1.4复数域、实数域、有理系数多项式

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数域的包含关系

数域的包含关系数域的包含关系是数学中一个重要的概念。

数域是数学中的一个基本概念，是指由一组数构成的集合，包含了加法、减法、乘法和除法等运算，并满足一定的性质。

在数域的研究中，数域之间的包含关系是一个重要的研究方向。

我们需要明确什么是数域。

数域是满足一定性质的数的集合。

在数学中，常见的数域有有理数域、实数域和复数域等。

有理数域是由整数和分数构成的数的集合，实数域是由有理数和无理数构成的数的集合，而复数域是由实数和虚数构成的数的集合。

在数域的包含关系中，有理数域是实数域的子集，实数域是复数域的子集。

这是因为实数域包含了有理数域中的所有数，并且还包含了无理数，而复数域则包含了实数域中的所有数，并且还包含了虚数。

因此，我们可以得出有理数域包含于实数域，实数域包含于复数域的结论。

除了这些常见的数域之外，还存在着其他的数域，如有限域和无限域等。

有限域是指元素个数有限的数域，而无限域则是指元素个数无限的数域。

有限域的研究在密码学和编码理论等领域有着重要的应用。

在数域的研究中，还存在着一些重要的结论和定理。

例如，代数基本定理指出，任何一个非常数的单项式方程都至少有一个复数解。

这个定理在复数域中是成立的，但在实数域和有理数域中却不一定成立。

这个定理的证明需要使用到复数域的性质，因此也说明了复数域包含了实数域和有理数域。

除了数域之间的包含关系，还存在着数域之间的扩张关系。

数域的扩张是指将一个数域中的元素扩展到另一个数域中。

例如，将有理数域中的元素扩展到实数域中，或者将实数域中的元素扩展到复数域中。

数域的扩张是数学中一个重要的概念，它在代数学和数论等领域有着广泛的应用。

数域的包含关系是数学中一个重要的研究方向。

不同的数域之间存在着包含关系和扩张关系，这些关系对于数学的发展和应用起着重要的作用。

通过对数域的包含关系的研究，我们可以更好地理解数学中的各种数的集合，为其他数学理论的研究提供基础。

复数域与实数域上多项式的因式分解

其中an为f ( x)的首项系数, c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr 全是实数, l1 , , ls ,k1 , , kr是正整数,且pi2 4qi 0, i 1, 2, , r;l1 ls 2(k1 kr ) n ( f ( x)).
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
7
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因和都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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-多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分）在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n 的多项式的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。

大一下学期高等代数知识点

大一下学期高等代数知识点在大一下学期的高等代数课程中，我们将进一步学习和掌握一些高级的代数知识和技巧。

本文将介绍一些主要的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。

一、复数与复数域复数是由实数和虚数构成的数。

复数的表示形式为a+bi，其中a和b都是实数，i为虚数单位。

在高等代数中，我们将学习复数的运算法则，包括复数的加、减、乘、除等运算。

我们还将学习复数的共轭、模、辐角等概念，并了解复数在计算中的应用，如复数在电路分析中的使用等。

另外，我们还会学习复数域的概念。

复数域是由所有复数构成的集合，它是一个拓展了实数域的数域。

在复数域中，我们可以进行各种代数运算，并且可以解决一些实数域中无法解决的方程。

二、线性代数基础线性代数是代数学的一个重要分支，它研究的是线性方程组、向量空间、线性变换以及矩阵等概念和性质。

在线性代数基础知识中，我们将学习线性方程组的解法，包括高斯消元法、克拉默法则等。

我们还将学习向量的运算法则，包括向量的加、减、数量积和向量积等。

此外，我们还将学习矩阵的代数运算法则，包括矩阵的加、减、乘法以及矩阵的逆等。

通过学习线性代数基础，我们可以更好地理解和解决实际问题中的线性方程组和向量空间等数学模型。

三、线性空间与线性变换线性空间是线性代数中一个重要的概念，它是由一组向量构成的集合，并满足一定的线性性质。

在线性空间的学习中，我们将学习线性空间的定义和性质，如线性空间的加法和数量乘法运算的性质等。

另外，我们还会学习线性变换的概念和性质。

线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的变换，它是线性代数中的重要内容。

通过学习线性空间和线性变换，我们可以更好地理解和分析实际问题中的线性关系和线性变化。

四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的一个重要概念。

在矩阵的运算中，我们经常需要求解矩阵的特征值和特征向量，并利用它们来研究矩阵的性质和应用。

特征值和特征向量可以帮助我们了解矩阵的各种性质，比如矩阵的对角化、可逆性等。

复系数,实系数,有理系数多项式

问题不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？
即，是否可能有 f (x) ≠ g(x) ,
而对于 F 中所有的数 α 都有 f (α ) = g(α ) ？
由定理 4.2 不难对这个问题给出一个否定的回答.
定理4.3 如果多项式 f (x) , g(x) 的次数都不超过 n ，而它们
对 n + 1 个不同的数 α1 , α2 , … , αn+1 有相同的值，即
于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
定理 4.5 (复系数多项式因式分解定理)
每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
f ( x) = an ( x − α1 )l1 ( x − α2 )l2 "( x − α s )ls ,
证明用 x -α 去除 f (x) ，设商为 q(x) , 余式
为一常数 c ，于是 f (x) = ( x -α ) q(x) + c .
以 α 代 x ，得 f (α ) = c . 证毕
f (x) = ( x -α ) q(x) + f (α )
如果 f (x) 在 x = α 的函数值 f (α ) = 0，那么α 就称为
第四节复系数、实系数、有理系数多项式
一、多项式函数
在这一节，我们将从函数的观点来考察多项式.
设 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
(1)
是 F[x] 中的多项式，α 是 F 中的数，在 (1) 中用 α
代 x 所得的数 anα n + an-1α n-1 + … + a1α + a0 称为 f (x) 当 x = α 时的值，记为 f (α ) .

多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分）在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n 的多项式的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。

求函数定义域的几种类型

求函数定义域的几种类型函数定义域指函数在自变量上的取值范围。

根据函数定义的不同，可以分为以下几种类型的函数定义域。

1. 实数域：实数域是最常见的函数定义域类型，对于绝大多数函数，其定义域都是实数集（R）。

实数集包括所有的有理数和无理数。

例如，在函数y = sin(x)中，定义域是实数集。

2.闭区间：闭区间定义域是指定义域包含端点的区间，用[a,b]表示。

闭区间的端点可以是实数或无穷大。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间[-∞,0)∪(0,+∞]。

3.开区间：开区间定义域是指定义域不包含端点的区间，用(a,b)表示。

例如，在函数y=√x中，定义域可以是区间(0,+∞)。

4.半开半闭区间：半开半闭区间定义域是指定义域只包含一个端点的区间。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间(-∞,0]∪(0,+∞)。

