2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题及答案

（3）由（2），当b<2a，a>0，b>0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．
试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中， ∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．
（2）存在，理由：若∠BMC=9°0，则∠AMB+∠DMC=9°0，又∵ ∠AMB+∠ABM=9°0，∴∠ABM=∠DMC， 又∵ ∠A=∠D=90°， ∴△ABM∽△DMC，
4．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：
（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离 为．
（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．
问题解决：
（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由．
3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BCFD是菱形；
（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD， ∵点E为CD的中点， ∴DE=EC，
中，利用勾股定理即可求得 的长，再过点 作 于 ，由角平分线的性 质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.
【详解】
（1）四边形为矩形，
，，
又，
；
，
在 中， ， 过点 作 于 ，
，，
，
，，
，
、 、 共线，
四边形 是矩形，
.
【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾 股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作 法，注意数形结合思想的应用.
FBC BFD
在△BCE与△FDE中，DCB CDF，
DE EC
∴△BCE≌△FDE， ∴DF=BC，
又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形， ∵BD=BC， ∴四边形BCFD是菱形；
2）∵四边形BCFD是菱形， ∴BD=DF=BC=2，
在Rt△BAD中，AB=BD2AD23，
∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF=AB2AF2=23．
（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图① 中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，
CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图 ①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图 ③ 所示，再连接相应的线段，问（1）中 的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
AM AB
∴CD DM，
x
设AM=x，则
a
整理得：x2﹣bx+a2=0，
∵b>2a，a>0，b>0，
∴△=b2﹣4a2>0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当b>2a时，存在∠BMC=90，°
（3）不成立．理由：若∠BMC=9°0，由（2）可知x2﹣bx+a2=0， ∵b<2a，a>0，b>0，∴△=b2﹣4a2<0，
解析】 【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证 明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明 △AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
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【解析】
【分析】
试题分析：（1）、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=OC2CD2计算即可．（2）、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据
OC=OE2CE2计算即可．（3）、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．
【详解】 试题解析：（1）、如图1中，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中， ∵ ∠C=90，°OC=2，CD=1，
∴OD=OC2CD222125
(2) 、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．
∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴DH=HE，OD=OE， ∠DOH=∠DOE=22.5，2
是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=4°5，则可求得∠BMC=9°0；（2）由∠BMC=9°0，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b>2a，a>0，b>0，即可判定 △>0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
∴方程没有实数根，
∴当b<2a时，不存在 ∠BMC=90，°即（2）中的结论不成立． 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
E.
（1）求证：△AED≌△CEB′
PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG +
【分析】
（1）由折叠的性质知，， ， ，则由
得到wenku.baidu.com；
（2）由，可得 ，又由 ，即可求得 的长，然后在
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运动．
2）如图2，当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=9°0，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由；
3）如图3，当b<2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 答案】（1）见解析；
2）存在，理由见解析;
3）不成立．理由如下见解析
解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD
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∴∠MOD=∠MDO=22.5，°∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=，∴DM=OM=，
22∵FH=DF2DH23，∴OF=OM+MH+FH=2 1 3=3 21．
2 2 2 2 2
32 1
∴OF的最大值为321．
2
考点：四边形综合题．
5．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．