甘肃省张掖市高中数学 第二章数列学案 等比数列的前n项和(1) 新人教A版必修5
4.3.2 等比数列的前n项和(1)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练4.3.2 等比数列的前n 项和 （1）一、单选题1．等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,则其前八项之和等于 （ ）A ．15B ．21C ．19D ．17【答案】D【详细解析】由已知得12341a a a a +++=, 则12345678a a a a a a a a +++++++()412341234a a a a a a a a q =+++++++41217=+=.故选D.2．若a ,4,3a 为等差数列的连续三项,则0129a a a a +++⋯+的值为 （ ）A ．2047B ．1062C ．1023D ．531【答案】C【详细解析】∵ a ,4,3a 为等差数列的连续三项 ∴a +3a =4a =2×4, 解得a =2,故0129a a a a +++⋯+=20+21+22+…+29=1012102312-=-．故选C ．3．已知等比数列｛a n ｝的公比q =12,且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60,则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于 （ ） A ．100B ．90C ．60D ．40【答案】B【详细解析】∵1359960a a a a ++++=,∴2461001359911()603022a a a a a a a a ++++=++++=⨯=,∴1234100306090a a a a a +++++=+=.故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1,a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2,S n ＝15,则项数n 为 （ ）A ．12B ．14C ．15D ．16【答案】D 【详细解析】56781234a a a a a a a a ++++++＝q 4＝2,由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1, 得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1,即a 1·411q q--＝1,∴a 1＝q －1,又S n ＝15,即()111na q q--＝15,∴q n ＝16, 又∵q 4＝2, ∴n ＝16. 故选D.5．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 （ ）A ．2nB ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列,所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=,解得:1q =,所以12n S na n ==. 故选A.6．若n S 是一个等比数列{}n a 的前n 项和,48n S =,2=60n S ,则3n S 等于 （ ）A ．183B ．108C ．75D ．63【答案】D【详细解析】由题意可知,n S 、2n n S S -、32n n S S -成等比数列,即48、12、360n S -成等比数列,所以,()23486012n S ⨯-=,解得363n S =,故选D.7．设47()222f n =++1031022()n n N +*+++∈,则()f n 等于 （ ） A ．()2817n- B ．()12817n +- C ．()32817n +- D ．()42817n +- 【答案】D【详细解析】数列04710312,22,,,,22n +是首项为2,公比为328=的等比数列,共有 （n +4）项,所以()()44731042182()222281187n n n f n +++-=++++==--.故选D8．已知一个等比数列的首项为2,公比为3,第m 项至第n 项 （m n <）的和为720,那么m 等于 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详细解析】由题意可得S n ﹣S m ﹣1＝a m +a m +1+…+a n ＝720, ∵a 1＝2,q ＝3,由等比数列的求和公式可得,()()12132131313n m ----=--720,∴3n ﹣3m ﹣1＝720,∴3m ﹣1 （3n ﹣m +1﹣1）＝9×80＝32×5×24, 则3m ﹣1≠5×16, ∴3m ﹣1＝9, ∴m ＝3, 故选A9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0),则数列{a n } （ ）A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列【答案】D【详细解析】由数列{}n a 的前n 的和2nn S a =-,可得当1n =,得112a S a ==-; 当2n ≥,得11(1)n n n n a S S a a --=-=-,所以数列{}n a 的通项公式为12,1(1),2n n a n a a a n --=⎧=⎨-≥⎩,当10,2,(1),1n n a n a a a a -≠≥=-≠时等比数列,当1a =时,{}n a 是等差数列, 故选D ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,()121n n S S n N ++=-∈,则10a = （ ）A ．128B ．256C ．512D ．1024【答案】B【详细解析】∵S n +1＝2S n ﹣1 （n ∈N +）, n ≥2时,S n ＝2S n ﹣1﹣1,∴a n +1＝2a n ． n ＝1时,a 1+a 2＝2a 1﹣1,a 1＝2,a 2＝1．∴数列{a n }从第二项开始为等比数列,公比为2．则a 10822a =⨯=1×28＝256． 故选B ．11．在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【详细解析】∵正项等比数列{}n a 中,512a =,()26753a a a q q +=+=, ∴26q q +=. ∵0q >,解可得,2q =或3q =- （舍）, ∴1132a =, ∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-,∴()1221123232n n n n -->⨯.整理可得,()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭, ∴112n <≤,经检验12n =满足题意, 故选C ．12．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足228m m S S =,22212m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为 （ ） A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】D【详细解析】设等比数列公比为q 当1q =时,2228mmS S =≠,不符合题意, 当1q ≠时,()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--, 得27m q =,又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--, 由221272m m +=-,得3m =,327,3q q ∴=∴=,故选D.二、填空题13．若数列{}n a 中,13a =,且13n n a a +=,则其前n 项和n S =______.【答案】()3312n- 【详细解析】依题意,13n na a +=,所以数列{}n a 是以3为首项,3为公比的等比数列,则3(13)3(31)132nn n S -==--.故填()3312n-. 14．若等比数列{}n a 的通项公式是()42nn a n -*=∈N ,这个数列的前5项之和为______.【答案】312【详细解析】由题意可得41128a -==,且公比为()4111421222n n n n a q a -+-+-====,因此,该数列的前5项和为()551181131211212a q q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--, 故填312. 15．等比数列{}n a 为非常数数列,其前n 项和是n S ,当333S a =时,则公比q 的值为_____．【答案】12-【详细解析】333S a =,则2211113a a q a q a q ++=,10a ≠,则2210q q --=,解得12q =-或1q = （舍去）. 故填12-. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-,则通项公式为_________． 【答案】17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 【详细解析】已知数列{}n a 的前n 项和为233nn S =-, 当1n =时,11123373a S ==-=-, 当2n ≥时,11122333332n n n n n n S S a ---=--⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,而173a =-,不适合上式, 所以17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩ 故填17(1),323(2)n n n a n -⎧-=⎪=⎨⎪-⋅⎩17．设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和,若510S S ＝13,则20105S S S +＝________.【答案】118【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为()()()()()()()51055201010111151021111111,11111,1a q a q a q q a q a q q qqqqS SSq---+--+====---=--,所以()()51010201051,1S S q SS q =+=+)．