5.单个点：有些函数的定义域只包含一个点，用{x}表示。

例如，在函数y=1/x中，定义域可以是{x，x=1}。

6.开放区域：开放区域定义域是指定义域是一个开放集。

开放集是指不包含边界的区域。

例如，在函数y=e^x中，定义域是开放区域R。

7.中心对称区域：中心对称区域定义域是指定义域关于其中一点对称。

例如，在函数y=√(x^2-1)中，定义域可以是(-∞,-1]∪[1,+∞)；定义域关于x=0对称。

8. 关于x轴对称区域：关于x轴对称区域定义域是指定义域关于x 轴对称。

例如，在函数y = sin(x)中，定义域是全体实数，关于x轴对称。

9.关于y轴对称区域：关于y轴对称区域定义域是指定义域关于y轴对称。

例如，在函数y=x^2中，定义域是全体实数，关于y轴对称。

10.复数域：复数域是指定义为变量可以取复数的函数的定义域。

例如，在函数y=√(1-x^2)中，定义域是复数集合。

综上所述，函数定义域可以是实数域、闭区间、开区间、半开半闭区间、单个点、开放区域、中心对称区域、关于x轴对称区域、关于y轴对称区域和复数域等多种不同类型。

多项式的因式分解(教育知识)

∴ 也是为 f ( x)复根．
教书育人
5
定理5.14（实系数多项式因式分解定理）
f ( x) R[x]，若 ( f ( x)) 1，则 f ( x)可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
教书育人
6
推论1
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)k1
教书育人
14
2. 整系数多项式的因式分解
定理5.16 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
教书育人
15
推论设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
的，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法.
教书育人
10
② 我们知道，在C 上只有一次多项式才是不可约多项式；
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；
但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 xn 2, n Z .
如何判断 Q上多项式的不可约性呢?
教书育人
11
③ 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
( x2 pr x qr )kr
其中 c1,c2, ,cs , p1, , pr ,q1, ,qr R, k1, ,ks ,l1, ,ls Z ,
且 p2 4q 0, i 1,2 r ，即 x2 pi x qi 为

实数与复数域的性质与运算法则

复数域的应用
工程学：控制系统、信号处理、电路设计等领域中复数域的应用
物理学：量子力学、电磁学等领域中复数域的应用
数学：代数几何、函数分析等领域中复数域的应用
计算机科学：算法设计、数据压缩等领域中复数域的应
用
THANK YOU
汇报人：XX
物理科学：实数域在物理科学中有着广泛的应用，例如在描述物体的运动、波动、热传导等现象时，都需要用到实数域的数学知识。
工程领域：实数域在工程领域中也有着广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、控制系统等领域，都需要用到实数域的数学知识。
计算机科学：实数域在计算机科学中也有着重要的应用，例如在计算机图形学、数值计算等领域，都需要用到实数域的数学知识。
减法法则：实数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。乘法法则：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)， (a+b)*c=a*c+b*c。除法法则：实数的除法可以转化为乘法，即a/b=a*(1/b)，其中1/b是b的倒数。
实数域的应用
数学分析：实数域是数学分析的基础，为研究函数的性质提供了重要的工具。
复数域的性质与运算法则
复数域的定义
复数域是由所有形如a+bi（a，b 为实数）的数构成的集合，其中i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数域是唯一的代数封闭域，即任何代数封闭域都可以通过添加一个元素得到复数域。
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复数域是实数域的代数闭包，即任何复数域中的多项式都有根。
复数域是可分的，即对于任意非零的复数z，存在一个非零的复数c，使得cz不等于0。

复数域的概念和概念

复数域的概念和概念复数域，又称复数数域，是数学中的一个非常重要的概念。

复数域是由实数域扩充而得到的，它包含了实数域中不存在的一种元素，这个元素通常被称为虚数单位i（或j）。

复数域可以表示形如a+bi的数，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2=-1。

复数的概念最早可以追溯到16世纪。

当时，人们在求解方程时发现，有时方程没有实数解，但可以用虚数来表示方程的解。

这就引起了人们对虚数的探索和研究。

随着研究的深入，人们发现复数的运算规则和性质与实数非常相似，因此复数域的概念逐渐形成。

复数域的一个重要性质是它是一个域，也就是说它满足了域的九大公理。

其中，加法构成一个交换群，乘法满足结合律和分配律，同时存在加法单位元0和乘法单位元1，对于每个非零元素a，存在加法逆元-b和乘法逆元1/a。

复数的加法和乘法规则可以通过对实部和虚部的分别相加和相乘来定义。

例如，对于两个复数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和z1+z2=(a+c)+(b+d)i，乘积z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。

通过这种方式，可以将复数的加法和乘法推广到任意两个复数的运算。

复数域中还有一些重要的概念，如共轭复数和复数的模。

对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数是z* = a-bi，即实部不变，虚部取相反数。

复数的模定义为z =sqrt(a^2 + b^2)，它表示复数到原点的距离。

通过共轭复数和复数的模，可以定义复数的除法和求倒数的运算。

例如，对于一个非零复数z=a+bi，它的倒数表示为1/z = (a-bi)/(a^2+b^2)，即将z除以它的模的平方，并取其中的共轭。

这样定义的除法保证了复数域中的除法是良定义的，而不会引起除零错误。

复数域的应用非常广泛，几乎涉及到数学的方方面面。

在代数学中，复数域是一个重要的研究对象，如复数域上的多项式理论、代数方程的解析解和代数结构的研究。

在分析学和函数论中，复数域是一种方便和强大的工具，如复数域上的函数、复变函数、傅里叶变换等。

(完整版)有理系数多项式

§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整(数）系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。

第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

一、有理系数多项式的有理根1．有理系数多项式与整系数多项式设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式。

选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式. 如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =，也就是)()(x g cdx f =其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子。

2．整系数多项式如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n - 没有异于±1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式。

上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =。

可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。

亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==，其中1(),()g x g x 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.3．本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。

第三节实数域和复数域

第三节实数域和复数域1．实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米德序域．反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是即lima n＝a即R中任意数a都是有理数基本列的极限．若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．实数集R的若干性质．1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…．这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：实数b．这时规定B与b对应．建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．3°实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第a n(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．4° R不是可数集这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0．a11a12a13…a2＝0．a21a22a23………a n=0．a n1a n2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．*2．实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公理对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．3．复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素叫做复数．如果复数域C存在，则C具有形式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0中其余元素组成．作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1°复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理复系数n次方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C中有n个根．只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．2°复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．第四节代数数、超越数和作图不能问题1．代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次为它们满足一次方程qx-p=0．代数数，而是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfond(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，u n是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．*2．π和e这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lambert(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即b n不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．e不是二次代数数即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！S n为整数，故也应为整数．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．3．几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1°所有正整数n(长度为n的线段)；3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何作图问题，我们先证明定理Q上三次方程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．证设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a=a′因此，方程(5)有根x1或x2，即由此定理得推论如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．4．“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．研究与思考题1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？7．“复数不能规定大小”的含义是什么？8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？。

