【数学(选修2-1)】双曲线与直线位置关系[1]

y - 8 = k x -1 由 ,得 2 2 y - 4x = 4
k
2
- 4 x + 2k k - 8 x + 8 - k - 4 = 0
2 2
例5.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k
2
- 4 x + 2k k - 8 x + 8 - k - 4 = 0
2a 2 x1 x2 , x1x 2 2 2 3a 3a
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0,
a ( 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
a b 9
由题意，得
b a

5 2
解得
a 4
2
b 5
2
所以双曲线 C的方程为
x
2
4

y
2
5
1.
( 2 )设直线 l的方程为 y kx m ( k 0 ).
y kx m
联立
x
2
4

y
2
得 (5 4 k ) x 8 kmx 4 kmx 4 m 20 0.
∵中 点 坐 标 公 式 与 韦 达 定 理 , 得 k 8 - k k -4
2
3
由2
3 得 k =
1 2 1 2
直 线 AB的 方 程 为 y-8 =
x 1
即 直 线 AB的 方 程 为 x-2y+15 = 0
解 法 二 :设 A x1 , y1 , B x 2 , y 2 , 则 y 1 2 4 x1 2 4 , 2 2 y 2 4 x2 4
高考真题
(2008· 天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 Fl(-3,0)，一条渐近线方程是 5x 2 y . 0 (1)求双曲线C的方程； (2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同 的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的 三角形的面积为
81 2
，求k的取值范围.
2 2

3
的弦 AB 。求 1 AB
设 l的方程为： y 3 x

2

y 3 x 2 2 由 2x 6 2x 7 0 2 2 x y 1


AB
1 k x
2
1
x 2 4 x1 x 2
2
4
3 2
2
4
7 2
4
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则（※） 有两个不相等的实数根，应满足
1 k 0
2
解得 :
0
5 2
k
5 2
且 k 1
k 的取值范围
( 5 2 , 1) ( 1, 5 2 ) (1, 5 2 )
（2）解：将直线 y kx 1 代入双曲线方程 x y 4 化简整理 (1 k 2 ) x 2 2 kx 5 0 2k 5 由韦达定理得： x1 x 2 ; x1 x 2 2 （※） 2 2 2- y = 4 1 k 1 xk
y1 y1 y1 y1 4 x1 x 2 x1 x 2 , 弦 AB的 中 点 是 P 1, 8 , 16 y1 y1 8 x1 x 2 ,
直 线 AB的 斜 率 为 y1 y1 x1 x 2 1 2 ,
2
(
9 km 5 4k
2
2
, 0 ), ( 0 ,
2 2
9m 5 4k
2
),
2 5 4k
||
9m 5 4k
2
|
81
所以 m 2
(5 4 k ) |k |
4 k 5,
解得0 k
所以 k ( ,
5 2
5 4
或 k
5 2
5 4
.
5 ) ( , ). 2 4 5
k= ±
5
2
走向高考 若不论K为何值，直线 y k x 2 b 与曲线
x y 1 总有公共点，则b的取值范围是（ B ）
2 2
A. 3, 3 , B . 3, 3 , C 2, 2 , D 2, 2


经过双曲线 x y 1的左焦点 F1作倾斜角为
2 2 2
5
1
因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，
所以 ( 8 km ) 4 ( 5 4 k )( 4 m 20 ) 0
2 2 2
即 m 4 k 5且 k
2 2 2
5 4
设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), MN 的中点 ( x 0 , y 0 ),
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
（两个交点）（一个交点） （无交点）
例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线
(1)有两个公共点;
(2)与右支交于两点.
(1)解：将直线 y kx 1 代入双曲线方程 x 2 y 2 4 化简整理得 (1 k 2 ) x 2 2 kx 5 0 （※）
2a 2 x1 x2 , x1x2 2 3a 3 a2
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上， ∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
典型例题: 例4、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为 A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐 标原点。
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1
得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0,
a ( 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
Y
O
X
温馨提示：
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支.
O X
1只有 一个 例1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条.
（1，1） 。
x
2
y
2
O
X2.代数法:判源自直线与双曲线位置关系的操作流程图把直线方程代入双曲线方程
（2次系数等于0） （2次系数不等于0）
所以 x 0 x1 x 2 2
4 km 5 4k
2
,
y 0 kx 0 m

5m 5 4k
2
2
.
从 而 线 段 M N的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 y
5m 5 4k

1 k
(x
4 km 5 4k
2
2
)
此直线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为
由提设可得 1 | 9 km
2 2
1
2
设 A x1 , y1 , B x 2 , y 2 , 则 x1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
∴ Δ = 4k
2
8 - k
2
- 4 k - 4 8 - k
2
2
-4 > 0
=1
弦 AB的 中 点 是 P 1, 8 ,
x1 x 2 2, y1 y 2 16.
直 线 AB的 方 程 为 y-8 =
1 2
x 1
即 直 线 AB的 方 程 为 x-2y+15 = 0
变式：已知双曲线x2－y2/2＝1，试问 过点A(1,1)，能否作直线l，使与双曲线 交于P1、P2两点，且点A是线段P1P2的 中点？这样的直线l如果存在，求出它 的方程；如果不存在，说明理由。
注: 直线与 双曲 线的右支有两个 交点,实际上给出 了 方程 解的 范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要 注意!
解得
变式应用:
已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范 围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5 或k＞ 5 ；
2 2
(2)只有一个公共点; k=±1，或 (3)交于异支两点； -1＜k＜1 ；
一.复习引入 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
二.探究新知
直线与双曲线位置关系：
Y
O
X
分类：相离；相切；相交。
三.归纳总结
1.图象法 :
根据交点个数判定
Y
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点
2 2
要使直线与双曲线的右支有两个 相异的公共点，则应满足
2 1 k 0 0 ( x1 2 ) ( x 2 2 ) 0 ( x 2 )( x 2 ) 0 2 1 2 1 k 0 0 ( x1 x 2 ) 4 0 x x 2( x x ) 4 0 1 2 1 2 5 1 k 2