由510S S ＝13,得05511113S S q ==+,解得5102,4q q ==,所以105201053,515S S S S S ===,从而1020518S S S +=,所以0552051S S 1S S 18S 18==+,故填118. 18．已知数列{}n a 的首项135a =,1321nn n a a a +=+,*n N ∈,记12111n nS a a a =+++,若100k S <,则正整数k 的最大值为__________.【答案】99【详细解析】因为1321n n n a a a +=+,所以112133n n a a +=+,设11113n n k k a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 得111233n n k a a +=-,与112133n n a a +=+比较得2233k -=,1k ∴=-.所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 又112103a -=≠,所以()*110n n N a -≠∈,所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,所以1121133n n a -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭,所以11213nn a ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,所以1212111111111332211333313n n n nn S n n n a a a +-⎛⎫=+++=++++=+⨯=+- ⎪⎝⎭-, 若100k S <,则111003k k +-<,所以max 99k =,故正整数k 的最大值为99, 故填99.三、解答题19．已知等差数列{}n a 不是常数列,其前四项和为10,且2a 、3a 、7a 成等比数列.（1）求通项公式n a ;（2）设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【详细解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差d ,1234232710a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩ ()()()12111461026a d a d a d a d +=⎧⎪⇒⎨+=++⎪⎩ 解得:12,3a d =-=()21335n a n n ∴=-+-⨯=- ;（2）352n n b -= ,3231352282n n n n b b -+-=== ,114b = {}n b ∴是公比为8,首项为14的等比数列,()1188141828n n n S ⨯--∴==- .20．等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式;（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63,求m ．【详细解析】 （1）设{}n a 的公比为q,由题有:1421114a a q a q =⎧⎨=⎩解得: 0()22q q q ===-舍去或或 故()1122n n n n a a --=-=或（2）若()12n n a -=-,则()123nns --=,由63m s =得()2188m-=-,此方程没有正整数解;若12n n a -=,则21n n s =-,由63m s =得,264m =,6m ∴=综上:6m =21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知12n n S a +=.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求使得22020n n a S >+的n 的取值范围. 【详细解析】 （1）由题知,12n n S a +=①, 当1n =时,11a =当2n ≥时,1112n n S a --+=② ①减②得,12n n a a -=,故{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以12n na（2）由 （1）知,2122n n a -=,21nn S =-22020n n a S >+即210221202n n --+> 等价于()2224038nn->易得()222nn-随n 的增大而增大而6n =,()2224038nn-<,7n =,()2224038n n ->故7n ≥,n N ∈22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,13a =,且对任意的正整数n ,都有113n n n S S λ++=+,其中常数0λ>．设3nn n a b =()n N *∈﹒ （1）若3λ=,求数列{}n b 的通项公式; （2）若1λ≠且3λ≠,设233n n n c a λ=+⨯-()n N *∈,证明数列{}n c 是等比数列; （3）若对任意的正整数n ,都有3n b ≤,求实数λ的取值范围．【详细解析】∵113n n n S S λ++=+,n N *∈, ∴当2n ≥时,-13nn n S S λ=+,从而123nn n a a λ+=+⋅,2n ≥,n N *∈﹒又在113n n n S S λ++=+中,令1n =,可得12123a a λ=+⋅,满足上式, 所以123nn n a a λ+=+⋅,n N *∈﹒（1）当3λ=时,1323nn n a a +=+⋅,n N *∈,从而112333n n n na a ++=+,即123n n b b +-=, 又11b =,所以数列{}n b 是首项为1,公差为23的等差数列, 所以213n n b +=． （2）当0λ>且3λ≠且1λ≠时,1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--,又163(1)3033c λλλ-=+=≠--,所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--,公比为λ的等比数列,13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ （3）在 （2）中,若1λ=,则0n c =也适合,所以当3λ≠时,13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由 （1）和 （2）可知11(21)33{3(1)23333n n n n n a λλλλλλ--+⨯==-⋅-⨯≠--，，，． 当3λ=时,213n n b +=,显然不满足条件,故3λ≠． 当3λ≠时,112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时,103λλ->-,1n n b b +<,n N *∈,[1,)n b ∈+∞,不符合,舍去． 若01λ<<时,103λλ->-,203λ->-,1n n b b +>,n N *∈,且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可,显然成立．故01λ<<符合条件; 若1λ=时,1n b =,满足条件．故1λ=符合条件; 若13λ<<时,103λλ-<-,203λ->-,从而1n n b b +<,n N *∈, 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，, 要使3n b ≤成立,只须233λ-≤-即可． 于是713λ<≤． 综上所述,所求实数λ的范围是7(0]3，．。
高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷 款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)． 由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13， 所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1， 所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126， 所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中， 已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想 与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公 比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。
2022年高中数学第二章数列5-1等比数列的前n项和练习含解析新人教A版必修