数学竞赛-第1部分-多项式

第一部分多项式一. 知识点.1. 数域: 至少包含两个数. 对四则运算封闭.常用的:有理数域,实数域,复数域.数域F 作为自身上的线性空间是一维的.dim 2=R C ,基为1,i ,即{|,}a bi a b =+∈C R .dim =∞Q R ,},|2{)2(Q Q ∈+=b a b a ,dim 2=Q Q ,基:{,,}a a b c =+∈Q Q ,dim 3=Q Q ,基:线性空间的维数观点看: )2(Q 作为有理数域上的线性空间是2维的,就是一组基,而实数域作为有理数域上的线性空间是无限维的.故有理数域和实数域之间有无限多个数域,而复数域和实数域之间没有数域.2. 一元多项式环: []{()|()}P x f x f x F =是数域上的一个多项式,多项式是一个有限和.这个集合关于多项式的加减乘封闭,但是对除法不封闭,整除并不是对任意多项式都成立,任给两个多项式(),()f x g x ,()()f x g x 称为有理式形式, ()()(),()[]()f x P x f x g x P x g x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭组成一个域,称为有理函数域. 多项式包含三部分内容: 1). 整除性理论 2).因式分解理论 3). 多项式根的理论1). 整除性理论:(1). 带余除法: 取)(),(x g x f ,0)(≠x g ,则存在][)(),(x P x r x q ∈,使得)()()()(x r x q x g x f +=,其中0)(=x r 或))(())((x g x r ∂<∂,且这样的)(),(x r x q 由)(),(x g x f 唯一确定.(2). 整除: ()()()f x g x q x =(3). 最大公因式和互素:1). 公因式: 取多项式)(),(x g x f ,)(x d 若满足g d f d |,|,则称)(x d 为f 与g 的一个公因式.2). 最大公因式: 取多项式)(),(x g x f ,称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式,若)(x d 满足 a). g d f d |,|, b). )(x f 与)(x g 的任一公因式都是)(x d 的因式,即若有g f |,|ϕϕ,则必有d |ϕ. 结论: (1) 若)()()()(x r x q x g x f +=,则))(),(())(),((x r x g x g x f =.a bs r =+,则(,)(,)a b b r =(2) 取(),()[]f x g x F x ∈,存在最大公因式,且存在)(),(x v x u ,使得)()()()()(x d x g x v x f x u =+, 11f gq r =+,1221233232,,,g r q r r r q r r r q =+=+=则1122333(,)(,)(,)(,)(,0)f g g r r r r r r cr =====.(3) 首1的)(x d 为(),()f x g x (不全为零)的最大公因式(a),,d f d g ⇔且)(x d 是公因式中次数最大者. (b),,d f d g ⇔且存在(),()u x v x ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+(c)⇔)(x d 是{()()()()|(),()}S u x f x v x g x u x v x =+∀中非零多项式中的次数最小者. (d)证明: (a)⇒(b) 由定义, (),()f x g x 的公因式都是)(x d 的因式, 故)(x d 是公因式中次数最大的那个. (b)⇒(c) 取0()((),())d x f x g x =,则存在00(),()u x v x ,使得000()()()()()d x u x f x v x g x =+,而)(x d 是公因式,则0()|()d x d x ,而()d x 次数最大,则0()()d x d x =,(c)⇒(d) ()()()()()d x u x f x v x g x =+,首先()d x S ∈,而,,d f d g 从而任给()h x S ∈,都有d h ,故 )(x d 是S 中次数最小的.首先)(x d 是公因式,若0()d x 是(),()f x g x 的最大公因式,则0()|()d x d x ,但是)(x d 是公因式中次数最大的.故0()()d x d x =,)(x d 为(),()f x g x 的最大公因式.(d)⇒ (a): 若)(x d 是{|,}uf vg u v +∀中多项式次数最小者.设()()()()()d x u x f x v x g x =+,则 ,,d f d g 事实上若()()()()f x d x q x r x =+,其中()0r x =或()()r x d x ∂<∂.()()()()()(()()()())()(1()())()()r x f x d x q x f x u x f x v x g x q x u x q x f v x q x g =-=-+=--,而 )(x d 是{|,}uf vg u v +∀中多项式次数最小者,故()()d x r x ∂≤∂,从而()0r x =.|d f ,同理|d g , 由()()()()()d x u x f x v x g x =+可知(),()f x g x 的公因式都是()d x 的因式, ()d x 是最大公因式.(4) (((),())(()()(),())f x g x f x h x g x g x =-,其中()h x 是任意非零多项式.3).多项式互素: 取][)(),(x P x g x f ∈,若1),(=g f ,则称f 与g 是互素的.定理: 设][)(),(x P x g x f ∈,则f 与g 互素当且仅当存在多项式)(),(x v x u ,使得1=+vg uf .性质: 1). 设1),(=g f ,且gh f |,则h f |. 2). 若g f g f |,|21,且1),(21=f f ,则g f f |21.(2) (,)1f g =⇔(,)1fg f g ±=⇔((),())1m mf xg x =⇔(,)1m n f g =. (3) (,)()f g d x =,()t x 是首1多项式,则(()(),()())()()t x f x t x g x t x d x =.(4) 12(,)1,(,)1,f g f g ==则12(,)1,f f g =增加: (1) 设,f g 非零,若任给()h x ,由()|()()f x g x h x ,都可得()|()f x h x ,则1),(=g f .证明: 若不成立设(,)()f g d x =,则设11()(),()()f d x f x g d x g x ==,则1|()f gf x ,则1|()f f x ,矛盾.(2) 设,f g 非零,若任给()h x ,由()|()f x h x ,()|()g x h x ,都可得()()|()f x g x h x ,则1),(=g f . 证明: 若(,)()f g d x =,设11()(),()()f d x f x g d x g x ==,则11|()()()f d x f x g x ,11|()()()g d x f x g x ,从而由题意,可知11|()()()fg d x f x g x ,即()|1d x ,故()1d x =,故1),(=g f .2).因式分解理论1. 不可约多项式:数域P 上的次数1≥的多项式)(x p 若不能分解成两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积,则称)(x p 是一不可约多项式.否则称为可约的.即若)(x p 可约,则可以)()()(21x p x p x p =,其中)())(()),((121x p x p x p ∂<∂∂≤.若)(x p 不可约,则因式只有非零常数及)(x p 的非零常数倍两类.即)(1)(x p cc x p ⋅=. 不可约多项)(x p 与任一多项式)(x f 的关系是:或)(|)(x f x p ,或1))(),((=x f x p .若)(x f 与)(x p 有公共根,则)(|)(x f x p .定理:设)(x p 不可约,][)(),(x P x g x f ∈,若)()(|)(x g x f x p ,则)(|)(x f x p ,或)(|)(x g x p .反之,若任给][)(),(x P x g x f ∈,)()(|)(x g x f x p 可得)(|)(x f x p ,或)(|)(x g x p ,则)(x p 不可约.2. 因式分解及唯一性定理3. 标准分解式: )()()()(2121x p x p x cp x f s rs r r =,其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素、首1、不可约多项式.c 是)(x f 的首项系数.4. 复系数、实系数与有理系数多项式的因式分解1). 复系数多项式][x C :任一次数1≥的多项式在复数域内都可唯一的分解成一次因式的乘积.即在复数域上,只有一次多项式不可约.2次及2次以上的多项式都可约.标准分解式:s rs r r x x x c x f )()()()(2121ααα---= ,其中s ααα,,,21 为互不相等的复数.2).实系数多项环][x R :1). 基本结论: 实系数多项式的非实复根共轭成对出现.2). 实数域上的不可约多项式是一次多项式和不可约二次多项式.3). 实系数多项式因式分解定理: 任一次数1≥的实系数多项式在实数域内都可唯一的分解成一次因式和不可约二次因式的乘积.标准分解式:t s l t t l r s r q x p x q x p x x x c x f )()()()()(2112111++++--= αα,其中t t s q q p p ,,,,,,,,111 αα都是实数. t i q p i i 2,1,042=<-.3). 有理系数多项式(1). 任一次数1≥的有理系数多项式都可分解成有理数域上不可约多项式的乘积,且分解唯一.(2). 有理系数多项式因式分解可转化为整系数多项式因式分解.进而可求有理系数多项式的有理根. 在有理数域范围内,存在任意次数的不可约多项式.