高考数学(理)一轮复习学案课件 第7编 空间点、直线、平面之间的位置关系
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高三数学一轮复习课件之7.3空间点、直线、平面之间的位置关系
面．
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
15
2．(教材改编)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分 别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
16
C [连接 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的 角，又 B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.]
17
3．(教材改编)下列命题正确的是( ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [根据确定平面的公理和推论知选项 D 正确．]
解析答案
18
4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点
解析答案
20
课堂 题型全突破
21
平面的基本性质 【例 1】 (1)以下命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，
D，E 共面；
③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
31
空间两条直线的位置关系 【例 2】 (1)已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 α， b⊂平面 β，α∩β＝c，给出下列命题： ①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； ②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c. 其中真命题有________．(填序号)
高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点、直线、平
2 ． [2017· 济宁模拟 ] 直线 l1 ， l2 平行的一个充分条件是 ( ) A． l1，l2 都平行于同一个平面 B．l1，l2 与同一个平面所成的角相等 C．l1 平行于 l2 所在的平面 D．l1，l2 都垂直于同一个平面
解析
对 A，当 l1，l2 都平行于同一个平面时，l1 与 l2 可
第7章 立体几何
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置 关系
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 平面的基本性质
考点 2 共面 直线
空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
相交 直线：同一平面内，有且只有______ 一个 公共点； ①______ 平行 直线：同一平面内，______ 没有 公共点. ②______
解析
∵ AB⊂γ， M∈ AB，∴ M∈γ.又 α∩β＝ l， M∈ l，
∴ M∈ β.根据公理 3 可知， M 在 γ 与 β 的交线上． 同理可 知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上．
4．如图是正四面体的平面展开图，G，H ，M，N分别 为DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中， ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60° 角； ④DE与MN垂直．
[ 解]
(1)证明：由题设知，因为 G、H 分别为 F A、FD
1 的中点，所以 GH∥ AD 且 GH＝ AD， 2 1 又 BC∥ AD 且 BC＝ AD， 2 故 GH∥ BC 且 GH＝ BC， 所以四边形 BCHG 是平行四边形． (2)C， D， F， E 四点共面．理由如下： 1 由 BE∥AF 且 BE＝ AF， G是F A 的中点知 BE∥ GF 且 2 BE＝ GF，所以四边形 EFGB 是平行四边形，
高三理科数学一轮复习 第七章 立体几何 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
21
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
【针对训练】
平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题: ①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或 重合.其中不正确的命题个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
D 【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中AD1,AB1,B1C在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直AB1,故① 不正确;又AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故②也不正确;若m1与n1相交,则m 与n还可以异面,③不正确;若m1与n1平行,m与n可以平行,也可以异面, ④不正确.
说明:两条异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
.
4
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
位置关系
图形语言
符号语言
直线在平面内
a⊂α
公共点 无数个
直线与平面 直线在 平面外
相交
平行
a∩α=A a∥α
有且只 有一个
无
两平面平行
平面与平面
两平面相交
α∥β
无
α∩β=a 有无数个(在一条直线上)
4.常用的数学方法与思想
(1)判断四边形D1MBN的形状;
【(解2)析求】四(边1)四形边D形1MDB1NM的BN面为积菱.形.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,
则 QN B1C1,B1C1 A1D1, 所以 QN A1D1, 所以四边形 A1D1NQ 是平行四边形, 所以 D1N A1Q, 又 BM A1Q, 所以 D1N BM, 所以四边形 D1MBN 是平行四边形, 又 D1M=BM, 所以四边形 D1MBN 是菱形.
高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课件：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
【教材基础回顾】 1.四个公理 公理1如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这 条直线在此平面内. 公理2过_______________的三点,有且只有一个平面.
两点
不在一条直线上
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 _____________过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线_________.
AB
AC
OB
OC
OA
2.已知空间内A,B,C,D四点共面,则若A,C,D三点共线, 则A,B,C,D一定共面.若A,C,D不共线, =λ + μ ⇔ =λ +μ +(1-λ-μ) .
考向一 平面的基本性质 【典例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中 点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,直线A1C与平面BDEF的交点为R. 世纪金榜导学号12560216
(1)证明:B,D,F,E四点共面. (2)证明:P,Q,R三点共线. (3)证明:DE,BF,CC1三线共点.