课时训练13 等比数列的前n项和一、等比数列前n 项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( )A.31B.33C.35D.37答案:B解析:∵S 5=1,∴a 1(1-25)1-2=1,即a 1=131.∴S 10=a 1(1-210)1-2=33.2.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )A .S n =2a n -1B .S n =3a n -2C .S n =4-3a nD .S n =3-2a n答案:D解析:S n =a 1(1-q n)1-q =a 1-a n q 1-q =1-23a n1-23=3-2a n ,故选D .3.(2015福建厦门高二期末,7)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若27a 2-a 5=0,则S 4S 2等于( )A.-27 B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则27a 2-a 2q 3=0,解得q=3,∴S 4S 2=a 1(1-q 4)1-q ·1-q a 1(1-q 2)=1+q 2=10.故选B .4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .答案:6解析:∵a n+1=2a n,即an+1a n=2,∴{a n}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴S n=2(1-2n)1-2=126.∴2n=64,∴n=6.5.设数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .答案:15解析:由数列{a n}首项为1,公比q=-2,则a n=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+| a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )A.180B.108C.75D.63答案:D解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.7.已知数列{a n},a n=2n,则1a1+1a2+…+1an= .答案:1-1 2n解析:由题意得:数列{a n }为首项是2,公比为2的等比数列,由a n =2n ,得到数列{a n }各项为:2,22,…,2n ,所以1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n .所以数列{1a n }是首项为12,公比为12的等比数列.则1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n=12[1-(12)n]1-12=1-12n.8.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n-1=128,S n =126,求n 和q.解:∵a 2a n-1=a 1a n ,∴a 1a n =128.解方程组{a 1a n =128,a 1+a n =66,得{a 1=64,a n =2,①或{a 1=2,a n =64.②将①代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=12,由a n =a 1q n-1,可得n=6.将②代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=2,由a n =a 1q n-1可解得n=6.综上可得,n=6,q=2或12.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,设c n =a b n ,T n =c 1+c 2+…+c n ,当T n >2 013时,n 的最小值为( )A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知a n =2n-1,b n =2n-1,∴c n =a b n =2×2n-1-1=2n -1.∴T n =c 1+c 2+…+c n =(21+22+ (2))-n=2×1-2n1-2-n=2n+1-n-2.∵T n>2013,∴2n+1-n-2>2013,解得n≥10,∴n的最小值为10,故选C.10.已知公差不为0的等差数列{a n}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.(1)求a n;(2)若b n=2a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11 ①.因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d.又d≠0,所以2d=3a1 ②,联立①②,解得a1=2,d=3,所以a n=3n-1.(2)因为b n=2a n=23n-1=4·8n-1,所以{b n}是首项为4,公比为8的等比数列.所以T n=4(1-8n)1-8=23n+2-47.(建议用时:30分钟) 1.在等比数列{a n}中,a1=3,a n=96,S n=189,则n的值为( ) A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q≠1,由a n=a1·q n-1,得96=3×q n-1.又由S n=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q.∴q=2.∴n=6.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S1,S3,S2成等差数列,则{a n}的公比等于( )A.1B.12C.-12D.1+√52答案:C解析:设等比数列{a n}的公比为q,由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-12或q=0(舍去).故选C.3.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( )A.2B.12C.4D.14答案:C解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=( )A.11B.5C.-8D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.∴S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11.5.设{a n}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:S n=X,S2n-S n=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列{a n}为a n=2n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列,∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n)1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51,∴n ≥6.7.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为 . 答案:3116解析:易知公比q ≠1.由9S 3=S 6,得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q ,解得q=2.∴{1a n }是首项为1,公比为12的等比数列.∴其前5项和为1-(12)51-12=3116.8.在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=-4,则公比q= ;|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .答案:-2 2n-1-12解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q=-2;等比数列{|a n |}的公比为|q|=2,则|a n |=12×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2=4,a3+a4=17.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+2,证明数列{b n}是等比数列并求其前n项和T n. (1)解:设等差数列{a n}的公差为d.由题意知{a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4,解得a1=1,d=3,∴a n=3n-2(n∈N*).(2)证明:由题意知,b n=2a n+2=23n(n∈N*),b n-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),∴bnb n-1=23n23n-3=23=8(n∈N*,n≥2),又b1=8,∴{b n}是以b1=8,公比为8的等比数列.∴T n=8×(1-8n)1-8=87(8n-1).10.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R),且1a1,1a2,1a4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N*,试比较1a2+1a22+1a23+…+1a2n与1a1的大小.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意可知(1a2)2=1a1·1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d≠0,∴d=a1=a.故通项公式a n=na.(2)记T n=1a2+1a22+…+1a2n,因为a2n=2n a,所以T n=1a(12+122+ (12))=1 a ·12[1-(12)n]1-12=1a[1-(12)n].从而,当a>0时,T n<1 a 1 ;当a<0时,T n>1 a 1 .。
高中数学新人教版A版精品学案《等比数列的前n项和》
等比数列前n 项和【学习目标】探索并掌握等比数列的前n 项和公式【学习重难点】学习重点：等比数列的概念及等比数列的通项公式。
学习难点：等比数列“等比”的特点及通项公式的含义。
【学习过程】一、自主学习1．学习等比数列{}n a 前n 项和n S 公式推导过程。
2．等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，前n 项和n S=n S ，3．等比数列{}n a 前n 项和n S 的相关性质二、课前热身1．等比数列{}a n 中，（1）已知11a 4,2q =-=则10s =__________________ （2）已知11,243,3k a a q ===则k s =___________________2．等比数列{}a n 中，已知36763,22s s ==则n a =_______，9s =___________ 3．等比数列{}a n 中，前四项之和为240，第2项，第4项之和为180，则首项为____________4．在数列{}a n 中，1n n a ca +=（c 为非零的常数）且前n 项和3n n s k =+，则实数的值为________________三、典型例析例1 等比数列{an}的前n 项和为n s ，已知166n a a +=，21128n a a -=，126n s =，求n 和公比q 的值。