(判断不可约的方法.)本原多项式的乘积是本原的,反之,本原多项式若整除,所得的商也是本原的.设本原的(),()f x g x ,且()()()f x g x q x =.首先商()q x 是有理的. ()q x 做本原分解1()()q x rq x =,则 1()()()f x rg x q x =,故1r =±,即()q x 是本原的.定理:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 是一整系数多项式,若sr 是)(x f 的一个有理根,其中1),(=s r ,则0|,|a r a s n ,特别的,若1=n a ,则)(x f 的有理根是整数,且是0a 的因子.5.重因式:不可约多项式)(x p ,若)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+,则称)(x p 是)(x f 的一个k 重因式.即)()()(x g x p x f k =,其中)(|)(x g x p /.推论: 不可约多项式)(x p 是)(x f 的重因式当且仅当)(x p 是)(x f 与)(x f '的公因式.不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式,则)(x p 是)(x f '的1-k 重公因式.推论: )(x f 无重因式当且仅当1))(),((='x f x f .不可约多项式在复数域上无重因式(也无重根). 消去重因式的方法:()((),'())f x f x f x 无重因式,但与)(x f 有相同的不可约因式. 若)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r=,则1211112((),'())()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---= .故 12()()()()((),'())s f x p x p x p x f x f x = . 3). 多项式根的理论1. 取P ∈α,P a a a a f n n n n ∈++++=--0111)(αααα ,称为)(x f 在α处的值(函数值),则)(;:)(ααf P P x f →定义了P 的一个函数.2 取P ∈α,0)(0111=++++=--a a a a f n n n n αααα ,称为α为)(x f 的一个根.余数定理: 用一次多项式α-x 去除)(x f ,所得余式是一个常数,这个常数就是)(αf .推论:α是)(x f 的根当且仅当)(|)(x f x α-.定理:][x P 中任意一个n 次多项式在数域P 中根的个数最多有n 个,其中重根按重数计.3). 多项式函数的相等与多项式的相等.定理:若][x P 中多项式)(),(x g x f 的次数不超过n (n ≤),)(x f 与)(x g 在1+n 个不同的数121,,,,+n n αααα 处的值相等,即1,,,2,1),()(+==n n i g f i i αα,则)()(x g x f =.根与重根,余数定理,有理系数多项式的有理根的求法,实系数多项式的非实复根的共轭成对,代数基本定理,韦达定理,根的个数.3. 多元多项式关于n 个未定元的多项式:[][][,]P x y P x y =,系数是x 的多项式的关于未定元y 的多项式,例如234242(,)(21)(1)(1)f x y x x y x y x x y x =+-++--++,故1212[,,,][][][]n n P x x x P x x x =单项式: 1212(0)n k k k n i ax x x k ≤∈Z ,次数是12n k k k +++ .有限个单项式的和121212n n i i i i i i na x x x ∑ 称为一个多元多项式.次数是其中次数最高的单项式的次数.多元多项式的排序问题: 一元多项式可以降次幂排列,或升次幂排列. n 元多项式字典排序法.取多项式12(,,)n f x x x 中的两项12121212,n n k l k k l l n n ax x x bx x x ,看n 维向量1212(,,,),(,,,)n n k k k l l l .若12121212,n n k l k k l l n n ax x x bx x x 不同,则1212(,,,)(,,,)n n k k k l l l ≠ ,若向量1122(,,,)n n k l k l k l --- 的第一个非零数是一个正数,就称12(,,,)n k k k 先于12(,,,)n l l l ,此时单项式1212n kk k n ax x x 在单项式1212n l l l n bx x x 之前,如多项式:242446422446123131231131232322x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++. 根与系数的关系.设多项式11112()()()()n n n n n f x x a xa x a x x x ααα--=++++=--- ,则有根与系数的关系.1123312(1)(1)n i i i ji j i j k i j k n n n a a a a ααααααααα=<<<⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪=-⎩∑∑∑ .记1122312n i j i j i j k i j k n n x x x x x x x x x x x σσσσ<<<=+++⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=⎩∑∑ 称为初等对称多项式. n 元多项式互换任意两个未定元的位置后,多项式不变,称为对称多项式.对称多项式1212(,,,)(,,,)n n f x x x ϕσσσ= ,对称多项式可以写成初等对称多项式的多项式. 方法如下.找出首项: 1212n k k k n ax x x ,做231212n k k k k k n a σσσ-- ,其首项为1212nk k k n ax x x .两式相减. 231212n k k k k k nf a σσσ--- 的首项比f 的小,如此下去即可.或者: (1) 把多项式写成齐次对称多项式的和10n n f f f f -=+++ .每个m f 如下来做.(2) 设m f 的首项为1212n k k k n ax x x ,列出满足如下的向量12(,,,)n l l l(a) 1212(,,,)(,,,)n n k k k l l l ≥ (b) 12n l l l ≥≥≥ (c) 12n l l l m +++=(3) 做231121212(,,,)121(,,,)n n nn l l l l l l l m n l l l n n f x x x A σσσσ-----=∑ 其中12(,,,)n l l l 满足(2) (4) 取特殊值12(,,,)n x x x ,定出(3) 中的系数12(,,,)n l l l A 即得m f .而10n n f f f f -=+++ .多项式因式分解:在复数域上,21()()()n n x x x x ξξξ-=--- ,其中22cossin i n n ππξ=+是一个n 次本原单位根. 而22()()2cos1k n k k x x x x n πξξ---=-+实系数多项式. 在实数域上:若n 是奇数,则122121(1)2cos 1n n k k x x x x n π-=⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭∏. 若n 是偶数,则212121(1)(1)2cos 1n n k k x x x x x n π-=⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭∏. 二典型例题1. 设带余除法算式:()()()()g x f x q x r x =+,(商式和余式)任取非零()h x ,则(1) ()()h x f x 除()()h x g x 的商式和余式是什么? (2) ()f x 除()cg x 的商式和余式是什么?解: 设11()()()()()()h x g x h x f x q x r x =+(商式和余式), 则11()()()()()()r x h x g x h x f x q x =-,可得 1()|()h x r x ,设1()()()r x h x x ϕ=. 若1()0r x =,则1()()()g x f x q x =,即()|()f x g x ,则()0r x =. 若1()0r x ≠,则1()()()()()r x h x x f x h x ϕ∂=∂+∂<∂+∂,即()()x f x ϕ∂<∂,并且1()()()()g x f x q x x ϕ=+(带余除法算式),故1()(),()()q x q x r x x ϕ==,故()()()()()()()h x g x h x f x q x h x r x =+. (2) ()()()()cg x cf x q x cr x =+.求多项式的最大公因式.2. 设有理系数多项式)(x f 与)(x g 互素,)()1()()1()(233x g x x x x f x x -+-+-=ϕ, )()()()1()(22x g x x x f x x -+-=ψ,求))(),((x x ψϕ.解: )]()1()()1)[(1()(22x g x x f x x x x ++++-=ϕ, )]()()1)[(1()(x xg x f x x x ++-=ψ.若)(x d 是)()1()()1(22x g x x f x x ++++与)()()1(x xg x f x ++的一个公因式,则 )]()()1)[(1()]()1()()1[(|)(222x xg x f x x x g x x f x x x x d +++-++++.即)(|)(x f x d -,)]()()1)[(1()]()1()()1)[(1(|)(222x xg x f x x x x g x x f x x x x d ++++-+++++,即)(|)(x g x d ,从而))(),((|)(x g x f x d ,即1)(=x d ,从而1))(),((-=x x x ψϕ.3. 