公理4: (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据.
2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
【教材母题变式】 1.下列命题中正确的是 ( ) A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域
图形语言 平 面 与 平 面 平行
符号语言 _______ α∥β
公共点 __ 0个
相交
________ α∩β=l
空间点、直线、平面之间的位置关系
【教材基础回顾】 1.四个公理 公理1如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这 条直线在此平面内. 公理2过_______________的三点,有且只有一个平面.
两点
不在一条直线上
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 _____________过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线_________.
AB
AC
OB
OC
OA
2.已知空间内A,B,C,D四点共面,则若A,C,D三点共线, 则A,B,C,D一定共面.若A,C,D不共线, =λ + μ ⇔ =λ +μ +(1-λ-μ) .
考向一 平面的基本性质 【典例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中 点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,直线A1C与平面BDEF的交点为R. 世纪金榜导学号12560216
(1)证明:B,D,F,E四点共面. (2)证明:P,Q,R三点共线. (3)证明:DE,BF,CC1三线共点.
公理4: (1)可用来判断空间两条直线平行. (2)等角定理的理论依据.
2.异面直线的两个结论 (1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
【教材母题变式】 1.下列命题中正确的是 ( ) A.过三点确定一个平面 B.四边形是平面图形 C.三条直线两两相交则确定一个平面 D.两个相交平面把空间分成四个区域
图形语言 平 面 与 平 面 平行
符号语言 _______ α∥β
公共点 __ 0个
相交
________ α∩β=l
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何7_3空间点、直线、平面之间的位置关系课件理新人教版
2 2
C．
3 3
D．13
解析
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 外依次再作两个一样的正方体，如图所示， 易知 AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面 AEF∥平面 CB1D1，即平面 AEF 就是 过点 A 的平面 α，所以 AE 为平面 α 与平面 ABCD 的交线，即为 m，AF 为 平面 α 与平面 ABB1A1 的交线，即为 n，所以 m，n 所成角即为 AE 与 AF 所 成角，也是 B1D1 与 CD1 所成角，为∠CD1B1。而△CD1B1 为等边三角形， 因此∠CD1B1＝π3，所以 sin∠CD1B1＝ 23。
必考部分
第七章 立体几何
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．平面的基本性质
2.空间两直线的位置关系
(2)平行公理： 公理 4： 平行于同一直线 的两条直线互相平行——空间平行线的传
递性。
(3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 。
答案 A
三、走出误区 微提醒：①对等角定理条件认识不清致误；②缺乏空间想象能力致误。 5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且 OA∥O1A1，OA 与 O1A1 的方向相同，则下 列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1 且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行 解析 两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故 选 D。 答案 D
(3)错误。因为 A，O，C 三点共线，所以不能确定一个平面。 (4)正确。因为 A，C1，B1 不共线，所以 A，C1，B1 三点可确定平面 α，又 四边形 AB1C1D 为平行四边形，AC1，B1D 相交于 O2 点，而 O2∈α，B1∈α，所 以 B1O2⊂α，又 D∈B1O2，所以 D∈α。 (5)正确。若 l 与 m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线 CD 为两平面 的交线，所以交点一定在直线 CD 上。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件ppt
命题点2 异面直线所成的角 例3 (1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2， AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上 一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余 弦值为
3 35 A. 35
4 35 B. 35
√C.3147
27 D. 7
连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E， 连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与 BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD ＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝ ，3CD＝1. 又 AB＝DE＝AE＝BD＝2，AC＝ AB2＋BC2＝ 7，CE＝ DC2＋DE2＝ 5，
√D.点C和点M
因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β. 根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上. 所以γ与β的交线必经过点C和点M.
(2)如图所示，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都 是 直 角 梯 形 ， ∠BAD ＝ ∠FAB ＝ 90°， BC∥AD 且 BC＝12AD，BE∥AF 且 BE＝12AF，G，H 分 别为 FA，FD 的中点. ①证明：四边形BCHG是平行四边形；
由题设知，因为 G，H 分别为 FA，FD 的中点，所以 GH∥AD 且 GH＝
12AD， 又 BC∥AD 且 BC＝12AD， 故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
C，D，F，E四点共面.理由如且 BE＝GF，所以四边形 EFGB 是平行四边形，所 以 EF∥BG. 由①知BG∥CH，所以EF∥CH. 故EC，FH共面.又点D在直线FH上， 所以C，D，F，E四点共面.
