数学物理方法复习ppt
合集下载
数学物理方法-复变函数复习31页PPT
u d xz
1
2 y d x ？
0 x 0 2 x x 2 y 22x 2 y 2
极坐标
v x x 2 y 2c o s( 1 c o s)
2 sin 2 2
u1v,v1u
u 1 v 1 (2 sin 2)2 1 co s 2 u v (2 sin 2) 2sin 2
a0a1z1a2z2a3z3L1 2a0z21 2a1z31 2a2z41 2a3z5L 4 1!a0z44 1!a1z54 1!a2z64 1!a3z7L1
a 0 a 1 z 1 ( a 2 1 2 a 0 ) z 2 ( a 3 1 2 a 1 ) z 3 ( a 4 1 2 a 2 4 1 ! a 0 ) z 4 L 1
例
1111
4 7 10
解
绝对一致收敛
t 1 a1 a0,b0
01tbdt n0
1ta1(tb)nd
0
t
t1 anb1(1)ndt
0 n0
(1)n
1 dtanb
( 1) n
n0 anb0
n0 a nb
1 1 1 1 1 1 ( 1 )3 1 1 1 dt
4710 1 3
例：在z=0展开 1
cos z
1 1 cos 0
在z=0解析
待定系数法
待定系数法：设
1 cos z
k 0
ak zk
又
cosz
(1)k z2k
k0 (2k)!
a k 为待定系数
则
akzk
k0
k0
(1)k z2k 1 (2k)!
[ a k a k z k a k z k a k z k L ] [ 1 1 2 z 2 4 1 ! z 4 6 1 ! z 6 L ] 1
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
在此添加您的文本16字
数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法PPT课件
y
r
sin
sin
,
z r cos .
规定 0r ,
0,
02.
z
r•M(x,y,z)
z
o
x
A
y
•
xy P
8
（一）拉普拉斯方程
拉普拉斯算符的形式
二维
三维
直角坐 标
2 xxyy
2zz
柱坐标
2 112 12
2zz
球坐标 's1insi ns1 i2nr12 rr2r r12 '
rr2r1r r2'
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程，如达朗贝尔 法， 能够得到解析解 级数法 — 如分离变数法，能够得到近似的级数解 数值解法 — 计算数学内容
1
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
前言
点击此处输入 相关文本内容
标题添加
点击此处输入相 关文本内容
点击此处输入 相关文本内容
2
有关分离变量法（级数解法）：
轴对称球坐标下拉普拉斯方程 uR(r)() 分离变数得到:
1 欧拉方程 (r2R') 'l(l1)R0
RCrl Dr1l1
2 勒让德方程
si(n s 'i)/ n ' l( l 1 )s2 in 0
xcos [(1x2) ']'l(l 1 ) 0
"0 si (n s ') i [ n 'l( l 1 ) s2 i n ] 0
A co m s B sm i n
xcos
连带勒让 德方程
[1 (x 2 ) '] [ 'l(l 1 ) 1 m x 2 2] 0
数学物理方法课件
将公式(a) (b) 相加得到
27
证明
28
给我五个系数，我将画出一头大象； 给我六个系数，大象将会摇动尾巴。 —— 柯西
29
黎曼把数学向前推进了几代人的时间
爱因斯坦在创建广义相对论的过程中，因他缺 乏必要的数学工具，长期未能取得根本性的突 破，当他的同学、好友，德国数学家格拍斯曼 帮助他掌握了黎曼几何和张量分析之后，才使 爱因斯坦打开了广义相对论的大门，完成了物 理学的一场革命
邻域 外点
内点 境界点
O
x
12
（二）区域的概念
复变函数论中研究的是解析函数（第四节）。
复变函数（解析函数）的宗量 z 的 定义域，要 满足一定的条件称作 区域 B
区域 邻域 内点
Z1 y
Imz
z0
点集 E
外点
境界点
Rez O
x
13
（二）区域的概念
复变函数论中研究的是解析函数（第四节）。
复变函数（解析函数）的宗量 z 的 定义域，要 满足一定的条件称作 区域 B
复变函数（解析函数）的宗量 z 的 定义域，要 满足一定的条件称作 区域 B
区域
y
Imz
z0
点集 E
邻域 外点
内点 境界点
Rez O
x
11
（二）区域的概念
复变函数论中研究的是解析函数（第四节）。
复变函数（解析函数）的宗量 z 的 定义域，要 满足一定的条件称作 区域 B
区域
y
Imz
点集 E
z0 Rez
复变函数的实部和虚部分记为 u(x,y) 和 v(x,y)
复变函数 一对 二元实变函数
例如：复变函数的连续 在 当 时 连续的定义
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法课件《第一章 复变函数》.ppt
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2)
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
但一般地arg(z1z2 ) arg z1 arg z2
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为 U (z0 , )
U(z0, )
或
{z
(U z z0
(z0 ,
}
))即，
z0
(U (z0 , ) {z 0 z z0 })
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
一棣模佛(De Moivre)公式。
zn
1 zn
.