设)(),(21x f x f 是首1次数3≤的互异多项式,设)()(|13243124x f x x f x x +++,求12((),())f x f x .解: 已知)1)(1(1)1)(1(336242+-=-=++-x x x x x x .有6个根,故|124++x x 的4个根2121,,,ξξωω满足1,132313231-====ξξωω,由于)()(|13243124x f x x f x x +++,从而2121,,,ξξωω也是)()(32431x f x x f +的根,代入有⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(32223213121311ωωωωωωf f f f ,即⎩⎨⎧=+=+0)1()1(0)1()1(221211f f f f ωω,求解得⎩⎨⎧==0)1(0)1(21f f ,即)(),(|121x f x f x -. 33111213312222()()0()()0f f f f ξξξξξξ⎧-=⎨-=⎩,即112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f ξξ---=⎧⎨---=⎩,求解得⎩⎨⎧=-=-0)1(0)1(21f f ,即)(),(|121x f x f x +. 由于1)1,1(=+-x x ,则)(),(|)1)(1(21x f x f x x +-,由于)(),(21x f x f 是首项系数为1的次数3≤的互异多项式,故)1)(1(+-x x 是最大公因式.4. 设q px x x f n ++=)((0≠p ),)('x f 除)(x f 的余式为)(1x r ,)(1x r 除)('x f 的余式为)(2x r .(1) 求)(),(21x r x r . (2)证明: )(x f 有重因式当且仅当0)1()1(111=-+----n n n n n q n p n . 证明: (1) q px x x f n ++=)(,则p nx x f n +=-1)(',计算可得q x n p n x n x f x f +-+=)1(1)(')(,其中q x np n x r +-=)1()(1是个一次多项式,从而 )()()1())1(()()())1(()('2222x r x q np n p n nq x x r x q q x n p n x f +--+=++-=,则 p pn q n p p n nq n p n nq f x r n n n n n n +--=+--=--=-----111112)1()1())1(())1((')(. (2) )(x f 有重因式当且仅当0)1()1()(11112=+--=----p pn q n x r n n n n n ,即0)1()1(111=-+----n n n n n p n q n . 5. 若)(),(x g x f 不全为零,任给n 正整数,证明: ))(,)(())(),((n n n x g x f x g x f =.证明: 由(,)|,f g f g ,有(,)|,n n n f g f g ,从而),(|),(n n n g f g f .同时, 1)),(,),((=g f g g f f ,则 1)),(,),((=nnn n g f g g f f .即存在多项式)(),(x v x u ,使得1),(),(=+n n n n g f g v g f f u ,即n n n g f vg uf ),(=+,从而n n n g f g f ),(|),(.得到))(,)(())(),((nn n x g x f x g x f =.利用标准分解式也可以. 6. 设一元多项式)(),(),(x h x g x f ,其中1))(),((=x h x f ,且)(x f 与)(x g 被)(x h 除所得余式相等, 证明:1))(),()((=x h x g x f .证明: 由1))(),((=x h x f ,知存在)(),(x v x u ,使得1=+vh uf .由题意,设r hq g r hq f +=+=21,.则 21hq g hq f -+=.代入得1)(21=+-+vh hq g hq u 即1)(21=++-ug h v uq uq ,从而1))(),((=x h x g . 即存在)(),(11x v x u ,使得111=+h v g u ,则1))((11=++h v g u vh uf ,即1)(1111=+++h h vv vg u ufv fg uu ,从而1))(),()((=x h x g x f .7. 设,,[]f g h F x ∈,证明存在()[]p x F x ∈使得)(|)(x p x f ,且))()((|)(x h x p x g +当且仅当h g f |),(. 证明: ⇒ 设)(),(x d g f =,则g d f d |,|,从而)(|)(x p x d ,且))()((|)(x h x p x d +,则)(|)(x h x d . ⇐h g f |),(,则存在)(x k ,使得k g f h ),(=,而对),(g f ,存在多项式)(),(x v x u ,使得),(g f vg uf =+,代入vgk ufk h +=,即vgk ufk h =-,令p ufk =-,则p f |,且)(|h p g +.整除的问题: 若()|()f x g x ,说明()f x 的根是()g x 的根,反之,若()f x 的根是()g x 的根,不一定有 ()|()f x g x .若,αβ是()f x 的根,则|()x f x α-,|()x f x β-,若αβ≠,则()()|()x x f x αβ--.8.证明: 任给非负整数n ,都有))1((|11222++++++n n x xx x . 证明: 已知1)1)(1(32-=-++x x x x .从而12++x x 的根是13=x 的两个共轭复根,记为αα,.若能证明122)1(++++n n x x 以αα,为根,则可知12++x x 是122)1(++++n n x x 的一个因式.))1()(1()1()1()1()1(212122122n n n n n n n n ++-+=+++-=++=++++++ααααααααααα0))(1())12()(1(2=+-+=+++-+=n n n n ααααααα.2212222(1)(1)(21)(1)(1)0n n n n n n n αααααααααααααα++++=++++=++=++=另外,可用数学归纳法:设))1((|11222++++++n n x xx x ,看323(1)n n x x ++++.3233221322121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n n n x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=++++++221221((1))(1)(1)n n n x x x x x x +++=++++++.类似的,可证明2331321|m n p x x x x x ++++++.从根的角度,也可以如下33132332321(1)(1)1m n p m n p x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+++,而2331|1|1k x x x x ++--. )1)1((|1201520152--+++x x x x9. 证明如果)()(|122212x xf x f x ++,那么)(|1),(|121x f x x f x ++证明: 由)()(|122212x xf x f x ++,则12+x 的两个根是)()(2221x xf x f +的根,则 ⎩⎨⎧=---=-+-0)1()1(0)1()1(2121if f if f ,从而⎩⎨⎧=-=-0)1(0)1(21f f 从而)(|1),(|121x f x x f x ++. 10. 设121)(-++++=n xx x x f ,证明: n n x x x f x f -+2))((|)(. 证明:已知1)()1(-=-n x x f x ,)(x f 的根是1=n x 的非1根.设α是)(x f 的一个根,则1=n α.而0))((2=-+n n f ααα,且)(x f 的根两两不等.故n n x x x f x f -+2))((|)(.11. 取数域F 上多项式)(x f ,设1)(>=∂n f ,若)(|)('x f x f ,证明)(x f 有n 重根,同时若)(x f 有n 重根,则)(|)('x f x f .证明: 若)(x f 有n 重根,则n x c x f )()(α-=,而1)()('--=n x cn x f α,)(|)('x f x f . 若)(|)('x f x f ,则)('))('),((x af x f x f =,从而)()(')())('),(()(α-==x c x af x f x f x f x f . 而对)(x f 及)('x f ,有))('),(()(x f x f x f 与)(x f 有相同的不可约因式,故)(α-x 是)(x f 的唯一的不可约因式,故n x c x f )()(α-=.11. 设)(x f 是复数域上首项系数为1的n 次多项式,若))(())(),('()(21b x b x x f x f x f --=,21b b ≠ 且1b x -是)('x f 的k 重因式(这里)('x f 是)(x f 的一阶微商),问=)(x f ?为什么?解: ))(),('()(x f x f x f 与)(x f 有相同的不可约因式,故21)()()(21n n b x b x x f --=,n n n =+21.1b x -是)('x f 的k 重因式,是)(x f 的因式,从而是)(x f 的1+k 重因式,故1211)()()(--+--=k n k b x b x x f .12. 当正整数n 取何值时,多项式()(1)1n n f x x x =+--有重因式.解: 11'()(1)n n f x n x nx --=+-,则()f x 有重因式当且仅当((),'())1f x f x ≠,即()f x 与'()f x 有公共根α,则()(1)10n n f ααα=+--=,11'()(1)0n n f n n ααα--=+-=.