例2 在等比数列{an}中，已知s 48n =， 2s 60n =求3s n变式训练 已知等比数列{an}的前n 项和是2，紧接着后面的2n 项和事12，再紧接着后面的3n 项和是，求的值。
例3求和：21s 123n nx x nx -=++++【达标检测】1．如果数列的前n 项和3s 12n n a =-，则此数列的通向公式n a =__________________2．设等比数列{a n }的前n 项和为s n ，若s m =10，2s m =30，则3s m =_________________3． 在等比数列{a n }中，11a =，152n a =-，前n 项和为s n =-341，则公比q=_______，项数n=_________________4．设等比数列{a n }的前n 项和为s n ，4s 1=，8s 17=，则n a =______________。
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和教案新人教A版必修
§2.5等比数列的前n 项和●教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点等比数列的前n 项和公式推导●教学难点 灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境][提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”Ⅱ.讲授新课[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、 等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②. 公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
高中数学新人教版A版精品教案《等比数列的前n项和》
等比数列的前n项和一、教学内容分析本课选自《数学必修5》（新人教版）第二章第5节第一课时。
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、设计思想《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
2、通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
3、通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教学重点、难点教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。
高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(一)导学案新人教A版必修5(1)
§2.5 等比数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q n1－q ＝a 1－a n q 1－qqna 1 q ＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n－1)．其中A ＝a 1q －1. 3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1＋25a 1－22＝－11.2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1－q 61－q a 1－q 31－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1－q 101－q a 1－q1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1－q 41－q ，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4－q q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝－1251－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k ) ＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝8－2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1－q 61－q ＝4·a 1－q 31－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.②将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q ，可得q ＝12， 由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1qn －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x －x n 1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x －x n －x 2－nx n ＋11－x .综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2 x ＝x －xn－x2－nx n ＋11－xx ≠1且x .能力提升13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解 方法一 由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二 由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1－q n1－q＝54 ①S 2n ＝a 1－q 2n1－q＝60 ②由②÷①得1＋q n＝109，∴q n＝19，∴a 11－q ＝9×548，∴S 3n ＝a 1－q 3n 1－q ＝9×548(1－193)＝1823.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23－2n －11－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．。
高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596
第一课时 等比数列的前n 项和[提出问题已知等比数列{a n }，公比为q ，S n 是其前n 项的和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.问题1：若q ＝1，则S n 与a 1有何关系？ 提示：S n ＝na 1.问题2：若q ≠1，你能用a 1，q 直接表示S n 吗？如何表示？ 提示：能．∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q.[导入新知]等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n1－qqS n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－a n q1－qq[化解疑难]1．在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意对公比q 的讨论(q ＝1或q ≠1)． 2．当q ≠1时，若已知a 1及q ，则用公式S n ＝a 1－qn1－q较好；若已知a n ，则用公式S n ＝a 1－a n q 1－q较好．[例n (1)若a 1＝1，a 5＝16，且q ＞0，求S 7； (2)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .[解] (1)∵{a n }为等比数列且a 1＝1，a 5＝16， ∴a 5＝a 1q 4. ∴16＝q 4. ∴q ＝2(负舍)． ∴S 7＝a 1－q 71－q＝1－271－2＝127. (2)①当q ≠1时，S 3＝a 1－q 31－q＝92， 又a 3＝a 1·q 2＝32，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92，即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92， 解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6.②当q ＝1时，S 3＝3a 1， ∴a 1＝32.综上得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1.[类题通法]在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用] 在等比数列{a n }中： (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解：(1)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1－241－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1－q 81－q＝115－281－2＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝10， ①a 1q 3＋q 2＝54. ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1－q 51－q＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.[例2] n n 481718＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2， 故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32. [类题通法]等比数列前n 项和的重要性质(1)等比数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S 偶S 奇＝q ； 等比数列的项数是奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q . [活学活用]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1－q21－q＝3，S 4＝a1－q 41－q＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4， 故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－261－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－－－6]1－－＝63.