由定义得 z n r nein
2.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泛定方程
ut a 2u xx 0
x 0 0
边界条件 u
初始条件
ux
x l
0
u t 0 ( x)
(2k 1) x u Tk (t ) sin 2l k 1 2 2 2 (2k 1) a Tk ' (t ) Tk (t ) 0 2 4l
u Ck e
弦两端固定
(0 x l ) (0 x l )
n at n at n u un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin x l l l n n 1 n n a n 1 An sin l x ( x) 1 Bn l sin l x ( x) n n
1 u v
u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程 又特别称为共轭调和函数 2
u0
v0
2
若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一 共轭调和函数
方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关） 方法二、凑全微分显式法
方法三、不定积分法
例：已知 u(x,y)=x2-y2,求 v(x,y)
l
l
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
i li
A’ B’
AB
l1
D’ l2 C’ DC
f ( z)dz f ( z)dz
l i li
1 l z dz 2 i
1
0
(l不包围)
C
R
l
1
柯西积分公式
(l包围)
f ( z) f ( ) l z dz 2 i f
复变函数
复数的运算 1、复数的加减法 2、复数的乘法
3、复数的除法
4、复数的乘方与方根
3
z1 1 i (1 2 ) e z2 2
z ( e )
n i
n
8 8
1/ 3
e
i ( 2 k ) / 3
复变函数
例：方程 sinz=2
设
z x iy
1 i ( x yi ) i ( x yi ) 1 iz iz sin z (e e ) [e e ] 2i 2i 1 y y y y [(e e ) sin x i(e e ) cos x] 2 2
ak 0
偶函数
f ( x) f ( x)
bk 0
k l 0
2
l
k f ( ) cos d l
复数形式的付里叶变换
f ( x) F ( )e d
i x
1 F ( ) 2
f ( x)(e
i x
) * dx
函数
( x) 0 ( x)
(0 1)
1 dz 例：计算回路积分 2 z 2z z 1
无穷积分
f ( x)dx
例：计算积分
dx I 1 x 2
n z 1
2
0
R(cos , sin )d 2 i Re sf ( z )
k 1
例：计算积分 I
(2n 1) u un ( x, t ) Tn (t ) cos x 2l n n 0
(2n 1) u un ( x, t ) Tn (t ) sin x 2l n n 0
分离变数法
utt a u xx 0
2
齐次方程的分离变数法
u ( x, t ) x 0 0 u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x ) u t ( x, t ) t 0 ( x )
x0 x0
( x)dx 1
f ( x) ( x)dx f (0)
f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
例：
sin x ( x x0 )dx sin x0
阶跃函数
0 1
( x 0) ( x 0)
H (x)
dH ( x) dx
拉普拉氏变换
f ( p) f (t )e
0
pt
dt
pt
称为 f(t) 的拉普 拉氏变换函数 （像函数）
称 f(t) 为原函数
f (t )
2 i
1
i
i
f ( p)e dp
n! L[t ] p n 1
n
1 L[1] p 1 L[e ] ps
st
n! L[t e ] ( p s ) n 1
热传导
ut a u 0
2
边界温度为零 边界与外界绝热
u
x 0
0
u x
x 0
u k 0 n u 0 0
2V / 0 称为泊松方程
2V 0
称为 Laplace 方程
utt a u xx 0
2
达朗贝公式
u ( x, t ) t 0 ( x ) u t ( x, t ) t 0 ( x )
n u Tn cos x l n 0
本征振动
n at n at n u A0 B0t ( An cos Bn sin ) cos x l l l n 1
系数
1 l A0 ( ) d l 0 1 l B0 ( ) d l 0
2 l n An ( ) cos d l 0 l 2 l n Bn 0 ( ) cos l d na
k 1 ( 2 k 1) 2 2 a 2 4l
2
t
(2k 1) x sin 2l
u q k n
弦的横振动 边界固定
utt a u xx 0
2
u
x 0
0
边界自由，张应力为零
u Y x u x
x 0
0
x 0
0
扩散
ut a u 0
2
边界浓度为零 边界与外界无 粒子交换
u
x 0
0
u x
x 0
u k 0 n u 0 0
n 1 An sin l x ( x) n
n a n 1 Bn l sin l x ( x) n
2 l n An ( ) sin d l 0 l 2 l n Bn 0 ( ) sin l d na
泛定方程 边界条件
utt a 2u xx 0
x 0 0
4类边值问题
n u un ( x, t ) Tn (t ) sin x l n n 1
u x ( x, t ) x l 0
x 0 0
n u un ( x, t ) Tn (t ) cos x l n n 0
u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) x 0 0 u x ( x, t ) x l 0
R t E0 j sin t * e L L
1 j E0 2 2 p Lp R
弦的横振动 均匀杆的纵振动
utt a u xx 0
2
张应力（单位横截面的力）为
u Y x
扩散方程
ut a 2 u 0
扩散流强度q ，即单 位 时间内流过单位面 积的分子数或质量； 浓度 u(单位体积内的 粒子数）
其中
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
L[sin t ] 2 2 p
例：求电路方程
p L[cos t ] 2 2 p
d L j Rj E0 sin t dt
j (0) 0
解：
Lpj Rj E0 2 2 p
f ( z ) ( z 2i) /(z 4 z )
3 3
的极点，求留数
1 z 2i z 2i 3 2 3 3 3 z 4 z z ( z 4) z ( z 2i) 1 Re sf (2i ) (2i ) 3 2 1 d i 3 Re sf (0) lim { 2 [ z f ( z )]} z 0 (3 1)! dz 8
a1 Re sf ( z0 )
z z0
如何求a-1？
m阶极点
若z0为单极点
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
1 d m Re sf ( z0 ) lim { m1 [( z z0 ) f ( z )]} z z0 ( m 1)! dz
m 1
例：确定函数 解：
n st
导数定理
L[ f ' (t )] p f ( p) f (0)
n n 1
L[ f
(n)
(t )] p f ( p ) p pf
( n2)
f (0) p
( n 1)
n2
f ' (0)
(0) f
(0)
卷积定理
L[ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 ( p) f 2 ( p)
绝对收敛
k
R lim
1 ak
k k
例：求幂级数
解： a
(1) z
k 0
k 2k
的收敛半径
k
(1)
k
R lim