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第7章 立体几何 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
(5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( × )
2.在空间中可以确定一个平面的条件是( D )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.三个点
D.一个梯形
A中,若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面;
B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;
C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;
由AC⊂α,BD⊂α,知A,B,C,D∈α.故AB⊂α,CD⊂α.这与AB,CD是异面直线矛盾,
所以假设不成立,所以直线AC,BD是异面直线.
解题心得空间两条直线位置关系的判定方法
对点训练2
如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异
面直线的图形有 ②④
.(填序号)
P∈α 且 P∈β,则存在直线 l,
使 α∩β=l,且 P∈l
判断直线是否在
平面内
①判断两个平面是否相交;
②证明点共线和线共点问题
2.由基本事实1,2得到的推论
推论
自然语言
推论 1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个
平面
推论 2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论 3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
第七章
7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.基本事实体系
基本
基本事实 1
事实
过不在一条直线上
文字
的三个点,有且只
2.在空间中可以确定一个平面的条件是( D )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.三个点
D.一个梯形
A中,若两条直线是异面直线,则不能确定一个平面;
B中,若点在直线上,则不能确定一个平面;
C中,若三个点在同一条直线上,则不能确定一个平面;
由AC⊂α,BD⊂α,知A,B,C,D∈α.故AB⊂α,CD⊂α.这与AB,CD是异面直线矛盾,
所以假设不成立,所以直线AC,BD是异面直线.
解题心得空间两条直线位置关系的判定方法
对点训练2
如图,G,N,M,H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异
面直线的图形有 ②④
.(填序号)
P∈α 且 P∈β,则存在直线 l,
使 α∩β=l,且 P∈l
判断直线是否在
平面内
①判断两个平面是否相交;
②证明点共线和线共点问题
2.由基本事实1,2得到的推论
推论
自然语言
推论 1
经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个
平面
推论 2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论 3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
第七章
7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.基本事实体系
基本
基本事实 1
事实
过不在一条直线上
文字
的三个点,有且只
高三数学一轮复习 第七章 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由．
解析： (1)不是异面直线． 理由：连接 MN、A1C1、AC， ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点， ∴MN∥A1C1.
求证：P、A、C 三点共线．
证明： (1)∵E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 在△BCD 中，BGGC＝DHHC＝12， ∴GH∥BD.∴EF∥GH.
∴E、F、G、H 四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面 ABC， ∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC. ∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，
⊥平面 A1B1M.12 分
【阅后报告】 该题难度较小，第(1)问的关 键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明 BM⊥平面 A1B1M，这些方法是解决立体问题 常用思路．
(本小题满分 12 分)(2010·湖南卷) 如图所示，在长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1 ＝2，M 是棱 CC1 的中点． (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成 的角的正切值；
(2)证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M.
【规范解答】 (1)因为 C1D1∥B1A1，所以∠ MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角.2 分 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°. 而 A1B1＝1，B1M＝ B1C21＋MC21＝ 2，4 分 故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2， 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为
高考人教版数学(理)一轮复习课件：7.2空间点、直线、平面之间的位置关系3
答案：B
4．[2019·福州四校联考]已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为( )
27 A. 2
B．27
C．27 2
D．27 3
解析：在长、宽、高分别为 3,3 3，3 3的长方体中，由几
何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥 C－BAP，其中底面
BAP 是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3 3，所以 BP
的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)．
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四 面体的棱长)．
二、必明 3 个易误点 1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易 出错． 2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的 还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误． 3．易混侧面积与表面积的概念．
π. 答案：4 3π
考向一 空间几何体的侧面积与表面积
[自主练透型] 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成 角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA 与底面成 45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形． 设 OA＝r，则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r. 在△SAB 中，cos∠ASB＝78，
1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3
11 B. 3
C．7
23 D. 3
解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去 一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2,1,2， 体积为 4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积 V＝4－13 ＝131.选择 B.