故选C.法二：在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.法三：设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15， 解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 2．等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴公比q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2[例3] n n 132 (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴2S 3＝S 1＋S 2，显然{a n }的公比q ≠1， 于是2a 1－q 31－q＝a 1＋a 1－q 21－q，即2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ， 整理得2q 2＋q ＝0， ∴q ＝－12(q ＝0舍去)．(2)∵q ＝－12，又a 1－a 3＝3，∴a 1－a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，解得a 1＝4.于是S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . [类题通法]解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式是解决问题的关键．[活学活用]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n ＞0，求数列{b n }的前n 项和T n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)． 又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3， 于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n 1－125＝12524⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n.5.等比数列求和中的误区[典例] 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . [解] 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件； 当q ≠1时，a 1－q 31－q＝3a 1q 2，因为a 1≠0， 所以1＋q ＋q 2＝3q 2， 2q 2－q －1＝0， 解得q ＝－12.综上所述，公比q 的值是1或－12.[易错防范]1．易忽视q ＝1这一情况，从而得出错解．2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q ，若其中含有字母，就应按q ＝0，q ＝1，q ≠0且q ≠1讨论．[成功破障]已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解：若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意． 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1－q 31－q＝－q 31－q＝6，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.[随堂即时演练]1．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.2．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选C a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4.3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 解析：∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1－q n1－q＝62，即a 1－251－2＝62，∴a 1＝2. 答案：24．等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________.解析：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列， 故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)， 即(50－10)2＝10(S 15－50)， 解得S 15＝210. 答案：2105．在等比数列{a n }中： (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ；(2)若S n ＝189，a 1＝3，a n ＝96，求q 和n .解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝30，a 1＋q ＋q2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54，或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)∵等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189， ∴3－96q1－q＝189.∴q ＝2. ∴a n ＝a 1q n －1.∴96＝3×2n －1.∴n ＝5＋1＝6.[课时达标检测]一、选择题1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n 等于( ) A.1－a n1－a B.1－an －11－aC.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n 1－a a n a ＝D.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a a n a ＝解析：选C 注意对公比a 是否为1进行分类讨论，易知选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C 易知公比q ≠1. 由9S 3＝S 6，得9·a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.5．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于( )A ．2 016B ．－1C ．1D ．0解析：选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1， 又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 016＝－1×[1－－ 2 016]1－－＝0.二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：157．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q2n1－q，S 奇＝a 1[]1－q2n1－q 2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 答案：28．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[]1－q 251－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：585 三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 1＝1，b 3＝a 3，求T n . 解：(1)∵等差数列{a n }，∴设公差为d ，a 6－a 4＝2d ⇒2d ＝4⇒d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由(1)可知b 3＝a 3＝2×3－2＝4，又∵正项等比数列{b n }，∴q 2＝b 3b 1＝4⇒q ＝2，∴T n ＝－2n 1－2＝2n－1.11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2， 所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9求数列的公比q . 解：法一：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.同理可得q ≠－1，依题意S 3＋S 6＝2S 9.∴a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q ＝2×a 1－q 91－q .整理，得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，由于q ≠0，得2q 6－q 3－1＝0. ∵q ≠－1，∴q 3≠－1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.法二：S 3＋S 6＝2S 9，∴S 3，S 9，S 6成等差数列．∴S 9－S 3＝S 6－S 9，∴a 1q 3＋a 1q 4＋…＋a 1q 8＝－a 1q 6－a 1q 7－a 1q 8，∴a 1q 3(1＋q ＋q 2)(2q 3＋1)＝0.∵a 1≠0，q ≠0,1＋q ＋q 2≠0，∴2q 3＋1＝0，q ＝－312＝－342.法三：∵S 3＋S 6＝2S 9，又S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．∴由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＋S 6＝2S 9，S 3S 9－S 6＝S 6－S 32.消去S 9，得S 3＝2S 6，又由法一知q ≠1，∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342.敬请批评指正。
