概率论与数理统计 盛聚 盛骤 第9章 方差分析及回归分析.ppt

F比
SA
SE
ST
SE =
SE
n−s
SA SE
13
计算ST , S A , S E的简便公式：
记T• j = ∑ X ij , j = 1, 2,L, s, T•• = ∑∑ X ij
i =1 j =1 i =1 nj s nj
T•• 2 ST = ∑∑ X ij 2 − nX 2 = ∑∑ X ij 2 − n j =1 i =1 j =1 i =1
第九章 方差分析及回归分析
§1单因素试验的方差分析
§3 一元线性回归分析
1
方差分析的提出
假设检验中,若需检验 H 0:µ1 =µ2 ,H1 : µ1 ≠ µ2 ，
2 则可用t检验(σ 12 =σ 2 =σ 2未知)，但如果有两个以上的总体
需要检验，如： H 0:µ1 = µ2 = L = µ s , H1 : µ1 , µ2 ,L，µ s不全相等 则就无能为力了，此时就需要用方差分析了。 则就无能为力了，此时就需要用方差分析了。
δ j = µ j − µ — —水平Aj的效应, j = 1, 2,..., s
此时有 n1δ1 + n2δ 2 + ... + nsδ s = 0
模型为：X ij = µ + δ j + ε ij ε ij ∼ Ν (0, σ 2 ), 各ε ij 独立 i = 1, 2, L , n j，j = 1, 2, L , s n1δ1 + n2δ 2 + ... + nsδ s = 0
水平：因素所处的状态。 水平：因素所处的状态。
3
§1单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
在一项试验中只有一个因素在改变的试验。 在一项试验中只有一个因素在改变的试验。如只考 虑氮肥的不同施用量对水稻产量的影响， 虑氮肥的不同施用量对水稻产量的影响，而不考虑其他 原因对产量的影响。得到如下数据： 原因对产量的影响。得到如下数据：
σ
因为 S E = ∑∑ ( X ij − X • j )
s j =1 i =1
2
nj
2
∑( X
i =1
nj
ij − X • j )
σ2=
( n j − 1) S 2 j
σ2
nj i =1
~ χ 2 (n j − 1), j = 1,..., s.
2
由于各X ij 相互独立，所以∑ ( X ij − X • j ) ,j = 1,..., s相互独立，
s 由χ 分布可加性，E σ ~ χ ∑ (n j − 1) ，即χ 2 ( n − s )。 S j =1
2 2 2
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性质3 (1) S A与S E 相互独立； (2) ~ χ 2 (n − s )； σ2 S (3)当H 0为真时， A ~ χ 2 ( s − 1)。 2 SE
S A ( s − 1) ∆ S A （4）当H 0为真时，F = = ~ F ( s − 1, n − s ). S E (n − s) S E
σ
（3） A = ∑∑ X • j − X S
j =1 i =1
s 2
s
nj
(
) = ∑n (X
2
s j =1 j
•j
−X
)
2
X• j − X σ2 X j ~ N (µ j , ) = ∑ 2 nj σ nj j =1 σ / 当H 0为真时，可以把 X 1 , X 2 ,L , X n 看成 SA
T2 X 2
L As L X 1s L X 2s L M L X ns s
L L L Ts X s
样本总和 样本均值 总体均值
µ1
µ2பைடு நூலகம்
µs
6
H0 : µ1 = µ2 = ... = µs
检验假设
H1 : µ1, µ2 ,..., µs不全相等。
s 1 s 记 µ = ∑ n j µ j — —总平均， 其中∑ n j = n n j =1 j =1
假设等价于
H0 : δ1 = δ 2 = L = δ s = 0 H1 : δ1 , δ 2 ,L, δ s不全为零。
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（二）平方和分解
定义：总偏差平方和 ST = ∑∑ ( X ij − X )
s j =1 i =1
s nj
nj
2
1 1 s X = ∑∑ X ij = ∑ n j X • j n j =1 i =1 n j =1
效应平方和 S A = ∑ n j ( X • j − X ) =∑ n j X • j 2 − nX 2
s 2 s j =1 j =1
X•j
s
1 = nj
nj
∑X
i =1
nj
ij
, j = 1, 2, L , s
2 s
误差平方和 S E = ∑∑ ( X ij − X • j ) = ∑ (n j − 1)S 2 j
2
12
经简单的分析，已知总的数据变异是由因素效应及随机误差 引起的，即ST = S A + S E，若因素效应S A明显大于随机误差S E， 就说明效应是显著的，即应拒绝H 0 . H0 : µ1 = µ2 = L = µs = 0, H1 : µ1, µ2 ,L, µs不全相等