即(1)1n n αα+=+,11(1)n n αα--+=,则11(1)n n ααα-+=+,从而11n α-=,1(1)1n α-+=,即,1αα+都是1n -次单位根,设a bi α=+,则11a bi α+=++,从而222221a b a a b +=+++,则1,2a b =-=,则122α=-±,是3次单位根.故13n k -=. 13. 设A 是复n 阶方阵,()f x 是一个次数大于0的复系数多项式,()g x 是矩阵A 的最小多项式.证明:(1)若()((),())d x f x g x =,则秩=)(A d 秩)(A f .(2))(A f 可逆当且仅当((),())1f x g x =. 证明:由()((),())d x f x g x =,则存在(),()[]u x v x x ∈C ,使得()()()()()d x u x f x v x g x =+,故有 ()()()()()d A u A f A v A g A =+.又()0g A =,故()()()d A u A f A =,从而有秩≤)(A d 秩)(A f .又 )()(x f x d ,则存在()[]q x x ∈C ,使得)()()(x q x d x f =,则)()()(A q A d A f =,秩≥)(A d 秩)(A f .(2).必要性:由于0))((>∂x f ,则()((),())0d x f x g x =≠,若0))((>∂x d ,由)()()(x p x d x g =得()()()0d A p A g A ==.但是)(A f 可逆,由(1得知)(A d 可逆,故0)(=A p ,且()()()()x g x p ∂<∂，这与()g x 是A 的最小多项式相矛盾.从而0))((=∂x d ,即()1)(),(=x g x f .充分性.若()1)(),(=x g x f ,则由(1)知秩)(A f =秩n E =.所以)(A f 可逆.14. 设n n F A ⨯∈,][)(),(x F x g x f ∈,且1))(),((=x g x f ,令21,,W W W 分别为齐次线性方程组0)()(=X A g A f ,0)(=X A f 与()0g A X =的解空间,证明21W W W ⊕=.证明:因为1))(),((=x g x f ,所以存在)(),(x v x u ,使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有E A g A v A f A u =+)()()()(,则对于任意的W ∈α,有ααα)()()()(A g A v A f A u +=,则12)()(,)()(W A g A v W A f A u ∈∈αα,则12W W W =+.又对于任意的12W W α∈ ,有()()0f A g A αα==,从而有()()()()0u A f A v A g A ααα=+=,故有12W W W =⊕.几个有理系数多项式的问题:1. 设p 是素数,a 是整数,1)(++=px ax x f p,且)1(|2+a p ,证明)(x f 没有有理根. 证明: 用1+x 替换x 代入可得1(1)(1)(1)1(1)(1)1p p p f x a x p x a x px px p x -+=++++=+++++++1()1p p ax apx ap p x a p -=+++++++ ,)1(|2+a p 从而)1(|+a p ,且a p |/,取素数p 应用爱森斯坦判别法,)(x f 在有理数域上不可约,从而无有理根.2. (1) 设)(x f 是整系数多项式,若有偶数a 及奇数b 使得)(),(b f a f 都是奇数,则)(x f 无整根.证明: 设)(x f 有整根α,则)()()(x g x x f α-=,)(|)(),(|)(b f b a f a αα--,而)(),(b f a f 都是奇数,则α-a 与α-b 都是奇数,从而b a b a -=---)(αα为偶数,矛盾.(2). 设][)(1110x a x a x a x a x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明:若0,a a n 为奇数,且)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,则)(x f 无有理根.证明: 设)(x f 有有理根rs =α,其中1),(=s r ,则n a s a r |,|0,而0,a a n 为奇数,则s r ,都为奇数.且 )()()(x g rs x x f -=,即)()()(x g s rx x rf -=,从而)(|x f s rx -.代入11-， )1(|)(),1(|)(----f s r f s r ,s r ,都为奇数, 则s r -与s r --都为偶数,而)1(f 及)1(-f 中至少有一个为奇数,矛盾,从而)(x f 无有理根.(3).设][)(111x a x a xa x x f n n n n Z ∈++++=-- ,证明若n 为偶数,而n n a a a ,,,11- 均为奇数,则)(x f 无有理根.证明: 代入n a f =)0(为奇数,n n a a a f ++++=-111)1( 为奇数.则)(x f 无整根.设)(x f 有有理根,则为整根,设为c ,0)(111=++++=--n n n n a c a c a c c f .若c 为偶数,则)(c f 是个奇数,矛盾.若c 为奇数,则)(c f 是个奇数,矛盾.3 (1) 设1)())(()(21----=n x x x x f ααα ,其中n ααα,,,21 是两两不等的整数,证明)(x f 在有理数域上不可约.证明:假设)(x f 在有理数域上可约,则设)()()(x h x g x f =,其中)(),(x h x g 是整系数多项式,且次数都小于)(x f 的次数.代入n ααα,,,21 ,则1)()()(-==i i i h g f ααα,从而任给i ,则1)(,1)(-==i i h g αα或者1)(,1)(=-=i i h g αα,都有0)()(=+i i h g αα,从而多项式)()(x h x g +有n 个根,但是次数n <.故只有0)()(=+x h x g .则)()(2x g x f -=,但)(x f 首1,矛盾.(2) 设12()()()()1n f x x x x ααα=---+ ,其中n ααα,,,21 是互不相同的整数,求证)(x f 在有理数域上可约当且仅当)(x f 是一整系数多项式的完全平方.若n 为奇数,则)(x f 在有理数域上不可约. 证明: 若)(x f 在有理数域上可约,则设)()()(x h x g x f =,其中)(),(x h x g 是整系数多项式,且次数都小于)(x f 的次数.代入n ααα,,,21 ,则()()()1i i i f g h ααα==,从而任给i ,则()1,()1i i g h αα==或者 ()1,()1i i g h αα=-=-,都有()()i i g h αα=,从而多项式()()g x h x -至少有n 个根,但是次数n <.故只有()()g x h x =.则2()()f x g x =.反之自然.若n 为奇数,则)(x f 不可能是一整系数多项式的完全平方,故不可约.4. 设n ααα,,,21 是两两不等的整数,若1)()()()(22221+---=n x x x x f ααα ,证明)(x f 在有理数域上不可约.证明: 首先证明)(x f 不是多项式的平方. 若)()(2x g x f =,设)(x g 整系数,令 )())(()(21n x x x x h ααα---= ,则1)()()(22+==x h x g x f ,从而1)()(22=-x h x g ,即1))((=-+h g h g ,故h g h g -+,只能为常数1,1-.即⎩⎨⎧=-=+11h g h g 或者⎩⎨⎧-=--=+11h g h g ,都有1)(=x g ,或者1)(-=x g .矛盾.现在设)()()(x v x u x f =,其中v u ,是整系数,则次数比f 的次数小.则n v u 2)()(=∂+∂,而)(u ∂,)(v ∂的次数不能都大于n ,故)(u ∂,)(v ∂其一小于等于n .现在假定n u <∂)(.)(x f 无实根,从而)(x u 也无实根,设)(x u 首1,则)(x u 恒大于零, 1)()()(==i i i v u f ααα,从而1)(=i u α,任给i .从而1)(-x u 至少有n 个根,矛盾,故只能n u =∂)(,同理,)(x v 也是首1的n 次多项式,而1)()(=i i v u αα,故()()i i u v αα=,所以)()(x v x u =,故)()(2x u x f =.矛盾.5. 设c bx ax x x f +++=23)(为整系数多项式,若bc ac +为奇数,则)(x f 在有理数域上不可约. 证明: 若可约,则)(x f 有一个有理根β从而是整根,可设 11121311223)()())(()(b x a b x a x b x a x x c bx ax x x f ββββ--+-+=++-=+++=.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-c b b a b a a 1111βββ,c b a bc ac )(+=+为奇数,则c 为奇数,而c |β,从而β为奇数.b a +为奇数,设a 为偶,b 为奇, 则c b |1,1b 为奇数,β-=1a a ,则1a 为奇数,11a b b β-=为偶数,矛盾,故)(x f 在有理数域上不可约.6. 设)(x p 是数域P 上的不可约多项式,α是)(x p 的非零复根,(1) 证明)(x p 的常数项非零;(2)证明对任意正整数m ,1)),((=m x x p ;(3)设22)(3+-=x x x p ,求51α.证明: (1) α是)(x p 的非零复根,则排除x x p =)(.不可约多项式的常数项是非零的,若否,)()(x xg x p =.(2) m x 的根都是零,而)(x p 无零根,故在复数域上,)(x p 与m x 无公共的一次因式, 1)),((=m x x p .