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高中数学第二章数列 第1课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修
2．5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和[目标] 1.体会等比数列前n 项和公式的推导过程；2.记住等比数列的前n 项和公式,并能进行熟练计算；3.会用等比数列的前n 项和公式解答一些简单的等比数列前n 项和问题．[重点] 等比数列前n 项和公式及应用． [难点] 等比数列前n 项和公式的推导．知识点一 等比数列的前n 项和公式[填一填][答一答]1．等比数列求和时,能否直接运用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 或S n ＝a 1－a n q1－q？提示：不能．运用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 或S n ＝a 1－a n q1－q 的前提是公比q ≠1,所以对含有参数的等比数列求和时,应首先判断该数列的公比是否为1.若公比为1,则应按常数列求和,S n ＝na 1；若不能判断公比的值,则应分类讨论．2．数列a ,a 2,a 3,…,a n ,…的前n 项和是多少？ 提示：当a ＝1时,S n ＝n ；当a ≠1时,S n ＝a (1－a n )1－a.知识点二 等比数列前n 项和公式的推导——错位相减法[填一填]一般地,对于等比数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .根据等比数列的通项公式,上式可写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1 ①,①的两边同乘以q ,得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ②, 用①的两边分别减去②的两边,得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .当q ≠1时,等比数列的前n 项和公式为S n ＝a 1(1－q n )1－q .因为a 1q n ＝(a 1q n －1)q ＝a n q ,所以上面的公式还可以写成S n ＝a 1－a n q1－q.当q ＝1时,数列{a n }即为常数列a 1,a 1,a 1,…,a 1,…,易得它的前n 项和S n ＝na 1.[答一答]3．“错位相减法”适用于什么样的数列求和？提示：它适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项的和,它也是等比数列求和公式推导的思想方法．类型一 等比数列前n 项和的计算[例1] (1)已知在等比数列{a n }中,a 1＝2,S 3＝6,求a 3和q .(2)在等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,公比为q ,若S n ＝189,q ＝2,a n ＝96,求a 1和n . [分析] 运用等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).[解] (1)若q ＝1,则S 3＝3a 1＝6,符合题意．此时,a 3＝a 1＝2；若q ≠1,则由等比数列的前n 项和公式,得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝6,解得q ＝1(舍去)或q ＝－2.此时,a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述,q ＝1,a 3＝2或q ＝－2,a 3＝8. (2)方法一：∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a 1q n1－q＝a 1－a n q1－q(q ≠1),∴189＝a 1－96×21－2,∴a 1＝3,又∵a n ＝a 1q n －1,∴96＝3×2n －1,即2n －1＝32,则n ＝6.方法二：由S n ＝a 1(1－q n)1－q ,a n ＝a 1·q n －1以及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a 1(1－2n)1－2，96＝a 1·2n －1，∴a 1·2n ＝192,即2n ＝192a 1,∴189＝a 1(2n －1)＝a 1⎝⎛⎭⎫192a 1－1, ∴a 1＝3,∴2n －1＝963＝32,∴n ＝6.若不讨论公比q 是否为1,就直接使用了等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ,有可能出现漏解的情况.在使用等比数列的前n 项和公式解题时,若公比q 不确定,要注意对公比q 是否为1进行讨论.当q ＝1时,S n ＝na 1；当q ≠1时,S n ＝a 1(1－q n )1－q,运用了分类讨论思想.[变式训练1] 在等比数列{a n }中,公比为q ,前n 项和为S n . (1)a 1＝8,a n ＝14,S n ＝634,求n .(2)S 3＝72,S 6＝632,求a n 及S n .解：(1)显然q ≠1,S n ＝a 1－a n q 1－q ,即8－14q 1－q ＝634,∴q ＝12.又a n ＝a 1q n －1,即8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝14,∴n ＝6. (2)由S 6≠2S 3知q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632， ②②÷①,得1＋q 3＝9,∴q 3＝8, 即q ＝2.代入①得a 1＝12,∴a n ＝a 1q n －1＝12×2n －1＝2n －2,S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1－12.类型二 错位相减法求和[例2] 设a 为不等于零的常数,求数列a,2a 2,3a 3,…,na n ,…的前n 项和．[分析] 观察数列的通项公式的结构,发现形式为一个等差数列和一个等比数列的乘积,故可采用错位相减法；考虑到通项中有字母,故要分类讨论．[解] 若a ＝1,则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；若a ≠1,且a ≠0时,S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＋na n ,① aS n ＝a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋(n －1)a n ＋na n ＋1,② ①－②得,S n －aS n＝a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －na n ＋1＝a (1－a n )1－a－na n ＋1, 所以S n ＝a －(1＋n －an )a n ＋1(1－a )2.综上,S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，a －(1＋n －an )an ＋1(1－a )2，a ≠1且a ≠0.错位相减法适合于数列{a n ·b n }的求和,其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列.即一个等差数列和一个等比数列的对应项的积所构成的数列在求和时可以采用此法.具体步骤：当公比q ≠1时,在原式两边同乘等比数列的公比,得到一个新的式子,然后再与原式错位相减即可得到一个可以求和的式子.当公比q ＝1时,可按常数列求和.[变式训练2] 已知等差数列{a n }的前3项和为6,前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3,d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)(－1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1,于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋(n －1)·q n －2＋n ·q n －1.① 若q ≠1,将①两边同乘q ,得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋…＋(n －1)q n －1＋n ·q n .②由②－①得(q －1)S n ＝nq n －(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)＝nq n－q n －1q －1,则S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1,则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以,S n＝⎩⎪⎨⎪⎧nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1，n (n ＋1)2，q ＝1.类型三 等比数列求和的综合应用[例3] 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且－2S 2,S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[分析] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式．(2)求出前n 项和,根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵－2S 2,S 3,4S 4成等差数列, ∴S 3＋2S 2＝4S 4－S 3,即S 4－S 3＝S 2－S 4,∴2a 4＝－a 3,于是q ＝a 4a 3＝－12.