1.4复数域、实数域、有理系数多项式

第一章
多项式
引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 定理1.4.4： 一个整系数n（n>0）次多项式 f x 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
第一章
多项式
问题： C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项 式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上 不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判 别法回答了这个问题。 定理1.4.5（Eisenstein判别法）：
x 2
k2
x r
kr
其中 1 , , r 是不同的复数， k1 ,
k
i 1
r
, kr 是自然数且
i
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n.
多项式
第一章
二、实数域上的多项式 定理1.4.3 每个次数 1 的实系数多项式都可 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积。
第一章
多项式
有理系数多项式 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
是一个整系数多项式，若有理数 u v 是整系数 多项式 f x 的一个根，这里u，v是互素的整数， 则 ② v an , u a0
u ① f x x q x , q x Z x , v
第一章
多项式
4 3 2 f x 2 x 5 x 7 x 7 x 1 的有理根。 例1.4.3：求
第一章
多项式
推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式 都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多 项式。 推论2：任一个n（n>0）次多项式 f x 在 C x 上都能分解成一次因式的乘积，即
f x a0 a1x
an xn 的标准分解式是：
k1
f x an x 1
解：2的因数是1, 2, 1的因数是 1,
1 故 f x 可能的有理根只能是 1, 2 1 对1, 用综合除法逐一检验知：
f x 的有理根只能是 1 2 。
2
第一章
多项式
§1.4 复数域、实数域、 有理系数多项式
一、C上多项式 对于 F x 上的多项式 f x ，它在F上未必有根，
那么它在C上是否有根？ 定理1.4.1（代数基本定理）：
每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有 一个根。
定理1.4.2： 任何n（n>0）次多项式在C上有n个根（重根按 重数计算）。
设 f x a0 a1x 若存在素数p，使
an xn 是整系数多项式，
an ;
① p ③ p2
② p a0 , a1,
, an1,
则 f x 在Q上不可约。
第一章 多项式
a0 ,
由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约 多项式。
n x 例1.4.1： p 是Q上不可约多项式，p是素数。
解：取素数p即知。
6 3 f x x 10 x 2, 判断 例1.4.2：
g x 5x 6x 12x 6
4 3
在Q上是否可约？ 解：分别取p=2, p=3即知。
第一章
多项式
二、整系数多项式的有理根 定理1.4.6：设
f x an xn an1xn1 a0 ,