或，H0 : δ1 = δ 2 = L = δ s = 0, H1 : δ1, δ 2 ,L, δ s不全为零。
n
E ( SE ) = ( n − s ) σ 2
j =1
s nj s nj 2 2 2 证明：E ( ST ) = E ∑∑ ( X ij − X ) = E ∑∑ X ij − nX j =1 i =1 j =1 i =1 s nj s nj σ2 2 2 = ∑∑ [σ 2 + ( µ + δ j ) 2 ] − n[ + µ 2 ] = ∑∑ E ( X ij ) − nE ( X ) n j =1 i =1 j =1 i =1
2
)
A2 : N ( µ2 , σ X12 X 22 M X n2 2
2
)
L As : N ( µs , σ X1s X 2s M X ns s
2
)
L L L L
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记号说明
观察结果\处理水平
试 验 指 标
A1 X 11 X 21 M X n11
T1 X 1
A2 X 12 X 22 M X n2 2
s s
nj
nj
S A = ∑ n j X • j 2 − nX 2 = ∑
j =1 j =1
s
s
T•2j
T•• 2 − nj n
S E = ST − S A
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例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗 效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组 病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到 痊愈所需时间，得到下面的记录：(α=0.05)
= nσ + nµ + 2 µ ∑ n jδ j + ∑ n jδ j − σ − nµ = ∑ n jδ j2 + ( n − 1) σ 2
2 2 2 2 2
s
s
s
s nj 2 = (n − 1)σ 2 = (n − s )σ 2 E ( S E ) = ∑ E ∑ ( X ij − X • j ) ∑ j j =1 i =1 j =1 s 10 E ( S A ) = E ( ST − S E ) = ∑ n jδ j2 + ( s − 1) σ 2
j =1
j =1
j =1
s
j =1
性质3 (1) S A与S E 相互独立； (2) ~ χ 2 (n − s )； σ2 S (3)当H 0为真时， A ~ χ 2 ( s − 1)。 2 SE
S A ( s − 1) ∆ S A (4)当H 0为真时，F = = ~ F ( s − 1, n − s ). S E (n − s) S E （2）证明：
这是普遍存在的问题，因为影响一事物的因素往往很 多的，如农业生产中，影响水稻产量的因素可能有：种子、 肥料、气象、耕作等；同一种因素下也会有不同的水平状 态，如施肥数量是1个单位、单位还是3单位？等等。 2
有些因素影响较大，而有的则较小，方差分析可以找
2
出那些较显著影响产量的因素。
方差分析的概念
试验指标：在试验中要考察的指标。 试验指标：在试验中要考察的指标。 因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素。 因素：影响试验指标的条件。包括可控因素和不可控因素。 单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验。 单因素试验：在一项试验中只有一个因素在改变的试验。 多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验。 多因素试验：在一项试验中多于一个因素在改变的试验。
0.05
解：检验假设 H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5 H1 : µ1, µ2 ,..., µ5不全相等。
s nj j =1 i =1
拒绝H 0，认为疗效 有显著差异。
s = 5, n1 = n2 = n3 = n4 = n5 = 6, n = 30, ∑∑ X ij 2 = 1047, T .1 = 45, T .2 = 30, T .3 = 26, T .4 = 31, T .5 = 37, T .. = 169
j
A1 : N ( µ1 , σ X11 X 21 M X n11
X ij = µ j + ε ij 通常假定 2 ε ij ~ N (0, σ ), 各ε ij 独立 即X ij ~ N ( µ j , σ 2 ) i = 1, 2, L, n j，j = 1, 2, L , s