又∵a 1＝32,∴等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：易求得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n , ∴S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时,S n ＋1S n 随n 的增大而减小,所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时,S n ＋1S n随n 的增大而减小,所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *,有S n ＋1S n ≤136.本题考查了分类讨论思想以及数列单调性的应用.这种方法在数列比较大小和最值问题中是一种常用的思路.[变式训练3] 已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列,并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1, 得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. a 1＋12＝32.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n ＋12＝3n2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时,3n －1≥2×3n －1, 所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.1．已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( B ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37解析：∵S 5＝1,∴a 1(1－25)1－2＝1,即a 1＝131.∴S 10＝a 1(1－210)1－2＝33.2．已知{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3,a 2a 4＝144,则S 10的值是( D )A ．511B ．1 023C ．1 533D ．3 069解析：设等比数列{a n }的公比是q , 所以a 2a 4＝(3q )·(3q 3)＝9q 4＝144. 所以q 4＝16,q ＝2.所以S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝3(1－210)1－2＝3 069.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＋3S 2＝0,则公比q ＝－2. 解析：由S 3＝－3S 2,可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2), 即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q ), 化简整理得q 2＋4q ＋4＝0,解得q ＝－2.4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋a ,则a 的值等于－1. 解析：等比数列的前n 项和 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n＝A －Aq n ⎝⎛⎭⎫记A ＝a 11－q ,∴a ＝－1.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30,求a n 和S n . 解：设{a n }的公比为q ,由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3,q ＝2时,a n ＝3×2n －1,S n ＝3(2n －1)； 当a 1＝2,q ＝3时,a n ＝2×3n －1,S n ＝3n －1.——本课须掌握的两大问题1．等比数列前n 项和(1)在运用等比数列的前n 项和公式时,一定要注意对公比q 的讨论(q ＝1或q ≠1)． (2)当q ≠1时,若已知a 1及q ,则用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 较好；若已知a n ,则用公式S n ＝a 1－a n q1－q 较好．2．错位相减法求和如果数列{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,求数列{a n·b n}的前n项和时,可采用错位相减法．在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n”的表达式．。
甘肃省张掖市高中数学 第二章数列学案 等差数列(1) 新人教A版必修5
§2.2等差数列（1）主备人： 审核人：学习目标1．理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2．探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、复习回顾1：通项公式与递推公式的定义及区别？2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学※ 学习探究探究一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63…③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5… ④ 10072，10144，10216，10288，10366…新知：1、等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2、等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A= 。
探究二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+32a a -= ， 即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a = 。
所以：已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a . ※ 典型例题例1 、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数。
甘肃省张掖市高中数学 第二章数列学案 等比数列的前n
§2.5等比数列的前n 项和(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.学习过程一、复习回顾1、等比数列的前n 项和公式当1q ≠时，n S = ＝ 。
当q=1时，n S = 。
2、等比数列的通项公式n a = = 3、等比数列的性质二、新课导学※ 学习探究：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++L ， 1n S -=1231n a a a a -++++L （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = . 反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1、 数列{}n a 的前n 项和1n nS a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.例2、数列{}n a 是等差数列，公差0d ≠，且751,,a a a 为等比数列{}n b 的前三项，其中14a =．(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）求{}n n a b 的前n 项和n T ．变式：设数列{}n a 为231,2,3,4x x x ,L,1n nx-L ()0≠x ，求此数列前n 项的和n S 。
变式：数列}{n a 的通项1(21)2n n a n -=+⋅，前n 项和为nS ，求nS ．三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系；2. 用错位相减法求前n 项和※ 知识拓展1. 等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；2. 等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）.A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4．若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和为( )A ．n n S 211-= B ．n n nnS 22121--=-C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nn n S 211 D ．n n n nS 22121+-=-5．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（ ）A ．32B ．313C ．12D ．156．等比数列的前n 项和32n n k S =+，则k 的值为（ ）A ．3-B ．－1C ．1D ．37.在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .8. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .课后作业1. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项na.2. 设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；3.设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111a b==，3521a b+=，5313a b+=。