(3) 022)(3=+-=αααp ,即1213=+-αα,则αα11212=+-,则525)211(1αα-=. 7. 证明非零复数α是一有理系数非零多项式的根当且仅当存在一有理系数多项式)(x f ,使得)(1ααf =.证明: ⇐. 设01)(b x b x b x f n n +++= 则由于)(1ααf =,则)(1ααf =,从而对1)()(-=x xf x g ,有01)()(=-=αααf g .⇒. 设有理系数多项式)(x h 满足0)(=αh .(1) 设01)(c x c x c x h m m +++= ,其中00≠c ,0)(01=+++=c c c h m m ααα ,则01c c c m m =---αα ,从而1010=---ααc c c c m m ,即有 αα10110=----c c c c m m ,取0110)(c c x c c x f m m ---=- ,则αα1)(=f . (2) 设s s m m x c x c x h ++= )(,其中0≠s c ,1≥s .0)(=++=s s m m c c h ααα ,0=++-s s m m c c α,s s s m m c c c -=+++-αα1 ,1010=--+-ααc c c c s s m m ,αα10110=--+--c c c c s s m m ,设0110)(c c x c c x f s s m m +----= ,则αα1)(=f . 8.设(),()[]f x g x x ∈Q 且()f x 在Q 上不可约,若存在复数α,使得()0,()0f g αα=≠,则存在()[]h x x ∈Q ,使得()()1g h αα=.证明:由()f x 不可约,则((),())1g x f x =或者()|()f x g x .又存在复数α,使得()0,()0f g αα=≠,所以((),())1g x f x =,则存在(),()[]u x h x x ∈Q ,使得()()()()1u x f x h x g x +=,故()()1g h αα=.9. 假设实系数多项式()f x 的根都是实根,则()f x '的根也都是实根,且在()f x 的相邻两个实根之间()f x '有且仅有一个单根.证明: 设1212()()()()s m m m s f x x a x a x a =--- 其中12s a a a <<< ,12s m m m n +++= ,由罗尔定理, ()f x '在区间12231(,),(,),,(,)s s a a a a a a - 内各有一个根设为121s b b b -<<< ,而12,,,s a a a 是()f x '的121,1,,1s m m m --- 重根,而1211111s m m m s n -+-++-+-=- ,故121s b b b -<<< 都是单根.补充11. 取数c (不一定是有理数),设M 为以c 为根的一切有理系数多项式作成的集合,证明:1) 存在首1不可约多项式()p x M ∈,使得M 中多项式为()p x 的倍式. 2) ()p x 是唯一的.证明: 1) 任取()g x M ∈,分解()g x 为有理系数不可约多项式的乘积12()()()()s g x p x p x p x = , 12()()()()0s g c p c p c p c == ,故存在一个不妨设为1()0p c =,则1()p x M ∈,且不可约.令11()()p x a p x -=,变为首1,()p x 为所求.事实上,任给()f x M ∈,做带余除法()()()()f x p x q x r x =+, 其中()0r x =或者()()r x p x ∂<∂.若()0r x ≠.代入c ,则()()()()()0f c p c q c r c r c =+==,从而()p x 与()r x 有公共根,不互素,而()p x 不可约,故()|()p x r x ,与次数矛盾,则()0r x =.(2) 如还有()h x 也满足条件,则()p x 与()h x 互相整除,故相等.例子:以c =.2()2f x x =-,而{()()|()[]}M f x g x g x x =∈Q .c =25c =+25c -=平方得421010c c -+=,取42()101p x x x =-+.有理数域上不可约.事实上,首先42()101p x x x =-+无有理根,故若可约,则分解为两个二次因式的乘积. 2222()(1)(1)()(1)(1)p x x ax x bx p x x cx x dx =++++=+-+-.其中,,,a b c d 为整数.42432101()(2)()1x x x a b x ab x a b x -+=+++++++,得0,210a b ab +=+=-,故212a =矛盾.补充2:设u 是一个复数,若存在有理系数(或整系数)多项式()[]f x x ∈Q 使得u 是()f x 的一个根()0f u =,则称u 是一个代数数.证明:对任意代数数u ,总存在一个首1的次数最小的有理系数多项式()g x 使得()0g u =,且()g x 是有理数域上的不可约多项式,由u 唯一确定(()g x 称为u 的最小多项式,极小多项式). 代数数:复数范围内有理数域上的代数元,代数元:取域F 的扩域E ,E α∈,若存在F 上的非零多项式()f x ,使得()0f α=,则称α是F 上的一个代数元,否则称为一个超越元Q 上的代数元,圆周率π是Q 上的超越元,但π是实数域上的一个代数元.4. 设()f x 是一个整系数多项式,,,a b c 是三个互异的整数,证明不可能有(),(),()f a b f b c f c a ===. 证明: 设1110()n n n n f x a x a xa x a --=++++ 是整系数多项式, 则1111()()()()()()(,)n n n n n n f a fb a a b a a b a a b a b q a b ----=-+-++-=-()()()(,),()()()(,),f b f c b c q b c f c f a c a q c a -=--=-若(),(),()f a b f b c f c a ===,则()(,)()(,)()(,)b c a b q a b c a b c q b c a b c a q c a -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,故(,)(,)(,)1q a b q b c q c a =.故三个数为1或者1-.(,)(,)(,)1q a b q b c q c a ===,则b c c a a b -=-=-,不可能.5. 设[]F x 为数域F 上的全体多项式的集合,α是一个复数,证明[]F α是数域当且仅当α是F 上某个不可约多项式的根.证明: 充分性: 设α是不可约多项式()h x 的根,[]F F α⊆成立,故[]F α中有非零数,任给非零数 ()[]f F αα∈,首先((),())1h x f x =或者()|()h x f x ,但是()0f α≠,故((),())1h x f x =.则存在多项式(),()u x v x ,使得()()()()1u x h x v x f x +=,代入α,得到()()1v f αα=,()f α可逆,则[]F α是数域. 必要性: 任给非零()[]f F αα∈,[]F α是数域,则()f α可逆,即存在()[]g F αα∈,使得1()()g f αα=,则()()1f g αα=,从而()()1f x g x -以α为根,在所有以α的多项式中找次数最低的那个即为不可约多项式.6. 证明数域上任意一个不可约多项式在复数域中无重根.若()f x 不可约,则((),'())1f x f x =,无重根.7. ()sin f x x =在实数域内不能写成x 的多项式.()sin f x x =有无限多个根.8. 若n 是奇数,则()()()|()n n n nx y y z z x x y z x y z +++++---.证明: 设()()n n n n f x x y z x y z =++---,看成是x 的多项式,取x y =-代入则()0f y -=,故()|()x y f x +,同理()|()x z f x +,()|()y z f x +,而三个因式互素,故()()()|()n n n n x y y z z x x y z x y z +++++---.9.若1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 可约,则1011()n n n n g x a x a x a x a --=++++ 也可约. 证明: 1(1)0111()()n n n n n n g x x a a x a x a x x f x -----⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭. 若()()(),(),()f x p x q x p x m q x n m =∂=∂=-,则1111111()()()n n m n m g x x f x p q x p x q p x q x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,可约. 1. 设n 阶方阵()B t 和1n ⨯矩阵()b t 分别为()(())ij B t b t =和1()()()n b t b t b t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中(),()ij i b t b t 均为关于t的实系数多项式,1,2,,i j n = ,记()d t 为()B t 的行列式,()i d t 为用()b t 替代()B t 的第i 列后所得的n 阶方阵的行列式,若()d t 有实根0t 使得00()()B t X b t =成为关于X 的相容线性方程组,试证明1(),(),,()n d t d t d t 必有次数1≥的公因式.证明: 0()0d t =,则0t t -是()d t 的一个因式,事实上0t t -也是1(),,()n d t d t 的因式.假若10()0d t ≠,则增广矩阵00((),())r B t b t n =,而0(())r B t n <,从而00()()B t X b t =无解,矛盾.。

