【精编】2016-2017年河南省驻马店市高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜02．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．45．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．37．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．69．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=．三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．2016-2017学年河南省驻马店市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（）A．a3＞b3B．C．a b＞1 D．lg（b﹣a）＜0【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知a b＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选：D．2．（5分）已知实数﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则a2b2﹣a1b2等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【解答】解：设等差数列的公差为d，依题意得﹣1=﹣9+3d，解得d=，∴，又=﹣9×（﹣1）=9，∴b2=3或b2=﹣3，若b2=3，=﹣9b2=﹣27与＞0矛盾，∴b2=3舍去，∴a2b2﹣a1b2=b2（a2﹣a1）=﹣3×=﹣8．故选：B．3．（5分）给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，sinx+cosx=2”的否定是“∃x∈R，sinx+cosx≠2”；②命题“∀x∈R，sinx+≥2”的否定是“∃x∈R，sinx+＜2”；③对于∀x∈（0，），tanx+≥2；④∃x∈R，使sinx+cosx=．其中正确的为（）A．③B．③④C．②③④D．①②③④【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，可知①不正确；②正确；由基本不等式可知③正确；由sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，可知④正确；故选：C．4．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选：B．5．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=0.5b，a＞b，则B=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosA=b，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=，∴sin（A+C）=，又A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB=，又a＞b，∴B=30°．故选：A．6．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣1，a2=2，且满足a n+1=a n+a n+2，则a2016=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵a1=﹣1，a2=2，a n+1=a n+a n+2，∴a3=a2﹣a1=3，同理可得：a4=1，a5=﹣2，a6=﹣3，a7=﹣1，…，=a n．∴a n+6则a2016=a335×6+6=a6=﹣3．故选：A．7．（5分）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增长10%，从今年起10年内这家超市的总销售额为（）万元．A．1.19a B．1.15a C．10a（1.110﹣1） D．11a（1.110﹣1）【解答】解：每一年的销售额形成等比数列{a n}满足，a1=1.1a，a2=1.12a，…，可得：=a×1.1n．∴从今年起10年内这家超市的总销售额==11a（1.110﹣1）．8．（5分）已知0＜x＜2，则+的最小值为（）A．8 B．2 C．10 D．6【解答】解：∵0＜x＜2，f（x）=+，f′（x）=﹣+==．∴当x=时，f（x）取得最小值=2+6=8．故选：A．9．（5分）在△ABC中，A＞B，则下列不等式正确的个数为（）①sinA＞sinB ②cosA＜cosB ③sin2A＞sin2B ④cos2A＜cos2B．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜，π，且0＜B+A＜π，由①，A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故①对由②，因为△ABC中，利用余弦函数在（0，π）递减，可得A＞B，则cosA＜cosB，故②对．对于③，例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A＞sin2B，所以③不对；对于④，因为在锐角△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，所以利用二倍角公式即1﹣2sin2 A＜1﹣2sin2 B，∴cos2A ＜cos2B，故④对．正确的是：①②④故选：D．10．（5分）对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选：A．11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3【解答】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15=0，解得a=3，a=﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A． B．a n=n﹣1 C．a n=n（n﹣1）D．【解答】解：当x∈（﹣∞，0]时，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x，y=x+1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（﹣∞，0]上的图象，由图象易知交点为（0，1），故得到函数的零点为x=0．当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1，y=x．在同一个坐标系内作出两函数在区间（0，1]上的图象，由图象易知交点为（1，1），故得到函数的零点为x=1．当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g （x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2，y=x﹣1．在同一个坐标系内作出两函数在区间（1，2]上的图象，由图象易知交点为（2，1），故得到函数的零点为x=2．依此类推，当x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]时，构造的两函数图象的交点依次为（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得对应的零点分别为x=3，x=4，…，x=n+1．故所有的零点从小到大依次排列为0，1，2，…，n+1．其对应的数列的通项公式为a n=n﹣1．故选：B．二.填空题：13．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．∴a≤﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1]．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N+），则a6=768．【解答】解：∵a n=3S n（n∈N+），∴n=1时，a2=3；+1n≥2时，a n=3S n﹣1，可得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，∴a6==3×44=768．故答案为：768．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC 边的中点，且•=（a2﹣ac），则角B=30°．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：根据图形及向量的平行四边形法则得到：=﹣，由点D为边BC的中点，得到=，则•==，而•=（a2﹣ac），得到=（a2﹣ac），即a2+c2﹣b2=ac，则cosB===，又B∈（0，180°），所以B=30°．故答案为30°三.解答题：17．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，=bcsinA=．则S△ABC18．（12分）解关于x的不等式：＞1（a＞0）．【解答】解：∵＞1（a＞0），∴＞0，0＜a＜1时，解得：2＜x＜，a=1时，解得：x＞2，a＞1时，解得：x＞2或x＜．19．（12分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．20．（12分）已知数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N+．∴n=1时，a1=；n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2•a n﹣1=．可得3n﹣1a n=，∴a n=．n=1时也成立．∴a n=．（2）a n b n=n，∴b n=n•3n．∴数列{b n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，解得S n=．21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．（1）求证：a，b，c依次成等比数列；（2）若b=2，求u=||的最小值，并求u达到最小值时cosB的值．【解答】证明：（1）∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，即2sinAsinC﹣2sin2B=0，即sinAsinC=sin2B，即ac=b2，∴a，b，c依次成等比数列；解：（2）若b=2，则ac=4，则u=||=||=|a﹣c|+||≥2，当且仅当|a﹣c|=时，u=||取最小值2，此时cosB===．[选修2-1，第一章内容]22．已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：当a＞0时，若命题p：A=∅为真，则，解得：a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），∴a∈（1，+∞），若命题q：B=R为真．则2﹣4≤0，解得：a∈（0，4]（1）若p∧q为真，则a∈（1，4]，故a的最大值为4；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，则p，q一真一假，若p真q假，则a∈（4，+∞），若p假q真，则a∈（0，1]，综上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）[选修2-1第二章内容]23．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠DAB=90°，AB平行于CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点（1）求证：AB⊥面BEF；（2）设PA=h，若二面角E﹣BD﹣C大于45°，求h的取值范围．【解答】证明：（1）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，），F（1，2，0），=（0，1，），=（0，2，0），=（﹣2，0，0），∴=0，=0，∴CD⊥BE，CD⊥BF，∴CD⊥面BEF．∵AB平行于CD，∴AB⊥面BEF．解：（2）设面BCD的法向量为，则（0，0，1），设面BDE的法向量为（x，y，z），∵=（﹣1，2，0），=（0，1，），∴，取x=2，得=（2，1，﹣），∵二面角E﹣BD﹣C大于45°，∴cos ＜＞=＜cos45°=，由h＞0，解得h ＞，∴h 的取值范围是（，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。