甘肃省张掖市高中数学 第二章数列学案 等差数列的前n项和(1) 新人教A版必修5
主备人： 王 浩 审核人： 马 琦学习目标1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.学习过程一、复习回顾1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？2：等差数列有哪些性质？二、新课导学 ※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n=?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 思考：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，；⑵114.50.715a d n ===，，.小结： 1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： 。
2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： 。
※ 典型例题例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n.小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量. 三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列. 2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，Sn 是其前n 项和，设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .6.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 为（ ）.A. 12B. 16C. 9D. 16或9课后作业1、在等差数列{}n a 中，（1）已知31=a ，10150=a ，求50S ；（2）已知31=a ，21=d ，求10S ；（3）已知21=d ，23=n a ，215-=n S ，求1a 及n 。
甘肃省张掖市高三数学一轮学案 模块2 三角函数与数列
第二十讲 等比数列及前n 项和一、知识梳理等比数列定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公比q a a n n =-1)2,(*≥∈n N n ，或q a a nn =+1（0≠q ）；通项公式 =n a m a =求和公式 由错项相减法推得①1≠q ，=n S =②1=q ，=n S用函数的思想理解通项公式 若}{n a 为等比数列n n ca a =，则=a ，=c ；用函数的思想理解求和公式若}{n a 为等比数列，BAa S n n +=，则=a=A ；=B ；（其中 的系数 与 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件1,0≠≠q q 。
） 若A B -≠，说明： ；等比数列}{n a ，aS n n +=3，则=a ；增减性}{n a 为递增数列⇔ ； }{n a 为递减数列⇔ ； }{n a 为常数列⇔ ；}{n a 为摆动数列⇔ ；等比中项 两个数b a ,的等比中项为 ；（0>ab ）等比数列的性质 m n n a a a a -⋅=⋅=⋅_________212中a ==Λ若q p n m +=+，则__________ __； 特别当p n m 2=+，则 ；在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。
如：Λ,,,531a a a ；问公比为987654321,,a a a a a a a a a ++++++ 数列；公比为 ；987654321,,a a a a a a a a a 是 数列；公比为 ；963852741,,a a a a a a a a a ++++++是 数列；公比为 ；等比数列中还有以下性质须注意： （1）若}{n a 是等比数列，则)0}({≠λλn a ，|}{|n a 也是等比数列，公比分别 ； ；（2）若}{n a 是等比数列，则}1{n a ，}{2n a 也是等比数列，公比分别 ； ；等比数列的判定方法：①定义法：q a a nn =+1或)2(1≥=-n d a a n n（q 是不为零的常数）}{n a ⇔是等比数列②中项公式法：}{)0(21221n n n n n n n a a a a a a a ⇔≠⋅=++++是等比数列③通项公式法：nn cq a =（q c ,是不为零常数）}{n a ⇔是等比数列④前n 项和公式法：k kq S n -=2（11-=q a k 是常数）}{n a ⇔是等比数列注意：①②是用来证明}{n a 是等比数列的理论依据。
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§2.5等比数列的前n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前n 项和公式；
2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题
.
学习过程
一、复习回顾
1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？
2：什么是等比数列？通项公式是什么？有什么性质？
二、新课导学
※ 学习探究： 等比数列的前n 项和 故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知：等比数列的前n 项和公式
设等比数列123,,,n a a a a L L 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++L ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：（错位相减法）
则22
111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨
=⎪⎩L
(1)n q S ∴-=
当1q ≠时，n S = ① 或n S = ② 当q=1时，n S = 。
公式的推导方法二：
由等比数列的定义，3
2121
n n a a a q a a a -====L ，
有
231121n n n n n
a a a S a q
a a a S a -+++-==+++-L L ，即
1
n n n
S a q
S a -=-.
∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上） 公式的推导方法三：
n S =123n a a a a +++L ＝11231()n a q a a a a -++++L
＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上） ※ 典型例题
例1、已知a1=27，a9=1
243，q<0，求这个等比数列前5项的和.
变式：（1）求等比数列12，14，1
8，…的前8项的和.
（2）13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.
例2、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
变式：一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 等比数列的前n 项和公式；
2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；
3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
※ 知识拓展
1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,a
a aq q . 若四个同符号的数成等比
数列，可设这四个数为33
,,,a a
aq aq q q .
3. 证明等比数列的方法有：
（1）定义法：1
n n
a q a +=；（2）中项法：1
12+-⋅=n n n a a a 。
4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式11
1(1)
n n n
S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测
1. 数列1，a ，2
a ，3
a ，…，1
n a
-，…的前n 项和为（ ）.
A. 11n a a --
B. 111n a a +--
C. 2
11n a a +-- D. 以上都不对 2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.
A. 30
B. 60
C. 80
D. 160
3．等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比为（ ） A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．2或1
4．数列{}n a 的通项公式为42n n a -=()n N *∈，则它的前5项和等于（ ）
A ．52
B ．1
152 C ．40 D ．8
21-
5. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30
123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ） A. 102 B. 202 C. 1 D. 60
2
6. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .
7. 等比数列的前n 项和
3n
n S a =+，则a ＝ .
课后作业
1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及
2.等比数列中，33139
,.
22a S a q ==,求及
3. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==g ，求6S .
4．在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若105S =，2015S =，求30S .。