复数域和实数域上的多项式

1i j n

i j x
n2
1 1 2 n
n
—（2）比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
第一章多项式
得根与系数的关系为：
a1 1 n
a2 12 13 n1n
a3 123 124 n2n1n

an 1 1
n 1
1 2 n1 1 3 n 2 3 n
an 1 1 2 n
n
如果 f x a0 xn a1xn1 an1x an 根与系数的关系又如何？
第一章多项式
能整除 f x ，即存在多项式 h x ，
使
f x g x h x ,
g x 是实系数多项式，
故 h x 也是实系数多项式。若
是 f x 的重根，由于，故必是 h x 的根， h x 是实系数，故也是 h x 的根，故也是 f x 的重根。
k1
x 2
k2
x r
kr
其中 1 ,, r 是不同的复数， k1 ,, kr 是自然数且
k
i 1
r
i
n.
韦达定理：设 1,2 是 ax 2 bx c 的两个根，则
1 2 , 1 2
b a c a
第一章
多项式
C上多项式的根与系数关系：
解：
设 g x x4 b1x3 b2 x2 b3 x b4 为多求多项式。
a1 1 2 3 4 a0
a2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 a0

复数域和实数域的关系

复数域和实数域的关系当我们学习数学时，经常会遇到复数和实数的概念。

复数域和实数域是数学中两个重要的数域，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

本文将探讨复数域和实数域之间的关系。

我们来介绍一下复数和实数的概念。

实数是我们日常生活中常用的数，包括整数、有理数和无理数等。

它们可以在数轴上表示，并且可以进行加减乘除等基本运算。

而复数则是由实数和虚数单位i组成的数，其中虚数单位i是一个满足i²=-1的数。

复数可以用a+bi 的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分。

复数域是由所有的复数组成的集合，记作C。

实数域是由所有的实数组成的集合，记作R。

可以看出，实数是复数的一个特例，也就是说实数是复数的一种特殊形式。

在复数域中，实数可以看作虚数部分为0的复数。

虽然实数是复数的一种特殊形式，但复数和实数在数学中有着不同的性质和应用。

首先，复数域是一个扩充了实数域的数域。

在实数域中，方程x²=-1没有解，而在复数域中，我们可以用i来表示这样的解。

这样的解对于解析几何和代数等领域有着重要的应用。

复数域具有良好的代数性质。

在复数域中，我们可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律等运算规则。

这些性质使得复数域成为一个重要的数学工具，在解决实际问题中起到了重要的作用。

复数域还与实数域有着紧密的联系。

在数学中，我们常常将复数表示为实部和虚部的形式，即a+bi。

实部表示复数的实数部分，虚部表示复数的虚数部分。

通过实部和虚部的运算，我们可以将复数域中的运算转化为实数域中的运算，从而更好地理解和应用复数。

在物理学中，复数域也有广泛的应用。

例如，在电路分析中，复数可以用来表示交流电的大小和相位差。

在波动光学中，复数可以用来描述光的振幅和相位。

这些应用都是基于复数域和实数域之间的关系，通过将复数转化为实数的形式，进而进行具体的计算和分析。

复数域和实数域之间存在着密切的关系。

实数可以看作是复数的一种特殊形式，在复数域中可以进行更加广泛和丰富的数学运算。

构成数域的条件

构成数域的条件数域是数学中一个重要的概念，它是由一些复数所构成的集合。

这些复数在数域内满足一些特定的运算规律，同时可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且有一些特定的性质，如封闭性、交换律、结合律、分配律等。

本文将围绕着构成数域的条件进行讲解，其中包括素域、代数闭域、有理数域、实数域和复数域。

一、素域素域是指仅包含两个元素0和1的数域，其中0和1分别代表加法单位元和乘法单位元。

素域的数学符号为F2，其中F是Field的缩写。

在素域内，加法和乘法的运算规律如下：加法(模2) 乘法(模2)0+0=0 0×0=00+1=1 0×1=01+0=1 1×0=01+1=0 1×1=1由此可见，素域内的任意两个元素之间都有唯一的和与积，并且满足交换律、结合律和分配律，因此可以构造出各种复杂的数学结构。

二、代数闭域代数闭域是指任意多项式在该数域内都能够分解因式的数域。

代数闭域中的元素可以表示为有理数和某些根号的和、差、积、商等形式，其中每个根号都可以用一个代数式来表示。

代数闭域的定义及性质如下：（1）代数闭域中的元素必须能够通过加、减、乘、除、求根式等运算规律构造出。

（2）任何一个代数方程在代数闭域内都有解。

（3）代数闭域允许构造出广义的实数域，例如去掉实数域中的无理数，剩下的部分就构成了一个代数闭域。

三、有理数域有理数域是指在数域内，每个元素可表示为两个整数的比值，其中分母不等于零，例如1/2、3/4、-5/9等。

有理数域的运算规律包括加、减、乘、除、幂等等，同时满足交换律、结合律和分配律。

有理数域中的元素可以用分数或小数表示。

它是实数域和复数域的基础。

四、实数域实数域是指由所有有理数和无理数共同构成的数域，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，例如根号2、根号3、π等。

实数域的运算规律与有理数域相同，但包含了更广泛的数值类别。

实数域内的元素可以表示为小数、分数或根式形式。