4．[2019·福州四校联考]已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为( )
27 A. 2
B．27
C．27 2
D．27 3
解析：在长、宽、高分别为 3,3 3，3 3的长方体中，由几
何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥 C－BAP，其中底面
BAP 是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3 3，所以 BP
的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)．
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四 面体的棱长)．
二、必明 3 个易误点 1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易 出错． 2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的 还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误． 3．易混侧面积与表面积的概念．
π. 答案：4 3π
考向一 空间几何体的侧面积与表面积
[自主练透型] 1．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成 角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°.若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA 与底面成 45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形． 设 OA＝r，则 SO＝r，SA＝SB＝ 2r. 在△SAB 中，cos∠ASB＝78，
1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3
11 B. 3
C．7
23 D. 3
解析：由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去 一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2,1,2， 体积为 4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积 V＝4－13 ＝131.选择 B.
第7章 §7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系--新高考数学新题型一轮复习课件
如图所示， 因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P， 所以P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以P∈AC.
题型二 空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
例2 (1)下列推断中，错误的是 A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
方法二 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1， 则 易 知 AD1∥BC1 ， 所 以 直 线 PB 与 AD1 所 成 的 角 等 于直线PB与BC1所成的角. 根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易 知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点. 易知 A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1 为等边三角形，所以∠A1BC1＝π3， 又 P 为 A1C1 的中点，所以可得∠PBC1＝12∠A1BC1＝π6.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 基本事实应用 例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB， AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确； 如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D_时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD.
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
7.2 空间点、直线、平面
之间
的位置关系
12/11/2021
知识梳理
双基自测
1.平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线
在此平面内.
不在一条直线上
公理2:过
的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有
一条 过该点的公共直线.
12/11/2021
(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线
确定平面β,最后证明平面α,β重合.
2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证明其中两条直线交于一
点,再证明交点在第三条直线上.证明交点在第三条直线上时,第三
条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
两种情况.
4
知识梳理
双基自测
7.常用结论
(1)唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直
四个命题,其中正确的命题是 ③④
(填序号) .
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
12/11/2021
10
知识梳理
双基自测
1
2
34Leabharlann 55.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA
之间
的位置关系
12/11/2021
知识梳理
双基自测
1.平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线
在此平面内.
不在一条直线上
公理2:过
的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有
一条 过该点的公共直线.
12/11/2021
(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;
(2)辅助平面法:先证明有关点、线确定平面α,再证明其余点、线
确定平面β,最后证明平面α,β重合.
2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证明其中两条直线交于一
点,再证明交点在第三条直线上.证明交点在第三条直线上时,第三
条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.
两种情况.
4
知识梳理
双基自测
7.常用结论
(1)唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直
四个命题,其中正确的命题是 ③④
(填序号) .
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
12/11/2021
10
知识梳理
双基自测
1
2
34Leabharlann 55.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA
高考数学(理)总复习备考指导课件：第七章 立体几何 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
能
【答案】 ①
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
考向 3 异面直线所成的角
自 主
【例 3】 (2012·四川高考改编)如图 7－3－5 所示，在正
高 考
落
体
实 ·
方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点，
验 ·
固
基 础
试求异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小．
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落
体
实
验
·
·
固 基
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
明 考
础
情
考纲传真 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了
典 解作为推理依据的公理和定理.2.能运用公理、定理和已获得
例
探 究
的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
究
课
· 提
∴FH、EG、AC 共点．
时 作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
考向 2 空间两条直线的位置关系
自 主
【例 2】 如图 7－3－4 所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 高 考
落 实
中，M、N 分别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断正确的是
体 验
·
·
固 基
________．(填所有正确结论的序号)
典
例 探
D，是平面的基本性质公理．
2018版高考数学一轮复习课件：第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
图 7-3-3
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
高三一轮总复习
[解] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊12AD.2 分 又 BC 綊12AD， ∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形.5 分
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
A.15 3
C.5
B.25 4
D.5
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下一页
图 7-3-5
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
高三一轮总复习
(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1， α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( )
3 A. 2
2 B. 2
3
1
C. 3
D.3
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第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
高三一轮总复习
(1)D (2)A [(1)连接 BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角． 连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2， 则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5， 在△A1BC1 中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝2×5＋55－ ×2 5＝45.
如图 7-3-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中 点．求证：
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【导学号：01772249】
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学案3空间点、直线、平面之 间的位置关系
1
考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
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考纲解读
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