通过比较函数在极值点和端点处的函数值来确定函数的最值。
3.2 曲线的凹凸性和拐点在研究曲线的凹凸性和拐点时，我们需要求出函数的二阶导数，然后根据二阶导数的正负性来判断曲线的凹凸性和拐点的位置。
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§1.2导数的计算（3）
班级 姓名 使用时间：2014.3.28
一．学习目标
1.掌握复合函数导数的求导法则；
2.能运用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数。
二．课前准备
1. 填空：='c ；)'(a x = )(Q a ∈；)'(sin x = ；=)'(cos x ； =)'(x a ；=)'(x e ；=)'(log x a ；=)'(ln x .
2. =±))'()((x g x f ；=⋅)]'()([x g x f ；
=]')
()([x g x f . 三．知识讲解
基本函数：由基本初等函数经过四则运算得到的函数.
问题1：在前面的学习中，我们已经知道了怎么求一个基本函数的导数，那么怎么求函数)2ln(+=x y 的导数呢？
例2、求下列函数的导数
（1）2)32(+=x y ；（2）)sin(ϕπ+=x y ；105.0+-=x e
y
例2、设函数)0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f ，且)(')(x f x f +为奇函数，求ϕ的值；
四．反思小结
1. 若)(),(x g u u f y ==，则y 关于x 的导数是='y .
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
五．课堂练习
1、求下列函数的导数：
（1）x e y -=（2）)32(log 22--=x x y ；（3）x x y 2
sin 2=；（4）x y -=1。